Vektorfelter. enote Vektorfelter
|
|
- Tobias Nøhr
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af to variable er som navnet rigeligt antyder et eksempel på et plant vektorfelt. I denne enote vil vi begynde at studere vektorfelter helt generelt. Både i planen og i rummet. Vi vil præcisere, hvad det betyder at flyde med et givet vektorfelt og beregne, hvor man kommer hen i rummet eller i planen på den måde i løbet af et givet tidsrum. For at finde disse såkaldte flow-kurver får vi brug for at kunne løse (her passende simple) første ordens differentialligningssystemer hvorved enote 12 ligesom de ovenfor nævnte enoter bliver aktuelt materiale for nærværende enote. Vi vil også begynde på at undersøge, hvad der sker med større systemer af punkter eller partikler når de hver for sig flyder med vektorfeltet Vektorfelter Et vektorfelt V i rummet er givet ved 3 glatte funktioner V 1 (x, y, z), V 2 (x, y, z) og V 3 (x, y, z) som hver er funktioner af de tre variable x, y, og z således: V(x, y, z) = (V 1 (x, y, z), V 2 (x, y, z), V 3 (x, y, z) ) for (x, y, z) R 3. (24-1) Et vektorfelt V(x, y, z) tegnes og angives sædvanligvis i rummet ved i et passende antal udvalgte punkter (x i, y i, z i ) at afsætte vektoren som en pil med fodpunkt i (x i, y i, z i ) og spidspunkt i (x i + V 1 (x i, y i, z i ), y i + V 2 (x i, y i, z i ), z i + V 3 (x i, y i, z i )). Der kan være gode grunde til at angive vektorfeltet på andre måder. F.eks. hvis der er stor variation i længden af vektorerne i et givet område, så kan det være en fordel at benytte tykkelsen af pilene som en længdeindikerende parameter.
2 enote VEKTORFELTER 2 Et vektorfelt i planen er tilsvarende givet ved to koordinatfunktioner V 1 (x, y) og V 2 (x, y) som hver er glatte funktioner af de to variable x og y: V(x, y) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y) ) for (x, y) R 2. (24-2) Gradientvektorfeltet for en glat funktion f (x, y) af to variable (som indføres og studeres i enote 16) er et eksempel på et vektorfelt i planen, se figur Figur 24.1: En grafflade for en funktion af to variable og det tilhørende gradientvektorfelt i planen sammen med nogle af niveaukurverne. Gradientvektorfeltet er overalt vinkelret på niveaukurverne, se enote 16. Som for funktioner af tre variable defineres gradientvektorfeltet for funktioner f (x, y, z) af tre variable:
3 enote VEKTORFELTER 3 Definition 24.1 Gradientfelt i rummet Lad f (x, y, z) betegne en glat funktion af tre variable i R 3. Så defineres gradientvektorfeltet for f (x, y, z) på følgende måde ved hjælp af de tre første partielle afledede af f (x, y, z): ( ) f (x, y, z) = f x(x, y, z), f y(x, y, z), f z(x, y, z), (x, y, z) R 3. (24-3) Eksempel 24.2 Et gradientfelt i rummet Vi lader f (x, y, z) betegne andengradspolynomiet f (x, y, z) = 2 x y z 2 2 x z 2 x 4 y 2 z + 3. (24-4) Gradientvektorfeltet for f (x, y, z) er så: f (x, y, z) = (4 x 2 z 2, 4 y 4, 2 x + 4 z 2). (24-5) Se figur Vi refererer til eksempel i enote 20 vedrørende konstruktionen af den viste ellipsoide-niveauflade K 0 ( f ) for f (x, y, z). Niveaufladen og det beregnede gradientvektorfelt er antydet i figur Gradientvektorfeltet ses at være vinkelret på niveaufladen. Man kan nu meget vel spørge om alle glatte vektorfelter i planen og alle glatte vektorfelter i rummet stammer fra en funktion på den måde, at de hver for sig er gradientvektorfeltet for en eller anden funktion af henholdsvis to og tre variable. Men så simpelt er det ikke! Eksempel 24.3 Et vektorfelt som ikke er et gradientvektorfelt Lad V(x, y) betegne det meget simple vektorfelt i planen V(x, y) = ( y, x), hvor (x, y) R 2. Så findes der ikke nogen funktion f (x, y) som opfylder at f (x, y) = V(x, y). Hvis vi nemlig (indtil modstrid) antager, at der findes en sådan funktion med den egenskab: f (x, y) = V(x, y), sådan at ( ) f x(x, y), f y(x, y) = ( y, x), så får vi at f x(x, y) = y f y(x, y) = x, og dermed (24-6) f xy(x, y) = 1 f yx(x, y) = 1,
4 enote VEKTORFELTER 4 Figur 24.2: Niveauflade (i åbnet version) for en funktion (andengradspolynomium) af tre variable og nogle tilhørende gradientvektorer fra gradientvektorfeltet i rummet. og det stemmer jo ikke overens med at der for alle glatte funktioner gælder f xy(x, y) = f yx(x, y), for alle (x, y) R 2. (24-7) Det viser, at der ikke findes nogen funktion hvis gradientvektorfelt er det givne vektorfelt. Gradientvektorfelterne er altså kun eksempler på vektorfelter men en meget stor og meget vigtig samling af eksempler på vektorfelter.
5 enote VEKTORFELTER 5 Et vektorfelt V(x, y) i planen kan let udvides til et vektorfelt W(x, y, z) i rummet ved simpelthen at parallelforskyde alle vektorerne fra planen i z-aksens retning og iøvrigt sætte W 3 (x, y, z) = 0 for alle (x, y, z) R 3 : Det helt generelle plane vektorfelt V(x, y) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y)) har således følgende rumlige udvidelse: W(x, y, z) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y), 0) dvs. W 1 (x, y, z) = V 1 (x, y), W 2 (x, y, z) = V 2 (x, y), W 3 (x, y, z) = 0. (24-8) Se figur 24.3 som antyder de rumlige udvidelser af tre forskellige vektorfelter V(x, y) = (1, 0), V(x, y) = (x, y), og V(x, y) = ( y, x), altså W(x, y, z) = (1, 0, 0), W(x, y, z) = (x, y, 0), og W(x, y, z) = ( y, x, 0) henholdsvis. Figur 24.3: Tre plane vektorfelter er her udvidet til rumlige vektorfelter. Nogle vektorfelter er særlig simple. Det gælder især de vektorfelter hvor alle 3 koordinatfunktioner er polynomier af højest første grad i de rumlige variable (x, y, z), dvs. V(x, y, z) = (a 11 x + a 12 y + a 13 z + b 1, a 21 x + a 22 y + a 23 z + b 2, a 31 x + a 32 y + a 33 z + b 3 ). (24-9)
6 enote VEKTORFELTER 6 Figur 24.4: De tre rumlige vektorfelter fra figur 24.3 er her modificerede til at have W 3 = 1/2 i stedet for W 3 = 0. I så fald kan vektorfeltet skrives kort ved hjælp af den matrix, A, der har elementerne a ij og den vektor, b, der har koordinaterne b i : Definition 24.4 Vektorfelt af første grad Et vektorfelt af første grad er et vektorfelt V(x, y, z), der kan skrives på følgende form ved hjælp af en konstant matrix A og en konstant vektor b : V = (V(x, y, z)) = A [ x y z ] + b, (24-10) hvor betyder transponering af de respektive matricer, sådan at V 1 (x, y, z) V 2 (x, y, z) V 3 (x, y, z) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x y z + b 1 b 2 b 3. (24-11)
7 enote VEKTORFELTER 7 Eksempel 24.5 Konstant vektorfelt Et konstant vektorfelt kan for eksempel modellere en konstant vind lokalt tæt ved (x, y)- planen (jordoverfladen): V(x, y, z) = b, (24-12) hvor b er en konstant vektor, f.eks. b = (0, 7, 0) hvis vinden blæser med 7km/t i y-aksens retning. Eksempel 24.6 Roterende vektorfelt Et eksempel på et såkaldt roterende vektorfelt er givet ved Se figur 24.3 i midten. V(x, y, z) = ( y, x, 0). (24-13) Definition 24.7 Sporet af en kvadratisk n n-matrix A med elementerne a i j er summen af matricens n diagonalelementer: i=n spor(a) = a i i. (24-14) i=1 Opgave 24.8 Find A og b (som i Definition 24.4) for vektorfeltet i eksempel Hvad er sporet af A i dette tilfælde tilfælde? Kan A diagonaliseres (diagonalisering beskrives i enote 4)? Eksempel 24.9 Eksplosions- og implosions-vektorfelter Et eksempel på hvad vi kunne kalde et eksplosionsvektorfelt er givet ved følgende koordinatfunktioner (se hvorfor i figur 24.6): V(x, y, z) = (x, y, z). (24-15) Tilsvarende er følgende et eksempel på et vektorfelt, som vi kan kalde et implosionsvektorfelt (se hvorfor i figur 24.7): V(x, y, z) = ( x, y, z). (24-16)
8 enote FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 8 Opgave Find A og b for vektorfelterne i ovenstående eksempel Hvad er sporet af A for de to vektorfelter? Kan A diagonaliseres? Vi vil nu begrunde de (dynamiske) navne, som vi har givet vektorfelterne i ovenstående eksempler 24.6 og For at gøre det vil vi bevæge os sammen med eller flyde langs med vektorfeltet i en meget præcis forstand, som vi nu vil definere Flowkurver for et vektorfelt Lad os først repetere, at hvis vi har givet en kurve med en parameterfremstilling K r : r(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3, t [a, b], (24-17) så har denne kurve til enhver værdi af parameteren t en tangentvektor nemlig r (t) = (x (t), y (t), z (t)). (24-18) Hvis vi betragter parameteren t [a, b] som en tids-parameter for den bevægelse (af en partikel) i rummet, der er givet ved r(t), så er r (t) hastigheden af partiklen til tidspunktet t. Hvis vi konstruerer tilstrækkelig mange kurver (en kurve igennem ethvert punkt i rummet), der ikke skærer hverken sig selv eller hinanden får vi på den måde et vektorfelt i rummet. Det oplagte omvendte spørgsmål er nu: Givet et startpunkt p = (x 0, y 0, z 0 ) og givet et vektorfelt V(x, y, z) i rummet, findes der så en parametriseret kurve r(t) igennem p (med r(0) = (x 0, y 0, z 0 ) ), således at kurvens tangentvektorfelt hele vejen langs med kurven netop er det givne vektorfelt V(x, y, z) langs med kurven? Hvis det er tilfældet så vil vi kalde kurven r(t) en integralkurve eller en flowkurve for vektorfeltet. Disse navne skyldes dels at kurven kan findes ved integration (løsning af et differentialligningssystem) og dels at bevægelsen langs kurven er som at flyve eller flyde med det givne vektorfelt, altså med en fart og en retning, som vektorfeltet angiver på ethvert sted for bevægelsen, idet kravet til bevægelsen r(t) jo udtrykkes ved:
9 enote FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 9 Definition Flowkurver, Integralkurver Lad V(x, y, z) betegne et glat vektorfelt i rummet. En parametriseret kurve K r : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b], (24-19) kaldes en flowkurve eller integralkurve for vektorfeltet V(x, y, z) hvis r(t) opfylder flowkurve-ligningen: V(r(t)) = r (t) for alle t [a, b], (24-20) som er ækvivalent med følgende første ordens differential-ligningssystem x (t) y (t) z (t) = (V(x(t), y(t), z(t))) = V 1 (x(t), y(t), z(t)) V 2 (x(t), y(t), z(t)) V 3 (x(t), y(t), z(t)). (24-21) Hvis V(x, y, z) er givet og hvis vi har fået givet et startpunkt p = r(a) for en flowkurve, så er opgaven selvfølgelig den typiske, at finde løsningen til differentialligningssystemet med denne begyndelsesbetingelse, dvs. finde koordinatfunktionerne x(t), y(t), og z(t) således at p = (x(a), y(a), z(a)). Med andre ord: Hvis vi har givet et vektorfelt i rummet så går opgaven ud på at starte en bevægelse af en partikel (en lille kugle) langs vektorfeltet sådan at kuglens hastighedsvektor til ethvert tidspunkt er givet ved vektorfeltets værdi i det punkt hvor kuglen befinder sig til det tidspunkt. Og det er naturligvis interessant at kunne afgøre hvor kuglen befinder sig efter lang tid. Og det er interessant at finde ud af, hvordan en kugle-hob (partikler som til start er tæt på hinanden) udvikler sig i tiden bliver hoben tættere eller tyndere, mast sammen eller trukket ud? Der gælder følgende eksistens- og entydighedssætning som er grundlaget for vore første eksempler og de første overvejelser om de naturlige spørgsmål der vedrører flowkurver og deres opførsel.
10 enote FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 10 Sætning Eksistens og entydighedssætningen Lad V(x, y, z) være et vektorfelt af første grad, givet ved en koefficientmatrix A og en vektor b som i definition Lad (x 0, y 0, z 0 ) betegne et vilkårligt punkt i rummet. Så findes der netop én kurve r(t), der opfylder de to betingelser: r(0) = (x 0, y 0, z 0 ) og r (t) = V(x(t), y(t), z(t)) for alle t [, ]. (24-22) Den sidste ligning (24-22) er ækvivalent med følgende differentialligningssystem med en konstant koefficientmatrix A: x (t) y (t) = (V(x(t), y(t), z(t))) z (t) = A [ x(t) y(t) z(t) ] + b a 11 a 12 a 13 x(t) = a 21 a 22 a 23 y(t) + a 31 a 32 a 33 z(t) b 1 b 2 b 3. (24-23) Hvis vi har givet et vektorfelt af første grad, så kan vi altså starte et punkt, en partikel, et vilkårligt sted i rummet og lade den flyde med vektorfeltet sådan at partiklen befinder sig på en entydigt bestemt flowkurve til enhver tid derefter. To flowkurver kan ikke skære hinanden, fordi hvis de gjorde det ville der jo ikke være en entydig flowkurve igennem skæringspunktet. Sætningen kan udvides til vektorfelter der ikke nødvendigvis er af første grad, men så er det ikke længere sikkert, at alle tids-parameterintervallerne for flowkurverne er hele det dobbeltuendelige interval R =], [. Integralkurverne for et vektorfelt af første grad kan findes og vises med Maple og er eksemplificeret i figurerne 24.5, 24.6, og Hvis vektorfeltet ikke er af første grad er der som sagt ingen garanti for, at flowkurverne kan bestemmes explicit (heller ikke med Maple), men i visse tilfælde kan numeriske værktøjer jo alligevel benyttes med succes indenfor de vinduer hvor løsningerne findes og er veldefinerede.
11 enote FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 11 Begrundelsen, beviset, for sætning er kendt fra studiet af systemer af lineære koblede differentialligninger, se enote 12. Lad os kort repetere de overvejelser, der skal i sving ved at finde flowkurverne for nogle af de simpleste vektorfelter. Eksempel Flowkurver for et konstant vektorfelt Det konstante vektorfelt V(x, y, z) = (0, 7, 0) har flowkurver (x(t), y(t), z(t)) som skal opfylde de to betingelser: Begyndelsebetingelsen (x(0), y(0), z(0)) = (x 0, y 0, z 0 ) og de 3 differentialligninger for x(t), y(t), og z(t), som følger af hastighedsvektor-betingelsen r (t) = (x (t), y (t), z (t)) = V(x(t), y(t), z(t)) = (0, 7, 0). (24-24) Opgaven er at finde de tre koordinatfunktioner x(t), y(t), og z(t) sådan at x (t) = 0 y (t) = 7 z (t) = 0. (24-25) De 3 differentialligninger er i dette tilfælde ikke koblede og de løses direkte med de angivne begyndelsebetingelser med følgende resultat: x(t) = x 0, y(t) = y t, og z(t) = z 0. Dvs. flowkurverne er (ikke overraskende) alle de rette linjer parallelle med y-aksen, parametriseret sådan at alle har farten 7. Eksempel Flowkurver for et roterene vektorfelt Eksemplet med det roterende vektorfelt V(x, y, z) = ( y, x, 1) har tilsvarende flowkurver, der nu tilfredsstiller betingelserne: (x(0), y(0), z(0)) = (x 0, y 0, z 0 ) samt differentialligningerne r (t) = (x (t), y (t), z (t)) = ( y(t), x(t), 1). (24-26) Opgaven er altså her at finde de tre koordinatfunktioner x(t), y(t), og z(t) sådan at x (t) = y(t) y (t) = x(t) z (t) = 1. (24-27) Differentialligningerne for x(t) og y(t) er koblede lineære differentialligninger med konstante koefficienter og løses præcis som i enote 12. Bemærk, at systemmatricen allerede er fundet i opgave Resultatet er x(t) = x 0 cos(t) y 0 sin(t), y(t) = x 0 sin(t) + y 0 cos(t), og z(t) = z 0 + t. Disse flowkurver kan findes og inspiceres med Maple. Det fremgår også deraf at det er ganske rimeligt at kalde vektorfeltet et roterende vektorfelt. Se figur 24.5.
12 enote FLOWKURVER FOR ET VEKTORFELT 12 Figur 24.5: Det roterende vektorfelt fra eksempel 24.14, en flowkurve for en enkelt partikel og systemet af flowkurver, som går igennem en terning (den nederste terning flyder langs flowkurverne med vektorfeltet indtil tiden π. Opgave Lad V(x, y, z) = ( y, x, 0) og benyt Maple til at finde flowkurver og bevægelsen af punkter i samme terning som i figur 24.5 når tidsintervallet for flowet sættes til T = [0, 2 π]. Sammenlign dernæst med virkningen af vektorfelterne W(x, y, z) = ( y, x, 0) W(x, y, z) = ( y, 2 x, 0) på terningens punkter i samme tidsinterval. Forklar forskellene på de tre virkninger af de tre forskellige vektorfelter på terningen. Eksempel Flowkurver for et eksplosions- hhv. implosions-vektorfelt Eksplosionsvektorfeltet V(x, y, z) = (x, y, z) (24-28) har flowkurver, der tilfredsstiller en begyndelsesbetingelse (x(0), y(0), z(0)) = (x 0, y 0, z 0 ) (24-29) og differentialligningerne r (t) = (x (t), y (t), z (t)) = (x(t), y(t), z(t)). (24-30) Vi finder de tre koordinatfunktioner x(t), y(t), og z(t) sådan at x (t) = x(t) y (t) = y(t) (24-31) z (t) = z(t).
13 enote DIVERGENSEN AF ET VEKTORFELT 13 Differentialligningerne for x(t), y(t), og z(t) er her u-koblede lineære differentialligninger, som let løses en af gangen. Resultatet er x(t) = x 0 exp(t), y(t) = y 0 exp(t), og z(t) = z 0 exp(t). (24-32) Bemærk, at hvis (x(0), y(0), z(0)) = (0, 0, 0) så er (x(t), y(t), z(t)) = (0, 0, 0) for alle t [, ]. Flowkurven igennem punktet (0, 0, 0) er derfor ikke nogen egentlig kurve men består kun af punktet selv. Bemærk også, at alle andre flowkurver kommer vilkårligt tæt på punktet (0, 0, 0) for t, idet exp(t) 0 for t, men de går ikke igennem punktet. Hvis vi følger flowkurverne i figur 24.6 tilbage i tid fra t = 0 igennem negative værdier vil vi derfor se en eksponentielt aftagende implosion af terningen. Hvis vi derimod følger flowkurverne frem i tid fra t = 0 igennem større og større positive værdier for t vil vi se en eksponentielt voksende eksplosion af terningen. Flowkurverne kan igen findes og inspiceres med Maple. Se figur Implosionsvektorfeltet er givet ved V(x, y, z) = ( x, y, z) (24-33) med de tids-omvendte løsninger (i forhold til eksplosionsvektorfeltet) x(t) = x 0 exp( t), y(t) = y 0 exp( t), og z(t) = z 0 exp( t). (24-34) Se figur Opgave Lad V betegne vektorfeltet V(x, y, z) = ( x, 2y, 3z). Find og vis et passende antal af flowkurverne for vektorfeltet igennem den kugle der har centrum i (1, 0, 0) og radius Divergensen af et vektorfelt Med henblik på den geometriske analyse af vektorfelter og deres flowkurve-egenskaber vil vi her indføre to værktøjer, to begreber, til lokal beskrivelse af generelle glatte vektorfelter. Beskrivelsen er lokal fordi begge begreberne er udtrykt ved de partielle afledede af vektorfeltets koordinatfunktioner.
14 enote DIVERGENSEN AF ET VEKTORFELT 14 Figur 24.6: Eksplosionsvektorfeltet fra eksempel sammen med de integralkurver, som går igennem en terning. Terningen er vist solid til tiden t = 1 og åben til tiden t = 0. Sammenlign med figur Definition Lad V(x, y, z) = (V 1 (x, y, z), V 2 (x, y, z), V 3 (x, y, z) ) være et vektorfelt i rummet. Divergensen af V i punktet (x 0, y 0, z 0 ) defineres således: Div(V)(x 0, y 0, z 0 ) = V 1 x (x 0, y 0, z 0 ) + V 2 y (x 0, y 0, z 0 ) + V 3 z (x 0, y 0, z 0 ). (24-35) Hvis V(x, y) = (V 1 (x, y), V 2 (x, y) ) er et plant vektorfelt definerer vi helt tilsvarende: Div(V)(x 0, y 0 ) = V 1 x (x 0, y 0 ) + V 2 y (x 0, y 0 ). (24-36) Divergensen af et glat vektorfelt i R 3 er en glat funktion i R 3. Læg mærke til, at divergensen af et plant vektorfelt er det samme som divergensen af feltets rumlige udvidelse.
