Placering af trykmåler til bølgemåling. Wave Dragon, Nissum Bredning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Placering af trykmåler til bølgemåling. Wave Dragon, Nissum Bredning"

Transkript

1 Placering af trykmåler til bølgemåling Wave Dragon, Nissum Bredning z x y Morten Kramer & Jens Peter Kofoed August, 2004

2

3 DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING AALBORG UNIVERSITY SOHNGAARDSHOLMSVEJ 57 DK-9000 AALBORG DENMARK TELEPHONE TELEFAX Hydraulics and Coastal Engineering No. 6 ISSN: Placering af trykmåler til bølgemåling Wave Dragon, Nissum Bredning Morten Kramer & Jens Peter Kofoed

4

5 Indholdsfortegnelse Wave Dragon - Placering af trykmåler til bølgemåling Indledning Anvendt teori Detaljerede data Normering af variable Elementantal i de numeriske modeller Resultater Indvirkning af punktets placering Indvirkning af bølgeretning Indvirkning af pælen kontra nedre fundamentskasse Indvirkning af vanddybden Korrektion af transfer funktion Konklusion... 5 Appendix A: Bølgelængder til transfer funktion... 6 Appendix B: Tabeller med forstærkningsfaktorer... 7 Appendix C: Tabeller med korrigeret transfer funktion

6 6

7 Indledning Til opmåling af bølger ved Wave Dragon, Nissum Bredning anvendes en trykmåler. Trykmåleren har hidtil været monteret på pælen over fundamentet, som angivet ved punkt vist på figur. Hidtil er målingerne ved denne placering antaget upåvirket af tilstædeværelsen af pælen og fundamentet i bølgebilledet. Indflydelsen af pælen og det underliggende fundament påvirker dog imidlertid trykmålingerne - men i hvor stor grad? Dette skrift har til formål at belyse dette spørgsmål. Da trykmåleren står over for udskiftning, er alternative placeringer af trykmåleren undersøgt, se punkt - vist på figur. Punkt, og ligger på samme vanddybde som den opringdelige placering (punkt ), men har større afstand til pælen. Punkt ligger på større vanddybde, m over fundamentets overkant, m foran fundamentet. Punkt er placeret på samme vanddybde som fundamentets overkant 2 m foran fundamentskassen. Punkt, og er alle referencepunkter som er benyttet til at kontrollere beregningerne. Disse 3 punkter er placeret på vanddybder svarende til placeringen af de øvrige punkter, men den horisontale afstand til fundamentet er tilstrækkelig stor til at fundamentet ikke påvirker bølgebilledet. Alle målepunkter er placeret opstrøms bølgeretningen. Figur. Fundamentsgeometri med placering af de 9 undersøgte punkter markeret med -. 7

8 2 Anvendt teori Potentialteoretiske beregninger vil med rimelig nøjagtighed kunne belyse problemstillingen. Der anvendes en numerisk potentialteoretisk metode, hvor strømningsfeltet løses korrekt i 3D. Metoden benytter den såkaldte kilde/dræn-teknik, hvorved potentialet kan beregnes i vilkårlige punkter ud fra beregnede kildestyrker. For yderligere information vedr. potentialteori og kilde/dræn-teknik henvises til gængs standard litteratur inden for bølgehydraulikken. Der benyttes. ordens teori hvor Laplace-ligningen løses korrekt til middelvandspejlet. Trykvariationer i et punkt kan f.eks. herved beskrives ved en cosinus-bevægelse. 3 Detaljerede data Der regnes i et koordinatsystem med horisontale akser X,Y og den vertikal akse Z regnet positiv opad med nulpunkt ved vandspejlet. X regnes positiv mod venstre i figur og placeres med nulpunkt i pælens centrum. Y regnes ud af planen i figur med nulpunkt i pælens centrum. Vanddybden h kan variere afhængigt af vejrforholdende. Der gennemregnes 6 modeller svarende til vanddybder mellem h=5.00m og h=6.m, se tabel. Tabel. Placering af punkter. Mål i meter. h angiver vanddybden. Punkt nummer X Y Z (h=5.00) Z (h=5.22) Z (h=5.44) Z (h=5.67) Z (h=5.89) Z (h=6.) Bølgeretningen kan variere i et bredt interval. Da pælen inklusive fundamentet er cirkulært, forventes indflydelsen af bølgeretningen ikke ret stor. For at bekræfte denne forventning er beregningerne på 5.00 m vanddybde gennemført for 3 bølgeretninger: θ = 0 (som angivet på figur ), θ = 20 og θ = 40. Beregningerne gennemføres for regelmæssige bølger med perioder mellem T=.50 s og T=4.50 s, svarende til hidtil anvendte perioder. Herudover er beregningerne gennemført for en meget lang bølge med T=00 s. For den meget lange bølge vil pælens tilstedeværelse ikke forstyrre bølgebilledet, hvorved resulaterne for denne periode er velegnet til at kontrollere beregningerne. Tabel 2. Undersøgte bølger. Bølgelængden er angivet for vanddybden h=5.00 m. T Frekvens f Bølgelængde L

