Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære
|
|
- Frans Kvist
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/32
2 Lidt om kurset Hjemmeside for kurset: Hjemmesiden vil blive opdateret løbende med kursusmateriale primært slides og links til online-materiale. Kurset udgør emnemæssigt/historisk en fortsættelse af kurset Matematik: Videnskaben om det uendelige 1. I nærværende kursus er der fokus på udviklingen af den moderne matematik i det 20. århundrede: formelle systemer, moderne mængdelære, Hilberts matematikfilosofi, Gödels ufuldstændighedssætninger, beregnelighedsbegrebet, matematikkens urimelige effektivitet i fysikken m.m. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 2/32
3 Underviserne Thomas Bolander Klaus Frovin Jørgensen Stig Andur Pedersen Lektor, ph.d. Lektor, ph.d. Professor Datalogi på DTU Filosofi på RUC Filosofi på RUC Vi deler alle en tværfaglig interesse i logik og matematikkens historie, filosofi og grundlag. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 3/32
4 Lidt om mig selv Thomas Bolander, lektor ved DTU Informatik, Danmarks Tekniske Universitet (siden 2007). Studieleder for Matematik ved Folkeuniversitetet i København. Forskningsområder: logik og kunstig intelligens. Aktuelt: Forskning i hvordan man giver kunstig intelligens-systemer (robotter o.lign.) sociale kompetencer i kraft af evnen til at sætte sig i andres sted. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 4/32
5 Opvarmningsspørgsmål: Hvad er matematik? På hvilke måder adskiller matematik sig fra andre videnskaber? Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 5/32
6 Matematikkens absolutte sikkerhed Matematikken har alle dage brøstet sig af at skaffe absolut sikkerhed for sine påstande igennem matematiske beviser. Eksempel. Euklids Elementer om geometri fra det 3. århundrede f.kr. har været benyttet som lærebog og reference-værk helt op til det 20. århundrede og opfattes stadig i dag som fuldstændigt fejlfri. Ikke mange bøger med 2000 år på bagen opfattes stadig i dag som perfekte og fejlfri. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 6/32
7 Den aksiomatiske metode Euklids Elementer benytter den aksiomatiske metode. Denne metode er formodentlig er den græske antiks vigtigste bidrag til matematikkens grundlag. Ideen er følgende: Der er et antal basale matematiske sandheder som kaldes aksiomer, udfra hvilke andre sandheder kan udledes i et endeligt antal skridt. Det kan kræve stor snilde at opdage et bevis, men der bør være muligt at tjekke rent mekanisk, skridt for skridt, hvorvidt et påstået bevis er korrekt (moderne formulering). På denne vis er det muligt at verificere beviser, og dermed garantere korrektheden af deres konklusioner (givet de valgte aksiomer). Altså den absolutte sikkerhed. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 7/32
8 Aksiomerne fra Euklids Elementer Euklids aksiomer. Alle de matematiske sætninger i Euklids Elementer er udledt af blot disse 5 aksiomer (postulater). Aksiomerne opfattes som åbenlyse sandheder. Aksiomerne er taget fra Thyre Eibes danske oversættelse af Elementer fra Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 8/32
9 Trussel mod den absolutte sikkerhed Omkring 1900 begyndte tilliden til matematikkens absolutte sikkerhed at vakle. Det skete da der blev opdaget paradokser i mængdelæren. Mængdelære er den del af matematikken der omhandler mængder. Eksempler på mængder. {1, 2, 3} {0, 2, 4, 6, 8, 10} {0, 2, 4, 6, 8, 10,... } {0, , π, 1 e π, {0, 2, 4, 6,... },,, } Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 9/32
10 Det naive mængdebegreb Intuitivt kan en mængde bestå af vilkårlige matematiske objekter: tal, funktioner, geometriske objekter, ligninger, andre mængder osv. Intuitivt er en mængde således bare en slags matematisk rodekasse, som vi kan putte hvad vi nu har lyst til ned i, for at holde samling på det. {π, e} {2, 3, 5, 7, 11} 10 Dette afspejles i mængdebegrebet som formuleret af mængdelærens fader, Georg Cantor, i 1895: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 10/32
11 Paradokser Desværre viser Cantors mængdebegreb sig at lede til alvorlige problemer for matematikken. Det leder til paradokser. Paradoks: Et tilsyneladende korrekt ræssonement der, baseret på tilsyneladende korrekte antagelser, leder til en modstrid. Det mest berømte af mængdelærens paradokser er Russells paradoks... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 11/32
12 Russells paradoks Russells paradoks (1901). Mængden U af alle mængder er et eksempel på en mængde som indeholder sig selv (altså U U). Mængden N af naturlige tal er derimod et eksempel på en mængde som ikke indeholder sig selv (altså N N). Betragt nu mængden R af alle mængder som ikke indeholder sig selv, det vil sige, lad R = {x x x}. Spørgsmålet er nu: indeholder R sig selv eller ej? Antag først at R indeholder sig selv. Da må den per definition af R være en af de mængder som ikke indeholder sig selv, hvilket er en modstrid. Antag modsat at R ikke indeholder sig selv. Da opfylder den R s definition og må derfor være element i R. Konklusionen er så at R er element i R, hvilket igen er en modstrid. Uafhængigt af vores antagelse omkring R ledes vi altså frem til en modstrid. Denne modstrid kaldes Russells paradoks. I matematisk notation: R R R {x x x} R R. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 12/32
13 Barberens paradoks Russell giver selv følgende analogi til sit paradoks: Forestil dig en landsby med en enkel barber. Det er her naturligt at forestille sig at barberen er den som barberer alle som ikke barberer sig selv. Spørgsmålet er nu: barberer barberen sig selv eller ej? Hvordan kan vi undslippe dette paradoks? Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 13/32
14 Pinocchios paradoks Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 14/32
15 Konsekvenser af paradokserne Russells paradoks rystede matematikkens grundvold i starten af det 20. århundrede, fordi man ikke kunne finde nogen let måde at undslippe det på. Det er klart at man ikke kan tillade en matematik bygget på et fundament som indeholder paradokser, for så har man reelt ikke sikkerhed for noget som helst længere. Normalt vil man jo vide at hvis et udsagn er gyldigt (f.eks = 4) er det modsatte udsagn ugyldigt (f.eks ), men det bryder sammen i paradokserne (R R er gyldig hvis og kun hvis R R er det). Paradokserne leder derfor til en reel matematisk grundlagskrise i starten af det 20. århundrede, og man føler at hele matematikkens fundament er ved at brase sammen. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 15/32
16 Løsning af paradokserne Det viser sig at være ikke helt ligetil at løse paradokserne. Russell skriver i sin selvbiografi følgende om sit forsøg på at løse sit paradoks: I was trying hard to solve the contradiction mentioned above. Every morning I would sit down before a blank sheet of paper. Throughout the day, with a brief interval for lunch, I would stare at the blank sheet. Often when evening came it was still empty. Det ledende synspunkt i starten af det 20. århundrede var at grundlagskrisen skabt af Russells paradoks skulle løses ved at antage en formalistisk tilgang til matematikken: forsøge at genopbygge matematikken fra grunden ved hjælp af meget en strikt variant af den aksiomatiske metode (streng symbolmanipulation). Mere præcist: Ideen var at genopbygge matematikken indenfor et formelt system... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 16/32
17 Formelle systemer Formelle systemer er opbygget af formler, aksiomer og slutningsregler. Formlerne er tegnstrenge opbygget efter mekaniske regler. Eksempler på formler kunne være: x + 1 = 3, x + y + z = x x og x y(y > x). Aksiomerne i et formelt system er en udvalgt delmængde af formlerne (de oplagt sande formler, jvf. Euklids aksiomer). Eksempel på aksiom: = 3 + 1, eller mere generelt x + y = y + x. En slutningsregel er et princip, der på rent formel, mekanisk måde angiver, hvordan man fra en eller flere formler kan udlede en ny formel. Eksempel på slutningsregel: Udfra ϕ og ϕ ψ sluttes ψ (modus ponens). Et formelt bevis, eller blot et bevis, er en endelig sekvens af formler. Et bevis starter med et eller flere aksiomer, og enhver formel skal (hvis den ikke selv er et aksiom) fremkomme af de foregående formler i sekvensen ved brug af en slutningsregel. (Sammenlign Euklid). Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 17/32
18 Eksempel pa formelt system Et formelt system kan siges at modellere en del af verden. Som eksempel vil vi nu prøve at skabe et lille formelt system som kan modellere det lille overfyldte bord pa billedet. Eksempler pa mulige formler i systemet: pa (mandarin,lille bog) og pa (x,y) pa (y,x). Vi udvælger nu aksiomer og slutningsregler: Aksiomer: (A1) pa (mandarin,lille bog) (A2) pa (lille bog,store bog) (A3) pa (x,y) over(x,y) (A4) over(x,y) over(y,z) over(x,z) Slutningsregler: (S1) ψ udfra ϕ ψ og ϕ. (S2) ϕ ψ udfra ϕ og ψ. (S3) ϕ(k1,..., kn ) udfra ϕ(x1,..., xn ), hvor ki erne er konstanter. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 18/32
19 Eksempel på formelt bevis Følgende er et (formelt) bevis i det konstruerede formelle system: 1. på(mandarin,lille bog) aksiom (A1) 2. på(lille bog,store bog) aksiom (A2) 3. på(x,y) over(x,y) aksiom (A3) 4. på(mandarin,lille bog) over(mandarin,lille bog) regel (S3) på over(mandarin,lille bog) regel (S1) på 1.,4. 6. på(lille bog,store bog) over(lille bog,store bog) regel (S3) på over(lille bog,store bog) regel (S1) på 2.,6. 8. over(mandarin,lille bog) over(lille bog,store bog) regel (S2) på 5.,7. 9. over(x,y) over(y,z) over(x,z) aksiom (A4) 10. over(mandarin,lille bog) over(lille bog,store bog) over(mandarin,store bog) regel (S3) på over(mandarin,store bog) regel (S1) på 8.,10. som beviser at mandarinen ligger over den store bog... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 19/32
20 Formelle systemer for matematik Men nu handler matematik jo mere om tal og mængder end om mandariner og bøger... Så de formelle systemer man normalt er interesseret i indenfor matematik er formelle systemer for talteori, mængdelære, osv. Ideen er at finde et passende sæt aksiomer og slutningsregler indenfor hvilke vi kan bevise alle matematikkens sætninger på et mere solidt grundlag. Men det at forsøge at mekanisere matematikken igennem formelle systemer er ikke i sig selv nogen garanti for at vi får et mere solidt grundlag. Vi kan eksempelvis let komme i problemer hvis vi laver et formelt system indeholdende aksiomer og slutningsregler svarende til Cantors naive mængdebegreb som vi introducerede tidligere... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 20/32
21 En formalisering af den naive mængdelære Cantors naive mængdebegreb (1895) kan formuleres på følgende måde: Ethvert prædikat (enhver egenskab) bestemmer en mængde bestående at de objekter som opfylder prædikatet (egenskaben). Lidt mere formelt: Ethver prædikat P bestemmer en mængde M P for hvilken der gælder x(p(x) x M P ). Mængden M P bestemt af P betegner vi normalt {y P(y)}. Ovenstående kan derfor omskrives til: For ethvert prædikat P findes mængden {y P(y)} og der gælder x(p(x) x {y P(y)}). Det leder direkte frem til følgende aksiom som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 21/32
22 En formalisering af den naive mængdelære Betragt igen aksiomet som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Vi kan opnå et formelt system ved til dette aksiom at tilføje følgende slutningsregel: S Udfra xψ(x) sluttes ψ(t), for enhver formel ψ og ethvert mængde-udtryk t. I dette formelle system kan vi rekonstruere Russells paradoks... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 22/32
23 En formalisering af Russells paradoks Betragt igen formaliseringen af den naive mængdelære: UC ϕ(x) x {y ϕ(y)}, for alle formler ϕ (ubegrænset komprehension). S Udfra ϕ(x) sluttes ϕ(t), hvor t er et vilkårligt udtryk på formen {x x ψ} (substitution). Vi kan nu rekonstruere Russells paradoks indenfor det formelle system på følgende måde. Lad ϕ(x) være formlen x x. Da fås af UC: x x x {y y y}. Vi kan nu benytte slutningsreglen S til at substitutere x med {y y y}: {y y y} {y y y} {y y y} {y y y}. Lader vi R betegne udtrykket {y y y} reducerer dette til: R R R R. Bemærk at R netop betegner den mængde som blev introduceret i Russells paradoks! Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 23/32
24 En formalisering af Russells paradoks Den beviste formel R R R R er naturligvis en modstrid. Vi må konkludere at enten gælder både R R og R R eller også gælder ingen af dem. Førstnævnte mulighed svarer til begrebet inkonsistens i forbindelse med formelle systemer. Et formelt system kaldes inkonsistent hvis der findes en formel ϕ, så både ϕ og ikke-ϕ kan bevises. Inkonsistenser svarer til paradokser. Antag vi til vores formelle system UC+S tilføjer følgende naturlige aksiom (udelukkede tredjes princip): UTP x y x y. Vi kan nu konkludere at det formelle system UC+UTP+S er inkonsistent (paradoksfyldt). Hvordan? Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 24/32
25 Mod en ny mængdelære Konklusionen på ovenstående argument er: Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent, ikke kun i en uformel sædvanlig matematisk ramme, men også i en strengt formaliseret ramme. Formalisering er altså ikke i sig selv nok til at redde matematikken, men den gør det tydeligt hvor problemerne er. Problemet er her aksiomet UC som tillader os at definere farlige mængder såsom Russell-mængden. En mulig løsning på problemet er at begrænse aksiomet UC, så det ikke kan lede til inkonsistenser. Det kan gøres ved at relativisere aksiomet: ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Nu siger aksiomet at givet en mængde M og et prædikat P kan vi altid udtage mængden af de elementer i M som opfylder P. Det oprindelige aksiom er blevet relativiseret til M. I denne form er aksiomet blevet til et delmængdeaksiom: Vi kan udtage vilkårlige delmængder af givne mængder. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 25/32
26 Betragt igen delmængdeaksiomet: Opbygning af mængder ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Delmængdeaksiomet leder ikke i sig selv til paradokser og inkonsistens. Men det leder heller ikke i sig selv til en mængdeteori: Hvorfra skal vi få de mængder som vi skal bruge delmængdeaksiomet til at udtage delmængder af? Indtil videre har vi ingen. Vi må tilføje nogen aksiomer som vi kan opbygge mængder med. Vi kan starte helt blødt med at erklære eksistensen af en tom mængde : ZF3 x(x ) Men den tomme mængde giver jo heller ikke i sig selv så meget sjov. Vi må have fat i nogen lidt større mængder... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 26/32
27 Mere om opbygning af mængder Potensmængder: En standard-måde at opbygge en større mængde fra en mindre på. Potensmængden af en mængde M er mængden af dens delmængder, betegnet P(M). Eksempel: Hvis M = {1, 2} er P(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. Vi kan altså få opbygget en hel del mængder ved at hævde eksistensen af potensmængden af enhver mængde: ZF7 x(x P(M) x M), for enhver mængde M. Dette er potensmængdeaksiomet. Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver eksistensen af uendeligt mange forskellige mængder:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 27/32
28 Mere om opbygning af mængder Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Men alle disse mængder har hver især kun endeligt mange elementer. For at kunne generere uendelige mængder bliver vi nødt til eksplicit at hævde eksistensen af en uendelig mængde: ZF4 I ( I x I (x {x} I )) Ovenstående kaldes uendelighedsaksiomet og betegnes ofte Inf. Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF: Ovenstående aksiomer (ZF3, ZF4, ZF7, ZF8) + et par yderligere helt naturlige aksiomer + en enkelt slutningsregel (modus ponens). Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 28/32
29 Zermelo-Fraenkel mængdelære (ZF & ZFC) Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF, er et alternativ til Cantors naive mængdelære. Forskelle: Konsistens. ZF formodes at være konsistent. Ingen inkonsistenser kendt, Cantors og Russells paradokser kan ikke umiddelbart formaliseres i ZF (hvorfor ikke?). Opbygning af mængder nedefra. I ZF bygges mængder op nedefra: starter med den tomme mængde og bygger mere og mere komplekse mængder op derfra. Kompleksitet. ZF er et komplekst system af ikke-trivielle aksiomer. Den naive mængdelære kunne potentielt have klaret sig med UC + meget lidt mere. Udvalgsaksiomet kan tilføjes til ZF hvorved man får ZFC. Næste uges lektion handler netop om udvalgsaksiomet og dets konsekvenser. ZFC er i dag det tætteste vi er kommet på et alment accepteret formelt grundlag for matematikken. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 29/32
30 ZFC og den sædvanlige matematik Formalisering. Al mainstream matematik kan (øjensynligt) formaliseres i ZFC. Meget af den er allerede blevet formaliseret igennem computer-genererede eller computer-assisterede beviser. Forventning: hvis man kan bevise et matematisk resultat med sædvanlige midler, kan man også bevise det rent formelt i ZFC. Bemærk dog: der kan være ret stor forskel på det almindelige bevis og dets formaliserede sidestykke (formelle beviser er bl.a. altid ufatteligt lange). Konklusion. ZFC synes at være en passende formalisering af matematikken. MEN: Historien slutter ikke her. Ideen om ZFC som en formalisering af matematikken og det endegyldige sikre grundlag for den viser sig at have en række uventede konsekvenser. Disse vil blive afdækket lidt efter lidt i løbet af kurset... Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 30/32
31 Opsummering Cantors intuitive mængdebegreb viser sig at lede til paradokser. Et af dem er Russells paradoks. Paradokser truer matematikkens grundlag. Den foreslåede løsning er en formalisering af matematikken, dvs. en genopbygning af matematikken igennem formelle systemer. Formelle systemer er dog ikke automatisk garanteret at være paradoksfrie: Cantors mængdebegreb kan også formaliseres, og leder til inkonsistens. Løsningen er et nyt formelt system, hvori mængder bygges op nedefra. Dette leder til mængdelæren ZFC, det bedste bud på et moderne grundlag for matematikken. Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 31/32
32 En lille hjemmeopgave En lille udfordring, så I har noget at tænke over på vej hjem herfra (eller til at holde jer søvnløse natten igennem): Hyperspilsparadokset (Zwicker, 1987). Et to-personers spil kaldes endeligt, hvis det altid vil blive afsluttet i løbet af et endeligt antal træk. Turneringsskak er et eksempel på et endeligt spil. Vi definerer nu hyperspillet som det spil hvori spiller 1 i sit første træk vælger et endeligt spil som skal spilles, og spiller 2 dernæst foretager det første træk i spillet. Alle resterende træk er da træk i det valgte spil. Ethvert hyperspil vil således vare præcist ét træk mere end et af de endelige spil, og hyperspillet må derfor være endeligt. Men hvis hyperspillet er endeligt, må det også være et af de spil som kan vælges i det første træk i hyperspillet! Det vil sige, spiller 1 kan vælge hyperspillet i sit første træk, spiller 2 kan igen vælge hyperspillet i det efterfølgende træk, og de 2 spillere kan fortsætte med at vælge hyperspillet ad infinitum. Hyperspillet kan derfor ikke være endeligt. Hvad er løsningen på dette paradoks? Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 32/32
Gödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Compute UNF foredrag, HCØ, 16. september 2014 (c_e)l[^ga=f]2 (F[_E_B])L[=A,_Ac]L[=E,_B,_E]- [E,B,E]2L[F,=B,=E]2 L[^F,C=F] Thomas Bolander, UNF, 16/9-2014
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereThomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005
Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEpistemisk logik og kunstig intelligens
Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereMartin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen
Interview 15 Matematik & filosofi et interview med Mikkel W. Johansen Martin Patrick Speirs & Frederik Möllerström Lauridsen Matematikken og filosofien har historisk set været tæt sammenknyttet og genstand
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereFremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen
Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereBeregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Læs mereOm matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen
Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereMatematik i AT (til elever)
1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereLimitations in Formal Systems and Languages
Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereGentzen og de transfinitte bevismetoder
Gentzen og de transfinitte bevismetoder Klaus Frovin Jørgensen Afdeling for Filosofi og Videnskabsteori, RUC Den 15. november 2011 1 / 27 Konsistensbeviser og grundlagskrisen Grundlagskrisen opstod på
Læs mereLogik, computere og kunstig intelligens
Logik, computere og kunstig intelligens 218 219 Af Lektor Thomas Bolander, Professor Jørgen Fischer Nilsson og Lektor Jørgen Villadsen, DTU Informatik Med anvendt matematik tænkes almindeligvis på udvikling
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereTypes, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi
Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereLIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM
LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereFormaliseringens grænser i matematik og logik
i løbet af 1900-tallet afmonterede mange af de klippefaste videnskabelige overbevisninger fra 1800-tallet og erstattede dem med nye, mere præcise, men også mere relativerende lovmæssigheder. Det viste
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereTuring og den universelle maskine
Hilbert forestillede sig, undslipper ikke paradokserne: den fuldstændige formalisering er umulig. Reaktionerne var til at starte med stor forbløffelse. Logikkens og matematikkens fundamenter var pludselig
Læs mereAristoteles om uendelighed
Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereDet vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet
er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereKapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?
Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mere