15 enote DIVERGENSEN AF ET VEKTORFELT 15 Figur 24.7: Implosionsvektorfeltet fra eksempel sammen med de integralkurver, som går igennem en terning. Terningen er vist solid til tiden t = 1 og åben til tiden t = 0. Sammenlign med figur Eksempel Simple divergenser Ethvert konstant vektorfelt V(x, y, z) = b har divergens Div(V) = 0. Eksplosionsvektorfeltet V(x, y, z) = (x, y, z) har konstant divergens Div(V) = 3. Implosionsvektorfeltet V(x, y, z) = ( x, y, z) har divergensen Div(V) = 3. Det roterende vektorfelt V(x, y, z) = ( y, x, 0) har også konstant divergens: Div(V) = 0. Opgave Lad V(x, y, z) = (x + sin(y), z + cos(y), x + y z). Bestem Div(V) i ethvert punkt i rummet. Opgave Lad V(x, y, z) være et vektorfelt af første grad med matrix-fremstilling som i ligning (24-10). Vis, at divergensen af V(x, y, z) er konstant lig med sporet af A.
16 enote ROTATIONEN AF ET VEKTORFELT 16 Opgave Lad V(x, y, z) = h(x, y, z) være gradientvektorfeltet for en given funktion h(x, y, z). Vis, at divergensen af V(x, y, z) er Div( h(x, y, z)) = 2 h x h y h z 2. (24-37) I anvendelserne af vektoranalysen benyttes meget ofte divergensen af gradienvektorfelter for givne funktioner, Div( h(x, y, z)), som derfor gives sin egen betegnelse: Definition Lad h(x, y, z) betegne en glat funktion i R 3. Så skriver vi: h(x, y, z) = Div( h(x, y, z)) = 2 h x h y h z 2. (24-38) Funktionen h(x, y, z) kaldes den Laplace-afledede af funktionen h(x, y, z). Eksempel Laplace afledede Laplace-afledede af nogle elementære funktioner af tre variable: Funktion f (x, y, z) f (x, y, z) f (x, y, z) = a x + b y + c z (a, b, c) 0 f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 (2x, 2y, 2z) 6 f (x, y, z) = y sin(x) (y cos(x), sin(x), 0) y sin(x) f (x, y, z) = e x cos(z) (e x cos(z), 0, e x sin(z)) 0 (24-39) Den Laplace afledede af en glat funktion f (x, y, z) er sporet af 3 3-Hessematricen for f (se enote 18): f (x, y, z) = spor(h f (x, y, z)). (24-40) 24.4 Rotationen af et vektorfelt Det andet helt centrale begreb og værktøj til analyse af vektorfelter er følgende:
17 enote EN BRO MELLEM DIVERGENS OG ROTATION 17 Definition Rotation af vektorfelt Lad V(x, y, z) = (V 1 (x, y, z), V 2 (x, y, z), V 3 (x, y, z) ) være et vektorfelt i rummet. Rotationen af V i punktet (x 0, y 0, z 0 ) defineres som følgende vektor: Rot(V)(x 0, y 0, z 0 ) = ( V 3 y (x 0, y 0, z 0 ) V 2 z (x 0, y 0, z 0 ), V 1 z (x 0, y 0, z 0 ) V 3 x (x 0, y 0, z 0 ), V 2 x (x 0, y 0, z 0 ) V 1 y (x 0, y 0, z 0 ) ). (24-41) Rotationen af et glat vektorfelt i R 3 er selv et glat vektorfelt i R 3. Eksempel Rotation af simple vektorfelter Eksplosionsvektorfeltet V(x, y, z) = (x, y, z) har konstant rotation Rot(V) = 0. Implosionsvektorfeltet V(x, y, z) = ( x, y, z) har (ikke overraskende) også konstant rotation Rot(V) = 0. Det roterende vektorfeltet (som roterer mod uret) V(x, y, z) = ( y, x, 0) har (heldigvis) konstant rotation forskellig fra 0 : Rot(V) = (0, 0, 2). Det roterende vektorfeltet (som roterer med uret) V(x, y, z) = (y, x, 0) har (heldigvis) også konstant rotation som er den modsatte af rotationen mod uret: Rot(V) = (0, 0, 2). Opgave Lad V(x, y, z) = (x + sin(y), z + cos(y), x + y z). Bestem Rot(V) i ethvert punkt i rummet. Opgave Lad V(x, y, z) være et vektorfelt af første grad med matrix-fremstilling som i ligning (24-10). Vis, at rotationen af V(x, y, z) er en konstant vektor og udtryk vektoren ved elementerne i A En bro mellem divergens og rotation Vi nævner her nogle sammenhænge mellem divergens, rotation og gradientvektorfelter:
18 enote FLOW AF KURVER OG FLADER 18 Sætning Divergens versus Rotation Lad h(x, y, z) betegne en glat funktion i rummet. Så er Rot( h) = 0. (24-42) Lad V(x, y, z) og W(x, y, z) betegne to vektorfelter i R 3. Så gælder følgende identitet Div(V W) = Rot(V) W V Rot(W). (24-43) Specielt har vi derfor: Hvis W er et gradient-vektorfelt for en funktion h(x, y, z) i R 3, dvs. på kort form W = h, så er Div(V h) = Rot(V) h. (24-44) Opgave Vis ved direkte udregning, at de to ligninger (24-42) og (24-43) begge er opfyldte. Ud fra de helt simple overvejelser og eksempler vi har været igennem i denne enote er det rimeligt at forvente, at divergensen er et mål for hvor meget en given samling af partikler spredes eller samles når de flyder med vektorfeltet. Det er netop indholdet af Gauss sætning som er så vigtig for anvendelserne af disse begreber, at den har sin egen enote26. Tilsvarende må vi forvente, at den totale rotation af en samling af partikler, der flyder med vektorfeltet kan udtrykkes ved hjælp af rotationsvektorfeltet for det given vektorfelt. Det er netop indholdet af Stokes sætning, der også af samme grund har sin helt egen enote Flow af kurver og flader Som allerede antydet med figurerne 24.5, 24.6, og 24.7 kan vi lade ethvert geometrisk veldefineret område, flade, eller kurve flyde med et givet vektorfelt på den måde at ethvert punkt på objektet følger den entydige flowkurve for vektorfeltet, der netop går igennem punktet. Ideen er som sagt at forstå vektorfeltets geometri ved at observere hvordan det flyder rundt med og deformerer geometriske objekter. Se også figurerne 24.8 og 24.9.
19 enote FLOW AF KURVER OG FLADER 19 Figur 24.8: Et linjestykke flyder med flowkurverne for vektorfeltet V(x, y, z) = ( y, x, 0.3) Flow af niveaukurver og niveauflader Gradientvektorfelterne for funktioner af to og tre variable deformerer også kurver og flader via de respektive flowkurver. Man kunne nu forledes til at tænke, at niveaukurver og niveauflader nok flyder over i andre niveaukurver og niveauflader ved gradientvektorflowet. Så simpelt er det ikke men næsten. Ved nærmere eftertanke vil man indse, at det heller ikke kan være rigtigt at gradientvektorfeltet generelt skulle flyde niveaumængder i niveaumængder. Hvis f.eks. to nabo-niveaukurver i figur 24.1 ligger tæt på hinanden, så er gradientvektoren tilsvarende stor og omvendt hvis to nabo-niveaukurver ligger længere fra hinanden, så er gradientvektoren tilsvarende mindre. Dvs. der hvor gradienvektorerne er store skal vi flyde langsomt og der for de er små skal vi flyde hurtigt for at niveaukurverne kan flyde over i hinanden.
20 enote FLOW AF KURVER OG FLADER 20 Figur 24.9: Et kvadrat flyder med flowkurverne for vektorfeltet V(x, y, z) = ( y + (x/9), z + (y/9), x + (z/9)). Sætning Niveau-mængde flow Lad f (x, y, z) betegne en glat funktion af tre variable med et egentligt gradientvektorfelt f (x, y, z) = 0. Lad V(x, y, z) være det kvadratisk normerede gradientvektorfelt: f (x, y, z) V(x, y, z) = f (x, y, z) 2. (24-45) Hvis vi lader ethvert punkt p på niveaufladen K c ( f ) flyde tiden t 0 med den flowkurve for V(x, y, z) som starter i p, så vil hele niveaufladen flyde over i niveaufladen K c+t0 ( f ). Et tilsvarende resultat gælder for gradientvektorfelter for glatte funktioner f (x, y) af to variable og deres tilhørende niveaukurver i planen.
21 enote FLOW AF KURVER OG FLADER 21 Bevis Vi skal bare vise, at hvis vi starter (til tiden t = 0) i et punkt p hvor f (p) = c så lander vi med flowkurven r(t) for vektorfeltet V(x, y, z) efter tiden t 0 i et punkt r(t 0 ) hvor f (x, y, z) har værdien f (r(t 0 )) = c + t 0. Vi bruger kædereglen for tilvæksten af funktionsværdier langs en flowkurve, se enote 15: d dt f (r(t)) = f (r(t)) r (t), (24-46) og da r(t) er en flowkurve for V(x, y, z) ved vi, at r (t) = V(r(t)) som indsat i (24-46) giver: d f (r(t)) = f (r(t)) V(r(t)) dt f (r(t)) = f (r(t)) f (r(t)) 2 = f (r(t)) f (r(t)) f (r(t)) 2 = 1. (24-47) Heraf fås det ønskede direkte: t0 f (r(t 0 )) = c + = c + 0 t0 0 = c + t 0. d f (r(t)) dt dt 1 dt (24-48)
22 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har i denne enote etableret de første begreber og metoder til analyse af vektorfelter i plan og rum. Nogle men ikke alle vektorfelter fremkommer som gradientvektorfelter for funktioner f (x, y, z) (her af tre variable): ( ) f (x, y, z) = f x(x, y, z), f y(x, y, z), f z(x, y, z), (x, y, z) R 3. (24-49) Ethvert vektorfelt V(x, y, z) af første grad kan skrives og angives ved hjælp af en systemmatrix A og en konstant vektor b: V 1 (x, y, z) a 11 a 12 a 13 x b 1 V 2 (x, y, z) = a 21 a 22 a 23 y + b 2. (24-50) V 3 (x, y, z) a 31 a 32 a 33 z b 3 For at forstå geometrien af et givet vektorfelt er det vigtigt at kunne bestemme vektorfeltets flow-kurver det er de parametriserede kurver r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b], som i alle kurve-punkter har det givne vektorfelt som tangentvektor. Hvis vektorfeltet er givet ved V(x, y, z) = (V 1 (x, y, z), V 2 (x, y, z), V 3 (x, y, z)), så er flowkurve-ligningen: x (t) y (t) z (t) = (V(x(t), y(t), z(t))) = V 1 (x(t), y(t), z(t)) V 2 (x(t), y(t), z(t)) V 3 (x(t), y(t), z(t)). (24-51) Divergensen af et vektorfelt V(x, y, z) har vi defineret som den funktion, der i et vilkårligt punkt (x 0, y 0, z 0 ) har værdien: Div(V)(x 0, y 0, z 0 ) = V 1 x (x 0, y 0, z 0 ) + V 2 y (x 0, y 0, z 0 ) + V 3 z (x 0, y 0, z 0 ), (24-52) og vi har antydet med meget simple eksempler, at divergensen er et lokalt mål for hvor meget vektorfeltet spreder eller samler en given mængde af partikler, der flyder med vektorfeltet, dvs. følger vektorfeltets flowkurver. Rotationen af et vektorfelt har vi defineret som følgende vektorfelt Rot(V)(x 0, y 0, z 0 ) = ( V 3 y (x 0, y 0, z 0 ) V 2 z (x 0, y 0, z 0 ), V 1 z (x 0, y 0, z 0 ) V 3 x (x 0, y 0, z 0 ), V 2 x (x 0, y 0, z 0 ) V 1 y (x 0, y 0, z 0 ) ), (24-53)
23 enote OPSUMMERING 23 og vi har antydet med meget simple eksempler, at rotationen er et lokalt mål for hvor meget vektorfeltet roterer en given mængde af partikler, der flyder med vektorfeltet dvs. følger vektorfeltets flowkurver.
Vektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereMaj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereStokes rotationssætning
enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mere