9 4 Normering af variable Potentialet i et uforstyrret bølgefelt for en regelmæssig bølge kan beskrives: gh cosh k( z + h ) ϕi = sin( kx ωt ) 2ω cosh kh Hvor g H ω k h t x : Tyngdeaccelerationen : Bølgehøjden : Cirkulær bølgefrekvens : Bølgetallet : Vanddybden : Tidspunkt : Sted En konstruktion placeret i bølgefeltet vil imidlertid forstyrre dette bølgefelt, således det samlede potentiale kan skrives som en sum af ϕ i og det spredte potentiale ϕ s, herved: ϕ = ϕ + ϕ samlet i s Normeres ϕ samlet med ϕ i forsvinder indvirkningen af f.eks. bølgehøjde og tyngdeaccelerationen, hvorved denne forstærkningsfaktor kan skrives: Forstærkning = ( ϕ + ϕ ) ϕ i s / i Denne forstærkningsfaktor har værdien såfremt konstruktionen ikke påvirker bølgebilledet. Dette er tilfældet for lange bølger uanset hvilket punkt der betragtes, samt for punkter langt fra konstruktionen. Forstærkningsfaktoren er ens for potentiale og tryk (p + ). 5 Elementantal i de numeriske modeller Den numeriske beregningsnøjagtighed afhænger af elementantallet. Der er udført kontrolberegninger for konstruktionen placeret på 5 meters vanddybde. Det vides fra tidligere beregningsmodeller med lignende udformninger, at nogle få hundrede elementer er tilstrækkeligt til at opnå god præcision. Formålet var derfor at verificere, om der kunne opnås tilstrækkeligt præcise resultater med en model med cirka 500 elementer. 2 modeller med forskelligt elementantal blev undersøgt. Én model med 585 elementer og én model med 922 elementer. Forstærkningsfaktorerne beregnet i punkterne P, P4, P5 & P6 er sammenlignet i figur 2. Det fremgår af figur 2, at kurverne og punkterne markeret med "x" er sammenfaldende. Modellen med 585 elementer har således et tilstrækkeligt elementantal til at opnå ønsket præcision. Det vurderes, at en inddeling med cirka 500 elementer er tilstrækkeligt også for de øvrige modeller. 9

10 .5 5m water depth..05 P (N EL =585) P (N EL =922) P4 (N EL =585) P4 (N EL =922) P5 (N EL =585) P5 (N EL =922) P6 (N EL =585) P6 (N EL =922) Figur 2. Konvergensanalyse. 6 Resultater 6. Indvirkning af punktets placering Af graferne i figur 3 fremgår som forklaret i kapitel 4 "normering af variable", at samtlige forstærkningsfaktorer går mod for frekvenser gående mod nul. Dvs. pælens indflydelse på forstærkningsfaktoren er minimal i lange bølger. Desuden fremgår, at forstærkningsfaktorerne for punkt 7, 8 og 9 er uanset bølgefrekvensen. Dette betyder, at pælen ikke har indvirkning på bølgebilledet langt fra fundamentet. Kurverne for punkt, 2, 3 og 4 følger omtrent samme forløb. Sammenlignes kurverne for de 4 punkter nøjere ses, at punkt generelt har de største forstærkningsfaktorer og punkt 4 de mindste forstærkningsfaktorer. Dette betyder, at jo større afstand til pælen, des mindre hydrodynamisk indvirkning. Forløbet af kurverne for punkt 4 og 5 er omtrent ens, men kurverne for punkt 5 ligger generelt nederst med de laveste forstærkningsfaktorer. Kurverne for punkt 6 adskiller sig fra de andre ved en ekstra top ved frekvensen 0.4. Af tabel 2 fremgår, at dette svarer til en bølge med længden 0m. Denne bølge er således dobbelt så lang som diameteren af fundamentet, hvilket kan forklare dette fænomen. 0

11 .5 5m water depth, head on waves m water depth, head on waves..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P m water depth, head on waves m water depth, head on waves..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P m water depth, head on waves.5 6.m water depth, head on waves..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9..05 P P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Figur 3. Indvirkning af punktets placering.

12 6.2 Indvirkning af bølgeretning Af figur 4 fremgår, at bølgeretningen har minimal indvirkning på resultaterne for punkt, 4 og 5. Betydningen er derimod væsentlig for punkt 6 i tilfælde af bølgeretningen m water depth..05 P (θ = 0 ) P (θ = 20 ) P (θ = 40 ) P4 (θ = 0 ) P4 (θ = 20 ) P4 (θ = 40 ) P5 (θ = 0 ) P5 (θ = 20 ) P5 (θ = 40 ) P6 (θ = 0 ) P6 (θ = 20 ) P6 (θ = 40 ) Figur 4. Indvirkning af bølgeretning. 6.3 Indvirkning af pælen kontra nedre fundamentskasse Betragtes de geometriske størrelser af den øvre pæl og nedre fundamentskasse (f.eks. vist på forsidebilledet og figur ) fremgår, at den nedre fundamentskasse har en væsentligt større volumen end den øvre del af pælen. Det er derfor undersøgt, hvor stor indflydelse den nedre del at fundamentskassen (med diameteren på 5m) har på resultaterne. Der er derfor kørt en ekstra numerisk model udelukkende med den nedre del af fundamentskassen. Resultaterne for denne model er angivet ved "without pile" i figur 5. Af figur 5 fremgår, at krydserne omtrent ligger på kurverne. Dvs. resultaterne for modellen med hele fundamentet og resultaterne for modellen udelukkende for den nedre fundamentskasse er ens. Det kan herudfra konkluderes, at det stort set udelukkende er den nedre fundamentskasse som giver anledning til ændringer i bølgebilledet..5 5m water depth..05 P (with pile) P (without pile) P4 (with pile) P4 (without pile) P5 (with pile) P5 (without pile) P6 (with pile) P6 (without pile) Figur 5. Indvirkning af pælen kontra nedre fundamentskasse. 2

13 6.4 Indvirkning af vanddybden Samme resultater som vist i figur 3 er efterfølgende præsenteret i figur 6, blot er kurverne nu opstillet punktvis, således indvirkning af vanddybden nu fremgår tydeligere..5 Point.5 Point Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m..05 Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m.5 Point 3.5 Point Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m..05 Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m.5 Point 5.5 Point Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m..05 Water depth 5.00m Water depth 5.22m Water depth 5.44m Water depth 5.67m Water depth 5.89m Water depth 6.m Figur 6. Indvirkning af vanddybden. 3

14 Af figur 6 fremgår, at større vanddybder så at sige flader kurverne ud. Herved menes, at topperne på kurverne bliver lavere mens dalene bliver højere. Større vanddybde giver således mindre maksimale forstærkningsfaktorer, hvilket var forventeligt. 7 Korrektion af transfer funktion p + for en regelmæssig bølge beregnes ud fra: + H cosh k( z + h ) p = ρg cos( ωt kx ) 2 cosh kh Hvor ρ : Densiteten g : Tyngdeaccelerationen H : Bølgehøjden k : Bølgetallet, k = 2π/L (L er bølgelængden) h : Vanddybden z : Position under vandspejlet (negativ) ω : Cirkulær bølgefrekvens t : Tidspunkt x : Sted Divideres p + H med overfladeelevationen η = cos( ωt kx ) 2 for overfladeelevation til p + : cosh k( z + h ) Transfer funktion = ρ g cosh kh fås følgende transfer funktion p+ måles ved Wave Dragon direkte i meter vandsøjle, således ρg kan udelades: cosh k( z + h ) Transfer funktion (Wave Dragon) = cosh kh Denne funktion er angivet i tabel 3. For at beregne transfer funktionen skal bølgelængden beregnes. Bølgelængden er angivet i appendix A. Tabel 3. Transfer funktion uden korrektion for fundamentets indvirkning. Grå skravering angiver det observerede bølgeklima. P + = K η, K er transferfunktionen Transfer funktionen kan korrigeres direkte ved at multiplicere med de beregnede forstærkningsfaktorer. Forstærkningsfaktorerne er angivet på tabelform i appendiks B og de korrigerede transfer funktioner som tager hensyn til fundamentets tilstedeværelse er angivet i appendix C. 4

15 8 Konklusion Fundamentets indvirkning på trykvariationerne i punkter tæt på fundamentet er undersøgt numerisk med det formål, at give en beskrivelse af fundamentets indvirkning på in situ trykmålinger. Resultaterne kan fremover direkte indarbejdes, således in situ trykmålinger kan korrigeres for fundamentets tilstedeværelse. Når den endelige position af trykmåleren er fastlagt, vælges den tilsvarende korrigerede transfer funktion angivet i appendix C. Følgende resultater er fundet. Ses bort for de meget lange bølger er forstærkningen generelt størst for lange bølger og mindst for de korte bølger. Der er fundet maksimale forstærkningsfaktorer på cirka., svarende til trykforøgelser grundet fundamentets tilstedeværelse på 0%. De gennemsnitlige frekvensmidlede forstærkningsfaktorer er imidlertid kun omtrent 5%. Bølgeretningen har generelt minimal indflydelse på forstærkningsfaktorerne og er derfor ikke medtaget i korrektionsfunktionen. Vanddybden har en lille indvirkning på forstærkningen, således øget vanddybde generelt giver mindskede maksimale forstærkningsfaktorer. Ændret vanddybde giver imidlertid omtrent uændrede frekvensmidlede forstærkningsfaktorer. 5

16 Appendix A: Bølgelængder til transfer funktion Grå skravering angiver det observerede bølgeklima. Eksempel på aflæsning i tabellen: En bølge med perioden.50 s har på vanddybden 5.00 m en bølgelængde på 3.52 m

17 Appendix B: Tabeller med forstærkningsfaktorer Grå skravering angiver det observerede bølgeklima. ϕ punkt = F ϕ i, F er forstærkningsfaktoren, ϕ i er det uforstyrede potentiale. Punkt Punkt Punkt

18 Punkt Punkt Punkt

19 Appendix C: Tabeller med korrigeret transfer funktion Grå skravering angiver det observerede bølgeklima. P + = K η, K er transferfunktionen. Punkt Punkt Punkt

20 Punkt Punkt Punkt

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge

Læs mere

Aalborg Universitet. Matemekanik & Wave Star Hartvig, Peres Akrawi. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF

Aalborg Universitet. Matemekanik & Wave Star Hartvig, Peres Akrawi. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF Aalborg Universitet Matemekanik & Wave Star Hartvig, Peres Akrawi Publication date: 2011 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation for published version

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Teori om lysberegning

Teori om lysberegning Indhold Teori om lysberegning... 1 Afstandsreglen (lysudbredelse)... 2 Lysfordelingskurve... 4 Lyspunktberegning... 5 Forskellige typer belysningsstyrke... 10 Beregning af belysningsstyrken fra flere lyskilder...

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Egenkontrol/test af sikkerheden for stinkskabe. August 2016

Egenkontrol/test af sikkerheden for stinkskabe. August 2016 Egenkontrol/test af sikkerheden for stinkskabe August 2016 Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 2 2 Målinger... 2 2.1 Anvendelse af måleudstyr og type... 2 2.2 Målinger af lufthastigheder omkring stinkskab...

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Aalborg Universitet. Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Brorsen, Michael; Frigaard, Peter Bak. Publication date: 2004

Aalborg Universitet. Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Brorsen, Michael; Frigaard, Peter Bak. Publication date: 2004 Aalborg Universitet Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Brorsen, Michael; Frigaard, Peter Bak Publication date: 4 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Aalborg Universitet. Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Frigaard, Peter Bak; Brorsen, Michael. Publication date: 2004

Aalborg Universitet. Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Frigaard, Peter Bak; Brorsen, Michael. Publication date: 2004 Aalborg Universitet Wave Star Kramer, Morten Mejlhede; Frigaard, Peter Bak; Brorsen, Michael Publication date: 2004 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Naturvidenskabeligt grundforløb

Naturvidenskabeligt grundforløb Før besøget i Tivoli De fysiologiske virkninger af g-kræfter. Spørgsmål der skal besvares: Hvorfor er blodtrykket større i fødderne større end blodtrykket i hovedet? Hvorfor øges pulsen, når man rejser

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Rekvirent. Silkeborg Kommune Teknik- og Miljøafdelingen att. Åge Ebbesen Søvej Silkeborg. Telefon

Rekvirent. Silkeborg Kommune Teknik- og Miljøafdelingen att. Åge Ebbesen Søvej Silkeborg. Telefon SILKEBORG KOMMUNE 2011 NOTAT NR. 2011-2 RESULTATER AF OPMÅLING AF GUDENÅEN I 2011 PÅ STRÆK- NINGEN MELLEM SILKEBORG OG TANGE SØ. ANALYSE AF UDVIK- LINGEN AF FYSISK TILSTAND OG VANDFØRINGSEVNE VED SAM-

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Wave Star. Skala 1:40 modelforsøg, forsøgsrapport 2. Afsluttende rapport under PSO2004-projektet FU4301

Wave Star. Skala 1:40 modelforsøg, forsøgsrapport 2. Afsluttende rapport under PSO2004-projektet FU4301 Wave Star Skala 1:4 modelforsøg, forsøgsrapport 2 Afsluttende rapport under PSO24-projektet FU431 Morten Kramer og Thomas Lykke Andersen Januar, 25 DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING AALBORG UNIVERSITY SOHNGAARDSHOLMSVEJ

Læs mere

Rapport. Lemvig Biogas A.m.b.A. Kortlægning af lugtspredning. Bilag B. Februar Lars Kristensen Pillevej Lemvig. 24.

Rapport. Lemvig Biogas A.m.b.A. Kortlægning af lugtspredning. Bilag B. Februar Lars Kristensen Pillevej Lemvig. 24. Bilag B Sagsnr. 222824B-151-122/Rev.1 Rapport Lemvig Biogas A.m.b.A. Kortlægning af lugtspredning Februar 2015 Rekvirent: Lemvig Biogas A.m.b.A. Lars Kristensen Pillevej 12 7620 Lemvig Dato: Udført af:

Læs mere

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Trafikudvalget TRU alm. del - Svar på Spørgsmål 566 Offentligt

Trafikudvalget TRU alm. del - Svar på Spørgsmål 566 Offentligt Trafikudvalget TRU alm. del - Svar på Spørgsmål 566 Offentligt Udkast MINISTEREN Folketingets Trafikudvalg Christiansborg 1240 København K Dato 25. marts 2009 Dok.id J. nr. 004-U18-920 Frederiksholms Kanal

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

DREAM s livsforløbsmodel - Model og algoritme

DREAM s livsforløbsmodel - Model og algoritme DREAM s livsforløbsmodel - Model og algoritme Peter Stephensen, DREAM 9. September 2009, version.0 Indledning DREAM har påbegyndt et forskningsprojekt finansieret af EPRN-netværkert med titlen Livsforløbsanalyse

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger Numerisk løsning af differentialligninger Begyndelsesværdiproblemet Vi vil se på løsning af begyndelsesværdiproblemet: dx( t) x ( t) f ( x, t) dt x ( t ) 0 x0 hvor vi vil foretage numerisk integration

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

MÅLING AF MELLEMATOMARE AFSTANDE I FASTE STOFFER

MÅLING AF MELLEMATOMARE AFSTANDE I FASTE STOFFER MÅLING AF MELLEMATOMARE AFSTANDE I FASTE STOFFER Om diffraktion Teknikken som bruges til at måle precise mellematomare afstande i faste stoffer kaldes Røntgendiffraktion. 1 Diffraktion er fænomenet hvor

Læs mere

Hævning af Ll. Torup gaslagerets arbejdsvolumen gennem sænkning af kavernernes minimumstryk

Hævning af Ll. Torup gaslagerets arbejdsvolumen gennem sænkning af kavernernes minimumstryk Hævning af Ll. Torup gaslagerets arbejdsvolumen gennem sænkning af kavernernes minimumstryk Jørgen Ivert Johansen Teknisk koordinator Energinet.dk Gaslager A/S, Ll. Torup Gaslagerets placering i transmissionsnettet

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Mundtlig eksamen i fysik C, prøveform a) med 24 timers forberedelse

Mundtlig eksamen i fysik C, prøveform a) med 24 timers forberedelse Fysik C eksamen side 1/5 Steen Toft Jørgensen Mundtlig eksamen i fysik C, prøveform a) med 24 timers forberedelse Holdet 1v fy 2009/2010 skal til evt. eksamen i fysik i prøveform (a). Nedenstående er udklip

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram

Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Kom-i-gang vejledning opmålingsprogram Billedprislisten Udarbejdet af EG Byg & Installation den 12. marts 2010 Opdateret den 18. februar 2011 Indholdsfortegnelse 1 Gulve... 3 1.1 Opmåling af gulvflade...

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl

Læs mere

April 2016. Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder. Indhold

April 2016. Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder. Indhold April 2016 Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder Indhold Opsummering...2 Metode...2 Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder...3 Ansættelse af studerende... 10 Tilskudsordninger... 11

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Elevforsøg i 10. klasse Lyd

Elevforsøg i 10. klasse Lyd Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere