Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge"

Transkript

1 Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Specialerapport af Lars Kjær Nielsen Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet - Odense

2

3 1 Forord Dette speciale er skrevet i perioden fra september 2004 til december 2005, med Jørgen Bang-Jensen, Institut for Matematik og Datalogi, Syddansk Universitet, som vejleder og Julie Jespersen, Produktionsplanlægningen DSB S-tog A/S som ekstern vejleder. Jeg valgte dette emne fordi jeg syntes det kunne være interessant at arbejde med et praktisk problem og se hvilke metoder fra datalogien, der kunne bruges på det. Det er ikke problemfrit at arbejde med emner fra grænselandet mellem teori og praksis, men deri ligger netop en spændende udfordring. Jeg har i løbet af projektet arbejdet med flere forskellige emner fra datalogien, nogle kendt fra fag, jeg har haft, andre har jeg måttet sætte mig ind i undervejs. Specialet er en dokumentation af denne proces og de resultater, jeg er kommet frem til. Jeg vil gerne takke min vejleder Jørgen Bang-Jensen for god og inspirerende vejledning ved vores ugentlige møder og min eksterne vejleder Julie Jespersen for at stå for DSB S-togs input til projektet. Dette er den officielle version, hvor bilag 1-3 er fjernet efter aftale med DSB S-Tog. Lars Kjær Nielsen, Januar 2005 Abstract This report is my master thesis with the English title Planning work schedules for ticket inspectors in Danish S-trains. A work schedule for a ticket inspector is a route in the S- train network. This report deals with the problem of constructing a set of work schedules that cover the network well. A model for the problem is introduced and several methods from combinatorial optimization are considered for the problem. A dynamic programming algorithm for constructing single work schedules is presented and a greedy heuristic is used for constructing the set of work schedules one by one. The greedy solutions are then improved by a simple local search heuristic. The problem can be modelled as a multicommodity flow problem with side constraints and solved by a column generation approach. This method, however, turns out not to work well on larger instances. An upper bound for the problem is found using Lagrange relaxation on the multicommodity flow formulation. On most instances the solutions constructed by the heuristics are within a few percent of these upper bounds. Practical uses of the algorithms are discussed and a related problem is introduced: Given a subset of departures in the network to be covered, what is the minimum number of ticket inspectors needed to cover the subset? Some solution approches for this minimization problem are discussed.

4 2 INDHOLD Indhold 1 Indledning Problemet DSB S-tog S-togsrevisorerne Data til rådighed Specialet Model Eksempel Objektfunktion Et set covering problem Station-tid netværk for DSB S-tog Prioritering af rejsekanter Fordeling af vagter Testinstanser Arbejdsplaner Længste s, t-sti i acyklisk graf Spisepauser Pauser Skiftetider og begrænset rejsetid på samme tog Implementation Eksempler Varianter af DP algoritmen Disjunkte og kantdisjunkte veje i acykliske grafer 30 5 Flow i netværk Max omkostning flow Multicommodity flow problemet Omformulering med sti flows Kantdækningsproblemet og Multicommodity flows

5 INDHOLD Optimalitetsbetingelser Kolonne generering Eksempel Anvendelse på testinstanser Øvre grænse Lagrange relaxering Løsning af Lagrange dual problemet Eksempel Anvendelse på testinstanser Heuristiske metoder Grådig konstruktionsheuristik Lokal søgning Nabomængde Evaluering af naboer Implicit nabomængdeevaluering Lokal søgnings heuristik Overvejelser om meta-heuristikker Resultater Styring af planlægning ved prioritering og fordeling Brug i praksis 76 9 Nedre grænse på dækning af netværk med stier af begrænset længde Kompleksitet af nedre grænse problemer Nedre grænse på størrelsen af største uafhængige mængde i H T Konklusion Videre frem Litteratur Bilag 94

6 4 1 Indledning 1 Indledning Projektet laves i samarbejde med DSB S-tog og omhandler udvikling af algoritmer til planlægning af arbejdsplaner for S-togsrevisorer. S-togsrevisorerne står for billetkontrol i S-togene og billetkontrollen foregår på togene, mens de kører. En arbejdsplan for en S- togsrevisor er en rute i rutenetværket, som angiver mødetid og fyraften, hvilke toge der rejses med og hvor og hvornår der skiftes mellem dem. Planlægningen af arbejdsplaner består i at lave disse ruter, så de er gode i den forstand, at der kan kontrolleres mange passagerer på ruten og der forhåbentligt kan udskrives mange kontrolafgifter, uden revisorernes ruter er for meget i konflikt med hinanden. 1.1 Problemet Med udgangspunkt i virkelige data analyseres problemet blandt andet med henblik på at besvare følgende spørgsmål: Hvor godt kan rutenettet dækkes over en hel dag med et givet antal revisorer? Hvis en givet delmængde af afgangene ønskes kontrolleret, hvor mange revisorer kræver det så? Kan der anvendes randomisering i planlægningen så revisorernes ruter ikke kan forudses? Hvordan bruges ruter, der er planlagt på forhånd, i praksis? Først lidt om DSB S-tog, revisorerne og tilrådeværende data: DSB S-tog DSB S-tog kører på DSBs rutenetværk i Storkøbenhavn. Netværket er inddelt i 12 linier, hvor hver linie har to endestationer og en fast køreplan for stop ved stationerne på ruten. Ikke alle linier standser ved hver station på ruten, nogle linier er hurtiglinier og standser kun ved en delmængde af stationerne. Netværket består af en central del omkring indre København, som de fleste linier kører igennem og 6 arme ud fra den centrale del, hvor der kører mellem to og fire linier på hver arm. Derudover er der to linier, der går på tværs af de andre linier, kaldet Ringbanen. Rutenetværket ses på figur 1.1. Køreplanen angiver afgangs- og ankomsttidspunkter for togene på hver linie. Køreplanen er cyklisk med en periode på 20 minutter, så der hvert 20. minut afgår tog med præcis samme rejsemønster på hver linie. De første toge afgår om morgenen før kl. 5 og de sidste toge kører indtil ca. kl. 1 om natten, så køreplanen er ikke cyklisk mht. døgnet, da der er en periode om natten, hvor der ikke kører tog. Køreplanen varierer i weekenden i forhold til hverdagene, alle hverdage er ens, mens der kører færre tog lørdag og søndag. Togene til aflastning i myldretiden kører f.eks. ikke i weekenden.

7 1.1 Problemet 5 Figur 1.1: DSB S-togs rutenet S-togsrevisorerne S-togsrevisorernes primære opgave er at kontrollere passagerernes billetter og udskrive kontrolafgifter til passagerer, der ikke har indløst billet. Der er ca. 160 revisorer ansat, hvoraf ca. 90 er på arbejde på hverdage. De er fordelt på tre skift, morgen, dag og aften. Revisorerne arbejder som regel i par, nogle arbejder dog enkeltvis mens andre arbejder tre sammen. Hver revisor møder på en station på et givet tidspunkt og rejser til København H for at møde deres makker. Herfra rejser de rundt i rutenetværket og udfører deres opgaver. Revisorerne bestemmer selv, hvor længe de rejser med samme tog og hvilke tog, de skifter

8 6 1.1 Problemet til, når de stiger af. Et revisorpar tildeles en strækning, f.eks. København H - Frederikssund eller København H - Køge og dækker togene på denne strækning. Revisorerne har andre funktioner end billetkontrol, såsom at hjælpe rejsende med spørgsmål angående billettyper, afgange, driftforstyrrelser mm. og rapportere om billetstemplere, der er ude af drift. Tilstedeværelsen af revisorerne i toge og på stationerne menes at have en betragtelig præventiv effekt. Det minder rejsende om at huske at indløse billet og stresser folk, der bevist forsøger at køre gratis. Så selve synligheden af revisorerne er vigtig, men faktisk er eneste umiddelbare målbarhed af revisorernes arbejde, mængden af kontrolafgifter, der udskrives. Der køres ikke med samme materiel på alle linier, så der er forskel på hvordan revisorerne arbejder på de forskellige tog. 2. og 3. generations togene tager længere tid at kontrollere, da der ikke er overgang mellem vognene. Revisorerne må så nødvendigvis skifte vogn via perronen når toget holder ved en station. I 4. generations togene er der derimod gennemgang i hele toget og de kan derfor forventes kontrolleret hurtigere. Ikke alle togene er lige store, specielt på Ringbanen kører der tog med færre vogne, så disse kan kontrolleres på kortere tid. Når flere revisorer er tildelt samme strækning, sker det hyppigt at revisorer kommer ind på hinandens ruter og kontrollerer toge, hvor der er andre revisorer ombord. Det er uhensigtsmæssigt, da de pågældende revisorer så kontrollerer passagerer, der måske lige er blevet kontrolleret. Det er altså ønskeligt at konstruere ruter for revisorerne, der maksimerer antallet af passagerer, der kontrolleres og sådan at de ikke kommer til at kontrollere toge, hvor der er andre revisorer ombord Data til rådighed Følgende data er til rådighed til konstruktion af model for planlægning af arbejdsplaner for S-togsrevisorerne. Køreplanen Køreplanen for hvert tog i løbet af dagen er givet som en liste af stationer på linien, som toget standser ved. Et tog kører fra startstation til endestation og standser ved n stationer. Der er givet afgangstidspunkter for de n 1 første stationer og ankomsttidspunkter for de n 1 sidste stationer, som herunder:

9 1.2 Specialet 7 Station Ankomst Afgang station 1 afgang 1 station 2 ankomst 2 afgang 2 station 3 ankomst 3 afgang station n-1 ankomst n-1 afgang n-1 station n ankomst n Hvert tog standser ved ca stationer afhængig af hvilken linie det kører på. Køreplanen er nøjagtig ned til 30 sek og typisk er der ventetid på 30 sek til 1 minut mellem ankomst til en station og afgang derfra igen. Køreplanen for en dag for hele S-togsnettet er mængden af køreplaner for togene, der kører den dag. Den version af køreplanen, der anvendes, er fra Passagertællinger Passagertællinger fra 8. oktober 2003 er til rådighed i form af snitbelastning på hvert enkelt tog mellem hver station. Statistik over udskrevne kontrolafgifter En liste over udskrevne kontrolafgifter over et helt år med eksakt udskrivningstidspunkt og sted for hver afgift. En oversigt over antal udskrevne kontrolafgifter fra hver station findes på bilag Specialet I specialet analyseres problemet med særlig fokus på de datalogiske aspekter af problemet. Planlægningsprocessen inddeles i flere elementer: 1. Identificering af områder og tidspunkter der ønskes kontrolleret. Det skal på forhånd fastlægges, hvad der optimeres imod, altså hvad arbejdsplanerne planlægges efter. Det involverer bl.a. passagertal og erfaringer med hvor ofte der normalt udskrives kontrolafgifter i forskellige områder og tidspunkter i rutenetværket. 2. Planlægning af arbejdsplaner. En arbejdsplan er en rute i DSB S-togs rutenet, hvor ruten overholder en række betingelser. Betingelserne omfatter bl.a. arbejdsforhold som mødetider og spisepauser og arbejdsmetoder som hvor længe der arbejdes på samme tog i træk og hvor lang tid der afsættes til at foretage togskift. Arbejdsplaner skal planlægges, så givne betingelser overholdes og så arbejdsplanen optimeres imod en given objektfunktion. 3. Samspil mellem arbejdsplaner over en hel dag. Arbejdsplanerne skal konstrueres således, at de tilsammen dækker rutenetværket godt i forhold til en på forhånd

10 8 1.2 Specialet fastlagt objektfunktion og sådan at ruterne ikke kommer for meget i konflikt med hinanden. 4. Anvendelse i praksis. Det er ikke sikkert, at ruter, der er planlagt på forhånd, kan følges nøjagtigt i praksis. Hvordan håndteres situationer hvor der nødvendigvis må afviges fra ruten og hvor stabile er ruterne overfor sådanne realtidsændringer? 5. Langtidsplanlægning. Hvis arbejdsplanerne hver dag planlægges efter det samme mål, vil det på sigt blive forudsigeligt, hvordan revisorerne arbejder. Hvordan sikres, at der kommer variation i arbejdsplanerne, så metoderne bliver uforudsigelige? Hovedvægten er lagt på punkt 2 og 3, konstruktion af arbejdsplan for den enkelte revisor og planlægning af en mængde arbejdsplaner, der dækker en hel dag. En arbejdsplan defineres som en sti i et specielt acyklisk netværk, der konstrueres ud fra køreplanen og på en hel dag skal alle arbejdsplaner være i det samme netværk og opfylde visse betingelser. Det undersøges hvilke metoder fra kombinatorisk optimering er anvendelige på problemet, i den forbindelse arbejdes der med emner som matematisk programmering, dynamisk programmering, disjunkte veje i acykliske netværk, flow i netværk og meta-heuristikker. Specialet er opbygget således, at der i kapitel 2 laves en model for revisorernes ruter i rutenettet som maximerer den del af rutenettet, som dækkes af revisorernes ruter tilsammen. I kapitel 3 karakteriseres gyldige arbejdsplaner og der præsenteres en algoritme til at konstruere dem. Algoritmen er en dynamisk programmerings algoritme, der løser et længste veje problem med sidebetingelser i en acyklisk graf. I kapitel 4 og 5 diskuteres metoder til at løse problemet eksakt. Metoderne anvender algoritmer til at finde disjunkte veje i acykliske grafer og flow i netværk. I kapitel 6 findes øvre grænser til problemet ved hjælp af Lagrange relaxering af en flow formulering af problemet. Kapitel 7 omhandler heuristiske metoder til at løse problemet, herunder diskuteres anvendeligheden af meta-heustikker. De resulterende løsninger sammenholdes med øvre grænser og deres struktur diskuteres. I kapitel 8 redegøres for nogle af de problemer, der kan opstå i praksis og ruternes anvendelighed i den forbindelse. I kapitel 9 betragtes et andet problem: Givet en delmængde af afgange, hvad er det mindste antal revisorer, der skal til at kontrollere dem? Der fokuseres på at udvikle algoritmerne sådan, at de ikke er bundet af rutenetværkets nuværende struktur, men derimod nemt kan tilpasses til ethvert rutenetværk, der beskrives ved en køreplan. Det betyder, at hvis rutenettet ændres eller der laves om på køreplanen, så skal der ikke ændres på algoritmerne. Der er foretaget nogle simplifikationer og antagelser i forhold til problemet: Alle revisorhold behandles ens, uanset om holdet består af 1, 2 eller 3 revisorer. Der tages ikke højde for den tid, revisorerne bruger i forbindelse med opstart og afslutning af vagt, inden der rejses ud i rutenettet forberedes dagens vagt og efter vagten udarbejdes rapport mm. Denne tid kan dog modelleres ved at lade ruten begynde lidt senere og slutte lidt før de egentlige arbejdstider. Algoritmerne laves ud fra et statisk synspunkt, så det antages at det på

11 1.2 Specialet 9 forhånd kan fastlægges, hvor længe der køres med samme tog i træk og hvor lang tid der skal bruges på at skifte tog på de forskellige stationer. Der indlægges ikke pauser i arbejdsplanerne udover en længere spisepause midt i vagten og de pauser der forekommer i forbindelse med togskifte på ruten. Det antages at rutenettet er statisk og togene overholder køreplanen i rimelig grad. Den antagelse holder ikke helt i praksis, da der kan forekomme forsinkelser i forhold til køreplanen, disse er dog sjældne. Rimeligheden af antagelserne diskuteres løbende i specialet og i kapitel 8 diskuteres anvendeligheden af algoritmerne i praksis.

12 10 2 Model 2 Model Der skal opstilles en model for revisorernes ruter i rutenetværket, som maksimerer en objektfunktion. Objektfunktionen skal så tage højde for elementer som antal kontrollerede passagerer, antal udskrevne kontrolafgifter, synlighed mm. Modellen skal konstrueres, så ruterne både er fysisk mulige og så revisorernes arbejdstidsbestemmelser overholdes. En første idé kunne være at bruge rutenetværket fra figur 1.1 som en ikke-orienteret multigraf med stationerne som knuder og linierne som kanter. Så vil en rute kunne modelleres som en sti i grafen fra revisorens mødestation til stationen, hvor han har fri, kanterne på stien svarer til at revisoren rejser med et tog på linien. Med en sådan model er det dog svært at tage højde for tidsaspektet i problemet. Det er ikke ligegyldigt på hvilket tidspunkt en revisor rejser med en linie, da det er forskellige tog, der afgår, og han kan komme i konflikt med andre revisorers ruter. I stedet opstilles en model bygget over rutenetværket, der tager hvert tog med. I den forbindelse kan der anvendes aktivitet på knuderne eller aktivitet på kanterne, hvor der med aktivitet menes kontrol af passagerer og andre arbejdsopgaver. Der vælges aktivitet på kanterne, så kanter svarer til rejse mellem to stationer med et bestemt tog til en bestemt tid, hvor der kontrolleres passagerer imens. Knuderne svarer så til ankomster og afgange fra stationerne. En arbejdsplan for en revisor vil så være en sti fra en startstation på et starttidspunkt gennem netværket med bestemte toge til bestemte tider til en slutstation på et sluttidspunkt. Begrænsninger på rejsemønsteret er så givet som en række sidebetingelser til stiens form. Mere formelt konstrueres netværksmodellen som følger: Der laves et acyklisk netværk N = (V, A). For hver station s og tidspunkt t, hvor der ankommer eller afgår et tog fra s, laves en knude (s, t). Når der efterfølgende omtales en knude v V i netværket, så menes et par v = (s, t) af station s og tidspunkt t. For et tog med afgang fra station s i til tid t i og efterfølgende ankomst til s j til tid t j indsættes kanten (s i, t i ) (s j, t j ). Denne type kant kaldes herefter rejsekant. Et tog, der på en linie standser ved n stationer, giver således anledning til n 1 rejsekanter. For to knuder (s, t i ) og (s, t j ), der opfylder t i < t j og hvor der ikke eksisterer en knude (s, t k ) med t i < t k < t j indsættes kanten (s, t i ) (s, t j ). Denne type kant kaldes herefter ventekant. Netværket, der konstrueres udfra alle toge, der kører på en bestemt dag, kaldes station-tid netværket for den pågældende dag. Netværket er acyklisk, fordi alle kanter er orienteret i tidsretningen og da der ikke kører S-tog i en periode om natten, findes der ingen stier fra senere tidspunkter til tidligere tidspunkter. En arbejdsplan for en revisor, der starter på station s start til tid t start og slutter på station s slut til tid t slut er en sti P fra (s start, t start ) til (s slut, t slut ) i station-tid netværket. En rejsekant (s i, t i ) (s j, t j ) på stien svarer til at revisoren kører med toget fra station s i til s j i tidsrummet t i til t j. En ventekant (s, t i ) (s, t j ) på stien svarer til at revisoren opholder sig på station s i tidsrummet t i til t j.

