GrundlÄggende variabelsammenhänge

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GrundlÄggende variabelsammenhänge"

Transkript

1 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul

2 LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt Eksempler med regler for ligevägt OplÄg om lineäre sammenhänge Ligning for lineär sammenhäng Graf for lineär sammenhäng Bestem y når vi kender x Bestem x når vi kender y LineÄr väkst Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller Find ligning ud fra lineär graf Tegn graf ud fra lineär ligning Bestem b i y = a x + b ud fra a og Çt punkt Bestem a i y = a x + b ud fra b og Çt punkt Bestem a og b i y = a x + b ud fra to punkter Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst Bestem skäringspunkt mellem to grafer HvornÅr bliver A billigst? LineÄr regression Hvorfor skal alle tal i tabel bruges? Regression, Årstal Eksponentiel sammenhäng og procent 22. Procenter på en ny måde VÄkstrate OplÄg til ramme Ligning for eksponentiel sammenhäng Eksponentiel väkst Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller Grafer for y = b a x Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave Eksponentiel regression Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x Renteformlen PotenssammenhÄng 39. Ligning for potenssammenhäng Udregn x eller y i y = b x a i tekstopgave PotensvÄkst Bestem procentändring for potenssammenhäng Graf for potenssammenhäng Udregn a og b i y = b x a ud fra to oplysninger Potensregression Proportionale variable Omvendt proportionale variable Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale Beviser 49. Nogle regler for potenser Bevis for hvad a og b i y = a x + b fortäller Bevis for hvad a og b i y = b a x fortäller Bevis for reglen om potensväkst Dette häfte er en fortsättelse af VariabelsammenhÄnge generelt for matematik pç C-niveau i stx og hf som kan downloades fra GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Å 2016 Karsten Juul 7/ Nyeste version af dette häfte kan downloades fra HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som oplyser at dette häfte benyttes og oplyser hold, niveau, lärer og skole.

3 LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt. 1a. LigevÄgt bevares når vi träkker 2 fra begge sider En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra begge sider x = 5 2 VÄgten viser at x = 3 1b. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker 2 fra venstre side En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra venstre side x = 5 FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x = 5 1c. LigevÄgt bevares når vi dividerer begge sider med 2 En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x = 6 Dividerer begge sider med 2 2x = VÄgten viser at x = 3 1d. Det skal väre hele siden der divideres En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x + 2 = 6 Ikke hele venstre side divideres 2x + 2 = FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x + 2 = 3 Korrekte omskrivninger: 2x 2 TrÄkker 2 fra begge sider 2x 4 Dividerer begge sider med 2 2x x 2 6 1e. Regler om ligevägt 1f. Vi må lägge samme tal til begge sider af lighedstegnet. 1g. Vi må träkke samme tal fra begge sider af lighedstegnet. 1h. Vi må gange begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. 1i. Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. Reglerne ovenfor er skrevet meget kort. PÇ näste side forklarer vi grundigt hvad reglerne om ligevägt gçr ud pç. Vi kan träne reglerne om ligevägt ved at bruge dem til at lése ligninger. SÑ nytter det ikke at du léser ligningerne ved hjälp af andre regler, da det er reglerne om ligevägt der er formñlet med Évelserne. Reglerne om ligevägt er en vigtig del af pensum. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

4 2. Eksempler med regler for ligevägt. I denne ramme går det ud på at få x til at stå alene ved at bruge regler om ligevägt. 2a. x + 8 = 12 Der er lagt 8 til x. Det modsatte er at träkke 8 fra. x = 12 8 Derfor träkker vi 8 fra begge sider. x = 4 2b. x + 5 = 14 Der er lagt 5 til x. Det modsatte er at träkke 5 fra. x = 14 5 Derfor träkker vi 5 fra begge sider. x = 19 2c. x 6 = 9 Der er trukket 6 fra x. Det modsatte er at lägge 6 til. x = Derfor lägger vi 6 til begge sider. x = 15 2d. 4 x = 3 Der er lagt 4 til x (minus står ikke foran 4). Det modsatte er at träkke 4 fra. 4 x 4 = 3 4 Derfor träkker vi 4 fra begge sider. x = 1 I 2k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 2e. 7 + x = 2 Der er trukket 7 fra x. Det modsatte er at lägge 7 til. 7 + x + 7 = Derfor lägger vi 7 til begge sider. x = 9 2f. 24 = 3 x Der er trukket 3 fra x. Det modsatte er at lägge 3 til = 3 x + 3 Derfor lägger vi 3 til begge sider. 27 = x I 2k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 2g. Nogle regler om brçker 4x 4 kan omskrives til x fordi der står gange mellem 4 og x. x ( 5) 5 kan omskrives til x fordi der står gange. x 5 5 og 3 x 3 kan ikke omskrives til x fordi der ikke står gange. 2h. 3x = 12 x er ganget med 3. Det modsatte er at dividere med 3. 3x 12 = 3 3 Derfor dividerer vi begge sider med 3. x = 4 PÅ venstre side kan 3 forkortes väk fordi der står gange mellem 3 og x. 2i. 2 = x 5 x er ganget med 5. Det modsatte er at dividere med 5. 2 x 5 = 5 5 Derfor dividerer vi begge sider med 5. 0,4 = x PÅ hñjre side kan 5 forkortes väk fordi der står gange mellem x og 5. 2j. 8x = 1 x er ganget med 8. Det modsatte er at dividere med 8. 8x 1 = 8 8 Derfor dividerer vi begge sider med 8. x = 0,125 PÅ venstre side kan 8 forkortes väk fordi der står gange mellem 8 og x. 2k. x = 9 x ( 1) = 9 ( 1) Vi ganger begge sider med 1. x = 9 Fordi minus gange minus er plus. 2l. Samle led af samme type 9x x 9x og 7x er samme type. = 2x + 5 NÅr vi fra syv x'er träkker ni x'er, får vi minus to x'er x 1 + x 15 og 4 og 1 er samme type. 8x og x er samme type. = x Fra 15 träkker vi 4 og 1 og får 10. Otte x'er plus Çt x er ni x'er. 2m. 6x = 2 +10x 6x 10x = 2 +10x 10x 4x = 2 4x x = 0,5 I disse udregninger har vi brugt mellemregninger til at vise hvilke regler for ligevägt vi har brugt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

5 3. OplÄg om lineäre sammenhänge Vi kñber en 12 mm hñj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fñgende: Efter 1 dag er hñjden 12 4 mm Efter 2 dage er hñjden mm Efter 10 dage er hñjden mm Efter x dage er hñjden 12 4 x mm Der gälder altså at når y er hñjden (i mm), er y 4 x 12 Ligningen for denne sammenhäng er altså af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kñbet er hñjden 12 mm, en prik der viser at 1 dag senere er planten 4 mm hñjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm hñjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge på en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär når stigningen hele tiden er den samme. NÅr stigningen hele tiden er den samme, må ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gñr värdien af x Çn enhed stñrre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre. AltsÅ bliver y-värdierne stñrre og stñrre, så sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre. AltsÅ bliver y-värdierne mindre og mindre, så sammenhängen er aftagende. 4. Ligning for lineär sammenhäng 4a. Regel: En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y = a x + b hvor a, b og x kan väre alle tal. Tallet a som står foran x kaldes häldningskoefficienten. Den lineäre sammenhäng er voksende hvis a er positiv. er aftagende hvis a er negativ. 4b. Eksempel: Hvis a = 5 og b = 2 er y = 5 x + ( 2) dvs. y = 5x 2 4c. Eksempel: Hvis a = 1 og b = 0,25 er y = 1 x + 0,25 dvs. y = x + 0,25 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

6 5. Graf for lineär sammenhäng 5a. Regel: Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje. 5b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Metode 1: Da grafen er en ret linje, behñver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at få stor nñjagtighed. Se figur. Punkt med x = 4. Vi får punktets y ved at indsätte 4 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 4 er y 0,5 4 0,7 2,7 Punkt med x = 3. Vi får punktets y ved at indsätte 3 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 3 er y 0,5 ( 3) 0,7 0,8 Vi tegner den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Metode 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5 x 0, 7 på Nspire på en grafside og får grafen til hñjre. Vi kan afläse denne graf nñjagtigt ved at afsätte et punkt på grafen og Ändre en af punktets koordinater. 6. Bestem y når vi kender x 6a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser. NÅr y er diameter, målt i mm, og x er tykkelse, målt i mm, er y 3x 5. Metode: Hvad er diameteren når tykkelsen er 2 mm? SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er y når x er 2? Vi indsätter 2 for x i y 3x 5 og får y Vi udregner hñjresiden og får y 11 Konklusion: En skives diameter er 11mm når dens tykkelse er 2 mm Da der i opgave stçr at y er diameter og x er tykkelse. I opgave stçr at y er tykkelse. 6b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 3x 5. Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 2. Metode: NÅr x 2 er y Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat 2 har y-koordinat 11. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

7 7. Bestem x når vi kender y 7a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser. NÅr y er diameter, målt i mm, og x er tykkelse, målt i mm, er y 3x 5. Hvad er tykkelsen når diameteren er 17 mm? Metode: SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er x når y er 17? Da der i opgave stçr at y er tykkelse og x er diameter. Vi indsätter 17 for y i y 3x 5 og får 17 3x x Vi har trukket 5 fra begge sider (se 1g). 12 3x Vi har divideret begge sider med 3 (se 1i) x Vi har udregnet venstre side. Vi har forkortet héjre side (se 2g). I opgave stçr at x er tykkelse. Konklusion: NÅr skivens tykkelse er 4 mm, så er dens tykkelse er 17 mm 7b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen Metode: y 3x 5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 17. Vi skal finde et tal x så 17 3x 5 Det skal fremgç hvordan du finder lésningen. Vi lñser denne ligning mht. x og får x 4. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 17 har x-koordinat LineÄr väkst. 8a. Reglen for lineär väkst (reglen for hvad a i en lineär sammenhäng y = a x + b fortäller): Hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre, bliver der lagt a til värdien af y. 8b. Reglen for hvad b i lineär sammenhäng y = a x + b fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 8c. Af 6b og 6a får vi: PÅ grafen for y = 0,3x+0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,2), (2, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er graf for funktionen y = 0,3x +0,9. Figuren viser at der lägges 0,3 til y-koordinaten (sñjlehñjden) når x bliver 1 stñrre. 0,6 + 0,3 y 0,9 + 0,3 1,2 + 0,3 1,5 0,3x +0, x : x y : 0,6 0,9 1,2 1,5 0,3x+0,9 +0,3 +0,3 +0,3 8d. Hvis vi afläser punkterne (0,7), (1,11), (2,15), (3,19) på en lineär graf, kan vi af 8a og 8b slutte at y = 4x+7. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

8 8e. For y = 3x+5 gälder: Hvis vi 10 gange gñr x en stñrre, vil der 10 gange blive lagt 3 til y, så: Hver gang vi gñr x 10 enheder stñrre, bliver der lagt 30 til värdien af y. Dvs. på grafen ligger punkterne ( 10, 25), (0,5), (10,35), (20,65) osv = 30 x : x y : x Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst 9a. Opgave Vi skal betale 10 kr. for at starte på et spil, og vi skal betale 0,50 kr. pr. minut vi spiller. (voksende) Skriv ligning vi kan bruge til at udregne pris for at spille når vi kender antal minutter vi spiller. Svar Antal kr. stiger med samme antal hvert minut, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b. hvor y = antal kr. og x = antal minutter. Der står: NÅr antal minutter bliver Çn stñrre, bliver antal kr. 0,50 stñrre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 0,50 stñrre så når x bliver Çn stñrre, bliver der til y lagt 0,50. Derfor: a = 0,50 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 8a) Der står: NÅr antal minutter er 0 er antal kr. lig 10 dvs. når x er 0, er y lig 10 Derfor: b = 10 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 8b).y = 0,50 x hvor y = antal kr. og x = antal minutter 9b. Opgave Ved fremstilling af blå väske bruges grñn väske fra beholder. BlÅ väske opsamles i et kar. (aftagende) NÅr blå väskehñjde er 0 cm, er grñn väskehñjde 120 cm. NÅr blå väskehñjde bliver 1 cm stñrre, bliver grñn väskehñjde 2,4 cm mindre. Skriv ligning vi kan bruge til at udregne blå väskehñjde når vi kender grñn väskehñjde. Svar GrÑn väskehñjde falder samme antal enheder hver gang blå stiger 1 enhed, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b, hvor y = grçn väskehçjde og x = blå väskehçjde. Der står: NÅr blå väskehçjde bliver Çn stñrre, bliver grçn väskehçjde 2,4 mindre, dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 2,4 mindre så når x bliver Çn stñrre, bliver der til y lagt 2,4. Derfor: a = 2,4 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 8a) Der står: NÅr blå väskehçjde er 0 er grçn väskehçjde lig 120, dvs. når x er 0, er y lig 120 Derfor: b = 120 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 8b).y = 2,4 x hvor y = grñn väskehñjde i cm og x = blå väskehñjde i cm 10. Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller 10a. Opgave For en forening er det aftalt at (voksende) y 15 x 22 hvor x er antal År efter 2014 og y er antal medlemmer. Hvad fortäller tallene 15 og 22 om antal medlemmer? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gñr antal År x Çn stñrre, bliver der lagt 15 til antal medlemmer y. NÅr antal År x er 0, er antal medlemmer y lig 80. Dvs.: 15 : Hvert År bliver antal medlemmer 15 stñrre. 22: I 2014 er antal medlemmer 22. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

9 10b. Opgave For en cirkel på et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen (aftagende) y 2 x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 80 om radius? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gñr temperaturen x Çn grad stñrre, bliver der lagt 2 til radius y. NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80. Dvs.: 2 : Radius bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger. 80: Radius er 80 mm ved 0 C 11. Find ligning ud fra lineär graf Grafen til viser sammenhängen mellem to variable x og y. PÅ grafen ser vi: NÅr x 0 er y 1, 5. Hver gang vi gñr x 1 enhed stñrre, så bliver y 2 enheder stñrre. Dette betyder ifñlge reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, at: Figuren viser grafen for sammenhängen y 2x 1, Denne metode kan vi kun bruge når tallene er simple. I andre tifälde må vi afläse to punkter på grafen og udregne a og b ud fra disse. 1, Tegn graf ud fra lineär ligning SammenhÄngen y 0,5 x 2 er af typen y ax b med a = 0,5 og b = 2. NÅr x 0 er y 2. PÅ figur 1 har vi brugt dette til at tegne et punkt på grafen. Hver gang vi gñr x en enhed stñrre, skal lägge 0,5 til y. PÅ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et punkt. Vi gentager dette og får punkterne på figur 3. Ud fra disse punkter kan vi tegne grafen. Hvis tallene ikke er simple, tegner vi grafen ved en af metoderne fra ramme 5. Figur 1 Figur 2 Figur 3 0,5 1 0,5 1 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

10 13. Bestem b i y = ax+b ud fra a og Ñt punkt. Opgave Punktet ( 4, 35) ligger på grafen for sammenhängen y = 8 x +b. Find tallet b. Svar NÅr vi indsätter 4 for x i 8 x +b, så skal vi få y som er 35, dvs. 35 = 8 4 +b. Vi skal finde ud af hvad b skal väre for at dette gälder, så vi lñser denne ligning mht. b og får b Bestem a i y = ax+b ud fra b og Ñt punkt. Opgave Punktet ( 5, 8) ligger på grafen for sammenhängen y = a x +18. Find tallet a. Svar NÅr vi indsätter 5 for x i a x +18, så skal vi få y som er 8, dvs. 8 = a Vi skal finde ud af hvad a skal väre for at dette gälder, så vi lñser denne ligning mht. a og får a Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter. Opgave Punkterne ( 7, 1) og (8, 4) ligger på grafen for sammenhängen y = a x + b. Find tallene a og b. Svar NÅr vi indsätter 7 og 8 for x i a x + b, så skal vi få 1 og 4, dvs. 1 a ( 7) b og 4 a 8 b Nspire lñser ligningssystemet mht. a og b og får a 0, 2 og b 2, Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst. Opgave Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur x (målt i C) og overskud y (målt i mio. kr.). NÅr temperaturen er 3 C, er overskuddet 12 mio. kr. NÅr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Svar Da sammenhängen er lineär, har den en ligning af typen y = a x + b. NÅr temperatur x er 3 og 5, er overskud y lig 12 og 28, dvs. 12 = a ( 3) + b og 28 = a 5 + b Nspire lñser dette ligningssystem mht. a og b og får a = 2 og b = 18. Ligning y 2x 18 viser sammenhäng mellem temperatur x i C og overskud y i mio. kr. 17. Bestem skäringspunkt mellem to grafer. Opgave: Metode 1: Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y = 1,2 x 7,4 og y = 0,6 x + 2,8. Vi skal finde et tal x så de to udtryk 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8 giver samme y-koordinat. Nspire lñser ligningen 1,2x 7,4 = 0,6x + 2,8 mht. x og får x = 17. SkÄringspunktet er ( 17,13). Vi taster 1,2x 7,4 og 0,6x + 2,8 og får Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnit af koordinatsystem så vi kan se skäringspunkt. Vi får Nspire til at finde skäringspunkt. SkÄringspunktet er ( 17,13). IndsÄtter vi x = 17 i 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8, sç giver det samme y. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

11 18. HvornÅr bliver A billigst? Opgave: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÅr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. gälder: A: y = 3,5 x og B: y = 2 x HvornÅr bliver A billigst? Svar: Vi bestemmer fñrst x så de to udtryk 3,5 x og 2 x giver samme pris. Nspire lñser ligningen 3,5 x = 2 x mht. x og får x = 234. Til hñjre for skäringspunktet ligger den blå A-graf underst, så Efter dag 234 er A billigst. 19. LineÄr regression. 19 a. Opgave Vi har målt längde og bredde for nogle plader: längde i cm 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 Der gälder med god tilnärmelse y = ax+b hvor y er bredde i cm, hvor x er längde målt i cm. Find tallene a og b. Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Brugsanvisning Skal väre samme navn. Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / LineÄr regression (mx+b)... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. De grñnne längde-tal Ñverst i besvarelsen har jeg kopieret fra tabellen ved at gñre sådan: I et matematikfelt skrev jeg längde og trykkede på enter. I en kopi af resultatet tilfñjede jeg nogle mellemrum. Tildsvarende med de grñnne bredde-tal. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

12 20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges? Tabel: x: y: De fire punkter i tabellen er vist som rñde prikker. Hvis vi bruger alle punkter til at bestemme lineär graf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to fñrste punkter, så får vi den punkterede linje som passer dårligere med tabellen. 21. Regression, Årstal. Opgave Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt område. Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen antallet af boliger, og x er antal År efter Find tallene a og b. Örstal Antal boliger Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: y ax b hvor y er Vi taster IKKE Årstal da x ikke er Årstallet! Se brugsanvisning i ramme 19. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

13 Eksponentiel sammenhäng 22. Procenter på en ny måde. og procent 22a. T er 34 % af 600 T = 34 % af = 600 Ü 0,34 da 34% = 100 = 204 = 0,34 Du plejer nok at udregne 34 % ved at dividere med 100 og gange med 34. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 0,34 for at udregne 34 %. 22b. S er 34 % stçrre end 600 S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 Ü 1,34 da 134 % = = 1, = c. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % af 600 da 100 % 34% = 66 % 66 = 600 Ü 0,66 da 66% = 100 = 396 = 0,66 NÅr du udregner det der er 34% stñrre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og lägge til tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 1,34 for at udregne det der er 34 % stñrre. NÅr du udregner det der er 34% mindre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og träkke fra tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nñdt til at vänne dig til at gange med 0,66 for at udregne det der er 34 % mindre. 22d. Hvor mange procent er 52 af 126? , , ,3% 52 er 41,3 % af e. Oversigt over grundläggende procentregning y 0,30 y 0,30 y y y 1 y 1,30 y y 0,70 0,30 0,70 1 y 0,30 A B A B A B B er 30% af A B er 30% stçrre end A B er 30% mindre end A B er 130% af A B er 70% af A , er 30% af GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

14 23. VÄkstrate. 23a. Hvad er väkstrate? SÄtningen den Årlige väkstrate er 18% betyder stigningen er 18 % hvert Årt SÄtningen den månedlige väkstrate er 3 % betyder stigningen er 3 % hver måned 23b. Eksempel Der gälder Antal ansatte skal stige med en Årlig väkstrate på 10 %. Dvs. Antal ansatte skal stige 10 % hvert År. 100 % 45% 145 % 145 1,45 I År er antal ansatte Om 1 År er antal ansatte 820 1, Om 2 År er antal ansatte 820 1,45 1, Om 6 År er antal ansatte 820 1, Om x År er antal ansatte 820 1,45 x 820 1,45 x 1,45 1,45 2 1,45 Antal ansatte ,45 1, , År 24. OplÄg til ramme 25. Antal ansatte y skal stige 10 % hvert År. 100 % 10 % 110 % 110 1, I År er antal ansatte y = 1000 Om 1 År er antal ansatte y = , Om 2 År er antal ansatte y = ,10 1, Om 16 År er antal ansatte y = , Om x År er antal ansatte y = ,10 x Denne ligning viser sammenhängen mellem y og x. Vi ser at ligningen er af typen y = b a x 25. Ligning for eksponentiel sammenhäng En sammenhäng er eksponentiel hvis den har en ligning af typen y = b a x a og b skal väre positive tal. Alle tal kan indsättes for x. 1,10 1,10 Uanset hvilket tal vi indsätter for x, så bliver resultatet y et positivt tal. 2 1,10 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

15 26. Eksponentiel väkst. 26a. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller): Hver gang vi gñr x Çn enhed stñrre, bliver värdien af y ganget med a. 26b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 26c. Af 28b og 28a får vi: PÅ grafen for y = 24 1,5 x ligger punkterne ( 1,16), (0,24), (1,36), (2,54) osv. Den sorte kurve er graf for funktionen y = 24 1,5 x. Figuren viser at y-koordinaten (sñjlehñjden) ganges med 1,5 når x bliver 1 stñrre. y ,5 x 16 1,5 24 1,5 36 1, x : x y : ,5 1,5 1,5 26d. Hvis vi afläser punkterne (0,2), (1,6), (2,18) på en eksponentiel graf, kan vi af 26a og 26b slutte at y = 2 3 x. 24 1,5 x 26e. For y = 5,8 1,043 x gälder: Hvis vi 8 gange gñr x Çn enhed stñrre, vil y 8 gange blive ganget med 1,043, så: Hver gang vi gñr x 8 enheder stñrre, bliver y ganget med 1,043 8 = 1, ,043 8 = 1,400 x : x y : 4,14 5,8 8,12 11,37 5,8 1,043 x 1,4 1,4 1,4 27. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst. 27a. Opgave Kl. 9 er der 275 celler, og hver time bliver antal celler 20 % stñrre. (voksende) Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne antallet af celler når vi kender tidspunktet. Svar Antallet stiger med samme procent hver time, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9. Der står: NÅr antal timer bliver Çn stñrre, bliver antal celler 20 % stñrre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 20 % stñrre så når x bliver Çn stñrre, bliver y ganget med 1,20 Derfor: a = 1,20 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Der står: NÅr klokken er 9 er antal celler lig 275 dvs. når x er 0, er y lig 275 Derfor: b = 275 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b).y = 275 1,20 x. hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

16 27b. Opgave Den 1. maj er afgiften 860 kr. Afgiften nedsättes med 2,5 % pr. uge (aftagende) Svar Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne afgiften når vi kender tidspunktet. Afgiften falder med samme procent hver uge, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1.maj. Der står: NÅr antal uger bliver Çn stñrre, bliver afgiften 2,5 % mindre dvs. når x bliver Çn stñrre, bliver y 2,5 % mindre så når x bliver Çn stñrre, bliver y ganget med 0,975 Derfor: a = 0,975 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Der står: Den 1. maj er afgiften lig 860 kr. dvs. når x er 0, er y lig 860 Derfor: b = 860 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b).y = 860 0,975 x. hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1. maj 28. Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller. 28a. Opgave Om en figur på skärmen gälder at y 300 1, 072 (voksende) x = temperaturen og y = arealet i cm 2 Hvad fortäller tallene 300 og 1,072 om figuren? Svar Ligningen er af typen y = b a x. x hvor NÅr x bliver Çn enhed stñrre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Dvs. NÅr temperaturen bliver Çn grad hñjere, bliver arealet ganget med 1,072. SÇ NÅr temperaturen bliver Çn grad hñjere, bliver arealet 7,2% stñrre. Dette er hvad tallet 1,072 fortäller om figuren. De 7,2% blev udregnet sådan: Start: 100 % 100 % 1,072 = 107,2 % 107,2 % 100% = 7,2 % NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b) Dvs. NÅr temperaturen er 0 grader, er arealet 300 cm 2. Dette er hvad tallet 300 fortäller om figuren. 28b. Opgave Antallet af dyr Ändres sådan at y 270 0, 90 hvor (aftagende) x = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr Hvad fortäller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr? Svar Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x bliver Çn enhed stñrre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 26a) Dvs. NÅr antal dage bliver Çn stñrre, bliver antal dyr ganget med 0,90. SÇ NÅr antal dage bliver Çn stñrre, bliver antal dyr 10% mindre. Dvs. Hver dag bliver antallet af dyr 10% mindre. Dette er hvad tallet 0,90 fortäller om antallet af dyr. De 10% blev udregnet sådan: Start: 100% 100% 0,90 = 90 % 90% 100 % = 10% NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 26b) Dvs. NÅr antal dage er 0, er antal dyr 270. Dvs. Den 1. juni er antallet af dyr 270. Dette er hvad tallet 270 fortäller om figuren. x GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

17 29. Grafer for y = b a x. 29a. Eksempel Vi vil undersñge grafen for y = 2 0,4 x. Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x = 0 er y = 2 regel for hvad b fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 1 er y = 2 0,4 = 0,8 regel for hvad a fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 2 er y = 0,8 0,4 = 0,32 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gñr x Çn stñrre, skal vi gange y med 0,4, så y bliver aldrig 0, men kan komme så tät det skal väre på 0. NÅr vi gñr x Çn mindre, så skal vi dividere y med 0,4 så når x = 1 er y = 2:0,4 = 5 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gñr x Çn mindre, bliver y stñrre. y kan blive så stor det skal väre. Figuren viser grafen for en eksponentiel sammenhäng y = b a x. 29b. Opgave Hvad er y når x er 2? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor x er 2. Vi afläser at for dette punkt er y lig 2,8. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr x er 2, er y = 2,8.. 29c. Opgave Hvad er x når y er 2,8? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor y er 2,8. Vi afläser at for dette punkt er x lig 2. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr y er 2,8, er x = Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave. 30a. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvad er vägten af et dyr hvis alder er 13 uger? Svar y = 0,3 1,2 x y = 0,3 1,2 13 x er alderen, og alderen er 13 y = 3,2098 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 3,2098 Et dyr hvis alder er 13 uger, har vägten.3,2 gram.. 30b. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvilken alder har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 0,3 1,2 x 6,7 = 0,3 1,2 x y er vägten, og vägten er 6,7 Nspire lñser ligningen mht. x og får x = 17,0363 alderen er x, og x er 17,0363 Et dyr hvis vägt er 6,7 gram, har alderen.17 uger.. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

18 31. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave. Opgave En plantes vägt kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen y = b a x hvor y er vägt i kg, og x er År efter udplantning. Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Udregn a og b. Svar Der står: Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Dvs. NÅr x = 2 er y = 1,60. NÅr x =5 er y = 4,10. SÅ 1,60 = b a 2 og 4,10 = b a 5 Nspire lñser dette ligningssystemet og får a = 1, ,368 og b = 0, ,854. mht. a og b.a = 1,368. og.b = 0, Eksponentiel regression. Opgave Tabellen viser antallet af indbyggere i et område i perioden Udviklingen kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen f ( x) b a x hvor f (x) er antallet af indbyggere (målt i tusinder), og x er antal År efter Find a og b. Örstal Antal (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10,2 Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Vi taster IKKE Årstal da x ikke er Årstallet! Brugsanvisning Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / Eksponentiel regression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: Skal väre samme navn. I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

19 33. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant. 33a. Eksempel Tabellen viser hvordan hñjden af en plante er vokset eksponentielt. Antal uger efter kñb: HÑjde i cm: I tabellen ser vi: 1 uge efter kñbet er hñjden 15 cm. 3 uger senere er hñjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm. 2 uger efter kñbet er hñjden 19 cm. 3 uger senere er hñjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm. Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger fñr hñjden er fordoblet. Man siger at hñjdens fordoblingskonstant er 3 uger. 33b En eksponentielt voksende sammenhäng har en fordoblingskonstant T 2. NÅr x bliver T 2 enheder stñrre, så bliver y fordoblet. 33c En eksponentielt aftagende sammenhäng har en halveringskonstant T 0,5. NÅr x bliver T 0,5 enheder stñrre, så bliver y halveret. 34. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf. Opgave (halvering) Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhäng. Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhäng? Svar Resultatet bliver det samme uanset hvilken x-värdi vi starter med. Vi kan f.eks. starte med x 1: NÅr x = 1 er y = 3,1 (se figur) 3,1 Det halve af 3,1 er 1, NÅr y = 1,55 er x = 3,7 (se figur) For at halvere y skal vi altså Ñge x med 3,7 1 = 2,7 så halveringskonstanten er.2,7.. BemÄrkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten afläses på nästen samme måde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen på de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

20 35. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller. 35a. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at fordoblingskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At fordoblingskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stñrre, så bliver y fordoblet. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stñrre, så bliver antal syge fordoblet. SÅ: Antal syge fordobles på 9 dage. 35b. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at halveringskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At halveringskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stñrre, så bliver y halveret. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stñrre, så bliver antal syge halveret. SÅ: Antal syge halveres på 9 dage. NÇr x er tiden, kan vi sige fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. NÇr x er tiden, kan vi sige halveringstid i stedet for halveringskonstant. 36. Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant. 36a. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 2 = 3. GÑr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar x y 3, b. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 0,5 = 1,6. GÑr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +1,6 +1,6 +1,6 x 3,2 4,8 6,4 8 y ,5 0,5 0,5 0,5 37. Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x. 37a. Opgave Bestem T 2 for sammenhängen y = 5 1,3 x. x 1 y 7 x 4,8 y 6 Svar NÅr x = 0 er y = 5, så når x = 0+T 2 = T 2 er y = 2 5, dvs. 2 5 = 5 1,3 T2. Nspire lñser ligningen 2 5 = 5 1,3 T2 mht. T 2 og får T 2 = 2, ,6. 37b. Opgave Bestem T 0,5 for sammenhängen y = 7 0,86 x. Svar NÅr x = 0 er y = 7, så når x = 0+T 0,5 = T 0,5 er y = 0,5 7, dvs. 0,5 7 = 7 0,86 T0,5. Nspire lñser ligningen 0,5 7 = 7 0,86 T0,5 mht. T 0,5 og får T 0,5 = 4, ,6. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

21 38. Renteformlen 38a. Hvorfor gälder renteformlen? Vi sätter kr. i banken til en fast Årlig rente r = 5,8% = 0,058 så hvert År stiger belñbet til 100% + 5,8% = 105,8% af hvad det var Året fñr Dvs. hvert År ganges belñbet med 1,058 = 1+r da 105,8% = 105,8:100 = 1,058 BelÑbene på kontoen kan vi beregne sådan: Start: Efter 1 År: ,058 Efter 2 År: ,058 1,058 Efter 6 År: Dette kan vi skrive kortere ved hjälp af potens: ,058 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 Efter 6 År: ,058 6 = 47686,22 Man bruger ofte fñlgende symboler: K = K 0 (1+r) n hvor n = 6 er antallet af terminer. r = 5,8% = 0,058 er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 = er startkapitalen. K = 47686,22 er kapitalen efter 6 terminer. 38b. Renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor n er antallet af terminer. r er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 er startkapitalen. K er kapitalen efter n terminer. 38c. Fire opgavetyper I renteformlen kan hvert af tallene n, r, K 0 og K väre ukendt. Det ukendte af disse tal kan vi udregne når vi kender de tre andre. Dvs, der er fire typer opgaver med renteformlen. Hvis K er ukendt, skal vi udregne ligningens hñjreside. Ellers skal vi lñse ligningen. 38d. Opgave Vi sätter kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8 %. Efter hvor mange År er belñbet vokset til kr.? BelÑbet ,058 skal ganges med 1,058 for at få det belñb der er 5,8% stñrre. En termin er den tid der går mellem to rentetilskrivninger. I dette eksempel er en termin lig et År. Svar Vi bruger renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor Antal terminer n = det tal vi skal bestemme Renteprocent r = 5,8% = 0,058 Startkapital K 0 = Kapital efter n terminer K = Vi indsätter disse tal i renteformlen: = (1+0,058) n Nspire lñser denne ligning mht. n og får n = 12, Efter.13 År. er belñbet vokset til ca kr. 38e. BelÇbet på kontoen vokser eksponentielt Hvis vi sätter kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8%, så fñlger af renteformlen at kapitalen K efter n År er K = ,058 n Denne sammenhäng er eksponentiel, dvs. af typen y = b a x, vi har blot brugt K og n i stedet for y og x, så belñbet på kontoen vokser eksponentielt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

