Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler"

Transkript

1 Matematik på Åbent VUC Trin

2 Indledning til kursister på Trin II Indledning til kursister på Trin II Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I og 7 moduler med supplerende opgaver beregnet til brug på Trin II. I hvert modul er der en bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri. Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen. En hel del af fagstoffet er fælles for både Trin I og Trin II. Og dette fælles fagstof er kun med i modulerne til Trin I. Derfor vil mange kursister, der starter på Trin II, have brug for at arbejde med en del af opgaverne i Trin I-modulerne. Opgaverne i Trin I-modulerne er mærket: - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med - nogle opgaver mærket med Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg). Som Trin II-kursist skal du især regne opgaver mærket med og. Opgaverne i Trin II-moduler er ikke mærkede. Du skal regne så mange som muligt, men du kan sikkert ikke nå dem alle. Bed din lærer hjælpe dig med at vælge blandt opgaverne. Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den. Til alle opgave-modulerne hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne en opgave, kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner. Til alle opgave-modulerne hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det en god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse opgaver på en forkert måde. God fornøjelse med opgaverne! Niels Jørgen Andreasen Lektion 00s - Indledning til kursister på Trin II

3 Indholdsfortegnelse for eksempelsamling Eksempelsamlingen er inddelt i disse moduler: Grundliggende regning og talforståelse...1 Omregning... Sammensætning af regnearterne...1 Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler...18 a Brøker og forholdstal...19 Procent...8 Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler... a Bogstavregning...7 Bogstavregning - supplerende eksempler... a Funktioner og koordinatsystemer...7 Funktioner - supplerende eksempler... a Geometri...7 Statistik...71 Statistik...78 a Kombinatorik og sandsynlighedsregning...79 Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler...8 Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en indholdsfortegnelse over disse afsnit. Modulerne med supplerende eksempler er udelukkende beregnet til brug på Trin II ne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 00. Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne eller på anden måde har kommentarer hertil. Med venlig hilsen Niels Jørgen Andreasen Lektion 00s - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling med supplerende eksempler

4 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...0 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine...1 Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal... Lig med, større end og mindre end... Regning med papir og blyant... Gange og division med 10, 100, o.s.v... Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 0

5 Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine I eksemplerne herunder skal du bruge prislisten til højre. ne er enkle, men ideen er at vise, hvordan man bruger regnemaskinen. Mælk, pr. liter...7 kr. Rugbrød...1 kr. Kager, pr. stk... kr. Slik, kæmpepose... 0 kr. på opgaver Hvad koster en liter mælk og et rugbrød? Hvor meget får man tilbage, når man køber et rugbrød og betaler med 0 kr.? Hvad koster liter mælk? Mælk 7 kr. Betalt 0 kr. Rugbrød 1 kr. Rugbrød 1 kr. I alt 19 kr. Tilbage 8 kr. 7 kr. kr. På regnemaskinen tastes: 7 x Eller blot: 7 kr. + 1 kr. 19 kr. På regnemaskinen tastes: Eller blot: 0 kr. - 1 kr. 8 kr. På regnemaskinen tastes: 0-1 Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste et kryds. på opgaver Hvor mange kager kan man få for 0 kr.? børn deler en kæmpepose slik. Hvor meget skal de betale hver? 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 0 kr. : kr. På regnemaskinen tastes: 0 Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud. I eksemplet til venstre spørger man: Jeg har 0 kr. Hvor mange gange kan jeg få kr.? I eksemplet til højre deler man 0 kr. i lige store dele. Men regnestykket er det samme. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 1

6 Talsystemets opbygning - afrunding af tal Herunder er tegnet firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få. Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. betyder nemlig 10+, eller to 10 ere og fire 1 ere. betyder på samme måde , eller tre 100 ere, to 10 ere og fem 1 ere. Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler, to 10-kroner og fem 1-kroner., betyder to 1 ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem og. De enkelte tal i et tal kaldes cifre. har to cifre. har tre cifre. Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. på opgaver Afrund, til en decimal. Afrund.1 til helt antal tusinde., er et tal mellem, og, men tættest på,. Derfor bliver resultatet:,,.1 er et tal mellem.000 og.000 men tættest på.000. Derfor bliver resultatet:.000.1,, Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad., afrundes til,. I store tal ( som f.eks..1) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum Det er ret forvirrende! Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

7 Store tal og negative tal Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. Her er et par eksempler: Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives Nogle gange skriver man blot fem mio. eller mio. En million skrives Altså et et-tal med seks nuller bagefter. Det er det samme som Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives Nogle gange skriver man blot seks mia. eller mia.. En milliard skrives Altså et et-tal med ni nuller bagefter. Det er det samme som tusind millioner eller eller Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. på opgaver Udregn: 8 Udregn: Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten Lig med, større end og mindre end Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver +, fordi + er lig med. Man kan også skrive eller 117, 117,. Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 7> betyder at 7 er større end Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. Tegnet åbner sig altid imod det største tal. < 8 betyder at er mindre end 8 Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

8 Regning med papir og blyant Når man regner med papir og blyant skal man sætte i mente og låne på opgaver Udregn: + Udregn: 78 + Tallene skrives op over 78 + hinanden og 1 erne lægges + 8 sammen. 78 Derefter lægges 10 erne + + sammen. 98 Til sidst lægges 100 erne 78 + sammen. Den tomme plads + 98 opfattes som erne lægges sammen og giver 1, men ti af 1 ere sættes i mente som en 10 er 10 erne lægges sammen og giver 1, men ti af 10 ere sættes i mente som en 100 er 100 erne lægges sammen og giver. på opgaver Udregn: 78-7 Udregn: Tallene skrives op over - 7 hinanden og 1 erne trækkes fra hinanden 7 10 Man må låne en 10 er for at kunne trække 1 erne fra hinanden Derefter trækkes 10 erne fra hinanden. 1 7 Man må låne en 100 er for at kunne trække 10 ere fra hinanden Til sidst trækkes 100 erne fra - 7 hinanden. Den tomme plads opfattes som erne trækkes fra hinanden. Der er fem 100 er i øverste række. Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

9 på opgaver Udregn: Udregn: 9 Tallene skrives op, og og 9 ganges med hinanden. 9 og ganges med hinanden gange giver, men -tallet sættes i mente. gange 9 giver. Hertil lægges -tallet. Man får 8, men -tallet sættes i mente. gange giver 8. Hertil lægges -tallet. Man får 11. Gange og division med 10, 100, o.s.v. på opgaver 10 1, : 10 0 : , : : , Man ganger et tal med 10, 100, o.s.v. ved at sætte 0 er på tallet eller rykke kommaet til højre. Man dividerer et tal med 10, 100, o.s.v. ved at fjerne 0 er eller rykke kommaet til venstre. på opgaver : 00 Man må se bort fra 0 erne i første omgang. 8 Derefter sættes de tre 0 er bagpå. I alt fås: Man må fjerne 0 erne parvis på denne måde: : : : 0 I den sidste beregning bruger man, at: 1 : Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side

10 Omregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Kg-priser...7 Tid og hastighed...9 Valuta...11 Rente og værdipapirer...1 Lektion 0 - Omregning eksempler Side

11 Kg-priser De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man bruger den ene eller den anden skrivemåde. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars. 1, ,0 kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Find prisen på 0 g oksefars. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster 0,09 kr g koster 0 0,09, kr. - Man kan i en beregning sige: , kr. - Eller man kan (fordi 0 g 0,0 kg) sige: 0,0 9, kr. Oksefars koster 9 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 0 kr? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 9 kr. 9 1 g koster For 0 kr. kan man få: 0,09 kr. 0 0,09 78 g. 0 : 9 0,78 kg eller 78 g Lektion 0 - Omregning eksempler Side 7

12 , kg kartofler koster 9,9 kr. Find kg-prisen. 9,9 :,,98 kr. pr. kg. g leverpostej koster 11,7 kr. Find kg-prisen. Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan (fordi 1 kg g) sige: g koster 11,7 kr. 11, 7 1 g koster 0,01 kr g koster 0, ,1 kr. - Man kan i en beregning sige: 11, ,1 kr. - Eller man kan (fordi g 0, kg) sige: 11,7 : 0,,1 kr. g leverpostej koster 7,9 kr. Hvad vil g koste? Opgaven kan regnes på flere måder: - Man kan sige: - Eller man kan i en beregning sige: g koster 7,9 kr. 7,9 1 g koster 0,0 kr. g koster 0,0 11,8 kr. 7,9 11,8 kr. ne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de efterfølgende afsnit om tid og valuta. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 8

13 Tid og hastighed Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem. Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regne med kg og gram, fordi der er gram i et kg. Men når der er 0 sekunder i et minut og 0 minutter i en time, kan man let lave fejl. på opgaver Hvor mange minutter er timer og 17 minutter? Omregn 10 sekunder til minutter og sekunder minutter Man siger først: 10 : 0,1... Det betyder, at der er hele minutter, som svarer til 0 00 sekunder. Derfor er: 10 sekunder minutter og 10 sekunder på opgaver Det koster kr. i timen at leje en båd. - Hvad koster det at leje båden i timer og 0 minutter? - Hvor længe har man haft båden, når man skal betale 10 kr? Man kan sige: t. og 0 min minutter 1 min. koster 0,7 kr. 0 t. og 0 min. koster: 10 0, 711,0 kr. Man kan sige: 1 min. koster 0,7 kr. 0 For 10 kr. kan man få: 10 min. t. og 0 min min. 0,7 En håndværker tager 780 kr. for timer og 1 minutter. Hvad er timelønnen? Man kan sige: t. og 1 min minutter Prisen pr. minut er: 780 : 19 kr. Prisen pr. time er: 0 0 kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 9

14 på opgaver Omregn timer og 0 minutter til decimaltal. t. og 0 min.,8 time. 0 Det er fordi 0 min. time 0,8 time. 0 Du må aldrig sige at: t. og 0 min.,0 time. Omregn 1, time til timer og minutter. 1, time 1 t. og 1 min. Det er fordi 0, t. 0, 0 min. 1 min. Du må aldrig sige at: 1, time 1 t. og 0 min. En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går.) pr. tidsenhed. Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km. Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. på opgaver: En bil kører 0 km på timer. Hvad er bilens hastighed? Hvor langt kan du gå på timer, når din hastighed er km/time? Hvor lang tid tager det at cykle 0 km, når man kører 1 km/time? 0 80 km/time 10 km Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. Formlen kan omskrives som vist herunder. Afstand Hastighed Tid eller Tid 0 timer 1 Afstand Hastighed Tid Afstand Hastighed Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler km på 1 time 0 minutter? - Da 1 time og 0 min. 1, time, kan man sige: km/time 1, - Eller man kan finde hastigheden i km/min. og gange med 0. Det kan gøres i en beregning: 0 90 km/time Lektion 0 - Omregning eksempler Side 10

15 Valuta Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta. I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 001, men valutakurser ændrer sig hele tiden. Kursen på svenske kr. er 8,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 8,91 danske kr. En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,891 kr. eller 8,91 øre. Kursen på US-dollars er 8,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 8,91danske kr. En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,91 kr. eller 8,91 øre. Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: F K D D Antal danske kroner F Antal fremmed valuta K Valutakursen 100 Formlen kan også skrives således: D 100 F eller K K D 100 F på opgaver: Hvor meget koster 0 US-dollars, når kursen er 8,91? Hvor mange svenske kr. kan man få for 800 danske kr., når kursen er 8,91? Hvad er kursen på pesetas, når pesetas, koster.19 kr.? 0 8,91.1 kr. 100 Eller blot: 0 8,91.1 kr. fordi hver dollar koster 8,91 kr sv. kr. 8,91 Eller blot: sv. kr. 0,891 fordi hver svensk krone koster 0,891 dansk krone , pesetas koster altså kun cirka,0 kr. Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at vurdere, om resultatet er rimeligt. I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetas er langt større end antal kr. Lektion 0 - Omregning eksempler Side 11

