Matematik for økonomer 3. semester

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik for økonomer 3. semester"

Transkript

1 Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Topics Matrix Algebra fortsat Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

2 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Nødvendige betingelser for udsagn (se også C. & W. afsnit 5.1) En nødvendig betingelse er en forudsætning. Antag at et udsagn p kun er sandt hvis et andet udsagn q også er det, så er q en nødvendig betingelse for p. Symbolsk skrives dette som p q Udsagnet læses som "p kun hvis q" og er logisk ækvivalent med udsagnet "p medfører q". Ex: Lad p være udsagnet "dyret er en kat" og q være udsagnet "Dyret har to øjne og en hale" så gælder der at p q, da to øjne og en hale er en forudsætning for at et dyr kan være en kat. Det omvendte gælder derimod ikke da der findes andre dyr med to øjne og en hale. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

3 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Tilstrækkelige betingelser (se også C. & W. afsnit 5.1) Hvis der gælder at p er sand når q er sand, men at p godt kan være sand uden at q er det, så er q en tilstrækkelige betingelse for p. Symbolsk skrives dette som p q Udsagnet læses som "p hvis q", og er logisk ækvivalent med "q medfører p". Ex: Hvis p er udsagnet "man kan komme til Europa" og q er udsagnet "man tager flyet til Europa", så har vi p q, da flyet kan få en til europa. Det omvendte udsagn gælder derimod ikke da man kan komme til Europa på andre måder. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser Et tredje tilfælde er hvis q er både nødvendig og tilstrækkelig for p. I dette tilfælde skriver vi p q udsagnet læses som "p hvis og kun hvis q". Ex: Hvis vi lader p være udsagnet "Der er mindre end 30 dage i måneden" og q være udsagnet "Måneden er Februar", så har vi p q, da det er nødvendigt at det er Februar for at der er under 30 dage, mens at udsagnet q er tilstrækkeligt til at fastslå at der er under 30 dage i måneden. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

4 Nonsingularitet Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nonsingularitet Betingelser for nonsingularitet af matricer(c. & W. afsnit 5.1) En nødvendig betingelse for nonsingularitet er at matricen er kvadratisk, da kun kvadratiske matricer har en invers. En nødvendig betingelse for at en matrix er nonsingulær, er at dens rækker er lineært uafhængige. Dette er det samme som at dens søjler er lineært uafhængige. Rækkerne i en matrix kan opfattes som rækkevektorer a 11 a 1n v 1 A =..... =. a m1 a mn Disse rækkevektorer er lineært uafhængige hvis ligningen: kun har en løsning for alle k i = 0. v m k 1 v 1 + k 2 v k m v m = 0 Tilsammen udgør disse to de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for nonsingularitet, dvs Nonsingularitet Kvadratisk matrix og lineært uafhængige rækker. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

5 Nonsingularitet Ex: Matricen A = består af rækkevektorerne [ ] v 1 = [ ] v 2 = [ ] v 3 = Disse er ikke lineært uafhængige da v 1 + v 2 = v 3 v 1 + v 2 v 3 = 0 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nonsingularitet Rangen af en matrix (se også C. & W. afsnit 5.1) Hvordan bestemmes lineær uafhængighed af rækkerne hvis det ikke kan ses med det blotte øje? For en generel m n matrix defineres rangen af matricen, som det maksimale antal lineært uafhængige rækker. Antallet af lineært uafhængige rækker er lig antallet af lineært uafhængige søjler, og der må derfor gælde at Rang(A) min(m, n) Rangen af en matrix kan bestemmes ved at transformere en matrix om til dens echelon form. Transformationen til echelon form, udføres ved hjælp af tre elementære rækkeoperationer, som ikke ændrer på rangen af matricen: 1 Ombytning af to rækker i matricen. 2 Multiplikation af en række med en skalar k 0. 3 Addition af "k gange en række" til en anden række. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

6 Nonsingularitet Echelonform af matrix (se også C. & W. afsnit 5.1) Echelonformen af en matrix er karakteriseret ved tre egenskaber 1 Rækker med ene nuller skal være nederst. 2 Den første indgang læst fra venstre i en række, som er forskellig fra nul, skal være et et-tal. 3 Den første indgang i en række (et-tallet), skal stå til højre for den første indgang i rækken ovenover. Når echelonformen af en matrix er fundet, kan rangen aflæses som antallet af rækker som ikke består af ene nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nonsingularitet Transformation til echelonform Ex: Find rangen af matricen A = Vi benytter de elementære rækker operationer, og starter med at ombytte række 1 og 3, så vi får Den første indgang i række 1 skal være et-tal, så vi ganger rækken med 1/4, og får 1 1/ Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

7 Nonsingularitet Transformation til echelonform fortsat For at matricen kommer på echelonform skal den ledende indgang i anden række stå til højre for den ledende indgang i første række. Vi sørger for dette ved at trække 2* række 1 fra række to, så vi får 1 1/ / Den ledende indgang i anden række skal nu laves til et et-tal, så vi dividerer med 11/2 og får 1 1/ / Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Nonsingularitet Transformation til echelonform fortsat For at få den ledende indgang i række tre til at stå til højre for den ledende indgang i række to lægges 11* række to til række tre så vi får 1 1/ / Matricen er nu på echelonform, og rangen kan aflæses som antallet af rækker forskellig fra nul, som i dette tilfælde er 2. De elementære rækkeoperationer kan også benyttes på ikke-kvadratiske matricer, og kan benyttes til løsning af ligningssystemer. For at en n n matrix er nonsingulær, skal alle dens rækker være lineært uafhængige. Dvs. at rangen skal være n, hvilket igen vil sige at echelonformen af en nonsingulær matrix, ikke har nogen rækker med ene nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

8 Determinanter Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter Bestemmelse af nonsingularitet vha. determinanter (C. & W. afsnit 5.2) En determinant er et entydig bestemt tal, som siger noget om en matrices egenskaber. Determinanten for en matrix A skrives A. Determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer. For en 1 1 matrix A = [a 11 ] er A = a 11. Dette må ikke forveksles med den numeriske værdi af et tal 5 = 5, da fortegnet her bevares så hvis A = [ 5], så er A = 5. [ ] a11 a For en 2 2 matrix A = 12 defineres determinanten som a 21 a 22 a A = 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Ex: A = [ ] A = = = 23. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

9 Determinanter Determinanter og lineær uafhængighed Ex: Givet en matrix med lineært afhængige rækker A = det at 2 4 A = 4 8 = = 0 [ ] fås Der lader altså til at være en sammenhæng mellem lineær afhængighed af rækkerne og værdien af determinanten. Determinanten kan ikke kun bruges til at afgøre om en matrix er nonsingulær, men også til at bestemme den inverse matrix. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter bestemmelse af en 3. ordens determinant a 11 a 12 a 13 For en 3 3 matrix A = a 21 a 22 a 23 defineres determinanten som a 31 a 32 a 33 a A = a 22 a a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a a 21 a a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

10 Determinanter Huskeregel for 3 3 determinanter Solide linier svarer til positive produkter Stiplede linier svarer til negative produkter Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter Ex: A = A = Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

11 Determinanter Evaluering af en n te ordens determinant (se også C. & W. afsnit 5.2) For en 3 3 matrix så vi at determinanten blev bestemt ved at tage indgangene fra første række og gange dem med tre forskellige 2. ordens determinanter. De tre 2. ordens determinanter kaldes underdeterminanter og er bestemt ud fra den originale 3 3 matrix. a Den første underdeterminant 22 a 23 a 32 a 33, som ganges med a 11 fås ved at fjerne den første række og første søjle. Underdeterminanten kaldes en minor til elementet a 11, og benævnes M 11. Generelt kan man få en minor til elementet a ij ved at fjerne den i te række og j te søjle. Denne minor benævnes så M ij. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter For hver minor defineres også en kofaktor. En kofaktor er en minor med et fortegn, og defineres som C ij = ( 1) i+j M ij Kofaktoren skifter altså fortegn afhængig af hvilken position i matricen elementet til minoren har. Ex: For matricen A = er minoren til elementet M 13 = = 3 Kofaktoren til samme element er C 13 = ( 1) = 1 ( 3) = 3 Tilsvarende er kofaktoren til elementet 2 C 12 = ( 1) = 1 ( 6) = 6 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

12 Determinanter Det ses nu at determinanten for en 3 3 matrix kan skrives som A = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = 3 a 1j C 1j j=1 Denne måde at skrive en determinant på kaldes for en Laplace-udvikling og kan udvides til at gælde for en vilkårlig n n matrix A, så n A = a 1j C 1j j=1 Hver af kofaktorerne i ovenstående udtryk svarer til en determinant for en (n 1) (n 1) matrix, og for at beregne determinanten fortsætter man med at Laplace udvide indtil vi kun skal beregne 2 2 determinanter, som vi har en formel for. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter Endvidere gælder det, at ovenstående resultat for determinanten gælder uanset om udviklingen er efter række 1 eller en hvilken som helst anden række, eller hvis det er efter en søjle i stedet for efter en række. I alle tilfælde får man determinanten: A = = n a ij C ij (uanset om i er 1 eller en hvilken som helst anden række) j=1 n a ij C ij (uanset om j er 1 eller en hvilken som helst anden søjle). i=1 (Bemærk at der summeres over j i første sum ovenfor, og at der summeres over i i den anden sum ovenfor). Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

13 Determinanter Laplace-udvikling af determinant Ex: Lad A = 2 3 0, så giver Laplace-udvikling efter første række: 3 0 A = = = Havde vi istedet udvidet efter først søjle fås 3 0 A = = = 27 Laplace-udvikling kan ske efter en vilkårlig række eller søjle. Det kan altså være en fordel at vælge den række eller søjle som har flest nuller. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter Egenskaber for determinanter (se også C. & W. afsnit 5.3) Egenskab 1: Ombytning af rækker og søjler ændrer ikke på determinanten. Dvs. A = A Egenskab 2: Ombytning af to rækker ændrer fortegnet på determinanten. Dvs hvis vi har en kvadratisk matrix A og A er den matrix hvor vi har byttet to rækker, så er A = A Egenskab 3: Multiplikation af en række med en skalar k gør determinanten k gange større. Dvs hvis A er den matrix hvor vi har ganget en række med k, så er A = k A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

14 Determinanter Egenskab 4: Addition af k gange en række til en anden række ændrer ikke på determinanten, dvs. hvis A er den matrix hvor vi har lagt k gange en række til en anden, så er A = A Egenskab 5: Hvis en række i matricen er en linearkombination af de andre, så er determinanten 0. Denne egenskab følger af egenskab 4, for hvis f.eks. den n te række kan skrives som v n = k 1 v k n 1v n 1 trække k i af den række fra v n hvilket ikke ændrer på determinanten. Slutteligt opnåes en nul-række, og Laplace udvikling af determinanten efter denne række giver 0., så kan vi for hver v i Omvendt gælder det, at hvis determinanten er forskellig fra 0 så er rækkerne i matricen lineært uafhængige. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Determinanter Determinant kriterium for nonsingularitet Vi ved nu at A 0 Rækkerne/søjlerne i A er lineært uafhængige A er nonsingulær A 1 eksisterer Der findes en entydig løsning x = A 1 d Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

15 Bestemmelse af den inverse matrix Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Bestemmelse af den inverse matrix Udvikling med fremmede kofaktorer (se også C. & W. afsnit 5.4) Der gælder at hvis man udvikler determinanten med fremmede kofaktorer så giver den værdien 0. Fremmede kofaktorer vil sige at man bruger kofaktorer fra en anden række end den man udvikler efter Ex: Hvis vi udvikler determinanten med elementerne fra første række og kofaktorerne fra anden række fås: ( a 11 C 21 + a 12 C 22 + a 13 C 23 = ) ( ) 1 0 = 4( 3) (1) = 0 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

16 Bestemmelse af den inverse matrix Udvikling med fremmede kofaktorer (Altså kofaktorerer hørende til en anden række eller søjle end den der udvikles efter) Denne egenskab gælder for determinanter af alle størrelser, og generelt kan dette skrives som n a ij C i j = 0 (i i ) j=1 n a ij C ij = 0 (j j ) i=1 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Den inverse matrix Bestemmelse af den inverse matrix Denne egenskab kan bruges til at bestemme A 1. Antag at vi har en n n matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Ud fra denne kan man danne en matrix af kofaktorer, ved at erstatte hvert element i A med dens kofaktor. Vi benævner denne matrix C = [ C ij ], og ser på dens transponerede C. En sådan matrix kaldes en adjungeret matrix, og er på følgende form: C 11 C 21 C n1 C C 12 C 22 C n2 = adj(a) = C 1n C 2n C nn Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

17 Den inverse matrix Bestemmelse af den inverse matrix Da begge matricer er n n kan de multipliceres, og vi får at a 11 a 12 a 1n C 11 C 21 C n1 AC a 21 a 22 a 2n C 12 C 22 C n2 = a n1 a n2 a nn C 1n C 2n C nn nj=1 a 1j C 1j nj=1 a 1j C 2j nj=1 a 1j C nj nj=1 a 2j C 1j nj=1 a 2j C 2j nj=1 a 2j C nj = nj=1 a nj C 1j nj=1 a nj C 2j nj=1 a nj C nj A A 0 = = A I n 0 0 A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Den inverse matrix Vi får altså at Dette betyder så at Bestemmelse af den inverse matrix AC A A 1 = 1 A C = 1 A adj(a) [ ] 3 2 Ex: Find den inverse af A =. Da A = 2 0 findes den inverse 1 0 og vi kan bestemme den med ovenstående metode. Kofaktoren for hvert element er i dette tilfælde en 1 1 determinant, vi får derfor [ ] [ ] C11 C C = = C 21 C Vi får da at = I A 1 = 1 A C = 1 2 [ 0 ] Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

18 Cramers regel Outline 1 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser 2 Nonsingularitet 3 Determinanter 4 Bestemmelse af den inverse matrix 5 Cramers regel Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Cramers regel Cramers regel (se også C. & W. afsnit 5.5) Vi ved at matrixligningen Ax = d har en løsning givet ved x = A 1 d. Da vi nu kan bestemme den inverse får vi at x 1 C 11 C 21 C n1 d 1 x 2. = 1 C 12 C 22 C n2 d 2 A xn C 1n C 2n C nn d n ni=1 d i C i1 = 1 ni=1 d i C i2 A. ni=1 d i C in Vi bemærker her at x 1 = n i=1 d i C i1 minder om en Laplace udvikling efter første søjle af en matrix, som jo er givet ved A = n i=1 a 1i C i1. Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

19 Cramers regel Cramers regel Det ses at hvis vi udskifter første søjle af A med vektoren d og Laplace-udvikler efter denne søjle så får vi x1. Kalder vi denne matrix hvor første søjle er udskiftet med d for A 1 så får vi altså at x 1 = A 1 A Generelt får vi så at hvis vi udskifter den j te søjle i A med d og kalder den nye matrix for A j så gælder der at x j = A j A Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38 Cramers regel Ex: Løs ligningssystemet Cramers regel 7x 1 x 2 x 3 = 0 10x 1 2x 2 + x 3 = 8 6x 1 + 3x 2 2x 3 = 7 Vi benytter Cramers regel og finder følgende determinanter A = = 61 A 1 = = A 2 = = 183 A 3 = = Vi får så at x1 = A 1 = 61 A 61 = 1 x 2 = A 2 A = = 3 x 3 = A 3 A = = 4 Esben Høg (Aalborg Universitet) Matematik for økonomer 3. semester 10. september / 38

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Matricer Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Tirsdag 3. september 11.00 12.00: Afsnit 8.1, 8.2, 8.3 og 8.5 Torsdag 5. september 12.30 16.15 12.30 14.15: Opgaveregning lokale 261/409 14.30: Vi mødes

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Udeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6

Udeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6 Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Fagets IT Introduktion til MATLAB

Fagets IT Introduktion til MATLAB Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Lineær algebra for EIT4+ITC4/14

Lineær algebra for EIT4+ITC4/14 Lineær algebra for EIT4+ITC4/14 Opgaveløsninger MM1 Opgaver: Opgave 1.1 Beregn determinanten for matrixerne A og B. 8 9 ( ) 2 8 1 2 1 6 >< >= 9 ;4 3 6 1 2 B = 2 8 4 >: 7 1 > 6 ;2 14321HEb Opgave 1.2 Beregn

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere