Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge"

Transkript

1 Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Specialerapport af Lars Kjær Nielsen Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet - Odense

2

3 1 Forord Dette speciale er skrevet i perioden fra september 2004 til december 2005, med Jørgen Bang-Jensen, Institut for Matematik og Datalogi, Syddansk Universitet, som vejleder og Julie Jespersen, Produktionsplanlægningen DSB S-tog A/S som ekstern vejleder. Jeg valgte dette emne fordi jeg syntes det kunne være interessant at arbejde med et praktisk problem og se hvilke metoder fra datalogien, der kunne bruges på det. Det er ikke problemfrit at arbejde med emner fra grænselandet mellem teori og praksis, men deri ligger netop en spændende udfordring. Jeg har i løbet af projektet arbejdet med flere forskellige emner fra datalogien, nogle kendt fra fag, jeg har haft, andre har jeg måttet sætte mig ind i undervejs. Specialet er en dokumentation af denne proces og de resultater, jeg er kommet frem til. Jeg vil gerne takke min vejleder Jørgen Bang-Jensen for god og inspirerende vejledning ved vores ugentlige møder og min eksterne vejleder Julie Jespersen for at stå for DSB S-togs input til projektet. Dette er den officielle version, hvor bilag 1-3 er fjernet efter aftale med DSB S-Tog. Lars Kjær Nielsen, Januar 2005 Abstract This report is my master thesis with the English title Planning work schedules for ticket inspectors in Danish S-trains. A work schedule for a ticket inspector is a route in the S- train network. This report deals with the problem of constructing a set of work schedules that cover the network well. A model for the problem is introduced and several methods from combinatorial optimization are considered for the problem. A dynamic programming algorithm for constructing single work schedules is presented and a greedy heuristic is used for constructing the set of work schedules one by one. The greedy solutions are then improved by a simple local search heuristic. The problem can be modelled as a multicommodity flow problem with side constraints and solved by a column generation approach. This method, however, turns out not to work well on larger instances. An upper bound for the problem is found using Lagrange relaxation on the multicommodity flow formulation. On most instances the solutions constructed by the heuristics are within a few percent of these upper bounds. Practical uses of the algorithms are discussed and a related problem is introduced: Given a subset of departures in the network to be covered, what is the minimum number of ticket inspectors needed to cover the subset? Some solution approches for this minimization problem are discussed.

4 2 INDHOLD Indhold 1 Indledning Problemet DSB S-tog S-togsrevisorerne Data til rådighed Specialet Model Eksempel Objektfunktion Et set covering problem Station-tid netværk for DSB S-tog Prioritering af rejsekanter Fordeling af vagter Testinstanser Arbejdsplaner Længste s, t-sti i acyklisk graf Spisepauser Pauser Skiftetider og begrænset rejsetid på samme tog Implementation Eksempler Varianter af DP algoritmen Disjunkte og kantdisjunkte veje i acykliske grafer 30 5 Flow i netværk Max omkostning flow Multicommodity flow problemet Omformulering med sti flows Kantdækningsproblemet og Multicommodity flows

5 INDHOLD Optimalitetsbetingelser Kolonne generering Eksempel Anvendelse på testinstanser Øvre grænse Lagrange relaxering Løsning af Lagrange dual problemet Eksempel Anvendelse på testinstanser Heuristiske metoder Grådig konstruktionsheuristik Lokal søgning Nabomængde Evaluering af naboer Implicit nabomængdeevaluering Lokal søgnings heuristik Overvejelser om meta-heuristikker Resultater Styring af planlægning ved prioritering og fordeling Brug i praksis 76 9 Nedre grænse på dækning af netværk med stier af begrænset længde Kompleksitet af nedre grænse problemer Nedre grænse på størrelsen af største uafhængige mængde i H T Konklusion Videre frem Litteratur Bilag 94

6 4 1 Indledning 1 Indledning Projektet laves i samarbejde med DSB S-tog og omhandler udvikling af algoritmer til planlægning af arbejdsplaner for S-togsrevisorer. S-togsrevisorerne står for billetkontrol i S-togene og billetkontrollen foregår på togene, mens de kører. En arbejdsplan for en S- togsrevisor er en rute i rutenetværket, som angiver mødetid og fyraften, hvilke toge der rejses med og hvor og hvornår der skiftes mellem dem. Planlægningen af arbejdsplaner består i at lave disse ruter, så de er gode i den forstand, at der kan kontrolleres mange passagerer på ruten og der forhåbentligt kan udskrives mange kontrolafgifter, uden revisorernes ruter er for meget i konflikt med hinanden. 1.1 Problemet Med udgangspunkt i virkelige data analyseres problemet blandt andet med henblik på at besvare følgende spørgsmål: Hvor godt kan rutenettet dækkes over en hel dag med et givet antal revisorer? Hvis en givet delmængde af afgangene ønskes kontrolleret, hvor mange revisorer kræver det så? Kan der anvendes randomisering i planlægningen så revisorernes ruter ikke kan forudses? Hvordan bruges ruter, der er planlagt på forhånd, i praksis? Først lidt om DSB S-tog, revisorerne og tilrådeværende data: DSB S-tog DSB S-tog kører på DSBs rutenetværk i Storkøbenhavn. Netværket er inddelt i 12 linier, hvor hver linie har to endestationer og en fast køreplan for stop ved stationerne på ruten. Ikke alle linier standser ved hver station på ruten, nogle linier er hurtiglinier og standser kun ved en delmængde af stationerne. Netværket består af en central del omkring indre København, som de fleste linier kører igennem og 6 arme ud fra den centrale del, hvor der kører mellem to og fire linier på hver arm. Derudover er der to linier, der går på tværs af de andre linier, kaldet Ringbanen. Rutenetværket ses på figur 1.1. Køreplanen angiver afgangs- og ankomsttidspunkter for togene på hver linie. Køreplanen er cyklisk med en periode på 20 minutter, så der hvert 20. minut afgår tog med præcis samme rejsemønster på hver linie. De første toge afgår om morgenen før kl. 5 og de sidste toge kører indtil ca. kl. 1 om natten, så køreplanen er ikke cyklisk mht. døgnet, da der er en periode om natten, hvor der ikke kører tog. Køreplanen varierer i weekenden i forhold til hverdagene, alle hverdage er ens, mens der kører færre tog lørdag og søndag. Togene til aflastning i myldretiden kører f.eks. ikke i weekenden.

7 1.1 Problemet 5 Figur 1.1: DSB S-togs rutenet S-togsrevisorerne S-togsrevisorernes primære opgave er at kontrollere passagerernes billetter og udskrive kontrolafgifter til passagerer, der ikke har indløst billet. Der er ca. 160 revisorer ansat, hvoraf ca. 90 er på arbejde på hverdage. De er fordelt på tre skift, morgen, dag og aften. Revisorerne arbejder som regel i par, nogle arbejder dog enkeltvis mens andre arbejder tre sammen. Hver revisor møder på en station på et givet tidspunkt og rejser til København H for at møde deres makker. Herfra rejser de rundt i rutenetværket og udfører deres opgaver. Revisorerne bestemmer selv, hvor længe de rejser med samme tog og hvilke tog, de skifter

8 6 1.1 Problemet til, når de stiger af. Et revisorpar tildeles en strækning, f.eks. København H - Frederikssund eller København H - Køge og dækker togene på denne strækning. Revisorerne har andre funktioner end billetkontrol, såsom at hjælpe rejsende med spørgsmål angående billettyper, afgange, driftforstyrrelser mm. og rapportere om billetstemplere, der er ude af drift. Tilstedeværelsen af revisorerne i toge og på stationerne menes at have en betragtelig præventiv effekt. Det minder rejsende om at huske at indløse billet og stresser folk, der bevist forsøger at køre gratis. Så selve synligheden af revisorerne er vigtig, men faktisk er eneste umiddelbare målbarhed af revisorernes arbejde, mængden af kontrolafgifter, der udskrives. Der køres ikke med samme materiel på alle linier, så der er forskel på hvordan revisorerne arbejder på de forskellige tog. 2. og 3. generations togene tager længere tid at kontrollere, da der ikke er overgang mellem vognene. Revisorerne må så nødvendigvis skifte vogn via perronen når toget holder ved en station. I 4. generations togene er der derimod gennemgang i hele toget og de kan derfor forventes kontrolleret hurtigere. Ikke alle togene er lige store, specielt på Ringbanen kører der tog med færre vogne, så disse kan kontrolleres på kortere tid. Når flere revisorer er tildelt samme strækning, sker det hyppigt at revisorer kommer ind på hinandens ruter og kontrollerer toge, hvor der er andre revisorer ombord. Det er uhensigtsmæssigt, da de pågældende revisorer så kontrollerer passagerer, der måske lige er blevet kontrolleret. Det er altså ønskeligt at konstruere ruter for revisorerne, der maksimerer antallet af passagerer, der kontrolleres og sådan at de ikke kommer til at kontrollere toge, hvor der er andre revisorer ombord Data til rådighed Følgende data er til rådighed til konstruktion af model for planlægning af arbejdsplaner for S-togsrevisorerne. Køreplanen Køreplanen for hvert tog i løbet af dagen er givet som en liste af stationer på linien, som toget standser ved. Et tog kører fra startstation til endestation og standser ved n stationer. Der er givet afgangstidspunkter for de n 1 første stationer og ankomsttidspunkter for de n 1 sidste stationer, som herunder:

9 1.2 Specialet 7 Station Ankomst Afgang station 1 afgang 1 station 2 ankomst 2 afgang 2 station 3 ankomst 3 afgang station n-1 ankomst n-1 afgang n-1 station n ankomst n Hvert tog standser ved ca stationer afhængig af hvilken linie det kører på. Køreplanen er nøjagtig ned til 30 sek og typisk er der ventetid på 30 sek til 1 minut mellem ankomst til en station og afgang derfra igen. Køreplanen for en dag for hele S-togsnettet er mængden af køreplaner for togene, der kører den dag. Den version af køreplanen, der anvendes, er fra Passagertællinger Passagertællinger fra 8. oktober 2003 er til rådighed i form af snitbelastning på hvert enkelt tog mellem hver station. Statistik over udskrevne kontrolafgifter En liste over udskrevne kontrolafgifter over et helt år med eksakt udskrivningstidspunkt og sted for hver afgift. En oversigt over antal udskrevne kontrolafgifter fra hver station findes på bilag Specialet I specialet analyseres problemet med særlig fokus på de datalogiske aspekter af problemet. Planlægningsprocessen inddeles i flere elementer: 1. Identificering af områder og tidspunkter der ønskes kontrolleret. Det skal på forhånd fastlægges, hvad der optimeres imod, altså hvad arbejdsplanerne planlægges efter. Det involverer bl.a. passagertal og erfaringer med hvor ofte der normalt udskrives kontrolafgifter i forskellige områder og tidspunkter i rutenetværket. 2. Planlægning af arbejdsplaner. En arbejdsplan er en rute i DSB S-togs rutenet, hvor ruten overholder en række betingelser. Betingelserne omfatter bl.a. arbejdsforhold som mødetider og spisepauser og arbejdsmetoder som hvor længe der arbejdes på samme tog i træk og hvor lang tid der afsættes til at foretage togskift. Arbejdsplaner skal planlægges, så givne betingelser overholdes og så arbejdsplanen optimeres imod en given objektfunktion. 3. Samspil mellem arbejdsplaner over en hel dag. Arbejdsplanerne skal konstrueres således, at de tilsammen dækker rutenetværket godt i forhold til en på forhånd

10 8 1.2 Specialet fastlagt objektfunktion og sådan at ruterne ikke kommer for meget i konflikt med hinanden. 4. Anvendelse i praksis. Det er ikke sikkert, at ruter, der er planlagt på forhånd, kan følges nøjagtigt i praksis. Hvordan håndteres situationer hvor der nødvendigvis må afviges fra ruten og hvor stabile er ruterne overfor sådanne realtidsændringer? 5. Langtidsplanlægning. Hvis arbejdsplanerne hver dag planlægges efter det samme mål, vil det på sigt blive forudsigeligt, hvordan revisorerne arbejder. Hvordan sikres, at der kommer variation i arbejdsplanerne, så metoderne bliver uforudsigelige? Hovedvægten er lagt på punkt 2 og 3, konstruktion af arbejdsplan for den enkelte revisor og planlægning af en mængde arbejdsplaner, der dækker en hel dag. En arbejdsplan defineres som en sti i et specielt acyklisk netværk, der konstrueres ud fra køreplanen og på en hel dag skal alle arbejdsplaner være i det samme netværk og opfylde visse betingelser. Det undersøges hvilke metoder fra kombinatorisk optimering er anvendelige på problemet, i den forbindelse arbejdes der med emner som matematisk programmering, dynamisk programmering, disjunkte veje i acykliske netværk, flow i netværk og meta-heuristikker. Specialet er opbygget således, at der i kapitel 2 laves en model for revisorernes ruter i rutenettet som maximerer den del af rutenettet, som dækkes af revisorernes ruter tilsammen. I kapitel 3 karakteriseres gyldige arbejdsplaner og der præsenteres en algoritme til at konstruere dem. Algoritmen er en dynamisk programmerings algoritme, der løser et længste veje problem med sidebetingelser i en acyklisk graf. I kapitel 4 og 5 diskuteres metoder til at løse problemet eksakt. Metoderne anvender algoritmer til at finde disjunkte veje i acykliske grafer og flow i netværk. I kapitel 6 findes øvre grænser til problemet ved hjælp af Lagrange relaxering af en flow formulering af problemet. Kapitel 7 omhandler heuristiske metoder til at løse problemet, herunder diskuteres anvendeligheden af meta-heustikker. De resulterende løsninger sammenholdes med øvre grænser og deres struktur diskuteres. I kapitel 8 redegøres for nogle af de problemer, der kan opstå i praksis og ruternes anvendelighed i den forbindelse. I kapitel 9 betragtes et andet problem: Givet en delmængde af afgange, hvad er det mindste antal revisorer, der skal til at kontrollere dem? Der fokuseres på at udvikle algoritmerne sådan, at de ikke er bundet af rutenetværkets nuværende struktur, men derimod nemt kan tilpasses til ethvert rutenetværk, der beskrives ved en køreplan. Det betyder, at hvis rutenettet ændres eller der laves om på køreplanen, så skal der ikke ændres på algoritmerne. Der er foretaget nogle simplifikationer og antagelser i forhold til problemet: Alle revisorhold behandles ens, uanset om holdet består af 1, 2 eller 3 revisorer. Der tages ikke højde for den tid, revisorerne bruger i forbindelse med opstart og afslutning af vagt, inden der rejses ud i rutenettet forberedes dagens vagt og efter vagten udarbejdes rapport mm. Denne tid kan dog modelleres ved at lade ruten begynde lidt senere og slutte lidt før de egentlige arbejdstider. Algoritmerne laves ud fra et statisk synspunkt, så det antages at det på

11 1.2 Specialet 9 forhånd kan fastlægges, hvor længe der køres med samme tog i træk og hvor lang tid der skal bruges på at skifte tog på de forskellige stationer. Der indlægges ikke pauser i arbejdsplanerne udover en længere spisepause midt i vagten og de pauser der forekommer i forbindelse med togskifte på ruten. Det antages at rutenettet er statisk og togene overholder køreplanen i rimelig grad. Den antagelse holder ikke helt i praksis, da der kan forekomme forsinkelser i forhold til køreplanen, disse er dog sjældne. Rimeligheden af antagelserne diskuteres løbende i specialet og i kapitel 8 diskuteres anvendeligheden af algoritmerne i praksis.

12 10 2 Model 2 Model Der skal opstilles en model for revisorernes ruter i rutenetværket, som maksimerer en objektfunktion. Objektfunktionen skal så tage højde for elementer som antal kontrollerede passagerer, antal udskrevne kontrolafgifter, synlighed mm. Modellen skal konstrueres, så ruterne både er fysisk mulige og så revisorernes arbejdstidsbestemmelser overholdes. En første idé kunne være at bruge rutenetværket fra figur 1.1 som en ikke-orienteret multigraf med stationerne som knuder og linierne som kanter. Så vil en rute kunne modelleres som en sti i grafen fra revisorens mødestation til stationen, hvor han har fri, kanterne på stien svarer til at revisoren rejser med et tog på linien. Med en sådan model er det dog svært at tage højde for tidsaspektet i problemet. Det er ikke ligegyldigt på hvilket tidspunkt en revisor rejser med en linie, da det er forskellige tog, der afgår, og han kan komme i konflikt med andre revisorers ruter. I stedet opstilles en model bygget over rutenetværket, der tager hvert tog med. I den forbindelse kan der anvendes aktivitet på knuderne eller aktivitet på kanterne, hvor der med aktivitet menes kontrol af passagerer og andre arbejdsopgaver. Der vælges aktivitet på kanterne, så kanter svarer til rejse mellem to stationer med et bestemt tog til en bestemt tid, hvor der kontrolleres passagerer imens. Knuderne svarer så til ankomster og afgange fra stationerne. En arbejdsplan for en revisor vil så være en sti fra en startstation på et starttidspunkt gennem netværket med bestemte toge til bestemte tider til en slutstation på et sluttidspunkt. Begrænsninger på rejsemønsteret er så givet som en række sidebetingelser til stiens form. Mere formelt konstrueres netværksmodellen som følger: Der laves et acyklisk netværk N = (V, A). For hver station s og tidspunkt t, hvor der ankommer eller afgår et tog fra s, laves en knude (s, t). Når der efterfølgende omtales en knude v V i netværket, så menes et par v = (s, t) af station s og tidspunkt t. For et tog med afgang fra station s i til tid t i og efterfølgende ankomst til s j til tid t j indsættes kanten (s i, t i ) (s j, t j ). Denne type kant kaldes herefter rejsekant. Et tog, der på en linie standser ved n stationer, giver således anledning til n 1 rejsekanter. For to knuder (s, t i ) og (s, t j ), der opfylder t i < t j og hvor der ikke eksisterer en knude (s, t k ) med t i < t k < t j indsættes kanten (s, t i ) (s, t j ). Denne type kant kaldes herefter ventekant. Netværket, der konstrueres udfra alle toge, der kører på en bestemt dag, kaldes station-tid netværket for den pågældende dag. Netværket er acyklisk, fordi alle kanter er orienteret i tidsretningen og da der ikke kører S-tog i en periode om natten, findes der ingen stier fra senere tidspunkter til tidligere tidspunkter. En arbejdsplan for en revisor, der starter på station s start til tid t start og slutter på station s slut til tid t slut er en sti P fra (s start, t start ) til (s slut, t slut ) i station-tid netværket. En rejsekant (s i, t i ) (s j, t j ) på stien svarer til at revisoren kører med toget fra station s i til s j i tidsrummet t i til t j. En ventekant (s, t i ) (s, t j ) på stien svarer til at revisoren opholder sig på station s i tidsrummet t i til t j.

13 2.1 Eksempel 11 En dagplan for K hold af revisorer med start i (s start, t start ) 1,..., (s start, t start ) K og slut i (s slut, t slut ) 1,..., (s slut, t slut ) K er en mængde P 1, P 2,..., P K af K arbejdsplaner, hvor i te arbejdsplan starter i (s start, t start ) i og slutter i (s slut, t slut ) i for i = 1, 2,..., K. 2.1 Eksempel I figur 2.1 ses uddrag af køreplaner for otte udvalgte toge i tidsrummet 15:32-15:51. Togenes linier passerer alle de fem stationer København H, Vesterport, Nørreport, Østerport og Nordhavn. Køreplanerne giver anledning til station-tid netværket i figur 2.2. Alle knuder på en vandret linie tilhører samme station til forskellige tidspunkter og er forbundet med ventekanter. Kanterne på tværs er rejsekanter for togene i køreplanen og er alle fra en station til et tidspunkt til en anden station til et senere tidspunkt. I de udvalgte uddrag af køreplaner holder alle tog 30 sekunder ved hver station. Linie A (10146) København H 15:34:30 Vesterport 15:36:00 15:36:30 Nørreport 15:38:00 15:38:30 Østerport 15:40:30 15:41:00 Nordhavn 15:43:00 Linie H (50146) København H 15:32:30 Vesterport 15:34:00 15:34:30 Nørreport 15:36:00 15:36:30 Østerport 15:38:30 15:39:00 Nordhavn 15:41:00 Linie C (30147) København H 15:42:30 Vesterport 15:44:00 15:44:30 Nørreport 15:46:00 15:46:30 Østerport 15:48:30 15:49:00 Nordhavn 15:51:00 Linie B+ (60146) København H 15:36:30 Vesterport 15:38:00 15:38:30 Nørreport 15:40:00 15:40:30 Østerport 15:42:30 15:43:00 Nordhavn 15:45:00 Linie A (10247) Nordhavn 15:37:00 Østerport 15:39:00 15:39:30 Nørreport 15:41:00 15:41:30 Vesterport 15:43:00 15:43:30 København H 15:45:00 Linie H (50247) Nordhavn 15:39:00 Østerport 15:41:00 15:41:30 Nørreport 15:43:00 15:43:30 Vesterport 15:45:00 15:45:30 København H 15:47:00 Linie H+ (55247) Nordhavn 15:43:00 Østerport 15:45:00 15:45:30 Nørreport 15:47:00 15:47:30 Vesterport 15:49:00 15:49:30 København H 15:51:00 Linie B+ (60247) Nordhavn 15:35:00 Østerport 15:37:00 15:37:30 Nørreport 15:39:00 15:39:30 Vesterport 15:41:00 15:41:30 København H 15:43:00 Figur 2.1: Udvalgt uddrag af køreplanen i tidsrummet 15:32-15:51 for stationerne København H, Vesterport, Nørreport, Østerport og Nordhavn. Ved hvert tog er angivet linie og tognummer.

14 Objektfunktion 15:30 15:35 15:40 15:45 15:50 Tid København H H A B+ C Vesterport Nørreport Østerport Nordhavn B+ A H H+ Figur 2.2: Station-tid netværk for køreplaner fra figur 2.1. Faste kanter er rejsekanter og stiblede kanter er ventekanter. Alle kanter er orienteret i tidsretningen. Figur 2.3 viser en dagplan i eksempelnetværket. Dagplanen indeholder arbejdsplaner for tre revisorer med start i (København H, 15:32) og slut i (København H, 15:51). Arbejdsplanerne er repræsenteret som stier i station-tid netværket. Bemærk at revisor 1 og 3 begge kører med toget på linie H+ fra Østerport til København H. 15:30 15:35 15:40 15:45 15:50 Tid København H H A B+ C Vesterport Nørreport Østerport Arbejdsplan 1 Arbejdsplan 2 Arbejdsplan 3 Nordhavn B+ A H H+ Figur 2.3: Dagplan med tre arbejdsplaner. Alle arbejdsplaner starter i København H kl. 15:32 og slutter i København H kl. 15: Objektfunktion En objektfunktion for problemet bør tage højde for ting som revisorernes synlighed, forventet antal passagerer og forventet antal udskrevne kontrolafgifter. Alle disse objektiver

15 2.2 Objektfunktion 13 samles under ét begreb, prioritet. En rejsekants prioritet er så et mål for hvor attraktiv kanten er at anvende i en arbejdsplan. Lad N = (V, A) være et station-tid netværk. Værdien c(p ) af en arbejdsplan P = (s start, t start ) (s 1, t 1 )... (s slut, t slut ) i forhold til givne kantprioriteter c ij for hver kant (i, j) A er summen af prioriteter på kanter på stien i arbejdsplanen: c(p ) = (i,j) P c ij. Hvis værdien af en dagplan P 1, P 2,..., P K for et hold af K revisorer regnes som summen af arbejdsplanernes værdi K i=1 c(p i), dekomponerer problemet med at finde en optimal dagplan med hensyn til givne kantprioriteter til at finde K optimale arbejdsplaner uafhængigt af hinanden med hensyn til samme kantprioriteter. Resultatet bliver dog, at hvis flere revisorer starter på samme station til samme tid og også slutter på samme station til samme tid, så vil disse revisorer kunne tildeles samme arbejdsplan i en optimal løsning. Det er ikke hensigtsmæssigt, så i fastsættelsen af værdien af en dagplan skal der tages højde for kanter, der indgår i flere arbejdsplaner. Man kunne lægge restriktioner på sammenfald af arbejdsplaner ved at sige, at to arbejdsplaner ikke må benytte samme tog på samme tidspunkt, med andre ord sørge for at hver rejsekant (i, j) højest ligger på stien i én arbejdsplan. Derved bliver problemet at finde K disjunkte stier som arbejdsplaner, som sammen udgør en dagplan. Det er dog uhensigtsmæssigt at forlange at arbejdsplanerne er disjunkte, for når to arbejdsplaner benytter samme ventekant, svarer det blot til at to revisorhold opholder sig på en station samtidig og når de benytter samme rejsekant svarer det til at to revisorhold arbejder på samme tog samtidig. I stedet for at forhindre sammenfald mellem arbejdsplaner bør objektfunktionen nærmere nedsætte prioriteten af kanter, som anvendes af flere arbejdsplaner. En rimelig fastsættelse af værdien af en dagplan er summen af prioriteter af kanter, der er dækket mindst én gang, så hvis en kant er indeholdt i flere arbejdsplaner tæller kantens prioritet kun en gang i objektfunktionen. Derved fås et max kant-dækningsproblem med K stier med faste endepunkter og med sidebetingelser på stierne. Mere formelt defineres problemet som: Givet station-tid netværk N = (V, A), K startknuder s 1, s 2,..., s K V og K slutknuder t 1, t 2,..., t K V og kantprioritet c ij for hver kant (i, j) A, find K stier P 1, P 2,..., P K, hvor P k starter i s k og ender i t k for k = 1, 2,..., K, som maksimerer summen c(p 1,..., P K ) = c ij hvor S = {(i, j) A (i, j) P k for et k {1, 2,..., K}} (i,j) S Derved er det ikke attraktivt, at flere revisorhold kontrollerer samme tog samtidig og det giver forhåbentlig en god spredning af arbejdsplanerne. I modellen tæller prioriteten af en kant kun med, hvis den indgår i en arbejdsplan og det giver ikke ekstra, hvis den indgår i flere arbejdsplaner. Hvis der ønskes mulighed for at nogle kanter kan benyttes af flere arbejdsplaner, uden at kanternes prioritet kun tælles en gang, kan samme model anvendes. Det gøres med en tilføjelse til station-tid netværket.

16 Et set covering problem Hvis der f.eks. ønskes mulighed for at en kant (i, j) A kan indgå i to arbejdsplaner, men anden gang, den anvendes tæller dens prioritet kun halvt i dagplanens værdi, så indættes en parallel kant (i, j) med prioritet c ij = 1 2 c ij. Så kan (i, j) anvendes i den ene arbejdsplan, mens (i, j) anvendes af den anden. 2.3 Et set covering problem Med den fastlagte objektfunktion kan max kant-dækningsproblemet formuleres som en variant af set covering problemet som følger: Der er givet et station-tid netværk N = (V, A) med kantprioritet c ij for hver kant (i, j) A. Der er K hold af revisorer. Der er angivet startknude s k V og slutknude t k V for k = 1, 2,..., K. P k angiver mængden af arbejdsplaner det k te hold må anvende, dvs. P k er mængden af gyldige stier i N fra s k til t k for k = 1, 2,..., K. For planen P P k angiver δ ij (P ) om kanten (i, j) A indgår i planen P. Variablen x(p ) angiver om planen P P k er valgt for k = 1, 2,..., K og y ij angiver om kanten (i, j) A indgår i mindst én valgt arbejdsplan. Følgende model maximerer profitten af kanter, der indgår i valgte arbejdsplaner: max c ij y ij Under betingelserne y ij 1 k K (i,j) A P P k δ ij (P )x(p ) for alle (i, j) A (2.1) P P k x(p ) = 1 for k = 1,..., K (2.2) y ij {0, 1} for alle (i, j) A (2.3) x(p ) {0, 1} for alle P P k, k = 1,..., K (2.4) Objektfunktionen maksimerer profitten af kanter, der er dækket mindst én gang og betingelse (2.1) sikrer at kanter kun er dækket, hvis de indgår i mindst én valgt arbejdsplan. For hvert revisorhold skal der findes præcis en gyldig sti fra s k til t k, det sikres med betingelse (2.2), der angiver at der skal vælges præcis 1 arbejdsplan i mængden P k for det k te revisorhold. (2.3) og (2.4) angiver, at y ij for (i, j) A og x(p ) for P P k, k = 1, 2,..., K er binære variable. Set covering problemet er at finde billigste dækning af en mængde med delmængder af givne omkostninger. I denne variant ønskes dækket en mængde af kanter i et netværk med et fast antal delmængder, hvor delmængderne er stier i netværket. I set covering problemet er det fast hvad der skal dækkes og variabelt, hvor mange delmængder skal anvendes. I dette problem er det omvendt. Her er det fast hvor mange delmængder

17 2.4 Station-tid netværk for DSB S-tog 15 skal anvendes, mens det er variabelt hvad delmængderne skal dække. Objektfunktionen er ikke at mindske den samlede omkostning af anvendte delmængder, men derimod at maksimere prioriteten af elementer, der er dækket mindst én gang. I ovenstående anvendes at P k er mængden af mulige arbejdsplaner for k te revisorhold. En arbejdsplan er en gyldig sti i station-tid netværket, men hvad menes med gyldige stier og hvordan karakteriseres disse? En gyldig sti P P k er en sti der overholder en række sidebetingelser: P er en sti i station-tid netværket fra startknuden s k til slutknuden t k. Der er en længere pause midt i vagten svarende til spisepause og et antal mindre pauser indlagt på ruten. En pause svarer til at følge ventekanterne for en station et antal minutter i træk. Der er en øvre grænse for hvor mange minutter i træk arbejdsplanen følger samme tog. Ved togskift haves tilstrækkelig tid på perronen til at imødegå mindre uregelmæssigheder i fht. køreplanen og til fysisk at flytte sig til en anden afgang. Der må kun anvendes en delmængde af togene, f.eks. togene der kører på en bestemt linie. Gyldige arbejdsplaner i P k og optimalitet af disse karakteriseres i kapitel 3 om arbejdsplaner. 2.4 Station-tid netværk for DSB S-tog Ud fra køreplanerne for DSB S-tog konstrueres et station-tid netværk for en hverdag. Størrelsen af det resulterende netværk er som følger: Netværket har n = knuder og m = kanter, hvoraf er rejsekanter og er ventekanter. Knuderne har generelt kun få indgående og udgående kanter knuder har 1 udgående rejsekant og 858 knuder har 2 udgående rejsekanter og ingen knuder har flere udgående rejsekanter. Derudover har alle knuder en udgående ventekant på nær knuder med stationer og tidspunkter, hvor der ikke afgår senere tog. Station-tid netværket for lørdage er lidt mindre end for hverdage, det har knuder og kanter, mens station-tid netværket om søndagen har knuder og kanter. I flere tilfælde anvendes at netværket er acyklisk. Kanter mellem knuder i netværket går altid fra en knude med et tidspunkt til en anden knude med et senere tidspunkt. Så en acyklisk ordning af knuderne findes ved sortere knuderne efter tidspunkt og for knuder (s 1, t) og (s 2, t) med samme tidspunkt t vælges en vilkårlig ordning, da der ikke kan være kanter mellem dem jævnfør konstruktionen af netværket.

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt Velkommen i Metroen Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt rundt på en bæredygtig måde. Billetter

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

OPTIMERING AF KOLLEKTIV TRANSPORT

OPTIMERING AF KOLLEKTIV TRANSPORT 118 Optimering af kollektiv transport Af lektor Allan Larsen og forsker Hanne L. Petersen Det kollektive transportsystem er af vital betydning for specielt de større byer. Uden det kollektive udbud af

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Obligatorisk projekt 3.

Obligatorisk projekt 3. Obligatorisk projekt 3. Administration af Regionale Køre-Planer Fag: Projektet omhandler emner fra fagene Softwarearkitektur og Distribuerede Programmer, samt SystemUdviklingsMetoder. Formål: Formålet

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Notat. Direktionssekretariatet. Transport-, Bygnings- og Boligministeriet Frederiksholms Kanal 27 F 1220 København K

Notat. Direktionssekretariatet. Transport-, Bygnings- og Boligministeriet Frederiksholms Kanal 27 F 1220 København K Notat Transport-, Bygnings- og Boligministeriet Frederiksholms Kanal 27 F 1220 K Høring vedrørende halvtimes drift på Svendborgbanen DSB har for Transport- Bygnings- og Boligministeriet udarbejdet et oplæg

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Transport- og Bygningsudvalget TRU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 50 Offentligt

Transport- og Bygningsudvalget TRU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 50 Offentligt Transport- og Bygningsudvalget 2016-17 TRU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 50 Offentligt Notat Transport- og Bygningsministeriet Frederiksholms Kanal 27 F 1220 København K Nedenstående tabel viser antallet

Læs mere

Svendborgbanen Halvtimesdrift Svendborgbanen

Svendborgbanen Halvtimesdrift Svendborgbanen Transport- og Bygningsudvalget 2016-17 TRU Alm.del Bilag 104 Offentligt Halvtimesdrift 2 tog i timen på Transport- og Bygningsministeriet har anmodet DSB om et oplæg på ½-times drift på Formålet er at

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Logistik og optimering

Logistik og optimering Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland

Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland Notat 21.11.13 Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland Bjarne Jensen har stillet en række spørgsmål til den metode, der er anvendt til fastsættelse af passagergrundlaget

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2012

Rolf Fagerberg. Forår 2012 Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Potentialer i Randers bybusser

Potentialer i Randers bybusser Randers kommune Dato Journalnr Sagsbehandler e-mail Telefon 8. januar 2016 1-30-75-1-205-1-12 Per Elbæk pel@midttrarfik.dk 2078 5588 Potentialer i Randers bybusser Midttrafik har i samarbejde med Randers

Læs mere

Udfordringerne ved at lægge en køreplan for S-tog i de kommende år, når signalprogrammet implementeres etapevis

Udfordringerne ved at lægge en køreplan for S-tog i de kommende år, når signalprogrammet implementeres etapevis Udfordringerne ved at lægge en køreplan for S-tog i de kommende år når signalprogrammet implementeres etapevis Per Delvig DSB Operation Langsigtet Planlægning AGENDA 1. Signalprogrammets etaper 2. Udfordringer

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune

Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune Den 14. januar blev der afholdt møde mellem Sydtrafik og Tønder Kommune vedr. gratis kørsel for skolesøgende elever under 18 år. På mødet blev det besluttet

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Notat. Antallet af medarbejdere i borgernes hjem, når det modtager hjemmehjælp og evt. hjemmesygepleje.

Notat. Antallet af medarbejdere i borgernes hjem, når det modtager hjemmehjælp og evt. hjemmesygepleje. Til: Social og Sundhedsudvalget BALLERUP KOMMUNE Dato: 10. november 2014 Tlf. dir.: 2535 2893 E-mail: eth@balk.dk Kontakt: Elisabeth Thuesen Bredahl Sagsid: 27.36.04-G01-8-14 Notat Antallet af medarbejdere

Læs mere

Nyt bybusnet Træder i kraft juni 2015

Nyt bybusnet Træder i kraft juni 2015 LOGO1TH_LS_POSrød Nyt bybusnet Træder i kraft juni 2015 1 2 Busserne starter tidligere om morgenen og slutter senere om aftenen Derfor nye bybusruter Se de vigtigste forbedringer og nye tiltag Det nuværende

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. for glemt kort og manglende billet til øvrige zoner.

Kontrolafgift på 750 kr. for glemt kort og manglende billet til øvrige zoner. AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2010-0222 Klageren: XX 2000 Frederiksberg Indklagede: DSB S-tog A/S Klagen vedrører: Kontrolafgift på 750 kr. for glemt kort og manglende billet

Læs mere

København - Holbæk - Kalundborg

København - Holbæk - Kalundborg Særkøreplan Special timetale Køenhavn - Holæk - Kalundorg 02.06.-02.09.2012 Tegnforklaring Hvor intet er anført under køredage, kører toget alle dage. 1 Mandag 1 2 Tirsdag 1 3 Onsdag 1 4 Torsdag 1 5 Fredag

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Byggeriets Evaluerings Center

Byggeriets Evaluerings Center Byggeriets Evaluerings Center Bygge Rating Notat om pointsystem til faktablade og karakterbøger for entreprenører og bygherrer Version 2015 Indholdsfortegnelse 1 Bygge Rating... 3 2 Bygge Rating for entreprenører...

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA

Læs mere

Stevns Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010

Stevns Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010 Stevns Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar 21- marts 21 Indholdsfortegnelse: 1) Indledning 2) Begrebsafklaring 3) Passagertal, produktion og produktivitet I kommunen på en gennemsnitlig hverdag. I

Læs mere

Dragør Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010

Dragør Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010 Dragør Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar 21- marts 21 Indholdsfortegnelse: 1) Indledning 2) Begrebsafklaring 3) Passagertal, produktion og produktivitet I kommunen på en gennemsnitlig hverdag. I

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Rødovre Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010

Rødovre Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar marts 2010 Rødovre Kommune Nøgletal for bustrafikken Januar 21- marts 21 Indholdsfortegnelse: 1) Indledning 2) Begrebsafklaring 3) Passagertal, produktion og produktivitet I kommunen på en gennemsnitlig hverdag.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kørehvile-tid. Regler og vejledning april 2007

Kørehvile-tid. Regler og vejledning april 2007 Kørehvile-tid Regler og vejledning april 2007 Køre-hvile-tid, regler og vejledning. 1. udgave april 2007. International Transport Danmark (ITD). Alle rettigheder forbeholdes. Enhver gengivelse eller kopiering

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Transport- og Bygningsudvalget Folketinget

Transport- og Bygningsudvalget Folketinget MINISTEREN Transport- og Bygningsudvalget Folketinget Dato J. nr. 7. december 2016 2016-6067 Frederiksholms Kanal 27 F 1220 København K Telefon 41 71 27 00 Transport- og Bygningsudvalget har i brev af

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

2 Definition og afgrænsning

2 Definition og afgrænsning Notat Emne: Parker og Rejs potentialer Til: Trafikdage 2002 Peter Bjørn Andersen, TetraPlan A/S Fra: og Hjalmar Christiansen, TetraPlan A/S 19. juli 2002 1 Indledning I Juni 2001 vedtog HUR en Parker &

Læs mere