Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling"

Gunnar Rasmussen
6 år siden
Visninger:

1 Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober f(n) = 1/(n + 1) f(n) n Populaionsfordobling Den generelle formel for eksponeniel væks Populaionsfordobling for hver idsskri: () = 2 = 1 2 Eksponeniel væks og henfald: () = R = 1 2 = 1 () () = 2 (+1) = R () () R > 1 R = 1 < R < R kaldes vækskonsanen (he growh consan)

2 Ligevæg år en befolkning ikke ændrer sig med id er den i ligevæg ved e ækvilibrium (equilibrium) ved e fixpunk (fixed poin) For R = 1 er en eksponeniel voksende befolkning i ligevæg Koncepe ligevæg er vigig: De afslører ofe hvordan befolkning kan udvikle sig på sig Eksempel (eksponeniel voksende befolkning): lim () = if R > 1 () if R = 1 if R < 1 Rekursion Populaionsfordobling (for () = = 1) (1) = 2() = 2 1 (2) = 2(1) = 2 2 (3) = 2(2) = 2 3 (4) = 2(3) = 2 4 Med andre ord: Følgende formler er ens () = 2 ( + 1) = 2() = 1 2 () = Den generelle rekursive formel for eksponeniel væks/henfald: (+1) = R() med = befolkningsanalle il iden = En formel er rekursiv når en funkion opræder både på højre og vensre side af lighedsegne Aldersopdel populaionsvæks En befolkning opdeles i fire aldersgrupper: A A1 A2 og A3 i er anal individer af hunkøn i Ai for i = Hvor mange overlever efer hver idsskri? 1 ( + 1) = 4 () 2 ( + 1) = 3 1 () 3 ( + 1) = 1 2 () Hvor mange nye individer kommer il? ( + 1) = 2 1 () () En sådan befolkningssrukur kan beskrives med en Leslie marix Kan du opsille maricen? Aldersopdel populaionsvæks ( + 1) 1 ( + 1) 2 ( + 1) 3 ( + 1) = () 1 () 2 () 3 () () = 1 1 () = 2 2 () = 1 3 () = 1 ( + 1) 55 1 ( + 1) 2 ( + 1) = ( + 1) 1 ( + 2) 1 ( + 2) 2 ( + 2) 3 ( + 2) =

3 Den generelle Leslie marix Anag a der er m befolkningsgrupper P i er brøkdelen af kvinder som overlever il næse aldersgruppe (i = 1 m 1) F i er de gennemsnilige anal overlevende nyføe fra kvinder i aldersgruppe i (i = 1 m) Den ilsvarende Leslie marix ser ud som følger: F F 1 F m 1 F m P L = P 1 P m 1 P P 1 P m 1 kaldes nogen gange førse subdiagonal Leslie marix egenskaber år forholde mellem successive befolkningsal konvergerer dvs når i () λ for og i = 1 m i ( 1) da har vi en sabil aldersfordeling (sable age disribuion) 1 1 Leslie marix: L = Udgangspunk: () = 1 og 1 () = 1 Forløb: λ = 16 Leslie marix egenskaber For en sabil aldersfordeling får vi også konvergerende p i () = Leslie marix: i () () + 1 () + + m () L = Udgangspunk: (4) = 1388 og 1 (4) = 69 Forløb: (5) = = λ = 16 kaldes en egenværdi for maricen og = p 1 med i = 1 m p 2 T = T kaldes en egenvekor Fra koninuer il diskre model Definiionen på en differenialkvoien: d = lim = lim ( + ) () ( + ) () Gang med og læg () il på begge sider: ( + ) d + () Dee er en rekursiv formel som giver en sykvis lineær ilnærmelse il funkionen Løsningen il en differenialligning kan på denne måde ilnærmes med en diskre idsmodel hvor e idsskri er Jo mindre jo mere præcis bliver ilnærmelsen Dee kaldes Eulers meode

4 = r d = r() (+ ) d +() = r() + () = (r + 1)() = 5; r = 5; D = 3; = ; = ; = ; = ; = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; plo( ); = r d = r() ( + ) = (r + 1) () () = exp(r ) = r d = r() = 5; r = 5; D = 15; = ; = ; = ; = ; = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; plo( ); = r d = r() ( + ) = (r + 1) () () = exp(r )

5 = r d = r() = 5; r = 5; D = 1; = ; = ; = ; = ; for i=1:3 = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; end plo( ); = r d = r() ( + ) = (r + 1) () () = exp(r ) = r d = r() = 5; r = 5; D = 3; = ; = ; = ; = ; for i=1:3/d = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; end plo( ); = r d = r() ( + ) = (r + 1) () () = exp(r )

6 = r d = r() = 5; r = 5; D = 3; = ; = ; = ; = ; for i=1:3/d = + D; = (r*d + 1)*; = ; = ; end plo( ); = r d = r() ( + ) = (r + 1) () () = exp(r ) Sysem af differenialligninger som marixligning E homogen sysem af 1 ordens differenialligninger kan skrives: dx = A x skrives eller d x1 x 2 dx 1 dx 2 = dx = A x hvor x = = 4x 1 2x 2 = 3x 1 + x x1 x 2 x1 x 2 og A = Eulers meode for sysemer af differenialligninger dx 1 dx 2 = a 11 x 1 + a 12 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 Omskreve il rekursive formler ved Eulers meode: x 1 ( + ) = dx 1 + x 1() = (a 11 x 1 () + a 12 x 2 ()) + x 1 () = (a )x 1 () + a 12 x 2 () x 2 ( + ) = dx 2 + x 2() = (a 21 x 1 () + a 22 x 2 ()) + x 2 () = a 21 x 1 () + (a )x 2 ()

7 Eulers meode for sysemer af differenialligninger dx 1 dx 2 = a 11 x 1 + a 12 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 Omskreve il rekursive formler ved Eulers meode: x 1 ( + ) = (a )x 1 () + a 12 x 2 () x 2 ( + ) = a 21 x 1 () + (a )x 2 () På marixform: x1 ( + ) x 2 ( + ) eller ganske enkel = a a 12 a 21 a x( + ) = (A + I)x() x1 () x 2 ()

Relaterede dokumenter

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies