RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

Transkript

1 RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-000 FREDERIKSBERG TEL: FAX NO:

2 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode Jørge Kai Olse Forskigsgruppe for Forbrugeradfærd Istitut for Afsætigsøkoomi Hadelshøjskole i Købehav 005

3 Idholdsfortegelse Side. Idledig 3. Geerelle forudsætiger 4 3. Modelkostruktioe 5 4. Prisoptimerig i modelle 9 5. Et eksempel på avedelse af modelle 0 6. Koklusio 8 Litteraturfortegelse 9

4 . Idledig Mage kortvarige forbrugsgoder har de egeskab, at de ikke ødvedigvis forbruges i de periode, hvor de købes, fordi det er muligt for forbrugere at lægge dem på lager til seere brug. Dette gælder fx for varer som kaffe, te, øl, spiritus, læskedrikke, sæbe, vaskepulver, hårshampoo, tadpasta, papirvarer og koserves. For dee type varer er det klart, at de aktuelle størrelse af forbrugeres lager (dvs. beholdig af vare) som hovedregel vil spille e afgørede rolle for has købs- og brugsadfærd i e give periode. Dette forhold kommer eksempelvis implicit til udtryk, år ma i kvatitative modeller for e virksomheds afsætig og/eller markedsadel fider e sigifikat effekt ikke ku af de aktuelle pris for vare, me også af prise for vare i é eller flere tidligere perioder. Se fx Birch, Olse og Tjur (005). E såda effekt er imidlertid ku e idirekte effekt. De direkte determiat for forbrugeres købs- og brugsadfærd er ikke prise for vare i e tidligere periode (som ma jo ikke ka købe id til mere i de aktuelle periode), me derimod størrelse af forbrugeres lager af vare på det tidspukt, hvor købet og forbruget realiseres. Me det er klart, at størrelse af det aktuelle lager vil være bestemt af prise for vare i é eller flere tidligere perioder. Edvidere er det klart, at prise for vare - ikke ku i é forudgåede periode, me i e lag række forudgåede perioder - vil være e idikator for, om prise for vare i de aktuelle periode er høj eller lav. Det sidstævte forhold vil vi dog se bort fra i det følgede. Problemstillige i dee artikel er herefter at opstille e model for forbrugeres købs- og brugsadfærd for et kortvarigt forbrugsgode, hvor de aktuelle størrelse af forbrugeres lager af vare gøres til direkte determiat for has adfærd. Forude størrelse af det aktuelle lager af vare vil vi iddrage de aktuelle pris for vare som determiat for forbrugeres købsadfærd. Når vi ku iddrager dee ee beslutigsvariabel i modelle, skyldes det alee øsket om at simplificere fremstillige. Modelle opbygges emlig således, at de umiddelbart vil kue geeraliseres, ved at der iddrages yderligere forklarede variable for købs- og brugsadfærde i de, fx virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats. 3

5 E tilsvarede problemstillig har hyppigt været behadlet i de afsætigsøkoomiske litteratur. Se fx Jai ad Vilcassim (99) for e grudig litteraturgeemgag og modelsammeligig. Me de beyttede modeller har et oget adet udgagspukt ed vort. Dels fordi modellere er modeller for vetetide mellem to på hiade følgede køb af vare. Eksempelvis ekspoetialfordelige og de egative biomialfordelig (Ehreberg (959)), Erlagfordelige (Heriter (97), Zufryde (978), Jeulad, Bass ad Wright (980) og Gupta (988)) og Cox s hazard model (Jai ad Vilcassim (99)). Dels fordi det aktuelle lager af vare ku idgår idirekte i modelkostruktioe via størrelse af det købte kvatum ved forrige køb. De model, vi vil opstille i det følgede, er i modsætig til oveævte modeller e model for atal købte eheder af vare i e give periode, hvor størrelse af det aktuelle lager af vare idgår eksplicit i modelkostruktioe. Fordele ved dee modelformulerig er, at ma får mulighed for at bestemme sadsylighedsfordelige for størrelse af forbrugeres lager af vare på et givet tidspukt.. Geerelle forudsætiger I det følgede forudsættes det, at samtlige forbrugere i målgruppe for vare bortset fra stokastisk variatio udviser idetisk købs- og brugsadfærd, at e give forbruger defiitivt træffer si købsbeslutig for e give periode og realiserer dee beslutig umiddelbart efter periodes start, ide periodes forbrug påbegydes, at størrelse af forbrugeres køb i e give periode bortset fra stokastisk variatio - ku afhæger af de aktuelle (og for periode kostate) pris for vare og af størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af de forrige periode, at periodes forbrug af vare foregår løbede geem hele de betragtede periode, me at størrelse af forbrugeres forbrug af vare i e give periode bortset fra stokastisk variatio - ku afhæger af de aktuelle pris for vare og af størrelse af forbrugeres lager af vare umiddelbart efter, at forbrugere har realiseret si købsbeslutig for periode, og at forbrugere øsker, at has lager af vare på itet tidspukt er større ed K eheder. 4

6 Som ævt forudsættes det, at såvel størrelse af forbrugeres køb af vare som størrelse af has forbrug af vare afhæger af de aktuelle pris for vare og af størrelse af has lager af vare på det tidspukt, hvor købs- eller brugsbeslutige realiseres. Dee afhægighed ka aturligvis specificeres på mage måder, og de kokrete modelformulerig må afhæge af de foreliggede problemstillig. Derfor vil vi ikke specificere sammehæge eksplicit i æste afsit, hvor de geerelle model opstilles, me først i afsit 5, hvor der briges et eksempel på avedelse af modelle. 3. Modelkostruktioe Lad { X,,,3,...}, { Y, 0,,,...}, { U,,,3,...} og { V,,,3,...} være følger af stokastiske variable, der alle er defieret på mægde { 0,,,..., K}, hvor X beteger størrelse af forbrugeres lager af vare ved starte af periode ummer umiddelbart efter, at forbrugeres købsbeslutig for periode ummer er realiseret, Y beteger størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer umiddelbart efter, at forbrugeres forbrug af vare for periode ummer er realiseret, U beteger størrelse af forbrugeres køb af vare i periode ummer og V beteger størrelse af forbrugeres forbrug af vare i periode ummer. Da gælder der følgede relatioer mellem modelles stokastiske variable: X Y + U og Y X V ;,,3,...,. Lad edvidere R ( rij) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være e matrix, hvis elemeter er de betigede købssadsyligheder, dvs. at r P( U j Y i). Uder de geerelle ij modelkostruktio i dette afsit vil vi som ævt ovefor ikke opstille specielle forudsætiger om størrelse af rij. Me det skal dog bemærkes, at det for alle gælder, at r ij 0 for j > K i, at Disse (og de følgede) betigede sadsyligheder afhæger af, fordi de afhæger af prise for vare, der i de geerelle model afhæger af periodes ummer. 5

7 r K 0, og at r Kj 0 for j > 0. Dette skyldes, at vi i afsit har forudsat, at forbrugere øsker, at has lager af vare på itet tidspukt er større ed K eheder. Lad edelig S ( s ) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være e matrix, hvis elemeter er de betigede ij brugssadsyligheder, dvs. at s P( V j X i). Vi vil heller ikke her opstille specielle ij forudsætiger om størrelse af s. Me det skal dog bemærkes, at det for alle gælder, at ij s ij 0 for j > i, at s, og at 0 for j 0. Dette skyldes, at vi i afsit har forudsat, at 00 s0 j > forbrugeres købsbeslutig, der træffes ved periodes start, er defiitiv for periode, hvorfor ha aturligvis ikke ka bruge mere i løbet af periode, ed ha har på lager umiddelbart efter, at købsbeslutige er realiseret. Vi vil u formulere de dyamiske model for forbrugeres købsadfærd over tide som e ikkestatioær Markov model. Lad P ( P ) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) ij være de overgagssadsylighedsmatrix, der bestemmer overgage mellem størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer og størrelse af forbrugeres lager af vare ved begydelse af periode ummer, umiddelbart efter at købsbeslutige for periode ummer er realiseret. Dvs. at P ij P( X j Y i) P( U j i Y i) ri ( j i) for j i P ij 0 for j < i. Lad edvidere Q ( Qij) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være de overgagssadsylighedsmatrix, der bestemmer overgage mellem størrelse af forbrugeres lager af vare umiddelbart efter, at købsbeslutige for periode ummer er realiseret og størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer, efter at periodes forbrug er realiseret. Dvs. at Q ij P( Y j X i) P( V i j X i) s ( ) i i j for j i Q ij 0 for j > i. 6

8 Lad edelig ), ), ), ) ( j 0,,..., K) være de margiale x ( xj y ( yj u ( uj sadsylighedsfordeliger for hhv. X, Y, U og V for periode ummer (opfattet som rækkevektorer), og lad y0 være de margiale fordelig for lageret ved slutige af periode ummer 0, dvs. ved processes start. v ( vj Da gælder der, at de margiale fordelig af X er bestemt således: x y ( ) P for,,3,... at de margiale fordelig af Y er bestemt således: y x Q for,,3,... at de margiale fordelig af U er bestemt således: u y ( ) R for,,3,... og at de margiale fordelig af V er bestemt således: v x S for,,3,... Hermed er de geerelle model opstillet. I reste af dette afsit vil vi vise, hvorledes de geerelle model ka simplificeres betydeligt, hvis vi i forhold til de geerelle forudsætiger, der er specificeret i afsit, opstiller de supplerede forudsætig, at prise for vare er kostat for e (pricipielt uedelig) lag række perioder. 7

9 Dee forudsætig er aturligvis ku udtagelsesvis opfyldt i praksis, me de er helt berettiget, hvis ma øsker at bestemme det optimale iveau for vares pris uder de forudsætig, at alt adet er lige. (Heruder virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats). Thi uder alt adet lige forudsætige er det bortset fra de forholdsvis få perioder efter processes start, hvor de margiale fordeliger af X, Y, U ogv edu ikke har stabiliseret sig optimalt at holde prise kostat. Dette prisoptimerigsproblem vil vi vede tilbage til i afsit 4. Uder de supplerede forudsætig bliver Markov modelle statioær, idet matricere P, Q, Rog S u ikke lægere afhæger af. Der gælder derfor, at de margiale fordelig af X bliver P x x y0 ( QP) x for,3,4,... at de margiale fordelig af Y bliver 0 ( PQ) y y for,,3,... at de margiale fordelig af U bliver u y( ) R for,,3,... og at de margiale fordelig af V bliver S for,,3,... v x Lad ( ), ( ), ( ) og ( ) ( j 0,,..., K), hvor x x j y y j u u j v v j x j xj, y j lim yj, u j lim uj og v j lim vj lim, 8

10 betege græsefordelige af hhv.,, og, år går mod uedelig. Da gælder der, at alle fire græsefordeliger eksisterer, og at x y u v ( ) (lim ( QP) ij ) for j 0,,... K uafhægigt af i x x j, ( ) (lim ( PQ) ij ) for j 0,,... K uafhægigt af i y y j, u y R v x S. 4. Prisoptimerig i modelle I dette afsit vil vi vise, hvorledes ma ka optimere prise for vare uder de i forrige afsit opstillede supplerede forudsætig om, at prise er kostat for e (pricipielt uedelig) lag række perioder. Lad {,,,3,...} være e følge af stokastiske variable, hvor W beteger det dækigsbidrag, W som virksomhede opår hos e give forbruger i periode ummer. Hvis p beteger de kostate pris for vare, og c beteger de variable ehedsomkostiger, som vi også vil atage er kostate for e lag række perioder, så gælder der, at W ( p c) og dermed, at forvetige U af W er, E( W ) ( p c) E ( U ) ( p c) j, K j 0 uj hvor sadsylighedsfordelige, u, for U, der er udledt i afsit 3, implicit afhæger af p. Dee forvetig afhæger imidlertid af, me forvetige stabiliseres forholdsvis hurtigt, fordi de margiale fordelig af W kovergerer ekspoetielt hurtigt mod si græseværdi. Vi maksimerer derfor i stedet græseværdie af dækigsbidraget pr. forbruger, år uedelig, dvs. gå mod 9

11 ϕ( p) lim E( W ) ( p c) j K j 0 u j, som aturligvis er uafhægig af. Ret tekisk har vi løst dette problem ved at skrive et Pascalprogram, der maksimerer ϕ mht. p. Dette program vil vi beytte i æste afsit, hvor vi betragter et simpelt eksempel på modelkostruktioe. 5. Et eksempel på avedelse af modelle I dette afsit vil vi give et eksempel på avedelse af modelle heruder specielt på, hvorledes størrelse af forbrugeres køb af vare og størrelse af has forbrug af vare ka gøres til e fuktio såvel af vares pris som af størrelse af det aktuelle lager af vare. Vi vil atage, at det betragtede kortvarige forbrugsgode er kaffe, at prise for e pose kaffe er p 30 kr. og kostat i e lag række perioder, at forbrugere øsker, at has lager af kaffe på itet tidspukt er større ed K 4 poser (hvilket edefor viser sig at svare til 4 perioders ormalforbrug), at fordelige af ( U Y i), dvs. fordelige af forbrugeres køb af vare, givet størrelse af has lager ved slutige af forrige periode - bortset fra tilfældet i K, hvor fordelige er udartet i 0 - er e biomialfordelig, med atalsparametere sadsylighedsparametere θ i, således at K i og r ij P U j Y K i j K i j i) θ i ( i ) for i 0,,..., K ; j 0,,..., K i, j ( θ at sadsylighedsparametere θ i afhæger af prise og lagerstørrelse på følgede måde: 0

12 θ i exp( α + β l( p) + γ l( i + )) + exp( α + β l( p) + γ l( i + )) at de parametre, der bestemmer størrelse af forbrugeres køb givet prise og størrelse af has lager af kaffe ved slutige af forrige periode, er α.5, β 3.75 og γ.75, at fordelig af ( V X i), dvs. fordelige af forbrugeres forbrug af vare, givet størrelse af has lager umiddelbart efter periodes køb - bortset fra tilfældet i 0, hvor fordelige er udartet i 0 - er e biomialfordelig, med atalsparametere i og sadsylighedsparametere θ i, således at s ij i j P( V j X i) θ i ( θi) j for i,,..., K ; i j j 0,,..., i at sadsylighedsparametere θ i afhæger af prise og lagerstørrelse på følgede måde: θ i exp( α + β l( p) + γ l( i + )) + exp( α + β l( p) + γ l( i + )) at de parametre, der bestemmer størrelse af forbrugeres forbrug af kaffe givet prise og størrelse af has lager af kaffe umiddelbart efter periodes køb, er α 5.50, β 3.65 og γ.5, og at iitialfordelige for lageret ved processes start er (0.4, y0 0.3, 0., 0., 0.0). Om disse forudsætiger skal det for det første bemærkes, at selv om biomialfordelige er e diskret fordelig, der har et defiitiosområde, der såvel for forbrugeres køb af vare som for has brug af vare passer præcis til problemstillige (modsat fx Poissofordelige, de geometriske fordelig og de egative biomialfordelig), så er det æppe muligt at give e adfærdsmæssig begrudelse for valget af etop dee fordelig. Me hvis ma åber mulighed for at aalysere et kokret talmateriale ud fra e supplerede atagelse om overspredig eller (i det kokrete tilfælde sarere) uderspredig, så ka biomialfordelige dog æppe afvises a priori.

13 For det adet skal det bemærkes, at det i hvert tilfælde i pricippet er gaske simpelt at geeralisere oveståede modeller for sadsylighedsparametree θ i og θ i således, at adre forklarede variable ed vares pris - fx virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats - iddrages i modelkostruktioe. Uder de ovefor opstillede atagelser bliver de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger for forbrugeres køb i e give periode θ (0.38, 0.5, 0.08, 0.05) og de 4 betigede forvetiger bliver µ (.5, 0.46, 0.6, 0.05). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres køb af vare, givet has lager af vare af matrice R Om forbrugeres brug af vare i e give periode gælder, at de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger bliver θ ( 0.8, 0.65, 0.49, 0.37), og at de 4 betigede forvetiger bliver µ (0.8,.30,.47,.48).

14 Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres brug af vare, givet has lager af vare af matrice S Edelig bliver overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før køb til efter køb 0.5 P medes overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før brug til efter brug bliver Q Vi er u i stad til at opstille de fire margialfordeliger,, og for ethvert. Dette vil vi imidlertid udlade at gøre, dels fordi disse fordeliger (for små værdier af af iitialfordelige y0, der er valgt forholdsvis vilkårligt, dels fordi Markovprocesse x y u v ) afhæger kovergerer ekspoetielt hurtigt mod si græsefordelig, hvorfor det som hovedregel ku er dee, der har iteresse. De fire margiale græsefordeliger og deres forvetiger fremgår af edeståede tabel. 3

15 Tabel. De margiale græsefordeliger for lager efter køb, lager efter brug, køb og brug. j x y u v Sum Forvetig Som det fremgår af tabelle, er det forvetede køb pr. periode, dvs..0 pakker, lig med det forvetede forbrug pr. periode. Og det forvetede lager efter køb, dvs..60 pakker, er etop.0 pakker større ed det forvetede lager efter brug, dvs pakker. I eksemplet ovefor har vi ataget, at de (for e lag række perioder) kostate pris for e pose kaffe er p 30 kr. Hvis vi yderligere atager, at de variable ehedsomkostiger ved at producere og sælge e pose kaffe også er kostate og lig med c 5 kr., medfører dette, at virksomhede i græsesituatioe opår et forvetet dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode på ϕ ( p ) ( p c) E( U ) (30 5) kr. Me dette dækigsbidrag pr. forbruger vil ku helt udtagelsesvis være det maksimalt opåelige dækigsbidrag for virksomhede emlig hvis optimalprise (tilfældigvis) er p 30 kr. Vi vil derfor beytte det i afsit 4 omtalte Pascal program, til at bestemme de optimale pris uder de i eksemplet opstillede forudsætiger. 4

16 Med udgagspukt i de i eksemplet beyttede tal viser e avedelse af dette program, at optimalprise ikke er p 30 kr., me p kr. Dette betyder, at de aktuelle pris bør edsættes med 7 procet. Hvis hele det ovefor geemgåede eksempel geemreges med de ye pris på fås følgede resultater: p kr. De 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger for forbrugeres køb i e give periode bliver θ (0.44, 0.9, 0.0, 0.07) og de 4 betigede forvetiger bliver µ (.76, 0.57, 0., 0.07). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres køb af vare, givet has lager af vare af matrice R Om forbrugeres brug af vare i e give periode gælder, at de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger bliver θ (0.86, 0.7, 0.56, 0.43), og at de 4 betigede forvetiger bliver 5

17 µ (0.86,.4,.67,.73). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres brug af vare, givet has lager af vare af matrice S Edelig bliver overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før køb til efter køb 0.0 P medes overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før brug til efter brug bliver Q Vi er u i stad til at opstille de 4 margiale græsefordeliger og deres forvetiger jf. edeståede tabel. 6

18 Tabel. De margiale græsefordeliger for lager efter køb, lager efter brug, køb og brug, år prise fastsættes optimalt. j x y u v Sum Forvetig Som det fremgår af tabelle, bliver det forvetede køb og det forvetede forbrug pr. periode, år prise er p kr., 8 procet større - emlig.0 pakker ed de.0 pakker, der blev købt/brugt, da prise var p 30 kr. Edvidere bliver det forvetede lager efter køb u.79 pakker (mod.60 pakker), medes det forvetede lager efter brug bliver 0.59 pakker (mod 0.58 pakker). Edelig gælder der, at det maksimale forvetede dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode bliver ϕ ( p 0) ( p0 c) E( U ) (7.93 5) kr. Dette dækigsbidrag er ku procet større, ed år prise er 30 kr., me hvis periodelægde er uge, og der er millioer forbrugere (husstade) på markedet, bevirker de optimale prisfastsættelse, at virksomhedes årlige dækigsbidrag øges med 3 millioer kr. 7

19 6. Koklusio Vi har i dee artikel opstillet e geerel dyamisk stokastisk model emlig e ikke-statioær Markov model - for forbrugeres køb, brug og lager (dvs. beholdig) af et givet kortvarigt forbrugsgode, der har de egeskab, at det ikke ødvedigvis forbruges i de periode, hvor det købes, me ka lagres af forbrugere til seere brug. De geerelle modelkostruktio bygger på de atagelse, at forbrugeres købsadfærd afhæger såvel af de aktuelle pris for vare som af lagerets størrelse på det tidspukt, hvor periodes købsbeslutig træffes. Edvidere bygger modelkostruktioe på de atagelse, at forbrugeres brugsadfærd afhæger såvel af de aktuelle pris for vare som af lagerets størrelse umiddelbart efter, at periodes købsbeslutig er realiseret. Forslag til eksplicitte modeller for forbrugeres købs- og brugsadfærd er opstillet i det afsluttede eksempel. For de geerelle model har vi udledt såvel de periodeafhægige margiale sadsylighedsfordeliger for forbrugeres køb, brug og lager af vare som græsefordelige for disse størrelser, år det forudsættes, at prise er kostat for e lag række perioder. I det sidstævte tilfælde sikrer modelkostruktioe, at forbrugeres køb af vare i græse bliver lig med has forbrug af vare. Edvidere har vi vist, hvorledes de geerelle model ka beyttes som beslutigsstøttemodel for virksomhede, ved at ma bestemmer de pris for vare, der maksimerer det forvetede dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode i græse. Edelig har vi illustreret avedelse af modelle med et eksempel, hvor det betragtede kortvarige forbrugsgode er kaffe. I dette eksempel har vi dels opstillet kokrete fordeligsmæssige atagelser om modelles stokastiske variable, dels vist, hvorledes modellere for forbrugeres købs- og brugsadfærd ka gøres til fuktioer såvel af vares pris som af de aktuelle lagerstørrelse. Disse modeller ka umiddelbart geeraliseres til at omfatte adre forklarede variable ed virksomhedes pris for vare. I eksemplet vises det afslutigsvis, hvorledes de optimale pris for vare skal fastsættes. 8

20 Litteraturfortegelse Kristia Birch, Jørge Kai Olse ad Tue Tjur (005) Regressio Models for Market-Shares Preprit No. / 005, Ceter for Statistics Departmet of Fiace CBS - Copehage Busiess School. A. S. C. Ehreberg (959) The Patter of Cosumer Purchases Applied Statistics, Vol. 8 S. Gupta (988) Impact of Sales Promotios o Whe, What, ad How Much to Buy Joural of Marketig Research, Vol. 5 J. Heriter (97) A Probabilistic Market Model of Purchase Timig ad Brad Selectio Maagemet Sciece, Vol. 8 Dipak C. Jai ad Naufel J. Vilcassim (99) Ivestigatig Household Purchase Timig Decisios: A Coditioal Hazard Fuctio Approach Marketig Sciece, Vol. 0 No. A. P. Jeulad, F. M. Bass ad G. P. Wright (980) A Multibrad Stochastic Model Compoudig Heterogeeous Erlag Timig ad Multiomial Choice Processes Operatios Research, Vol. 8 9

21 F. S. Zufryde (978) A Empirical Evaluatio of a Composite Heterogeeous Model of Brad Choice ad Purchase Timig Behavior Maagemet Sciece, Vol. 4 0