2 Erik Vestergaard
|
|
- Mathias Nøhr
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1
2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer
3 Erik Vestergaard Indledning I denne note skal vi beskrive visse aspekter indenfor musik ved hjælp af fysik. Det viser sig, at nogle fundamentale begreber som bølger, frekvens, bølgelængde, periode, amplitude, bølgehastighed, interferens, superpositionsprincippet, rene toner, sammensatte toner, stående bølger og stødtoner kan hjælpe til at forstå de fysiske mekanismer, som gør sig gældende indenfor musikken. 2. Lydbølger Som bekendt er lydbølger longitudinalbølger, også kaldet længdebølger, hvorved menes bølger, hvor svingningerne foregår langs med bølgens udbredelse. Lydbølger udbreder sig ved at luftmolekyler sættes i svingninger omkring en ligevægtsposition. Når de enkelte luftmolekyler sættes i svingninger, skubber de til de næste luftmolekyler, som skubber til de næste luftmolekyler. På denne måde udbreder der sig en bølge, men bemærk, at de enkelte luftmolekyler ikke flytter sig over stor afstand de vibrerer kun omkring en ligevægtsstilling. Det er ikke stof, som udbreder sig, men energi. Lydens (udbredelses-)hastighed afhænger både af stoffet, det udbreder sig i, samt temperaturen. I luft ved stuetemperatur (20 C) udbreder lyden sig med en hastighed af 343 m/s. Man kan vise, at der gælder følgende sammenhæng mellem lydens hastighed v, temperaturen T og stoffets molære masse M: (1) v = k R T M hvor k = c p cv er forholdet mellem den specifikke varmekapacitet ved konstant tryk, c p, og den specifikke varmekapacitet ved konstant volumen, c v. I tilfældet med atmosfærisk luft er k = 1, R= 8,3145 J (mol K) er den såkaldte gaskonstant. Husk, at T skal regnes i Kelvin! Eksempel 1 Den atmosfæriske luft består af ca. 21% ilt (O 2 ), 78% nitrogen (N 2 ) og 1% Argon (Ar). Den molære masse af ilt, nitrogen og argon er henholdsvis 16, 14 og 40 gram. Der er 2 atomer af de to førstnævnte i et molekyle, hvorfor deres molære masse er henholdsvis 32g og 28g. Det vejede gennemsnit af molekylernes molære masser er derfor: (0, , ,01 40) g mol = 28,96 g mol Det betyder, at vi får følgende værdi for hastigheden af lyd i atm. luft ved 20 C: v k R T 1,4017 8,3145 J (mol K) 293 K = = = M 0,02896 kg mol 343 m s
4 4 Erik Vestergaard 3. Matematisk beskrivelse af bølger En ren tone, også kaldet en harmonisk tone, kan frembringes ved hjælp af en højttaler eller en tonegenerator eller en stemmegaffel. En ren tone har en bestemt frekvens og kan tidsmæssigt beskrives ved følgende sinus-funktion: (2) y( t) = A sin(2 π f t) hvor y( t ) er udsvinget, A er amplituden, f er frekvensen og t er tiden. Amplituden hænger sammen med lydens styrke, mens f fortæller om hvilken tone, der er tale om: Om det er en lys diskant-tone eller en dyb baslyd. Det skal nævnes, at i ovenstående beskrivelse skal vinklen, man tager sinus til, regnes i radianer. Frekvensen f angiver, hvor mange svingninger, som forekommer pr. sekund, og enheden er Hz (Hertz). Svingningstiden, også kaldet perioden, er tiden for én svingning. Den betegnes med T, og vi får: (3) f 1 = T Udover at kunne beskrives ved et tidsmæssigt forløb (for fastholdt sted), har lydbølgen også et stedmæssigt forløb, hvor tiden fastholdes. Både stedkurven og tidskurven er vist på figuren nedenfor. Afstanden mellem toppene på tidskurven angiver perioden T, mens afstanden mellem toppene på stedkurven angiver bølgelængden λ. I løbet af én periode kommer bølgen en bølgelængde, dvs. stykket λ, fremad. Bølgens hastighed kan da nemt beregnes, idet hastighed er strækning tilbagelagt pr. tidsenhed: (4) v s λ 1 = = = λ = λ f t T T Det er en meget vigtig formel, som gælder for alle bølger, ikke blot lydbølger: v = f λ.
5 Erik Vestergaard 5 Bølgens bevægelse kan eventuelt beskrives ved ovenstående tegneserie, hvor bølgens stedkurve er afbildet til forskellige tidspunkter. Der er afbildet et punkt på hver kurve. Det viser bølgens tidsmæssige forløb for et fast sted (overvej!).
6 6 Erik Vestergaard 4. Interferens Når to eller flere bølger befinder sig på samme sted til samme tidspunkt, så siges de at interferere, dvs. vekselvirke. Her kan benyttes superpositionsprincippet, som siger, at den resulterende bølges udsving på det pågældende sted til det pågældende tidspunkt fås ved at lægge udsvingene fra hver bølge sammen (med fortegn). På figuren nedenfor er vist en sammensat tone, sammensat af to rene toner med frekvenserne 440 Hz (kammertonen) og 880 Hz (en oktav højere) med amplituder henholdsvis 0,8 og 0,6.
7 Erik Vestergaard 7 Den sammensatte tone ovenfor kan matematisk beskrives ved: y( t) = 0,8 sin(2π 440 Hz t) + 0,6 sin(2π 880 Hz t) Toner fra musikinstrumenter er generelt set sammensatte. Det er faktisk denne egenskab, som gør dem interessante at høre på. Rene toner lyder ofte monotone og lidt kedelige. Takket være fysikeren Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) er man i dag i stand til at gå den anden vej: At adskille en sammensat tone i dens bestanddele, nogle rene toner. Man taler om grundtonen og en række overtoner. Mere om dette senere. 5. Stødtoner Stødtoner, også kaldes svævninger, er et fænomen, som opstår når to bølger med samme amplitude, men med lidt forskellig frekvens, interfererer. Nedenfor ser vi resultatet når to lyde med frekvenser henholdsvis f 1= 390 Hz og f 2 = 440 Hz og samme amplitude interfererer. Det lyder som om lyden pulserer i styrke, lidt ligesom stød. Man kan vise, at stødene forekommer med en frekvens f stød givet ved formlen fstød = f2 f1. Det kræver et ret teknisk matematisk apparat at vise dette. Ikke mere herom. 3 Stødtoner med frekvens 50 Hz t (s) Med indhyllingskurver t (s)
8 8 Erik Vestergaard Rent praktisk kan stødtoner demonstreres ved at fremskaffe to ens stemmegafler med tilhørende resonanskasser, anbringe en lille skrue på den ene for at reducere dens frekvens og endelig anslå stemmegaflerne med en lille hammer: Fænomenet stødtoner kan udnyttes til at stemme en guitar med: Når man anslår en streng og holder den næste streng nede på et bestemt bånd, er det meningen, at strengene skal give den samme frekvens. Hvis de ikke gør det, er guitaren ikke stemt korrekt. I så fald vil man opleve stød, når strengene anslås samtidigt, og jo nærmere strengene er på at give den samme frekvens, jo længere vil stødene lyde, regnet i tid (overvej!). Frekvensen af strengen justeres ved at dreje på stemmeskruerne på guitarens hoved, så strengenes udspændthed ændres. 6. Stående bølger på en streng Fænomenet stående bølger kan illustreres ved følgende forsøg: En snor er forbundet mellem en fast stang og en vibrator (se figuren nedenfor). Vibratoren begynder at vibrere og sender bølger hen mod stangen. Bølgerne reflekteres og interferer med de nye bølger, som er på vej frem. Herved vil der lynhurtigt fremkomme et stort antal bølger, som reflekterer frem og tilbage mellem stang og vibrator. Deres udsving lægges sammen efter superpositionsprincippet. Normalt vil det give anledning til svingninger, som kan forekomme kaotiske, forstået på den måde, at en del bølger delvist vil udslukke hinanden, så udsvinget til et givet tidspunkt på et givet sted ikke er specielt stort. Vibrerer snoren derimod med en ganske bestemt frekvens, dvs. i en ganske bestemt takt, så opstår et mærkeligt fænomen: Stående bølger.
9 Erik Vestergaard 9 Vi siger også, at der er opstået resonans. Situationen kan beskrives ved, at der visse steder forekommer kraftige udsving (bug) og visse steder intet udsving (knude). Situationen er illustreret på figuren på forrige side. Bemærk, at der er tale om et øjebliksbillede, hvor snoren er kraftigt optrukket. Snoren svinger op og ned indenfor de markerede indhyllingskurver. Dette øjebliksbillede kan eksperimentelt fastfryses ved at benytte et stroboskop, indstillet til at blinke med den samme frekvens, som vibratorens (overvej!). Der kan imidlertid opnås andre resonanser end den, som er vist på figuren ovenfor. Indstilles vibratoren på andre frekvenser, så kan en række resonanser eller stående bølger opnås. De er vist skematisk på følgende figur: Den resonans, som er vist på figuren på forrige side er altså den, som kaldes 2. oversvingning. Resonansen med størst bølgelængde og mindst frekvens er den såkaldte grundsvingning. Bemærk, at resonanserne alle har knude i endepunkterne, da snoren (stort set) ikke kan bevæge sig her!
10 10 Erik Vestergaard Eksempel 2 Antag snorens længde er l = 0,75 m og at grundsvingning forekommer, når vibratoren vibrerer med en frekvens på 55 Hz. Bestem Bølgehastigheden. Løsning: Husk, at en hel bølgelængde er en bue op og en bue ned. Derfor repræsenterer grundsvingningen kun en halv bølgelængde, dvs. l = λ 1 2. Dette giver en bølgelængde på λ=2 l = 2 0,75 m= 1,50 m. Via den velkendte formel for bølgehastigheden fås: v = f λ = 55 Hz 1,50 Hz = 82,5 m/s Det er altså en ganske høj hastighed. Hastigheden i tilfældet med de andre resonanser kan findes på lignende vis. 7. Guitaren Her kan vi lære en del af øvelsen med snorbølger. Snoren gør det ud for guitarstrengen og loddet svarer til stemmeskruerne, hvormed strengen spændes ud. Der er dog en væsentlig forskel mellem vores forsøg og det, der sker på en guitar. I snorbølgeforsøget tvang vi snoren til at svinge med en ganske bestemt frekvens ved hjælp af vibratoren. På en rigtig guitar skabes lydbølgerne derimod ved, at en person knipser med fingeren på strengen. Derved dannes en mængde bølger, som har forskellig frekvens. De farer hurtigt frem og tilbage på strengen og interfererer med hinanden. Imidlertid vil kun de bølger, som giver anledning til stående bølger på strengen, få betydning. Resten vil mere eller mindre udslukke hinanden. Men det betyder dog ikke, at der kun er én slags stående bølger på strengen, som tilfældet er i snorbølgeforsøget. Nej, de forskellige stående bølger findes der alle samtidigt. Lyden fra strengen er altså en sammensat tone, som har en grundtone og en række overtoner, jvf. figuren på side 9. At lyden fra en guitarstreng ikke er en ren tone (sinus-tone) gør, at lyden bliver interessant og ikke fore-
11 Erik Vestergaard 11 kommer monoton. Tilstedeværelsen af overtoner afgør instrumentets såkaldte klang. Amplituden af grundtonen og de forskellige overtoner vil afhænge lidt af, hvor på strengen, der knipses, og hvordan. Bølgerne på strengen kan i sig selv ikke høres. For at vi kan høre noget kræver det, at der opstår lydbølger. Dette sker ved at strengen skubber til de omkringliggende luftmolekyler, som skubber til de næste luftmolekyler etc. Frekvenserne af lydbølgerne vil være de samme som frekvenserne af bølgerne på strengen, mens bølgelængden vil være ændret (Overvej!). Man tilføjer imidlertid en resonanskasse til en guitar. Uden den ville lyden ikke være særlig kraftig. Resonanskassens funktion er, at den skal forstærke lydbølgerne, der dannes omkring guitaren. Kassens særlige form gør, at den kan forstærke mange forskellige bølgelængder, idet der kan opstå stående bølger (resonans) på mange leder i kassen. Man kan vise, at der gælder følgende sammenhæng mellem bølgehastigheden v på strengen, den kraft F, hvormed snoren er spændt ud, og snorens masse pr. meter, m : l (5) F v = F = ml v m l 2 Eksempel 3 En guitarstreng vejer 1,2 g pr. meter. Guitarstrengens frie længde fra sadel til stol på guitaren oplyses at være 61 cm. a) Hvor kraftigt skal guitarstrengen spændes, for at kunne give en grundtone på 262,6 Hz, svarende til et C? b) Hvad er frekvensen af de første to overtoner? c) Hvad sker der med grundtonens frekvens, hvis man holder strengen nede på et bånd, så strengens længde halveres? Løsning: a) Af figuren på side 9 ser vi, at der for grundsvingningen gælder: 1 λ= l λ= 2l 2, hvilket giver følgende bølgelængde på strengen: λ= 2l = 2 0, 61m= 1, 22 m. Frekvensen skal være 261,6 Hz, hvorefter bølgehastigheden fås ved brug af en velkendt formel: v = f λ = 261,6 Hz 1, 22 m = 319,15 m/s Herefter anvendes formel (5) ovenfor til at bestemme den kraft, som strengen skal spændes med: F 2 2 = m v = 0, 0012 kg/m (319,15m/s) = 122, 2 N l b) Af figuren på side 9 ser vi, at bølgelængden af 1. overtone er halvt så stor som bølgelængden for grundtonen. Det betyder, at frekvensen må være dobbelt så stor, for at bølgehastigheden er den samme, ifølge v = f λ. Derfor er frekvensen af 1. overtone lig med 2 261,6 Hz= 523, 2 Hz. Med lignende argumenter fås, at 2. overtone har den tredobbelte frekvens af grundtonen, dvs. 784,8 Hz.
12 12 Erik Vestergaard c) Hvis strengen halveres, så halveres bølgelængden af grundsvingningen også, idet λ= 2l. Da bølgehastigheden er uændret, ifølge (5), og v= f λ, vil frekvensen blive fordoblet. Hvordan kan man ændre frekvenserne af tonerne på en guitar? a) Som vi ser af spørgsmål c) i eksempel 3, så kan man frembringe andre toner ved at holde strengen nede på et bånd. Faktisk er der en hel serie af bånd, så man kan frembringe mange forskellige frekvenser. b) Frekvenserne kan justeres via stemmeskruerne. c) Man kan vælge en streng med en anden masse pr. meter. 8. Fløjter og orgelpiber Stående bølger kan også benyttes til at beskrive, hvordan lyd skabes i en orgelpibe. Tænk på øvelsen med resonansrøret. Her anslog vi en stemmegaffel med kammertonen 440 Hz over mundingen og fandt de rørlængder, som gav anledning til stående bølger, altså resonans. Princippet i en orgelpibe eller fløjte er lidt anderledes. Her pustes luft ind i et mundstykke. Luften bevæger sig hen over en skarp kant, hvorved luften sættes i svingninger i et hulrum bagved. Lydsvingninger med bestemte bølgelængder kan forstærkes, nemlig de bølgelængder, som giver anledning til stående bølger i hulrummet. Der findes to typer orgelpiber: Den åbne orgelpibe og den lukkede orgelpibe. Princippet i dem er vist på figuren på næste side. Den første type er åben i den øverste ende, mens den anden er lukket her. For begge typer orgelpiber er betingelsen, at der skal være bug i enden med den skarpe kant, da luften er i stor bevægelse her. En åben orgelpibe har bug i nærheden af orgelpibens øverste ende. Det giver en række muligheder for stående bølger, hvoraf de tre første er vist på figurens øverste del. Det viser sig, at bugen befinder sig et lille stykke udenfor røret dette stykke betegnes mundingskorrektionen. For simpelheds skyld har jeg ignoreret den på figururen. En lukket orgelpibe skal derimod have knude i den øverste ende, da luften er forhindret i at svinge her. Den nederste del af figuren viser de tre første muligheder for stående bølger i en lukket orgelpibe. Man bør bemærke, at der ikke bare befinder sig én af de stående bølger i røret ad gangen, som tilfældet var i øvelsen med stemmegaflen og resonansrøret. De stående bølger er i røret på samme tid. Det giver anledning til en sammensat tone, hvor diverse overtoner bidrager til instrumentets klang. Man bemærker, at en lukket orgelpibe kun behøver at være halvt så lang som en åben orgelpibe for at kunne give den samme grundtone! Den skematiske måde at vise stående bølger på i et rør på side 13 skal ikke misforstås: Lydbølger er længdebølger, så der hvor der vises et stort udsving, svarer det til at luftmolekylerne kan bevæge sig kraftigt frem og tilbage! Ikke svingninger på tværs!
13 Erik Vestergaard 13
14 14 Erik Vestergaard Et minus ved den lukkede orgelpibe er dog, at den kun har de overtoner, som har en frekvens, som er et ulige multiplum af grundtonefrekvensen (overvej!). Fløjten herunder svarer til en lukket orgelpibe. Hvordan reguleres tonen? Eksempel 4 En åben orgelpibe skal levere en grundtonefrekvens på 670 Hz. Hvor lang skal den være, hvis man ser bort fra mundingskorrektion? Hvad er frekvensen af dens to første overtoner? Løsning: Lydens hastighed ved stuetemperatur er 343 m/s. Det betyder, at bølgelængden af lydbølgen skal være: v 343 m/s v= f λ λ = = = 0,51m f 670 Hz 1 1 Ifølge figuren på side 9, skal rørets længde være: l = λ= 0,51m = 0,26m 2 2. Da bølgelængderne af de efterfølgende overtoner er 2 henholdsvis 3 gange så små som grundtonens, så er overtonernes frekvenser henholdsvis 2 og 3 gange så store som grundtonens. Det betyder, at 1. overtone får frekvensen 1340 Hz og 2. overtone 2010 Hz. På figuren til højre ser du billeder af et kirkeorgel med en lang række orgelpiber af meget forskellige længder. Dette er nødvendigt, for at orglet kan gengive det store spektrum af toner, som man ønsker. Forklaringen findes ovenfor.
15 Erik Vestergaard Fourieranalyse Som nævnt i forrige afsnit, frembringer de fleste musikinstrumenter sammensatte toner, og det er interessant at finde ud af hvilke rene toner, de består af. Hertil er udviklet en ret indviklet matematisk teori, som går under betegnelsen Fourieranalyse, opkaldt efter den fremragende franske matematiker og fysiker Jean Baptiste Joseph Fourier ( ). Løst sagt, så siger en sætning i Fourieranalysen, at enhver stykvis kontinuert periodisk funktion med periode T kan skrives som en sum af sinus-led, cosinus-led og en konstant, og frekvenserne af de trigonometriske funktioner opfylder, at der er en mindste frekvens, og at alle de øvrige frekvenser er multipla heraf. Vi skal kun betragte ulige periodiske funktioner, og i dette tilfælde viser det sig, at funktionen kan opløses i udelukkende sinus-led: y( t) = A sin(2 π f t) + A sin(2π 2 f t) + A sin(2π 3 f t) + (6) Det første led på højre side i (6) betegnes grundtonen. Det er en ren tone med en frekvens f 0, som vi vil betegne grundtone-frekvensen. Næste led kaldes 1. overtone og har den dobbelte frekvens af grundtonen. Det tredje led kaldes 2. overtone og har den tredobbelte frekvens af grundtonen etc. Der eksisterer computerprogrammer, som kan foretage en Fourieranalyse af lyden fra et musikinstrument via en mikrofon tilsluttet computerens lydkort. Hvis musikinstrumenters toner var rene toner, ville det have lydt kedeligt og monotont. Men nu er lydene altså sammensatte, og det er tilstedeværelsen af overtoner, som giver lyden karakter. Man siger, at de bestemmer instrumentets klang. På næste side ses Fourieranalyser af to forskellige toner. Den første figur stammer fra et forsøg med en stemmegaffel på 440 Hz (kammertonen). Her ses en enkelt top ved 440 Hz, svarende til at der er tale om en ren tone, altså en tone med kun én frekvens. Den anden figur stammer fra et forsøg med en fløjte som afbildet på side 14. Det svarer til en lukket orgelpibe, da enden af fløjten er lukket med et stempel. Vi observerer, at der er en grundtone på ca. f 0 = 498 Hz. Desuden er der toppe for de ulige multipla af grundtonefrekvensen, dvs. 3 f0,5 f0,7 f0... hvilket helt svarer til erfaringerne med lukkede orgelpiber! Højden af de enkelte toppe afspejler hvor kraftige de pågældende overtoner er. Vi ser at grundtonen er kraftigst og de efterfølgende overtoner er af aftagende styrke.
16 16 Erik Vestergaard
17 Erik Vestergaard Begrebet lydstyrke Som bekendt kan en ren tone beskrives ved en sinusbølge. Lydstyrken ved en sådan lydbølge har noget med bølgens amplitude A at gøre, ikke dens frekvens. Jo større amplitude, jo højere lydstyrke. Vi skal være lidt mere præcise i det følgende: Som tidligere nævnt sker der ved udbredelsen af en bølge en transport af energi, ikke af stof. I tilfældet med en højttaler betyder det, at der ikke flyttes luftmolekyler. Højttalermembranen får derimod luftmolekylerne til at vibrere omkring en ligevægtsposition. Derved skubber de vibrerende luftmolekyler til de næste luftmolekyler, som skubber til de næste etc. Derved sker der en udbredelse af energi. Man kunne for eksempel stille en ramme på 1 kvadratmeter op vinkelret på lydbølgens udbredelsesretning og måle, hvor meget energi, der strømmer igennem rammen pr. sek. Men da energi pr. sek. er det samme som effekt, så kan vi også sige, at vi måler den effekt, der strømmer igennem rammen på 1 m 2. Dette kaldes lydintensitet: (7) Lydintensitet = effekt areal Lydintensiteten betegnes ofte med bogstavet I (for intensitet). Enheden for lydintensitet 2 er dermed W m. Ud fra lydintensiteten kan lydstyrken L bestemmes ved formlen: (8) 12 2 L 10 log I = I 0 hvor I 0 = 10 W/m er den svageste lyd, som kan opfattes af et menneske. Man har valgt at definere lydstyrken ved at inddrage logaritmefunktionen, fordi man så får mindre tal at arbejde med frem for store tipotenser. Endvidere viser det sig, at det menneskelige øre som en grov tilnærmelse hører logaritmisk, idet øret meget bedre kan adskille styrken af en lyd i det lave område end i det kraftige område. Bemærk, at lydstyrken ikke har nogen enhed; det er bare et tal. Man plejer dog at skrive db efter, hvilket står for decibel. Lad os kigge på et eksempel. Eksempel 5 En højttaler giver en lydintensitet på W m. Bestem den lydstyrke det svarer til. Løsning: Vi indsætter blot i formlen (8): 4 2 I 3 10 m W 8 L = 10 log = 10 log = 10 log(3 10 ) = 85 I Så lydstyrken er 85 db m W Det skal dog tilføjes, at øret ikke helt opfatter lyde med samme lydstyrke og med forskellig frekvens, som værende lige kraftige. Faktisk vil øret opfatte en lyd på 1000 Hz ved 60 Hz som værende kraftigere end en lyd på 100 Hz ved 60 Hz. Derfor arbejder man undertiden med tilpassede db-skalaer, for eksempel den såkaldte dba-skala. Den interesserede læser henvises til mere herom andetsteds. Lad os slutte af med en figur, som viser db-skalaens niveau i forskellige situationer.
18 18 Erik Vestergaard db 140 take off Rock koncert almindelig samtale hvisken netop hørbar 0
19 Erik Vestergaard 19 Opgaver Opgave 1 Forklar, hvordan et stroboskop, som jo anvendes på diskotekerne, kan benyttes til at vise, at fænomenet med stående bølger, vist på figuren på side 8. Opgave 2 (Stående bølger på snor) Figuren på side 9 viser fire stående bølger på en snor. Bestem hvor mange bølgelængder, der i hvert tilfælde går på en snorlængde l. Opgave 3 (Snorbølgeforsøg) Ved et snorbølgeforsøg er snoren 1,35 m lang og grundsvingningen forekommer, når vibratorens frekvens er 62 Hz. a) Bestem bølgehastigheden på strengen. b) Ved hvilken frekvens vil 1. oversvingning forekomme? Opgave 4 (Lydens hastighed) a) Nævn to ting, som lydens hastighed afhænger af. b) Hvad er lydens hastighed i atmosfærisk luft ved frysepunktet, dvs. 0 C? c) Hvad er lydens hastighed i CO 2 ved 20 C? Det oplyses, at k = 1, 2937 for CO 2. Opgave 5 (Guitar) Benyt formel (5) til at bestemme bølgehastigheden på en streng, som vejer 0,82 gram pr. meter og som er spændt ud med en kraft på 300 N. Opgave 6 (Guitar) En guitarstreng vejer 1,45 gram pr. meter. Guitarstrengens længde er 64 cm. a) Hvor kraftigt skal guitarstrengen spændes, for at kunne give en grundtone på 659,3 Hz, hvilket svarer til tonen E? b) Hvad er frekvensen af den første overtone? c) Hvis man holder strengen nede på et bånd, så snorens længde reduceres til 2/3 længde, hvad ændres grundtonens frekvens da til?
20 20 Erik Vestergaard Opgave 7 (Guitar) En guitarstreng vejer 0,69 gram pr. meter og er 60 cm lang. Den spændes ud med en kraft på 250 N. Hvilken grundtonefrekvens vil den give? Opgave 8 (Guitar) Vil det resultere i en højere eller dybere tone fra en guitar, hvis man a) Halverer længden af strengen ved at holde ned på et bånd? b) Strammer stemmeskruerne? c) Udskifter tråden med en tungere? Prøv først at besvare spørgsmålet udfra din intuition. Prøv dernæst at argumentere udfra formlerne, herunder (5). Opgave 9 (Orgelpibe) Hvor lang skal en åben orgelpibe være, for at kunne give en grundtonefrekvens på 880 Hz? Der ses bort fra mundingskorrektion. Samme spørgsmål for en lukket orgelpibe. Opgave 10 (Orgelpibe) En åben orgelpibe er 2,3 m lang. Hvor høj vil frekvensen af grundtonen og 1. overtone være? Opgave 11 (Orgelpibe) En fløjte som på figuren øverst side 14 skal kunne levere en grundtone på 540 Hz. Hvor lang skal hulrummet være? Opgave 12 (Stemmegaffel) En stemmegaffel kan levere en ren tone med frekvensen 440 Hz (kammertonen). Hvor langt skal hulrummet i resonanskassen være, for at kunne forstærke stemmegaflens svingninger? Der ses bort fra mundingskorrektion. Hjælp: Hvor skal der være knude, og hvor skal der være bug for den stående bølge? Sammenlign med en bestemt orgelpibe. Samme spørgsmål for en stemmegaffel på med tonen C på 256 Hz.
21 Erik Vestergaard 21 Opgave 13 (Klaver tempereret stemning) Hver tangent på et klaver giver en tone med en bestemt frekvens, når vi ser bort fra tilstedeværelsen af overtoner. Et klaver i dag er meget tæt på at være det vi kalder tempereret stemt. Med en ren tempereret stemning menes, at forholdet i frekvens mellem den højre og den venstre tangent for to nabo-tangenter er et fast tal. De sorte tangenter skal her tælles med! Lad os kalde det tal, man skal gange frekvensen af den venstre tangent med for at få frekvensen af den højre tangent, for multiplikationsfaktoren. Endvidere gælder der, at hvis man går 12 tangenter mod højre på klaveret, så fordobles frekvensen. Intervallet på 12 tangenter startende med C og sluttende med H, kaldes for en oktav. De næste tolv tangenter herefter danner en ny oktav osv. Tonerne i den nye oktav betegnes med de samme bogstaver, dog kan man finde på at give dem et mærke for at skelne mellem dem. Årsagen til, at de får tildelt samme bogstav er, at de som toner lyder ensartede.
22 22 Erik Vestergaard Den rene tempererede stemning a) Vis at multiplikationsfaktoren er lig med 1, Hjælp: Kald fx multiplikationsfaktoren for a og opstil en ligning og løs den. b) Find frekvenserne for de hvide tangenter i oktaven, hvori kammertonen A (440 Hz) ligger. Du skal altså bestemme frekvenserne for C, D, E, F, G, A og H, som angivet på figuren på forrige side. Brug Kammertonen til at regne ud fra! c) Hvad er frekvensen af den højeste og den dybeste tone på det afbildede klaver? d) Pythagoræerne i det gamle Grækenland fandt, at toner, hvis frekvenser forholder sig som for eksempel 3:2 (en kvint) og 4:3 (en kvart) lød indbyrdes harmoniske. Find en tangentkombination med udgangspunkt i C, der tilnærmelsesvist giver frekvensforholdet 3:2. Samme spørgsmål for forholdet 4:3. e) Angiv omtrentligt det frekvensinterval, som en violin ifølge figuren spænder over. Tilføjelser til ovenstående Som nævnt ovenfor bliver et klaver ikke stemt fuldstændigt tempereret i dag - man foretager så afvigelser. Det mener man lyder bedre. Vi skal ikke komme nærmere ind på dette her. Klangfarven eller bare klangen af en tone karakteriseres som tidligere nævnt af overtonerne, som frembringes samtidigt med grundtonen. sammensætningen af de enkelte overtoner er vigtig, og der tages hensyn til dette i konstruktionsfasen. Opgave a) Hvilken lydstyrke svarer en lydintensitet på 6 10 W m til? 12 2 b) Den svageste lyd et menneske kan høre er på 10 W m. Hvilken lydstyrke svarer det til? c) Lydstyrken fra en højttaler er på 98 db. Hvilken lydintensitet svarer det til? Hjælp: Her skal du regne den anden vej. Isoler I i formel (2). Opgave 15 (Lidt sværere) En given højttaler kan give en maksimal lydstyrke på 110 db. Et interessant spørgsmål er nu: Hvor stor en lydstyrke vil to af de samme højttalere kunne give tilsammen, hvis de stilles op ved siden af hinanden? Hjælp: Det går ikke at lægge lydstyrker i db sammen! Derimod kan man lægge energier sammen og dermed også intensiteter. Du skal altså vejen om ad lydintensiterne. Opgave 16 Søg på Internettet for at besvare følgende spørgsmål: a) Hvad er grænserne for tilladte lydstyrker på arbejdspladser? Hvad kan man gøre for at begrænse lydniveauet her? Giv nogle forslag. b) Nævn nogle ting i hverdagen, hvor man skal være forsigtig med lydstyrken. c) Hvad er smertegrænsen?
23 Erik Vestergaard 23 d) Hvad er akustik? e) Hvad er efterklang? f) Hvordan er øret indrettet. Beskriv de vigtigste dele og forklar, hvordan man hører! Opgave 17 Afprøv animationerne på hjemmesiden PhET Interactive Simulations: Der er blandt andet en god en med Fourier Bølgeanalyse. Opgave 18 Benyt et CAS-værktøj som for eksempel Maple til at tegne bølge-graferne for nogle forskellige toner i delopgaverne nedenfor. Som bekendt kan det tidsmæssige forløb af en ren tone med frekvensen f beskrives ved funktionen y( t) = A sin(2 π f t), hvor A er bølgens amplitude. a) Betragt en ren tone med frekvensen 100 Hz og amplituden 2,1. Bestem svingningstiden T, dvs. perioden for bølgen. Benyt denne viden til at plotte grafen for sinusbølgen i et interval, så der vises ca. 5 perioder. Undlad for nemheds skyld enheder når du plotter. Lad størrelserne være underforstået i SI-enheder. b) Gentag successen med en tone med frekvens på 200 Hz og amplitude 1,7. Benyt samme tidsinterval som under a). c) Plot grafen for den sammensatte tone bestående af summen af de rene toner fra a) og b). Hvilken periode har den sammensatte tone? Altså hvor lang tid går der før bølgen gentager sig selv? d) Prøv at tegne de to grafer i samme koordinatsystem. Hvis du bruger Maple kan du kalde det ene plot for plot1 og det andet for plot2 og så benytte følgende kommando: plots[display](plot1,plot2). Det bliver mest overskueligt, hvis du giver hver af de oprindelige plots forskellige farver. Det kan gøres med en farveoption a lá color = green. Opgave 19 Prøv at afbilde stødtonerne i afsnit 5 med de talværdier, som er angivet der.
2 Erik Vestergaard
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Opdateret 2019. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereElevforsøg i 10. klasse Lyd
Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det
Læs mereEn harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Måling af lydens hastighed... 4 Resonans... 5 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 6 Stående tværbølger på en snor....
Læs mereEn f- dag om matematik i toner og instrumenter
En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereØvelsesvejledning RG Stående bølge. Individuel rapport. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser.
Stående bølge Individuel rapport Forsøgsformål At finde resonanser (stående bølger) for fiskesnøre. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser. At se hvordan hastigheden afhænger af belastningen
Læs mereIndhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt
Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Resonans... 4 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 5 Stående tværbølger på en snor.... 6 Stående lydbølger i resonansrør.
Læs mereRen versus ligesvævende stemning
Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs mere1. Vibrationer og bølger
V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte
Læs mereLyd og lyddannelse. Baggrund lærer-elev
NATUR & TEKNO- LOGI Baggrund lærer-elev Hvad er lyd? Lyd er længdebølger i luften. Længdebølger vil sige, at vibrationen sker på langs ad bevægelsesretningen. Hvis vi hænger en trappefjeder op i nogle
Læs mereØvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport
Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereSvingninger og bølger
Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer
Læs mereFysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer
Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6
Læs mereVores logaritmiske sanser
1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle
Læs mereOpgaver i fysik lyd og lys bølger
Opgaver i fysik lyd og lys bølger Indhold B1 Lyd og lys på Månen og Mars... 2 B2 Fart af bølgepuls... 2 B3 Lydens fart i luftarter... 3 B4 Ekkolod... 3 B5 Hurtige biler og fly... 4 B6 Hvalers kommunikation...
Læs mereOpdrift i vand og luft
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,
Læs mereVEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL
inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse
Læs mereBillund Bygger Musik: Lærervejledning
Billund Bygger Musik: Lærervejledning Science of Sound og Music Velkommen til Billund Builds Music! Vi er så glade og taknemmelige for, at så mange skoler og lærere i Billund er villige til at arbejde
Læs mereGrundlæggende lydtekniker kursus
Hvad er lyd? Grundlæggende Lyd kan vi opfatte med ørerne. Lyd opstår ved at noget bringes til at svinge. Hvis man f.eks. knipser en guitarstreng, vil den svinge frem og tilbage. Slår man med en hammer
Læs mereIndhold. Svingninger & lyd Side_1
Indhold Svingninger... 3 Egensvingninger og egenfrekvens... 3 Tacoma broen Ingeniørernes mareridt... 4 Bølgers egenskaber... 5 Bølger reflekteres... 5 Bølger interfererer... 5 Vandrende bølger... 6 Stående
Læs merewwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber
wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,
Læs mereGlamsdalens Idrætsefterskole 1
1. Fra svingninger til lyd (Grundlæggende)... 2 2. Gammelt legetøj (rejse)... 3 3. Lyd med din smartphone (Grundlæggende)... 4 4. Lydens refleksion (Grundlæggende)... 5 5. Lydens fart i atmosfærisk luft
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereEn musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08
En musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08 Allerførst vil jeg introducere den rene kvint og den rene stor-terts. Det er de toner der optræder som overtoner (eller partialtoner) i enhver
Læs mereintroduktion TIL LÆREREN
Lyd, larm & løjer 1 lyd, larm & løjer Indhold s introduktion TIL LÆREREN Dette er en vejledning til Lyd, larm og løjer, som er en formidlingsaktivitet om lyd. Den er målrettet 7. klassetrin. I vejledningen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Fysik C Peter Lundøer (Lu) 1f fysik C Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel
Læs mereBrydningsindeks af luft
Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereErik Vestergaard 1. Gaslovene. Erik Vestergaard
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Gaslovene Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, april 018. Billedliste Forside: istock.com/cofotoisme (Varmluftsballoner) Side
Læs mereLydteori. Lyd er ikke stråler, som vi vil se i nogle slides i dag.
Lydteori Introduktion Lyd er ikke stråler, som vi vil se i nogle slides i dag. Strålerne er en orklaringsmodel, der mere eller mindre godt beskriver virkeligheden. Lyd er bølger a lutmolekyler, der skubber
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereSpektrumrepræsentation
Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede
Læs mereFysikøvelse - Erik Vestergaard 1
Fysikøvelse - Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Afstandskvadratloven En af astronomiens store opgaver er at forsøge at bestemme afstande ud til stjerner. Til det formål kan man blandt andet benytte
Læs mereChromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion
Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser
Læs mereMusik, matematik og forholdsregler
MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter
Læs merePolarisering. Et kompendie om lysets usynlige egenskaber
Polarisering Et kompendie om lysets usynlige egenskaber Hvad er polarisering? En bølge kan beskrives på mange måder. Den har en bølgelængde, en frekvens, en hastighed, en amplitude og en bevægelsesretning.
Læs mereOpgaver i solens indstråling
Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnaloglyd for digitalister /finn holst 06
Analoglyd for digitalister /finn holst 06 2. Det første modul tonegeneratoren. Tonegeneratoren betegnes VCO (voltage controlled oscillator = spændingsstyret generator). At den er spændingsstyret henviser
Læs mereEn fysisk model skabes Toner i en flaske
En fysisk model skabes Toner i en flaske Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 1. september 2010 Introduktion
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTEORETISKE MÅL FOR EMNET:
TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Redegøre for forskellen på tværbølger og længdebølger samt vide, hvilken type bølger, lyd er Redegøre for amplitude, frekvens og bølgelængde og hvilken betydning disse begreber
Læs mere1. Forstærkning af melodien
http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereDopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard
Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013/2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Fysik C Ruth Bluhm 1f
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereGaslovene. SH ver. 1.2. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3
Gaslovene SH ver. 1.2 Indhold 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser................... 2 1.2 Gasligninger...................... 3 2 Forsøgene 3 2.1 Boyle Mariottes lov.................. 4 2.1.1 Konklusioner.................
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereBeskrivelse af det enkelte undervisningsforløb
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb Termin juni 2016 Institution Uddannelse Horsens Hf & VUC Hfe Fag og niveau Fysik C (stx-bekendtgørelse) Lærer(e) Hold Lærebøger Hans Lindebjerg Legard FyC2
Læs mereMatematiske modeller Forsøg 1
Matematiske modeller Forsøg 1 At måle absorbansen af forskellige koncentrationer af brilliant blue og derefter lave en standardkurve. 2 ml pipette 50 og 100 ml målekolber Kuvetter Engangspipetter Stamopløsning
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereLyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip
Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger
Læs mereNaturvidenskabeligt grundforløb
Før besøget i Tivoli De fysiologiske virkninger af g-kræfter. Spørgsmål der skal besvares: Hvorfor er blodtrykket større i fødderne større end blodtrykket i hovedet? Hvorfor øges pulsen, når man rejser
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereNår du sammen med din klasse skal besøge biblioteket til FORSK- NINGENS DØGN, så skal I arbejde med emnet LYD.
K AN LYD TÆL L E S? Tæt på lyd Når du sammen med din klasse skal besøge biblioteket til FORSK- NINGENS DØGN, så skal I arbejde med emnet LYD. I skal undersøge, hvordan lyd bevæger sig, hvad vi bruger lyde
Læs mereLyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer
Lyd og hørelse 1 En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Denne brochure er nummer 1 i en serie fra Widex om hørelse og høreapparater. Hvad er lyd? Vores moderne dagligdag er fyldt med mange
Læs mereBernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold
Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli
Læs mereWavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereGyptone lofter 4.1 Akustik og lyd
Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom
Læs merePrætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen
Prætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen I overgangen fra de ikke-tempererede stemninger, som fx den prætorianske til de tempererede, som fx den ligesvævende,
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereLidt om lyd - uden formler
Search at vbn.aau.dk: > Search the AAU phone book: > Sections > Acoustics > Home Education Research Facilities/Equipment Staff & Job About Lidt om lyd - uden formler 1. Hvad er lyd? Lyd er ganske små svingninger
Læs mereLøsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet
V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGuitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk
Guitar og noder Melodispil og nodelære 1. position John Rasmussen Guitarzonen.dk Guitar og noder er udgivet som e-bog 2011 på guitarzonen.dk Forord Denne bog gennemgår systematisk tonernes beliggenhed
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereBølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 09 Institution Teknisk Gymnasium Grenaa, Viden Djurs Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Fysik
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereOscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mere