Det teoretiske grundlag for en ny boligmodel

Transkript

1 Danmarks Statistik MODELRUPPEN Arbejdsair* Sofie Andersen 9. juli 202 Det teoretiske grundlag for en ny boligmodel Resumé: Det teoretiske grundlag for den nuværende boligmodel samles i dette air. Derefter udvides det til at omfatte bolig som et nest af kaital og grunde. SOA972 Nøgleord: bolig Modelgrueairer er interne arbejdsairer. De konklusioner, der drages i airerne, er ikke endelige og kan v re ndret inden ostillingen af nye modelversioner. Det henstilles derfor, at der kun citeres fra modelgrueairerne efter aftale med Danmarks Statistik.

2 2. Introduktion Dette air har to formål. Det første formål er at samle det teoretiske grundlag for boligmodellen i ADAM. Pairet tager derfor udgangsunkt i tidligere modelgrueairer samt den seneste udgave af ADAM-bogen. Det andet formål er at udrede det teoretiske grundlag for en udvidelse af boligmodellen til at betragte bolig som et nest af grund og kaital med tilhørende mulighed for at substituere mellem varerne. Boligrisen i ADAM, hk, er risen for et enfamilieshus. Når man køber et hus i Danmark, køber man både selve huset samt den grund huset står å og oftest også noget grund rundt om. Dette betaler man en samlet ris for. Det er disse riser fra ejendomssalg, der bruges til at danne hk. Det kan derfor være lidt misvisende at bruge hk sammen med fkbh, som er kaitalmængden og derfor kun bygningsdelen af boligen. Når en bolig bliver mere værd, kan det enten skyldes, at bygningerne eller at grunden bliver mere værd (eller begge dele samtidig. vis grunden bliver mere værd, kan det være, at man vil klare sig med mindre have, når man skal ud og købe nyt og derfor bruge mindre grund. Dette kan man ikke se i den nuværende model. Man kan ikke se substitutionseffekter mellem land og kaital. I DREAM indgår land og kaital med en subsitutionselasticitet mellem dem å 0.2. Prisen å bolig er historisk steget mere end investeringsrisen. Dette kan vi ikke forklare i vores nuværende Tobins q set-u med de nuværende riser å grunde. Det kan skyldes et begrænset udbud af grunde. Derfor vil vi gerne indføre et ekstra nest i forbrugsfunktionen, hvor forbruget af bolig deles ud å at være et forbrug af kaital og et forbrug af grunde, jf. figur. Figur Forslag til forbrugssystemets nestningsstruktur. x yderligere slit af x 2 2. Den nuværende boligmodel Vi ser å en model, hvor en agent, der har en ES-nyttefunktion, skal bestemme sig for sit forbrug af bolig altså for eftersørgslen efter bolig. I denne udledning hedder den f. f er en aggregeret størrelse, der består af en mængde grund og en mængde kaital (bygningerne man sætter å grunden. Vi antager her, at grunde og kaital er erfekte komlementer, og deres substitutionselasticitet således er 0 (denne antagelse vil blive løsnet senere i airet. Dette er modelleret så grunde udgør 20 % af omkostningerne til en bolig i basisåret. erunder R06807, TV0806, JAO28N0, R200 og R Som nuværende

3 3 Forbrugeren har følgende nyttefunktion x x x (, δ ( + ( δ ( U f f A e f e f (2. er er forbrug af bolig, mens x er resterende forbrug. e erne er effektivitetsindeks. Funktionen er normeret, så den er mulig at estimere, men er ellers å generel ES form. Når sigma estimeres frit i ADAM, bliver værdien omkring 0.5. I dec09 bindes sigma til Foreløbige estimater af en ny boligmodel med andre tal for grundrisen viser, at sigma kan estimeres til omkring Dette er dog stadig langt fra at være større end. Sigma måler rundingen å nyttefunktionen, jf. figur 2. I figur 2 er forbruget af alle varer undtagen en holdt konstant. Figuren viser da, hvordan nytten ændres, når man øger forbruget af den ene vare. Når sigma er uendelig stor, da vil man få meget nytte af at få mere af blot en enkelt vare. Det svarer til at varerne er substitutter, mens hvis sigma er 0, da er linien vandret, og man bliver kun bedre stillet, hvis man får mere af alle varer. At sigma er mindre end er således ikke væsentligt forskelligt fra situationer med sigma større end, blot er kurven mindre rund dvs. har man noget fra begge varegruer, man ønsker at forbruge, da vil man ikke blive meget bedre stillet af at få en hel bunke af den ene varegrue; man ønsker at forbruge mere fra begge gruer. Figur 2 Nytte af mere c ved forskellige værdier af sigma Anm.: Den øverste graf har 2, den midterste har 2/3, mens den nederste har /3. ilde: Note fra Macroeconomics, efterår 200. Forbrugeren skal overholde sin budgetbetingelse, dvs. at værdien af boligforbruget og værdien af resterende forbrug ikke må overstige værdien af det samlede forbrug. Da forbrugeren er nyttemaksimerende, bruger forbrugeren hele sit budget. f + f (2.2 x x er er det samlede forbrug, mens og x er hhv. risen å boligforbrug og risen å resterende forbrug. er givet ud fra en livscyklus betragtning, hvor forbrugeren otimerer sin nytte intertemoralt, jf. TV0806.

4 4 Dermed kan forbrugerens roblem oskrives å følgende måde x x x ( δ ( + ( δ ( max U f, f A e f e f f, fx s. t. f + f x x (2.3 Problemet oskrives å Lagrange form og løses, jf. bilag A. Der fås følgende løsning. Denne løsning svarer til løsningen i R e f δ x ( δ + δ ex e På baggrund af (A.5 kan f oskrives å log-lineær form. δ e x log ( f log ( fx log + log + ( log x δ e (2.4 (2.5 I ADAM bruges ikke boligforbruget, men boligkaitalen. Det antages derfor at boligforbruget og boligkaitalen er roortionale, hvormed den ønskede boligkaital kan oskrives å samme måde (med ADAM variable indsat hk buibhx exh log ( fkbhw log ( fuxh log + kons tan t + ( log cuxh eh (2.6 er risen for at have en bolig i et år, altså usercost (dvs. usercostraten gange kontantrisen å et enfamilieshus. Effektivitetsindeksene defineres å følgende måde e x ζ log, hvor ζ er koefficienten, der skal e t e e estimeres. Denne trend er kalibreret for at forklare stigningen i boligmængden i 70 erne, jf. ADAMbogen ka. 3. Samlet fås hk buibhx log fkbhw log fuxh log + kons tan t + ζ cuxh t e e (2.7 Vi vil gerne udlede hk i ligevægt fra vores nuværende model. Phk har både en kortsigts og en langsigts ligevægt. I standard teori er boligmængden fast å kort sigt. Ved et stød til f.eks. eftersørgslen vil boligmængden ikke kunne tilasse sig, mens boligrisen tilasser sig med det samme. I den virkelige verden vil boligrisen tyisk ikke tilasse sig øjeblikkeligt, men bruge noget ( ( 25 3 Dette ses ved at isolere i (A.9 fra bilaget og indsætte i (A.7.

5 5 tid å at tilasse sig. Phk lander derfor i sin kortsigtsligevægt efter et ar år. Phk bestemmes å kort sigt ud fra eftersørgslen efter bolig, da boligmængden som sagt er fast. På lang sigt bestemmes hk af Tobins q. Boligmængden tager tilasningen og for at finde ligevægten skal man se å hvornår denne ikke længere åvirkes af boligrisen. På lang sigt bliver ligevægtsværdien for hk ( konst hk e ibh + hgk (2.8 Ligevægts hk udledes i bilag B. Det bemærkes, at hk å lang sigt skal være mindre end anskaffelsesrisen å en bolig (0.8ibh + 0.2hgk. Dette skyldes, at alle tre størrelser er indekseret til at være i år At hk skal være mindre end anskaffelsesrisen, skyldes, at hk var for stor i forhold til denne i 2005 i forhold til ligevægt. 3. En boligmodel med land Vi røver nu at inkororere en ligning for bestemmelse af grundrisen i boligmodellen ved at lave et yderligere nest. En bolig består som sagt af land, som vi fremover kalder grund,, og kaital,. Vi kalder fremover boligmængden for (og dermed den otimale boligmængde for *, mens kaital/grund aggregatet kaldes for (med stjerne som suffiks når der er tale om det otimale aggregat. Der gælder følgende sammenhæng. f ES f, f Laseyres f, f ( ( Ydermere definerer vi følgende ADAM variable. fbh er et aggregat af kaital og grund og kan tolkes som en bolig mængde. fbhu er nytten af forbruget af bolig (svarende til f h. fbhuw er det ønskede forbrug af bolig (svarende til f h i ligevægt. Ligningen for den grundris, der clearer markedet, (eftersørgslen efter grunde udledes i bilag og bliver θ f buc log ( + log ( hk log log (3. f buc Eftersørgslen efter bolig ændres ikke og er fortsat δ e x log ( f log ( fx log + log + ( log (3.2 x δ e Vi har nu et boligforbrug, fbhuw, som derfor indsættes i stedet for fkbhw som tidligere. Samtidig kaldes sigma for for ikke at forveksle den med sigma fra grundrisligningen, som kaldes. hk buibhx log fbhuw log fuxh log + kons tan t + ζ cuxh t e e (3.3 Trenden skal rekalibreres for at asse til den nye eftersørgsel. Dette gøres i et senere air. Foreløbig arbejdes der bare med den samme trend som hidtil. ( ( 25

6 6 Det ses af (.9, at hvis vi binder substitutionselasticiteten,, til at være 0 ligesom i den nuværende boligmodel så vil eftersørgslen efter grunde være roortional med bolig aggregatet, og dermed vil det faste forhold bibeholdes. Vi får altså samme resultat med det nye nest, hvis vi ålægger de samme restriktioner. Det er et godt tegn. Yderligere er der indført en ny formulering af nyrisen å en bolig. idtil har andelene til hhv. kaital og grund været faste i modellen. Dette har ikke været tilfældet i virkeligheden, hvor bygningskaitalens andel har været faldende fra 993 til 2006 og nåede under 50 %, jf. SOA299. Den nuværende formulering af kaitalakkumulationsligningen er hk hk d log ( fbh α3d log + γ 2 log 0.8 ibh hgk 0.8 ibh hgk + kortsigtsdynamik + trend hvor risen å at bygge en ny bolig er 0.8*ibh+0.2*hgk. Vi ændrer kaitalligningen til at være log ( 3 log hk d fbh d 2 log hk α + γ + konst + kortsigtsdynamik + trend bh bh (3.4 hgk fbh + ibh fbh hvor bh bh (3.5 hgk fbh + ibh fbh Den nye byggeris bliver nu bh. Denne er i højere grad dynamisk, så forholdet mellem grund og kaital kan ændre sig, hvilket var et af formålene med at lave et yderligere nest. På den måde bliver hk i ligevægt å lang sigt nu log hk log bh konst (3.6 ( ( Dette er det samme som i (2.7 blot er omkostningsandelene til hhv. grunde og kaital nu frie. Det bemærkes her, at bh også er indekseret til at være i år Prisstigningen i hk kan oskrives som risstigningen i hgk og ibh vægtet med deres omkostningsandele. Dette kan vises vha. (3.6. bh hgk fbh + ibh fbh bh hgk fbh + ibh fbh bh hgk hgk fbh ibh ibh fbh + bh hgk hgk fbh + ibh fbh ibh hgk fbh + ibh fbh η bh hgk ( η + ibh η bh hgk ibh η (3.7

7 7 4. Teoretiske forskelle Når man har bygget grunde ind som en ekslicit størrelse, er man nødt til at antage noget om, hvordan disse ofører sig fremadrettet for at kunne fremskrive. Man kan enten antage, at der er en fast mængde af grunde (f.eks. kan Danmarks grundareal ikke blive større blot, fordi der er en større eftersørgsel efter bolig, eller man kan antage at mængden af grunde godt kan stige (f.eks. udlægges mere landbrugsjord til bebyggelse, når eftersørgslen stiger. Samtidig er det relevant med hvilken hastighed grundmængden stiger. Stiger grundmængden i takt med boligmængden, eller stiger den enten hurtigere eller lavere, og er stigningen dermed eftersørgselsbestemt? Antagelserne, man lægger ned over grundmængden, er altafgørende i forhold til hvilke egenskaber, modellen giver. Der ses å et stød til forbruget eksklusiv bolig. Dette svarer til et ositivt eftersørgselsstød. På kort sigt kan boligmængden ikke give sig. Ligevægten gives derfor ud fra hk. Der ses å ligning (3.2. Når fuxh stiger, da vil højresiden stige. For at ligningen skal balancere må venstresiden stige, eller et andet sted å højresiden må ændre sig så højresiden samlet falder tilbage. I ligevægt er log(fbhwlog(fbh. Når boligmængden ikke kan give sig, kan den ønskede boligmængde heller ikke give sig i ligevægt. Derfor må hk stige for at balancere (3.2. Dette giver et videre udslag i grundrisen i ligning (3.. Når fuxh stiger med %, stiger hk med %4, hvilket får hgk til at stige med %. Dette sker som sagt å kort sigt, når boligmængden ikke kan give sig. Det er samtidig ræcis det samme, der sker, når man bygger grunden ind som i den nuværende boligmodel. Når man ser å det lange sigt, hvor både grundmængden og kaitalmængden kan give sig, er hk igen givet ud fra (3.6. Stigningen i bh kan skrives som et vægtet gennemsnit af stigningen i ibh og hgk, jf. (3.7. Dette kan, da alle er indekserede, omskrives til følgende η η hk ibh hgk (4. Når usercostraterne antages konstant, kan resten af ligning (3. indsættes i (4.. η fbhu η hk ibh hk fgbh 5 hk η η fbhu ibh fgbh η 4 Dette ses også af (B.. 5 Det antages, at den nytte, man får af bolig inkl. grund er roortional med Laseyres aggregatet af grund og kaital.

8 8 hk fbhu ibh fgbh η η 6 (4.2 Af dette kan udledes følgende: Når η er, følger hk risen å kaital. Dette følger helt naturligt af definitionen af η. Når denne er, da er anskaffelsesrisen å en ny bolig udelukkende risen for huset. Når går mod uendelig, følger hk også ibh. er er kaital og grunde erfekte substitutter, og hgk vil blot følge hk. Derfor må hk følge ibh. Når fgbh følger fbhu, da vil hgk igen følge hk, og hk vil følge ibh. Når vi ikke er i et af disse tilfælde, da vil der være ermanente effekter å hk af ermanente forskydninger i fbhu/fgbh forholdet. Jf. (.9 vil grundmængden for givne riser stige i samme takt som boligmængden ved et eftersørgselsstød, og der vil i dette tilfælde ikke være nogen langsigtede effekter å boligrisen. Ligningen giver dermed mængden for flydende grundmængde, men er grundmængden fast, giver den risen. vis grundmængden antages fast, og vi dermed har brugt al den jord, der ikke er fredet eller nødvendig for, at vi kan få noget at sise, da ses af (4.2, at der vil være en ermanent ositiv effekt å boligrisen, fordi fbh giver sig ved et eftersørgselsstød. vor stor en effekt et eftersørgselsstød har å grundrisen afhænger af substitutionselasticiteten, hvilket ses af (4.2. I vores model er det antaget, at den ikke er 0. Den estimeres dog generelt til at være lille, hvilket betyder, at et eftersørgselsstød vil have en stor effekt å grundrisen. Pt. bliver den ved nye grundriser og med denn formulering af modellen estimeret til at være ca Dette giver (ved at vende ligningen, at hvis grundmængden er fast, da vil en % stigning i eftersørgslen give en 5 % stigning i grundrisen. Da hk består af både ibh og hgk, skal hgk være større end hk i ligevægt (når grundmængden er fast. Dette sker, da ibh ikke ændres. Da man ikke kan ændre mængden/størrelsen af grundene, er man nødt til at bygge mere kaital, hvis man vil have mere bolig. Dette forskyder andelene af grunde og kaital, men ikke nødvendigvis omkostningsandelene. På lang sigt antages der i ADAM konstant realvækst og inflation større end 0. I den nuværende model er der modelleret et balanceret vækst scenarie. Alle eksogene riser samt udlandets riser er sat til at stige med 2 % om året. Phk stiger da også med 2 % om året jf. (4.2, da det er imlicit antaget at fbh følger fbhu. Dette bliver ikke tilfældet, når grundmængden er fast. Vi tager igen udgangsunkt i (4.2 og indsætter for fbhu, som i ligevægt er fbhuw. Dette gøres i bilag D. 6 Denne er forstørret, så man kan se arametrene og deres fodtegn.

9 9 Tager man udgangsunkt i (D., kan man finde hks vækstrate. Dette ses i (4.3. er er fjernet de led, der er konstante 7. η log ibh + log fuxh + log cuxh log fbh η log ( hk ( η + η (4.3 Dette kan omskrives til log ( hk log ( ibh + ( log ( fuxh log ( fbh η + η (4.4 ( log ( ibh log ( cuxh η + η ( ( ( ( ( ( istorisk set har ibh og cuxh haft meget ens vækstrater, og sidste led er derfor meget småt. I et stiliseret vækstforløb er de antaget ens. Når grundmængden holdes fast, bliver vækstraten i hk dermed større end vækstraten i ibh, da rivatforbruget ekskl. bolig stiger. I en simuleret model med fast grundmængde, hvor riser vokser med 2 % og mængder vokser med,5 %, kommer hk til at vokse med mere end 5 % om året altså væsentligt mere end i basisscenariet, hvor den ligesom alle andre riser vokser med 2 %. Dette er, når estimeres til 0.45, til og η kan så udregnes til onklusion Det teoretiske grundlag for boligmodellen er blevet samlet i dette air. Samtidig er det teoretiske grundlag udvidet til at have bolig som et nest af kaital og land. Pairet er lavet som forair til et air, hvor denne udvidelse kommes ind i boligmodellen, estimeres og aftestes. ilder: Nice to know about ES functions (reliminary af Ferdinand Mittermaier, University of Munich ADAM-bogen (202 R06807 R050 R200 JAO28N0 SOA299 TV onstantleddet, usercostraten samt trenden, der ikke er konstant, men som har en vækst meget tæt å 0

10 0 A. Udledning af otimalt boligforbrug Først oskrives roblem (.3 å Lagrange form. erefter løses Lagrange funktionen. x x x x L Aδ e f + δ e f + λ f + f ( ( ( ( ( (A. ( ( ( x x L Aδ e f + δ e f δ e f λ 0 f ( + ( ( x x Aδ e f δ e f δ e f λ (A.2 ( ( ( x x ( x x L Aδ e f + δ e f δ e f fx λ 0 x ( + ( ( x x ( x x x Aδ e f δ e f δ e f λ (A.3 L f x f x 0 λ f + f (A.4 x x ( + ( ( x x Aδ e f δ e f δ e f ( + ( ( x x ( x x Aδ e f δ e f δ e f δ ( δ e f x ex fx f x δ e δ e f x x δ ex f x f δ e x λ λ x

11 f x δ e x f x δ e (A.5 Forbrugeren vil således fordele sit forbrug å de to forbrugsgruer i forhold til riserne å forbrug, nyttevægten samt effektivitetsindeksene. Fra (A.5 kan f x udledes og (2.2 indsættes for at finde f x og f. f f δ e x x x δ e x f x f (A.6 δ ex f x δ x f e δ e x x + f x δ e f δ e x x + x δ e e f δ ex x + e x δ e f δ ex x + e δ e δ f δ e + δ e f (( x x e δ x ( δ + δ ex e (A.7 (A.7 indsættes i (A.6 for at finde f x. f x x ( δ e δ + δ ex e x

12 2 x ( δ + δ e δ ex e fx x x ( δ + δ ex e ( δ x ex + e δ e δ fx x x ( δ + δ ex e ( x ex f δ x x ( δ + δ ex e Dette giver følgende nytte e δ δ e + x ( δ + δ ex e U ( f, fx A ( δ x e 2 ( δ ex x ( δ + δ ex e δ e δ x ( δ + δ ex e U ( f, fx A x ( δ e x + ( δ x ( δ + δ ex e (A.8

13 3 (, e x ( δ + δ ex e U f fx A ( x δ e x + x ( δ + δ ex e δ e x ( δ + δ ex e U ( f, fx A ( x δ e x + x ( δ + δ ex e (, U f fx A + ( δ δ δ e x ( δ + δ ex e ( x δ ex x + δ ex e

14 4 e x ( δ + δ ex e U ( f, fx A x ( δ ex + x ( δ + δ ex e (, U f f A x δ ( δ x δ + e ex x ( δ + δ ex e x U ( f, fx A δ + ( δ e e x x U ( f, fx A δ + ( δ (A.9 e e x Normeres denne til, kan man udlede et fælles ris indeks, P, ved at løse for. vil da være risen å U. Ideen bag er, at hvis man antager konstant skalaafkast, da vil man så kende omkostningerne ved et hvilket som helst nytteniveau, der blot vil være P*U. x A δ + ( δ e e x x δ + ( δ e e x P A (A.0

15 5 B. Udledning af hk i ligevægt Først udledes ligevægtsværdien for hk å kort sigt. Der tages derfor udgangsunkt i ligningen for boligeftersørgsel. hk buibhx log ( fkbhw log ( fuxh log + kons tan t + ς trend cuxh buibhx log ( hk log ( fkbhw + log ( fuxh log + kons tan t + ς trend cuxh buibhx log ( hk log ( fkbhw + log ( fuxh log + kons tan t + ς trend cuxh log ( hk log ( cuxh log ( buibhx + log ( fuxh log ( fkbhw + ( kons tan t + ς trend (B. log log log log tan ( cuxh ( buibhx + ( fuxh ( fkbhw + ( kons t+ ς trend hk e (B.2 erefter udledes ligevægtsværdien for hk å lang sigt. er tages udgangsunkt i ligningen for boligkaitalen. På lang sigt er dlog(hk fast. Dermed åvirker hk kun boligkaitalen gennem leddet log hk + konst. Dette leades en eriode og sættes lig 0, 0.8 ibh hgk hvorefter hk udledes. hk log + konst 0 0.8ibh hgk log hk log 0.8 ibh hgk + konst 0 ( ( ( ( log hk log 0.8ibh hgk konst hk e ( log 0.8 ibh+ 0.2 hgk konst ( konst hk e ibh hgk + + (B.3

16 6. Udledning af otimalt forbrug af hhv. grunde og kaital Vi kan udlede eftersørgslen efter grunde å samme måde, som vi udledte eftersørgslen efter bolig. f angiver kaitalmængden i faste riser, f angiver grundmængden i faste riser, og angiver kaital/grund aggregatet i løbende riser. Først findes Lagrange funktionen (., som derefter løses. L D θ f + ( θ f ( ( + λ f + U f (. L D θ f + ( θ f θ f λ 0 fb D θ f + ( θ f θ f λ (.2 L D θ f + ( θ f ( f U 0 f θ λ D θ f + ( θ f ( θ f λ U (.3 L f U f 0 λ f + f (.4 U D θ f + ( θ f θ f D θ f + ( θ f ( θ f θ ( θ f f θ f θ f U U λ λ U

17 7 θ f f θ f f U U θ θ Fra (.5 kan f udledes og (.4 indsættes for at finde f og f. θ f f U θ U f f (.5 (.6 θ U f f U θ θ + f U θ f θ + U U θ U f θ + U θ U ( θ f ( θ + θ U (.7 Fordi roblemet er symmetrisk, kan oskrives tilsvarende. Denne skal dog ikke bruges i modellen og vil derfor ikke blive oskrevet her. Samtidig er roblemet identisk med roblemet løst i aendiks A. Derfor kan følgende risaggregat oskrives. U ( θ ( θ D + (.8 (.7 oskrives nu å loglineær form. log f log θ log θ + θ ( ( ( U ( U ( U ( U ( ( ( ( θ θ ( θ log f log log + log log + Det sidste led kan omskrives vha. (.8. ( ( ( ( + ( θ ( log f log log log log D U ( f ( ( + ( θ ( ( ( ( D log log log log log log U U log ( f log log + log ( θ ( log ( D θ

18 8 U log ( f θ + log log (.9 erfra kan grundrisen udledes, hvor uc er risen å ydelsen og dermed lig U og uc tilsvarende er risen å aggregatet og dermed lig usercost. uc log ( f θ + log log uc buc log ( f θ + log ( f log uc buc log θ + log ( f log ( f uc uc log ( log + ( θ + log ( f log ( f buc θ f buc log ( log log f uc θ f buc log ( + log ( hk log log f buc (.0

19 9 D. Udledning af hk ved fast grundmængde. η log log log log η ( hk ( ibh + ( ( fbhu ( fgbh g hk buibhx log ( fuxh log cuxh η log ( hk log ( ibh + η + kons tan t + ζ log 25 ( fgbh g t e e ( η log ( hk log ( ibh log ( hk η buibhx log ( fuxh log cuxh η + η + kons tan t + ζ log 25 ( fgbh t e e ( η log ( hk + log η log ( hk ( ibh buibhx log ( fuxh log cuxh η + η + kons tan t + ζ log 25 ( fgbh t e e buibhx log ( fuxh log cuxh η log ( ibh + η kons tan t ζ log 25 ( fgbh t e e ( η + η (D.