13 2.1 Eksempel 11 En dagplan for K hold af revisorer med start i (s start, t start ) 1,..., (s start, t start ) K og slut i (s slut, t slut ) 1,..., (s slut, t slut ) K er en mængde P 1, P 2,..., P K af K arbejdsplaner, hvor i te arbejdsplan starter i (s start, t start ) i og slutter i (s slut, t slut ) i for i = 1, 2,..., K. 2.1 Eksempel I figur 2.1 ses uddrag af køreplaner for otte udvalgte toge i tidsrummet 15:32-15:51. Togenes linier passerer alle de fem stationer København H, Vesterport, Nørreport, Østerport og Nordhavn. Køreplanerne giver anledning til station-tid netværket i figur 2.2. Alle knuder på en vandret linie tilhører samme station til forskellige tidspunkter og er forbundet med ventekanter. Kanterne på tværs er rejsekanter for togene i køreplanen og er alle fra en station til et tidspunkt til en anden station til et senere tidspunkt. I de udvalgte uddrag af køreplaner holder alle tog 30 sekunder ved hver station. Linie A (10146) København H 15:34:30 Vesterport 15:36:00 15:36:30 Nørreport 15:38:00 15:38:30 Østerport 15:40:30 15:41:00 Nordhavn 15:43:00 Linie H (50146) København H 15:32:30 Vesterport 15:34:00 15:34:30 Nørreport 15:36:00 15:36:30 Østerport 15:38:30 15:39:00 Nordhavn 15:41:00 Linie C (30147) København H 15:42:30 Vesterport 15:44:00 15:44:30 Nørreport 15:46:00 15:46:30 Østerport 15:48:30 15:49:00 Nordhavn 15:51:00 Linie B+ (60146) København H 15:36:30 Vesterport 15:38:00 15:38:30 Nørreport 15:40:00 15:40:30 Østerport 15:42:30 15:43:00 Nordhavn 15:45:00 Linie A (10247) Nordhavn 15:37:00 Østerport 15:39:00 15:39:30 Nørreport 15:41:00 15:41:30 Vesterport 15:43:00 15:43:30 København H 15:45:00 Linie H (50247) Nordhavn 15:39:00 Østerport 15:41:00 15:41:30 Nørreport 15:43:00 15:43:30 Vesterport 15:45:00 15:45:30 København H 15:47:00 Linie H+ (55247) Nordhavn 15:43:00 Østerport 15:45:00 15:45:30 Nørreport 15:47:00 15:47:30 Vesterport 15:49:00 15:49:30 København H 15:51:00 Linie B+ (60247) Nordhavn 15:35:00 Østerport 15:37:00 15:37:30 Nørreport 15:39:00 15:39:30 Vesterport 15:41:00 15:41:30 København H 15:43:00 Figur 2.1: Udvalgt uddrag af køreplanen i tidsrummet 15:32-15:51 for stationerne København H, Vesterport, Nørreport, Østerport og Nordhavn. Ved hvert tog er angivet linie og tognummer.

14 Objektfunktion 15:30 15:35 15:40 15:45 15:50 Tid København H H A B+ C Vesterport Nørreport Østerport Nordhavn B+ A H H+ Figur 2.2: Station-tid netværk for køreplaner fra figur 2.1. Faste kanter er rejsekanter og stiblede kanter er ventekanter. Alle kanter er orienteret i tidsretningen. Figur 2.3 viser en dagplan i eksempelnetværket. Dagplanen indeholder arbejdsplaner for tre revisorer med start i (København H, 15:32) og slut i (København H, 15:51). Arbejdsplanerne er repræsenteret som stier i station-tid netværket. Bemærk at revisor 1 og 3 begge kører med toget på linie H+ fra Østerport til København H. 15:30 15:35 15:40 15:45 15:50 Tid København H H A B+ C Vesterport Nørreport Østerport Arbejdsplan 1 Arbejdsplan 2 Arbejdsplan 3 Nordhavn B+ A H H+ Figur 2.3: Dagplan med tre arbejdsplaner. Alle arbejdsplaner starter i København H kl. 15:32 og slutter i København H kl. 15: Objektfunktion En objektfunktion for problemet bør tage højde for ting som revisorernes synlighed, forventet antal passagerer og forventet antal udskrevne kontrolafgifter. Alle disse objektiver

15 2.2 Objektfunktion 13 samles under ét begreb, prioritet. En rejsekants prioritet er så et mål for hvor attraktiv kanten er at anvende i en arbejdsplan. Lad N = (V, A) være et station-tid netværk. Værdien c(p ) af en arbejdsplan P = (s start, t start ) (s 1, t 1 )... (s slut, t slut ) i forhold til givne kantprioriteter c ij for hver kant (i, j) A er summen af prioriteter på kanter på stien i arbejdsplanen: c(p ) = (i,j) P c ij. Hvis værdien af en dagplan P 1, P 2,..., P K for et hold af K revisorer regnes som summen af arbejdsplanernes værdi K i=1 c(p i), dekomponerer problemet med at finde en optimal dagplan med hensyn til givne kantprioriteter til at finde K optimale arbejdsplaner uafhængigt af hinanden med hensyn til samme kantprioriteter. Resultatet bliver dog, at hvis flere revisorer starter på samme station til samme tid og også slutter på samme station til samme tid, så vil disse revisorer kunne tildeles samme arbejdsplan i en optimal løsning. Det er ikke hensigtsmæssigt, så i fastsættelsen af værdien af en dagplan skal der tages højde for kanter, der indgår i flere arbejdsplaner. Man kunne lægge restriktioner på sammenfald af arbejdsplaner ved at sige, at to arbejdsplaner ikke må benytte samme tog på samme tidspunkt, med andre ord sørge for at hver rejsekant (i, j) højest ligger på stien i én arbejdsplan. Derved bliver problemet at finde K disjunkte stier som arbejdsplaner, som sammen udgør en dagplan. Det er dog uhensigtsmæssigt at forlange at arbejdsplanerne er disjunkte, for når to arbejdsplaner benytter samme ventekant, svarer det blot til at to revisorhold opholder sig på en station samtidig og når de benytter samme rejsekant svarer det til at to revisorhold arbejder på samme tog samtidig. I stedet for at forhindre sammenfald mellem arbejdsplaner bør objektfunktionen nærmere nedsætte prioriteten af kanter, som anvendes af flere arbejdsplaner. En rimelig fastsættelse af værdien af en dagplan er summen af prioriteter af kanter, der er dækket mindst én gang, så hvis en kant er indeholdt i flere arbejdsplaner tæller kantens prioritet kun en gang i objektfunktionen. Derved fås et max kant-dækningsproblem med K stier med faste endepunkter og med sidebetingelser på stierne. Mere formelt defineres problemet som: Givet station-tid netværk N = (V, A), K startknuder s 1, s 2,..., s K V og K slutknuder t 1, t 2,..., t K V og kantprioritet c ij for hver kant (i, j) A, find K stier P 1, P 2,..., P K, hvor P k starter i s k og ender i t k for k = 1, 2,..., K, som maksimerer summen c(p 1,..., P K ) = c ij hvor S = {(i, j) A (i, j) P k for et k {1, 2,..., K}} (i,j) S Derved er det ikke attraktivt, at flere revisorhold kontrollerer samme tog samtidig og det giver forhåbentlig en god spredning af arbejdsplanerne. I modellen tæller prioriteten af en kant kun med, hvis den indgår i en arbejdsplan og det giver ikke ekstra, hvis den indgår i flere arbejdsplaner. Hvis der ønskes mulighed for at nogle kanter kan benyttes af flere arbejdsplaner, uden at kanternes prioritet kun tælles en gang, kan samme model anvendes. Det gøres med en tilføjelse til station-tid netværket.

16 Et set covering problem Hvis der f.eks. ønskes mulighed for at en kant (i, j) A kan indgå i to arbejdsplaner, men anden gang, den anvendes tæller dens prioritet kun halvt i dagplanens værdi, så indættes en parallel kant (i, j) med prioritet c ij = 1 2 c ij. Så kan (i, j) anvendes i den ene arbejdsplan, mens (i, j) anvendes af den anden. 2.3 Et set covering problem Med den fastlagte objektfunktion kan max kant-dækningsproblemet formuleres som en variant af set covering problemet som følger: Der er givet et station-tid netværk N = (V, A) med kantprioritet c ij for hver kant (i, j) A. Der er K hold af revisorer. Der er angivet startknude s k V og slutknude t k V for k = 1, 2,..., K. P k angiver mængden af arbejdsplaner det k te hold må anvende, dvs. P k er mængden af gyldige stier i N fra s k til t k for k = 1, 2,..., K. For planen P P k angiver δ ij (P ) om kanten (i, j) A indgår i planen P. Variablen x(p ) angiver om planen P P k er valgt for k = 1, 2,..., K og y ij angiver om kanten (i, j) A indgår i mindst én valgt arbejdsplan. Følgende model maximerer profitten af kanter, der indgår i valgte arbejdsplaner: max c ij y ij Under betingelserne y ij 1 k K (i,j) A P P k δ ij (P )x(p ) for alle (i, j) A (2.1) P P k x(p ) = 1 for k = 1,..., K (2.2) y ij {0, 1} for alle (i, j) A (2.3) x(p ) {0, 1} for alle P P k, k = 1,..., K (2.4) Objektfunktionen maksimerer profitten af kanter, der er dækket mindst én gang og betingelse (2.1) sikrer at kanter kun er dækket, hvis de indgår i mindst én valgt arbejdsplan. For hvert revisorhold skal der findes præcis en gyldig sti fra s k til t k, det sikres med betingelse (2.2), der angiver at der skal vælges præcis 1 arbejdsplan i mængden P k for det k te revisorhold. (2.3) og (2.4) angiver, at y ij for (i, j) A og x(p ) for P P k, k = 1, 2,..., K er binære variable. Set covering problemet er at finde billigste dækning af en mængde med delmængder af givne omkostninger. I denne variant ønskes dækket en mængde af kanter i et netværk med et fast antal delmængder, hvor delmængderne er stier i netværket. I set covering problemet er det fast hvad der skal dækkes og variabelt, hvor mange delmængder skal anvendes. I dette problem er det omvendt. Her er det fast hvor mange delmængder

17 2.4 Station-tid netværk for DSB S-tog 15 skal anvendes, mens det er variabelt hvad delmængderne skal dække. Objektfunktionen er ikke at mindske den samlede omkostning af anvendte delmængder, men derimod at maksimere prioriteten af elementer, der er dækket mindst én gang. I ovenstående anvendes at P k er mængden af mulige arbejdsplaner for k te revisorhold. En arbejdsplan er en gyldig sti i station-tid netværket, men hvad menes med gyldige stier og hvordan karakteriseres disse? En gyldig sti P P k er en sti der overholder en række sidebetingelser: P er en sti i station-tid netværket fra startknuden s k til slutknuden t k. Der er en længere pause midt i vagten svarende til spisepause og et antal mindre pauser indlagt på ruten. En pause svarer til at følge ventekanterne for en station et antal minutter i træk. Der er en øvre grænse for hvor mange minutter i træk arbejdsplanen følger samme tog. Ved togskift haves tilstrækkelig tid på perronen til at imødegå mindre uregelmæssigheder i fht. køreplanen og til fysisk at flytte sig til en anden afgang. Der må kun anvendes en delmængde af togene, f.eks. togene der kører på en bestemt linie. Gyldige arbejdsplaner i P k og optimalitet af disse karakteriseres i kapitel 3 om arbejdsplaner. 2.4 Station-tid netværk for DSB S-tog Ud fra køreplanerne for DSB S-tog konstrueres et station-tid netværk for en hverdag. Størrelsen af det resulterende netværk er som følger: Netværket har n = knuder og m = kanter, hvoraf er rejsekanter og er ventekanter. Knuderne har generelt kun få indgående og udgående kanter knuder har 1 udgående rejsekant og 858 knuder har 2 udgående rejsekanter og ingen knuder har flere udgående rejsekanter. Derudover har alle knuder en udgående ventekant på nær knuder med stationer og tidspunkter, hvor der ikke afgår senere tog. Station-tid netværket for lørdage er lidt mindre end for hverdage, det har knuder og kanter, mens station-tid netværket om søndagen har knuder og kanter. I flere tilfælde anvendes at netværket er acyklisk. Kanter mellem knuder i netværket går altid fra en knude med et tidspunkt til en anden knude med et senere tidspunkt. Så en acyklisk ordning af knuderne findes ved sortere knuderne efter tidspunkt og for knuder (s 1, t) og (s 2, t) med samme tidspunkt t vælges en vilkårlig ordning, da der ikke kan være kanter mellem dem jævnfør konstruktionen af netværket.

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt Velkommen i Metroen Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt rundt på en bæredygtig måde. Billetter

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland

Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland Notat 21.11.13 Besvarelse af spørgsmål om passagergrundlag for ny station ved Holeby på Lolland Bjarne Jensen har stillet en række spørgsmål til den metode, der er anvendt til fastsættelse af passagergrundlaget

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Sagens omstændigheder: Klageren rejste den 15. april 2011 med S-tog linje E, der ikke standser mellem Lyngby og Hellerup.

Sagens omstændigheder: Klageren rejste den 15. april 2011 med S-tog linje E, der ikke standser mellem Lyngby og Hellerup. AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2011-0122 Klageren: XX 2850 Nærum Indklagede: DSB S-tog A/S Klagen vedrører: Kontrolafgift på 750 kr. for manglende zoner Ankenævnets sammensætning:

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Rangerplanlægning. Per Munk Jacobsen. 31. december 2007

Rangerplanlægning. Per Munk Jacobsen. 31. december 2007 Rangerplanlægning Per Munk Jacobsen 31. december 2007 Indhold 1 Resume 4 2 Indledning 6 3 Forhold ved værkstederne 9 4 Problemformulering 14 5 Litteratur 16 5.1 Tog rute problemet for en station..................

Læs mere

7DVWHYHMOHGQLQJ#²#,QWHUQHW#([SORUHU

7DVWHYHMOHGQLQJ#²#,QWHUQHW#([SORUHU 7DVWHYHMOHGQLQJ#²#,QWHUQHW#([SORUHU,QGKROGVIRUWHJQHOVH BROWSEREN - DE VIGTIGSTE FUNKTIONER OG BEGREBER.... 2 TILPAS BROWSEREN... 3 GÅ DIREKTE TIL EN KENDT ADRESSE... 5 LAV ET BOGMÆRKE... 6 ORGANISÉR DINE

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Kontroller af forretningsregler ved indsendelse af digitale årsrapporter

Kontroller af forretningsregler ved indsendelse af digitale årsrapporter Oversigt over: Kontroller af forretningsregler ved indsendelse af digitale årsrapporter Erhvervsstyrelsen, december 201 Version 1.3 Erhvervsstyrelsen, december 201, Version 1.3 Side 1 Forord Dette dokument

Læs mere

En letbane på tværs af København?

En letbane på tværs af København? En letbane på tværs af København? Besøg Københavns Amts vandreudstilling om letbanen langs Ring 3. Udstillingen åbner 11. april på Amtssygehuset i Herlev. Herefter går turen videre til Glostrup, Gladsaxe,

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside

Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside Forord Denne vejledning beskriver baggrunden for begreber og sammenhænge i Danmarks Statistiks dokumentationssystem

Læs mere

Regler for VinterCup 2012/13

Regler for VinterCup 2012/13 Regler for VinterCup 2012/13 Generelt: VinterCup er en parkonkurrence, hvor parret følges ad under hele løbet. Der køres efter indtegnede poster på et kort. Der er en maksimal køretid på 90 minutter, og

Læs mere

Plads til flere tog på Københavns Hovedbanegård. Sporarbejder København H Nordhavn

Plads til flere tog på Københavns Hovedbanegård. Sporarbejder København H Nordhavn Plads til flere tog på Københavns Hovedbanegård Sporarbejder København H Nordhavn MERE KAPACITET PÅ HOVEDBANEGÅRDEN Lav Københavns Hovedbanegård om fra endestation til gennemkørselsstation Luk op for mere

Læs mere

Smart-ebizz Manual til Bookinsystem Indholdsfortegnelse Kom hurtigt i gang med dit booking system:... 3 Overblikket over dit bookingsystem... 4 Hovedside... 4 Kunder... 4 Opret ny Kunde... 4 Vagtplaner...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Lise Bjørg Pedersen (2 stemmer)

Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Lise Bjørg Pedersen (2 stemmer) AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0069 Klageren: XX på vegne YY 2635 Ishøj Indklagede: DSB S-tog Klagen vedrører: Kontrolafgift på 750 kr. grundet for få zoner. Ankenævnets

Læs mere

Den Gode Cykelstation

Den Gode Cykelstation Knud Trubbach, DSB Niels Hoé-Svendsen, DSB S-tog Kristoffer Kejser, DSB Indledning Hvordan kan man indrette en station, så cyklister for alvor føler sig velkomne? Hvordan kan man sikre, at cykelparkeringen

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer)

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer) 1 AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0003 Klageren: Indklagede: XX 2300 København S DSB S-tog Klagen vedrører: Ankenævnets sammensætning: Kontrolafgift på 750 kr. grundet

Læs mere

Overraskende hurtig 1

Overraskende hurtig 1 Overraskende hurtig 1 Overblik Sammenhæng mellem Movias buskoncepter Geografi Buskoncepter Byområder A-BUS Linjer i og mellem byområder og arbejdspladser i hovedstadsområdet ALMINDELIG BUS S-BUS +WAY Linjer

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Let at komme rundt Regional tilgængelighed med kollektiv transport. TØF d. 2.10.2012

Let at komme rundt Regional tilgængelighed med kollektiv transport. TØF d. 2.10.2012 Let at komme rundt Regional tilgængelighed med kollektiv transport Projekt i 2 faser 1.Analyse 2.Løsninger Regional tilgængelighed med kollektiv transport Hva snakker vi om? Hvad er regionale rejsemål?

Læs mere

Nørrebrogade. 2 spor samt cykelsti i begge sider og buslomme ved stoppested.

Nørrebrogade. 2 spor samt cykelsti i begge sider og buslomme ved stoppested. Grøn bølge for cyklister i København Nicolai Ryding Hoegh Trafikingeniør Københavns Kommune - Center for Trafik nicols@tmf.kk.dk I Københavns Kommune er der et stort politisk fokus på dels at få flere

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

Avanceret kampagnestyring

Avanceret kampagnestyring Indlæsning af egne kampagner:... 1 Prioritering af kampagner... 3 Arbejdsgangen er følgende:... 3 Mere om RET:... 4 Kampagne numre:... 4 Rapportudskrivning af kampagner:... 4 Udskriv prismærker for en

Læs mere

Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING

Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Hvad Er det en god har idé? vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. for rejse med DB-billet med metroen

Kontrolafgift på 750 kr. for rejse med DB-billet med metroen 1 AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2013-0411 Klageren: XX Tyskland Indklagede: Metroselskabet I/S v/metro Service A/S CVR: 21 26 38 34 Klagen vedrører: Ankenævnets sammensætning:

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Business Online. Business Online - User manual. User Manual Booking. Indholdsfortegnelse

Business Online. Business Online - User manual. User Manual Booking. Indholdsfortegnelse Business Online User Manual Booking Indholdsfortegnelse Login Side 2-3 Hovedside - 4 Bestil rejse (start) - 5 Bestil flyrejse via prisstyret søgning - 6-7 Bestil flyrejse via tidsstyret søgning - 8-12

Læs mere

Hurtigruteforbindelse mellem Samsø og Århus. Etablering af en hurtigrute mellem Samsø og Århus

Hurtigruteforbindelse mellem Samsø og Århus. Etablering af en hurtigrute mellem Samsø og Århus Århus Kommune Økonomisk Afdeling Den 3. september 2004 Notat Emne Til: Til: Kopi til: Udarbejdet af Tlf. nr: Hurtigruteforbindelse mellem Samsø og Århus Samsø Byråd mk 2.115 Etablering af en hurtigrute

Læs mere

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning Disposition Udførelse af jordankre: DS/EN 1537:2013 (indført 29/7 2013... ikke længere ny) Scope Bond type and compression type anchors Formål med

Læs mere

rdtaxaplan Vejledning

rdtaxaplan Vejledning ravnø data - svendborgvej 9-5750 ringe - www.ravno.dk - rd@ravno.dk - 6263 2667 2009 Ravnø Data Indhold 1. rdtaxaplan...5 1.1. Oversigt...5 1.2. Hovedmenu...5 1.3. Godt at vide, inden du går videre...6

Læs mere

ESBJERG > VARDE > NR. NEBEL

ESBJERG > VARDE > NR. NEBEL VESTBANEN ESBJERG > VARDE > NR. NEBEL Gyldig fra 14.12.2014 til 12.12.2015 Esbjerg Spangsbjerg Gjesing Guldager Varde Kaserne Varde Frisvadvej Varde vest Boulevarden Hyllerslev Janderup Billum Oksbøl Baunhøj

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Vejledning i brug af hjemmeside og intranet

Vejledning i brug af hjemmeside og intranet Vejledning i brug af hjemmeside og intranet Side 1 Vejledning i brug af hjemmeside og intranet 1 Indledning... 2 2 Hjemmesiden... 3 2.1 Kolonnen i venstre side... 3 2.1.1 Øverst... 3 2.1.2 I midten...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Potentiale for integreret planlægning og optimering af den kollektive trafik med passageren i centrum. Otto Anker Nielsen, oan@transport.dtu.

Potentiale for integreret planlægning og optimering af den kollektive trafik med passageren i centrum. Otto Anker Nielsen, oan@transport.dtu. Potentiale for integreret planlægning og optimering af den kollektive trafik med passageren i centrum Otto Anker Nielsen, oan@transport.dtu.dk Måling af passagerpræferencer - hvad betyder noget? Rejsetid

Læs mere

Turist i Aarhus. Hvordan udnyttes tiden bedst?

Turist i Aarhus. Hvordan udnyttes tiden bedst? Turist i Aarhus Hvordan udnyttes tiden bedst? Morten Sloth Frandsen Antal anslag (Uden mellemrum): 92.481 Maj 2015 Vejleder: Jens Lysgaard Institut for Økonomi Executive Summary This paper briefly describes

Læs mere

Miniguide Wellnessbox Medarbejderversion 2.0

Miniguide Wellnessbox Medarbejderversion 2.0 Miniguide Wellnessbox Medarbejderversion 2.0 Indholdsfortegnelse 1. Wellnessbox HOVEDMENU 2. Wellnessbox hjælpepunkter og hovedmenu 3. KASSE: Åbn kassen 4. KASSE: Luk kassen 5. KASSE: Sælg vare 6. KASSE:

Læs mere

Administrationsgebyr på 125 kr. samt billetpris på 36 kr. grundet manglende forevisning af mobilbillet.

Administrationsgebyr på 125 kr. samt billetpris på 36 kr. grundet manglende forevisning af mobilbillet. AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2014-0319 Klageren: XX 2700 Brønshøj Indklagede: DSB S-tog CVRnummer: 25050053 Klagen vedrører: Administrationsgebyr på 125 kr. samt billetpris

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Vejledning om arbejdstid for mobile arbejdstagere

Vejledning om arbejdstid for mobile arbejdstagere Vejledning om arbejdstid for mobile arbejdstagere Forord 3F s transportgruppe har i løbet af 2005 gennemført en lang række medlemsmøder over hele landet med temaet De nye arbejdstidsregler. Langt over

Læs mere

at orienteringen om driftsplanlægningen under VM i Cykling tages til efterretning.

at orienteringen om driftsplanlægningen under VM i Cykling tages til efterretning. Politisk dokument uden resume Sagsnummer Bestyrelsen 14. september 2011 Mads Lund Larsen 18 Driftsplanlægning under VM i cykling Indstilling: Det indstilles, at orienteringen om driftsplanlægningen under

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Møder til glæde og gavn i Vesthimmerlands Kommune

Møder til glæde og gavn i Vesthimmerlands Kommune Møder til glæde og gavn i Vesthimmerlands Kommune Møder til glæde og gavn? Møder, møder, møder Du kan sikkert nikke genkendende til, at en betragtelig del af din arbejdstid bruges på forskellige møder.

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. for manglende billet samt 250 kr. i rykkergebyr. Bjarne Lindberg Bak (2 stemmer) Lise Bjørg Pedersen Torben Steenberg

Kontrolafgift på 750 kr. for manglende billet samt 250 kr. i rykkergebyr. Bjarne Lindberg Bak (2 stemmer) Lise Bjørg Pedersen Torben Steenberg AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0304 Klageren: Indklagede: XX 2200 København N Midttrafik Klagen vedrører: Ankenævnets sammensætning: Kontrolafgift på 750 kr. for manglende

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Karrierekvinder og -mænd

Karrierekvinder og -mænd Rockwool Fondens Forskningsenhed Arbejdspapir 35 Karrierekvinder og -mænd Hvem er de? Og hvor travlt har de? Jens Bonke København 2015 Karrierekvinder og -mænd Hvem er de? Og hvor travlt har de? Arbejdspapir

Læs mere

Web MTC manual. Version 1.1 08-11-2012

Web MTC manual. Version 1.1 08-11-2012 Web MTC manual Version 1.1 08-11-2012 1 Revisioner: Version 1.0, 11-10-2012: Oprettelse af dokument Version 1.1, 08-11-2012: Afsnit om udskrivning af rapport tilføjet. 2 Indhold Sideopbygning... 5 Startside...

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. pålagt i Metro i forbindelse med gratis søndag i S-tog.

Kontrolafgift på 750 kr. pålagt i Metro i forbindelse med gratis søndag i S-tog. 1 AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2011-0066 Klageren: XX på vegne af YY 2000 Frederiksberg Indklagede: Metroselskabet I/S v/metroservice A/S. Klagen vedrører: Kontrolafgift

Læs mere

Multiple Choice Prøver

Multiple Choice Prøver Teori og Praksis for Multiple Choice Prøver Michael I. Schwartzbach Multiple Choice ved Datalogi Anvendt i mange datalogikurser siden 2006: Oversættelse Databaser Webteknologi Programmingssprog Dynamiske

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. for automatisk tjek-ud på rejsekort. Rejsetid maksimum 6 timer

Kontrolafgift på 750 kr. for automatisk tjek-ud på rejsekort. Rejsetid maksimum 6 timer AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2013-0160 Klageren: XX 2650 Hvidovre Indklagede: Movia CVRnummer: 29896569 Klagen vedrører: Kontrolafgift på 750 kr. for automatisk tjek-ud

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Daglig brug af JitBesked 2.0

Daglig brug af JitBesked 2.0 Daglig brug af JitBesked 2.0 Indholdsfortegnelse Oprettelse af personer (modtagere)...3 Afsendelse af besked...4 Valg af flere modtagere...5 Valg af flere personer der ligger i rækkefølge...5 Valg af flere

Læs mere

Vejledning til Sydtrafiks handicapkørsel i Sønderjylland

Vejledning til Sydtrafiks handicapkørsel i Sønderjylland Vejledning til Sydtrafiks handicapkørsel i Sønderjylland Gældende fra 1. november 2008 Denne vejledning forklarer om vilkårene for at bruge Sydtrafiks handicapkørsel og opdateres en gang årligt i forbindelse

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE - SKOLER Forståelsespapir vedrørende arbejdstid på skoleområdet fra august 2014 udgave 21.02.2014

VORDINGBORG KOMMUNE - SKOLER Forståelsespapir vedrørende arbejdstid på skoleområdet fra august 2014 udgave 21.02.2014 VORDINGBORG KOMMUNE - SKOLER Forståelsespapir vedrørende arbejdstid på skoleområdet fra august 2014 udgave For at skabe tydelighed, tryghed og klarhed i denne forandringsproces har skoleledere, kommunen,

Læs mere

Cyber SPORT Quick Guide

Cyber SPORT Quick Guide Cyber SPORT Quick Guide 2015 Version 1.0 Kom godt i gang Her er en kort introduktion til Cyber, hvor du kan bestille flybilletter, hotelovernatninger samt billeje. 1. Gå på hjemmesiden www.idraettensrejsebureau.dk

Læs mere

Arbejdstid for lærere/børnhaveklasseledere i Odsherred Kommune

Arbejdstid for lærere/børnhaveklasseledere i Odsherred Kommune Initialer: frf Sag: 306-2015-4375 Dok.: 306-2015-20747 Oprettet: 22. januar 2015 Aftale mellem Danmarks Lærerforening Kreds 51 og Odherred Kommune om rammerne for arbejdstid for lærere og børnehaveklasseledere

Læs mere

Refusion af togbillet, klagegebyr inkl. overførselsudgift samt udgifter til korrespondance/tlf.

Refusion af togbillet, klagegebyr inkl. overførselsudgift samt udgifter til korrespondance/tlf. AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0044 Klageren: XX 9900 Frederikshavn Indklagede: DSB Fjern- og Regionaltog Klagen vedrører: Refusion af togbillet, klagegebyr inkl. overførselsudgift

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Arbejdstidsaftale kort fortalt

Arbejdstidsaftale kort fortalt Arbejdstidsaftale kort fortalt Kommenteret udgave af arbejdstidsaftalen med tilhørende eksempler og lønarter. 4 Normperiode og søgnehelligdage Den gennemsnitlige ugentlige arbejdstid er 37 timer pr. uge

Læs mere

Østtælling 2008 DSB og DSB S-tog

Østtælling 2008 DSB og DSB S-tog Østtælling 2008 DSB og DSB S-tog Østtælling 2008 blev gennemført den 13. november 2008 Denne rapport beskriver de overordnede resultater af Østtælling 2008 samt de metodiske forhold og overvejelser der

Læs mere

Cyber SPORT Quick Guide

Cyber SPORT Quick Guide Cyber SPORT Quick Guide 2015 Version 1.0 Kom godt i gang Her er en kort introduktion til Cyber, hvor du kan bestille flybilletter, hotelovernatninger samt billeje. 1. Gå på hjemmesiden www.idraettensrejsebureau.dk

Læs mere

! #!! $ % $! & " &'"! & *+ "! " $ $ ""!,-! $!.! $! " # 1!! &' "

! #!! $ % $! &  &'! & *+ !  $ $ !,-! $!.! $!  # 1!! &' ""# "" # $ % $ & " &'" & " "()" *+ " " $ $ *+" $ %"&'" "( "",- $. + /"&'"-0 $ " # 1 &' " +"% $ %'('" 2 ' ) )030 )030) * )033 " )033 // " " 1 1 41 ")035)036 5- " " " *+773,8 *+ % " " )035& " )036& " 1 %"

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Efteruddannelseskataloget

Efteruddannelseskataloget Efteruddannelseskataloget Vejledning til indtastning Version 8.6 UNI C oktober 2013 Efteruddannelseskataloget UNI C Version 8.6 Af Henrik Borck Larsen og Anne-Marie Pedersen Indhold 1 Indledning... 1 1.1

Læs mere

GPS data til undersøgelse af trængsel

GPS data til undersøgelse af trængsel GPS data til undersøgelse af trængsel Ove Andersen Benjamin B. Krogh Kristian Torp Institut for Datalogi, Aalborg Universitet {xcalibur, bkrogh, torp}@cs.aau.dk Introduktion GPS data fra køretøjer er i

Læs mere

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april 2003 1 Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 %

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1F Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 Opgave Vægtning 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Alle de sædvanlige hjælpemidler må benyttes,

Læs mere

VEU-godtgørelse og befordringstilskud. Virksomheder

VEU-godtgørelse og befordringstilskud. Virksomheder VEU-godtgørelse og befordringstilskud Virksomheder Side 2 af 31 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Adgang til ansøgningsskema... 3 Ansøgningen... 4 Trin 1 Hvad søges?... 5 Trin 2 Personlige oplysninger...

Læs mere

THISTED > STRUER. Thisted. Struer. Gyldig fra 14.12.2014 til 12.12.2015

THISTED > STRUER. Thisted. Struer. Gyldig fra 14.12.2014 til 12.12.2015 THISTED > STRUER Gyldig fra 14.12.2014 til 12.12.2015 Thisted Sjørring Snedsted Hørdum Bedsted Thy Hurup Thy Ydby Lyngs Hvidbjerg Uglev Oddesund Nord Humlum Struer Thisted Hurup Thy Struer Information

Læs mere

Forståelsespapir. Indledning. Ledelse og samarbejde. Den 10. marts 2014

Forståelsespapir. Indledning. Ledelse og samarbejde. Den 10. marts 2014 Forståelsespapir Den 10. marts 2014 Samarbejdsgrundlag mellem Lejre Kommune og Lejre Lærerforening - den fælles forståelse af læreres og børnehaveklasselederes arbejdstidsregler i skoleåret 2014-2015 Indledning

Læs mere

7. Referencer til andre værktøjer. 8. Sammenhæng med internationale standarder. 9. Referencer til Projektledelse Teori og praksis. 10.

7. Referencer til andre værktøjer. 8. Sammenhæng med internationale standarder. 9. Referencer til Projektledelse Teori og praksis. 10. Projektlederens værktøj 7. Referencer til andre værktøjer Nr. Navn Sammenhæng med Kritisk sti (CPM) 4.3.3 Tidsplan Udarbejdelse af tidsplan er forudsætningen for at kritisk sti kan findes 4.4.2 Successiv

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION SEARCH ENGINE OPTIMIZATION Søgeord og online marketing v. Kristian Stoffregen Tørning, Lektor (MPL) / Maj 2013 Program 1. Hvordan søger brugerne? 2. Hvordan ved søgemaskinen, hvad der er relevant? 3. Praktisk

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

PRODUKTBLAD KOMMUNAL FLEXTRAFIK Variabel kørsel 1.3_23.05.2014

PRODUKTBLAD KOMMUNAL FLEXTRAFIK Variabel kørsel 1.3_23.05.2014 Kørselstyper Lukkede kommunale befordringsordninger af variabel karakter med forudgående visitation. Fx kørsel til læge/speciallæge og individuelle genoptræningsforløb. Med variabel kørsel menes, at der

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde

Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde 1. Projekttitel 5 fremkommelighedsprojekter på landevej 505 mellem Assens og Odense. 2. Resumé Fremkommelighed på vejene

Læs mere

Den rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832

Den rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832 Den rejsende sælgers problem? En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han ønsker at minimere sine rejseomkostninger? Den rejsende

Læs mere