16 Rente og værdipapirer Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage. For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 0 dage i alle måneder og 0 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal. Man bruger denne formel (evt. med i stedet for 0): K r d R R beregnet rente i kr. K kapital i kr. r renten pr. år i procent d antal dage (kaldet rentedage) på opgaver Der står.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på % pro anno. Beregn renten, hvis man regner - med 0 dage i hver måned. - med det præcise antal dage. Der går måneder 0 dage, så man får:.000 0,00 kr Der går 1 dage (tæl selv efter), så man får:.000 1,07 kr. 100 Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer. Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går. Kursen på en aktie er handelsprisen for hver 100 kr. i pålydende værdi. Formlen viser sammenhængen: Kursværdi Pålydende værdi Kurs 100 Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode. Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt penge svarende til den pålydende værdi. Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år), mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil kursen på obligationen være høj - og omvendt. Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien). Lektion 0 - Omregning eksempler Side 1

17 Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Plus, minus, gange og division...1 Negative tal...1 Parenteser og brøkstreger...17 Potenser og rødder...18 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

18 Plus, minus, gange og division på opgaver Udregn: Udregn: + 8+ Man regner forfra og får: Man regner forfra og får: Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt plus foran det forreste tal). Forestil dig at: - du skal have 8 kr., kr. og kr., - du skal af med kr. og kr. Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. (I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). Man kan også tænke således: Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. på opgaver Udregn: : : Udregn: : : Man regner forfra og får: : : : : 8 : 0 : 0 Man regner forfra og får: : : 0 : : 10 : 0 : 0 Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene skal følge med tallene (der står normalt et usynligt gange foran det forreste tal). Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

19 I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser. på opgaver Udregn: + 8 : Udregn: 7 1 : + 8 : + 8 : : + 8 : 7 + På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. En mindre god regnemaskine vil typisk give 1, hvis man indtaster opgaven til venstre. Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 7 1 : + 8 : 7 + Så kan man f.eks. let se, at -tallet i anden linie er resultatet af 8 :. Negative tal Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. Der findes specielle regneregler for negative tal. Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. på opgaver Udregn: 8 Udregn: + ( 8) ( 8) Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. Forestil dig, at du har kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. Så vil der være - kr. på kontoen (overtræk). I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. Forestil dig, at har kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

20 på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( 7) ( ) 10 fordi ( ) svarer til + ( 7) fordi ( 7) svarer til + 7 Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, fordi to minusser efter hinanden giver plus. Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. Tegningen til højre viser, at forskellen på - og er Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler + + og + : : + og : + + på opgaver Udregn: ( ) Udregn: ( ) : ( ) 1 på grund af regnereglen: Forestil dig, at der på forskellige bankkonti alle står - kr. (overtræk). I alt står der -1 kr. på de konti. + ( ) : på grund af regnereglen: : Forestil dig, at en gæld på kr. deles i lige store gælds-portioner. Hver portion bliver en gæld på kr. + på opgaver Udregn: - ( ) Udregn: ( 0) : ( ) ( ) 8 på grund af regnereglen: + Dette eksempel er svært at forklare. ( 0) : ( ) på grund af regnereglen: : + Forestil dig, at en gæld på 0 kr. skal deles i mindre gælds-portioner på kr. Der bliver gælds-portioner. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 1

21 Parenteser og brøkstreger Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. på opgaver Udregn: (8 ) Udregn: + ( ) : (8 ) 0 + ( ) : + (1 ) : + 10 : + 8 En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. på opgaver Udregn: Udregn: Opgaven i eksemplet svarer til at skrive ( + 7) : (9 ) 1 :, men brøkstregen er mere fiks på opgaver Skriv 8 uden brøkstreg. Skriv 8 : : 10 på en brøkstreg. : : : :10 10 Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 17

22 Potenser og rødder Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. på opgaver Skriv som en potens. Udregn også resultatet. Skriv 7 som et almindeligt gangestykke. Udregn også resultatet. Man siger seks i fjerde. På regnemaskinen trykkes ^ for at beregne resultatet Man siger fem i syvende. ne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. Bemærk at potens-knappen også kan se således ud: y x på regnemaskinen. Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. De fleste regnemaskiner har en i anden-knap. Den ser således ud: x. For at finde tastes x og man får. Rødder er det modsatte af potenser. på opgaver Find 1 Find 8 1 kaldes for kvadratroden af 1. Man får fordi 1 eller er 1. Man skulle tro, at 1 også kan være, fordi 8 kaldes både for den tredje rod af 8 og for kubikroden af 8. Man får fordi 8 eller er 8. ( ) er 1 (husk regnereglen: + ). Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 1. Og 1 betyder. Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x. Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. Lektion 0 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 18

23 Supplerende eksemplet til Trin II Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...18 a Potenser...18 b Rødder...18 d 10-tals-potenser...18 e Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18a

24 Supplerende eksemplet til Trin II Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18b Potenser Der findes nogle specielle regneregler for potenser. De er vist her til højre. Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver dem på almindelige tal, så er de meget logiske. på opgaver Skriv på kortere form: Man får iflg. regel I: + Man får iflg. regel II: Man får iflg. regel III: 0 ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: Ved at forkorte får man Men man kan også skrive: og det er naturligvis 0 på opgaver Skriv på kortere form: ( ) Man får iflg. regel IV: Man får iflg. regel V: ) ( Men man kan også skrive: og det er naturligvis Men man kan også skrive: ) ( og det er naturligvis I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen. I: n m n m a a a + II: n m n m a a a III: n n n b) (a b a IV: n n n b a b a V: m n n m a ) (a

25 Supplerende eksemplet til Trin II Når man skriver en potens, kalder man det lille tal eksponenten. Selv om det lyder spøjst, kan en eksponent godt være negativ. Man definerer en negativ eksponent som vist til højre. 1 1 betyder derfor det samme som eller. Men skrive-måden fylder mindre end de andre. På regnemaskinen trykkes: ^ (-) eller på ældre modeller y x +/- Resultater bliver (naturligvis) et meget lille tal. 0, n a 1 n a Man definerer også, at et tal opløftet til nulte potens altid giver en. Det betyder, at 0 1 og og og.. De regneregler for potenser, som stod øverst på forrige side, gælder også, hvis en eller flere af eksponenterne er negative tal eller nul. a 0 1 for alle a på opgaver Skriv på kortere form: - 0 ( ) - Man får iflg. regel I: Men man kan også skrive: 1 Ved at forkorte får man Bemærk også at Man får iflg. regel II: Men man kan også skrive: 0 og det er naturligvis 1 Man får iflg. regel V: ( ) (-) Men man kan også skrive: 1 ( ) ( ) 1 og det er naturligvis Til sidst skal nævnes at eksponenten også kan være et decimaltal eller en brøk., Det er indviklet at forklare, hvad der helt præcis menes med regneudtryk som eller. Du kan evt. læse mere andre steder. Her skal du blot prøve at indtaste nogle potenser med decimal-eksponent på regnemaskinen. Du skal kontrollere (nogle af) tallene i tabellen herunder. 1,9,1,,,9,1 8, ,0.. 11,1.. 1,1, ,1.. Resultatet af potens-beregningen vokser jævnt i takt med, at eksponenten vokser. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18c

26 Supplerende eksemplet til Trin II Rødder Rødder er det modsatte af potenser. Hvis man skriver så mener man det tal, som opløftet til. potens giver. Man siger den. rod af, og resultatet er, fordi På regnemaskinen trykkes: x eller (på ældre modeller): INV y x på opgaver Udregn: , ,8 (afrundet) fordi, Bemærk at (,8) også er.011. Men. 011 betyder normalt det positive af tallene..8,8 (afrundet) fordi (,8). 8 Bemærk at man godt kan tage en ulige rod af et negativt tal. Men ikke en lige rod! 0,001 0, Bemærk at når man tager en rod af et tal, der er mindre end en, så bliver resultatet større end start-tallet. Der findes også specielle regneregler for rødder. De minder om reglerne for potenser. Reglerne for kvadratrødder (til venstre) er reelt kun specielle eksempler på reglerne til højre. Reglerne er meget logiske, hvis man afprøver dem på almindelige tal. n n n a b a b a b a b n a a a n b b n b a b Der findes også en særlig sammenhæng mellem potenser og rødder. Denne sammenhæng kan nogle gange bruges i beregninger. n a a 1 n på opgaver Skriv på kortere form: 100 Kontroller selv, at resultatet bliver det samme uanset hvilken skrive-måde, man vælger. Udregn: 1 1 Beregningen kan indtastes på regnemaskinen på mange måder. En af mulighederne er at bruge at: Ved at trykke som vist ovenfor, får man: 1 8 Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18d

27 Supplerende eksemplet til Trin II 10-tals-potenser Man skriver nogle gange meget store og meget små tal med brug af 10-tals-potenser. på opgaver Skriv som almindelige tal: , Der tilføjes i alt 8 nuller, 8 fordi der ganges med 10. Et nul for hver gang man ganger med 10., 10 1, , Kommaet rykkes pladser til højre, og der tilføjes 10 nuller. I alt 1 ændringer fordi der 1 ganges med10. Tænk først på at: Derfor får man at: ,00000 Det usynlige komma efter rykkes pladser til venstre, fordi omregningen svarer til gange at dividere med 10. Især det midterste eksempel giver en god fornemmelse af, at man kan spare plads ved at bruge 10-tals-potenser. Skrive-måden bruges bl.a. inden for videnskaber som fysik og kemi. Når man bruger denne skrive-måde, er det meget vigtigt at huske reglerne for, hvorledes man ganger og dividerer et tal med 10, 100 osv. Husk at: - man ganger et tal med 10, 100 osv. ved at flytte kommaet til højre og/eller tilføje nuller. - man dividerer et tal med 10, 100 osv. ved at fjerne nuller og/eller flytte kommaet til venstre. 8 7 Udregn: Selv om opgaven ser indviklet ud, kan den godt regnes uden brug af regnemaskine: , Den sidste omskrivning - fra 1 10 til at skrive disse tal med netop et ciffer foran kommaet , 10 - er udelukkende fordi, der er tradition for Hvis du skal bruge regnemaskine, kan du naturligvis bruge potens-knappen: ^ eller y x Men regnemaskinen har også en særlig 10-tals-potens-knap. Bed din lærer om hjælp. Lektion 0s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler Side 18e

28 Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...19 Hvad er brøker - nogle eksempler...0 Forlænge og forkorte...1 Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker - plus og minus... Regning med brøker - gange og division... Forholdstal... Lektion 0 - Brøker eksempler Side 19

29 Hvad er brøker - nogle eksempler Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. Lagkagen er inddelt i lige store stykker eller brøkdele. Hver brøkdel kaldes 1 (en fjerde-del). Chokoladen til venstre er inddelt i 1 lige store stykker. Ligesom en Rittersport. Hver del kaldes 1 1 (en sekstende-del). Chokoladen til højre er inddelt i lige store stykker. Hver del kaldes 1 (en sjette-del). Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. Der er spist af lagkagen til venstre. Der er 1 tilbage. Der er spist 8 af lagkagen til højre. Der er 8 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 9 tilbage. Der er spist 1 7 af chokoladen til venstre. Der er 1 tilbage. Tallet over brøkstregen kaldes tæller. Tæller Tallet under brøkstregen kaldes nævner. Nævner En brøkstreg er også et divisionstegn. kan betyde to ting, som reelt er det samme: - en hel deles i dele - vi tager de - resultatet af divideret med Lektion 0 - Brøker eksempler Side 0

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G, F, E og D. Niels Jørgen Andreasen

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G, F, E og D. Niels Jørgen Andreasen Matematik på AVU Eksempler til niveau G, F, E og D Niels Jørgen Andreasen Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning

Lektion 1 Grundliggende regning Lektion 1 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal...

Læs mere

Procentregning. Procent Side 36

Procentregning. Procent Side 36 Procentregning Find et antal procent af.... 37 Procent, brøk og decimaltal... 38 Hvor mange procent udgør..?... 39 Find det hele..... 40 Promille... 40 Moms... 41 Forskel i procent... 42 Ændring i procent...

Læs mere

Lektion 5 Procentregning

Lektion 5 Procentregning Lektion 5 Procentregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Find et antal procent af Procent, brøk og decimaltal Hvor mange procent udgør..? Find det hele Promille Moms Ændring i procent Forskel i

Læs mere

Regning med enheder. Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17. Regning med enheder Side 10

Regning med enheder. Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17. Regning med enheder Side 10 Regning med enheder Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17 Regning med enheder Side 10 Måleenheder Du skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde. Vægt

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Lekion 4 Brøker og forholdstal

Lekion 4 Brøker og forholdstal Lekion Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Hvad er brøker... Forlænge og forkorte brøker... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter uden regnemaskine...2 De fire regnearter nu må du godt bruge regnemaskine...5 10-tals-systemet...7 Decimaler og brøker...9 Store tal...1 Gange

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker... Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Forholdstal... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker plus og minus... Regning med

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser... Brøkstreger... Tekst

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Lektion 5 Procentregning

Lektion 5 Procentregning Lektion 5 Procentregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Find et antal procent af Procent, brøk og decimaltal Hvor mange procent udgør.? Find det hele Promille Moms Ændring i procent Forskel i

Læs mere

Matematik på VUC Modul 2 Opgaver

Matematik på VUC Modul 2 Opgaver Procentregning Find et antal procent af...55 Procent brøk og decimaltal...58 Hvor mange procent udgør?...60 Find det hele...6 Promille...64 Moms...65 Blandede opgaver...66 Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen,

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning, basis ISBN: 978-87-92488-01-5 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Træningsopgaver til Matematik F. Procentregning

Træningsopgaver til Matematik F. Procentregning Procentregning Find et antal procent af...... 2 Procent, brøk og decimaltal... 3 Hvor mange procent udgør... 4 Find det hele... 5 Promille... 6 Moms... 7 Ændringer og forskelle i procent... 8 Procent og

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik på VUC. Modul 1. Indholdsfortegnelse. De fire regnearter...1 Tal...56 Måleenheder...109 Tabeller, diagrammer og tegninger...

Matematik på VUC. Modul 1. Indholdsfortegnelse. De fire regnearter...1 Tal...56 Måleenheder...109 Tabeller, diagrammer og tegninger... Matematik på VUC Indholdsfortegnelse Modul De fire regnearter... Tal...56 Måleenheder...09 Tabeller, diagrammer og tegninger...42 Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus nja@vucaarhus.dk De fire

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst

Procent og eksponentiel vækst Procent og eksponentiel vækst Procent og decimaltal...52 Vækst-fomlen; K n er ukendt...54 Vækst-fomlen; K 0 er ukendt...56 Vækst-fomlen; r er ukendt...57 Vækst-fomlen; n er ukendt...58 Når du regner opgaverne

Læs mere

Matematik Test 6. 6.1. Talskrivning: 6.2 Sandt eller falskt udsagn. 30 mm = 3 cm 500 m = 5 km 3 ton = 300 Kg. 4 dm > 80 mm 3000 m < 3 km 2 cm > 10 mm

Matematik Test 6. 6.1. Talskrivning: 6.2 Sandt eller falskt udsagn. 30 mm = 3 cm 500 m = 5 km 3 ton = 300 Kg. 4 dm > 80 mm 3000 m < 3 km 2 cm > 10 mm 1 Denne PDF fil består af 1. Evalueringstest ( side 1-5) 2. Elevstatusark (side 6) 3. Eksempler på henvisningsopgaver (s. 7-12 ) - vist med fed/kursiv skrift på statusarket. Matematik Test 6 Navn: Klasse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik procent F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik forhold og procent F+E+D ISBN: 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik benævnelser basis+g ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning og talforståelse

Lektion 1 Grundliggende regning og talforståelse Lektion 1 Grundliggende regning og talforståelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... På indkøb - brug regnemaskinen... Negative tal... Mest hovedregning... Regn med papir og blyant... Små tal og

Læs mere

Matematik. på AVU. Opgaver til niveau G

Matematik. på AVU. Opgaver til niveau G Matematik på AVU Opgaver til niveau G Indholdsfortegnelse Grundlæggende regning og talforståelse... Regning med enheder... 9 Sammensætning af regnearterne... Brøker og forholdstal... 7 Procentregning...

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Økonomi. Valuta...70 Skat...72 Rente og værdipapirer...74. Matematik på VUC Modul 2 Opgaver

Økonomi. Valuta...70 Skat...72 Rente og værdipapirer...74. Matematik på VUC Modul 2 Opgaver Økonomi Valuta...70 Skat...72 Rente og værdipapirer...74 Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus nja@vucaarhus.dk Modul 2,6 - økonomi Side 69 Valuta Tabellen til højre skal bruges i flere af de

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, F+E+D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

PROCENTREGNING DEFINITION AF PROCENT. Procentregning er også brøkregning

PROCENTREGNING DEFINITION AF PROCENT. Procentregning er også brøkregning 2.7.7 PROCENTREGNING Procentregning er også brøkregning Brøkdele kan også angives som procent. Oftest er det lettere at forstå end brøkdele. Procenter bruges overalt, idet det er lettere at foretage sammenligninger.

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Kom godt i gang. Mellemtrin

Kom godt i gang. Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Tid og hastighed. Tid...15 Hastighed...19 Blandede opgaver...20. Matematik på VUC Modul 2 Opgaver

Tid og hastighed. Tid...15 Hastighed...19 Blandede opgaver...20. Matematik på VUC Modul 2 Opgaver Tid og hastighed Tid...15 Hastighed...19 Blandede opgaver...20 Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus nja@vucaarhus.dk Modul 2,2 - tid og hastighed Side 14 Tid 1: Omregn til sekunder: a: 2 min.

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 5 Grundlæggende færdigheder... side 7 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 6 Grundlæggende færdigheder... side 8 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, G ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Tabeller og diagrammer

Tabeller og diagrammer Tabeller og diagrammer Udarbejdet af: Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus nja@vucaarhus.dk Modul,7 - tabeller og diagrammer Side 7 : Tabellen og diagrammet herunder viser, hvor mange børn der blev født i

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 2 Omregning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Vægtenheder... Rumfangsenheder... Længdemål... Blandede opgaver med vægt, rumfang, længdemål.... Tid... Hastighed... Valuta... Rente og værdipapirer...

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk.

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. 0B1. Omregning mellem procenter og kommatal Ordet procent

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Kom godt i gang. Begyndertrin

Kom godt i gang. Begyndertrin Kom godt i gang Begyndertrin Kom godt i gang Begyndertrinnet Forfattere Kirsten Spahn og Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard,

Læs mere