RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
|
|
- Minna Kjær
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-000 FREDERIKSBERG TEL: FAX NO:
2 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode Jørge Kai Olse Forskigsgruppe for Forbrugeradfærd Istitut for Afsætigsøkoomi Hadelshøjskole i Købehav 005
3 Idholdsfortegelse Side. Idledig 3. Geerelle forudsætiger 4 3. Modelkostruktioe 5 4. Prisoptimerig i modelle 9 5. Et eksempel på avedelse af modelle 0 6. Koklusio 8 Litteraturfortegelse 9
4 . Idledig Mage kortvarige forbrugsgoder har de egeskab, at de ikke ødvedigvis forbruges i de periode, hvor de købes, fordi det er muligt for forbrugere at lægge dem på lager til seere brug. Dette gælder fx for varer som kaffe, te, øl, spiritus, læskedrikke, sæbe, vaskepulver, hårshampoo, tadpasta, papirvarer og koserves. For dee type varer er det klart, at de aktuelle størrelse af forbrugeres lager (dvs. beholdig af vare) som hovedregel vil spille e afgørede rolle for has købs- og brugsadfærd i e give periode. Dette forhold kommer eksempelvis implicit til udtryk, år ma i kvatitative modeller for e virksomheds afsætig og/eller markedsadel fider e sigifikat effekt ikke ku af de aktuelle pris for vare, me også af prise for vare i é eller flere tidligere perioder. Se fx Birch, Olse og Tjur (005). E såda effekt er imidlertid ku e idirekte effekt. De direkte determiat for forbrugeres købs- og brugsadfærd er ikke prise for vare i e tidligere periode (som ma jo ikke ka købe id til mere i de aktuelle periode), me derimod størrelse af forbrugeres lager af vare på det tidspukt, hvor købet og forbruget realiseres. Me det er klart, at størrelse af det aktuelle lager vil være bestemt af prise for vare i é eller flere tidligere perioder. Edvidere er det klart, at prise for vare - ikke ku i é forudgåede periode, me i e lag række forudgåede perioder - vil være e idikator for, om prise for vare i de aktuelle periode er høj eller lav. Det sidstævte forhold vil vi dog se bort fra i det følgede. Problemstillige i dee artikel er herefter at opstille e model for forbrugeres købs- og brugsadfærd for et kortvarigt forbrugsgode, hvor de aktuelle størrelse af forbrugeres lager af vare gøres til direkte determiat for has adfærd. Forude størrelse af det aktuelle lager af vare vil vi iddrage de aktuelle pris for vare som determiat for forbrugeres købsadfærd. Når vi ku iddrager dee ee beslutigsvariabel i modelle, skyldes det alee øsket om at simplificere fremstillige. Modelle opbygges emlig således, at de umiddelbart vil kue geeraliseres, ved at der iddrages yderligere forklarede variable for købs- og brugsadfærde i de, fx virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats. 3
5 E tilsvarede problemstillig har hyppigt været behadlet i de afsætigsøkoomiske litteratur. Se fx Jai ad Vilcassim (99) for e grudig litteraturgeemgag og modelsammeligig. Me de beyttede modeller har et oget adet udgagspukt ed vort. Dels fordi modellere er modeller for vetetide mellem to på hiade følgede køb af vare. Eksempelvis ekspoetialfordelige og de egative biomialfordelig (Ehreberg (959)), Erlagfordelige (Heriter (97), Zufryde (978), Jeulad, Bass ad Wright (980) og Gupta (988)) og Cox s hazard model (Jai ad Vilcassim (99)). Dels fordi det aktuelle lager af vare ku idgår idirekte i modelkostruktioe via størrelse af det købte kvatum ved forrige køb. De model, vi vil opstille i det følgede, er i modsætig til oveævte modeller e model for atal købte eheder af vare i e give periode, hvor størrelse af det aktuelle lager af vare idgår eksplicit i modelkostruktioe. Fordele ved dee modelformulerig er, at ma får mulighed for at bestemme sadsylighedsfordelige for størrelse af forbrugeres lager af vare på et givet tidspukt.. Geerelle forudsætiger I det følgede forudsættes det, at samtlige forbrugere i målgruppe for vare bortset fra stokastisk variatio udviser idetisk købs- og brugsadfærd, at e give forbruger defiitivt træffer si købsbeslutig for e give periode og realiserer dee beslutig umiddelbart efter periodes start, ide periodes forbrug påbegydes, at størrelse af forbrugeres køb i e give periode bortset fra stokastisk variatio - ku afhæger af de aktuelle (og for periode kostate) pris for vare og af størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af de forrige periode, at periodes forbrug af vare foregår løbede geem hele de betragtede periode, me at størrelse af forbrugeres forbrug af vare i e give periode bortset fra stokastisk variatio - ku afhæger af de aktuelle pris for vare og af størrelse af forbrugeres lager af vare umiddelbart efter, at forbrugere har realiseret si købsbeslutig for periode, og at forbrugere øsker, at has lager af vare på itet tidspukt er større ed K eheder. 4
6 Som ævt forudsættes det, at såvel størrelse af forbrugeres køb af vare som størrelse af has forbrug af vare afhæger af de aktuelle pris for vare og af størrelse af has lager af vare på det tidspukt, hvor købs- eller brugsbeslutige realiseres. Dee afhægighed ka aturligvis specificeres på mage måder, og de kokrete modelformulerig må afhæge af de foreliggede problemstillig. Derfor vil vi ikke specificere sammehæge eksplicit i æste afsit, hvor de geerelle model opstilles, me først i afsit 5, hvor der briges et eksempel på avedelse af modelle. 3. Modelkostruktioe Lad { X,,,3,...}, { Y, 0,,,...}, { U,,,3,...} og { V,,,3,...} være følger af stokastiske variable, der alle er defieret på mægde { 0,,,..., K}, hvor X beteger størrelse af forbrugeres lager af vare ved starte af periode ummer umiddelbart efter, at forbrugeres købsbeslutig for periode ummer er realiseret, Y beteger størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer umiddelbart efter, at forbrugeres forbrug af vare for periode ummer er realiseret, U beteger størrelse af forbrugeres køb af vare i periode ummer og V beteger størrelse af forbrugeres forbrug af vare i periode ummer. Da gælder der følgede relatioer mellem modelles stokastiske variable: X Y + U og Y X V ;,,3,...,. Lad edvidere R ( rij) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være e matrix, hvis elemeter er de betigede købssadsyligheder, dvs. at r P( U j Y i). Uder de geerelle ij modelkostruktio i dette afsit vil vi som ævt ovefor ikke opstille specielle forudsætiger om størrelse af rij. Me det skal dog bemærkes, at det for alle gælder, at r ij 0 for j > K i, at Disse (og de følgede) betigede sadsyligheder afhæger af, fordi de afhæger af prise for vare, der i de geerelle model afhæger af periodes ummer. 5
7 r K 0, og at r Kj 0 for j > 0. Dette skyldes, at vi i afsit har forudsat, at forbrugere øsker, at has lager af vare på itet tidspukt er større ed K eheder. Lad edelig S ( s ) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være e matrix, hvis elemeter er de betigede ij brugssadsyligheder, dvs. at s P( V j X i). Vi vil heller ikke her opstille specielle ij forudsætiger om størrelse af s. Me det skal dog bemærkes, at det for alle gælder, at ij s ij 0 for j > i, at s, og at 0 for j 0. Dette skyldes, at vi i afsit har forudsat, at 00 s0 j > forbrugeres købsbeslutig, der træffes ved periodes start, er defiitiv for periode, hvorfor ha aturligvis ikke ka bruge mere i løbet af periode, ed ha har på lager umiddelbart efter, at købsbeslutige er realiseret. Vi vil u formulere de dyamiske model for forbrugeres købsadfærd over tide som e ikkestatioær Markov model. Lad P ( P ) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) ij være de overgagssadsylighedsmatrix, der bestemmer overgage mellem størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer og størrelse af forbrugeres lager af vare ved begydelse af periode ummer, umiddelbart efter at købsbeslutige for periode ummer er realiseret. Dvs. at P ij P( X j Y i) P( U j i Y i) ri ( j i) for j i P ij 0 for j < i. Lad edvidere Q ( Qij) ( i, j 0,,..., K ;,,3,...) være de overgagssadsylighedsmatrix, der bestemmer overgage mellem størrelse af forbrugeres lager af vare umiddelbart efter, at købsbeslutige for periode ummer er realiseret og størrelse af forbrugeres lager af vare ved slutige af periode ummer, efter at periodes forbrug er realiseret. Dvs. at Q ij P( Y j X i) P( V i j X i) s ( ) i i j for j i Q ij 0 for j > i. 6
8 Lad edelig ), ), ), ) ( j 0,,..., K) være de margiale x ( xj y ( yj u ( uj sadsylighedsfordeliger for hhv. X, Y, U og V for periode ummer (opfattet som rækkevektorer), og lad y0 være de margiale fordelig for lageret ved slutige af periode ummer 0, dvs. ved processes start. v ( vj Da gælder der, at de margiale fordelig af X er bestemt således: x y ( ) P for,,3,... at de margiale fordelig af Y er bestemt således: y x Q for,,3,... at de margiale fordelig af U er bestemt således: u y ( ) R for,,3,... og at de margiale fordelig af V er bestemt således: v x S for,,3,... Hermed er de geerelle model opstillet. I reste af dette afsit vil vi vise, hvorledes de geerelle model ka simplificeres betydeligt, hvis vi i forhold til de geerelle forudsætiger, der er specificeret i afsit, opstiller de supplerede forudsætig, at prise for vare er kostat for e (pricipielt uedelig) lag række perioder. 7
9 Dee forudsætig er aturligvis ku udtagelsesvis opfyldt i praksis, me de er helt berettiget, hvis ma øsker at bestemme det optimale iveau for vares pris uder de forudsætig, at alt adet er lige. (Heruder virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats). Thi uder alt adet lige forudsætige er det bortset fra de forholdsvis få perioder efter processes start, hvor de margiale fordeliger af X, Y, U ogv edu ikke har stabiliseret sig optimalt at holde prise kostat. Dette prisoptimerigsproblem vil vi vede tilbage til i afsit 4. Uder de supplerede forudsætig bliver Markov modelle statioær, idet matricere P, Q, Rog S u ikke lægere afhæger af. Der gælder derfor, at de margiale fordelig af X bliver P x x y0 ( QP) x for,3,4,... at de margiale fordelig af Y bliver 0 ( PQ) y y for,,3,... at de margiale fordelig af U bliver u y( ) R for,,3,... og at de margiale fordelig af V bliver S for,,3,... v x Lad ( ), ( ), ( ) og ( ) ( j 0,,..., K), hvor x x j y y j u u j v v j x j xj, y j lim yj, u j lim uj og v j lim vj lim, 8
10 betege græsefordelige af hhv.,, og, år går mod uedelig. Da gælder der, at alle fire græsefordeliger eksisterer, og at x y u v ( ) (lim ( QP) ij ) for j 0,,... K uafhægigt af i x x j, ( ) (lim ( PQ) ij ) for j 0,,... K uafhægigt af i y y j, u y R v x S. 4. Prisoptimerig i modelle I dette afsit vil vi vise, hvorledes ma ka optimere prise for vare uder de i forrige afsit opstillede supplerede forudsætig om, at prise er kostat for e (pricipielt uedelig) lag række perioder. Lad {,,,3,...} være e følge af stokastiske variable, hvor W beteger det dækigsbidrag, W som virksomhede opår hos e give forbruger i periode ummer. Hvis p beteger de kostate pris for vare, og c beteger de variable ehedsomkostiger, som vi også vil atage er kostate for e lag række perioder, så gælder der, at W ( p c) og dermed, at forvetige U af W er, E( W ) ( p c) E ( U ) ( p c) j, K j 0 uj hvor sadsylighedsfordelige, u, for U, der er udledt i afsit 3, implicit afhæger af p. Dee forvetig afhæger imidlertid af, me forvetige stabiliseres forholdsvis hurtigt, fordi de margiale fordelig af W kovergerer ekspoetielt hurtigt mod si græseværdi. Vi maksimerer derfor i stedet græseværdie af dækigsbidraget pr. forbruger, år uedelig, dvs. gå mod 9
11 ϕ( p) lim E( W ) ( p c) j K j 0 u j, som aturligvis er uafhægig af. Ret tekisk har vi løst dette problem ved at skrive et Pascalprogram, der maksimerer ϕ mht. p. Dette program vil vi beytte i æste afsit, hvor vi betragter et simpelt eksempel på modelkostruktioe. 5. Et eksempel på avedelse af modelle I dette afsit vil vi give et eksempel på avedelse af modelle heruder specielt på, hvorledes størrelse af forbrugeres køb af vare og størrelse af has forbrug af vare ka gøres til e fuktio såvel af vares pris som af størrelse af det aktuelle lager af vare. Vi vil atage, at det betragtede kortvarige forbrugsgode er kaffe, at prise for e pose kaffe er p 30 kr. og kostat i e lag række perioder, at forbrugere øsker, at has lager af kaffe på itet tidspukt er større ed K 4 poser (hvilket edefor viser sig at svare til 4 perioders ormalforbrug), at fordelige af ( U Y i), dvs. fordelige af forbrugeres køb af vare, givet størrelse af has lager ved slutige af forrige periode - bortset fra tilfældet i K, hvor fordelige er udartet i 0 - er e biomialfordelig, med atalsparametere sadsylighedsparametere θ i, således at K i og r ij P U j Y K i j K i j i) θ i ( i ) for i 0,,..., K ; j 0,,..., K i, j ( θ at sadsylighedsparametere θ i afhæger af prise og lagerstørrelse på følgede måde: 0
12 θ i exp( α + β l( p) + γ l( i + )) + exp( α + β l( p) + γ l( i + )) at de parametre, der bestemmer størrelse af forbrugeres køb givet prise og størrelse af has lager af kaffe ved slutige af forrige periode, er α.5, β 3.75 og γ.75, at fordelig af ( V X i), dvs. fordelige af forbrugeres forbrug af vare, givet størrelse af has lager umiddelbart efter periodes køb - bortset fra tilfældet i 0, hvor fordelige er udartet i 0 - er e biomialfordelig, med atalsparametere i og sadsylighedsparametere θ i, således at s ij i j P( V j X i) θ i ( θi) j for i,,..., K ; i j j 0,,..., i at sadsylighedsparametere θ i afhæger af prise og lagerstørrelse på følgede måde: θ i exp( α + β l( p) + γ l( i + )) + exp( α + β l( p) + γ l( i + )) at de parametre, der bestemmer størrelse af forbrugeres forbrug af kaffe givet prise og størrelse af has lager af kaffe umiddelbart efter periodes køb, er α 5.50, β 3.65 og γ.5, og at iitialfordelige for lageret ved processes start er (0.4, y0 0.3, 0., 0., 0.0). Om disse forudsætiger skal det for det første bemærkes, at selv om biomialfordelige er e diskret fordelig, der har et defiitiosområde, der såvel for forbrugeres køb af vare som for has brug af vare passer præcis til problemstillige (modsat fx Poissofordelige, de geometriske fordelig og de egative biomialfordelig), så er det æppe muligt at give e adfærdsmæssig begrudelse for valget af etop dee fordelig. Me hvis ma åber mulighed for at aalysere et kokret talmateriale ud fra e supplerede atagelse om overspredig eller (i det kokrete tilfælde sarere) uderspredig, så ka biomialfordelige dog æppe afvises a priori.
13 For det adet skal det bemærkes, at det i hvert tilfælde i pricippet er gaske simpelt at geeralisere oveståede modeller for sadsylighedsparametree θ i og θ i således, at adre forklarede variable ed vares pris - fx virksomhedes salgsidsats og kokurreteres pris og salgsidsats - iddrages i modelkostruktioe. Uder de ovefor opstillede atagelser bliver de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger for forbrugeres køb i e give periode θ (0.38, 0.5, 0.08, 0.05) og de 4 betigede forvetiger bliver µ (.5, 0.46, 0.6, 0.05). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres køb af vare, givet has lager af vare af matrice R Om forbrugeres brug af vare i e give periode gælder, at de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger bliver θ ( 0.8, 0.65, 0.49, 0.37), og at de 4 betigede forvetiger bliver µ (0.8,.30,.47,.48).
14 Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres brug af vare, givet has lager af vare af matrice S Edelig bliver overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før køb til efter køb 0.5 P medes overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før brug til efter brug bliver Q Vi er u i stad til at opstille de fire margialfordeliger,, og for ethvert. Dette vil vi imidlertid udlade at gøre, dels fordi disse fordeliger (for små værdier af af iitialfordelige y0, der er valgt forholdsvis vilkårligt, dels fordi Markovprocesse x y u v ) afhæger kovergerer ekspoetielt hurtigt mod si græsefordelig, hvorfor det som hovedregel ku er dee, der har iteresse. De fire margiale græsefordeliger og deres forvetiger fremgår af edeståede tabel. 3
15 Tabel. De margiale græsefordeliger for lager efter køb, lager efter brug, køb og brug. j x y u v Sum Forvetig Som det fremgår af tabelle, er det forvetede køb pr. periode, dvs..0 pakker, lig med det forvetede forbrug pr. periode. Og det forvetede lager efter køb, dvs..60 pakker, er etop.0 pakker større ed det forvetede lager efter brug, dvs pakker. I eksemplet ovefor har vi ataget, at de (for e lag række perioder) kostate pris for e pose kaffe er p 30 kr. Hvis vi yderligere atager, at de variable ehedsomkostiger ved at producere og sælge e pose kaffe også er kostate og lig med c 5 kr., medfører dette, at virksomhede i græsesituatioe opår et forvetet dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode på ϕ ( p ) ( p c) E( U ) (30 5) kr. Me dette dækigsbidrag pr. forbruger vil ku helt udtagelsesvis være det maksimalt opåelige dækigsbidrag for virksomhede emlig hvis optimalprise (tilfældigvis) er p 30 kr. Vi vil derfor beytte det i afsit 4 omtalte Pascal program, til at bestemme de optimale pris uder de i eksemplet opstillede forudsætiger. 4
16 Med udgagspukt i de i eksemplet beyttede tal viser e avedelse af dette program, at optimalprise ikke er p 30 kr., me p kr. Dette betyder, at de aktuelle pris bør edsættes med 7 procet. Hvis hele det ovefor geemgåede eksempel geemreges med de ye pris på fås følgede resultater: p kr. De 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger for forbrugeres køb i e give periode bliver θ (0.44, 0.9, 0.0, 0.07) og de 4 betigede forvetiger bliver µ (.76, 0.57, 0., 0.07). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres køb af vare, givet has lager af vare af matrice R Om forbrugeres brug af vare i e give periode gælder, at de 4 sadsylighedsparametre i de betigede biomialfordeliger bliver θ (0.86, 0.7, 0.56, 0.43), og at de 4 betigede forvetiger bliver 5
17 µ (0.86,.4,.67,.73). Edvidere fremgår samtlige puktsadsyligheder i de 5 betigede fordeliger for forbrugeres brug af vare, givet has lager af vare af matrice S Edelig bliver overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før køb til efter køb 0.0 P medes overgagssadsylighedsmatrice for størrelse af lageret fra før brug til efter brug bliver Q Vi er u i stad til at opstille de 4 margiale græsefordeliger og deres forvetiger jf. edeståede tabel. 6
18 Tabel. De margiale græsefordeliger for lager efter køb, lager efter brug, køb og brug, år prise fastsættes optimalt. j x y u v Sum Forvetig Som det fremgår af tabelle, bliver det forvetede køb og det forvetede forbrug pr. periode, år prise er p kr., 8 procet større - emlig.0 pakker ed de.0 pakker, der blev købt/brugt, da prise var p 30 kr. Edvidere bliver det forvetede lager efter køb u.79 pakker (mod.60 pakker), medes det forvetede lager efter brug bliver 0.59 pakker (mod 0.58 pakker). Edelig gælder der, at det maksimale forvetede dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode bliver ϕ ( p 0) ( p0 c) E( U ) (7.93 5) kr. Dette dækigsbidrag er ku procet større, ed år prise er 30 kr., me hvis periodelægde er uge, og der er millioer forbrugere (husstade) på markedet, bevirker de optimale prisfastsættelse, at virksomhedes årlige dækigsbidrag øges med 3 millioer kr. 7
19 6. Koklusio Vi har i dee artikel opstillet e geerel dyamisk stokastisk model emlig e ikke-statioær Markov model - for forbrugeres køb, brug og lager (dvs. beholdig) af et givet kortvarigt forbrugsgode, der har de egeskab, at det ikke ødvedigvis forbruges i de periode, hvor det købes, me ka lagres af forbrugere til seere brug. De geerelle modelkostruktio bygger på de atagelse, at forbrugeres købsadfærd afhæger såvel af de aktuelle pris for vare som af lagerets størrelse på det tidspukt, hvor periodes købsbeslutig træffes. Edvidere bygger modelkostruktioe på de atagelse, at forbrugeres brugsadfærd afhæger såvel af de aktuelle pris for vare som af lagerets størrelse umiddelbart efter, at periodes købsbeslutig er realiseret. Forslag til eksplicitte modeller for forbrugeres købs- og brugsadfærd er opstillet i det afsluttede eksempel. For de geerelle model har vi udledt såvel de periodeafhægige margiale sadsylighedsfordeliger for forbrugeres køb, brug og lager af vare som græsefordelige for disse størrelser, år det forudsættes, at prise er kostat for e lag række perioder. I det sidstævte tilfælde sikrer modelkostruktioe, at forbrugeres køb af vare i græse bliver lig med has forbrug af vare. Edvidere har vi vist, hvorledes de geerelle model ka beyttes som beslutigsstøttemodel for virksomhede, ved at ma bestemmer de pris for vare, der maksimerer det forvetede dækigsbidrag pr. forbruger pr. periode i græse. Edelig har vi illustreret avedelse af modelle med et eksempel, hvor det betragtede kortvarige forbrugsgode er kaffe. I dette eksempel har vi dels opstillet kokrete fordeligsmæssige atagelser om modelles stokastiske variable, dels vist, hvorledes modellere for forbrugeres købs- og brugsadfærd ka gøres til fuktioer såvel af vares pris som af de aktuelle lagerstørrelse. Disse modeller ka umiddelbart geeraliseres til at omfatte adre forklarede variable ed virksomhedes pris for vare. I eksemplet vises det afslutigsvis, hvorledes de optimale pris for vare skal fastsættes. 8
20 Litteraturfortegelse Kristia Birch, Jørge Kai Olse ad Tue Tjur (005) Regressio Models for Market-Shares Preprit No. / 005, Ceter for Statistics Departmet of Fiace CBS - Copehage Busiess School. A. S. C. Ehreberg (959) The Patter of Cosumer Purchases Applied Statistics, Vol. 8 S. Gupta (988) Impact of Sales Promotios o Whe, What, ad How Much to Buy Joural of Marketig Research, Vol. 5 J. Heriter (97) A Probabilistic Market Model of Purchase Timig ad Brad Selectio Maagemet Sciece, Vol. 8 Dipak C. Jai ad Naufel J. Vilcassim (99) Ivestigatig Household Purchase Timig Decisios: A Coditioal Hazard Fuctio Approach Marketig Sciece, Vol. 0 No. A. P. Jeulad, F. M. Bass ad G. P. Wright (980) A Multibrad Stochastic Model Compoudig Heterogeeous Erlag Timig ad Multiomial Choice Processes Operatios Research, Vol. 8 9
21 F. S. Zufryde (978) A Empirical Evaluatio of a Composite Heterogeeous Model of Brad Choice ad Purchase Timig Behavior Maagemet Sciece, Vol. 4 0
vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereBekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)
Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør
Læs mereMatematisk trafikmodellering
- Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereHD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet
HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereProjekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen
Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereYngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016
Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse
Læs mereDen grådige metode 2
Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereBørn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd
Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mere