Evaluering af skriftlig matematik B og A på hhx. Sommeren 2014

Transkript

1 Evaluering af skriftlig matematik B og A på hhx Sommeren

2 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Vejledning til censorerne... 4 Omsætningstabel matematik B... 5 Omsætningstabel matematik A... 6 Fordeling... 7 Censorernes vurdering af sættene... 8 Kommentarer fra censorerne... 9 Typiske positive sider, matematik B... 9 Typiske fejl eller mangler, matematik B Andre kommentarer/bemærkninger, matematik B Typiske positive sider, matematik A Typiske fejl eller mangler, matematik A Andre kommentarer/bemærkninger, matematik A Vejledning til udvalgte opgaver

3 Forord Hermed en evaluering af de skriftlige prøver i matematik B og A ved hhx sommeren Censorkorpset bestod i år af 52 censorer, der rettede opgaver på enten B eller A-niveau. Dette års evaluering er baseret på de kommentarer som censorerne er kommet med. For både matematik B og A blev censorerne bedt om at: vurdere de to prøver i forhold til det faglige niveau, omfanget af opgaverne, de teoretiske krav samt andelen af anvendelsesopgaver beskrive positive sider ved besvarelserne beskrive typiske fejl og mangler Som noget nyt vil man på de sidste sider, i denne evaluering, se en vejledning (udarbejdet af opgavekommissionen) til en elevbesvarelse af udvalgte opgaver. Det er problematikker vi diskuterer på censormødet, så nu medtages det også her i evalueringsrapporten. Det er mit håb, at denne evalueringsrapport og vejledende løsning af udvalgte opgaver, kan være en hjælp og inspiration for matematiklæreren i såvel undervisningen som under retningen af elevbesvarelser. Giv kommentarer til årets opgavesæt Opgavekommissionen er også interesseret i tilbagemeldinger fra de øvrige matematiklærere og modtager derfor gerne kommentarer til årets opgavesæt. Kommentarer sendes til undertegnede, der videregiver dem til opgavekommissionen. Kontakt Har I spørgsmål eller kommentarer, så husk at I altid er velkomne til at kontakte mig, enten pr. til Laila.Madsen@uvm.dk eller telefon Laila Madsen, Fagkonsulent 3

4 Vejledning til censorerne September 2014 Umiddelbart efter den skriftlige prøve udsender jeg en vejledning til censorerne. Denne vejledning tjener til almindelig orientering for censorerne om forhold vedrørende de skriftlige prøver, censureringen af opgaverne og selve censormødet. Vejledning til selve matematik B-sættet: Det anbefales, at hver enkelt delopgave vægtes med 5 points, således at det samlede pointtal for opgaverne er 90. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket skal der lægges vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. En præcisering til opgave 8: Renten på 2,08% er fundet ved afrunding. Renten med 6 decimaler er 2,079591%. Om eleven i opgaven regner med en rente med to eller flere decimaler skal give fuld point. Ligeledes skal det give fuld point, hvis eleven afleverer en amortisationsplan med ingen eller to decimaler. Vejledning til selve matematik A-sættet: Det anbefales, at hver enkelt delopgave vægtes med 5 points, således at det samlede pointtal for opgaverne er 115. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket skal der lægges vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. 4

5 Omsætningstabel matematik B Nedenstående omsætningstabel er lavet med udgangspunkt i karakterbeskrivelsen for skriftlig matematik på B-niveau. Det skal understreges, at de karakterer, som censorerne afgiver, ikke alene er et resultat af en pointsammentælling. På grundlag af et givet antal point fastsættes en foreløbig karakter, men i den endelige karakterfastsættelse indgår endvidere en diskussion mellem censorerne samt en helhedsvurdering af hver enkelt besvarelse. Karakter Interval ca Tabel 1: Omsætningstabel for matematik B 2014 Karakter Vejledende beskrivelse 12 Eksaminanden kan systematisk og sikkert anvende modeller og metoder herunder relevante hjælpemidler - fra alle områder i kernestoffet. I besvarelsen anvendes det matematiske symbolsprog og forskellige repræsentationsformer med kun få uvæsentlige mangler. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater på en overskuelig måde og der argumenteres for de valgte løsningsmetoder. 7 Eksaminanden kan i rimelig grad anvende modeller og metoder herunder relevante hjælpemidler - fra kernestoffet. I besvarelsen anvendes det matematiske symbolsprog og forskellige repræsentationsformer med en del mangler. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater på en overvejende overskuelig måde og der redegøres for de valgte løsningsmetoder. 02 Eksaminanden anvender modeller og metoder herunder hjælpemidler fra de fleste områder indenfor kernestoffet med en vis usikkerhed. I besvarelsen anvendes det matematiske symbolsprog og forskellige repræsentationsformer med adskillige væsentlige mangler. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater usammenhængende og delvist uoverskueligt og de valgte løsningsmetoder beskrives i mindre omfang. 5

6 Omsætningstabel matematik A Nedenstående omsætningstabel er lavet med udgangspunkt i karakterbeskrivelsen for skriftlig matematik på A-niveau. Det skal understreges, at de karakterer, som censorerne afgiver, ikke alene er et resultat af en pointsammentælling. På grundlag af et givet antal point fastsættes en foreløbig karakter, men i den endelige karakterfastsættelse indgår endvidere en diskussion mellem censorerne samt en helhedsvurdering af hver enkelt besvarelse. Karakter Interval ca Tabel 2: Omsætningstabel for matematik A 2014 Karakter Vejledende beskrivelse 12 Eksaminanden kan systematisk og sikkert vurdere, udvælge og anvende modeller og metoder herunder relevante hjælpemidler - fra alle områder i kernestoffet. Eksaminanden behersker fagets terminologi og kan skifte mellem forskellige repræsentationsformer med kun uvæsentlige mangler og usikkerheder. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater klart og overskueligt, ligesom der demonstreres fagligt overblik og argumenteres for løsningsmetoder gennem anvendelse af forskellige former for matematiske ræsonnementer. 7 Eksaminanden kan overvejende sikkert udvælge og anvende modeller og metoder herunder relevante hjælpemidler - fra alle områder i kernestoffet. Eksaminanden kan anvende fagets terminologi og skifte mellem forskellige repræsentationsformer med en rimelig grad af sikkerhed. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater overvejende overskueligt, ligesom der redegøres for løsningsmetoder gennem anvendelse af forskellige former for matematiske ræsonnementer. 02 Eksaminanden udvælger og anvender modeller og metoder herunder hjælpemidler fra de fleste områder i kernestoffet og med en vis usikkerhed. I besvarelsen anvendes det matematiske symbolsprog og forskellige repræsentationsformer med adskillige væsentlige mangler. I besvarelsen præsenteres fremgangsmåder, tankegange og resultater usammenhængende og delvist uoverskueligt og der redegøres i mindre omfang for de valgte løsningsmetoder. 6

7 Fordeling I alt 3202 gik op til den skriftlige prøve i matematik B. Karaktererne fordelte sig således: Karakter Frekvenser 1,5 15,5 10,1 19,3 28,9 17,9 6,7 Frekvenser for beståede ,2 23,3 34,8 21,6 8,1 Tabel 3: Karakterfordeling for matematik B 2014 Gennemsnittet er 5,56 Typetallet er 7 Nedre kvartil er 2,59 Medianen er 5,87 Øvre kvartil er 8,47 Andelen af elever der fik under 02 er 17,0 % I alt 1511 gik op til den skriftlige prøve i matematik A. Karaktererne fordelte sig således: Karakter Frekvenser 0,5 9,3 9,9 16,9 28,3 20,9 14,2 Frekvenser for beståede ,9 18,7 31,4 23,2 15,8 Tabel 4: Karakterfordeling for matematik A 2014 Gennemsnittet er 6,623 Typetallet er 7 Nedre kvartil er 3,78 Medianen er 6,92 Øvre kvartil er 9,71 Andelen af elever der fik under 02 er 9,8 % 7

8 Censorernes vurdering af opgavesættene Censorerne blev bedt om, at vurdere det faglige niveau omfanget af opgaverne de teoretiske krav og svarerne er som følger: andel af anvendelsesopgaver For lavt Passende For højt Ved ikke Svar ialt Det faglige niveau Omfanget af opgaverne De teoretiske krav Andelen af anvendelsesopgaver Tabel 5: Vurdering af opgavesættet for matematik B For lavt Passende For højt Ved ikke Svar ialt Det faglige niveau Omfanget af opgaverne De teoretiske krav Andelen af anvendelsesopgaver Tabel 6: Vurdering af opgavesættet for matematik A 8

9 Kommentarer fra censorerne På de efterfølgende sides ses (helt uredigeret) censorernes kommentarer. Censorernes besvarelse af Typiske positive sider (for matematik B): eleverne er meget dygtige til at anvende CAS. Eleverne er rigtige dygtige til første delprøve (alle pånær 2 klarer del 1 bedre end del 2) Opgave 8 giver points til de fleste, idet mange har en skabelon klar i ærmet. Eleverne er gode til uafhængighedsopgaven og er blevet bedere til at dokumentere deres svar. Mange er blevet gode til at anvende CAS Mange elever er rigtig gode til 7c (regression) og forholder sig til R^2. Langt de fleste elever har løst nogle opgaver. De fleste har derfor over 20 point. Opgave 8: Mange elever er gode til at bestemme rentebeløb, afdrag og ultimo restgæld efter 2. termin (men får ikke altid forklaret metoden). Mange løser opgave 10 og får mange point i opgaven. Mange elever er blevet gode til at bruge deres CAS-værktøj. Måske for nemme, fordi alle del 2 opgaver kan løses via CAS Som ved Aérne. De er ved at få styr på deres It og de muligheder man har derved. Der er heller ikke så mange som er fuldstændig væk, som sidst jeg var censor. Det er et opgavesæt der er helt klassisk uden den store nyheder - typesæt Eleverne forklarer rigtig meget hvad de gør. der er ikke så mange helt blanke opgaver som set tidligere chi-i-anden-test går fint (opg. 10) opg. 8 (amortisationsplan) går godt Opg 10a) var stort set korrekt alle steder. Opg 10b) hos mange, men der var en høj grad af 'skabelon' over besvarelserne fra visse skoler Opg 11 havde mange rigtig. Eleverne er gode til at bruge CAS-værktøjer. flere elever er fortrolige med CAS Alle har bud på næsten alle opgaver - ikke altid lige gode bud, men de har turdet gå i gang :-) Der er rig mulighed for at få point, da det er en god blanding af 'lette og svære' spørgsmål - både i sættet med og uden hjælpemidler Gode til at anvende deres værktøj. Opgave 8: Finansregning klarer eleverne generelt godt Opgave 10: CHI2-test klarer eleverne også generelt godt Eleverne er blevet bedre til prøven uden hjælp og virkelig gode til it. Mange har godt styr på at bestemme forskellige statistiske deskriptorer, de allerfleste kan også lave en korrekt pivottabel og opstille et xy-plot. Delprøve 1 er generelt klaret ganske godt. Eleverne er gode til at besvare opgaver, de har set før - fx 'chi i anden test' i opgave 10. Eleverne er ligeledes blevet meget bedre til at håndtere cas-værktøj. Er gode til at anvende CAS CASværktøjet bruges generelt godt, f.eks. opgave 9a klares ved få indtastninger. De fleste har styr på medianen i opgave 3. Opgave 10a klarer de fleste uden problemer, det samme med opgave 11Aa og 11Ca Det ser ud til, at eleverne er blevet bedre til at analysere funktioner - specielt ved hjælp af CAS. En del elever er blevet bedre - i forhold til sidste år - til at forklare deres resultater, ved for det meste at 'klippe ind' fra forskellige værktøjer, og også ved at 'gentage' dvs. forklare de tal/størrelser som vi 'jo kan se' i deres indklip. Fint! Stort set alle kan finde ud af at lave en pivottabel (10A). Gennemsnitligt har eleverne besvaret lidt over halvdelen af de første 5 opgaver rigtigt. Generelt gode hjælpemiddelskompetencer indbefattende CAS og regneark. Generelt gode korte konklusioner og opsamlinger på opgaver de fleste kan differentiere et polynomium og bestemme en median mange er teknisk dygtige til statistik og test opgaverne (stort set alle kan optælle data-sættet) de fleste kan lave opgave 8 ang. amortisationsplan 9

10 Eleverne bliver bedre og bedre til anvendelse af CAS og til forståelsen af hvordan man 'levere' gode svar på disse opgaver. Chi i anden er der efterhånden fuldstændig styr på. opgave 1, opgave 8 dog uden argument. opgave 9 meget bedre end normalt 10

11 Censorernes besvarelse af Typiske fejl og mangler (for matematik B): Eleverne er rigtigt dårlige til at dokumentere hvad de gør, når de bruger værktøjer. Opgaver/elemeneter, der går dårligt: 6b (ræsonnementsopgave) 9b 11b 10b (chi^2 test) 7d - skriftlighedsspørgsmål 11B Opgave 6b: For tynde kommentarer Opgave 7a: Mange viser en fordeling efter størrelse i stedet for prisen. Desuden mangler ofte enhedsbetegnelse på akserne. Opgave 7b: det er ikke nok at vise en oversigt med deskriptorer. De skal angives specifikt med angivelse af enheden. Modsat bør eleven også vise, hvorfra resultaterne er kommet. Opgave 7c: Forskriften skal skrives - det er ikke nok at lade den stå og flyde ved regressionslinjen. (der er nemlig en del, som ikke aner, hvad '1.4395E+04 betyder. Opgave 7d: der bør kommenteres på både a, b og c opgaven. Kommenteringsopgaven er mange steder bare noget som 'så sætter vi en parentes' i stedet for at faktorisere. Hvis eleverne ikke har styr på Maple ødelægger den også besvarelsen f.eks med sider med obs og tegner et histogram med inddeling på y-aksen som 5*10^-7, 6*10^-7 osv For dårlige beskrivelser i opgave 6 b), bruger ikke både a), b) og c) i opgave 7 d), Mangler fortegnsbestemmelse af P'(x) i opgave 9 b), når der ikke løses grafisk, glemmer at bruge alle hjørnepunkter i opgave 11C b) Der opstilles sjældent hypotese for test for uafhængighed. Opgave 9 springes af flere over. Opgave 3: De fleste elever kan aflæse men ikke fortolke medianen. Opgave 5: Mange elever kan ikke bestemme forskriften for D(x). Opgave 6b: Beskriver i stedet for at forklare løsningen af ligningen. Eleven skriver f.eks. 10x flyttes over på den anden side eller x ganges på parentesen. Igen, generelt en bedring men mange er stadig for dårlige til at vise hvad de rent faktisk har fundet ud af via deres it værktøj Opgave 1: Markeringerne i grafen endepunkter mangler / er forkerte Opgave 4: Parentesen om (-2)^2 mangler så det bliver til alt fra -8 til 64 Opgave 5: Fin opgave... mange elever kan se på tallene at d(75) = og forklarer fint, hvad de ser Opgave 6B: fin opgave, men mange elever tabe point på sidste trin, der sker meget og de ved ikke hvad. Opgave 7A: Der er mange muligheder for at lave grimme, forkerte, uforståelige diagrammer Opgave 7B: Eleverne glemmer og viser udskrift og dermed er deskriptionerne påstand ( og åbenbaringer giver vi jo ikke noget for? ) Opgave 7C: Graph giver forskriften på en måde som eleverne ikke kan læse / gengive fornuftigt: f(x) = 2,7+E05+1,4+E04+x... Opgave 7D: her skal noget genre genskab til og tallene / modellerne fra 7a-7c må skulle bruges. Hvis der ingen tal er i opgaven, betragter jeg den som blank? Opgave 8A: problematisk at den lægger op til at man bruger sit Excel-regneark med amortisationsplan, og dermed ikke får vist de bagvedliggende udregninger. jeg er sikker på, at mange elever kan udregningerne, men tror at de har afleveret en tilfredsstillende besvarelse, da de satte regnearket ind. Opgave 9: Hvorfor??? Bruger man en opgave, der har været stillet tidligere? Opgave 10: Stadig problemer med skabeloner Opgave 11'erne er fine og gode alle sammen, men ret forskellige i omfang / tidsforbrug. opg.7b beskrivelsen mangler Manglende metodevisning: eks opgave 8, opgave 7c), opg 9b) Meget ukvalificerede forklaringer på opg 6b) Forkerte diagrammer i opg 7a) Manglende aksebetegnelser, ingen Dm og ingen forholden sig til en godhed på blot 56% i opg 7c) Utroligt at så mange har problemer med at udfylde en amortisationstabel! Jeg tror det er fordi det ikke er en opgavetype der har været før. Jeg er også overrasket over hvor får der formår at lave en meningsfuld grafisk præsentation i opgave 7b. Skærmdumps fra CAS/regneark eller andre IT-redskaber bliver afleveret uden kommentarer. Mange elever kan ikke regne! Regningsarternes hierarki respekteres ikke - og kvadratet på et negativt tal er selvfølgeligt negativt (hvilket jeg har set i græmmende mange besvarelser)! Brugen af CAS gør i mange tilfælde besvarelserne uklare og kaotiske. Virker tilfældigt og uden klare hensigter!! 6b) Meget få kan hente fuldt pointtal i denne delopgave. 7d) generelt ret svage besvarelser 11

12 Jeg synes desværre at CAS værktøjet gør at mange ikke husker at dokumentere i form af matematiske forklaringer / mellemregninger på outputtet fra CAS. Eksempelvis opgave 8, hvor der bare står 3 tal, men ikke hvordan disse tal er fundet. opgave 7c de fleste får lavet et xy-plot, men glemmer aksebetegnelser og mange glemmer at beskrive sammenhængen som U(x). I opgave 7d varierer indlægget meget - generelt synes jeg ikke eleverne får brugt deres besvarelse fra a, b og c nok. Opgave 9b - finder en afsætning, men glemmer at fortolke det til tons osv. Glemmer kommentering. Besvarelse af skriftlighedsspørgsmålet er ringe. Opgave 7: Spørgsmål a) og d) giver alle mulige mærkelige svar, som er svære at bedømme fair. Opgave 9: Spørgsmål a) og b) er fine. Men spørgsmål b) efterlader eleverne i et dilemma. Kan resultatet bare aflæses ('ca. 12 ton') eller beregnes evt. med brug af CAS? Opgaven burde formuleres således, at aflæsning direkte fra opgaveteksten kan udelukkes. Forklarer utilstrækkeligt eller slet ikke. Anvender it uden at ane hvad der foregår. Når der skal opstilles en hypotese i opg. 10, er det ret tilfældigt, om H0 er uafhængighed eller sammenhæng. Besvarelserne bærer også præg af, at mange kopierer fra tidligere afleveringer og glemmer at rette f.eks. 'fitnesscenter' til 'rejsekort' :-) Mange bruger tid på at lave en fuld funktionsanalyse, selvom der kun spørges til monotoniforhold i 11B(a) eller til optimal afsætning i opg. 9(b). I 11B(b) bestemmer en del elever (eller prøver på det) selve ligningen for tangenten i stedet for bare røringspunktet. Opgave 6b er meget vanskelig for eleven. Mange formår ikke at forklare omskrivningerne på en fornuftig og nogenlunde præcis måde. Kun få elever inddrager ln i forklaringen. Opgave 4 volder også mange problemer pga. parrentes og negativt tal. Generelt mangler der aksetitler. Opgave 7 a): en del anvender både tal for størrlese og udbudspris i den grafiske præsentation. Opgave 7b): oftest kun angivelse af deskriptorer og ingen beskrivelse. Mangler også ofte at fortælle hvor de får tallene fra. Opgave 7d): kun få medbringer svar fra spm. c) i deres indlæg. Opgave 8: Rigtig mange laver blot et skema med tallene uden forklaring af metode eller angivelse af hvad svaret på spørgsmålet egenmtligt er. Opgave 9a): Mange kan ikke nå frem til forskriften for P(x) selv om de har CAS. Opgave 9b): De elever som anvender P'(x) til bestemmelse af maksimum argumenterer ikke for at der er maksimum i et af nulpunkterne for P'(x)=0. Opgave 10: der er mange skabelon-agtige svar Eleverne mangler generelt begrundelser for hvad de gør. F.eks. i opgave 9b beregnes nulpunkter for P'(x) og uden videre begrundelse konkluderes at x=10,9 giver maksimalt overskud. I opgave 11Ca angives den rigtige forskrift, men uden nogen begrundelse. Opgave 5 får mange en forkert forskrift, men har forståelse for hvad efterspørgslen er ved 75 kr. I opgave 6a gennemfører en del undersøgelsen ved at sætte udtrykket for x ind i ligningen, men får kun kvadratroden opløftet i minus 2. I opgave 6b skriver mange: 0 isoleres, x sættes uden for er parentes, der reduceres, nulpunkterne er fundet. Opgave 10 besvares meget skabelonagtigt, hvor selv hypoteserne er generelle, nogle endda på engelsk. Konklusionen bliver ofte Pval mindre en signifikansniveauet, derfor forkaster man. En del elever har problemer med f.eks. 6,9E-05, flere opfatter dette tal som større end 5%. I opgave 7c overser nogle elever helt at kommaet skal rykkes eller også skriver de modellen med E+06. Opgave 8 har en del elever problemer med. I opgave 11Ab vælger mange z-fordelingen. Ledsageforklaringer mangler meget ofte. Forklarende opgaver som 6b og 7d er ofte mangelfuldt løst. Kan ikke læse teksten i anvendelsesopgaver Savner mere anvendelse af matematiske begreber i forbindelse med 6 b. Der er store mangler i forbindelse med supplerende tekst til klip, definitioner af variable og præcisering af konklusioner Anvendelsen af nulreglen ved ligningsløsning er der mange elever, der ikke har kendskab til. Det samme gælder anvendelse af ln i forbindelse med løsning af ligninger, hvor i den naturlige eksponentialfunktion indgår. Opgave 7a: nogle elever anvender data for både størrelse og udbudspris. Enheder mangler ofte på resultaterne. Der er besvarelser, hvor kravet om, at 'eksaminandens tankegang klart skal fremgå af besvarelsen' langt fra er opfyldt - der gengives udregninger fra CAS-værktøjet uden forklaringer og konklusioner. 12

13 Men der er stadig mange som springer over hvor gærdet er lavest dvs. udelader forklaringer af værktøjs'klip' - og dermed mister points. - CAS-opgaven 6a) medfører mange tastefejl og deraf følgende forskellige resultater. - Forklaringsopgaven 6b) er svært for langt de fleste. - Samme gælder for A-sættet. - Opgave 7 er den opgave hvor der mistes flest points: mange laver irrelevante tegninger i a), mange forstår ikke forskellen imellem b) og d), og ligeledes mange klarer ikke c) (eller kun delvis, fordi de ikke kan aflæse regressionsforskriften når den står i eksponentiel notation). Forbavsende mange har vanskeligt ved at bestemme medianen og forklare betydningen korrekt. Ofte synes de ikke at forstå, hvad 'betydningen' vil sige. Store mangler i argumentation, dokumentation og udarbejdelse af fyldestgørende plots og diagrammer. Opg 7c) Tolkningen af forklaringsgraden er ofte meget definitiv manglende forklaringer og kommentarer manglende præcision i opgave 6B opgave 10 meget skabelonagtig og uden nogen vist forståelse af hvad der foregår, for mange glemmer hypoteserne Rigtig mange laver opg 11A, men uden at kommentere hvad konfidensintervallet betyder Eleverne har stadig svært ved at få diagrammer rigtige mht. overskrifter og aksebetegnelser, ligeledes når der skal afrapporteres for deskriptorerne hvor mange stadig ikke formår at lave en dybde i besvarelsen. Indlæg i opg7d går skidt mange glemmer a) og til dels c) i svaret til d) Eleverne har svært ved/kan ikke tolke et resultat, som er skrevet vha. eksponentiel notation. Eleverne glemmer at lave en konklusion/tolke deres resultat. Det er meget få elever, som sætter enheder på akserne. 13

14 Censorernes besvarelse af Andre kommentarer/bemærkninger (matematik B): Opgave 8: Mange benytter en skabelon. Der er ikke meget forklaring i det, men det er vel OK? Opgave 10: Igen benyttes i vid udstrækning en skabelon. Det betyder f.eks., at i en klasse opnår stort set alle fuld point i denne opgave. Måske er det på tide, at eleverne skal vurdere, hvilke afvigelser, der især bidrager til en evt. afhængighed mellem de 2 begreber Uafhængighedstesten skal nytænkes så det ikke bare bliver en 'black-box' opgave Enkelte når ikke at blive færdige. Mange elever får ikke skrevet en indledende og konkluderende tekst til opgaverne. Ved anvendelse af CAS-værktøj kniber det ofte med en forklaring til løsningen, tit er der kun indsat et skærmklip. Få elever løser opgave 11C. Jeg synes det er for nemt at fedte sig igennem uden reelt at kunne noget matematik. Det er ikke svært at opnå point uden at vise noget en opgavetype som 6a bør ikke forekomme mere (lad eleverne bruge CAS som et løsningsmiddel i en større sammenhæng) Der er rigeligt mange opgaver, der for simpelt giver 5 points: Eks 10a) 11Aa) og især 11Ca) En del elever har tilsyneladende svært ved at afkode, hvad der kræves fagligt for at lave en 'god' besvarelse (manglende dokumentation eller forklaringer på 'hvorfor' bestemte handlinger/beregninger udføres). Alle tre udgaver af opgave 11 er blevet valgt (og i næste lige stort omfang blandt de, jeg har rettet som 1. censor) I nogle opgavetyper (især 7, 8, 10, 11A ser man hos nogle klasser meget 'skabelonløsning' Jeg kunne godt tænke mig lidt flere spørgsmål med lidt mere variation. Nu har vi prøvet CAS et par år. Spørgsmålene kommer igen 'hvert år', men nogle (et par stykker af gangen) må gerne komme i nye formuleringer. Jeg tror også at det vil 'tvinge' eleverne til at huske konklusioner, mellemregninger m.m. De bliver tvunget til at tænke over hvordan de løser opgaverne og hvad de forskellige metoder bruges til. Indtil videre har mange af opgaveformuleringerne været udenadslære. Opgave 10 a) kan alle lave, så hvorfor er den der? Alle lærer har hjernevasket sine elever til denne type opgave, den burde formuleres anerledes, så en standard model ikke kan anvendes. Meget stor forskel på gennemsnittet i de forskellige klassesæt. Almindelig færdighedsregning 'glemmes' måske pga. de senere års fokusering på cas-værkrøj. Ubehjælpsom brug af CAS, ingen forståelse Fremadrettet vil det være fint, hvis en sumkurve gengives på et bilag, som eleverne kan indtegne på og vedlægge deres besvarelser:-) Jeg synes, at det er for nemt for en elev, der tydeligt viser, at han/hun ikke har ret megen matematisk forståelse, at score point, fordi vedkommende kan benytte sig af opgaveprototyper, udarbejdet i undervisningen. Der er for mange opgaver, der er udformet således, at eleven skal vise sin IT-mæssige kunnen. Jeg synes, der skal lægges mere vægt på den reelle forståelse af et givent resultat. Alligevel mener jeg de 6 spørgsmål 6a) til 7d) er gode og relevante, og at vi bør fortsætte med at have sådanne spørgsmål med. Næsten alle de B-opgaver, jeg har rettet som 1. censor stammer fra samme skole, hvilket også er tydeligt i opgavernes udførelse - altså er der en væsentlig bias her i min vurdering. Jeg synes, eksamenssættet er ved at udvikle sig til at vi tester, om eleverne er gode til forskellige programmer, mere end om de har forståelse for (anvendelsen af) matematikken. De forskellige programmer har jo efterhånden blot én kommando, som skal tastes for at løse den pågældende opgave - eller lærerne udstyrer eleverne med færdigudviklede 'programmer'/filer, som kan regne opgaverne. Er det dét, vi vil med faget? I stedet for de samme Excel-filer så kunne man måske lave det sådan, at eleverne får forskellige datasæt/data bliver genereret af eleven selv, så man kunne minimere snyd. Opgave 7 d): Måske kunne man i opgaveteksten kræve, at eleven skal præsentere og fortolke sine svar. Så undgår man måske, at eleven ikke kun opremser sine resultater fra spørgsmål a), b) og c). for mange IT-opgaver efterhånden og for lidt 'rigtig matematik' 14

15 Censorernes besvarelse af Typiske positive sider (for matematik A): Mange af opgaverne kan næsten alle elever få point i. Eksempelvis 12Aa, 10a, Eleverne er rigtig gode til at bruge CAS til at finde de rigtige svar! Opgaver der er gået særlig godt: 1,2,7c,12Aa, 12B Eleverne er gode til at bruge hjørneinspektion i opgave5. Eleverne er gode til at finde konfidensinterval for hældningen af regressionslinjen i opgave 7 De fleste af eleverne har styr på deres It, og generelt god struktur i opgaverne. De er blevet meget bedre til at forholde sig deres It værktøjer. Godt sæt Ofte gode forklaringer ved brug af CAS Prøver flere forskellige løsningsmetoder. Er blevet bedre til prøven uden hjælp. Kan en masse it. Gode besvarelser på delen uden hjælpemidler. Omfattende og fornuftig brug af it-værktøjer Fleste klarer standardopgaverne fint. Gode til CAS og til den anvendelsesorienterede del. Eleverne havde godt styr på 6A denne gang. Jeg har kun 7 opgaver så det er vanskeligt at generalisere. CAS væktøj for disse har voldt problemer - der er tale om gratisprogrammer, som eleverne har svært ved at navigere i Aflæsning eller beregning: Opgaverne efterlader ikke eleverne i tvivl om, hvorvidt resultater skal aflæses eller beregnes evt. ved hjælp af CAS. Eneste undtagelse er finansopgaven i opgave 12B. De første tre opgaver i delprøve 1 er generelt klaret fint. Eleverne har generelt godt styr på den grafiske præsentation af pakkernes vægt og bestemmelse af tre statistiske deskriptorer i opg. 7. De fleste er gode til Excel og tegner pæne grafer i CAS-værktøjet. Til gengæld mister flere elever nogle 'lette' point i 8(b) ang. markering af de fundne løsninger på grafen. Afhængig af CAS-værktøj kan dette være let eller svært og virker måske lidt unødvendigt, når eleverne som regel i forvejen gør brug af grafen til at hjælpe med besvarelsen af 8(a). Det er også lettere at afmærke et nulpunkt eller et ekstremum end f.eks. fortegnsvariation og monotoniforhold. (I 'gamle dage' lavede man jo typisk en funktionsanalyse for at få en idé om grafens udseende, men nu vil man jo altid starte med at tegne grafen - så jeg synes ikke, at delspmg. b er særlig relevant længere.) De fleste har pænt styr på xy-plot og lineær regression i 10(a) De valgfrie opgaver er generelt besvaret meget fornuftigt. Eleverne bruger CAS-værktøjet meget, og kan som regel også bruge det rigtigt. Differentiering i opgave 1 går godt for de fleste. Opgave 12Aa og 12Ca klarer (næsten) alle elever uden problemer. Opgaver med elementer af funktionsanalyse er typisk løst fornuftigt. Alle kan efterhånden lave en pivot-tabel. Rigtig mange får brugt begrebs apparatet fint i opgave 6a Flere elever ser tydeligt sammenhængen i de enkelte opgaver og formulerer sig klart matematisk og sprogligt om resultaterne. Eleverne er gennemgående blevet noget bedre - i forhold til sidste år - til at forklare deres resultater, ved for det meste at 'klippe ind' fra forskellige værktøjer, og også ved at 'gentage' dvs. forklare de tal/størrelser som vi 'jo kan se' i deres indklip. Fint! Generelt gode hjælpemiddelskompetencer indbefattende CAS og regneark. Gode korte kommentarer/konklusioner når de laves gode til at anvende cas 15

16 Censorernes besvarelse af Typiske fejl eller mangler (for matematik A): For dårlige kommentarer i opgave 6 b), glemmer forklaring af betydningen af deskriptorerne i opgave 7 c), tror at vendetangenten er lig med x-værdien i opgave 8 a). Tankegangen fremstår ikke klart og tydeligt ved mange. Ofte er det indtastet i et CAS program, men fortolkningen og den matematiske forklaring glemmes ofte. Mange opgaver kan kun løses ved hjælp af CAS. Lav en grafisk præsentation ender ofte ud i manglende enheder på akserne, angivelse af hvilken type grafisk beskrivelse m.m. Til gengæld kan alle lave et søjlediagram / pindediagram i et CAS værktøj. Eleverne er meget dårlige til at dokumentere brugen af CAS. Supermange opgavebesvarelse er kun en kommando og et output fra programmet. Ingen metodeforklaring eller konklusion. Eleverne er dårlige til at forstå de resultater de kommer frem til. Opgaver, der går særlig dårligt: 9a,9c,11c, 12C, 12Ab, 4, 7a, 6b Ikke en eneste elev har i opgave 4 skrevet at arealet er minus intergralet fra 0 til 1. Langt de fleste elever får et negativt tal, og skriver at 'så må arealet være 2'. Der er faktisk også mange der påstår at arealet er negativt!! Meget få elever kan argumentere fyldelstgørende for ekstrema. Næsten alle mener at det er nok at løse f'(x)=0. Meget få elever kan argumentere fyldelstgørende for maksimumspunkt i lineær og kvadratisk programmering. (ingen bruger to niveaukurver) Typisk mangel, ud over det indlysende i at man ikke kan en opgave, er at en del stadigvæk bare aflevere et skærmbillede til besvarelse. De markere ikke hvilke resultater de vil evalueres på. Mange af svært ved tolkningen af khi2 testen, de laver testen rigtigt, forkaster rigtigt men skriver så 'at der er usammenhæng' så de har ikke fanget den, selv om It hjælper. Der er genrelt problemer med at illustrere statistik. fx 100 observation som pindediagram eller at vise en sumkurve men uden at bruge den til noget som helst. klammer vender forkert i opg. 3 en del bruger formel 200 i stedet for formel 201 i opg. 4 mangler beskrivelsen i opg. 7c en del viser ikke hvordan de enkelte grupper ser ud i opg.7b opgave 6A: Problematisk med sammenblanding af store og små bogstaver i fht. CASværktøjerne Får desværre ikke forklaret tilstrækkeligt. Bruger cas 'for meget' uden at forklare. Der sjuskes med informationerne omkring it-anvendelsen. Aksebetegnelser, facits. Differentialligningen var der flere, der ikke kunne løse. Jeg godt godt ønske mig, at eleverne var lidt mere sikkre i algebraen på A-niveau. Mange får eksempelvis få point i opgave 6b. Brug af CAS giver uheldige, dårlige og til dels misvisende udskrifter 7b) Mange uhensigtsmæssige valg af diagram. 9a) Mange løser ikke differentialligningsspørgsmålet korrekt. 6B er stadig ikke overbevisende. Opg. 9 (differentialligningen) er generelt der, hvor eleverne var svagest. Alt for facitorienteret - mange skriver ikke oplysninger op men går til beregning/svar Opgave 6B med ligningsforkalring - generelt meget mangelfuld. Mange ser blot på løsningen og fortæller hvad de kan se - ikke matematikken der ligger bag Opgave 8: Mange elever bytter om på spørgsmål a) og b): De tegner først grafen for f med et CAS-værktøj og bestemmer derefter 2 analysepunkterved hjælp heraf. Mange har problemer med arealet i opg. 4 uden hjælpemidler. Rigtig mange har ikke kunnet besvare spørgsmålet om differentialligningen i 9(a). Opgave 9 er den opgave, hvor der er klart størst forskel på pointene klasserne imellem. Konfidensintervallet i opg. 10(b) er (næsten) enten 0 eller 5 point - og mange får 0. Mangler generelt aksetitler. I opgave 7 c) angives blot deskriptorer, mangler beskrivelse. I opgave 8 a) mangler generelt metode/tankegang også selv om de bare beskriver ud fra grafisk aflæsning. I opgave 11 b) mangler mange en begrundelse for at det er en ellipse. I opgave 11 c) undlades ofte at begrunde at maksimum findes i centrum. Der mangler begrundelser for det eleverne gør. F.eks. i opgave 3 kontrolleres at x=8 giver 0 og så konkluderes, at DB(x) er positivt i intervallet [1 16

17 Forklarende ledsagetekst er ofte ufuldstændig og mangelfuld. Forklaringsopgaven 6b ofte mangelfuldt løst. Et flertal af elever har meget svært ved differentialligninger. Et flertal har således ikke løst opgave 9b. Ingen elever har løst opgave 10b korrekt. Eleverne producerer resultater som viser at de intet har forstået Rigtig mange får ikke defineret de variable, hvilket bør være en selvfølge når der er tale om anvendelsesopgaver. Det kniber også ofte med skreven tekst i forbindelse med klip fra Casværktøj Glemmer at angive, hvad der vises på akserne i et diagram. Enheder glemmes - f.eks i opgave 3 skriver flere 0 til 8 (i stedet for i intervallet ]0,800[ stk.) Anvendelse af ln til løsning af eksponentialligninger, hvor i den naturlige eksponentialfunktion indgår, er der flere elever, der ikke behersker. CAS-opgaven 6a) medfører mange tastefejl og deraf følgende forskellige resultater. - Forklaringsopgaven 6b) er svært for langt de fleste. - Samme gælder for B-opgaven. Store mangler i argumentation, dokumentation og udarbejdelse af fyldestgørende plots og diagrammer. Problemer med fortolkning af E+06 i Opg 10a Savner at alle konkluderer kort på opgaverne svage kommentarer ved anvendelse af cas 17

18 Censorernes besvarelse af Andre kommentarer/bemærkninger (matematik A): Problem i opgave 6 a): nogle CAS-værktøjer skelner ikke mellem små og store bogstaver hvilket giver et problem med løsningen. Opgave 6a - problematisk at både små og store bogstaver optræder. Ikke alle CAS værktøjer kan behandle forskel på små og store bogstaver. Specielt forskellen på forskellige CAS værktøjer viser klart og tydeligt mange elevers manglende matematiske fortolkning. Jeg synes at man fremadrettet skal understrege vigtigheden af at dokumentere faglig metode, især når der anvendes CAS. Jeg er helt med på vi er et handelsgymnasium, men specielt på mat A finder jeg det problematisk vi er så redskabsagtige som vi er. Anvendelse er fint, men vi bør nu også huske at faget har sit eget fakultet. En opgavetype som 6A mener jeg ikke skal med mere. Den var jo tydeligvis med fra starten for at undersge, om alle brugte CAS. Det gjorde alle så nok ikke første år, men det gør alle jo da givetvis nu. Så derfor væk med denne opgavetype og test for CAS i andre sammenhænge. Jeg synes A-opgaven de senere år er blevet noget sværere og mere omfangsrig end tidligere, men det er måske bevidst. A-opgaven virker temmelig 'bøvlet' og i hvert fald meget sværere end B-opgaven opg. 8: sammensat funktion med en irrationel funktion er vel stof sådan lidt ude i periferien, selv om jeg vil medgive at nulpunkter/fortegn lige skulle være til at klare Opg 7: Der bør også bruges standardafvigelse i sammenhæng med benævnelsen spredning. I vejledningen står der standardafvigelse (spredning) opg 10: lad være med at bruge 'x' som overskrift i tabellen til år. Hvis man bruger 'x' i Nspire giver det problemer, for så opfattes 'x' som en liste opg 12B: Det er uhensigtsmæssig at bruge den midterste ydelse til at bestemme restgælden udfra. Bruger man at bestemme restgælden som nutidsværdien af de manglende ydelser kan man ikke se om der rent faktisk er brugt de manglende ydelser eller de antal der er betalt Et fint og reelt sæt Kvadratisk programmering forsvinder i it-løsninger, som læreren har lavet. Det gælder i øvrigt flere andre typer opgaver, f.eks. uafhængighedstest. Optimeringsopgaven opg 11 b bevarede flere udelukkende under henvisning til fortegn og størrelse af koefficienter til de kvadratiske led? Der anvendes ofte hjørneinspektioner, og så er opgaven lille! Det ses ofte, at besvarelsen af opg 12A er en skabelon lavet af læreren, hvor man alene behøver udskifte en p-værdi! Jeg mener ikke at opgave 10b) og 10c) burde være stillet. De giver ikke meningen at lave konfidensintervaller for noget, som ikke er en stikprøve. Jeg har ikke undervist på A-niveau endnu (får endelig et hold i år - juhuuu), så jeg kan ikke tage stilling til niveauet og omfanget. Jeg har kun rettet ét A-sæt, og de har klaret sig fint. HVIS eleverne vil besvare opgaven optimalt kan de let komme i tidsnød. Vi ser gerne opgaven præsenteres, formler skrives op og der forkalres undervejs. Mange afleverer MANGE sider Udmærket sæt Samme kommentar som jeg skrev til B-sættet: Bilag i delprøve 2 bør af praktiske årsager fremover undgås. Bruge af CAS er i visse klasser katastrofalt for forståelsen Jeg har set klasser hvor man skulle tro læreren havde udleveret Maple og derefter forladt eleverne resten af skoleåret! Det varierer meget fra hold til hold, i hvilken grad 'eksaminantens tankegang klart fremgår af besvarelsen'. Ofte er der blot udregninger udført med CAS værktøj UDEN tilhørende forklaringer og konklusioner. En fin og afbalanceret eksamensopgave, som kommer omkring de fleste emner! - Også de 3 helt forskellige 'tilbud' i den valgfrie opgave 12 er positive. 18

19 Vejledning til udvalgte opgaver På de efterfølgende sider ses en vejledning til en elevbesvarelse af udvalgte opgaver. Det er ting vi diskuterer på censormødet, så nu medtages det også her i evalueringsrapporten. Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen af udbudspris. Eleven skal kort præsentere, hvad der skal besvares i dette spørgsmål og begrunde valg af diagram. Der skal titler på akserne. Der vælges et histogram med en intervalbredde på , da dette giver en overskuelig præsentation.. Histogrammet vælges, fordi der er mange forskellige observationer. b) Forskellige deskriptorer til at beskrive fordelingen af udbudspris: En hjælp for eleverne kan være, at eleven kort begrunder sine valg af deskriptorer. Det er ikke en mangel, såfremt eleven ikke gør dette. Det er vigtigt, at eleven ikke blot giver et print af samtlige deskriptorer. Af deskriptorer vælges typeinterval, gennemsnit og kvartilsæt. Typeintervallet for at se i hvilket interval der er flest huse til salg, gennemsnittet fordi den gennemsnitlige udbudspris er interessant og kvartilsættet for at få en vurdering af forskellen i priserne. Typeintervallet aflæses på histogrammet som det interval med størst frekvens. Det ses, at det er intervallet [ ; ]. 19

20 Gennemsnittet findes i Nspire under statistiske beregninger som x. Og kvartilsættet bestemmes som Q1, Med og Q3 også under statistiske beregninger: Det fremgår af ovenstående, at gennemsnittet er kr. 1.kvartil er kr. Medianen er kr. og 3.kvartil er kr. c) xy-plot og lineær regression af U( x) a x b. Det er vigtigt, at der er titler på akserne. Det er i orden, at lave plot såvel som regressionslinje i samme koordinatsystem, men det er vigtigt, at forskriften for regressionslinjen angives i teksten. xy-plottet laves i Nspire, hvor størrelse er x og udbudspris er y : 20

21 Den lineære regression bestemmes ligeledes i Nspire: Vi ser, at m i Nspire regressionen svarer til a i u(x) dvs. hældningstallet og b svarer til b. Forskriften er U ( x) 14395,3 x , 65 d) Indlæg til boligsiden: Eleverne skal beskrive resultaterne af besvarelserne af spørgsmålene a), b) og c) i et sprog, som ikke nødvendigvis kræver matematisk forståelse. Det er vigtigt, at eleverne ikke tolker som f.eks. Der er mange dyre fritidshuse. Eleven skal ej heller gætte på sammenhænge og forklaringer. Eksempelvis: Nogle af fritidshusene er dyre, fordi de nok ligger tæt på stranden. Det er vigtigt, at besvarelsen af alle spørgsmålene inddrages i d), hvor det er i orden også at inddrage andre deskriptorer end de 3 valgte deskriptorer. Indlægget skal være en sammenhængende tekst i hele sætninger. Jeg har kigget på 100 fritidshuse udbudt på Rømø, hvor størrelsen og udbudspriserne på husene er givet. Den grafiske præsentation af husenes udbudspriser viser, at priserne varierer fra ca kr. til kr., og at de fleste huse har en udbudspris under kr. Den gennemsnitlige udbudspris på de 100 huse er kr. 25% af husene koster højst Halvdelen af husene koster højst kr. og 75% af husene koster højst kr. I intervallet mellem og kr. er der udbudt 14 huse ud af de 100. Dette prisinterval er det mest almindelige. Der er en sammenhæng mellem størrelse og udbudspris. I gennemsnit stiger udbudsprisen med kr. pr. kvadratmeter. Der er dog variationer, således at nogle store huse ikke kan holde kvadratmeterprisen, mens mindre huse har en højere kvadratmeterpris end den gennemsnitlige. (Forklaringsgraden på den lineære sammenhæng mellem størrelse og pris er ca. 57%). 21

22 Opgave 9 En virksomheds omsætning og omkostninger er beskrevet ved to funktioner givet ved forskrifterne hvor R er omsætningen i mio. kr., C er omkostningerne i mio. kr. og x er afsætningen i ton. Begge funktioner er begrænset af definitionsmængden i intervallet [0;30]. a) Gør rede for, at overskuddet P kan beskrives ved den oplyste funktion, og bestem overskuddet ved en afsætning på 12 ton. Det er vigtigt, at der kommenteres på fremgangsmåden i CAS-værktøj, og at der konkluderes på det enkelte spørgsmål. Da funktionerne er defineret i maple kan de blot trækkes fra hinanden, dermed fås forskriften for overskuddet P, som er defineret i intervallet [0;30]. = = hvilket betyder, at en afsætning på 12 ton giver virksomheden et overskud på mio. kr. b) Den afsætning, der giver maksimalt overskud skal bestemmes. Der er flere fremgangsmåder, der er acceptable til bestemmelse af, om der er ekstrema. Der skal argumenteres fyldestgørende. Til bestemmelse af mulige ekstrema løses ligningen. = Da definitionsmængden er begrænset i intervallet [0;30], forkastes løsningen x=

23 På baggrund af graf for P og beregningen kan det konkluderes, at der eksisterer maksimalt punkt for x= Dette betyder, at en afsætning på ton giver virksomheden maksimalt overskud. Opgave 10 a) Konstruktion af skema: Det er underordnet om rækker og søjler er byttet om. Det er ikke nødvendigt at eleven forklarer tekniske detaljer om hvorledes data er talt op. Epinion har lavet en undersøgelse for Rejsekort A/S hvor de har stillet spørgsmålet: Vil du anbefale rejsekortet til andre? Data ligger i en fil i excel og de er talt op ved hjælp af knappen "pivottabel" Så fås skemaet Det betyder at der f.eks er 323 fra hovedstadsområdet der har svaret Ja på spørgsmålet. b) For at undersøge om der er en sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og hvilken landsdel de kommer fra opstilles en nulhypotese. Det er vigtigt at eleven altid formulerer en nulhypotese og en alternativ hypotese i henhold til opgavens kontekst. Det er vigtigt at eleven i teksten fremhæver nøgletal fra CAS-værktøjet. Eleven bør undersøge størrelsen af de forventede værdier. I tilfælde af at nulhypotesen forkastes bør eleven kommentere på bidragene til teststørrelsen. - der er uafhængighed mellem svaret på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. - der er ikke uafhængighed mellem svaret på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. 23

24 Hypotesen testes vha et chi-i-anden-test og forudsætningerne for at bruge testet er at de forventede værdier er større end 5. = Det er de, så testet kan udføres Det ses at chi-i-anden-teststørrelsen på er meget større end den kritiske værdi på Derfor forkaster vi vores nulhypotese og konkluderer dermed et der er en sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. Hvis vi ønsker at undersøge hvilke svar der bidrager mest til chi-i-anden-teststørrelsen udregnes bidragene: = 24

25 Som det ses er det især er Nordjyderne der ikke svarer nej så ofte som forventet. Opgave 11C Lad x betegne antal campinghytter og lad y betegne antal pladser til campingvogne. a) Forskriften for kriteriefunktionen f skal bestemmes. Dækningsbidraget er 800 kr. pr. dag for en campinghytte og 140 kr. pr. dag for en plads til en campingsvogn. Det samlede daglige dækningsbidrag er derfor bestemt ved funktionen b) Bestemmelse af punkt med størst muligt dækningsbidrag. Metodeforklaring i lineær programmering er vigtig: Hvis man anvender niveaulinjer skal der bruges mere end én for at finde maksimum. Hvis der laves hjørneinspektion skal alle punkter undersøges. Man skal gøre rede for bestemmelsen af punkterne. Begrænsningerne for anlæggelse af campingpladsen kan beskrives ved Da der ikke kan laves en negativt antal pladser, så tilføjes begrænsningen Disse begræsninger definerer et polygonområde. Dette tegnes i mit CAS-værktøj, sammen med niveaulinjerne N(50000) og N(65000) for kriteriefunktionen f Begrænsningslinjerne får farverne rød, blå og grøn 25

26 Det ses at niveauet vokser i pilens retning og at der derfor er maksimum i skæringen imellem den blå og den røde linje. Dette skæringspunkt bestemmes i CAS-værktøjet Det optimale punkt er. Der skal derfor anlægges 75 campinghytter og 100 pladser til campingvogne for at dækningsbidraget bliver størst muligt. = 26