22 39. Ligning for potenssammenhäng PotenssammenhÄng 39a. En sammenhäng er en potenssammenhäng hvis den har en ligning af typen y = b x a b skal väre et positivt tal. a behñver ikke väre positiv. Vi må kun sätte positive tal ind for x. Tallet a er eksponenten i ligningen y = b x a. 40. Udregn x eller y i y = b x a i tekstopgave. 40a. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvad er vägten af et dyr hvis längde er 2,4 cm? Svar y = 1,3 x 2,6 y = 1,3 2,4 2,6 x er längden, og längden er 2,4 y = 12,6617 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 12, Et dyr hvis längde er 2,4 cm, har vägten.13 gram.. 40b. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvilken längde har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 1,3 x 2,6 5 = 1,3 x 2,6 y er vägten, og vägten er 5 Nspire lñser ligningen mht. x og får x = 1,67889 längden er x, og x er 1, ,7 Et dyr hvis vägt er 5 gram, har längden.1,7 cm PotensvÄkst. 41a. Reglen for potensväkst: Om en potenssammenhäng y = b x a gälder for et positivt tal k: NÅr x bliver ganget med k, så bliver y ganget med k a. 41b. Eksempel y = 1,2 x 0,7 NÅr x ganges med 1,25, så ganges y med 1,25 0,7 = 1,17. NÅr x ganges med 2, så ganges y med 2 0,7 = 1,62. 1,25 1,25 2 x : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60 y : 1,32 1,54 1,80 3,06 4,96 1,25 0,7 1,25 0,7 2 0,7 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

23 42. Bestem procentändring for potenssammenhäng. Opgave Et dyr vokser sådan at y = 2,7 x 1,6 hvor y er vägten i gram, og x er längden i cm. NÅr längden er blevet 40 % stñrre, hvor mange procent stñrre er vägten så blevet? Svar At x bliver 40 % stñrre, er det samme som at x bliver ganget med 1,40. ( 100 % + 40 % = 140 % = 140:100 = 1,40 ) NÅr x bliver ganget med 1,40, så bliver y ganget med 1,40 1,6 = 1, ,71 ifälge reglen om potensvåkst (ramme 42) At y bliver ganget med 1,71, er det samme som at y bliver 71 % stñrre. ( 100% 1,71 = 171%. 171 % 100 % = 71 % ) NÅr längden er blevet 40 % stñrre, er vägten blevet 71 % stñrre. 43. Graf for potenssammenhäng. For en potenssammenhäng y = b x a gälder: Hvis en potenssammenhäng er aftagende (dvs. eksponenten a er negativ), så ligner grafen p. Hvis en potenssammenhäng er voksende (dvs. eksponenten a er positiv), så ligner grafen m eller n. Hvis eksponenten a er 1, så er grafen dog en ret linje og ligner derfor ikke m eller n. m n p 44. Udregn a og b i y = b x a ud fra to oplysninger. Opgave Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for sammenhängen y = b x a. Bestem a og b. Svar NÅr vi indsätter 4 og 16 for x i y = b x a, så skal vi få 6 og 12, dvs. 6 = b 4 a og 12 = b 16 a Nspire lñser dette ligningssystem mht. a og b og får.a = 0,5 og b = Potensregression. 45 a. Opgave De målte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenhängen mellem alder og längde. Alder i dñgn LÄngde i mm SammenhÄngen kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen hvor y er längde (målt i mm), og x er alder (målt i dñgn). Bestem a og b. y b x a GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

24 Svar PÅ Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Brugsanvisning Del siden op i to. VÄlg Lister og Regneark i hñjre vindue. NÅr du har tastet tabellen, så flyt markñr til tomt felt. VÄlg i värktñjsmenu: Statistik / Statistiske beregninger / Potensregression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder sådan: Skal väre samme navn. I et matematikfelt i notevinduet taster vi f(x) (hvis vi har tastet f her ). Tryk på enter for at få resultatet. Skal välges. IKKE tastes. 45 b. Hvis potensfunktionen er aftagende, skriver Nspire en brñk: Dette skal du selv skrive om til formen a b x. Husk at tilfçje et minus foran eksponenten: 46. Proportionale variable. 46a. Om to variable x og y siger vi at y er proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 46b. Opgave De to variable x og y er proportionale. Tabellen viser nogle sammenhñrende värdier af x og y. Hvad er y når x er 10? Hvad er x når y er 15? Svar Udregne k : Da x og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k x. I tabellen ser vi at når x = 24 er y = 18. Dette indsätter vi i (1): 18 = k 24 Denne ligning lñser vi mht. k og får 0,75 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y = 0,75 x Udregne y : For at finde y når x er 10, sätter vi x til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7,5 så y er 7,5 når x er 10 Udregne x : For at finde x når y er 15, sätter vi y til 15 i (2): 15 = 0,75 x Vi lñser denne ligning mht. x og får 20 = x så x er 20 når y er 15 x y I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 24 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 0,75 eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

25 47. Omvendt proportionale variable. 47a. Om to variable x og y siger vi at y er omvendt proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 47b. Opgave De to variable x og y er omvendt proportionale. Hvad skal der stå på de tomme pladser i tabellen? Svar Udregne k : Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k så (1) y k. x I tabellen ser vi at når x =12 er y = 6. Dette indsätter vi i (1): y k 12 Vi lñser denne ligning mht. k og får 72 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y 72 x Udregne y : For at finde y når x er 36, sätter vi x til 36 i (2): y Heraf får vi y = 2 så y er.2. når x er 36 Udregne x : For at finde x når y er 9, sätter vi y til 9 i (2): 72 9 x Vi lñser denne ligning mht. x og får x = 8 så x er.8. når y er Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale. Opgave PÅ en skärm er et rektangel som vi kan Ändre ved at träkke med musen. HÑjde og bredde er omvendt proportionale. HÑjden er 2,5 når bredden er 8. Hvad er hñjden når bredden er 3,2? Svar Vi kalder hñjden for h og bredden for b. Udregne k : Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k så h k b Da h 2, 5 når b 8 må 2,5 k 8 Vi ganger begge sider med 8 og får k 20, dvs. (1) h 20 b Udregne h : Vi sätter b 3, 2 i (1): h 20 3,2 Heraf får vi h 6, 25 så hñjden er.6,25. når bredden er 3,2. x I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. Vi kan lése ligningen ved at gange begge sider med 12 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved férst at gange begge sider med x og derefter at dividere begge sider med 9, eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

26 Beviser 49. Nogle regler om potenser Regler 49a. a r a s = a r+s 49b. (a b) r = a r b r 49c. a 0 = 1 49d. a 1 = a Eksempler 49e. 5 4 x+1 = 5 4 x 4 1 = 5 4 x 4 = 20 4 x 49f. (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 49g. 7 x 0 = 7 1 = Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortäller. SÄtning For en lineär sammenhäng y ax b gälder: Bevis for 50a 50a. NÅr vi lägger 1 til x, så lägges a til y. 50b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 a x+b : a t+b a (t+1)+b = a t+a 1 + b Vi ganger a ind i parentes. = a t+a + b a gange 1 er a. FÑrste x kalder vi t. Andet x er 1 stñrre. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i a x+b og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i a x+b = a t+b + a Dette er fñrste y plus a, så 50a er bevist! Bevis for 50b Om y ax b gälder: NÅr x=0 er y = a 0+b = 0+b = b, så 50b er bevist! 51. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortäller. SÄtning Bevis for 51a Bevis for 51b For en eksponentiel sammenhäng y b a gälder: 51a. NÅr vi lägger 1 til x, så ganges y med a. 51b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 b a x : b a t b a t+1 Om x = b a t a 1 IfÑlge potensreglen a r+s = a r a s. = b a t a IfÑlge potensreglen a 1 = a. x FÑrste x kalder vi t. Andet x er 1 stñrre. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i b a x og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i b a x Dette er fñrste y gange a, så 51a er bevist! y b a gälder: NÅr x=0 er y = b a 0 = b 1 = b, så 51b er bevist! 52. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Bevis Om en potenssammenhäng a y b x gälder for et positivt tal k: 51a. NÅr x bliver ganget med k, så ganges y med k a. k x : t t k b x a : b t a b (t k) a FÑrste x kalder vi t. Andet x er k gange fñrste. FÑrste y får vi ved at indsätte t for x i b x a og andet y får vi ved at indsätte t k for x i b x a. = b t a k a IfÑlge potensreglen (a b) r = a r b r. Dette er fñrste y gange k a, så 51a er bevist! GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx Karsten Juul

27

28 A a fortäller, eksponentiel...13, 14 a fortäller, lineär...5, 6 a ud fra b og et punkt, lineär...8 a ud fra to oplysninger, eksponentiel...16 a ud fra to oplysninger, lineär...8 a ud fra to punkter, lineär...8 a ud fra to punkter, potenssammenhäng...21 B b fortäller, eksponentiel...13, 14 b fortäller, lineär...5, 6 b ud fra a og et punkt, lineär...8 b ud fra to oplysninger, eksponentiel...16 b ud fra to oplysninger, lineär...8 b ud fra to punkter, potenssammenhäng...21 bestem x...5, 15, 20 bestem y...4, 15, 20 bevis...24 billigst...9 E eksponentiel graf...15 eksponentiel regression...16 eksponentiel sammenhäng...12 eksponentiel väkst...13, 24 eksponentiel, a fortäller...13, 14 eksponentiel, a ud fra to oplysninger...16 eksponentiel, b fortäller...13, 14 eksponentiel, b ud fra to oplysninger...16 eksponentiel, bestem ligning...13, 16 F fordoblingskonstant...17, 18 fordoblingskonstant, afläs...17 fordoblingskonstant, udregn...18 G graf...4, 5, 7, 15, 21 graf, afläs...15 graf, eksponentiel sammenhäng...15 graf, lineär sammenhäng...4 graf, potenssammenhäng...21 H halveringskonstant...17, 18 halveringskonstant, afläs...17 halveringskonstant, udregn...18 L ligevägt, regler...1 ligning for eksponentiel sammenhäng...12, 13, 16 ligning for lineär sammenhäng...3, 6, 7, 8 ligning for potenssammenhäng...20 ligning ud fra lineär graf... 7 ligning ud fra to punkter, potenssammenhäng lineär graf ud fra ligning... 7 lineär regression... 9 lineär sammenhäng, graf... 4 lineär sammenhäng, ligning... 3 lineär väkst... 5, 24 lineär, a fortäller... 5, 6 lineär, a ud fra b og et punkt... 8 lineär, b fortäller... 5, 6 lineär, b ud fra a og et punkt... 8 lineär, bestem ligning... 6, 7, 8 lineär, lñse ligning... 1, 2 lñse ligning... 1, 2 M mindst af to... 9 O omvendt proportional P potens, a ud fra to punkter potensregler potensregression potenssammenhäng... 20, 21 potenssammenhäng, graf potenssammenhäng, ligning potenssammenhäng, procentändring... 20, 21, 24 potensväkst... 20, 24 procent... 11, 12, 13, 21 procentändring procentändring, potenssammenhäng... 20, 21 proportional R regression regression, eksponentiel regression, lineär... 9 regression, potens regression, Årstal renteformlen S skäringspunkt... 8 stñrst af to... 9 V väkstrate X x-koordinat, udregn... 5 Y y-koordinat, udregn... 4

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Laila Knudsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb 1

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Maj-juni 2015 VUCHA Hf-2 Matematik-C Ivan Jørgensen(itj) Hold

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Laila Knudsen 1a ma Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac15e2 0814 ma

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac15e2 0814 ma Undervisningsbeskrivelse for: 1mac15e2 0814 ma Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: Matematik C for enkeltfag Termin: Juni 2015 Uddannelse: HF Lærer(e): Jacob

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Elisabeth

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 & maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution VUC Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2-årigt hf Hf matematik C Hanne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution VUC SYD, afd. Haderslev Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf 2-årig Matematik

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Jun 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016, skoleåret (15/) 16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC HF-E

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2

1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis,

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Januar 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik C Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Mat C Trine Eliasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Skive-Viborg HF&VUC Hf enkeltfag Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere