2 Erik Vestergaard

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk"

Transkript

1

2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer

3 Erik Vestergaard Indledning I denne note skal vi beskrive visse aspekter indenfor musik ved hjælp af fysik. Det viser sig, at nogle fundamentale begreber som bølger, frekvens, bølgelængde, periode, amplitude, bølgehastighed, interferens, superpositionsprincippet, rene toner, sammensatte toner, stående bølger og stødtoner kan hjælpe til at forstå de fysiske mekanismer, som gør sig gældende indenfor musikken. 2. Lydbølger Som bekendt er lydbølger longitudinalbølger, også kaldet længdebølger, hvorved menes bølger, hvor svingningerne foregår langs med bølgens udbredelse. Lydbølger udbreder sig ved at luftmolekyler sættes i svingninger omkring en ligevægtsposition. Når de enkelte luftmolekyler sættes i svingninger, skubber de til de næste luftmolekyler, som skubber til de næste luftmolekyler. På denne måde udbreder der sig en bølge, men bemærk, at de enkelte luftmolekyler ikke flytter sig over stor afstand de vibrerer kun omkring en ligevægtsstilling. Det er ikke stof, som udbreder sig, men energi. Lydens (udbredelses-)hastighed afhænger både af stoffet, det udbreder sig i, samt temperaturen. I luft ved stuetemperatur (20 C) udbreder lyden sig med en hastighed af 343 m/s. Man kan vise, at der gælder følgende sammenhæng mellem lydens hastighed v, temperaturen T og stoffets molære masse M: (1) v = k R T M hvor k = c p cv er forholdet mellem den specifikke varmekapacitet ved konstant tryk, c p, og den specifikke varmekapacitet ved konstant volumen, c v. I tilfældet med atmosfærisk luft er k = 1, R= 8,3145 J (mol K) er den såkaldte gaskonstant. Husk, at T skal regnes i Kelvin! Eksempel 1 Den atmosfæriske luft består af ca. 21% ilt (O 2 ), 78% nitrogen (N 2 ) og 1% Argon (Ar). Den molære masse af ilt, nitrogen og argon er henholdsvis 16, 14 og 40 gram. Der er 2 atomer af de to førstnævnte i et molekyle, hvorfor deres molære masse er henholdsvis 32g og 28g. Det vejede gennemsnit af molekylernes molære masser er derfor: (0, , ,01 40) g mol = 28,96 g mol Det betyder, at vi får følgende værdi for hastigheden af lyd i atm. luft ved 20 C: v k R T 1,4017 8,3145 J (mol K) 293 K = = = M 0,02896 kg mol 343 m s

4 4 Erik Vestergaard 3. Matematisk beskrivelse af bølger En ren tone, også kaldet en harmonisk tone, kan frembringes ved hjælp af en højttaler eller en tonegenerator eller en stemmegaffel. En ren tone har en bestemt frekvens og kan tidsmæssigt beskrives ved følgende sinus-funktion: (2) y( t) = A sin(2 π f t) hvor y( t ) er udsvinget, A er amplituden, f er frekvensen og t er tiden. Amplituden hænger sammen med lydens styrke, mens f fortæller om hvilken tone, der er tale om: Om det er en lys diskant-tone eller en dyb baslyd. Det skal nævnes, at i ovenstående beskrivelse skal vinklen, man tager sinus til, regnes i radianer. Frekvensen f angiver, hvor mange svingninger, som forekommer pr. sekund, og enheden er Hz (Hertz). Svingningstiden, også kaldet perioden, er tiden for én svingning. Den betegnes med T, og vi får: (3) f 1 = T Udover at kunne beskrives ved et tidsmæssigt forløb (for fastholdt sted), har lydbølgen også et stedmæssigt forløb, hvor tiden fastholdes. Både stedkurven og tidskurven er vist på figuren nedenfor. Afstanden mellem toppene på tidskurven angiver perioden T, mens afstanden mellem toppene på stedkurven angiver bølgelængden λ. I løbet af én periode kommer bølgen en bølgelængde, dvs. stykket λ, fremad. Bølgens hastighed kan da nemt beregnes, idet hastighed er strækning tilbagelagt pr. tidsenhed: (4) v s λ 1 = = = λ = λ f t T T Det er en meget vigtig formel, som gælder for alle bølger, ikke blot lydbølger: v = f λ.

5 Erik Vestergaard 5 Bølgens bevægelse kan eventuelt beskrives ved ovenstående tegneserie, hvor bølgens stedkurve er afbildet til forskellige tidspunkter. Der er afbildet et punkt på hver kurve. Det viser bølgens tidsmæssige forløb for et fast sted (overvej!).

6 6 Erik Vestergaard 4. Interferens Når to eller flere bølger befinder sig på samme sted til samme tidspunkt, så siges de at interferere, dvs. vekselvirke. Her kan benyttes superpositionsprincippet, som siger, at den resulterende bølges udsving på det pågældende sted til det pågældende tidspunkt fås ved at lægge udsvingene fra hver bølge sammen (med fortegn). På figuren nedenfor er vist en sammensat tone, sammensat af to rene toner med frekvenserne 440 Hz (kammertonen) og 880 Hz (en oktav højere) med amplituder henholdsvis 0,8 og 0,6.

7 Erik Vestergaard 7 Den sammensatte tone ovenfor kan matematisk beskrives ved: y( t) = 0,8 sin(2π 440 Hz t) + 0,6 sin(2π 880 Hz t) Toner fra musikinstrumenter er generelt set sammensatte. Det er faktisk denne egenskab, som gør dem interessante at høre på. Rene toner lyder ofte monotone og lidt kedelige. Takket være fysikeren Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) er man i dag i stand til at gå den anden vej: At adskille en sammensat tone i dens bestanddele, nogle rene toner. Man taler om grundtonen og en række overtoner. Mere om dette senere. 5. Stødtoner Stødtoner, også kaldes svævninger, er et fænomen, som opstår når to bølger med samme amplitude, men med lidt forskellig frekvens, interfererer. Nedenfor ser vi resultatet når to lyde med frekvenser henholdsvis f 1= 390 Hz og f 2 = 440 Hz og samme amplitude interfererer. Det lyder som om lyden pulserer i styrke, lidt ligesom stød. Man kan vise, at stødene forekommer med en frekvens f stød givet ved formlen fstød = f2 f1. Det kræver et ret teknisk matematisk apparat at vise dette. Ikke mere herom. 3 Stødtoner med frekvens 50 Hz t (s) Med indhyllingskurver t (s)

8 8 Erik Vestergaard Rent praktisk kan stødtoner demonstreres ved at fremskaffe to ens stemmegafler med tilhørende resonanskasser, anbringe en lille skrue på den ene for at reducere dens frekvens og endelig anslå stemmegaflerne med en lille hammer: Fænomenet stødtoner kan udnyttes til at stemme en guitar med: Når man anslår en streng og holder den næste streng nede på et bestemt bånd, er det meningen, at strengene skal give den samme frekvens. Hvis de ikke gør det, er guitaren ikke stemt korrekt. I så fald vil man opleve stød, når strengene anslås samtidigt, og jo nærmere strengene er på at give den samme frekvens, jo længere vil stødene lyde, regnet i tid (overvej!). Frekvensen af strengen justeres ved at dreje på stemmeskruerne på guitarens hoved, så strengenes udspændthed ændres. 6. Stående bølger på en streng Fænomenet stående bølger kan illustreres ved følgende forsøg: En snor er forbundet mellem en fast stang og en vibrator (se figuren nedenfor). Vibratoren begynder at vibrere og sender bølger hen mod stangen. Bølgerne reflekteres og interferer med de nye bølger, som er på vej frem. Herved vil der lynhurtigt fremkomme et stort antal bølger, som reflekterer frem og tilbage mellem stang og vibrator. Deres udsving lægges sammen efter superpositionsprincippet. Normalt vil det give anledning til svingninger, som kan forekomme kaotiske, forstået på den måde, at en del bølger delvist vil udslukke hinanden, så udsvinget til et givet tidspunkt på et givet sted ikke er specielt stort. Vibrerer snoren derimod med en ganske bestemt frekvens, dvs. i en ganske bestemt takt, så opstår et mærkeligt fænomen: Stående bølger.

9 Erik Vestergaard 9 Vi siger også, at der er opstået resonans. Situationen kan beskrives ved, at der visse steder forekommer kraftige udsving (bug) og visse steder intet udsving (knude). Situationen er illustreret på figuren på forrige side. Bemærk, at der er tale om et øjebliksbillede, hvor snoren er kraftigt optrukket. Snoren svinger op og ned indenfor de markerede indhyllingskurver. Dette øjebliksbillede kan eksperimentelt fastfryses ved at benytte et stroboskop, indstillet til at blinke med den samme frekvens, som vibratorens (overvej!). Der kan imidlertid opnås andre resonanser end den, som er vist på figuren ovenfor. Indstilles vibratoren på andre frekvenser, så kan en række resonanser eller stående bølger opnås. De er vist skematisk på følgende figur: Den resonans, som er vist på figuren på forrige side er altså den, som kaldes 2. oversvingning. Resonansen med størst bølgelængde og mindst frekvens er den såkaldte grundsvingning. Bemærk, at resonanserne alle har knude i endepunkterne, da snoren (stort set) ikke kan bevæge sig her!

10 10 Erik Vestergaard Eksempel 2 Antag snorens længde er l = 0,75 m og at grundsvingning forekommer, når vibratoren vibrerer med en frekvens på 55 Hz. Bestem Bølgehastigheden. Løsning: Husk, at en hel bølgelængde er en bue op og en bue ned. Derfor repræsenterer grundsvingningen kun en halv bølgelængde, dvs. l = λ 1 2. Dette giver en bølgelængde på λ=2 l = 2 0,75 m= 1,50 m. Via den velkendte formel for bølgehastigheden fås: v = f λ = 55 Hz 1,50 Hz = 82,5 m/s Det er altså en ganske høj hastighed. Hastigheden i tilfældet med de andre resonanser kan findes på lignende vis. 7. Guitaren Her kan vi lære en del af øvelsen med snorbølger. Snoren gør det ud for guitarstrengen og loddet svarer til stemmeskruerne, hvormed strengen spændes ud. Der er dog en væsentlig forskel mellem vores forsøg og det, der sker på en guitar. I snorbølgeforsøget tvang vi snoren til at svinge med en ganske bestemt frekvens ved hjælp af vibratoren. På en rigtig guitar skabes lydbølgerne derimod ved, at en person knipser med fingeren på strengen. Derved dannes en mængde bølger, som har forskellig frekvens. De farer hurtigt frem og tilbage på strengen og interfererer med hinanden. Imidlertid vil kun de bølger, som giver anledning til stående bølger på strengen, få betydning. Resten vil mere eller mindre udslukke hinanden. Men det betyder dog ikke, at der kun er én slags stående bølger på strengen, som tilfældet er i snorbølgeforsøget. Nej, de forskellige stående bølger findes der alle samtidigt. Lyden fra strengen er altså en sammensat tone, som har en grundtone og en række overtoner, jvf. figuren på side 9. At lyden fra en guitarstreng ikke er en ren tone (sinus-tone) gør, at lyden bliver interessant og ikke fore-

11 Erik Vestergaard 11 kommer monoton. Tilstedeværelsen af overtoner afgør instrumentets såkaldte klang. Amplituden af grundtonen og de forskellige overtoner vil afhænge lidt af, hvor på strengen, der knipses, og hvordan. Bølgerne på strengen kan i sig selv ikke høres. For at vi kan høre noget kræver det, at der opstår lydbølger. Dette sker ved at strengen skubber til de omkringliggende luftmolekyler, som skubber til de næste luftmolekyler etc. Frekvenserne af lydbølgerne vil være de samme som frekvenserne af bølgerne på strengen, mens bølgelængden vil være ændret (Overvej!). Man tilføjer imidlertid en resonanskasse til en guitar. Uden den ville lyden ikke være særlig kraftig. Resonanskassens funktion er, at den skal forstærke lydbølgerne, der dannes omkring guitaren. Kassens særlige form gør, at den kan forstærke mange forskellige bølgelængder, idet der kan opstå stående bølger (resonans) på mange leder i kassen. Man kan vise, at der gælder følgende sammenhæng mellem bølgehastigheden v på strengen, den kraft F, hvormed snoren er spændt ud, og snorens masse pr. meter, m : l (5) F v = F = ml v m l 2 Eksempel 3 En guitarstreng vejer 1,2 g pr. meter. Guitarstrengens frie længde fra sadel til stol på guitaren oplyses at være 61 cm. a) Hvor kraftigt skal guitarstrengen spændes, for at kunne give en grundtone på 262,6 Hz, svarende til et C? b) Hvad er frekvensen af de første to overtoner? c) Hvad sker der med grundtonens frekvens, hvis man holder strengen nede på et bånd, så strengens længde halveres? Løsning: a) Af figuren på side 9 ser vi, at der for grundsvingningen gælder: 1 λ= l λ= 2l 2, hvilket giver følgende bølgelængde på strengen: λ= 2l = 2 0, 61m= 1, 22 m. Frekvensen skal være 261,6 Hz, hvorefter bølgehastigheden fås ved brug af en velkendt formel: v = f λ = 261,6 Hz 1, 22 m = 319,15 m/s Herefter anvendes formel (5) ovenfor til at bestemme den kraft, som strengen skal spændes med: F 2 2 = m v = 0, 0012 kg/m (319,15m/s) = 122, 2 N l b) Af figuren på side 9 ser vi, at bølgelængden af 1. overtone er halvt så stor som bølgelængden for grundtonen. Det betyder, at frekvensen må være dobbelt så stor, for at bølgehastigheden er den samme, ifølge v = f λ. Derfor er frekvensen af 1. overtone lig med 2 261,6 Hz= 523, 2 Hz. Med lignende argumenter fås, at 2. overtone har den tredobbelte frekvens af grundtonen, dvs. 784,8 Hz.

12 12 Erik Vestergaard c) Hvis strengen halveres, så halveres bølgelængden af grundsvingningen også, idet λ= 2l. Da bølgehastigheden er uændret, ifølge (5), og v= f λ, vil frekvensen blive fordoblet. Hvordan kan man ændre frekvenserne af tonerne på en guitar? a) Som vi ser af spørgsmål c) i eksempel 3, så kan man frembringe andre toner ved at holde strengen nede på et bånd. Faktisk er der en hel serie af bånd, så man kan frembringe mange forskellige frekvenser. b) Frekvenserne kan justeres via stemmeskruerne. c) Man kan vælge en streng med en anden masse pr. meter. 8. Fløjter og orgelpiber Stående bølger kan også benyttes til at beskrive, hvordan lyd skabes i en orgelpibe. Tænk på øvelsen med resonansrøret. Her anslog vi en stemmegaffel med kammertonen 440 Hz over mundingen og fandt de rørlængder, som gav anledning til stående bølger, altså resonans. Princippet i en orgelpibe eller fløjte er lidt anderledes. Her pustes luft ind i et mundstykke. Luften bevæger sig hen over en skarp kant, hvorved luften sættes i svingninger i et hulrum bagved. Lydsvingninger med bestemte bølgelængder kan forstærkes, nemlig de bølgelængder, som giver anledning til stående bølger i hulrummet. Der findes to typer orgelpiber: Den åbne orgelpibe og den lukkede orgelpibe. Princippet i dem er vist på figuren på næste side. Den første type er åben i den øverste ende, mens den anden er lukket her. For begge typer orgelpiber er betingelsen, at der skal være bug i enden med den skarpe kant, da luften er i stor bevægelse her. En åben orgelpibe har bug i nærheden af orgelpibens øverste ende. Det giver en række muligheder for stående bølger, hvoraf de tre første er vist på figurens øverste del. Det viser sig, at bugen befinder sig et lille stykke udenfor røret dette stykke betegnes mundingskorrektionen. For simpelheds skyld har jeg ignoreret den på figururen. En lukket orgelpibe skal derimod have knude i den øverste ende, da luften er forhindret i at svinge her. Den nederste del af figuren viser de tre første muligheder for stående bølger i en lukket orgelpibe. Man bør bemærke, at der ikke bare befinder sig én af de stående bølger i røret ad gangen, som tilfældet var i øvelsen med stemmegaflen og resonansrøret. De stående bølger er i røret på samme tid. Det giver anledning til en sammensat tone, hvor diverse overtoner bidrager til instrumentets klang. Man bemærker, at en lukket orgelpibe kun behøver at være halvt så lang som en åben orgelpibe for at kunne give den samme grundtone! Den skematiske måde at vise stående bølger på i et rør på side 13 skal ikke misforstås: Lydbølger er længdebølger, så der hvor der vises et stort udsving, svarer det til at luftmolekylerne kan bevæge sig kraftigt frem og tilbage! Ikke svingninger på tværs!

13 Erik Vestergaard 13

14 14 Erik Vestergaard Et minus ved den lukkede orgelpibe er dog, at den kun har de overtoner, som har en frekvens, som er et ulige multiplum af grundtonefrekvensen (overvej!). Fløjten herunder svarer til en lukket orgelpibe. Hvordan reguleres tonen? Eksempel 4 En åben orgelpibe skal levere en grundtonefrekvens på 670 Hz. Hvor lang skal den være, hvis man ser bort fra mundingskorrektion? Hvad er frekvensen af dens to første overtoner? Løsning: Lydens hastighed ved stuetemperatur er 343 m/s. Det betyder, at bølgelængden af lydbølgen skal være: v 343 m/s v= f λ λ = = = 0,51m f 670 Hz 1 1 Ifølge figuren på side 9, skal rørets længde være: l = λ= 0,51m = 0,26m 2 2. Da bølgelængderne af de efterfølgende overtoner er 2 henholdsvis 3 gange så små som grundtonens, så er overtonernes frekvenser henholdsvis 2 og 3 gange så store som grundtonens. Det betyder, at 1. overtone får frekvensen 1340 Hz og 2. overtone 2010 Hz. På figuren til højre ser du billeder af et kirkeorgel med en lang række orgelpiber af meget forskellige længder. Dette er nødvendigt, for at orglet kan gengive det store spektrum af toner, som man ønsker. Forklaringen findes ovenfor.

15 Erik Vestergaard Fourieranalyse Som nævnt i forrige afsnit, frembringer de fleste musikinstrumenter sammensatte toner, og det er interessant at finde ud af hvilke rene toner, de består af. Hertil er udviklet en ret indviklet matematisk teori, som går under betegnelsen Fourieranalyse, opkaldt efter den fremragende franske matematiker og fysiker Jean Baptiste Joseph Fourier ( ). Løst sagt, så siger en sætning i Fourieranalysen, at enhver stykvis kontinuert periodisk funktion med periode T kan skrives som en sum af sinus-led, cosinus-led og en konstant, og frekvenserne af de trigonometriske funktioner opfylder, at der er en mindste frekvens, og at alle de øvrige frekvenser er multipla heraf. Vi skal kun betragte ulige periodiske funktioner, og i dette tilfælde viser det sig, at funktionen kan opløses i udelukkende sinus-led: y( t) = A sin(2 π f t) + A sin(2π 2 f t) + A sin(2π 3 f t) + (6) Det første led på højre side i (6) betegnes grundtonen. Det er en ren tone med en frekvens f 0, som vi vil betegne grundtone-frekvensen. Næste led kaldes 1. overtone og har den dobbelte frekvens af grundtonen. Det tredje led kaldes 2. overtone og har den tredobbelte frekvens af grundtonen etc. Der eksisterer computerprogrammer, som kan foretage en Fourieranalyse af lyden fra et musikinstrument via en mikrofon tilsluttet computerens lydkort. Hvis musikinstrumenters toner var rene toner, ville det have lydt kedeligt og monotont. Men nu er lydene altså sammensatte, og det er tilstedeværelsen af overtoner, som giver lyden karakter. Man siger, at de bestemmer instrumentets klang. På næste side ses Fourieranalyser af to forskellige toner. Den første figur stammer fra et forsøg med en stemmegaffel på 440 Hz (kammertonen). Her ses en enkelt top ved 440 Hz, svarende til at der er tale om en ren tone, altså en tone med kun én frekvens. Den anden figur stammer fra et forsøg med en fløjte som afbildet på side 14. Det svarer til en lukket orgelpibe, da enden af fløjten er lukket med et stempel. Vi observerer, at der er en grundtone på ca. f 0 = 498 Hz. Desuden er der toppe for de ulige multipla af grundtonefrekvensen, dvs. 3 f0,5 f0,7 f0... hvilket helt svarer til erfaringerne med lukkede orgelpiber! Højden af de enkelte toppe afspejler hvor kraftige de pågældende overtoner er. Vi ser at grundtonen er kraftigst og de efterfølgende overtoner er af aftagende styrke.

16 16 Erik Vestergaard

17 Erik Vestergaard Begrebet lydstyrke Som bekendt kan en ren tone beskrives ved en sinusbølge. Lydstyrken ved en sådan lydbølge har noget med bølgens amplitude A at gøre, ikke dens frekvens. Jo større amplitude, jo højere lydstyrke. Vi skal være lidt mere præcise i det følgende: Som tidligere nævnt sker der ved udbredelsen af en bølge en transport af energi, ikke af stof. I tilfældet med en højttaler betyder det, at der ikke flyttes luftmolekyler. Højttalermembranen får derimod luftmolekylerne til at vibrere omkring en ligevægtsposition. Derved skubber de vibrerende luftmolekyler til de næste luftmolekyler, som skubber til de næste etc. Derved sker der en udbredelse af energi. Man kunne for eksempel stille en ramme på 1 kvadratmeter op vinkelret på lydbølgens udbredelsesretning og måle, hvor meget energi, der strømmer igennem rammen pr. sek. Men da energi pr. sek. er det samme som effekt, så kan vi også sige, at vi måler den effekt, der strømmer igennem rammen på 1 m 2. Dette kaldes lydintensitet: (7) Lydintensitet = effekt areal Lydintensiteten betegnes ofte med bogstavet I (for intensitet). Enheden for lydintensitet 2 er dermed W m. Ud fra lydintensiteten kan lydstyrken L bestemmes ved formlen: (8) 12 2 L 10 log I = I 0 hvor I 0 = 10 W/m er den svageste lyd, som kan opfattes af et menneske. Man har valgt at definere lydstyrken ved at inddrage logaritmefunktionen, fordi man så får mindre tal at arbejde med frem for store tipotenser. Endvidere viser det sig, at det menneskelige øre som en grov tilnærmelse hører logaritmisk, idet øret meget bedre kan adskille styrken af en lyd i det lave område end i det kraftige område. Bemærk, at lydstyrken ikke har nogen enhed; det er bare et tal. Man plejer dog at skrive db efter, hvilket står for decibel. Lad os kigge på et eksempel. Eksempel 5 En højttaler giver en lydintensitet på W m. Bestem den lydstyrke det svarer til. Løsning: Vi indsætter blot i formlen (8): 4 2 I 3 10 m W 8 L = 10 log = 10 log = 10 log(3 10 ) = 85 I Så lydstyrken er 85 db m W Det skal dog tilføjes, at øret ikke helt opfatter lyde med samme lydstyrke og med forskellig frekvens, som værende lige kraftige. Faktisk vil øret opfatte en lyd på 1000 Hz ved 60 Hz som værende kraftigere end en lyd på 100 Hz ved 60 Hz. Derfor arbejder man undertiden med tilpassede db-skalaer, for eksempel den såkaldte dba-skala. Den interesserede læser henvises til mere herom andetsteds. Lad os slutte af med en figur, som viser db-skalaens niveau i forskellige situationer.

18 18 Erik Vestergaard db 140 take off Rock koncert almindelig samtale hvisken netop hørbar 0

19 Erik Vestergaard 19 Opgaver Opgave 1 Forklar, hvordan et stroboskop, som jo anvendes på diskotekerne, kan benyttes til at vise, at fænomenet med stående bølger, vist på figuren på side 8. Opgave 2 (Stående bølger på snor) Figuren på side 9 viser fire stående bølger på en snor. Bestem hvor mange bølgelængder, der i hvert tilfælde går på en snorlængde l. Opgave 3 (Snorbølgeforsøg) Ved et snorbølgeforsøg er snoren 1,35 m lang og grundsvingningen forekommer, når vibratorens frekvens er 62 Hz. a) Bestem bølgehastigheden på strengen. b) Ved hvilken frekvens vil 1. oversvingning forekomme? Opgave 4 (Lydens hastighed) a) Nævn to ting, som lydens hastighed afhænger af. b) Hvad er lydens hastighed i atmosfærisk luft ved frysepunktet, dvs. 0 C? c) Hvad er lydens hastighed i CO 2 ved 20 C? Det oplyses, at k = 1, 2937 for CO 2. Opgave 5 (Guitar) Benyt formel (5) til at bestemme bølgehastigheden på en streng, som vejer 0,82 gram pr. meter og som er spændt ud med en kraft på 300 N. Opgave 6 (Guitar) En guitarstreng vejer 1,45 gram pr. meter. Guitarstrengens længde er 64 cm. a) Hvor kraftigt skal guitarstrengen spændes, for at kunne give en grundtone på 659,3 Hz, hvilket svarer til tonen E? b) Hvad er frekvensen af den første overtone? c) Hvis man holder strengen nede på et bånd, så snorens længde reduceres til 2/3 længde, hvad ændres grundtonens frekvens da til?

20 20 Erik Vestergaard Opgave 7 (Guitar) En guitarstreng vejer 0,69 gram pr. meter og er 60 cm lang. Den spændes ud med en kraft på 250 N. Hvilken grundtonefrekvens vil den give? Opgave 8 (Guitar) Vil det resultere i en højere eller dybere tone fra en guitar, hvis man a) Halverer længden af strengen ved at holde ned på et bånd? b) Strammer stemmeskruerne? c) Udskifter tråden med en tungere? Prøv først at besvare spørgsmålet udfra din intuition. Prøv dernæst at argumentere udfra formlerne, herunder (5). Opgave 9 (Orgelpibe) Hvor lang skal en åben orgelpibe være, for at kunne give en grundtonefrekvens på 880 Hz? Der ses bort fra mundingskorrektion. Samme spørgsmål for en lukket orgelpibe. Opgave 10 (Orgelpibe) En åben orgelpibe er 2,3 m lang. Hvor høj vil frekvensen af grundtonen og 1. overtone være? Opgave 11 (Orgelpibe) En fløjte som på figuren øverst side 14 skal kunne levere en grundtone på 540 Hz. Hvor lang skal hulrummet være? Opgave 12 (Stemmegaffel) En stemmegaffel kan levere en ren tone med frekvensen 440 Hz (kammertonen). Hvor langt skal hulrummet i resonanskassen være, for at kunne forstærke stemmegaflens svingninger? Der ses bort fra mundingskorrektion. Hjælp: Hvor skal der være knude, og hvor skal der være bug for den stående bølge? Sammenlign med en bestemt orgelpibe. Samme spørgsmål for en stemmegaffel på med tonen C på 256 Hz.

21 Erik Vestergaard 21 Opgave 13 (Klaver tempereret stemning) Hver tangent på et klaver giver en tone med en bestemt frekvens, når vi ser bort fra tilstedeværelsen af overtoner. Et klaver i dag er meget tæt på at være det vi kalder tempereret stemt. Med en ren tempereret stemning menes, at forholdet i frekvens mellem den højre og den venstre tangent for to nabo-tangenter er et fast tal. De sorte tangenter skal her tælles med! Lad os kalde det tal, man skal gange frekvensen af den venstre tangent med for at få frekvensen af den højre tangent, for multiplikationsfaktoren. Endvidere gælder der, at hvis man går 12 tangenter mod højre på klaveret, så fordobles frekvensen. Intervallet på 12 tangenter startende med C og sluttende med H, kaldes for en oktav. De næste tolv tangenter herefter danner en ny oktav osv. Tonerne i den nye oktav betegnes med de samme bogstaver, dog kan man finde på at give dem et mærke for at skelne mellem dem. Årsagen til, at de får tildelt samme bogstav er, at de som toner lyder ensartede.

22 22 Erik Vestergaard Den rene tempererede stemning a) Vis at multiplikationsfaktoren er lig med 1, Hjælp: Kald fx multiplikationsfaktoren for a og opstil en ligning og løs den. b) Find frekvenserne for de hvide tangenter i oktaven, hvori kammertonen A (440 Hz) ligger. Du skal altså bestemme frekvenserne for C, D, E, F, G, A og H, som angivet på figuren på forrige side. Brug Kammertonen til at regne ud fra! c) Hvad er frekvensen af den højeste og den dybeste tone på det afbildede klaver? d) Pythagoræerne i det gamle Grækenland fandt, at toner, hvis frekvenser forholder sig som for eksempel 3:2 (en kvint) og 4:3 (en kvart) lød indbyrdes harmoniske. Find en tangentkombination med udgangspunkt i C, der tilnærmelsesvist giver frekvensforholdet 3:2. Samme spørgsmål for forholdet 4:3. e) Angiv omtrentligt det frekvensinterval, som en violin ifølge figuren spænder over. Tilføjelser til ovenstående Som nævnt ovenfor bliver et klaver ikke stemt fuldstændigt tempereret i dag - man foretager så afvigelser. Det mener man lyder bedre. Vi skal ikke komme nærmere ind på dette her. Klangfarven eller bare klangen af en tone karakteriseres som tidligere nævnt af overtonerne, som frembringes samtidigt med grundtonen. sammensætningen af de enkelte overtoner er vigtig, og der tages hensyn til dette i konstruktionsfasen. Opgave a) Hvilken lydstyrke svarer en lydintensitet på 6 10 W m til? 12 2 b) Den svageste lyd et menneske kan høre er på 10 W m. Hvilken lydstyrke svarer det til? c) Lydstyrken fra en højttaler er på 98 db. Hvilken lydintensitet svarer det til? Hjælp: Her skal du regne den anden vej. Isoler I i formel (2). Opgave 15 (Lidt sværere) En given højttaler kan give en maksimal lydstyrke på 110 db. Et interessant spørgsmål er nu: Hvor stor en lydstyrke vil to af de samme højttalere kunne give tilsammen, hvis de stilles op ved siden af hinanden? Hjælp: Det går ikke at lægge lydstyrker i db sammen! Derimod kan man lægge energier sammen og dermed også intensiteter. Du skal altså vejen om ad lydintensiterne. Opgave 16 Søg på Internettet for at besvare følgende spørgsmål: a) Hvad er grænserne for tilladte lydstyrker på arbejdspladser? Hvad kan man gøre for at begrænse lydniveauet her? Giv nogle forslag. b) Nævn nogle ting i hverdagen, hvor man skal være forsigtig med lydstyrken. c) Hvad er smertegrænsen?

23 Erik Vestergaard 23 d) Hvad er akustik? e) Hvad er efterklang? f) Hvordan er øret indrettet. Beskriv de vigtigste dele og forklar, hvordan man hører! Opgave 17 Afprøv animationerne på hjemmesiden PhET Interactive Simulations: Der er blandt andet en god en med Fourier Bølgeanalyse. Opgave 18 Benyt et CAS-værktøj som for eksempel Maple til at tegne bølge-graferne for nogle forskellige toner i delopgaverne nedenfor. Som bekendt kan det tidsmæssige forløb af en ren tone med frekvensen f beskrives ved funktionen y( t) = A sin(2 π f t), hvor A er bølgens amplitude. a) Betragt en ren tone med frekvensen 100 Hz og amplituden 2,1. Bestem svingningstiden T, dvs. perioden for bølgen. Benyt denne viden til at plotte grafen for sinusbølgen i et interval, så der vises ca. 5 perioder. Undlad for nemheds skyld enheder når du plotter. Lad størrelserne være underforstået i SI-enheder. b) Gentag successen med en tone med frekvens på 200 Hz og amplitude 1,7. Benyt samme tidsinterval som under a). c) Plot grafen for den sammensatte tone bestående af summen af de rene toner fra a) og b). Hvilken periode har den sammensatte tone? Altså hvor lang tid går der før bølgen gentager sig selv? d) Prøv at tegne de to grafer i samme koordinatsystem. Hvis du bruger Maple kan du kalde det ene plot for plot1 og det andet for plot2 og så benytte følgende kommando: plots[display](plot1,plot2). Det bliver mest overskueligt, hvis du giver hver af de oprindelige plots forskellige farver. Det kan gøres med en farveoption a lá color = green. Opgave 19 Prøv at afbilde stødtonerne i afsnit 5 med de talværdier, som er angivet der.

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

Elevforsøg i 10. klasse Lyd

Elevforsøg i 10. klasse Lyd Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Måling af lydens hastighed... 4 Resonans... 5 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 6 Stående tværbølger på en snor....

Læs mere

En f- dag om matematik i toner og instrumenter

En f- dag om matematik i toner og instrumenter En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Øvelsesvejledning RG Stående bølge. Individuel rapport. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser.

Øvelsesvejledning RG Stående bølge. Individuel rapport. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser. Stående bølge Individuel rapport Forsøgsformål At finde resonanser (stående bølger) for fiskesnøre. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser. At se hvordan hastigheden afhænger af belastningen

Læs mere

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Resonans... 4 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 5 Stående tværbølger på en snor.... 6 Stående lydbølger i resonansrør.

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Øvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport

Øvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når

Læs mere

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6

Læs mere

Lyd og lyddannelse. Baggrund lærer-elev

Lyd og lyddannelse. Baggrund lærer-elev NATUR & TEKNO- LOGI Baggrund lærer-elev Hvad er lyd? Lyd er længdebølger i luften. Længdebølger vil sige, at vibrationen sker på langs ad bevægelsesretningen. Hvis vi hænger en trappefjeder op i nogle

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Svingninger og bølger

Svingninger og bølger Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer

Læs mere

Indhold. Svingninger & lyd Side_1

Indhold. Svingninger & lyd Side_1 Indhold Svingninger... 3 Egensvingninger og egenfrekvens... 3 Tacoma broen Ingeniørernes mareridt... 4 Bølgers egenskaber... 5 Bølger reflekteres... 5 Bølger interfererer... 5 Vandrende bølger... 6 Stående

Læs mere

Billund Bygger Musik: Lærervejledning

Billund Bygger Musik: Lærervejledning Billund Bygger Musik: Lærervejledning Science of Sound og Music Velkommen til Billund Builds Music! Vi er så glade og taknemmelige for, at så mange skoler og lærere i Billund er villige til at arbejde

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Grundlæggende lydtekniker kursus

Grundlæggende lydtekniker kursus Hvad er lyd? Grundlæggende Lyd kan vi opfatte med ørerne. Lyd opstår ved at noget bringes til at svinge. Hvis man f.eks. knipser en guitarstreng, vil den svinge frem og tilbage. Slår man med en hammer

Læs mere

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse

Læs mere

Glamsdalens Idrætsefterskole 1

Glamsdalens Idrætsefterskole 1 1. Fra svingninger til lyd (Grundlæggende)... 2 2. Gammelt legetøj (rejse)... 3 3. Lyd med din smartphone (Grundlæggende)... 4 4. Lydens refleksion (Grundlæggende)... 5 5. Lydens fart i atmosfærisk luft

Læs mere

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Brydningsindeks af luft

Brydningsindeks af luft Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender

Læs mere

introduktion TIL LÆREREN

introduktion TIL LÆREREN Lyd, larm & løjer 1 lyd, larm & løjer Indhold s introduktion TIL LÆREREN Dette er en vejledning til Lyd, larm og løjer, som er en formidlingsaktivitet om lyd. Den er målrettet 7. klassetrin. I vejledningen

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Spektrumrepræsentation

Spektrumrepræsentation Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Fysik C Peter Lundøer (Lu) 1f fysik C Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel

Læs mere

En fysisk model skabes Toner i en flaske

En fysisk model skabes Toner i en flaske En fysisk model skabes Toner i en flaske Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 1. september 2010 Introduktion

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Musik, matematik og forholdsregler

Musik, matematik og forholdsregler MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Redegøre for forskellen på tværbølger og længdebølger samt vide, hvilken type bølger, lyd er Redegøre for amplitude, frekvens og bølgelængde og hvilken betydning disse begreber

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Polarisering. Et kompendie om lysets usynlige egenskaber

Polarisering. Et kompendie om lysets usynlige egenskaber Polarisering Et kompendie om lysets usynlige egenskaber Hvad er polarisering? En bølge kan beskrives på mange måder. Den har en bølgelængde, en frekvens, en hastighed, en amplitude og en bevægelsesretning.

Læs mere

Opgaver i solens indstråling

Opgaver i solens indstråling Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med

Læs mere

Gaslovene. SH ver. 1.2. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3

Gaslovene. SH ver. 1.2. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3 Gaslovene SH ver. 1.2 Indhold 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser................... 2 1.2 Gasligninger...................... 3 2 Forsøgene 3 2.1 Boyle Mariottes lov.................. 4 2.1.1 Konklusioner.................

Læs mere

Der er lyd overalt. Hvad er lyd. Sanser og lyd

Der er lyd overalt. Hvad er lyd. Sanser og lyd Der er lyd overalt De er overalt lydene. Lige meget hvor du vender dit hoved hen ligegyldigt om det er dag eller nat, så vil du altid høre lyde. De kommer bølgende gennem luften og rammer dig overalt på

Læs mere

Dopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard

Dopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Naturvidenskabeligt grundforløb

Naturvidenskabeligt grundforløb Før besøget i Tivoli De fysiologiske virkninger af g-kræfter. Spørgsmål der skal besvares: Hvorfor er blodtrykket større i fødderne større end blodtrykket i hovedet? Hvorfor øges pulsen, når man rejser

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

1. Forstærkning af melodien

1. Forstærkning af melodien http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,

Læs mere

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger

Læs mere

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk Guitar og noder Melodispil og nodelære 1. position John Rasmussen Guitarzonen.dk Guitar og noder er udgivet som e-bog 2011 på guitarzonen.dk Forord Denne bog gennemgår systematisk tonernes beliggenhed

Læs mere

Lyd, Lydtryk og lydeffekt

Lyd, Lydtryk og lydeffekt februar 015 Lyd, Lydtryk og lydeffekt Kompendium om lyd. d. 15/10 01 Valle. Materialet er ikke færdig. Jeg modtager gerne ideer til ændringer eller tilføjelser. / Valle Thorø Side 1 af 33 Lyd, Lydtryk

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lidt om lyd - uden formler

Lidt om lyd - uden formler Search at vbn.aau.dk: > Search the AAU phone book: > Sections > Acoustics > Home Education Research Facilities/Equipment Staff & Job About Lidt om lyd - uden formler 1. Hvad er lyd? Lyd er ganske små svingninger

Læs mere

Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb

Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb Termin juni 2016 Institution Uddannelse Horsens Hf & VUC Hfe Fag og niveau Fysik C (stx-bekendtgørelse) Lærer(e) Hold Lærebøger Hans Lindebjerg Legard FyC2

Læs mere

AT Fremtidens by Hoved one-pager

AT Fremtidens by Hoved one-pager AT Fremtidens by Hoved one-pager Lasse, Kasper, Emilie og Svend Idé: Energineutralt teater/koncertsal, der er inspireret af oldtidens Odea, med optimal akustik. Beskrivelse: I fremtidens Odder ser vi gerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013/2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Fysik C Ruth Bluhm 1f

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg

Læs mere

Fysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser

Fysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser Fysiknoter I denne første forelæsning vil vi indledningsvis se på generelt på bølgefænomener (6,,4), fortsætte med noget om lydbølger (7-4), og slutte med ultralyd, hvor vi skal se på kapitel og i denne

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 09 Institution Teknisk Gymnasium Grenaa, Viden Djurs Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Fysik

Læs mere

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Lyd og hørelse 1 En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Denne brochure er nummer 1 i en serie fra Widex om hørelse og høreapparater. Hvad er lyd? Vores moderne dagligdag er fyldt med mange

Læs mere

Sæt GM-tællererne til at tælle impulser i 10 sekunder. Sørg for at alle kendte radioaktive kilder er placeret langt væk fra målerøret.

Sæt GM-tællererne til at tælle impulser i 10 sekunder. Sørg for at alle kendte radioaktive kilder er placeret langt væk fra målerøret. Forsøge med stråling fra radioaktive stoffer Stråling fra radioaktive stoffer. Den stråling, der kommer fra radioaktive stoffer, kaldes for ioniserende stråling. Den kan måles med en Geiger-Müler-rør koblet

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier

Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier Fysikøvelse - Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier Formål Formålet med denne øvelse er at eftervise følgende formel for centripetalkraften på et legeme,

Læs mere

Matematiske modeller Forsøg 1

Matematiske modeller Forsøg 1 Matematiske modeller Forsøg 1 At måle absorbansen af forskellige koncentrationer af brilliant blue og derefter lave en standardkurve. 2 ml pipette 50 og 100 ml målekolber Kuvetter Engangspipetter Stamopløsning

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Mellem mennesker Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 9 Skole: Navn: Klasse:

Mellem mennesker Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 9 Skole: Navn: Klasse: Mellem mennesker Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 9 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Hvilke egenskaber gælder ikke for radiobølger? Der er 5 svarmuligheder. Sæt et kryds. De kan reflekteres, når de rammer

Læs mere

DIEM akustik. Perceptual Fusion and Auditory Perspective. Litt.: Cook kap. 20

DIEM akustik. Perceptual Fusion and Auditory Perspective. Litt.: Cook kap. 20 DIEM akustik Perceptual Fusion and Auditory Perspective Litt.: Cook kap. 20 Introduktion Vores auditive system (hørelsen) er meget følsomt overfor små fluktuationer i frekvens og amplitude Giver os evnen

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undersøgelse af lyskilder

Undersøgelse af lyskilder Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Bernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold

Bernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Nervefysiologi - Excitable membraner

Nervefysiologi - Excitable membraner Nervefysiologi - Excitable membraner Formålet med øvelsen er at give de studerende mulighed for at aflede aktionspotentialer fra regnormens kæmpeaxoner, og derved iagttage nogle af egenskaberne ved aktionspotentialer.

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere