Aalborg Universitet. Hygrotermisk Bygningssimulering Steen-Thøde, Mogens. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF

Transkript

1 Aalborg Unvrs Hygrormsk Bygnngssmulrng Sn-hød, Mogns ublcaon da: 8 Documn Vrson Også kald Forlags DF nk o publcaon from Aalborg Unvrsy aon for publshd vrson (AA: Sn-hød, M. (8. Hygrormsk Bygnngssmulrng: nor l kurs. Aalborg: Dparmn of vl Engnrng, Aalborg Unvrsy. (DE cur Nos; Nr.. Gnral rghs opyrgh and moral rghs for h publcaons mad accssbl n h publc poral ar rand by h auhors and/or ohr copyrgh ownrs and s a condon of accssng publcaons ha usrs rcogns and abd by h lgal rurmns assocad wh hs rghs.? Usrs may download and prn on copy of any publcaon from h publc poral for h purpos of prva sudy or rsarch.? You may no furhr dsrbu h maral or us for any prof-makng acvy or commrcal gan? You may frly dsrbu h U dnfyng h publcaon n h publc poral? ak down polcy If you blv ha hs documn brachs copyrgh plas conac us a vbn@aub.aau.dk provdng dals, and w wll rmov accss o h work mmdaly and nvsga your clam. Downloadd from vbn.aau.dk on: spmbr, 7

2 Nor l kurs Hygrormsk Bygnngssmulrng Mogns Sn-hød ISSN DE cur Nos No. Insu for Byggr og Anlæg

3 Aalborg Unvrs Insu for Byggr og Anlæg Archcural Engnrng DE cur Nos No. Nor l kurs Hygrormsk Bygnngssmulrng Mogns Sn-hød Fbruar 8 Aalborg Unvrs

4 Udgv 8 af Aalborg Unvrs Insu for Byggr og Anlæg Sohngaardsholmsv 57 9 Aalborg ryk på Aalborg Unvrs ISSN DE cur Nos No.

5 Indhold Indhold... Forord... DE BESEMMENDE IGNINGSSYSEM.... Inrodukon.... Varmbalanc.... Opsllng af brgnngsmodl andbnglsr og bgyndlssbnglsr Eksmpl på opsllng af d bsmmnd lgnngssysm Eksmplr på analysk løsnng....7 Numrsk løsnngr dsdskrsrng Mamask løsnngsmodr... KONOVOUMENMEODEN.... Opsllng af konrolvolumnmodn.... andbnglsr...6. D samld lgnngssysm Konrolvolumnmodn D og D... EMISKE UMMODEE...7. Grundlag...7. Opsllng af rmsk rummodl...8. En fornkl rmsk rummodl Døgnmddlmpraur og maksmal udsvng...48 FINIE EEMEN MEODEN Elmn og mpraurfunkon D mamask grundlag Elmnlgnngr Samlng af lmnr andbnglsr Brgnng af kuldbro...69 AENDIKS...74 IEAU...77

6 Forord D noa r prmær skrv l brug vd undrvsnngn kurs Hygrormsk Bygnngssmulrng md hnblk på a gv n førs nrodukon af numrsk modr l løsnng af varmldnngsproblmr og vs ksmplr på modrns anvndls. Formål r a gv n kor ndførng grundlag for d brgnngsmodr, dr anvnds pc-programmr l smulrng af dsvarrnd ndklmaforhold bygnngr llr vd brgnng af saonær flrdmnsonal varmldnng, som bl.a. forkommr vd kuldbror bygnngskonsrukonr. D r drfor naurlg a båd konrolvolumnmodn og fn lmn modn omals, da dss o modr ndgår hnholdsvs dn rmsk rummodl programm BSm og vd løsnng af flrdmnsonal varmldnng md programm OMSO Mulphyscs. Da kurs Hygrormsk Bygnngssmulrng normal afvkls før d grundlæggnd kursus Dffrnallgnngr og Numrsk modr, gvr d vss bgrænsnngr dn mamask udfoldls og nærværnd noa r drfor forsøg skrv, så d kan læss md udby, slvom læsrn kk r forrolg md d analysk løsnngsmodr l dffrnallgnngr. Indførngn d numrsk modr r drfor hold på nroducrnd nvau, så dr kun krævs lmnær kndskab l dffrnaon og ngraon. D r dog ndldnngsvs nødvndg a opsll dn dffrnallgnng varmsrømslgnngn dr r grundlæggnd for al brgnng af varmranspor og rdgør for d drlhørnd randbnglsr, sålds a man ald har for ø, a d r d lgnngssysm, dr skal løss, og a d numrsk løsnngr ald kun r lnærmd løsnngr. Mogns Sn-hød Aalborg, fbruar 8

7

8 DE BESEMMENDE IGNINGSSYSEM. Inrodukon Ingnørmæssg brgnng af komplcrd varmldnngsproblmr ndn for bygnngsknkkn r blv hvrdagskos ak md nformaonsknologns udvklng, d dr fnds ual af færdg db-programmr l løsnng af opgavr af dnn ar. Dr kan vær bhov for a undrsøg, om n ny konsrukonsudformnng r lsrækklg solr, så dn kk ndholdr ulladlg kuldbror, llr dr ønsks n forudsgls af d ndklma, dr kan forvns n bygnng undr varrnd blasnngsforhold, og hr vl bygnngskonsrukonrns varmakkumulrnd gnskabr hav n væsnlg ndflydls på mpraurforløb. D førs ksmpl vl normal blv bhandl som saonær flrdmnsonal varmldnngsproblm (s fg..-, mns d and ksmpl ypsk vl vær basr på sammnkoblng af konsrukonslmnr, hvor varmldnngn rgns ndmnsonal og kksaonær (fg..-. Ud Ind Fgur.-. Eksmpl på D saonær varmsrøm. Md blk på d smpl ksmpl dr r vs fg..-, sgr d næsn sg slv, a man kk vl (og of hllr kk kan søg a få mpraurfordlngn konsrukonn udryk som n analysk funkon, mn a man r hnvs l a søg lnærmd numrsk løsnngr l d dffrnallgnngr, dr bskrvr problm. lsvarnd forhold gør sg gældnd d kk-saonær lfæld (fg..-, dr ydrlgr komplcrs af, a d rmsk blasnngr, dr påvrkr konsrukonn ovr d, som rgl hllr kk ladr sg bskrv analysk. Konskvnsn af d r, a man kun får oplysnngr om f mpraurn udvalg punkr, og a mpraurns vnull varaon md dn også kun oplyss l n rækk gvn dspunkr. Jo sørr punkæhd gomrn opdls, og o korr dsnrval dr r mllm brgnngrn, ds sørr nøagghd må man almndlghd forvn, forså på dn måd a o nærmr vll d brgnd rsular

9 komm på n analysk løsnngs værdr (hvs n sådan kssrd for d gvn problm. o u Fgur.-. Eksmpl på D kk-saonær varmsrøm. øsnng af varmldnngsproblmr ndn for bygnngsfyskkn følgr, lghd md d fls ngnørmæssg brgnngsproblmr, d fasr, dr r vs fg..-. I d følgnd gvs n nrodukon l opsllng af n gnrl modl for varmldnng fas maralr, og dr vl blv omal o numrsk løsnngsmodr: konrolvolumnmodn og fn lmn modn, lgsom dr gvs ksmplr på dss modrs anvndls. OBEM MODE Fyssk lov Konsuv lgnngr Bsmmnd lgnngssysm ØSNING Mamask modr andbnglsr Bgyndlssbng. OKNING Vurdrng Konkluson Fgur.-. roblmløsnngns fasr.. Varmbalanc Formulrngn af dn dalsrd mamask modl byggr på anvndlsn af d gnrll fyssk lov, for varmranspor r d rmodynamkkns førs hovdsænng, dr r sænngn om nrgns bvarls. D gnrll fyssk lov r karakrsr vd, a drs anvndls r uafhængg af d bragd mdums naur, mn dss lov r mdlrd sældn lsrækklg l n fuldsændg bskrvls af

10 problm, hvorfor dr må nddrags spcll lov d konsuv lgnngr hvs anvndls nop afhængr af d pågældnd mdums naur. I d følgnd blvr Fourrs lov om varmldnng anvnd, lgsom dr vd bskrvlsn af randbnglsrn nddrags Sfan og Bolzmanns lov om varmsrålng sam Nwons konvkonslgnng. rmodynamkkns førs hovdsænng udrykkr: For afgræns sysm (konrolvolumn r lvæksn nrg pr. dsnhd summn af d lfør varmsrømm ffkn af d arbd, dr udførs på sysm. Φ n Φ a Φ c Φ d Φ b Fgur.- E afgræns sysm. Indn for bygnngsfyskkn vl dr ald kunn ss bor fra sds ld, hvorfor førs hovdsænng hr blvr l dn gnrll varmbalanclgnng: de d Φ (.. Hvor E nrg [J] d [sk] Φ varmsrøm [W] (rgn posv når dn lførs sysm lvæksn nrg r udryk for, a dr akkumulrs varm sysm, og d gvr anldnng l n mpraurændrng konrolvolumn: de d V ρc dv (.. Hvor mpraur [ ] ρ massfyld [kg/m ] c varmfyld [J/kgK] V volumn [m ]

11 Hvs all varmsrømm (.. (s fg..- r konsan d og summn af dm r lg nul, så r sysm n saonær lsand, og varmbalancn udrykkr da: Undr saonær forhold r summn af varmsrømm lfør l sysm summn af varmsrømm afgv fra sysm. de I dnn lsand skr dr ngn ændrng sysms ndr nrg, hvorfor og d drmd r også, alså ngn ændrng af mpraurn ovr d d bragd sysm.. Opsllng af brgnngsmodl Dr opslls nu n gnrl modl for d afgrænsd områd, dr skal analysrs (s fg..-. Modlln gvs dffrnl form, dvs. a varmbalancn opslls for nfnsmal prsm områd og skal drfr gæld hvr sd områd. Fgur.- D afgrænsd områd dr skal analysrs. Dr gørs følgnd forudsænngr: d bragd områd bsår kun af fas maralr vd vnull ndr rand mllm forskllg maralr r dr så god konak, a dr kk forkommr nogn ksra modsand mod varmldnngn fra d n maral l d and og (af bkvmmlghdsgrund a maralrn r sorop, hvlk bl.a. bydr, a varmldnngsvnn r ns all rnngr sam a ndgånd maralparamr r konsan Dn gnrll varmbalanclgnng (.. anvnds nu på d udskårn prsm, og for fuldsændghdns skyld anags d, a dr også forgår n varmudvklng slv prsm md n ffk pr. volumnnhd på S. 4

12 c dv Φ ρ Φ Hvor d Φ y Φ y dy Φ z Φ z dz SdV (.. Φ varmsrøm -aksns rnng [W] S varmudvklng [W/m ] Φ λ da Φ Φ z y Φ d Φ d Φ S udvkl varmffk pr volumnnhd Φ d Fgur.- D udskårn prsm. Dn udadgånd varmsrøm kan udrykks vd varmsrømmns ændrng aksns rnng: Φ Φ d Φ d (.. Indførs d (.. fås: Φ Φ y Φ z ρ c dv d dy dz SdV (.. y z llr y z ρ c dv da d da ydy da zdz SdV (..4 y z og da volumn ndgår all ld y z ρ c S (..5 y z Hvor Varmsrømsnns aksns rnng [W/m ] A Aral vnklr på aksns rnng [m ] 5

13 D r nu kk mulg a komm længr md dn gnrll varmbalanclgnng, så d r hr, a d r nødvndg a sammnkny mpraur og varmsrømsnns gnnm Fourrs lov om varmldnng: λ (..6 Hvor λ marals varmldnngsvn [W/mK] Indsæs (..5 fås: ρ c ( λ ( λ ( λ S (..7 y y z z Hraf frmkommr dn gnrll varmsrømslgnng: c ρ λ λ λ S (..8 y z gnng (..8 r sålds dn bsmmnd lgnng, dr gældr hvr sd d afgrænsd områd, dr analysrs alså r (..8 dn mamask modl for dn fyssk procs, dr oprædr som kk-saonær varmldnng fas maralr, når dr forkommr n d og sd knd varmudvklng S områd. λ, ρ og c r (fr d gor forudsænngr konsan koffcnr. D r karakrssk, a d r nødvndg a bsmm mpraurfordlngn områd, ndn dr kan sk n brgnng af varmsrømmn gnnm anvndls af Fourrs lov (..6. gnng (..8 r n parl dffrnallgnng md mpraurn som dn afhængg varabl, dr r n funkon af d uafhængg varabl: d og d r sdkoordnar, (,y,z,. gnngn r lnær, da kun oprædr førs pons, mn af andn ordn, da dn ndholdr dn andn afldd af md hnsyn l sd. For a kunn få n nydg bskrvls af mpraurfl d analysrd områd r d n nødvndg mn kk lsrækklg bngls, a funkonn opfyldr lgnng (..8. D lggr lgnngns srukur, d (..8 angvr sammnhængn mllm dn sdlg og dn dsmæssg ændrng af mpraurn. For a kunn fnd slv mpraurfordlngn r d nødvndg a bskrv hvordan dr udvksls varm mllm d afgrænsd områds ydr rand og ds omgvlsr, sam hvordan varmn ovrførs langs vnull ndr rand mllm forskllg maralr, og hvordan mpraurfordlngn r hl brgnngsområd l d dspunk, hvor brgnngrn sarr. D nævn bnglsr kalds hnholdsvs rand- og bgyndlssbnglsrn..4 andbnglsr og bgyndlssbnglsr Som nævn ovnfor r n bskrvls af rand- og bgyndlssbnglsrn n nødvndghd for a få n nydg løsnng l (..8 og man kan lgfrm sg, a d r randbnglsrn, dr dfnrr dn konkr opgav, d dss kan vær forskll- 6

14 g, mn d r ald dn samm lgnng (..8, dr skal opfylds. D r alså randbnglsrn, dr bsmmr, hvordan mpraurfordlngn blvr brgnngsområd. andbnglsr andbnglsrn kan anag følgnd formr: a Knd mpraur på hl llr dl af randn. mpraurfunkonn kan vær vlkårlg konsan llr varrnd d. Gnnm dnn randbngls fksrs slv løsnngsfunkonn på randn, fg..4- a. Dnn randbngls forkommr dog kk r ndn for bygnngsfyskkn. b Knd varmsrøm på hl llr dl af randn. Varmsrømsnnsn r sålds gv sørrls og dsmæssg forløb på d dl af randn, hvor dnn bngls r gældnd. Da varmsrømmn nd maral vd randn skal vær lg dn ydr påvrknng: λ (hr rgns varmsrømmn n maral posv dn udadgånd fladnormals rnng bydr d, a hældnngn på mpraurfl fksrs på randn (s fg..4- b. Da d kun r hældnngn dr faslæggs, kan dnn randbngls kk forkomm på all rand d r nødvndg a hav n mpraur a hæng løsnngn op på. c Knd omgvlssmpraur og ovrgangssolans vd hl llr dl af randn. Varmsrømmn vd randn udrykks nu vd λ ( o hvor r ovrgangssolansn og o omgvlssmpraurn. Ign fksrs løsnngsfunkonns hældnng på randn mn nu også n kny l omgvlssmpraurn gnnm rnngspunk ( o, λ som vs fg..4- c. a mpraur på randn gv. mpraurfunkonn fksrs på randn. b c Varmsrøm på randn gv. mpraurfunkonns hældnng på randn fksrs n λ Kan kk forkomm på all rand. λ Fgur.4- andbnglsr. o Omgvlssmpraur og ovrgangssolans vd randn gv. mpraurfunkonns rnng vd randn fksrs gnnm rnngspunk. o λ [m] n λ Vd ndvndg rand r dr som dlgr nævn forudsa så god konak mllm maralrn, a varmn lds drk fra d n maral l d and: 7

15 λ ( λ lgsom mpraurfunkonrn og skal hav samm n n værd langs randn for a skr konnu. Varmsrømmn r gn rgn posv dn udadgånd fladnormals rnng. Bgyndlssbnglsr Hvs d r kk-saonær lfæld, dr skal løss, må mpraurfunkonn knds l d dspunk hvor brgnngrn sars d udgør bgyndlssbnglsn. mpraurfunkonn l bgyndlssdspunk ( ψ(,y,z, kan prncpp vær n vlkårlg funkon og d vl vær d mpraurfl, dr dannr udgangspunk for d brgnd mpraurændrngr l snr dspunk..5 Eksmpl på opsllng af d bsmmnd lgnngssysm å ndnsånd fg..5- r vs plansn af n konsrukon opbygg af r maralr, hvor mpraurfordlngn skal bsmms. D forudsæs, a dr r al om D saonær lfæld, hvor omgvlssmpraurrn nd og ud ( og u sam d lhørnd ovrgangssolansr ( og u r knd. D bsmmnd lgnngssysm skal nu opslls. D B Ud E B Ind y A A Fgur.5- Brgnngsområd og randbnglsr. Varmsrømslgnngn (..8 skal naurlgvs vær gældnd for hvr dlområd md forskllg maralr mn nu n saonær D udgav udn ndr varmudvklng. gnngn sr da sålds ud for maral dlområd BDEB: λ λ y 8

16 Vd a udskf varmldnngsvnn (λ fås lsvarnd udryk for d øvrg sks dlområdr. V kan hrfr vnd os mod randbnglsrn. angs nd-randn (A-B- og ud-randn (A-E-D-B- r d randbngls c, dr r gældnd, og for randn A-B kan d udrykks vd: λ ( y A B y A B alså a varmsrømmn, dr lds fra maral -aksns rnng, ovral langs randn A-B (hvor y anagr værdr nrvall A-B skal vær lg varmsrømmn, dr ovrførs l omgvlsrn. angs ud-randn D-B havs lsvarnd: λ ( D B y D B u u å samm måd forsæs rund langs d øvrg rand mn dr manglr sllngagn l, hvor randn A-A og - skal læggs, og af hvlkn yp d r. Man må forvn, a når man bvægr sg væk fra slv hørn, vl D-ffk afag og l sds forsvnd. Når d skr, vl varmn kun srømm n rnng nmlg ndfra og ud, hvlk bydr, a sormrn forløbr paralll md d ndvndg og d udvndg ovrfladr, som d også ss af hør dl af fg..5- (dr slvfølglg r frmkomm som løsnng l d lgnngssysm, dr r vd a blv opsll. andn A-A og - må sålds placrs så lang væk fra hørn, a dr ngn varmsrøm r rnng vnklr på randn. Dnn randbngls r n spcl udgav af randbngls b, hvor varmsrømmn r nul vnklr på randn d kalds n adabask rand. Udryk mamask for rand A-A gældr for hvr af d r maraldl: y A A Hvs kanrn A-B og B- r lg lang, r dr båd gomrsk maral- og blasnngsmæssg symmr om aksn D-B, hvorfor sormrn vl så vnklr på dnn aks. D havd man kunn udny som n adabask randbngls, hvorvd brgnngsområd kunn halvrs. D r kk gor d lfæld, mn of vl man opsøg symmraksr, når dr skal ndlæggs randbnglsr. Dr manglr nu kun d ndvndg rand mllm d nkl maralr mn d r r nkl. Som ksmpl ags dn ndvndg rand mllm maral og langs E-B: λ y λ y E (B E (B 9

17 Varmsrømmn fra maral forsær nd maral. mpraurrn langs skllfladn d o områdr skal naurlgvs også vær ns. lsvarnd forhold gældr mllm maralrn og rnng A-B: λ λ y A B y A B Sammnfand r varmsrømslgnngn opsll for hvr af d syv dlområdr, og dr r lkny al ydr randbnglsr (langs randn A-B---B-D-E-A, hvoraf sks r af yp c, og sks r adabask, alså yp b. Endvdr r forholdn bskrv vd d ndvndg rand (skllfladr, dr oprædr d lfæld. lbag sår nu kun a løs d opslld lgnngssysm hvlk d lfæld vl sg a fnd syv mpraurfunkonr ψ(,y, dr samdg lfrdssllr dffrnallgnngn (varmsrømslgnngn og d rspkv randbnglsr. Som dlgr anyd vl d næpp vær mulg llr hnsgsmæssg a søg fr n analysk løsnng l d bsmmnd lgnngssysm analysk løsnngr knds kun l nogl få, mg smpl gomrr og lsvarnd rand- og bgyndlssbnglsr dr må anvnds n numrsk løsnngsmod. mpraurfordlngn, dr r vs l hør fg..5-, r naurlgvs brgn vd hælp af n numrsk brgnngsmod..6 Eksmplr på analysk løsnng Slvom d kk r d noas ærnd a søg analysk løsnngr l opslld varmsrømsproblmr, kan d dog vær nyg a s på nogl ksmplr, hvor dss kan fnds. Ndnsånd r ksmplr agr all udgangspunk n sor plan væg, hvor varmn kun srømmr én rnng vnklr på ovrfladn sålds a dr r al om D lfæld. I førs ksmpl r forholdn saonær, og løsnngsfunkonn r gansk nkl a bsmm, mns dr and ksmpl r al om kk-saonær lfæld md nkl rand- og bgyndlssbnglsr, mn hvor løsnngsfunkonn r komplcr. I rd ksmpl vss n mg nkl lnærm løsnng l ksmpl o. Eksmpl.6. mpraurforløb n plan homogn væg skal brgns undr følgnd forudsænngr: saonær ndmnsonal varmldnng vægykkls [m] varmldnngsal λ [W/mK] ovrfladmpraur ( B [ ] ovrfladmpraur ( B [ ] nrn varmprodukon S [W/m ] Md udgangspunk varmsrømslgnngn (..8 blvr d bsmmnd lgnngssysm:

18 d d λ S llr d d S λ md randbnglsrn: ( B og ( B d dr ndlæggs n -aks md nulpunk dn n ovrflad. Dn søg løsnng r n funkon, dr, dffrnr o gang, gvr n konsan - hvlk opfylds af. grads polynomum: ( A d B d d A B d d A S A λ D o sds koffcnr løsnngsfunkonn fnds ud fra randbnglsrn, dr også skal opfylds. For fås: ( B B og for S ( B λ B B B B B S λ hvlk gvr, a mpraurforløb r bsm vd: S ( λ B ( B S B λ D r sålds gansk nkl a fnd mpraurforløb d lfæld hvor man så sødr på n væg md nrn varmprodukon undr saonær forhold r så n andn sag mn sæs varmprodukonn l S, fås ydrs vgg lfæld: saonær ndmnsonal varmldnng, hvor d knd rlnd mpraurforløb r bsm vd: ( B B B d d B B Varmsrømsnnsn r da bsm af (..6: λ d d B B λ B B λ B B hvor r marallags solans.

19 Eksmpl.6. mpraurforløb n plan homogn væg skal bsmms lfæld, hvor omgvlssmpraurn på bgg sdr af væggn l dn pludslg ændrs fra s l. Væggn har mpraurn s ovral l dn nul. Dr anags følgnd forudsænngr: kk-saonær ndmnsonal varmldnng vægykkls [m] varmldnngsal λ [W/mK] massfyld ρ [kg/m ] varmfyld c [J/kgK] rmsk dffusv a λ/(ρc [m /s] bgyndlssmpraur (, s [ ] omgvlssmpraur [ ] ovrgangssolans o [m K/W] Id dr ndlæggs koordnasysm, som vs fg..6-, kan d bsmmnd lgnngssysm opslls. Varmsrømslgnngn (..8 skal anvnds, og randbnglsrn r af yp c: ρ c λ ( λ ( o λ o ( å grund af symmr r d mulg a udskf dn n af dss randbnglsr md n adabask rand blggnd væggns mdplan: (, s (, Fgur.6- lan væg.

20 Undr d gvn bnglsr r mpraurforløb bsm vd: (, ( s n δ n sn( δ n sn( δ cos( δ n n p( δ n a cos( δ n hvor dn dmnsonsløs paramr δ n r bsm gnnm d undlg mang røddr (på dn posv aks lgnngn: δ n sn( δ n cos( δ λ o n Da mpraurrn s og r konsan, angvs løsnngn of som n rlav mpraur: (, s n δ n sn( δ n sn( δ cos( δ n n p( δ n a cos( δ n D r karakrssk for analysk løsnngr, a d of udrykks gnnm undlg rækkr, også slvom gomr og randbnglsr r så nkl som d lfæld. øsnngn kan fnds d fls lærbøgr om varmranspor, bl.a. af hovdværkrn om analysk løsnngr: arslaw, H.S. og Jagr, J..: onducon of Ha n Solds //. Som ksmpl r mpraurforløb vs fg..6- for n, m yk bonvæg (λ,7 W/mK, ρ kg/m og c 88 J/kgK for ændrng af omgvlssmpraurn når, ovrgangssolansn r o, m K/W..4 Afkølng af plan væg. lav mpraur ( - /( s Afsand [m] Fgur.6- mpraurforløb bonvæg. Øvrs saonær sarværd, drnæs dn rlav mpraur fr,5 m, fr 5 mr og hrfr md sprng på 5 mr. Da dn ndgår som ksponn løsnngsfunkonns ksponnalfunkon, r d karakrssk a mpraurforløb ændrr sg hurg dn førs d for drfr a flad ud, og d agr ( prncpp undlg lang d, ndn mpraurændrngrn

21 dør ud, og forholdn blvr saonær. D r udryk for konsrukonns varmakkumulrnd gnskabr, dr løsnngsfunkonn ndgår gnnm marals rmsk dffusv a og væggns dmnson. Sr man på sørrlsn /a, har dn dmnson af d, og dn udgør n karakrssk dskonsan for konsrukonn. a λ ρc ρc λ væggns samld varmkapac væggns samld varmabsfakor pr øsnngsfunkonn kan drfor også skrvs som: (, s n δ n sn( δ n sn( δ cos( δ n n p( δ n cos( δ n Jo sørr varmkapacn r, ds sørr r dskonsann, og o langsommr forgår mpraurændrngrn. Innsn af varmsrømmn ud af vægovrfladn fnds d lfæld på nkl måd ud fra løsnngsfunkonn f: (, o ((, Varmsrømsnnsn på dn modsa ovrflad har naurlgvs samm sørrls, lgsom anvndls af Fourrs lov (..6 havd før l samm rsula. Eksmpl.6. Dr ags udgangspunk samm problmsllng som ksmpl.6. mn nu undr dn fornkld anagls, a mpraurn maral kk ændrr sg -aksns rnng. Dnn suaon r vs fg..6-. (, s ( Fgur.6- lan væg md fornkl mpraurfordlng. 4

22 I d lfæld kan væggns varmbalanc opslls drk ud fra førs hovdsænng: d( ρ c d o (( hvor vnsr sd udrykkr ændrngn væggns nrgndhold (pr. m ovrfladaral pr. dsnhd, og hør sd r nnsn af lfør varm. gnngn omskrvs, d dr også hr kan ndførs n karakrssk dskonsan: o ρc o væggns samld varmkapac væggns samld varmab l omgvlsrn pr Hrmd fås: o d(( d (( gnngn lfrdsslls af n ksponnalfunkon, d dnn dffrnr r proporonal md sg slv. øsnngn har drfor formn: ( K p( o hvor konsann K fnds af bgyndlssbnglsn: K ( s øsnngsfunkonn r da: ( ( s p( o llr udryk som n rlav mpraur: ( p( s o Dnn løsnng r opgn fg..6-4 for dn samm bonvæg, som r anvnd ksmpl.6., og l sammnlgnng r dn ksak mpraurfunkon, som frmgk af d forgånd ksmpl, også ndgn dls mdplan, dls ovrfladn. Som d frmgår af grafn, r dr d lfæld gansk god ovrnssmmls mllm mpraurforløbn l rods for dn grov lnærmls, dr r forag. D samm forhold vl gør sg gældnd, hvs varmsrømsnnsn vd ovrfladn brgns, d dnn r proporonal md mpraurforsklln mllm ovrfladn og omgvlsrn. 5

23 .9 Afkølng af plan væg Md Ovrflad lnærm.8 lav m praur ( - /( s d mr Fgur.6-4 lnærm og ksak mpraurforløb som funkon af d. øsnngsfunkonn d ksmpl r unæglg blv mr ovrskulg nd lfæld r ksmpl.6., mn dr fås sadg dn vgg oplysnng, a mpraurforløb prmær afhængr af n karakrssk dskonsan, hvor varmkapacn og d spcfkk varmab l omgvlsrn ndgår. D ksmpl skal naurlgvs kk ags l ndæg for, a dr ald opnås god ovrnssmmls md fornkld modllr, mn vs a n fornkl modl udmærk kan gnspl hovdrækkn n gvn problmsllng. Er man kk lfrds md løsnngns nøagghd, kan man o forsøg a forfn modlln vd a mdag flr dalr og drfr ag d mrarbd, dr vl vær forbund md a fnd løsnngr. D r ld dnn flosof, dr lggr l grund for numrsk løsnngr, samdg md a organsr albhandlng r blv problmløs vd anvndls af compur..7 Numrsk løsnngr Numrsk løsnngsmodr går gnrl ud på a fnd n lnærm løsnng l n gvn dffrnallgnng hr varmsrømslgnngn (..8 md lhørnd rand- og bgyndlssbnglsr. Når dr r al om lnærmd løsnngr skylds d, a d bsmmnd dffrnallgnngr på n llr andn måd omsæs l sæ algbrask lgnngr som rgl sæ af samhørnd lnær lgnngr dr så skal løss og gv løsnngns funkonsværdr udvalg punkr l forskllg d. I fg..7- r vs ksmpl på, hvordan mpraurn udvalg knudpunkr langs -aksn ændrs fra dspunk l dspunk. Dr r forag n gomrsk dskrsrng, dr dfnrr knudpunkrns blggnhd, og md kndskab l bgyndlssbnglsrn brgns knudpunksmpraurrn dsskrd for dsskrd. Dr r sålds også forag n dsmæssg dskrsrng, d dsaksn r opdl nrvallr (Δ af knd længd. 6

24 . Afkølng af plan væg lav mpraur ( - /( s Δ Δ Δ Δ Δ Afsand [m] Fgur.7- Eksmpl på gomrsk og dsmæssg dskrsrng. dsnrvall Δ r n m. Vd opsllng af n numrsk brgnngsmod gvs n opskrf på, hvordan sammnhængn r mllm mpraurn knudpunk og mpraurrn naboknudpunkrn, dr ablrs sålds n knudpunkslgnng for hvr ndgånd knudpunk, hvor dr gnnm knudpunkr blggnd på llr vd ovrfladrn nddrags sammnkoblngn md randværdrn. D nkl numrsk modr adskllr sg fra hnandn gnnm d forudsænngr og fornklngr dr gørs, når dss knudpunkslgnngr skal opslls, mn fælls for d modr, dr omals hr: konrolvolumnmodn og fn lmnmodn, r, a d lgnngsmæssg kan udrykks på samm form som vs (.7.. d K d f b (.7. Hvor K d d f b r n kapacsmarc r n ransmssonsmarc r n vkor md all knudpunksmpraurr r n vkor, dr ndholdr dn dsafldd af knudpunksmpraurrn r n vkor, dr ndholdr oplysnngr om randbnglsrn Hvs dr r al om saonær problm, faldr førs ld (.7. væk, d dr så kk forkommr nogn dsmæssg varaon knudpunksmpraurrn. I d lfæld r løsnngn af d bsmmnd lgnngssysms parll dffrnallgnng rducr l løsnng af almndlg sæ (lnær lgnngr K f. b 7

25 .8 dsdskrsrng I d kk-saonær lfæld angvr (.7. sæ af samhørnd førsordns dffrnallgnngr, dr gn kan omskrvs l sæ af almndlg lgnngr vd a ag dsmddlværdn af (.7. ovr dsnrval Δ. Førs ld kan ngrrs drk, mn vd d øvrg ld anvnds ngralrgnngns mddlværdsænng, s fg..8-. ϕ( ϕ(ξ ϕ(b ϕ(a b ϕ (d (b a ϕ ( ξ a (b a[g ϕ (b ( g ϕ (a] g a ξ b Fgur.8- Ingralrgnngns mddlværdsænng. Δ (k Δ kδ d d d Δ (k Δ kδ Kd Δ (k Δ b kδ f d k,,,. (.8. Da koffcnmarcrn kun ndholdr konsanr fås: ( Δ k k K(g k ( g k gf k b ( gf k b (.8. Hvor k r n vkor md knudpunksmpraurrn l dn kδ k f b r n vkor md randværdrn l dn kδ g r n vægfakor mllm og Omordns lddn (.8. fås lgnngssysm (.8. l brgnng af d ny knudpunksmpraurr l dn (kδ ud fra d knd knudpunksmpraurr og randværdrn (dr o ald r knd l d forgånd dspunk. Dss brgnngr kan ald gnnmførs dsskrd for dsskrd md udgangspunk bgyndlssbnglsrn l dn. k k k k ( gk ( ( gk gf b ( gf b (.8. Δ Δ D kan vss, a hvs vægfakorn vælgs l g, hvlk bydr a koffcnrn k l r posv, så vl brgnngrn ald vær numrsk sabl, dvs. gv fyssk ralssk ndsvngnngsforløb d lfæld bgns som dn mplc form. 8

26 Vælgs drmod g, dr bgns dn ksplc form, r dr rsko for numrsk usabl, alså fyssk uralssk ndsvngnngsforløb (f svngnngr dr blvr vd md a voks. D hængr sammn md mulghdn for ngav værdr dagonalldd koffcnmarcn l k (.8.. For a undgå numrsk usabl r d nødvndg a afpass dn gomrsk opdlng af brgnngsområd (dr har ndflydls på og K md længdn af dskrd Δ, sålds a dagonallddn blvr posv. Jo korr dsskrd dr vælgs, ds fnr skal dn gomrsk nddlng vær dvs. a dr kommr flr knudpunksmpraurr og drmd lgnngr, dr skal løss. D forrækks of a anvnd dn mplc form (g, sålds a dr undgås problmr md numrsk usabl, mn dr skal allgvl ald anvnds n passnd lll nddlng af gomr og d for a opnå lsrækklg brgnngsnøagghd. Vd konrolvolumnmodn, hvor r n dagonalmarc, kan dn ksplc form (g mdlrd of anvnds md fordl, d lgnng (.8. så anagr n l løsbar form: k k k b (I Δ K Δ f (.8.4 hvor I r dnsmarcn Hr kan hvr nkl knudpunksmpraur fnds drk (ksplc ud fra værdrn fra d forgånd dspunk, mn gomr og dsskrd skal ald afpasss forhold l hnandn, så dr kk forkommr ngav værdr dagonaln koffcnmarcn l og drmd numrsk k usabl. Eksmpl.8. For a vs problmsllngn md numrsk sabl ags udgangspunk dn bsmmnd lgnng fra Eksmpl.6. afsn.6: d( ρ c d o (( llr o d(( d (( gnngn fornkls ld vd a ndfør n ny varabl θ ( - og drmd bgyndlssbnglsn θ s s -. Dn bsmmnd lgnng kan nu skrvs som: dθ o θ d Vd sammnlgnng md (.7. ss, a, K og f b, hvorfr (.8. gvr: 9

27 Δ k k ( g ( ( g θ Δ θ Sæs g fås: k θ Δ θ Δ k pθ k Uans hvlkn længd dr vælgs for dsskrd Δ, r koffcnn p på hør sd posv (og p < hvorfor dr md θ θ s som sarværd fås ævn afagnd forløb af mpraurn. Sæs drmod g fås: k θ Δ θ Δ k Δ ( θ k pθ k Hr anagr koffcnn p ngav værdr, hvs dsskrd vælgs sålds a Δ >. Hvs bgyndlssværdn θ s r posv, vl dn førs brgnd værd af θ blv ngav, dn følgnd posv og så frmdls. D r kk fyssk ralssk ndsvngnngsforløb md d gvn randbnglsr hllr kk slv om svngnngrn måsk dør ud frhåndn ( p <, og sl kk hvs svngnngrn blvr vd md a voks ( p >, numrsk usabl. Brgnngsdskrd Δ skal sålds vælgs mndr nd dn karakrssk dskonsan for a opnå sabl, og d ksmpl bør dsskrd vær mndr nd / af dskonsann for a opnå n rmlg brgnngsnøagghd. I fg..8- r vs ndsvngnngsforløb brgn fr d o ovnsånd udryk md dsskrd på,5 mr bgg lfæld og md vægfakor g hhv. g. Dr bnys samm alværdr som ksmplrn.6. og.6. afsn.6, og d lsvarnd mpraurforløb r lglds ndgn. Dn karakrssk dskonsan r hr 7, mr, og d valg dsskrd på,5 mr r sålds r sor forhold hrl, hvlk også afsplr sg dn nøagghd d o numrsk løsnngr lpasss dn analysk løsnng dr d lfæld r kurvn mærk lnærm.

28 .9.8 Afkølng af plan væg Md Ovrflad lnærm g g lav mpraur ( - /( s d mr Fgur.8- Numrsk løsnngr md g og g, dsskrd,5 m..9 Mamask løsnngsmodr Vd opsllngn af d numrsk modr r dr kk ag sllng l, hvlkn mamask mod dr skal anvnds l løsnng af d samld sysm af knudpunkslgnngr. Som d frmgår af (.7. og (.8., kan lgnngssysm, båd for saonær og kk-saonær problmr, udrykks som samhørnd sæ af (lnær lgnngr, dr gnrl kan skrvs på formn: M N (.9. Hvor r n vkor md d uknd mpraurr M r n marc md knd koffcnr N r n vkor md knd værdr Koffcnmarcn M har formn (.9. for hnholdsvs saonær og kksaonær problmr, og d lsvarnd udryk for vkor N r angv (.9.. K M (.9. gk Δ f b N k k k (.9. ( ( gk gf b ( gf b Δ

29 I d kk-saonær lfæld skal lgnngssysm (.9. M N løss for hvr dsskrd, sarnd md a hør sd r knd l dn nul gnnm bgyndlssbnglsrn, og N succssv opdars gnnm dn sns brgnd værd af k og ny værdr af randbnglsrn. I prncpp kan all d løsnngsmodr, dr knds fra dn lnær algbra, anvnds l løsnng af lgnngssysm (.9. d kan vær drk modr som f Gauss lmnaon llr rav modr som f Gauss-Sdl. Vd dn rav mod sars md a skønn n værd for hvr knudpunksmpraur hl brgnngsområd, og drfr bsøgs hvr nkl knudpunk, hvor knudpunkslgnngn løss. Så snar dr r brgn n ny mpraur, ndgår dnn vd brgnngn d næs knudpunk. Når all knudpunkr r gnnmrgn sars forfra, og på dnn måd gnags procdurn, ndl konvrgns opnås. Dn sor fordl vd rav modr r, a man kk bhøvr a opr sor koffcnmarcr mn kun lagr koffcnr forskllg fra nul drfor anvnds løsnngsprocdurr af dnn ar mang kommrcll programmr. Hr skal også gørs opmærksom på, a mang rgnprogrammr ndholdr ffkv lgnngsløsr, dr kan anvnds drk udn programmrng f programm MAAB // hvor opraorn \ (backslash drk løsr lgnngssysm (.9.. Malab-noaonn r M\N. Malab ndholdr ndvdr n run kald lsm, dr drk kan anvnds l brgnng (smulrng af (.7. d dynamsk lfæld, mn dnn run kan/(bør kun anvnds, når konrolvolumnmodn dannr grundlag for opsllngn af knudpunkslgnngrn. Hr forags kk n dsdskrsrng fr (.8., og slvom dr sadg r al om løsnng af lgnngssysm l dskr dspunkr, skr d hr gnnm anvndls af mar-ksponnalfunkonn. unn lsm krævr, a lgnngssysm (.7. kan brngs på formn: d SA SBu d (.9.4 rs S SDu Hvor SA SB d d u K r n koffcnmarc r n vkor, md all knudpunksmpraurr r n vkor, dr ndholdr dn dsafldd af knudpunks- mpraurrn r n vkor, dr ndholdr randværdrn rs r n vkor, dr ndholdr d knudpunksmpraurr dr ønsks som rsula S r n marc dr udpgr d ønskd knudpunksmpraurr SD r ald n nul-marc vd mpraurbrgnngr k k

30 KONOVOUMENMEODEN. Opsllng af konrolvolumnmodn Vd konrolvolumnmodn opdls brgnngsområd anal kk ovrlappnd konrolvolumnr, som hvr omslur knudpunk, hvorl dr knys n knudpunksmpraur. Dr opslls n varmbalanc for hvr konrolvolumn som sammnknyr d akull konrolvolumn md ds nabovolumnr. Når varmbalancn r opfyld for hvr dlområd, r balancn også opfyld for hl brgnngsområd hvlk naurlgvs r n nødvndg forudsænng for a få brugbar brgnngsrsular. I fg..- r vs d konrolvolumnr, dr anvnds vd hhv. D, D og D brgnngr. Volumnrn r all lfæld rvnkld prsmr. y D D y z D Fgur.- Konrolvolumnr og knudpunkr vd D, D og D. Vd opsllng af knudpunkslgnngrn ags dr ndnsånd udgangspunk D lfæld, hvor udsn af knudpunkr r vs fg..-. Konrolvolumnrns udsræknng y- og z-rnngn r hr udn bydnng, og d anags l a vær n, hvorvd volumn blvr Δ. W W E E Δ W Δ Δ E Fgur.- Knudpunksplacrng vd D problm.

31 Varmbalancn (.. for d konrolvolumn, dr omslur knudpunk, r opsll (... For fuldsændghdns skyld r d forudsa, a dr skr n nrn varmprodukon md n gnnmsnlg nns på Sp W/m. de p d W E S Δ (.. D anags nu, a ændrngn konrolvolumns nrgndhold aln kan udrykks gnnm knudpunksmpraurn ( og konrolvolumns varmkapac: d ( d ρ c Δ W E S Δ (.. D bmærks, a dnn frmgangsmåd r hl analog md dn frmgangsmåd, dr anvnds vd opsllngn af d lnærmd brgnngsudryk for dn plan væg Eksmpl.6.. Varmsrømmn ( W og E, dr passrr skllfladrn mllm d akull konrolvolumn og ds nabovolumnr, rgns proporonal md forsklln mllm knudpunksmpraurrn. Som proporonalsfakor anvnds dn rcprokk af solansn mllm knudpunkrn som vs (..: d ( ρ c Δ ( W ( ( ( ( E ( S Δ (.. d W E Knudpunkslgnngn (.. konrolvolumnmodn udmærkr sg vd, a dn kan opslls drk, og a dn fyssk olknng og forsåls af lgnngn bvars: ændrngn dn ndr nrg pr. d r lg summn af d lfør varmsrømm. Isolansrn lgnng (.. r bsm vd: W E δ λ δ λ E W δ λ δ λ E E W W E W hvor δ δ Δ (..4 W E Ordns lddn (.. fås dn gnrll knudpunkslgnng d D kksaonær lfæld: d ( ρ c Δ W ( ( ( E ( S Δ (..5 d W W E E Ellr hvs d ubknd knudpunksmpraurr samls på lgnngns vnsr sd: d ( ρ c Δ W ( ( ( E ( S Δ (..6 d W W E E 4

32 Hvs dr ngn varmudvklng skr volumn sæs hør sd lg nul, og hvs problm r saonær, så sæs dffrnalkvonn lg nul. Eksmpl.. mpraurfunkonn maral md D varmranspor r gv som n konnur funkon (,. Md udgangspunk n koordna forags n aylorudvklng af funkonn l nabopunkr, dr r blggnd n afsand Δ (mod E hhv. -Δ (mod W fra. Funkonsværdrn kan da udrykks på følgnd måd: Δ ( Δ, (, Δ Ο( Δ Δ ( Δ, (, Δ Ο( Δ hvor Ο( Δ angvr ld, dr r små af rd og hør ordn af Δ. Addrs d o lgnngr, og borkass ld af ypn Ο ( Δ, fås: ( Δ, ( Δ, (, Δ dr mulplcrs gnnm md marals varmldnngsvn λ, og lddn omarrangrs: λ ( λ Δ, ( Δ Δ, ( λ λ [ ( W ( ( ( Δ Δ Δ [ ( W ( ( Δ W E ( (, E ( ( ] E ( ] D bmærks, a udrykk dn kand parns ovnfor r dnsk md hør sd lgnng (.., hvorfor (.. s hør sd vl konvrgr mod dn andn ordns afldd md hnsyn l sd, hvs afsandn mllm knudpunkrn gørs lsrækklg lll. Konrolvolumnmodns knudpunkslgnngr vl for Δ og Δ gånd mod nul gå mod varmsrømslgnngn (..8 D udgavn: ρ c λ S ρ cδ λδ SΔ d ( ρ cδ ( W ( d W ( E ( ( E ( S Δ 5

33 . andbnglsr Vd opsllng af randbnglsrn bnys of halv konrolvolumnr vd randn som vs fg..-. å fgurn r kun vs vnsr rand, mn lsvarnd forhold gør sg naurlgvs gældnd vd dn modsa rand. Samm knk anvnds også vd skllfladr mllm marallag (ndr rand, hvs man ønskr a brgn mpraurn hr d vl så vær nødvndg a sammnsæ konrolvolumns varmkapac af d o dlvolumnrs kapacr. Maralgræns B Δ B Δ Δ Fgur.- Halv konrolvolumn vd rand. Knd ovrfladmpraur Hvs mpraurn på randn (B r knd (randbngls yp a, kan knudpunkslgnng (..5 drk anvnds. Hr r d vs for d førs brgnngspunk mod vnsr knudpunk analog udryk fås for sds brgnngspunk (knudpunk n, hvs dnn yp randbngls r gældnd for hør rand. d ( ρ c Δ ( ( ( Δ (.. B ( S d B B ddn ordns, så knd sørrlsr samls på hør sd: d ( ρ Δ Δ (.. c ( ( ( B ( S d B B D skal bmærks, a Δ B udn problmr kan sæs lg nul, sålds a førs konrolvolumns n rand blvr sammnfaldnd md dn ydr ovrflad. Knd varmsrøm og/llr knd omgvlssmpraur Dss o randbnglsr yp b og yp c bhandls undr md udgangspunk fg..-. Hr vs for vnsr rand: d ( ρ Δ Δ (.. c ( B ( ( ( ( ( B S d B hvor dn knd omgvlssmpraur r B, ovrgangssolansn vd randn B, og dn knd varmsrøm B. 6

34 Maralgræns B B B Δ Δ Δ Fgur.- andbngls yp b og c. ddn omordns gn, så knd sørrlsr samls på hør sd (..4: d ( ρ Δ Δ (..4 c ( ( ( B ( B S d B B Hvs randbnglsn r yp b, hvor varmsrømmn B drk r gv, frns ld dr ndholdr fakorn B (dnn yp randbngls kan dog kk forkomm vd bgg rand, og hvs randbnglsn r yp c, frns ldd B. gnng (..4 r gældnd udn ændrngr, hvs randbnglsn r n kombnaon af yp b og yp c.. D samld lgnngssysm All ndr knudpunkr brgnngsområd r bskrv vd dn gnrll knudpunkslgnng (..6 og vd randn gældr nn (.. llr/og (..4. All knudpunkr nummrrs forløbnd, sålds a førs brgnngspunk mod vnsr rand (rnng W gvs nr., og sds brgnngspunk mod hør rand (rnng E gvs nr. n. Hl d sysm af samhørnd knudpunkslgnngr kan skrvs på kor form vd anvndls af marnoaon: d K d f b (.. Hvor K d d f b r n kapacsmarc r n ransmssonsmarc r n vkor, md all knudpunksmpraurr r n vkor, dr ndholdr dn dsafldd af knudpunksmpra- urrn r n vkor dr ndholdr oplysnngr om blasnngr og randbnglsr Vd konrolvolumnmodn r kapacsmarcn n dagonalmarc, dr ndholdr d nkl konrolvolumnrs varmkapac dagonaln. D ypsk ld vl 7

35 hav formn: ρ w c w δ w ρ c δ, hvor r knudpunks nummr, og dr r ag hnsyn l, a dr kan vær forskllg maralr på hvr sd af knudpunk d pågældnd konrolvolumn. ransmssonsmarcn K r n r-dagonalmarc, hvor koffcnr hovddagonaln knyr gv knudpunk ( sammn md ds o naboknudr gnnm solansn mllm knudpunkrn (s (..6. Koffcnr dn øvr dagonal sammnknyr knudpunk ( md d næsfølgnd (, mns dn ndr dagonal sammnknyr knud md d forgånd knudpunk (-. andværdvkorn f b afhængr af d akull randbnglsr og vl ald hav bdrag fra randbnglsrn førs og sds lmn, mn hvs dr kk forkommr ndr varmudvklng, r all mllmlggnd lmnr nul. Eksmpl.. I fg..- r vs ksmpl på, hvordan n plan væg kan opdls konrolvolumnr, og drmd hvordan knudpunkrn kan placrs. Væggn bsår af r marallag, og knudpunkrn r placr, så mpraurrn skllfladrn kan bsmms. andbnglsrn r knd ovrfladmpraur ( W på W-sdn (randbngls yp a og knd omgvlssmpraur ( E på E-sdn, hvor ovrgangssolansn r E (randbngls yp c. ag nr Anal dlngr 4*/ */ */ W-sd W E E-sd Knp nr Fgur.- Eksmpl på knudpunksnddlng plan væg. D samld lgnngssysm skal nu opslls og d bsår prncpp kun af r forskllg lgnngr: lgnngn for. knudpunk dr nddragr randbnglsn for W-sd, (.. d ( ( ( ( W ( d W lgnngn for ndr knudpunk, (..6 d ( ( ( ( ( d,,,, W 8

36 9 lgnngn for sds knudpunk n (hr vs som n 9 dr nddragr rand- bnglsn for E-sd, (..4: ( ( ( ( d ( d E E n E n,n n n,n n n Samls lgnngssysm som angv (.. fås: Kapacsmarcn: ransmssonsmarcn: andværdvkorn: Som ksmpl vsr, r dr n god dl sysmak opsllngn af lgnngskoffcnr (.., og d r naurlgvs oplag a udarbd programmr l bhandlng af dnn slags brgnngsopgavr. w w w w n c c Δ δ δ δ ρ δ ρ O O,,,, E n,n n,n,,,,,, W ( ( ( K λ δ λ δ O O ( ( ( ( f E W E W E E W W b M M M

37 Eksmpl.. Eksmpl.6. fra afsn.6 skal nu løss vd hælp af konrolvolumnmodn. I fg..- r knudpunksnddlngn vs, og af hnsyn l ovrskulghdn opsllngn af brgnngsgrundlag r dr kun valg r knudpunkr. (, s (, Anal dlngr */ W-sd W E E-sd Knp nr Fgur.- lan væg opdl konrolvolumnr. For dn, m ykk bonvæg r dr følgnd maralkonsanr: λ,7 W/mK, ρ kg/m og c 88 J/kgK. Bgyndlssbngls r, konsan mpraur gnnm værsn s, og randbnglsrn for bgg sdr r a omgvlssmpraurn for, og ovrgangssolansn r o, m K/W. Md dn vs knudpunksnddlng blvr ykklsn af konrolvolumn Δ, m. Førs opslls d r knudpunkslgnngr: d d d d d d W,, ( ( ( W,, E ( ( ( E w E Hrfr ordns lgnngssysm, og dr ndsæs a W E o, ndvdr bmærks a all solansr, dr forbndr knudpunkrn nd maral, r ns (, sam a dr for kapacrn gældr a ½ ½. d ( d o d d d d ( o o o E W

38 gnngssysm har nu formn (.. d K d fb. andværdvkorn f b Fb [ W E ] skrvs som produk af n koffcnmarc og n blasnngsvkor, dr ndholdr d knd omgvlssmpraurr: d ( d d d d d o ( o o o W E Dr skal forags n smulrng af sysm ovr fm mr md dsskrd på n m vd anvndls af MAAB-runn lsm som omal (.9.4. D numrsk brgnngr gnnmførs, som vs ndnfor, som n MAAB-sanc: % Opgvn daa lam.7; rho ; c 88; o.; d.; % Konrolvolumns varmkapac (sæs så dn kan rgns mr rho*c*d/6; % Konrolvolumns solans d/lam; % Kapacsmarcn (,.5*; (, ; (,.5*; % ransmssonsmarcn K(, /o /; K(, -/; K(, K(,; K(, K(,; K(, /; K(, K(,; K(, / /o; K % andværdmarcn Fb(, /o; Fb(, /o;

39 Fb % Omskrvnng l lsandsbskrvls (.9.4 SA nv(*(-k SA SB nv(*fb SB % Udpgnng af rsula, hr all knudpunksmpraurr S y(, S SD zros(sz(sb; % Bgyndlsslsand s [ ]'; % Blasnng w [ ]'; u [w w]; % dsaks fm mr md dsskrd på n m z [::5]'; % Smulrng rs lsm(sa,sb,s,sd,u,z,s; plo([-..],rs, b, grd I ndnsånd fg..- r rsula opgn sammn md dn ksak analysk løsnng fra ksmpl.6.. l rods for dn grov knudpunks- og dsnddlng r dr opnå rmlg rsula mn brgnngrn kan naurlgvs gørs lang bdr md n fnr nddlng af såvl brgnngsområd som af dn.

40 . Afkølng af plan væg lav mpraur ( - /( s Afsand [m] Fgur.- Brgnng md r knudpunkr og ksak løsnng..4 Konrolvolumnmodn D og D Opsllngn af d dskrsrd lgnngssysm D og D lfæld følgr samm prncp som angv afsn.. I fg..4- r vs udsn af D knudpunksn, hvor dr r ndfør o ny naboknudpunkr N og S omkrng d akull knudpunk. I D lfæld sår knudpunk forbndls md ydrlgr o knudpunkr: (op, ud af gnplan og B (bund, nd gnplan. N Δ W Δy E y S Fgur.4- Konrolvolumn D lfæld. I D lfæld r dmnsonn z-aksns rnng udn bydnng og kan drfor sæs l n, hvorfor volumn omkrng knudpunk r Δ Δy. Balanclgnngn for konrolvolumn omkrng knudpunk kan opslls drk ud fra (.. som vs (.4.:

41 ρ c Δ Δy d ( d Δ S Δy ( W S ( W ( ( Δ ( Δy ( N ( E ( ( ( N E ( ( S Δ Δy (.4. Dn lsvarnd knudpunkslgnng for D lfæld, hvor volumn omkrng knudpunk r Δ Δy Δz, r angv (.4.: ρ c Δ Δy Δz d ( d Δ Δz S Δ Δy B Δy Δz ( ( S B W ( ( ( W ( Δ Δz ( N Δ Δy ( Δy Δz ( ( ( E ( ( N ( ( ( E ( S ( Δ Δy Δz (.4. gnngrn, dr ndholdr randbnglsrn, r undr all omsændghdr hl analog md dm, dr r opsll afsn., og d ss umddlbar, a lgnngssysm også D og D lfæld ladr sg ordn på samm sandardsrd måd som angv (... Eksmpl.4. Konrolvolumnmodn D r bl.a. vlgn l brgnng af lnab for kuldbror konsrukonr fr modr angv DS 48 Brgnng af bygnngrs varmab //. rogrammr, dr anvnds l dss brgnngr, skal dog hav n vs kval, som bl.a. valdrs gnnm o sksmplr angv Ann A DS/EN ISO - /4/. D n sksmpl går ud på a frvs a brgnngsprogramm, md n afvgls dr r mndr nd, fra d ksak værdr, kan brgn mpraurrn 8 punkr n kvadrask søl som vs fg..4-. andbnglsrn r knd mpraurr på ovrfladrn, og da dr r symmr om mdraksn AD, udgør dnn n adabask rand. I fg..4- r vs ksmpl på opdlng af brgnngsområd konrolvolumnr, dr for hovdparns vdkommnd r valg kvadrask md n kanlængd på Δ /4 ( AB/4, hvlk også r afsandn mllm rfrncpunkrn md d knd mpraurr. Hl vn langs kann af brgnngsområd r dr dog volumnr md kanlængdr ½Δ Δ og d fr hørnr md ½Δ ½Δ. Knudpunkrn lggr d gomrsk mdpunk all konrolvolumnr. Hvs dr opdls på dnn måd, fås dr ald brgnngsknudpunkr sammnfaldnd md rfrncpunkrn når Δ /4, /8, /6, / osv. Ovnsånd sksmpl r afprøv smpl brgnngsprogram mpd /5/, dr r programmr MAAB. Konrolvolumnrn r nddl fr dn omal srag, og dr r gnnmrgn fr lfæld, sarnd md Δ /4. sularn fra gnnmrgnngn md Δ / r vs fg..4- form af konurkurvr (sormr, dr r opgn fr nrpolaon mllm d brgnd knudpunksmpraurr (sandardfunkon conour.m MAAB. frncpunkrns placrng r lglds markr. 4

42 B A Analysk løsnng knudpunkr y D B AB Fgur.4- s rfrnc cas. D vs ksmpl på konrolvolumnnddlng har n kanlængd på /4, hvlk også r afsandn mllm rfrncpunkrn. y-afsand s 4 Δ / afsand Fgur.4- Isormr brgn md mpd s rfrnc cas. Forsklln mllm d brgnd mpraurr rfrncpunkrn og d lsvarnd analysk bsm mpraurr (fg..4- brgns, og dnn skal vær mndr nd, for a opfyld valdrngskrr /4/. I fg..4-4 r dss afvglsr opgn for rfrncpunkrn blggnd symmrlnn (AD fg..4- for all d fr gnnmrgnd lfæld. I d øvrg rfrncpunkr r d sørs afvglsr, for d hr gnnmfør brgnngr md mpd, ald mndr nd d sørs afvglsr symmrlnn, og d ss, a programm mpd sålds opfyldr valdrngskrr undagn for dn grovs nddlng md Δ /4. D ss også, a dr kk vnds mg nøagghd vd a gå fra n nddlng md Δ /6 l Δ /. Vd 5

43 praksk brgnngr bør opdlngn af brgnngsområd forsæ, ndl o på hnandn følgnd gnnmrgnngr gvr rsular, dr kk afvgr fra hnandn md mr nd dn ønskd brgnngsnøagghd...5 Valdrng - Afvgls symmrln /4 /8 /6 / Afvgls [ ] y-afsand Fgur.4-4 Afvgls mllm brgn og ksak mpraur. 6

44 Φ k EMISKE UMMODEE. Grundlag I d forgånd r d vs, hvordan dr kan opslls brgnngsgrundlag l bsmmls af mpraurr og varmsrømm n vægkonsrukon, og dnn knk kan md sor fordl anvnds vd opsllng af mamask modllr, dr bskrvr d rmsk forhold hl rum llr n bygnng. Modllr af dnn ar anvnds l a undrsøg, hvordan ndklma rum udvklr sg afhængghd af nrn og ksrn blasnngrs sam klmasrngsanlæggs varrnd påvrknngr. Smulrngr ovr f år md ralssk drfsbnglsr og udklmask påvrknngr kan drmd afgør, om d prokrd klmasrngsanlæg kan opfyld gvn komforkrav, llr hvlk rsular dr kan opnås vd a gnnmfør forslag l nrgbsparnd foransalnngr. rmsk rummodllr l praksk brug opbyggs næsn ald ud fra dn forudsænng, a varmsrømm rgns ndmnsonal all rumafgrænsnd konsrukonsdl, lgsom d forudsæs, a rumlufn r fuldsændg opbland, så dn kan rpræsnrs vd én mpraur ( knudpunk, fg..-. $ BEASNINGE r r rn- rn pn pn- p p Φ rk Φpk n n- VENIAION Fgur.- rmsk rummodl. All d ndvndg vægovrfladr (nd mod d bragd rum kobls sammn gnnm dn gnsdg srålngsudvkslng, lgsom d udvkslr varm vd konvkon md rumlufn, hrudovr kan dr forkomm drk srålngslfør varm l dss f fra solndfald. andbnglsrn vd d ndvndg fladr r sålds af ypn bc ( knd varmsrøm og knd omgvlssmpraurr, fg..4-, mn d r dog kun rn forml, d båd lufmpraurn og all d ndvndg ovrfladmpraurr ndgår som ubknd, dr skal bsmms gnnm d samld lgnngssysm, dr udgør rummodlln. å dn udvndg sd vl d of vær udklma, dr gvr randbnglsrn (d må nødvndgvs vær knd påvrknngr, mn d kan f også vær n konsrukon, dr vndr mod ord, og så må man naurlgvs kunn forskrv ordmpraurn og dnns dsmæssg varaon. Hvs dn bragd konsrukon r adskllls l naborum, må d rums mpraur nn forudsæs knd, llr modl- 7

45 ln må udbyggs, så dr ndgår flr rum, dr l sds grænsr mod knd omgvlsr (udklma/ord.l. flrrumsmodllr. For rumlufn kan modlln umddlbar udvds l også a omfa n fugbalanc og/llr andr forurnngsbalancr (f O. Dr kan nvdr opslls brgnngsrunr (dr byggr på konrolvolumnmodn, l brgnng af fugranspor vd dffuson gnnm d rumafgrænsnd konsrukonr. Dss forhold faldr dog udn for rammrn af dnn frmsllng, mn d ndgår og bskrvs f programm BSm /6/.. Opsllng af rmsk rummodl I fg..- r vs d varmsrømm, dr mdags vd opsllngn af dn rmsk rummodl, og som prncp ndgår randbnglsrn vd d ndvndg ovrfladr sam balancn for rumlufn. B I B væg p Φ pk Φ Sp væg v u Φ Sp Φ k væg Fgur.- Blasnngr dr mdags rummodlln. D angvn varmsrømm r: Φ pk Φ Sp Φ Sp Φ k B I konvkv varmudvkslng mllm væg p s ovrflad og rumlufn srålngslfør varm l væg p s ovrflad langbølg srålngsudvkslng mllm væg p og konvkv varmlførsl l rumlufn d spcfkk vnlaonsab [W/K] vnlaonslufns ndblæsnngsmpraur [ ] rumlufns mpraur [ ] Væggn opdls konrolvolumnr som vs fg..-, hvorfr knudpunkslgnngrn kan opslls. For hvr konsrukon blvr dr r forskllg ypr af knudpunkslgnngr: n for hvr ovrflad (rand og n for d ndr knudpunkr. Opsllngn vss hr for n vlkårlg konsrukon p. 8

46 ag nr Φ Sp W-sd W E-sd rum Φ K Φ Sp Knp nr n n- - Fgur.- Konsrukon opdl konrolvolumnr og vs md randbnglsr. For d førs knudpunk blggnd på dn ndr rand fås: d A p p p ( p p Φ pk Φ Sp Φ Sp (.. d p hvor p ρ p c p Δ p A p r lags varmkapac [J/K] Dn konvkv varmudvkslng mllm ovrflad p og rumlufn kan bsmms vd: Φ α A ( B ( (.. pk pk p p op p hvor α pk r d konvkv varmovrgangsal [W/m K] Vd anvndls af dn sædvanlg forml for gråsrålr bsmms dn langbølgd noudsrålng fra p l vd: 4 4 Φ ψ f f σ A [ ] (.. Sp hvor p Ep E s p p ψ p r vnklforhold mllm flad p og [-] f E r fladns mssonsvn [-] σ s r Sfan-Bolzmanns konsan [W/m K 4 ] r fladns absolu mpraur [K] D r mdlrd uhnsgsmæssg a hav ulnær ld, dr ndgår balanclgnngrn, hvorfor srålngsldd (.. lnarsrs omkrng n passnd mddlmpraur o. Hrvd fås: Φ ψ f σ A (4 ( B ( (..4 Sp pfep E s p o p Sp p D bmærks, a dr på grund af vkslvrknngssænngn gældr, a srålngskoffcnn B Sp B Sp. Varmbalancn for knudpunk (ovrfladbalancn kan hrfr skrvs som: 9

47 d A p p p ( p p Bop ( p B Sp ( p Φ Sp (..5 d p hvorfr lddn kan ordns l: p d p d A ( p p B op A p B Sp p p B Sp Bop Φ Sp (..6 p For vlkårlg knudpunk konsrukon p gvr (.. drk: p d p d A p p, ( p, p, A p p, ( p, p, (..7 Efr omordnng af ld fås: d p A p A p A p A p p, ( p, p, d p p, p, p, p, (..8 For dn udvndg sd r dr som dlgr omal flr mulghdr for randbnglsr hr vælgs blo lfæld md knd omgvlssmpraur W (alså randbngls yp c for a vs prncpp. Balanclgnngn blvr nu: pn d pn d A p pn,n ( p,n p,n A p pw ( p,w p, n (..9 hvor uknd ld gn samls på vnsr sd, hvlk gvr: d pn A p A p A p pn p,n ( p,n d pn,n pn,n pw A p pw p,w (.. D r ypr af knudpunkslgnngr for n konsrukon kan sammnfas l: Indvndg ovrflad: d p A p A p p ( Bop B Sp p p B Sp Bop Φ Sp d p p (..6 ndr knudpunkr: d p A p A p A p A p p p, ( p, p, d p, p, p, p, (..8 udvndg ovrflad: d pn A p A p A p A p pn p,n ( p,n p,w d (.. pn,n pn,n pw Dr opslls lsvarnd lgnngssysm for all d øvrg konsrukonr dr ndgår rumm md undagls af vndur. Dr udarbds normal spcll modllr l brgnng af vndurn da, varmsrømsforholdn hr r mr komplcrd nd pw 4

48 4 vd n massv konsrukon, bl.a. på grund af absorpon af solvarm vndus glasskvr, lgsom d, på grund af glasskvrns rng ykkls, kan vær uhnsgsmæssg md n ydrlgr opdlng konrolvolumnr. Undr d gvn forudsænngr bhandls rumms lufvolumn som konrolvolumn md knudpunk, dr rpræsnrr lufmpraurn. umlufns varmbalanc opslls ud fra fg..-: K I p p op ( B ( B d d Φ (.. hvor V c ρ r rumlufns varmkapac [J/K] V c B ρ r vnlaonslufns kapacssrøm [W/K] ρ r lufns dns [kg/m ] c r lufns varmfyld [J/kgK] V r rumvolumn [m ] V r lufsrømmn [m /s] D uknd mpraurr samls på vnsr sd, hvorfr rumlufns balanclgnng r: K I p p op p op B B B (B d d Φ (.. Vnlaonsldd (.. kan supplrs md ld, dr f agr hød for nflraon og ksflraon, lufskf fra udlufnng gnnm vndur, lufovrførng mllm forskllg rum llr andr vnlaonsbdrag (svarnd l nflraon, vnng og mng BSm. Varmbalancrn må så fald supplrs md n lufbalanc, så dr sørgs for, a dr lførs og frns lg sor lufsrømm l rumm. All d opslld balanclgnngr kan hrfr samls sor lgnngssysm af formn (.7. b f K d d, hvor kapacsmarcn r n dagonalmarc, og hvor ransmssonsmarcn har n srukur som vs fg..-. Φ I vw w pw w v 4 p p 4 y y y y d d I U Φ I vw w pw w v 4 p p 4 y y y y d d I U Fgur.- gnngssysms srukur.

49 D r førs lgnngssæ rpræsnrr r almndlg konsrukonr, dr hvr r opdl anal konrolvolumnr, mns frd lgnng skal symbolsr vndu, dr hr kun omfar knudpunk placr på dn ndvndg ovrflad. Dn sds lgnng r rumlufns balanclgnng. Af fg..- frmgår d ydlg, hvordan all d ndvndg ovrfladr (lgnngr md dagonaln sammnknys ndbyrds gnnm srålngsld ( og md rumlufn ( vd konvkonsld (. I fg..- r randvkorn f Fb u udryk vd n koffcnmarc og n blasnngsvkor u, dr ndholdr d knd blasnngr. Al varmlførsl r symbolsk udryk vd én nkl sørrls Φ blasnngsvkorn, hvoraf d ndvndg ovrfladr lførs n srålngsandl (, mns lufn får konvkonsdln ( sam bdrag fra ndblæsnngsmpraurn (. All d udvndg fladr ( dagonaln K har fa dn omgvlssmpraur, dr hrskr vd dn pågældnd ydrsd (y. b Vd løsnngn af lgnngssysm forags n dsdskrsrng som angv (.8., og for a undgå numrsk sablsproblmr anvnds of dn ksplc form (d r f lfæld BSm. Vd anvndls af (.9. og (.9. md vægfakorn g vl d samld lgnngssysm få formn: ( K Δ k ( Δ k F b u k (.. llr k M N k gnngssysm løss nu dsskrd for dsskrd, d hørsdn prncpp ald r knd, og d sns brgnd værdr af mpraurrn blvr knd ( gaml værdr på hør sd d næs dsnrval. All påvrknngr blasnngsvkorn u skal for hl brgnngsprodn bskrvs vd drs sørrls og dsmæssg forkoms sam, for varmsrømmns vdkommnd, dsudn vd fordlngn mllm konvkon og srålng. Udklmaparamr kan f hns fra daabasn DY /7/, dr ndholdr mværdr for udmpraur, solnns, skydækk, m.v. Bgyndlssbnglsn, dr skal anvnds l a gangsæ løsnngn af (.., omfar som ald vd løsnng af kk saonær balancr kndskab l mpraurrn all knudpunkr l dn nul. En måd a løs d problm på (som d gørs BSm r a gnnmrgn d førs døgn smulrngsprodn vs anal gang, ndl knudmpraurrn gnagr sg slv prodsk. Når dr gnnmførs smulrngr undr ralssk drfsbnglsr vl dr vær påvrknngr blasnngsvkorn u, dr, gnnm n rgulrng, afhængr af mpraurforholdn rumm (lufmpraurn og/llr ovrfladmpraurrn. E ypsk ksmpl r, a n radaors varmafgvls skal afpasss, så dr opnås n ønsk rummpraur (rfrncmpraur, og d må brgnngsmæssg sk vd, a dr ndn for d pågældnd dsnrval forags n rav bsmmls af radaorns ydls (dr ovnfor symbolsk ndgår dn samld varmlførsl Φ, ndl 4

50 dn ønskd rumlsand opnås. å dnn måd bsmms dn dsmæssg varaon af radaorns ydls, så gvn funkonskrav opfylds og summr op ovr brgnngsprodn fås lglds dn samld nrglførsl fra varmanlægg. E ksmpl på n sådan rgulrng r vs fg..-4, dr omfar udvalg døgn fra n smulrng programm BSm. frncmpraurn for radaorn r fra m 6 l m 7 og udn for d dsrum 8. D ss, a dr kk r bhov for varmlførsl om nan da rummpraurn kk når nd på rfrncværdn, før varmanlægg sarr vd m 6 (dssyrng. Hrfr rgulrs radaorffkn afhængg af d blasnngr, dr påvrkr rumm, sålds a dn ønskd rfrncmpraur holds. Md på dagn r dr så sor solndfald, a radaorn r hl lukk, mn allgvl skr dr n lll mpraursgnng rumm, d dr kk r værksa foransalnngr l a frn varm fra rumm. Efr nd arbdsd ovrgår varmanlægg l nadrf vd m 7 (dssyrng, hvorfr rummpraurn gradvs faldr, dog udn a komm undr rfrncmpraurn 8. Fgur.-4 Eksmpl på smulrngsrsula fra BSm. D omal ksmpl md radaorydlsns rgulrng fr rummpraurn r kun n af mang rgulrngr/syrngr, dr ndgår programmr som BSm. Of vl dr vær flr lag, dr sæs gang for nn a lfør llr frn varm fra rumm, så rummpraurn kan holds ndn for ønskd grænsr. Dss syrngr må så kobls nd n prorr rækkfølg, så dr anvnds så mg af d nkl lag, som d r nødvndg, ndn d næs sæs værk. E ksmpl kan vær, a solafskærmnngn akvrs, ndn dr udlufs ksra vd vndusåbnng, som værksæs før ndblæsnngslufn fra vnlaonsanlægg køls, og blysnngn måsk slukks. Hvs dr ændrs vnlaonns sørrls, vl d hav konskvnsr for d koffcnr (.., dr omfar lufsrømmn (lufns varmbalanc, og dss må sålds opdars, ndn brgnngrn kan gnopags. I kommrcll programmr forgår opdlngn af konsrukonrn konrolvolumnr auomask fr programspcfkk rglr. I BSm nddls hvr marallag anal lg sor sykkr på n sådan måd, a knudpunksafsandn kk ovrsgr,5 m, og vd ovrfladrn ndgår halv konrolvolumnr, d dr ald læggs 4

51 knudpunk på ovrfladn (f. knudpunkrn og n fg..-. Smulrngsdsskrd r grundlæggnd én m, d vrdaa ndlæss md n ms nrvallr, mn for a opnå n rmlg brgnngsnøagghd gnnmførs dr of flr brgnngr pr. smulrngsdsskrd. I BSm r dr valg a sæ n øvr græns for brgnngsdsskrd bsm vd: ( Δ ma all mn konsrukonr ρc,5 Δ λ å grund af dn kvadrask afhængghd af lagykklsn vl spcl ynd marallag gv anldnng l lll brgnngsdsskrd (flr gnnmrgnngr pr. m, og d bør måsk ovrvs, om d krsk lag kan udlads af dn pågældnd konsrukon, udn a nøagghdn vd smulrngn ldr skad. Som d frmgår af d afsn, r d forholdsvs nkl a opsll slv dn rmsk rummodl mn for a kunn gnnmfør ralssk smulrngr af rumms llr bygnngns drf undr varrnd blasnngsforhold, skal dr ndvdr ndgå n mamask bskrvls af d komponnr og klmaknsk nsallaonr, dr gnnm drs dssyrng og rgulrng har ndflydls på ndklma. For n nærmr bskrvls af mulghdr og bgrænsnngr for smulrng af ndklma og nrgforbrug programpakkn BSm hnvss l brugrvldnngn l d program /6/.. En fornkl rmsk rummodl Dalrd rmsk smulrngsprogrammr, som bskrv d forgånd, krævr også mang og dalrd nddaa daa som almndlghd kk knds dn allrdlgs prokrngsfas. Dr kan drfor vær god grund l a hav fornkld arbdsrdskabr, dr md mnmum af daa kan gv førs ralssk svar på, hvordan ndklmaforholdn vl blv vd forskllg valg af konsrukonr og klmaknsk løsnngr. Dn ms smpl rmsk rummodl, dr ovrhovd kan opslls, hvor dr sadg ags hnsyn l dn varmakkumulrnd vrknng konsrukonrn, r også n form for konrolvolumnmodl, mn md kun é knudpunk. I d knudpunk samls al dn rmsk mass (varmkapac, dr formods a hav ndflydls på ndmpraurn, og drfr rgns al varmransmsson gnnm d rumafgrænsnd konsrukonr uafhængg af varmakkumulrngn. Modlln r symbolsk vs fg..-. Φ S B u Φ u Fgur.- Fornkl rmsk rummodl. umms varmbalanc kan nu udrykks vd: 44

52 S d( Φ( B(( u( d (.. hvor s r rumms brgnngsmæssg varmkapac [J/K] Φ r dn samld varmlførsl fra nrn og ksrn kldr [W] B r d samld spcfkk varmab vd ransmsson og vnlaon [W/K] r rummpraurn [ ] r udmpraurn [ ] u Vd ovnsånd opsllng af modlln r d forudsa, a al varmab skr l udlufn, mn dr r naurlgvs kk nog l hndr for, a dr kan rgns ransmsson gnnm d ndvndg konsrukonr l lgrænsnd rum md andr mpraurr, llr a vnlaonslufn kan hav n andn ndblæsnngsmpraur. D bmærks ndvdr, a når dr r saonær forhold, dvs. a all sørrlsr (.. r konsan dn, så ovrgår dffrnallgnngn (.. l n almndlg saonær balanclgnng: Φ B( (.. u Balanclgnngn (.. omskrvs l: d( d ( ( u ( Φ( B (.. hvor s /B r rumms karakrssk dskonsan [sc]. Dn fornkld rumbalanc har nu samm form som (.9.4, alså n lsandsbskrvls dr kan smulrs md Malab-funkonn lsm. d SA SBu d (..4 S SDu hvor SA SB B u u r blasnngsvkorn Φ S SD [ ] 45

53 Eksmpl.. D vss l, a dn analysk løsnng l dn fornkld rumbalanc (.. r bsm vd: ( ( u Φ( o (..5 B hvs bgyndlsslsandn r o, og blasnngrn ( u og Φ r konsan for. D ss ndvdr af (..5, a dskonsann spllr n væsnlg roll forbndls md d analysk løsnngr. gnng (..5 omskrvs sålds, a rumms mpraursgnng ud fra bgyndlssværdn kan bsmms: Δ ( ( o ( u Φ o ( (..6 B Dnn funkon r opgn fg..- for o forskllg blasnngslfæld: a dr påførs n konsan varmblasnng Φ l dn (dr hr r sa l m 8 b lsvarnd påførs n blasnng af samm sørrls 8 mr, hvorfr blasnngn r nul 6 mr. D gnags ovr n rækk døgn. mpraurforløb vd konsan blasnng Φ hl prodn B 6 W/K 6 h Φ W mpraurforløb vd prodsk varrnd blasnng Udmpraurn r forudsa konsan hl prodn Fgur.- o forskllg mpraurforløb. I lfæld a vl mpraursgnngn frhåndn nå n fas værd bsm vd a lad dn gå mod undlg (..6: Δ ( ( o u Φ o (..7 B llr ( u Φ (..8 B 46

54 sula (..8 vll man lglds få, hvs dn saonær balanc (.. anvnds, mn som d ss af fg..-, går dr r lang d, ndn dnn lsand opnås (mnds 5 gang dskonsann!. D kan dog næpp forvns, a n blasnng holdr sg konsan ovr så lang n prod, så hr r lfæld b nok mr ralssk. mpraurforløb lfæld b kan brgns vd gnagn anvndls af (..6 vd skfvs a sæ blasnngn l Φ 8 mr og drfr l nul 6 mr md dn sns brgnd værd af rummpraurn som bgyndlssværd dn næs prod. Mn brgnngrn kan naurlgvs også smulrs MAAB vd anvndls af (..4. I lfæld b ndsllr rummpraurn sg fr nogn d l a svng prodsk omkrng n mddlværd. Dnn mddlværd kan brgns af dn saonær balanc (.., hvs blasnngrns mddlværdr anvnds. I d vs lfæld r blasnngns døgnmddlværd 8/4 / af blasnng lfæld a, og følglg r dn gnnmsnlg mpraursgnng også kun / af sgnngn lfæld a. D ksmpl vsr md al ydlghd, a hvs dr anvnds saonær varmbalancr, så skal dr anvnds mddlværdr for all d ndgånd blasnngr ag ovr n passnd lang prod, og aldrg n prod dr r korr nd døgn. Hvs d kk ovrholds, vl dr forkomm mg msvsnd rsular vd anvndls af n saonær varmbalanc. I fg..- r vs, hvad dr skr md rummpraurn, hvs blasnngslfæld b smulrs md n sørr dskonsan, mns all øvrg forhold r uændrd. Ign konsars d, a rummpraurn fr nogn d svngr prodsk omkrng n mddlværd, mn a udsvngn r blv mndr nd før. 6 5 mpraursgnng d mr B 6 W/K Φ W dskonsan 6 h dskonsan 4 h Udmpraurn r forudsa konsan hl prodn Fgur.- rodsk mpraurforløb vd o forskllg dskonsanr. Dn sørr varmkapac bvrkr, a d agr længr d, ndn dn prodsaonær lsand ndrædr, sam a udsvngn fra mddlværdn blvr mndr. Mddlværdn r uændr og drmd slvfølglg uafhængg af rumms varmkapac. 47

55 D ksmpl læggr op l n mg nkl brgnngsmod l bsmmls af rums prodsaonær døgnmddlmpraur sam dn forvnd maksmalmpraur kun ud fra nogl gansk få oplysnngr om rumm og d rmsk påvrknngr. Bnglsn r dog, a blasnngrn gnags prodsk og gnnm så lang d, a dn prodsaonær lsand r ndråd, og drfor r modn særlg gn l n førs undrsøgls af d rmsk ndklma n varm sommrprod..4 Døgnmddlmpraur og maksmal udsvng Md udgangspunk d ovrvlsr dr frmgår af ksmpl forgånd afsn, r dr /8/ angv n smpl mod l brgnng af rums døgnmddlmpraur og mpraurns maksmal udsvng fra mddlværdn. Modns grundrn bskrvs kor d følgnd. umms døgnmddlmpraur brgns ud fra n saonær varmbalanc for fr varm, hvor dr anvnds døgnmddlværdr af all ndgånd påvrknngr: hvor hvor Φfr Bu ( u Br ( r B ( (.4. B u u B r r B r døgnmddlværdn af rummpraurn [ ] r d spcfkk varmab vd ransmsson l udlufn [W/ ] r døgnmddlværdn af udlufmpraurn [ ] r d spcfkk varmab l naborum md andn mpraur [W/ ] r døgnmddlværdn af naborumms mpraur [ ] r d spcfkk varmab vd vnlaon [W/ ] r døgnmddlværdn af vnlaonslufns ndblæsnngsmpraur [ ] Φ fr r døgnmddlværdn af varmlførsl [W] B u ΣU u A u [W/ ] B r ΣU r A r [W/ ] B c m c ρ V,4nV [W/ ] U r konsrukonns ransmssonskoffcn [W/m ] A r konsrukonns aral [m ] c r lufns varmfyld [J/kg ] m r vnlaonslufns masssrøm [kg/s] V r vnlaonslufns volumnsrøm [m /s] n r lufskf [h -] V r rumms volumn [m ] 48

56 D r vd opsllngn af (.4. forudsa, a vnlaonn r konsan ovr døgn. Hvs naborum forvns a hav samm mpraur, som d rum dr rgns på, sæs dn pågældnd varmabsfakor B r. øss (.4. md hnsyn l rummpraurn fås: Buu Brr B Φfr (.4. B B B u r Hvs dr kk ags hnsyn l varmudvkslng md naborum, og hvs vnlaonn udlukknd skr md udluf, kan (.4. fornkls l: Φfr u (.4. B B u gnng (.4. angvr, hvor mg d lfør blasnngr hævr rummpraurn ovr udmpraurn. I mang lfæld knds varmlførsln form af døgnsummr af d forskllg påvrknngr, og ffkn kan da fnds af: Q Qs Φfr ( hvor Q r dn samld varmlførsl ovr døgn fra nrn kldr [Wh/døgn] Q s r dn samld varmlførsl ovr døgn fra solndfald [Wh/døgn] Hvs rumms døgnmddlmpraur brgn fr (.4. llr (.4. kk opfyldr gvn krav l d rmsk ndklma, må dr forags ændrng af n llr flr af d ndgånd sørrlsr. D kan f vær n rdukon af varmlførsln vd a anvnd afskærmnng for soln, n forøgls af vnlaonn (B sørr llr måsk a afkøl vnlaonslufn undr udmpraurn. I appndks fnds n rækk oplysnngr om udklmaparamr og andr udvalg blasnngr l brug vd brgnngrn. Når døgnmddlmpraurn fr (.4. r på plads, kan dr vær bhov for a forag n ovrslagsmæssg vurdrng af mpraurvaraonn ovr døgn. ummpraurns udsvng dæmps dls gnnm rumms varmab, dls gnnm rumms vn l a akkumulrr varm og afhængr ndvdr af hvor sor varaon, dr r blasnngrn ovr døgn. Forsklln mllm dn maksmal og dn mnmal rummpraur kan bsmms af: 49

57 ΔΦ ΔΦ K K, s ΔΦ K,u Δ ma mn (.4.5 B u B r B B akk B u B r B B akk hvor ΔΦ K r forsklln mllm sørs og mnds konvkv varmblasnng (mværdr [W] ΔΦ K,s r forsklln mllm sørs og mnds konvkv varmblasnng fra nrn varmkldr og solndfald (mværdr [W] ΔΦ K,u r varaonn dn konvkv varmblasnng som følg af udlufmpraurvaraonn (mværdr [W] r rumms varmakkumulrngsvn [W/ ] B akk D nkl bdrag l varmblasnngrn kan rfarngsmæssg bsmms på følgnd måd: Δ ΦK, s [( Φ Φsol -, mn] ma Φ (.4.6 ΔΦ K,u Δ ub u,vn Δ B (.4.7 hvor Φ r summn af varmblasnngr fra prsonr, blysnng og udsyr [W] Φ sol r solndfald gnnm glasfladr [W] Δ u r forsklln mllm sørs og mnds udmpraur [ ] B u,vn r d spcfkk ransmssonsab gnnm vndurn [W/ ] Δ r forsklln mllm sørs og mnds ndblæsnngsmpraur [ ] r d spcfkk varmab vd vnlaon [W/ ] B Hvs dr vnlrs md udluf r Δ Δ u. umms varmakkumulrngsvn B akk omfar dn samld varmkapac af nvnar og dl af d ndrs marallag af all bygnngsdl, dr vndr nd mod rumm. Ovrslagsmæssg værdr kan ags fra ndnsånd abl. abl.4. Vldnd værdr for varmakkumulrngsvnn B akk pr. m gulvaral for forskllg ypr rum. Dr r forudsa maksmal mrs varmblasnng pr. døgn. /8/. Bgnls Bskrvls Akkumulrngsvn W/ m Eksra l Mddl l Mddl ung Eksra ung um md l skllvægg, f skl md bklædnngspladr, og hl udn ung konsrukonsdl. um md ndvndg vægg af lbon og kun uvæsnlg ung konsrukonsdl. um md én ung, domnrnd konsrukon, f bonlof llr - konsrukonr af gl um md flr ung konsrukonr, f bondæk og lof sam skllvægg af gl llr lbon

58 Eksmpl.4. Dr forlggr n førs sks l konorbyggr, hvor dr rgns md a vndusaral udgør % af gulvaral, hvorvd rsn af ydrvægsaral udgør 45 % af gulvaral. Dr skal gvs ovrslag ovr døgnmddlmpraurn n varm sommrdag, når dr vnlrs md udluf, og dr ss bor fra varmudvkslng md naborum. Md d gvn forudsænngr kan lgnng (.4. anvnds. Følgnd sørrlsr brgns ovrslagsmæssg: Varmab Brgnng W/ pr. m gulvaral Spcfk varmab gnnm vndur md U,,5,,5 W/m Spcfk varmab gnnm ydrvæg md,45,,9 U, W/m Saml B u,9 Spcfk varmab vd vnlaon md n lufsrøm på,4 l/s pr. m gulvaral (normal nødvndg for a oprhold n god lufkval, 6,4 - (.4. B,7 I konorr rgns md n prsonæhd på, prson pr. m gulvaral, og dr vl drfor forkomm døgngnnmsn for nrn varmlførsl fra prsonr, ludsyr og blysnng på 6 W pr. m gulvaral hvoraf blysnngn udgør,5 W pr. m gulvaral. Solndfald gnnm vndur brgns af (forml A., (s appndks: Φ sol g fβ f afsk f skyg f glas A vn I sol f afsk f S A vn I sol hvor f s ovrslagsmæssg sæs l,5. Brgnngrn gnnmførs for døgn augus månd hvor, døgnmddlværdn af udmpraurn r,5 (abl A., og døgnsummn af solndsrålng for sydvnd vndu r 48 Wh/ m (abl A. svarnd l 48/4 W/m døgngnnmsn. ummpraurn brgns udn blysnngsvarm og udn solafskærmnng (f afsk. Φfr 4,5,5, u,5,5,7, B B,9,7 u Gnnmsnsmpraurn blvr sålds al for hø, så dr forsøgs md solafskærmnng md udvndg rullgardnr, hvor solafskærmnngsfakorn r f afsk, (abl A.4. D anss dog for nødvndg md ænd blysnng, når dr afskærms for soln. Døgnmddlmpraurn blvr nu: Φfr 4,5,5,,5, u,5,5 4,8 5, B B,9,7 u 5

59 Dn opnåd gnnmsnsmpraur svarr nognlund l komformpraurn for prsonr md l sommrbklædnng, så gnnmsn r mpraurforholdn accpabl, mn d må rndrs, a rummpraurn ald vl vær hør arbdsdn. Da blasnngrn næpp kan ndbrngs ydrlgr, må d dn vdr prokrng ovrvs, om vnlaonn kan øgs så døgnmddlmpraurn sænks. 5

60 FINIE EEMEN MEODEN 4. Elmn og mpraurfunkon Vd lmnmodn opdls brgnngsområd gomrsk mndr dlområdr dr kalds lmnr hvorl dr knys anal knudpunkr md lhørnd knudpunksmpraurr. Mn modsænng l konrolvolumnmodn, hvor dr kun opnås kndskab l én mpraur pr. konrolvolumn, vdagr man på forhånd, hvordan mpraurfordlngn hn ovr lmn skal forløb. å dnn måd opnås prncpp kndskab l n konnur mpraurfordlng ovr hvr lmn og drmd ovr hl brgnngsområd. Dr r r sor frhd md hnsyn l lmnrns gomr, og nogl ksmplr r vs fg Dr placrs knudpunkr hvr nd af lnlmn og hvr hørn af o- og rdmnsonal lmnr. Dr kan dog ndlæggs flr knudpunkr all d vs lmnr, hvs d krævs l bsmmls af dn mpraurfunkon dr vælgs for lmn d vl dog kk blv brør nærmr dnn nrodukon l lmnmodn. D lmn D lmn D lmn n rkan radr Frkan rsm Fgur 4.- Eksmplr på lmnr md knudpunkr. nlmn r naurlgvs slvskrv, når dr rgns på ndmnsonal forhold. Vd D brgnngr r rkanlmn mg populær, d dr kan opnås n god udfyldnng af all gomrr, også når dr oprædr krumm rand. Dn mpraurfordlng, dr vælgs hn ovr lmn, skal nydg kunn udrykks vd lmns knudpunksmpraurr. D bydr f, a for lnlmn md o knudpunkr, som vs fg. 4.-, r d kun mulg a hav lnær forløb af mpraurn mllm d o knudpunkr dr skal nop o punkr l a bsmm n r ln. lsvarnd gældr for d vs rkanlmn, a mpraurfordlngn udgør n plan flad udspænd af d r knudpunksmpraurr. D omal mpraurfordlngr r vs fg. 4.- øvrs. For a karakrsr mpraurforløb hn ovr lmn dfnrs n formfunkon llr nrpolaonsfunkon for lmn, og dr knys n funkon l hvr knudpunk som vs ndrs fg Inrpolaonsfunkonn vsr, hvor mg af dn pågældnd knudpunksmpraur dr mdrgns gv sd på lmn, 5

61 og drfor har nrpolaonsfunkonn ald værdn én knudpunk og værdn nul lmns øvrg knudpunkr. k k α α α y y N N ( N ( N N (, y k y Fgur 4.- mpraurfordlng og formfunkonr for ln- og rkanlmn. For lnlmn kan lmns formfunkon udrykks på følgnd måd: N ( N ( hvor ( ( N r lmns formfunkon ( fg. 4.- r lmn r lmns længd [m] r n knudpunkskoordna [m] r løbnd koordna [m] (4.. Md (4.. kan mpraurn hn ovr lmn udrykks vd: ( N( N ( (4.. hvor ( r mpraurfordlngn ovr lmn [ ] r mpraurn lmns knudpunk [ ] Indsæs (4.. (4.. frmgår dn rlnd mpraurfordlng ovr lmn ydlg: ( ( (4.. Af (4.. frmgår d umddlbar, a mpraurfunkonns hældnngskoffcn r: 54

62 d( ( d(n( d(n ( (4..4 d d d Da varmsrømmn gnnm lmn r proporonal md mpraurgradnn, kan varmsrømmn alså også udrykks gnnm knudpunksmpraurrn og dn afldd af formfunkonn. gnng (4.. ladr sg hnsgsmæssg udrykk vd følgnd mar-skrvmåd: ( N N( N ( (4..5 hvor N [N ( [ ] N (] [ ] å lsvarnd måd udrykks mpraurgradnn vd: d( ( d d(n ( d d(n ( d B B( B( (4..6 hvor B [B ( B (] [ ] D r værd a bmærk, a båd mpraurfordlngn og mpraurgradnn udrykks gnnm o ld, nmlg formfunkonn N og dffrnalkvonn af formfunkonn B, dr bgg kun afhængr af lmns gomr sam knudpunksmpraurrn. Eksmpl 4.. For rkanlmn vs fg. 4.- gældr lsvarnd følgnd gnrll udryk, når knudpunkrn nummrrs md, og k rnng mod ur: (,y N N (,y N (,y hvor N (,y (4..7 N N N N k [ N N N ] A A A [ y [ k y [ y k k k y y y k (y (y (y k y k k ( k k y] y ( y] y ( A r rkanlmns aral [m ] k y] 55

63 ( (,y B ( (,y y hvor B A (y ( k N N y y k (y k y ( k (y ( y (4..8 mpraurfordlngn ovr hl brgnngsområd fås vd a sammnsykk lmnrns formfunkon l n global formfunkon. D r vs for D lfæld fg. 4.-, hvor brgnngsområd r opdl n- lmnr, hvorvd dr opsår n knudpunkr. Endvdr r forholdn anyd for D lfæld md rkanlmnr. - n- n - n- n y N ( N - ( N ( N ( N n- ( N n ( - n- n - n- Fgur 4.- Dn global formfunkon vd ln- og rkanlmnr. mpraurn ovr hl brgnngsområd kan hrfr udrykks vd: N [N...N hvor M...N n ] M n angvr knudpunksnummr ovr hl brgnngsområd ndholdr all knudpunksmpraurr hl brgnngsområd (4..9 D r karakrssk for lmnrn N dn global formfunkonsmarc, a d anagr værdn n, d knudpunk d lhørr, og værdn nul all andr knudpunkr. N r sålds kun forskllg fra nul d lmnr, hvor knudpunk ndgår. For lnlmn kan d udrykks på følgnd måd: 56

64 N ( for N( for for all andr værdr af N ( (4.. Undr kk-saonær forhold vl knudpunksmpraurrn afhæng af dn, og d r da mulg a bsmm dn dsafldd af mpraurfunkonn: d( N [N...N d d( d M d (...N n ] d M d n ( d (4.. Efr dss ndldnd ovrvlsr om lmngomr og mpraurfordlng ovr lmnrn sår nu lbag a faslægg n mod l bsmmls af d uknd knudpunksmpraurr. 4. D mamask grundlag For a vs prncpp opsllngn af fn lmn modn ags dr udgangspunk dn gnrll varmsrømslgnng (..8 dn ndmnsonal udgav md hrl hørnd rand- og bgyndlssbnglsr. Brgnngsområd opdls n- lnlmnr som vs fg. 4.- md n knudpunkr sålds a dn lnær formfunkon (4..5 r gældnd. Opdlngn forags på n sådan måd, a hvr lmn kun ndholdr maral. Dn lnærmd mpraurfunkon kan nu udrykks vd (4..9 som: (, N( [N (...N ( M (...N n (] ( M ( n (4.. Da dnn funkon kun r n lnærmls, vl dn kk lfrdssll (..8 ksak, så drfor vl dr frmkomm n rsdual (,: (, (, r(, ρ(c( ( λ( S(, (4.. Da dr r n uknd knudpunksmpraurr, kan dnn lgnng kk drk anvnds l drs bsmmls. I sd bsmms knudpunksmpraurrn sålds a: 57

65 b a (, (, v ([ ρ(c( ( λ( S(, ]d hvor ESIDUA v ( r n vægfunkon,,, n a og b r brgnngsområds bgrænsnng (4.. gnng (4.. krævr sålds, a n væg værd af rsdualrn blvr nul. Dn ksak løsnng vl naurlgvs ald gør d ngral l nul, uans hvlkn vægfunkon dr anvnds. I d følgnd sæs vægfunkonn lg md dn global formfunkon Galrkns mod (opkald fr Bors Grgoryvch Galrkn, , russsk mamakr og ngnør hvorvd dr frmkommr d nødvndg n lgnngr l bsmmls af d n uknd knudpunksmpraurr. v ( N ( v( M v( v ( M vn ( N( (4..4 (4..4 ndsæs (4.. og ngral opdls: b a (, N( ρ(c( d b a N( (, ( λ( d Dr forags n dlvs ngraon af and ld: b a N( S(, d b a ρ(c(n( (, d (, b ([N( λ( ] a b a N( (, ( λ( d b a N( S(, d And ld udrgns: (, b [N( λ( ] a hvor (b, (a, (N(b λ(b N(a λ(a N(b (b, N(a (a, (a r varmsrømsnnsn [W/m ] -rnng vd a (b r varmsrømsnnsn [W/m ] -rnng vd b D ovrflys l lgnngns hør sd sammn md d sds ngral, hvorvd randbnglsrn auomask ndgår lgnngrn. b a ρ(c(n( (, d b a N( (, ( λ( d[ N(b (b, N(a (a, ] b a N( S(, d Af (4.. fås: 58

66 (, N(( (, d( N( d (, dn( ( B(( d N( B( Som ndsa gvr: b d( d ρc N N d B λ B( d (N(b (b (N(a (a a b a Da mpraurvkorn kk afhængr af, og når maralparamrn r konsan ndn for hvr lmn fås: b a N Sd b b ( d( ρcn Nd ( B Bd( (N(b (b (N(a (a N Sd d λ a a a f 44 hvor d( d b ρ cn a b Nd K( r kapacsmarcn K B λ Bd r ransmssonsmarcn a (a f b M r randværdvkorn (b b f l N Sd r lasvkorn a b b fl (4..5 Fn lmn lgnngssysm (4..5 r nu brag på dn gnrll løsnngsform som angv (.7. og d bmærks, a marcrns lmnr udlukknd r bsm gnnm dn valg formfunkon og naurlgvs d ndgånd maralparamr. Opsllngn af lmnmodn d o- llr rdmnsonal lfæld følgr hl dn samm procdur, og også hr vl d ndgånd koffcnmarcr vær bsm gnnm dn valg formfunkon. 59

67 ( Områd ρcn d NdΩ ( d Områd B λbdω and N dψ n Områd N SdΩ (4..6 hvor områd Ω r brgnngsområd (D fladngral, D volumnngral rand Ψ r brgnngsområds rand (D lnngral, D fladngral n r dn udadgånd varmsrømsnns vnklr på randn Brgnngsudrykkn for og D skal kk forfølgs nærmr hr, mn dr kan f hnvss l //. 4. Elmnlgnngr I (4..6 r angv d samld lgnngssysm for hl brgnngsområd, mn ngraonn kan opdls, så hvr ngral kun ndholdr lmn, hvorvd lmnlgnngrn frmkommr. For d ndmnsonal lnlmn fås af (4..5: d ( ( ρcn N d ( B λb d ( (N ( (N ( N S d ( 4.. d llr d ( d K fb f l (4.. Formfunkonn og øvrg bgnlsr frmgår af fg N N ( N ( N( ( N ( ( Fgur 4.- Formfunkon for d lnær lnlmn. Hrfr kan d nkl ld (4.. brgns. For kapacsmarcn fås: ρcn N d ρc ( ( ( ( d 6

68 6 ρ d ( ( ( ( ( ( c ρ ρ ρ ρ 6 6 c c 6 c 6 c (4.. ransmssonsmarcn fås vd hælp af (4..6: λ λ λ d d d B B K λ λ λ λ K (4..4 andværdvkorn blvr: b ( f b f (4..5 Slulg fås lasvkorn undr forudsænng af, a varmprodukonn S r konsan ovr lmn: S d ( ( S d S N f l l S S f (4..6 Sammnfand havs følgnd marcr for d lnær lnlmn:

69 6 c 6 6 ρ (4.. λ K (4..4 b f (4..5 l S S f (4..5 Elmnlgnngrn kan nu sammnfas l: S S d d d d 6 6 (4..7 æggs d o lgnngr (4..7 sammn fås: S d d d d Ellr udryk ord: dn samld ændrng af lmns varmndhold r lg summn af d lfør varmsrømm. Førs hovdsænng r sålds opfyld. K K d d d d K K d d d d Dn samld ændrng af akkumulr varm lmn r: d d d d ( d d d d ( c ρ Fgur 4.- Varmakkumulrng lmn.

70 6 4.4 Samlng af lmnr All oplysnngr om gomr og fysk r nu saml lmnlgnngrn, hvorfr dss skal samls for hl brgnngsområd. Samlngn skal forgå på n sådan måd, a dn fyssk konnu bvars, og md udgangspunk fg ss d, a dr for lmn gældr: (4.4. (4.4. ½S N ( N - ( N ( - - n- N n- ( N n ( N ( n- n ½S N ( N - ( N ( - - n- N n- ( N n ( N ( n- n N ( N - ( N ( - - n- N n- ( N n ( N ( n- n Fgur 4.4- Samlng af lmnr. Samlprocdurn vss hr for samlngn af lmn - og fg hvorl r kny lmnlgnngn (4..7. Elmnlgnngn opskrvs for hvr lmn: For lmn -: S S d d d d 6 6 og for lmn : S S d d d d 6 6 D lokal knudpunksmpraurr rsas nu af d global fr (4.4. og samdg udvds d o lgnngssysmr, så all r nvolvrd global knudpunksmpraurr ndgår bgg lgnngr:

71 64 S S d d d d d d 6 6 S S d d d d d d 6 6 D o lgnngr kan nu læggs sammn, og dr ags hnsyn l (4.4. knudpunk, hvor varmsrømmn ud af lmn - r lg varmsrømmn nd lmn. S S S S d d d d d d 6 6 ( 6 6 (4.4. Dr forsæs fr samm rcp, ndl all lmnr brgnngsområd r saml. I d ndmnsonal lfæld, dr hr r anvnd for a llusrr samlprocdurn, blvr båd kapacs- og ransmssonsmarcn båndmarcr, hvlk kk r lfæld vd flrdmnsonal problmr. En ng gældr dog ald, nmlg a randværdvkorn kun ndholdr lmnr forskllg fra nul randknudpunkrn, som d også frmgår af (4.4.. D ndlg lgnngssysm, dr frmkommr fr dnn samlprocdur, r naurlgvs dnsk md d, dr frmkommr af (4..5, hvor ngraonn udsrækkr sg ovr hl brgnngsområd og drfor bsmmr d samld marcr. Samlprocdurn forrækks dog of vd masknl bhandlng af brgnngrn, da dr kan opslls nkl rglr for samlprocdurn, og lmnlgnngrn kan gnbrugs fra brgnng l brgnng. Eksmpl 4.4. D samld lmnlgnngssysm skal opslls for n plan væg bsånd af o marallag som vs fg D anags, a brgnngrn skal forags undr saonær forhold, sam a dr kk forgår varmudvklng væggn. Af hnsyn l ovrskulghdn opdls brgnngsområd kun o lmnr.

72 λ λ Områd opdls lmnr dr hvr u kun ndholdr maral Fgur 4.4- lan væg opdl o lnær lnlmnr. Konnusbnglsrn r: u gnng (4.4. kan drk anvnds d lfæld (md, og dr fås: u md λ (4.4.4 gnngssysm kan dog kk løss, før randbnglsrn r klarlag og som dlgr nævn, skal dr ald ndgå mnds én mpraur randbnglsrn. Bhandlngn af randbnglsr frmgår af næs afsn. 4.5 andbnglsr Som d frmgår af d gnrll lgnngssysm (4..6/4..5 llr af lmnlgnngn (4..7, så ndgår randbnglsrn drk randværdvkorn og d skal drfor spcfcrs hvr konkr brgnngslfæld. Som dlgr vl d ndmnsonal lfæld blv brug l a anskulggør dn gnrll frmgangsmåd for bhandlng af randbnglsr, og for ovrskulghdns skyld gnnmførs ovrvlsrn d saonær lfæld udn ndr varmudvklng. Dr ags udgangspunk d lfæld, dr r vs fg. 4.5-, hvor dr r n knd ovrfladmpraur på dn n rand (randbngls yp a og n knd varmsrøm på dn andn rand, dog gv som n kombnaon af knd omgvlssmpraur og solans, sam n knd varmsrøm (yp bc. gnng (4.4.4 anvnds som udgangspunk. 65

73 66 u λ λ u λ λ u u λ λ Fgur 4.5- andbnglsr og lgnngssysm. andbnglsrn r som følgr: Knd mpraur på rand : o (4.5. Knd varmsrøm vd rand : s u u u ( (4.5. D ndførs sysmlgnngn (4.4.4: ( ( s u u o (4.5. Når dr ndgår n knd randmpraur, skal knudpunkslgnngn for dnn rand naurlgvs kk anvnds l bsmmls af mpraurn, og lgnngn skal drfor frns fra d samld lgnngssysm. gnngn kan, når d uknd mpraurr r brgn, anvnds l bsmmls af varmsrømmn. andmpraurn ndgår mdlrd også lgnng nr. o (gnnm førs marlmn, mn da d r knd sørrlsr, skal ldd flys ovr på lgnngns hør sd. I sds lgnng oprædr dn uknd knudpunksmpraur på hør sd og dn skal flys ovr på vnsr sd. Efr dss opraonr sr d færdg lgnngssysm sålds ud: s u u o u (4.5. Eksmpl 4.5. I n plan homogn væg md ykklsn og varmldnngsvnn λ forgår n nrn varmudvklng S. Brgn mpraurfordlngn gnnm væggn sam varm- u

74 67 srømmn vd randn når randmpraurrn r knd, og væggn opdls fm lmnr md længdn. Forholdn r saonær. Dr anvnds følgnd alværdr:,5 λ S og B 6 B (all md afsm nhdr. Elmnopdlngn ss af fg Elmnlgnngn frmgår af (4..7: S S Fgur 4.5- Brgnngsområd og knudpunksmpraurr. D ndgånd konsanr brgns:,5,5 S,5 λ Hraf fås lmnlgnngrn dr r ns for all lmnr:,5,5 Hrfr samls d fm lmnr, d dr r følgnd konnusbnglsr: B B,,,,, og ,,,,, D samld lgnngssysm r:,5, B 5 4 B,5, B 5 4 B B B B B B B

75 Da dr r knd mpraurr på randn, skal førs og sds lgnng frns, hvlk kan gørs gnnm dn vs opdlng af lgnngssysm. D opdl lgnngssysm kan symbolsk skrvs som følgr: M V M V K V M V M4 B B 6 N f l N Gangs ud fås: V K V f B B K f (V B V B l l Hvorfr lgnngssysm kan løss for d uknd knudpunksmpraurr. Md ndsa alværdr fås: [,,5,5,] Knudpunksmpraurrn og dn lnærmd mpraurfunkon r opgn fg sammn md dn ksak løsnng (s ksmpl.6.. Da problm r symmrsk om væggns mdraks, vl dr opnås bdr rsular, hvs dr anvnds lg anal lmnr, sålds a dr læggs knudpunk mdn af væggn mpraur [ ] Fgur 4.5- Knudpunksmpraurr og ksak løsnng. Varmsrømmn brgns nu af førs og sds lgnng, dr gvr: B M V M B N M B V M B N,5 og B M V M4 B 6 N 6 (M B V M4 B N,5 68

76 Varmsrømmn r naurlgvs lg sor og bgg har rnng ud fra væggn. Dn numrsk sum af d o varmsrømm r lg dn samld varmprodukon væggn (5 S Brgnng af kuldbro I bygnngskonsrukonr fnds uundgålg n lang rækk kuldbror dl af konsrukon md markan dårlgr solans nd rsn af konsrukonn hvor varmsrømmn udbrdr sg o- llr r dmnsonr, hvorfor varmsrømmn kk ladr sg brgn på nkl måd. Vd sådann problmsllngr r d oplag a anvnd fn lmn modn l a gnnmfør n analys af mpraur- og varmsrømsforhold. Dr fnds sor udvalg af brgnngsprogrammr, dr byggr på fn lmn modn som n gnrl løsnngsmod l parll dffrnallgnngr. Mn dr fnds også programmr, dr ndrs l løsnng af fagspcfkk områdr d lfæld alså varmldnngsproblmr. rogrammrn opbyggspå n måd, så dr sor s kun skal gørs rd for gomr, maralgnskabr og randbnglsr (og v. bgyndlssbnglsr, hvorfr lmnopdlng og løsnng forgår auomask. Hr skal blo nævns nogl få ksmplr på sådann programmr: rogramm AFEM // bsår af udvalg af lmnlgnngr, n samlprocdur og n lgnngsløsr form af MAAB-runr (m-flr, og programm skal drfor afvkls undr MAAB. rogrampakkn r prmær udvkl l undrvsnngsbrug, d dr manul skal udarbds n programsump md d nødvndg procdurkald, lgsom gomrn skal opbyggs manul. rogramm HEM // r fuld færdg program l brgnng af D saonær varmldnng md grafsk npu af gomr og auomask ngnrrng. rogramm har dn særhd, a dr kk drk brgns varmsrømm mn a dss fås som n ækvvaln ransmssonskoffcn U D, hvorfr varmsrømmn må brgns ud fra dn mpraurforskl, dr r anvnd vd brgnngn. Slulg skal nævns programm OMSO Mulphyscs M //, dr, som navn anydr, kan anvnds på sor s all fyssk problmr dr bskrvs vd parll dffrnallgnngr hrundr også varmldnng n, o og r dmnsonr såvl saonær som kk-saonær. Hr r også grafsk npu af gomr og auomask lmngnrrng, sam n funkon dr kan forfn dn gomrsk opdlng af brgnngsområd, hvs dr r bhov for d af hnsyn l brgnngsnøagghdn. I ndnsånd analys af n kuldbro r d program anvnd. Som udgangspunk for n analys af n kuldbro ss dr på samlngn af o bonsandwchlmnr n facad som vs fg I samlngn ndgår n omsøb sålsøl som n dl af bygnngns bærnd sysm, og hr r konsrukonn markan dårlgr solr nd dn øvrg konsrukon. 69

77 Fgur 4.6- Kuldbro bonsandwchlmn. Indn brgnngrn forags dr n rækk fornklngr: dr ss bor fra all affasnngr dn vs lassk fug rsas af hhv. bon og solrng d rspkv marallag dr rgns md samm varmldnngsvn for bon for- og bagplad (,5 W/mK dr rgns md samm varmldnngsvn for d o ndgånd solrngsmaralr (,7 W/mK sålsøln (HE B rgns a hav n varmldnngsvn på 55 W/mK dr rgns saonær, og forholdn anss for odmnsonal. Førs skal randbnglsrn faslæggs, og da brgnngsrsula skal anvnds forbndls md n varmabsbrgnng for bygnngn, ovrholds rglrn fra DS 48. Indvndg mpraur, og ovrgangssolans s, m K/W ( OMSO skal angvs dn absolu mpraur 7,5 9,5 K sam varmovrgangsall 7,69 W/ m K. Udvndg mpraur u, og ovrgangssolans s,4 m K/W (7,5 K og 5 W/ m K. Afgrænsnng af brgnngsområd væggns længdrnng må forags så lang væk fra kuldbron, a varmsrømmn r blv ndmnsonal d anss for opfyld n afsand af, m fra HE-profls mdraks hvor dr så r al om n adabask randbngls. Da dr r symmr, kunn d vælgs a lægg n adabask grænsflad gnnm mdraksn, mn hr vælgs a lægg grænsfladrn, m på hvr sd af mdraksn. D r nu mulg a forag nddarng OMSO, førs opgnng af brgnngsområd, drfr lknynng af maralparamr og ndlg ldlng af randværdr. E udsn af brgnngsområd kan ss fg

78 Fgur 4.6- Udsn af brgnngsområd og lmnopdlng. Dr skal vær n sor knudpunksæhd og omkrng sålprofl, hvlk dn auomask lmnopdlng også har sørg for, som d frmgår af fg Brgnngsrsular frmgår af fg. 4.6-, dr vsr hhv. sormrns forløb og varmsrømmns rnng brgnngsområd. Varmsrømmn gnnm hhv. udvndg og ndvndg rand (hvr md længdn m brgns programm og r angv abl 4.6., sammn md d anal lmnr områd r opdl. Hr r også vs, hvlkn ndflydls anall af lmnr har på dn brgnd varmsrøm, lgsom dr r angv rsular fra o andr brgnngr: samm gomr mn udn sålprofl (omsøbnngn udgør hr n rbb, og samm gomr mn udn sålprofl og rbb (alså som n væg md r ubrud marallag. Fgur 4.6- mpraurfordlng og varmsrøm brgnngsområd. abl 4.6. Brgnd varmsrømm. Samlng md omsøb sålsøl Anal lmnr Varmsrøm ud W/m 6,9 6,74 Varmsrøm nd W/m 6,86 6,75 Samlng md bonrbb Anal lmnr Varmsrøm ud W/m 6, 6, Varmsrøm nd W/m 6, 6,5 Udn samlng Anal lmnr 45 Varmsrøm ud W/m,565 Varmsrøm nd W/m,565 7

79 D ss af abl 4.6., a lsdværlsn af sålsøln har n r bskdn ndflydls på varmsrømmn forhold l bonrbbn (,7 W pr. løbnd mr længd af søln vd mpraurforskl, mn forhold l dn ubrud væg udgør mrab hhv.,7 og,64 W/m vd mpraurforskl. Ifølg DS 48 skal vrknngn af kuldbron ndrgns konsrukonns ransmssonskoffcn gnnm lnab dn lnær ransmssonskoffcn ψ k, dr dækkr forøglsn af varmab gnnm kuldbron på grund af odmnsonal varmab forhold l varmab brgn vd ndmnsonal varmsrøm. Konsrukonns ransmssonskoffcn brgn fr DS 48 frmgår af abl abl 4.6. Brgnng af ransmssonskoffcnr fr DS 48. Væg bb d [m] λ [W/mK] [m K/W] [m K/W] Udv. solans,4,4 Forplad,65,5,6,6 Isolrng,/,,7,7,8 Bagplad/rbb,5/,95,5,5,98 Indv. solans,, Sum,949,5 U [W/m K],9,95 Varmab gnnm o m ubrud væg r sålds: Φ U B Δ,9,56 W/m D hvlk r d samm som brgn OMSO, forsklln skylds afrundng vd brgnng af ransmssonskoffcnn. Da d r dn ns ndmnsonal varmsrøm, dr kan brgns fr DS 48, når samlngn ndholdr dn omsøb sålsøl, blvr lnabsfakorn: Φ D ΦD 6,75,565 ψ k,4 W/m Δ Hvs dr ss bor fra sålsøln, så kuldbron aln udgørs af bonrbbn, r dr o bdrag l dn ndmnsonal varmsrøm: gnnm dn ubrud væg og gnnm rbbn. Φ D ( U B U B Δ (,9 (,,66,95,66 nabsfakorn vd rbbn udgør da pr. sprng solrngsykklsn: Φ D ΦD 6, 5,44 ψ k,9 W/m Δ 5,44 W/m Dn brgnd værd r ovrnssmmls md DS 48 fgur 6.. Dr skal øvrg gørs opmærksom på, a bonlmn vl ndhold andr rbbr nd dn hr omal, sam a dr ndgår srr og sroppr, som dr kk r ag hnsyn l d brgnngsksmpl. 7

80 For a afrund dnn analys af kuldbron opgns forløb af dn ndvndg ovrfladmpraur fg , sålds a dr kan forags n vurdrng af rskon for kondns. Fgur Ovrfladmpraurn på ndvndg sd. Da ovrfladmpraurn lggr ovr 8,4, r dr prakss næpp rsko for dannls af ovrfladkondns. 7