Implikationer og Negationer
|
|
- Jørgen Oscar Jakobsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Frank går i bad Nu med negationer Implikationer og negationer Kontraposition En analogi med tegninger Sandhedsmængder Negationer Implikationer Kontraposition Andre logiske operationer Tilbage til de hele tal Bevis for lemma 3 og dermed også lemma
3 Resumé Dettte dokument er inspireret af en samtale som jeg havde med en elev om beviset for at kvadratroden af 2 er irrational. Det havner i en halvdyb undersøgelse af logiske implikationer og hvordan man laver nogle logiske fiflerier med den slags. 1 Introduktion Beviset for at 2 er irrational 1 benytter sig af følgende lille hjælpesætning: Lemma 1. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x 2 er et lige tal, så er x nødvendigvis et lige tal. Skrevet med logiske symboler: x 2 lige x lige Hvis man skal bevise dette, så kan man lynhurtigt blive forvirret af følgende (meget mere indlysende, men totalt irrelevante) faktum: Lemma 2. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x er et lige tal, så er x 2 nødvendigvis et lige tal. Skrevet med logiske symboler: x lige x 2 lige Disse to lemmaer er begge korrekte, men de har (logisk set) intet med hinanden at gøre. Tværtimod, så har lemma 1 en hel masse med følgende resultat at gøre: 1 Du kan læse hele beviset her side 1
4 Lemma 3. Hvis x er et helt tal, og vi ved at x er et ulige tal, så er x 2 nødvendigvis et ulige tal. Skrevet med logiske symboler: x ulige x 2 ulige Det lyder umiddelbart mystisk hvorfor lemma 1 (som handler om lige tal) skulle have mere med lemma 3 at gøre end med lemma 2. Men faktisk er lemma 1 og 3 præcis den samme information, mens lemma 2 er en fuldstændig anden information. Det skal vi lige have en forklaring på. side 2
5 2 Frank går i bad Lad os lave en analogi som intet har med tal at gøre. Betragt følgende påstand: Sagt med lidt andre ord: A: Hver eneste tirsdag går jeg i bad! A: Hvis det er tirsdag, så går jeg i bad! Eller skrevet med logiske tegn: A: Det er tirsdag Jeg går i bad Dette er tre formuleringer af den samme information, nemlig at jeg går i bad hver eneste tirsdag. Om det er korrekt eller ej er ikke så vigtigt (logisk set), men det er ekstremt vigtigt at vide at jeg intet har sagt om andre dage end tirsdag. Man kan ikke se ud fra den ovenstående information om jeg går i bad på andre dage. Derfor skulle det gerne være klart at følgende påstand er en helt anden påstand: Eller med logiske tegn: B: Hvis jeg går i bad, så er det tirsdag B: Jeg går i bad Det er tirsdag Det ville være noget griseri hvis denne påstand var korrekt, fordi det ville betyde at jeg kun gik i bad om tirsdagen, og det ville ikke engang være en garanti for at jeg gik i bad hver tirsdag. side 3
6 2.1 Nu med negationer Lad os nu prøve at snige ordet ikke ind et par steder. Betragt følgende påstand: C: Hvis ikke jeg går i bad, så er det ikke tirsdag Eller med et logisk tegn: C: Jeg går ikke i bad Det er ikke tirsdag Kan du se at denne påstand er præcis den samme som påstand A? Den siger jo at hvis der er en dag hvor jeg ikke går i bad, så er det med garanti ikke en tirsdag. Hvis jeg skulle gøre dette rigtigt, så behøvede jeg kun at gå i bad hver tirsdag. Øvelse 4. Prøv at lave en påstand som er præcis det samme som påstand B, men som indeholder ordet ikke på begge sider af implikationen. side 4
7 3 Implikationer og negationer Det sidste afsnit var en illustration af et logisk fænomen som hedder kontraposition. For at forstå hvad kontraposition er, skal vi først forstå noget andet: Definition 5. Hvis U symboliserer et hvilket som helst udsagn (det logiske ord for en påstand), så skriver man: U for at symbolisere den modsatte påstand. Man kalder det negationen af U. I det foregående afsnit om mine badevaner optrådte der to grundlæggende udsagn: og: Sammen med deres negationer: og: U: Det er tirsdag V : Jeg går i bad U: Det er ikke tirsdag V : Jeg går ikke i bad Sagt på den måde kan vi omformlure de tre påstande som: A: U V side 5
8 B: V U C: V U Når du har læst næste afsnit vil du kunne se klart hvorfor påstand A og C er den samme. 3.1 Kontraposition Nu er vi klar til at se på en af de dybeste regler i udsagnslogik, nemlig reglen om kontraposition: Sætning 6 (kontraposition). Hvis U og V er to udsagn, så er det sammensatte udsagn: U V præcis det samme udsagn som det kontraponerede udsagn: V U Vi vil ikke bevise sætning 3.1 her (det er egentlig ikke så slemt, men man har brug for lidt mere forstand på udsagnslogik). I stedet vil vi illustrere det på en måde så det forhåbentlig bliver klart hvorfor et udsagn er det samme som dets kontraposition. Det kræver at vi opfinder en måde at se et udsagn på. side 6
9 4 En analogi med tegninger Logik bliver ofte meget nemmere hvis man tænker på ethvert udsagn som en mængde eller et område som man forestiller sig repræsenterer alle de steder, verdener, universer, situationer (eller sådan noget) hvor udsagnet er sandt. Man kunne kalde denne mængde for udsagnets sandhedsmængde. Bemærk at dette ikke er helt officiel matematik, så vær lidt tålmodig med mig hvis det næste afsnit forekommer lidt upræcist. 4.1 Sandhedsmængder Hvis man skal forestille sig en tegning af et udsagn, så er det på mange måder godt at forestille sig en mængde bestående af alle de situationer hvor udsagnet er sandt. Desværre er det for upræcist bare at sige alle de situationer, så det er en smule mere besværligt end dette. Det kan siges (lidt) mere præcist på følgende måde: Definition 7. Hvis Ω er en mængde (vi vil kalde den for universmængden) bestående af elementer som vi vil kalde for situationer, så kan vi tænke på et udsagn U som en delmængde af Ω hvis: Udsagnet U giver mening når man har valgt en situation (altså et element i Ω For hver eneste situation er udsagnet U enten sandt eller falsk Hvis disse to betingelser er opyldt, så definerer vi udsagnets sandhedsmængde som de mængden bestående af de elementer i Ω hvor udsagnet er sandt. Man skal have et billede i stil med figur 1 inde i hovedet: Tricket består altså i et forestille sig en passende universmængde, hvor vores udsagn bliver til påstande som er enten sande eller falske, alt efter hvilket element man ser på. Lad os se på et par eksempler. side 7
10 Figur 1: En universmængde, Ω og en sandhedsmængde for et udsagn, U. Det blå område består af de situationer hvor U er et sandt udsagn. Eksempel 8. Eksemplerne med mine badevaner indeholdt to udsagn: og: U: Det er tirsdag side 8
11 V : Jeg går i bad For at forstå disse udsagn som mængder, kan vi lade Ω bestå af alle tænkelige dage (måske alle dage i jordens historie? Eller bare alle dage i mit liv?). Vi skal altså forstå hvert element i universmængden som en dag. Dermed er det klart at U og V kan være enten sande eller falske, alt efter hvilket element vi ser på. Sandhedsmængden for U består altså af alle de dage som er tirsdage, og sandhedsmængden for V består af alle de dage hvor jeg går i bad. Hvis man laver andre typer af udsagn, så har man brug for at lave sin universmængde om. Det kan være meget svært at vælge den rigtige mængde, især når udsagnene handler om andre ting end matematik. Her kommer et matematisk eksempel som du muligvis allerede kender: Eksempel 9. Hele det emne som hedder analytisk geometri er faktisk et eksempel på at udsagn kan blive til mængder. Analytisk geometri handler om en helt bestemt slags udsagn, nemlig ligninger med to ukendte. Det kan f.eks. være følgende udsagn: U : y = 2x + 5 V : x 2 + y 2 = 1 W : y = 1 x Når vi siger at disse udsagn beskriver nogle delmængder af koordinatsystemet, så er det i virkeligheden fordi vi betragter det todimensionale koordinatsystem som vores universmængde, Ω. Hvert element i Ω giver os en situation bestående af et punkt med en x-koordinat og en y-koordinat. side 9
12 Og så er det jo klart at hvert af udsagnene U, V og W kan være enten sande eller falske, alt efter om de to koordinater opfylder ligningen eller ej. Når man så tegner sandhedsmængder for U, V og W, så tegner man de punkter i koordinatsystemet hvis koordinater opfylder ligningerne. Nu bliver det rigtigt pænt! Fordi det viser sig at de logiske ting som som vi kan gøre med udsagn svarer fuldstændigt til operationer som vi kan lave med disse udsagns sandhedsmængder. Lad os starte med det nemmeste, nemlig negationerne: 4.2 Negationer Negation af et udsagn er som sagt når man laver det modsatte udsagn. Altså et udsagn som er sandt hvis det oprindelige udsagn er falsk, og omvendt. Hvis man tænker på vores tegning af udsagnets sandhedsmængde, så er dette meget simpelt: Sætning 10. Hvis U er et udsagn, så vil det negerede a udsagn, U, have en sandhedsmængde, som består af alle de situationer som ikke er med i U s sandhedsmængde. Dette kaldes i mængdesprog for komplementærmængden, og det ser ud lige som på figur 2. a Det skal udtales med hårdt g. Ellers lyder det vildt mærkeligt. side 10
13 Figur 2: Sandhedsmængden (med blåt) for det negerede udsagn U. 4.3 Implikationer Hvad så med implikationer? Det er en smule mere kompliceret, fordi der indgår hele to udsagn i en implikation. Hvis U og V er to udsagn, så kan man bygge et nyt, samlet udsagn ved at skrive: U V Dette udsagn svarer til at sige at hvis U er sandt, så er V også side 11
14 sandt. Men det siger intet om hvorvidt nogen af dem er sande. Denne lille finurlighed er det som gør implikationer meget svære at bruge rigtigt. Men det er heldigvis ret nemt at forklare hvis man tænker på de to udsagns sandhedsmængder. Sætning 11. Hvis U og V er to udsagn, hvis sandhedsmængder kan tegnes i den samme universmængde, Ω, så svarer udsagnet: U V til at sige at U s sandhedsmængde ligger inde i V s sandhedsmængde. I mængdesprog siger man at U s sandhedsmængde er en delmængde af V s sandhedsmængde. Det ser ud som vist på figur 3. side 12
15 Figur 3: Sandhedsmængder for to udsagn U og V, hvor der gælder at U V. 4.4 Kontraposition Inspireret af figur 3, kan man forestille sig at påstanden U V svarer til at V er et hus, og U er et værelse inde i huset, så siger påstanden jo bare at hvis jeg er inde i værelset, så er jeg nødvendigvis også inde i huset. side 13
16 Men hvad så med påstanden: V U Jo, den siger jo så bare at hvis ikke jeg er inde i huset, så er jeg ihvertfald heller ikke inde i værelset. Eller med andre ord: Det som ligger uden for V ligger ihvertfald også uden for U. I forhold til figur 3 svarer udsagnet U V til at sige at den røde mængde ligger inde i den blå. Mens det kontraponerede udsagn V U svarer til at sige at det hvide område (som jo er V s komplement) ligger inde i det hvide og det blå område tilsammen (hviilket jo er U s komplement). 4.5 Andre logiske operationer Det smukke stopper slet ikke her! Der er mange flere såkaldte dualiteter mellem logiske finurligheder og ting som man kan tegne. Det hører egentlig hjemme i et helt andet dokument, men jeg laver lige et par eksempler her. Eksempel 12. De to logiske tegn for og ( ) og eller ( ) kan være lidt svære at huske forskel på. Det bliver nemmere hvis man ved hvad de gør ved sandhedsmængderne for de udsagn som man bruger dem sammen med. Hvis U og V er to udsagn, så er udsagnet U V det udsagn at både U og V er sande. Hvis man således skal forestille sig sandhedsmængden for U V, så skal man forestille sig de situationer som både ligger i U s sandhedsmængde og i V s sandhedsmængde. Dette kaldes (som du nok ved) for fællesmængden eller snitmængden mellem sandhedsmængderne. Se figur 4. side 14
17 På samme måde svarer udsagnet U V til fællesmængden af de to sandhedsmængder, nemlig alle de situationer hvor enten U eller V (eller dem begge) er sand. Dette er meget pænt, fordi tegnet på den måde svarer til symbolet for snitmængder, mens eller-tegnet svarer til symbolet for fællesmængde. Det er naturligvis ikke tilfældigt at de vender åbningen den samme vej. side 15
18 Figur 4: Sandhedsmængder for to udsagn, U og V (med henholdsvist blå og rød) og en markering af sandhedsmængden for det sammensatte udsagn U V (som jo så bliver lilla, fordi det både er rødt og blåt) Det er faktisk ret smukt når man laver det skematisk. Hvert af de logiske symboler har en makker blandt de symboler som vi bruger når vi arbejder med mængder. Se selv: side 16
19 Logisk symbol Mængdesymbol = side 17
20 5 Tilbage til de hele tal Lad os vende tilbage til det oprindelige problem, nemlig lemma 1. Denne sætning handler om to forskellige udsagn om et helt tal, x, nemlig: og U: x 2 er lige V: x er lige Vi kan forestille os disse udsagn tegnet som sandhedsmængder inde i en universmængde, Ω som består af alle de hele tal. Med vores visdom fra de sidste afsnit er det nemt at se at lemma 1 ganske enkelt påstår: U V og at dette (ved kontraposition) er præcis det samme som påstanden: V U Men de to udsagn U og V er nemme at negere, eftersom alle ethvert heltal enten er lige eller ulige. Derfor er de negerede udsagn: og U: x 2 er ulige V: x er ulige Så derfor er den kontraponerede påstand præcis det samme som lemma 3 side 18
21 5.1 Bevis for lemma 3 og dermed også lemma 1 Lad os nu til slut bevise lemma 3. Det vil samtidigt bevise lemma 1, og dermed kan vi tillade os at bruge det i beviset for at 2 er irrational. Bevis (for lemma 3). Lad os antage at x er et helt tal, og at x er ulige. Det betyder at x kan skrives som: x = 2 n + 1 (fordi ethvert ulige tal kan skrives som et lige tal plus 1.) Ifølge den første kvadratsætning kan vi derfor skrive: x 2 = (2n + 1) 2 = (2n) n 1 = 2 2 n n = 2 (2n 2 + 2n) + 1 Ved den sidste omskrivning kan man tydeligt se at x 2 er ulige. Der bliver det nemlig skrevet som et lige tal (2 gange et eller andet helt tal) plus 1. side 19
Brug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm problemløsning i matematik
Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereOm Forfatteren. Frank Nasser. 17. januar 2012
Om Forfatteren Frank Nasser 17. januar 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereSætninger og Beviser
Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereOm Forfatteren. Frank Nasser. 20. april 2011
Om Forfatteren Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereStruktureret læsning i Matematik
Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereKæmpestore tal og uendelig
Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013
Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereSikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mere