MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1"

Transkript

1 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske beregninger indenfor emnerne: Laplace-transformation: Snedig metode til løsning af 2. ordens differentialligninger. Fourier-rækker: Hvordan man kan opløse funktioner i (uendeligt mange) harmoniske svingninger og hvornår dette er smart. Vektoranalyse: Integralsætninger for gradient, divergens og rotation. Potensrækker: En slags Taylorpolynomier af uendeligt høj grad. Analytiske funktioner: Om at udnytte komplekse funktioner til nemmere beregninger, inklusive integration ved residuer. Praktisk: Vi mødes 14 gange à 4 timer. Hver seance består af 90 minutters forelæsning i Fib.16 lokale 1.108, og derefter 2 timers opgaveregning i grupperne. Uge Dato Nr. Emner 36 3/9 1 kapitel 15.1: Talfølger, konvergens. Uendelige rækker /9 2 kapitel 6.1 2: Laplace-transformation, differentialligninger /9 3 kapitel 6.3 5: Trinfunktionen, Diracs deltafunktion. Foldning /9 4 kapitel 6.6 9: Mere om differentiation og differentialligninger. 40 1/10 5 kapitel : Fourierrækker I: periodiske funktioner. 41 8/10 6 kapitel 11.2: Fourierrækker II: lige og ulige funktioner /10 7 kapitel : Fourierrækker III: tvungne svingninger. 25/10 8 kapitel 9.1 5: Vektorfelter. Prik- og krydsprodukt. Kurvelængde. kapitel 9.7 9: Gradient. Divergens og rotation. kapitel : Kurveintegraler /10 9 kapitel : Greens sætning i planen. Fladeintegraler. 1/11 10 kapitel 10.7: Gauss s sætning (divergenssætningen). 45 5/11 11 kapitel : Potentialer. Stokes s sætning (rotationssætningen) /11 12 kapitel 13: Kompleks differentiation, Cauchy Riemanns differentialligninger for analyticitet. kapitel 17.1: Konform afbildning. kapitel : Komplekse kurveintegraler /11 13 kapitel 14.3: Cauchys integralformler for analytiske funktioner. kapitel 15: Potens- og Taylorrækker /11 14 kapitel 16: Laurentrækker. Integration ved residuer. 27/11 15 Øvelser til 14. gang i grupperummene, kl Justeringer kan forekomme undervejs. Eksamen: Intern skriftlig prøve med hjælpemidler. Pensum: Den gennemgåede litteratur i de 14 seancer, der er skemasat. 1

2 EN,MP 2. september 2013 Oversigt nr. 2 Tirsdag den 3. september, kl Vi mødes i Fib. 16, auditorium til forelæsning kl Til opgaveregningen (ca ) repeterer vi først lidt om komplekse tal (det er IKKE meningen man skal bruge regnemaskine): Skriv brøkerne 6 i i, 7 + i i 3 på formen x + i y for passende reelle tal x, y. Find z 2 og z 2 når z = 3 i 4. (Overraskende!?) Find modulus og (et) argument for z = 2 i 2 3. Skriv z på formen re i θ. Find real- og imaginærdelen for 4e i π/12. Vink: Løs z 2 = 16e i π/6. (Svar: 6 ± 2)!) Desuden tager vi et par små opgaver om uendelige rækker: Bestem summen af den uendelige række Brug først din intuition! ( 1 10 )2 + + ( 1 10 )n +... Brug dernæst en relevant formel og sammenlign! Udregn (Vink: Omskriv til en kvotientrække hvilken kvotient q kan bruges?) Brug kvotientkriteriet til at afgøre om følgende rækker konvergerer: n=1 1 n!, 1 e. n n=1 Tid til overs? Begynd på opgave i bogen. 2

3 EN,MP 9. september 2013 Oversigt nr. 3 NB! Som et supplement til Kreyzigs sætninger bør jeg nævne følgende velkendte resultater: Potenskriteriet: En uendelig række af formen n=1 Alternerende rækker Rækken 1 n p konvergerer hvis og kun hvis 1 < p <. ( 1) n+1 b n konvergerer når b 1 > b 2 > > b n > > 0 n=1 og desuden b n 0 for n. (Endda: Når s = n=1 ( 1)n+1 b n og afsnitsfølgen betegnes (s n ), så gælder 0 < ( 1) n (s s n ) < b n+1. Dvs. at fejlen s s n både har samme fortegn og højst samme størrelse som det først udeladte led!) Begge disse resultater kan være nyttige, både direkte og når man vil bruge sammenligningskriteriet. Tirsdag d. 10. september. Her skal vi træne at afgøre uendelige rækkers konvergens/divergens: Sammenligningskriteriet (Thm ) Vis at rækken nedenfor konvergerer: n= = 2 2 2n Konvergens/divergens Regn Husk at angive hvilket kriterium du brugte til at finde svarene. Videnskabelige beregninger Dette kan belyses ved at regne (Vink: Man kan f.eks. begynde med at opnå konvergens af rækken, ved at vise at den opfylder kvotientkriteriet med q = 1( ) < 1.) Grænseværdi: Lav f.eks. opgave

4 EN,MP 13. september Oversigt nr. 4 NB. Regn så vidt muligt opgaverne nedenfor HJEMMEFRA! (Mange er helt enkle at gå til...) 3. gang, tirsdag den 17. september. Emnerne for opgaverne er: Laplacetransformering: Regn (nemme!), brug tabellen og IKKE computer! Dernæst ved brug af definitionen på Laplacetransformationen. Forsæt eventuelt med Invers transformering: Lav og Differentialligninger: Regn Gamma-funktionen: Læs om Γ(x) side A54 og regn efter at definitionen i (24) giver formlerne i (25) (26) som påstået. (Nemme!) Dernæst opgave

5 EN,MP 18. september 2013 Oversigt nr gang, tirsdag den 24. september. Her fortsætter vi med forelæsning over afsnittene i [K]. Opgaveregningen fokuserer på: Differentialligninger: Opgave Forskudte problemer: Prøv med (Jvf. Ex ) Trinfunktionen: Regn tegn f s graf, skriv f vha. u(t a), bestem L(f)! Translationssætningen (Thm ): Regn , og dernæst Diskontinuerte højresider: Lav opgave Vink: Udnyt omskrivningen 4tu(t 1) = 4(t 1)u(t 1) + 4u(t 1) til at repræsentere højresiden h(t) som Fortsæt med opgave h(t) = 4(t 1)u(t 1) + 12u(t 1). NB: Regn så vidt muligt 1 2 fra hvert emne hjemmefra! 5

6 EN,MP 30. september 2013 Oversigt nr. 6 Vi fortsætter her i kursets 2. fjerdedel med at gennemgå kapitel om Fourierrækker. 5. gang, tirsdag den 1. oktober. Her ser vi på opgaver i Foldning: Lav opgave (nemme!). Fortsæt med og Stambrøker: Regn Koblede ligninger: Lav (man kan gå frem som i Ex ). Fortsæt med gang, tirsdag den 8. oktober. Vi regner opgaver i Periodiske funktioner: Lav (nemme! husk også at tegne (lidt) både for x < π og for x > π). Prøv Fourierrækker: Brug din PC til at plotte S 10 (x), S 20 (x) og S 30 (x) i eksemplet side 478 over intervallet 4 x 4. Sammenlign med Figur 261! (Den dårlige tilnærmelse i diskontinuitetspunkterne kaldes Gibbs fænomen. Se eventuelt nærmere på phenomenon.) Fourier-koefficienter: Regn først Dernæst ; er resultatet overraskende? Fortsæt med (U)lige funktioner: Lav og også (nemme!). 6

7 EN,MP 21. oktober 2013 Oversigt nr. 7 Sidste gang så vi at en 2π-periodisk funktion f : R C vha. den komplekse eksponential funktion e i nx = cos(nx)+i sin(nx) har den komplekse Fourierrække f(x) = n= c n e i nx hvor c n = 1 π f(x)e i nx dx. (1) 2π π Endvidere så vi, at funktionerne e i nx og e i mx er ortogonale for n m og at fremstillingen af f(x) ovenfor derfor kun opnås, såfremt man vælger alle c n til at have værdierne givet ved integralformlen i (1). Heraf udledte vi Fourierrækkernes ABC : Ved overgang mellem de reelle og komplekse Fourierrækker gælder der at c 0 = a 0 mens a n = c n + c n, b n = i(c n c n ) for n = 1, 2,... Omvendt har man at c n = 1 2 (a n i b n ) og c n = 1 2 (a n + i b n ). 7. gang, tirsdag den 22. oktober. Vi fortsætter med gennemgangen af Fourierrækker iht. oversigt nr. 1. Dog vil vi først lægge hovedvægten på afsnit Desuden ser vi denne gang på følgende opgaver: Komplekse Fourierrækker: Brug ovenstående resume til at bestemme de komplekse Fourierrækker for følgende funktioner: f(x) = 7, g(x) = cos x, h(x) = sin x. (Nemme!) Find den komplekse Fourierrække for firkantspændingen i Eksempel Reelle funktioner: Vis at når f(x) kun har reelle værdier, så gælder at c n = c n. Fourierrækker, (u)lige fkt.: Regn opgave Brug resultatet til at slutte at der (som lovet; jvf. også opgave ) gælder at n 2 + = π2 6. Hvorfor er Fourierrækken konvergent for x = 1? Nye rækker vha. gamle: Vær snedig og regn ved bruge metoden fra Eksempel på resultatet i (Overvej også om Theorem kan udnyttes!) 7

8 EN,MP 24. okotber 2013 Oversigt nr gang, NB: fredag den 25. oktober kl Ved forelæsningen vil jeg først runde af omkring Fourierrækker, og dernæst gå videre med kapitel 9 om vektoranalyse iht. oversigt nr. 1. Øvelserne vil blive sidste runde med Fourierrækker: Halv-periode udviklinger: Regn (OBS. (a) er nem!) Forsæt med (NB: Del (a) har vi mødt før. Hvor?) Periodiske partikulærløsninger: Lav først OBS: Fourierrækken for r(t) er kendt fra Eksempel (Man får A n = 4c πd n, B n = 4(1 n2 ) πnd n.) Regn dernæst

9 EN,MP 28. oktober 2013 Oversigt nr. 9 Som sagt ved forelæsningen: I bør bladre kapitel 9 igennem og nikke til det I kender undervejs og læse nærmere om de ting, I ikke genkender! I de nye emner kan I med fordel gennemregne Kreysigs taleksempler, blot for at afmystificere tingene. 9. gang, tirsdag den 29. oktober. Her regnes opgaver i følgende emner: Gradienter+potentialer: Gennemsku opgave Rotation af vektorfelt: Regn (Vink: Overvej om du kan bruge en af formlerne i , og bevis den formel du bruger.) Bevis formlerne i Theorem (regn løs!). Gl. eksamensopgave(januar 2011) Betragt ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er den 2π-periodiske funktion der er defineret ved { t + π/2, for π < t < 0, r(t) = t 2 /π + π/2, for 0 t π. Vis at r(t) hverken er lige eller ulige. Find en 2π-periodisk partikulærløsning til ligningen. Eventuelt gamle opgaver i Fourierrækker, hvis der er tid til overs. 9

10 EN,MP 31. oktober 2013 Oversigt nr gang, fredag den 1. november kl Her regnes opgaver i de nye temaer: Kurveintegraler: Regn ved brug af definitionen side 414. Fortsæt med og Stiuafhængighed: Gør følgende i opgave : opskriv vektorfeltet F (x, y, z); begrund at integralet er uafhængigt af integrationsstien; bestem værdien af kurveintegralet. Lav så på samme måde. Greens sætning: Kontroller at Green sætning er korrekt i tilfældet hvor F = (y, x) og kurven C er cirklen x 2 + y 2 = 1. (Udregn begge integraler.) 4 Kurver: se næste opgave! Hyperbolsk sinus og cosinus: Eftervis at cosh t := et +e t og sinh t := et e t er 2 2 hinandens afledede: (cosh t) = sinh t, (sinh t) = cosh t. Begrund at sinh t > 0, og at vi derfor har en invers funktion sinh 1 t. Vis at når man betragter punkterne (x, y) = (±a cosh t, b sinh t) for et vilkårligt reelt tal t, så ligger (x, y) på hyperblen H med ligningen ( x a )2 ( y b )2 = 1. Omvendt: Givet et punkt (x 0, y 0 ) på denne hyperbel, så findes et t 0 R sådan at (x 0, y 0 ) = (±a cosh t 0, b sinh t 0 ). Thi sættes t 0 = sinh 1 (y 0 /b), så har man dels at y 0 = b sinh t 0, dels at ( x 0 a )2 = 1 + ( y 0 b )2 = 1 + (et0 e t0 ) 2 4 sådan at x 0 = ±a cosh t 0 Kontroller dette! = cosh 2 t 0, Da hyperblen H således er parametriseret ved (cosh t, sinh t) (analogt til enhedscirklen), så kaldes disse funktioner hyperbolsk cosinus, hhv. hyperbolsk sinus. 10

11 EN,MP 4. november 2013 Oversigt nr gang, tirsdag den 5. november. Ved dagens forelæsning vil hovedvægten blive lagt på afsnittene 10.7 og Opgaveregningen vedrører Greens sætning: Øv dig på formlen ved at regne Stiuafhængighed: Lav først (Søg eventuelt inspiration i konklusionerne fra Example ) Fortsæt med

12 EN,MP 11. november 2013 Oversigt nr gang, tirsdag den 12. november. Ved dagens forelæsning behandler vi først 10.9 om Stokes s rotationssætning (en rumlig udgave af Greens sætning: repeter denne!). Dernæst tager vi hul på kursets sidste emne: komplekse funktioner. Repeter afsnit om komplekse tal. Ved opgaveregningen er temaet: Divergenssætningen: Regn Fortsæt med Og rund af med

13 EN,MP 18. november 2013 Oversigt nr. 13 Vi skal snart benytte rod- og kvotientkriteriet for uendelige rækker. I bedes repetere disse fra kapitel gang, tirsdag den 19. november. Vi fortsætter gennemgangen fra afsnit Ved øvelserne ser vi på følgende opgaver. De fleste er helt enkle, så efter (manglende!) behov kan nogle eventuelt overspringes. Rotationssætningen: Få styr på denne ved at regne Komplekse tal og funktioner: For hvilke komplekse tal z er funktionen f(z) = 1 (z 2 + 1)(z 2 2z 3) defineret? Skitser definitionsmængden for f(z). Dernæst opgave (nemme). Real- og imaginærdele: Regn (nemme). Kompleks differentiation: Regn (nemme). Analytiske funktioner: Begrund at ethvert polynomium på formen p(z) = a n z n + + a 1 z + a 0 er analytisk (dvs. differentiabel i ethvert z C). Er p(z) en hel funktion? Cauchy Riemanns ligninger: Regn

14 EN,MP 20. november 2013 Oversigt nr. 14 Sidste gang fik vi gennemgået nyt om en række komplekse funktioner i kapitel Læs/repeter dette og test dig selv hjemme med Repetitionsopgaver til kap : Regn opgave om eksponentialfunktionen e z (nemme!). Fortsæt med om trigonometriske funktioner (cos z, sin z) og hyperbolske funktioner (cosh z, sinh z). Desuden gennemgik vi resten af kapitel 13.4 om Cauchy-Riemanns differentialligninger og kapitel 17.1 om konforme afbildninger. 14. gang, tirsdag den 26. november. Her gives først en oversigt over kapitel 14 om komplekse kurveintegraler (fokus bliver lagt på forskellene fra det almindelige kurveintegral i kapitel ). Dernæst lægges kræfterne i Potensrækker: hvor vi ser på kapitel ; Residueregning: hvor vi ser på hovedtrækkene af kapitel 16. Bemærk oversigten side 734. Endelig regnes opgaver i emnerne: Cauchy-Riemanns ligninger: Lav Harmoniske funktioner/laplaceligningen: Regn Konforme afbildninger: Regn Kurveintegraler: Lav opgave Cauchys integralsætning: Gennemsku (nem!). Deformation af kurver: Udfør diskussionen i opgave (Nemme) Cauchys integralformel: Gennemsku (nemme!). 14

15 EN,MP 25. november 2013 Oversigt nr. 15 OPGAVER til 14. gang, onsdag den 27. november kl i GRUPPERUM- MENE. Konvergensradius: Bestem Taylorrækken for g(z) = 1 vis at dens konvergensradius er R = 1. Regn også z 2 i z 0 = 0 (nem!) og Taylorrækker: Find Taylorrækken for f(z) = e z + 1 z 0 = 0. Lav så (nem) og z med udviklingspunkt Laurentrækker: Regn og samt Vink: Brug Taylorrækkerne for de kendte funktioner. Residuer: Lav Residueintegration: Regn først ; eventuelt også Dernæst udregnes integralerne over R i opgave NB! I kan stille spørgsmål til pensum fredag den 3. januar Vi mødes i Fib. 15, auditorium A, kl

16 EN,MP 4. december 2013 Oversigt nr. 16 Som lovet efter sidste forelæsning kommer der til jeres inspiration et Eksamenslignende opgavesæt. Opgave 1. Løs ved brug af Laplacetransformationen systemet af ligninger y 1(t) = 2y 2 (t) + 1 y 2(t) = y 1 (t) + t under begyndelsesbetingelserne y 1 (0) = 1 og y 2 (0) = 2. Opgave 2. Betragt vektorfeltet F (x, y, z) = (yz, xz, xy) og fladen S givet ved parameterfremstillingen hvor 0 ρ 1 og 0 φ 2π. r(ρ, φ) = (2 + ρ cos φ, 3, 1 + ρ sin φ), (1) Begrund at S er en cirkelskive parallel med xz-planen, og find dens radius og centrum. (2) Udregn div F = F og rot F = F. (3) Bestem fladeintegralet S F n da, hvor n betegner enhedsnormalvektoren til S, valgt så n j > 0. Opgave 3 Betragt ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er en 2π-periodisk funktion givet ved { sin t, for π < t < 0 r(t) = sin t, for 0 t π. Godtgør at r(t) er en lige funktion. Find en 2π-periodisk partikulærløsning y(t). Opgave 4. Lad f(z) betegne funktionen givet ved f(z) = 1 9 z 2. (1) Begrund at den uendelige række n=0 ( z 3 )2n er konvergent for alle komplekse tal z C for hvilke z < 3. (2) Bestem potensrækken for f(z) med z 0 = 0 som udviklingspunkt, og angiv dens konvergensradius. (3) Find værdien af kurveintegralerne f(z) dz og C C betegner cirklen med centrum i 0 og radius f(z) dz, hvorved C z i

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1 ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2014 [K] E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle

Læs mere

MATEMATIK 3 EN3,MP3 28. august 2015 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN3,MP3 28. august 2015 Oversigt nr. 1 EN3,MP3 28. august 205 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 205 [K] E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske

Læs mere

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene. MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1 MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Indhold. Litteratur 11

Indhold. Litteratur 11 Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017 Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 46

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 46 EIT3+ITC3/2018 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 46 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/18 Opgavesæt 46 181229HEb Skriftlig prøve

Læs mere

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige) Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet

Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/11 Opgavesæt 18 111203HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Prøve d. 3. januar 2012 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 22

Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 22 EIT3+ITC3/2012 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 22 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/12 Opgavesæt 22 121201HEb Skriftlig prøve

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015

Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

DesignMat Komplekse tal

DesignMat Komplekse tal DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU

Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere