En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud"

Transkript

1 En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk biologi er en værfaglig disciplin, hvor maemaiske meoder benyes il via modellering a bearbejde biologiske problemsillinger. I o arikler nr. vil blive brag i næse nmmer vil vi fremsille e eksempel på e sådan samarbejde, som i sin middelbare fremsilling ligger dover gymnasies kernesof, men som maemaisk alligevel kan behandles med begreber og værkøjer, der er ilgængelig i kernesoffe fra A-nivea og måske også brges på -nivea, sam danne grndlag for faglige samspil med biologi, herndediereningsopgave og -projek. Hisorisk baggrnd I New rnswick, en af Canadas øsligse provinser, regisrerede man i 177, 186, 1878, 191 og 1949 voldsomme dbrd af sværmeren Sprce dworm, hvis larve spiser nåle fra granræer. Særlig hår går de dover ræer af aren balsamgran (i ædelgran-slægen). I normalilsanden findes der ca. 5 larver i e ræ, men ved dbrd vokser besanden på ca. fire år il larver pr. ræ og i de følgende par år il.. Herefer falder besanden over en årrække ilbage il normalbesanden og eferlader hovedparen af de fldvoksne balsamgranræer døde. Sådanne dbrd havde i eferkrigsiden sore økonomiske konsekvenser for New rnswick, hvor % af indkomserne kom fra ræ il avispapirprodk ion. Derfor blev der inens arbejde på a hånere disse dbrd, bl.a. ved a sprøje med gif. Denne løsning blev dog også i sig selv mege dyr. For a dvikle økonomisk renable sraegier, måe der maemaiske modeller på banen. Årsallene indikerer en forholdsvis fas cykls for dbrd med 35 4 års mellemrm, ide vi gæer på, a e dbrd i saren af 184 erne enen ikke er bleve regisrere eller er bleve forhindre af særlige forhold, fx en skovbrand. En model il a begribe denne dynamik blev dvikle af en grppe økologer, daaloger og maemaikere. Modellen dele skoven ind i 393 områder, som hver blev beskreve med 78 ilsandsvariable. Alså en model med i al variable. En sådan model evær overskelig og kræver enorm comperkraf (især på idspnke i slningen af 197 erne). re, hvorfor Sprce dworm dvikleig i epidemiske cykler, sam hvorfor disse svinger med en periode på ca. 35 år. Opsilling af model De re dvalge variable i Ldwigs model er: : dworm densieen mål i larver pr. landareal. S: Larvernes leverm mål i grenoverfladeareal pr. landareal. E: Larvernes energireserve, dvs. ilgængelighed af mad/energi mål på skala fra il 1. Esseniel for analysen bliver de, a variablen karakeriseres som hrig, mens S og E karakeriseres som langsomme, fordi larvedensieen ændreig hrigere og mere inensiv end deres leverm og energireserver. Førse skri i Ldwigs analyse som vi vil holde os il i denne arikel er a ndersøge den hrige variabels opførsel, når de langsomme holdes konsane. Som dgangspnk for bdworm densieen lægges en klassisk logisisk væks 1) : d = r K Her dgør parameeren r væksraen, når poplaionen vokser nder ideelle beingelser dvs. eksponeniel som ( ) = er. Parameeren K dgøysemes bærekapacie, alså en maksimal grænse for poplaionens sørrelse i de konkree omgivelser. Med ideelle væksbeingelser forsås således. Væksparameeren r kan forolkes som differensen mellem fødselsraen og dødsraen for Sprce dworms, der får lov a dvikle sig isolere og ideel. I den virkelige verden er larverne imidlerid bye for rovdyr, især fgle. Fglenes appei på dwormlarver er imidlerid afhængig af, hvor ilgængelige disse larver er. Ved mege små larvepoplaioner kan rovdyr negligeres, men appeien anages a vokse med kvadrae på poplaio nen, dog således a denne når en mæningsgrad. Ldwig modellerer rovdyrenes foræringsrae med en såkal Holling Type III model: g( ) = β α + Fomå værdier får rykke formen g( ) = k, K En dag delog maemaikeren Donald Ldwig i e poplær ikke maemaisk foredrag om probleme og modellen. På den baggrnd opsillede han en lang simplere model, som indfanger den samme grndlæggende dynamik. I Ldwigs model opræder blo re variable. Modellen aber dermed en hel række af dealjer. Men hvad der abes i dealjere viden, vindes i videnskabelig indsig. Modellen kan fx simplere forkla- hvor k = β, alså kvadraisk væks. α 1) I den radiionelle formelsamling for gymnasie, har formlen formen y ' = ay( M y). Denne form er imidlerid ikke så anvendelsesorienere, fordi sørrelsen a ikke har en oplag forolkning. LMFK-blade 1/11 15

2 g(), 1,5 1,,5 Dynamikken i Holling Type III -rovdyrsmodellen Kvaliaiv analyse En kvaliaiv analyse af en differenialligning, som den her opsillede, handler i førse omgang om a korlægge sammenhængen mellem på den ene side sysemes paramere og på den anden side des ligevægspnker, sam hvorvi disse er sabile elleabile. Hvis disse begreber ligger dig fjern, har vi lave en kor gennemgang i e appendiks il sids. Vi ineresserer os n for, nder hvilke beingelser a d =. Vi indser nem a de gælder når: = eller r K = β α + 1, Figr 1 ovdyr repsons i Holling Type III model. De røde krver har β =, mens de blå har β = 1. De fase krver har α = 1 mens de siplede har α = 5. Foore værdier, bliver den konsan β. Parameeren β er alså mæningen dvs. de maksimale anal larver pr. landareal, som rovdyr forærer i løbe af en idsenhed. Parameeren α angiver, hvor hrig mæningen nås, ide der gælder, a Den førse beingelse er oplag rigig. Hvis poplaionen er, må vækshasigheden også være og dermed er der ale om e ligevægspnk. For den anden beingelse bemærker vi, a fire paramere er en sor mndfld a analysere. Derfor laver vi en række sbsieringer: 1) = a ) = α r β og 3) Q K = a Implemeneres disse i rykke fås følgende simplere dgave ) : Q = 1+ g( α) = 1 β. Jo sørre værdier for α, jo langsommere nås mæningen. Se figr 1 for en grafisk fremsilling af dynamikken. Hasigheden af larvernes dvikling fås da som differencen mellem de logisiske bidrag og g(): d = r K β α + De fire indgående paramere, r, K, α og β kan i den flde redimensionelle model afhænge af de o andre variable S og E. I den endimensionelle model vil vi blo se på o relevane sammenhænge: K = K S og a = a 1 S Den førse kan begrndes med, a bærekapacieen må vokse med larvens leverm. Ligeledes vil e voksende leverm øge spredningen af larver og dermed sløve rovdyrenes adgang il bye, hvilke kommer il ryk i voksende værdier for α. I opsillingen af modellen ser vi bor fra disse sammenhænge, da vi anager a S og E er konsane, men i analysen af modellen får de alligevel beydning. Figr 3 + Q 1 Q Skæring for fas og varierende Q-værdier. 1 ) r 1 K K = β = α + = α β β α α + α α Q = 1+ β = α 1+ Figr 3 Skæringer for fas sor Q og varierende. 16 LMFK-blade 1/11

3 c + + Figr 4a Sabilie for < Figr 4b Sabilie for < < + Figr 4c Sabilie for > + De er n sørrelserne og Q, der er afgørende foysemes dynamik. Når en ng skov vokser frem, vil dee maemaisk være repræsenere ved, a variablen S vokser. Sørrelsen af S vil klminere kor efer dbrddes sar og være falde il e minimm ved des afslning. I løbe af denne cykls vil Q forblive konsan med værdien K a 1, mens vil ændre sig proporional med S. Den kvaliaive analyse handler n om a ndersøge, hvordan ligevægspnkerne for larvebesanden afhænger af forandring i. En simpel måde a analysere dee på, er a ploe hhv. højre og vensre ryk i ovensående ligning. Urykke il vensre er oplag en re linje, som skærer y aksen i værdien og x aksen i værdien Q. Urykke il højre er en krve der ikke afhænger af og Q. Ligevægspnkerne vil findes der, hvor de o krvekærer hinanden. Af figr ses de, a fomå værdier af Q kan kn findes é ligevægspnk og foore værdier, kan der findes op il re. De vil senere vise sig, a Q har værdier, der eore nok il, a de er nok a ndersøge ilfælde foore Q. Her vil der opså 5 kvaliaiv forskellige siaioner, som vis på figr 3. Specifik for = og = + opsår en særlig siaion med o ligevægspnker. For værdier mellem og + findes re ligevægspnker, mens der i de øvrige ilfælde findes e enkel ligevægspnk. Vi kan d fra figr 3 se, a når er lille (dvs. skoven er ng), så er der é ligevægspnk. Nåkoven og dermed vokser, vil der nås e kriisk pnk med o ligevægspnker, hvorefer der bliver re ligevægspnker inil når værdien +. Herfra er igen é ligevægspnk. De cenrale er n a afgøre, hvilke af disse ligevægspnker, der eabile, og hvilke, der eabile. Til dee bemærkes, a når den blå linje haørre værdier end den røde krve, så er d posiiv, og dermed er og dermed voksende. Vi bevæger os alså il højre i koordinasyseme. Har den røde krve sørre værdier end den blå linje, er de omven. Denne dynamik kan markeres med pile som på figr 4a, 4b og 4c. De viser, a yderliggende ligevægspnker eabile, mens e mellemliggende eabil. Vi kan n få en idé om, hvordan dynamikken i syseme er. Så længe dvikleig passende langsom, vil og dermed hele iden søge mod e sabil ligevægspnk. For den nge skov er - og () vil dermed søge mod. Når vokser, flyer sig en lille smle, men grndlæggende forbliver besanden lille. Når passerer forbliver sabil, og poplaionen vil derfor forsa ligge omkring dee ligevægspnk. Men når på e idspnk passerer +, så er + enese ligevægspnk og poplaionen vil vokse il den når denne værdi. Herefer vil begynde a falde igen, fordi den sore poplaion af larver dræber de voksne ræer. Når er falde il nder + vil imidlerid forsa søge mod ligevægspnke +, som kn falder langsom med. Når er falde il nder vil imidlerid igen være enese ligevægspnk, og poplaionen vil falde drasisk il de ilhørende lave nivea. De kvaliaive overvejelser viser alså, a der findes o kriiske pnker for ræbesandens sørrelse, dvs. larvens leverm, S. De ene nås af den nge skov, der vokser op. Pnke nås re sen, men når de nås, vokser larvebesanden pldselig il en markan sørre sørrelse. Omven vil der være e kriisk pnk for den døende skov, mindre end de kriiske pnk for den fremvoksende, hvor larvebesanden vil redceres markan ilbage il en dvale -æhed. De er eksisensen af disse o kriiske pnker, som forklarer besandens pldselige fremvæks, dens enorm effekive hærgen og dens pldselige ilbagefald il dens minimale nivea. Den maemaiske analyse kan gøres mere sringen end den her er fremsille. Man kan for de førse søge mere sysemaisk efeammenhængen mellem og Q og anal ligevægspnker. Krierie for a der er neop o ligevægspnker er, a der findes e pnk, hvor den blå linje er angen il den røde krve 3). Dee leder frem il følgende parameerfremsilling: 3 3 ( Q, ) =, 1 1+ ( ) Parameerkrven ses i figr 5, hvoraf en række spændende oplysninger kan vrides d. Eksempelvis skal gælde Q > 5, for a der er re ligevægspnker. Vi vælger n a fiksere Q på en værdi over 5,. Vi er da ineresserede i a afbillede de værdieom for en given værdi er ligevægspnker. Vi omskriver: 3) Lad f ( ) = ( 1 ) og g( ) = Q 1 + f ( ) = g( ) og f '( ) = g '( ).. da er krierierne: LMFK-blade 1/11 17

4 , Q Figr 5 Q-værdier for Î [1,6;1]. Krven sarer il højre vokser il pnke (5, ;,65) og falder derefer mod. 1,,8,6,4, A E ligevægspnk (5, ;,65) = 3 1/ 1 + E ligevægspnk D Tre ligevægspnker + Figr 6 Larvepoplaionen gennemløber e såkal hyserese-loop. C Q = 1+ = 1+ 1 ( ) Q Vi ploer n dee ryk i e (, ) koordinasysem. På figr 6, hvor vi har valg Q = 9, ses, a fomå værdier er kn én ilhørende værdi, mellem værdierne og + er re, og for > + er der igen kn én. For langsomme signinger i værdien, vil værdierne følge denne krve (de blå pile) på sykke A il. Derefer vil værdierne pldselig ligge lang fra ligevæg og vokse sejl op mod den nye ligevæg. Når denne nås, vil igen følge krven inil de maksimale pnk C. Hvis værdierne derefeænkes, følges krven (de røde pile) il pnke D, hvorefeyseme igen ryger d af ligevæg og falder, il de igen rammer krven og følger denne ilbage il pnke A, som repræsenerer den minimale larvepoplaion. På figr 7 ses de, hvordan formen på krven afhænger af værdien af Q. Den enkele krve er afbillede over domæne Î [,3; Q 1]. Dermed eysemes opførsel afdække kvaliaiv. Nmerisk analyse Den kvaliaive analyse kan ikke give os svar på, hvor hrig de beskrevne dviklinger fakisk går. Derfor må der ages nmeriske meoder i brg. De kræver a vi benyer værdier for de indgående paramere, r, K = K S, α = α 1 S og β. For a esimere en værdi af S, brges en bærekapacie for de samlede leverm kalde K S. Vi rykker S som en andel r S af denne bærekapacie. Som nmerisk meode benyes Elers meode, hvor man d fra en sarværdi beregner løsningskrven skri fokri ved a sige, a den i e værdi af er give som d = + ( ) i i 1 i 1 På figr 8 er vis, hvordan dee kan se d i Excell (med Ldwigs empiribaserede parameerværdier). Q = 9 Q = 6 Q = 5, I cellen A angives sariden, i cellen sarlarvedensieen. I cellen C3 beregnes med den opsillede differenialligning, den il sarværdierne hørende værdi af d. I Excel noaion: =F$**(1-/M$)-I$*^/(N$^+^) Q = 4 Figr 7 Krver for ligevægspnker ved varierende -værdier for fire forskellige fase Q-værdier. I cellen A3 beregnes næse idsværdi med =A+E$ og i 3 næse larvedensie med =+C*E$. C3 fremkommer ved a kopiere C. Og derefer fremkommeamlige rækker ved a kopiere række 3. Den fremkomne graf er basere på 1 rækker. For nemheds skyld er der i cellen O angive, hvor poplaionen sler, da dee angiver den opnåede ligevægsværdi. Denne Excel opsæning giver rig anledning il a eksperimenere med variaioner. Som dgangspnk er de isæarværdien i celle og sørrelsen på levermme angive i K, der er de mes ineressane paramere a jsere på. I figr 9a og 9b 18 LMFK-blade 1/11

5 Figr 8 En opsæning i Excell, der kan simlere Sprce dworm dbrd. ses krverne for () når () = 5 og r S varieres. De ses, a springe fra r S =,5 il r S =,6 har en radikal effek. I figr 9a ligger ligevægen i inervalle 5 1. Ligevægen nås inden for ca. 5 år. På figr 9b ligger ligevægen i inervalle 5 8,5 millioner. De virkelig sore spring kommer førs efer 5 1 år, men er oversåe på nder 5 år. Der er mege brede mligheder for a ndersøge kvaniaiv videre. De ses, a for r S =,5 opnås ligevægen på ca Dee er alså poplaionen, når dbrdde opsår. Vælger vi denne sarværdi for larvedensieen og r S =,6, kan man se e go bd på krven for e dbrd på figr 1. Udbrdde sarer efer 5 år og på 5 år vokser æheden il ca. 5 millioner. Herefer kan man sæe sardensieen il 5 millioner og ndersøge konsekvensen af fald i værdien af r S. En analyse vil vise, a densieen forbliver sor (ca. 6.) frem il r S =,134, mens densieen kollapser for r S =,133 og falder il ca. 5, se figr 11. Didakiske poiner Vores væsenligse didakiske poine med dee eksempel er a vise, a maemaik fakisk kan delage akiv i løsningen af biologiske problemer. De er alså ikke nødvendig a konsrere eksempler knsig, når n der i den virkelige forskningslierar findes nogle, som er mege brgbare. Ovensående kan brges i såvel e ren maemaikforløb om modellering, såvel som i e samspil med biologi, hvor økologisk eori om poplaioner bør knne inddrages fra biologis side. en maemaisk er de endvidere en poine i dee eksempel, a selv maemaik deer komplicere d i forhold il de normale indhold i gymnasie, kan analyseres med de begreber og værkøjer man finder i kernesoffe. Her er de ikke minds brgen af differenialkvoiener og grafiske afbildninger, der spiller en væsenlig rolle. Der er alså ikke ale om noge, der ren eknisk ligger den for kernesoffe, men snarer om nogle aspeker og anvendelser, som ligger dover de normale. () =,5 =, () 4 = 1, =,9 =,8 =,7 =,6 4 =,3 =, =, Figr 9a Krven for () ved små r S -værdier Figr 9b Krven for () ved sore r S -værdier. LMFK-blade 1/11 19

6 Endelig mener vi, a eksemple kan brges som en god inrodkion il syrken i modellering med differenialligninger ja, fakisk er de nok a kende il begrebe differenialkvoien. Der kan sares i de simple eksponenielle modeller, der kan dbygges il logisiske og derpå kompliceres yderligere. En særskil poine her er, a selv mege komplicerede differenialligninger kan analyseres kvaliaiv og nmerisk med for eleverne ilgængelige begreber og værkøjer. Man behøver alså ikke lade sig afgrænse il dem, der findes i formelsamlingen. Vi vil dog anbefale, a man lader eleverne programmere den nmeriske algorime (fx i Excel), så de får fornemmelsen af meodens arbejdsgang, frem for a brge programmer, hvor ligningen blo ases ind i en black box. Den sidse poine ladeig i øvrig overføre il også a knne behandle sysemer af differenialligninger. Vi vil derfor følge denne arikel op med yderligere en om modellering af Sprce dworm-dbrd i re dimensioner, hvor også variablene S og E bliver inddrage dynamisk. Appendiks: egreber il analyse af differenialligninger Give en aonom differenialligning dy = F( y). Da er konsanfnkionen y() = k e ligevægspnk, hvorom de gæl- der, a F(k) =. En sådan konsan-fnkion er oplag en løsning il differenialligningen, fordi en y-væks på bevarer y ændre og dermed væksen F(y) ændre. Eksempel: dy y = ay y y K 1 K = = = Vi kalder derfor og K for ligevægspnker. Enydighedseoreme siger, a o løsningskrver ikke kan skære hinanden. Der er alså kn én løsningskrve il en given differenialligning, som kan gå gennem e give pnk. Ligevægspnkerne opdeler alså (, y) planen i områder, som andre løsninger må holde sig indenfor, se figr 1. () mio Figr 1 Krven for () hvis () = 13 og r S =, sl 1 8 4,1,15, Figr 11) Sl-værdier for () når () = Samidig er F(y) koniner. Derfokifer dy ikke foregn i de områder, der adskilles af ligevægsløsninger. Da negaive værdier for dy beyder, a krven afager og posiive a den vokser, vil enhver krve med sarværdi æ på K gå mod K. Ligevægspnke y = K siges derfor a være sabil. For ligevægspnke y = gælder, a krver med sar æ på vil bevæge sig væk fra, som derfoiges a være sabil. En differeniallignings opførsel kan alså karakeriseres kvaliaiv ved a besemme dens ligevægsløsningeam afklare, om disse eabile elleabile. y, 1,5 1,,5, -,5 () = () = 1 dy/ < () =,1 dy/ < dy/ > Figr 1 Logisisk væks med varierende sarbeingelse og paramerene a = 1 og K = 1. () = () = -1-5 eferencer Denne arikel ekreve med afsæ i følgende fire kilder, som på de varmese kan anbefales: Den originale arikel: Qaliaive Analysis of Insec Obreak Sysems: The Sprce dworm and Fores af Ldwig m.fl. i Jornal of Animal Ecology, 47, 1978 (s ). Den poplære ndervisningsreede inrodkion: Man in Compeiion wih he Sprce dworm, af Tchinsky, 1981 på forlage irkhäser (findes på oskilde Universiesbiblioek). Den moderne lærebogsfremsilling: Afsnie Sprce dworm Model, side 54-6 i Linda Allen s An inrodcion o Mahemaical iology, 6, Pearson Edcaion. En kor og le ndervisningsree inrodkion af Seve McKelvey på hp://solaf.ed/people/mckelvey/envision.dir/sprce.hml Der er ikke middelbar ilgængelig lierar om modellen på dansk. LMFK-blade 1/11

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRY=KDERWLQVN\UHDNWLRQ. Abstract

7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRY=KDERWLQVN\UHDNWLRQ. Abstract Absrac 7UDQVLHQWNDRVLHQOXNNHW%HORXVRYKDERWLQVN\UHDNWLRQ Ved hjælp af umerisk og maemaisk aalyse udersøges e model for e lukke Belousov-Zhaboisky reakio, som er e redo-reakio mellem broma og malosyre kaalysere

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7 GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER Slides il Makro 2, Forelæsning 9 31. okober 2005 Chaper 7 Hans Jørgen Whia-Jacobsen Ocober 26, 2005 De klassiske økonomer, Smih, Ricardo, Malhus m.fl.

Læs mere

Nye veje til at motivere og aktivere de unge på arbejdsmarkedet

Nye veje til at motivere og aktivere de unge på arbejdsmarkedet Nye veje il a moivere og akivere de unge på arbejdsmarkede Disposiion -Særlig ilreelag forløb for unge nyledige for Jobcener Næsved - Hvad skal der være fokus på se med vores øjne? - Nogle forslag.. Særlig

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Dansk pengeefterspørgsel

Dansk pengeefterspørgsel 45 Dansk pengeeferspørgsel 98 Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I den økonomiske lieraur har pengeeferspørgselsfunkioner ilrukke sig beydelig opmærksomhed. De skyldes

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Billige boliger er vejen frem

Billige boliger er vejen frem B A T BAT Side 4 Eksrem signing i byggebeskæfigelsen på 30.700 personer i løbe af blo e enkel kvaral. Side 6 Siden nyår er EU s nye forskningsbudge bleve åben for ansøgninger. Byggeforskning kan også ilgodeses

Læs mere

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i f r a i d é i l p r o j e k e n m e o d e i l n y æ n k n i n g o g p r o b l e m l ø s n i n g n o v a i s p r o c e s s e n i n d e h o l d e r... n n o v a p r e j e k Toolki & Mindhouse er o konsulenvirksomheder,

Læs mere

Maksimal strømning 1

Maksimal strømning 1 Makimal rømning 1 Srømningneærk E rømningneærk (eller blo e neærk) N beår af En æge, orienere graf G med ikke-negaie helallige kanæge, hor ægen af en kan e kalde kapacieen c(e) af e To ærlige knder, og

Læs mere

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1 Brugervejledning & insrukion MHC / Varenr. 57405 MHC /4 Varenr. 57407 MHC/0- INDHOLD.0 Beskrivelse.0 Insallaion 3.0 Programmering 4.0 Forskellige funkioner 4. Toggle hygrosa (MHC /) 4. -rins hygrosa (MHC

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator En ny mellemfrie holdbarhedindikaor Andrea Øergaard Iveren Danih aional Economic Agen Model, DEAM Peer Sephenen Danih aional Economic Agen Model, DEAM DEAM Arbejdpapir 03: Februar 03 Abrac Arbejdpapire

Læs mere

Modellove ved fysiske modelforsøg

Modellove ved fysiske modelforsøg DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac:

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning B A T k a r e l l e BAT Nr. 3 maj 2008 Bygningsarbejdernes idéer og opfindelser bliver ikke udnye ilsrækkelig i byggerie. De viser en rappor, som Teknologisk Insiu neop har lag sidse hånd på. Side 3 De

Læs mere

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Beskrivelse af forskningsprojek om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Michael Bergman og Peer Birch Sørensen Økonomisk Insiu, Københavns Universie Okober 202 Projekes baggrund og

Læs mere

Den effektive beskatning af opsparingsafkast i Danmark

Den effektive beskatning af opsparingsafkast i Danmark Den effekive beskning f opspringsfks i Dnmrk Jesper Gregers Lin De Økonomiske Råds Sekreri Lrs Hgen Pedersen De Økonomiske Råds Sekreri Peer Birch Sørensen Dnmrks Nionlbnk Working Pper 2010:5 Sekrerie

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere