Bachelor opgaven. Vincent Appel ( )
|
|
- Ulrik Frank
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Bachelor opgaven Vincent Appel ( ). oktober 00 Vejleder: Jens Paaske
2 Indhold Abstract Grundlæggende Gruppeteori. Grupper Klasser Repræsentationer Karakteren af repræsentationen Fysisk anvendelse Direkte produkt grupper Punkt grupper Udvalgsregler for matrixelementer vha. gruppeteori Udvalgsregler for pertubationshamilitonoperatoren Inversion Et trekantet kvantesystem med 3 partikler 8 3. Spinmodellen Hamilitonoperatoren Kobling med et elektrisk felt Et femkantet kvantesystem med 5 partikler Abstract
3 Grundlæggende Gruppeteori. Grupper En gruppe er en mængde af operationer som operere med symmetrier i et system. Dette forklares letteste vha. et eksempel, så lad os se på et kvadrat (fra opgaven - i Tinkham): Et kvadrat har en række symmetrier, såsom rotationsymmetrien i urets retning i bidder af π, π og 3π. Operationerne, gruppeelementerne, der roterer systemet i disse bidder kalder vi henholdsvis F, G og H. Desuden har kvadratet re spejlings symmetrier, vist herunder, hvor spejling i hver af disse akser er et gruppeelement i gruppen. Figur : Et kvadrat med integnet symmetriakser, indekset fra A-D som sammenholdes med gruppeelementerne der spejler guren i den pågældende akse Disse syv symmetri-operation samt enheds-operationen, E, (at multiplicere med én eller gøre intet) udgør gruppen for kvadratsystemmet. De har selvfølgelig et indbyrdes forhold til hinanden, hvilket lettest angives i en multiplikationstabel, vist herunder, som er en tabel over multiplikationen af gruppeelementerne. Ved multiplikation af to gruppeelementer menes der at man først gør den ene operation og dernæst den næste. Altså vil multiplikationen A G betyde at man først spejler guren i A-aksen og dernæst roterer den π i urets retning. Men jeg kunne havde kunne endt det samme sted hvis jeg blot havde spejlet i B-aksen, altså brugt operationen B på systemet. Altså skriver vi A G = B. Det kan hurtigst se at rækkefølgen ikke er ligegyldigt for dette eksempel, men hvis man nder en gruppe hvor rækkefølgen er ligegyldig, altså at multiplikation er kommuntativ, siges gruppen at være Abelian.
4 E A B C D F G H E E A B C D F G H A A E G F H C B D B B G E H F D A C C C H F E G B D A D D F H G E A C B F F D C A B G H E G G B A D C H E F H H C D B A E F G Tabel : Multiplikationstabel for gruppen for kvadratsystemet. Tabellen skal læses således at rækkefølgen bliver at man først ser pårækken, dernæst søjlen. Altså således at man læser 4. række (C) ganget med 3. søjle (B) giver F (C B = F ) Multiplikationstabeller er ofte måden man præsentere en gruppe uden brug af repræsentationer (se afsnit.), men vi kan sagtens trække mere information ud af gruppen ved at se mere på elementernes indbyrdes forhold. Et interessant emne er klasser... Klasser Klasser skal forståes på den måde at når elementerne i samme klasse så minder de om hinanden. For at to elementer skal være i klasse sammen skal de opfølge kravet at de to elementer skal være konjugeret til hinanden: B = XAX eller A = XBX () I vores eksempel med kvadratet er elementerne A og B; C og D; F, G og H samt E i hver deres klasse, hvilket og giver god mening geometisk da disse operationer minder om hinanden. Gruppeelementet E er altid sin egen klasse. Vores gruppe kan altså deles op i re klasser, hvilket er en information der viser sig at være vigtig når man skal undersøge karakteren af repræsentationen. En lille sætning der gør livet lettere når man tester hvilke gruppe elementer der er konjugeret til hinanden er: Hvis elementerne A og B begge er konjugeret til C så er B og A også konjugeret til hinanden.. Repræsentationer Repræsentationen af en gruppe er måden vi udtrykker gruppen på. Dette kan gøres på ere forskellige måder, men der er en række theoremmer der hjælper os med at nde ud af hvor mange der er i alt, samt hvilke er irreducible. Først ser vi dog på den første regl for en repræsentation: Fra Tinkham s. Γ(A) Γ(B) = Γ(A B) () 3
5 Altså skal repræsentationen følge multiplikationstabellen. Få at få lidt mere kød på hvad disse repræsentationer er tager vi igen og ser på et eksempel, denne gang en trekant : Gruppen for trekanten, som vist herunder, består af seks elementer, altså har gruppen orden 6, tre operationer der rotere guren π om hver sin akse (A, B og C), tooperationer som roterer trekanten π 3 henholdsvis med og mod uret (D og F) og selvfølgelig enhedsoperationen, E. Figur : En trekant hvor de akserne som gruppeelementerne A-C roterer om er indtegnet og indekseret Vi kan repræsentere gruppen vha. seks x matricer: E = 0, A = 0 B = 0 0 C = 3 3, D = og F = (3) Denne repræsentation, som jeg navngiver Γ ( ) siges at være sand eller tro mod gruppen hvis hver element har sin egen unikke repræsentations matrix. Dimensionen af repræsentationen bestemmes af dimensionen af matricerne det består af, således at denne repræsentation er todimensionel. Denne repræsentation følger multiplikationstabellen (ikke skrevet her). Man kan nde en anden repræsentation (Γ ( )) af gruppen ved at se på determintanten af disse matricer. Gruppe elementerne vil så bliver repræsenteret af ±. Denne repræsentation følger også multiplikationstabellen da Γ(A) Γ(B) = Γ(A)Γ(B) = Γ(AB). Denne repræsentation er kun endimensionel. En tredje repræsentation (Γ ( 3)) er blot at repræsenterere alle elementerne som -taller. Kan jeg nde ere irreducible repræsentationer end disse tre? Svaret er et rungende nej, og forklaringen er at vha. en mægtigt sætning, ortogonalitet sætningen 3, kan jeg udfra gruppens orden og antallet af klasser nde præcis hvor Jeg følger Tinkhams eksempel for nemhedens skyld 3 Denne sætning er udledt med meget besvær i Tinkham på s.0-5 4
6 mange repræsentationer, med deres dimension, der er i alt. Ortogonalitets sætningen fortæller mig at: li = h (4) i hvor l i er dimensionen af den i'te repræsentation og h er orden af gruppen. Jeg behøver ikke engang at se på klasserne i trekants gruppen, hvis orden er 6, da der kun er én løsning til (4) nemlig + + = 6. For helhedes skyld ser jeg dog alligevel på klasserne i gruppen da dette får stor betydning i karaktertionen af repræsentationerne. Der er tre klasser i trekantsgruppen, C, C, C 3, som deler gruppen op på følgende måde: C = E C = A, B og C C 3 = F og D Jeg kan igen se, da antallet af klasser er det samme som antallet af irreducible repræsentationer 4, at der må være tre irreducible repræsentationer. For at trække information ud af disse repræsentationer som kan bruges i fysiske sammenhæng skal jeg lave en såkaldt karaktertabel. Først skal jeg dog denere hvordan man bestemmer karakteren af en repræsentation... Karakteren af repræsentationen Kravet om at kunne karaktersere repræsentations matricer kommer fra at de er relateret til hinanden gennem unitary transformationer. Vi leder derfor efter en karaktersation der er invariant under disse transformationer. Heldigvis ndes en sådan karaktersation, nemlig sporet af matricen. Sporet af en matrix er blot summen af diagonal elementerne. Vi denerer nu karakteren af den j'te repræsentation som rækken af spor for hver repræsentationsmatrix, hvor: 5 [ ] χ (j) (R) = Tr Γ (j) (R) = l j µ= Γ (j) (R) µµ (5) hvor χ er karakteren for repræsentationsmatricen R i den j'te repræsentation og l j er dimensionen af den j'te repræsentation. Da det let kan blive uoverskueligt at se på karakteren af repræsentationerne som rækker af spor, konstrukturerer man en karaktertabel. Man udnytter at først at der er lige mange irreducible repræsentationer som klasser i gruppen. Ydemere har elementerne i den samme klasse alle det samme spor. Jeg konstrukturerer nu karaktertabellen for min trekantgruppe, og husker at jeg har tre irreducible repræsentationer og tre klasser: 4 Fra Tinkham s. 6; Fra Tinkham s. 5, eq: 3-5 5
7 C 3C C 3 Γ () Γ () Γ (3) 0 Tabel : Karaktertabellen for trekantsgruppen. Tallet foran klasserne i øverst række, benævnes N k, er antallet af elementer i den pågældende klasse For at chekke om man har kontrukteret en karaktertabel korrekt er der en række krav der skal være opfyldt 6 :. Tabellen skal være kvadratrisk da der skal være lige mange irreducible repræsentationer som klasser. Da dimensionen af repræsentationerne er bestemt af li = h (4) og i enhver gruppe har enhedselementet E som skal repræsenteres som enhedsmatricen samt at enhedselementet er sin egen klasse er det første søjle altid blot l j. Desuden kan man altid nde den irreducible repræsentation hvor alle elementerne repræsenteres af -taller, vil den første række kun bestå af -taller. 3. Alle søjlerne skal være orthogonale på hinanden, normaliseret til h med vægtningsfaktoren N k (antallet af elementer i den k'te klasse). Det kan udtrykkes som: χ (i) (C k ) χ (j) (C k ) N k = hδ ij k 4. Alle rækkerne skal være orthogonale på hinanden, normaliseret til χ (i) (C k ) χ (i) (C l ) = i h N k δ kl 5. Elementerne i den i'te række er relateret med: N j χ (i) (C j ) N k χ (i) (C k ) = l i c jkl N l χ (i) (C l ) i h N k : hvor c j kl er konstanten deneret fra klassemultiplikation (ikke dækket i denne opgave) i ligningen: C j C k = c jkl C l l Fra karaktertabellen kan vi begynde at bruge gruppeteori på fysiske systemmer da man kan trække egenfunktion og egenværdier ud af karaktertabellen. Jeg begynder derfor at se på den fysiske anvendelse..3 Fysisk anvendelse Vi ser først og fremmest kun på grupper som lader Hamiltonian'en være invariant ved brug af gruppeelementerne. Før vi kan gå i gang med at trække 6 fra Tinkham s
8 egenfunktioner ud af vores karaktertabel er vi nød til at indføre operatorer som operere på funktioner. Vi denere disse operationer på følgende måde: Vi tager gruppeelementet R som ændre koordinaterne således at Rx = x og R x = x. Vi indfører nu P R som opfylder: P R f(rx) = f(x) P R f(x) = f(r x) hvor f(x) er en funktion af x. Gruppen med P R er isomorphic med gruppen vi startede med. Vi denere nu Schrödinger gruppen som den gruppe af operatorer P R der kommentere med Hamiltonianen. Vi ved fra kvantemekanikken at egenfunktionerne til operatorer der kommentere med Hamiltonian også er egenfunktioner til Hamilitonoperatoren. Vi kan nu generer ere eigentilstande med samme egenværdier da P R Hψ n = P R E n ψ n eller HP R ψ n = E n P R ψ n. Rammer vi alle eigentilstandene er udartetheden normal. Hvis der er nogen som vi ikke kan få fat i vha. symmetri operationerne kaldes disse accidental degeneracy, som dog ofte viser sig at faktisk at dukke op i en skjult symmetri. Jeg tager en udartet energi E n som jeg antager at være l n gange udartet (uden nogen accidental degeneracy). Tager vi l n orthogonale eigentilstande med denne energi må enhver operation med P R blot give en anden tilstand, stadig med energien E n. Denne nye tilstand kan nu skrives som en linæer kombination af l n -tilstandene (da disse udspænder basis for alle tilstande med energien E n. Dette er et underrum i Hilbert rummet som er invariant under alle operationerne fra Schrödinger gruppen. Vi kan nu begynde at denere repræsentationsmatricerne af vores Schrödinger gruppe, deneret som: P R ψ (n) ν = l n κ ψ (n) κ Γ(n) (R) κν (6) Hvor Γ (n) (R) κν fortæller hvilket koordinat der skal stå i den κ'te række og den ν'te søjle i matricen. Dimensionen af repræsentationen er bestemt af dimensionen af disse matricer som igen er bestemt af antallet af orthogonale eigentilstande med energien E n. Altså kan vi sige at til en given irreducible repræsentation til Schrödinger gruppe med dimensionen l n, ndes der l n orthogonale eigentilstand med energien E n som udgørr basis'en for alle tilstand med energien E n. Vælger vi en anden basis med andre eigentilstande kommer vi frem til at den nye repræsentationsmatrice er ekvivalent med den gamle 7, altså Γ (R) = α Γ(R)α hvor α er matricen som tager de gamle eigentilstande over i de nye. Vi kan nu sige at For de irreducible repræsentationer af Schrödinger gruppe ndes én unik egenværdi til Hamiltonianen, og dermed egenenergien, til hver af disse. Jeg vil nu se på hvilken metode man skal bruge for at nde egenfunktioner til grupper med ere multidimensionelle repræsentationer, således at en given egenfunktion skal indekseres både mht. hvilken repræsentation den tilhører og hvilken række den tilhører i den givne repræsentation. En egenfunktion bliver 7 Gennemgået i Tinkham s. 36 7
9 dermed benævnt: ϕ (j) κ som tilhører den κ'te række i den j'te repræsentation. Hvilken række en funktion tilhører skal det forståes som at for hver række er der en akse i den basis der udspænder underrummet som repræsentationen lever i. Da vi allerede ved vi kan nde alle egenfunktionerne med den samme energi udfra blot én enkel benævner vi at ϕ (j) κ sammen med den partnere udspænder basis'en for den j'te repræsentation. Vi ved ligeledes at vi kan nde repræsentationsmatricerne vha. (6). P R ϕ (j) κ = l j λ= ϕ (j) λ Γ(j) (R) λ,κ Multiplicere vi nu (6) med Γ (i) (R) λ,κ, summer over R og udnytter ortogonal sætningen (4) får vi: R Γ (i) (R) λ,κ P Rϕ (j) κ Dette omskriver vi til operatoren: P (j) λκ = l j h = h l j δ ij δ κκ ϕ (j) λ (7) Γ (j) (R) λ,κ P R (8) R Denne operator er ganske interessant. Først og fremmest giver den nul pånær hvis den operere på en funktion der ligger i den κ'te række af den j'te repræsentation. Disse ikke-nul løsninger giver ϕ (j) λ og ergo kan vi nde basis for den j'te repræsentation vha. (8). Ydemere kan det ses at: Samt at: Altså er ϕ (j) κ P κκ (j) ϕ (j) κ = ϕ (j) κ P κκ (j) = P κκ (j) egenfunktionen til P (j) κκ med egenværdien. Operatoren har en anden vigtig egenskab udover at kunne genere en basis for en given repræsentation, nemlig egenskaben at projektere delene af hvilken som helst funktion ud der tilhører den κ'te række i den j'te repræsentation 8. Altså kan funktionen F skrives som en sum af dele som tilhører irreducible repræsentationer, givet som: F = c l j f κ (j) j= κ= hvor c er antallet af irreducible repræsentationer og f κ (j) tilhører den κ'te række i den j'te repræsentation. Bruger vi vores operator på F får vi: P κκ (j) F = f κ (j) Vi kalder den derfor projektions operatoren. Vha. vores projektions operator kan vi altså nde basis'en for en irreducible repræsentation udfra en hvilken som 8 Bevist i Tinkham s
10 helst funktion, ved først at projektere den del ud der tilhører repræsentationen og dernæst nde alle dens partnere. Van Vleck har derfor givet denne metode navnet: den basis-funktion genererende maksine Det kan ses at for at bruge projektions operatoren skal man kende hele repræsentationsmatricen, eller i hvert fald alle diagonal elementerne, men oftere kender man kun klassen. Dette er umiddelbart ikke et problem hvis man sætter κ = λ, og summer over κ, således at den nye projektions operator er: P = κ P (j) κκ = l j h χ (j) (R) P R (9) Vi har nu fundet en metode til at nde egenfunktioner til hamilitonoperatoren vha. Schrödinger gruppen. Vi kan nde hvor mange egenfunktioner der er pr. egenværdi, ergo hvor udartet energieniveauet er (dog er vi opmærksomme på at der kan være skjulte symmetrier der giver ydeligere udartet energiniveauer), samt hvor mange energiniveau der er. Alt dette kan vi trække ud af karaktertabellen for en gruppe. Vi kan nu sætte vores forskellige symmetri grupper i system og skal nu blot slå den rigtige gruppe op for at kunne komme i gang med at analysere et givet system..4 Direkte produkt grupper Et brugbart værktøj i gruppeteori er direkte produkt grupper, som er en måde at genere nye grupper ved at tage produktetet af to grupper. For at forstår hvordan det virker viser jeg det med et eksempel. Vi arbejder videre med vores trekants gruppe men vil gerne tilføje en ny symmetri, nemlig en reektions symmetri i planet med trekanten. Vores trekantsgruppe navngives D 3, og vores reektionsgruppe navngives σ h (se afsnittet: Punkt grupper). Deres karaktertabeller er: D 3 E (A, B, C) (D, F ) R Γ () Γ () Γ (3) 0 Tabel 3: Karaktertabellen for trekantsgruppen, D 3. Klasserne er skrevet ud for overskuelighedens skyld. σ h E σ h Γ (+) Γ ( ) Tabel 4: Karaktertabellen for reektion i det horisontiale plan, σ h. Repræsentationerne er indekseret med + og - for nemhedes skyld når man skal kombinere gruppen med andre grupper. For at nde den direkte produkt gruppe af disse to grupper behøver jeg blot at multiplicere alle deres gruppeelementer med hinanden: D 3 σ h = E E, E 9
11 A,... E F, σ h E, σ h A,... σ h F. Det kræves dog at alle elementerne kommuntere med hinanden, hvilket er opfyldt her da det ikke betyder noget om vi først roterer og så spejler i planet eller omvendt. Inden jeg går videre vil jeg først gøre nogen hurtige og vigtige observationer 9 om de irreducible repræsentationer af den nye gruppe, som navngives D 3h. Produktet af de irreducible repræsentationer af undergrupperne følger reglerne for matrix-multiplikation således at 0 : Γ (j) D 3 Γ (j) σ h = Γ (j) D 3h Udfra Schur's lemma er det givet at produktet af to irreducible repræsentationer giver en ny irreducible repræsentation. Det kan ydemere vises at man faktisk får alle de irreducible repræsentationer i den nye gruppe. Ser vi på dimensionen af vores to grupper kan det ses at: j i (l D3 j ) = h D3 (l σ h i ) = h σh i,j (l D 3h ij ) = i,j (l σ h i = h D3 h σh = h D3h l D3 j ) = j (l D3 j ) i (l σ h i ) hvor vi ved at der ikke kan være andre irreducible repræsentationer end dem der er opnået ved multiplikation af de irreducible repræsentationer fra undergrupperne. Karakteren af de nye repræsentationer er blot produktet af karakteren for de gamle repræsentationer, hvilket ses let: χ D3h (A B) = a,b = a Γ (j) D 3 σ h (A B) ab = Γ (j) D 3 (A) aa Γ (j) σ h (B) bb a,b Γ (j) D 3 (A) aa Γ (j) σ h (B) bb = Γ (j) D 3 (A) aa Γ (j) σ h (B) bb a = χ D3 (A) χ σh (B) b Nu hvor vi ved at vi rammer alle de irreducible repræsentationer og vi kan udregne deres karakter, er det bare om at skrive resultatet op i en karaktertabel: b D 3h E (A, B, C) (D, F ) σ h σ h (A, B, C) σ h (D, F ) Γ (+) Γ (+) Γ (3+) 0 0 Γ ( ) Γ ( ) Γ (3 ) 0 0 Tabel 5: karaktertabellen for gruppen D 3h, skabt ved at tage det direkte produkt mellem grupperne: D 3 og σ h. 9 Fra Tinkham s Vist i Tinkham s. 44 0
12 Det kan ses at h D3h = som forudsagt da h D3 = 3 og h σh = og at repræsentationerne Γ (±3) er de eneste to-dimensionelle repræsentationer. Vi kan altså se at D 3 gruppen er lige så degeneret som D 3h gruppen. I et senere afsnit skal vi se at dette værktøj er meget brugbart når man skal gøre sit problem lettere at løse..5 Punkt grupper Når man arbejder med krystaller er det ofte smart at bryde ens problem ned i de mindste geometriske enheder, siden denne kan blot gentages for at danne krystallet. Dette afspejler sig i gruppeteori for krystaller hvor man har katagoriseret ens symmetrigrupper efter deres geometri, fx at grupper som har symmetri omkring en rotationsakse katagoriseres sammen. Der følger selvfølgelig en nomenklatur med dette system, som jeg nu vil kridte op for derefter springe direkte hen til oversigten over de forskellige grupper. Notationen hedder Schoenies notation og består af følgende notation : E = identitet C n = π n rotationer. n kan kun antage værdier af,, 3, 4 og 6. σ = reektion i planet. σ h = horisontal reektion, altså reektion i planet der er vinkelret på aksen med den højste rotationssymmetri, som angives som den principelle akse. σ v = vertikal reeksion, reektion i planet der går gennem den principelle akse. σ d = diagonal reektion, reektion i planet der går gennem den principelle akse og deler vinklen mellem de to akser der ligger vinkelret på denne akse. σ d er blot en speciel vertikal reektion. S n = π n rotations reektion, altså en rotation og en reektion gennem et plan der står vinkelret på den principelle akse. Herunder ligger inversionen, i = s Der er en række regler for hvilke af disse operationer kommentere hinanden og hvilke regler der gælder for relationen mellem disse symmetri elementer. De er alle angivet i Tinkham s Nu har vi nomenklaturen på plads, lad os nu se hvordan vores punktsymmetrigrupper ser ud, vist herunder som stereograske projektioner 3 : Fra Tinkham s. 53 Vist i Tinkham s. s Fra Tinkham s. 55 g. 4-
13 Figur 3: Oversigt over punkt-symmetrigrupperne, vist som stereogrask projektioner ned på XY-planet. Den principelle akse er går ud af Z aksen. Et + betyder at punktet er over planet, et O når det er under. Lad os nu se hvordan en tabel ser ud hvis vi slår den op 4. Vi tager som eksempel vores trekantsgruppe som kan beskrives bedst som en D 3 punktsymmetrigruppe: 4 Fra Tinkham Appendix B s. 3-39
14 D 3 E C 3 3C x + y, z A (xz, yz) (x y, xy) R z, z A, (x, y) (R x, R y ) E 0 Tabel 6: Tabeloversigt for D 3 gruppen. Højredel af tabellen er blot vores karaktertabel (hvor repræsentationerne og klasserne har fået nye navne, se teksten nedenfor), mens venstre del referer til hvilke koordinater hører til hvilke repræsentationer. Repræsentationerne navngives efter deres dimensioner, henholdsvis A og B for en-dimensionelle, E for to-dimensionelle og T for tre-dimensionelle repræsentationer. Forskellen mellem A og B er deres karakter ved en rotation, C n, omkring den principelle akse. A har en karakter på + og B har en karakter på. Når inversionsymmetri er tilstede bruger man g og u indeks for angivelse af lige og ulige funktioner (fra gerade og ungerade). Klasserne referer til Schoenies notation, hvor mærket på C'et ( 3C ) angiver at rotationen går omkring en akse som står vinkelret på den principelle akse. Venstre side af tabellen fortæller os hvordan de forskellige koordinater opfører sig under transformation. Første søjle er kvadratiske koordinater, mens anden søjle er enkelstående koordinater sammen med rotations koordinater, R x,y,z som svarer til at roterer omkring en akse med vinklen φ. Denne vinkelvektor kan også undergå transformationer fra gruppen såvel som koordinater, og er brugbar når man udtrykker et punkt som en radius og en vinkel frem for de kartesiske koordinater. For at nde ud af hvordan fx z er havnet i rækken med A bruger vi bare vores klasses projektions operator (9) på z: P (A) z = χ (A) (R) P R z 6 P (A) z = z R = ( z + z + ( 3) ( z)) 6 (0) Samme operation på z blot med projektionsoperatoren for A giver, som forventet, 0: P (A) z = χ (A) (R) P R z 6 P (A) z = 0 R = ( z + z + 3 ( z)) 6 () Vi kan altså nu aæse hvordan de simpleste funktioner opfører sig. Vi kan nu bruge disse simple funktioner til at bygge mere advanceret funktioner op, således at hvilken som helst funktion ϕ(z) opfører sig som z angivet i tabeloversigten. 3
15 Når man får givet et problem, som vi snart skal se, skal man blot slå den rigtige symmetrigruppe op og skrive ens hamiliton op i den base som også er basen til de forskellige repræsentationer af ens symmetrigruppe..6 Udvalgsregler for matrixelementer vha. gruppeteori Når man nedbryder en symmetri i sit system svare det til at man opsplitter et energiniveau. Nye overgange bliver derfor tilladt, og dette er ofte noget man gerne vil udnytte. Jeg vil nu undersøge hvordan man vha. gruppeteori kan hurtig se hvilke elementer i ens hamiliton giver nul ved en pertubation. For at nde disse udvalgsregler skal vi udnytte den mægtige orthogonal sætning samt vores viden om direkte produkt grupper. Vi skal også undersøge hvordan en repræsentation kan dekomponeres ned til de irreducible repræsentationer der danner den pågældende gruppe vi ser på. En stærk sætning at gå udfra er 5 : Matrix elementer af en operator, H, som er invariant under alle gruppeoperationer, giver nul mellem eigenfunktioner til forskellige repræsentationer eller forskellige rækker i en given repræsentation. φ (j) k Dette kan bl.a. ses udfra orthogonal sætningen. Da H er invariant kan den altid tilhører repræsentationen: Γ, som er i alle grupper. Lader vi H operere på en eigenfunktion til repræsentationen: Γ (j), altså H, vil denne automatisk ligge i den direkte produkt gruppe af: Γ Γ (j). Dette er en vigtig iagtagelse da tager vi en ny eigenfunktion til en anden repræsentation, φ (j ) k vil matrix elementet: H ϕ (j) give nul undtagen hvis Γ (j ) kan ndes i ϕ (j ) k k Γ H Γ (j), da orthogonal sætningen siger at disse er orthogonale hvis de tilhører forskellige repræsentationer. Det er vigtigt at bemærke her at selvom man kan nde Γ (j ) kan ndes i Γ H Γ (j) betyder det ikke nødvendigvis at der ndes et matrixelement mellem to tilstande tilhørende de to repræsentationer. Udvalgsreglen fortælle os blot hvilke overgange er forbudte. Overfører vi dette til kvantemekanikken vil der kun være matrixelementer i vores hamiliton mellem tilstande som har den samme energi..6. Udvalgsregler for pertubationshamilitonoperatoren Ofte er vi mere interesseret i hvordan en pertubation bryder symmetrien og dermed giver mulighed for nye overgange. Heldigvis kan vi bruge samme metode som før, hvilket jeg vil demonstrere med et eksempel. Lad vores system være trekanten med symetrigruppen D 3 (se Tabel ). Vores pertubation er et elektrisk felt, hvis elektriske dipolmoment har operatoren: er E, hvor r er vores standard positionoperator, E er styrken af det elektriske felt og e er elementar ladningen. Det elektriske felt transformere som en vektor med koordinaterne x,y og z. Man kan beskrive rotationen på φ-grader omkring z-aksen af sådan en vektor med 5 Løst oversat fra Tinkham s. 80 4
16 repræsentationen: Γ E (φ) = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ karakteren for denne repræsentation er: χ(γ E ) = cos φ + Gruppeelementerne i D 3 i denne repræsentation er følgende matricer: E = C = , A = , D = 3, B = , F = Nu skal vi se hvordan vi kan dekomponere denne repræsentation ned til irreducible repræsentationer for vores trekantsgruppe. Vi behøver blot at beregne karakteren for pertubationsrepræsentationen under diverse rotationsgruppeelementer. Jeg husker at elementerne i den samme klasse har ens karakterer: χ ΓE (E) = 3 χ ΓE (A, B, C) = χ ΓE (D, F ) = 0 Ved at se på disse karakterer er det let at se at: χ ΓE = χ E + χ A hvilket betyder at vi kan dekomponere vores pertubationsrepræsentation til de to irreducible repræsentationer for trekantsgruppen da karakteren af en reducible repræsentation altid kan skrives som summen af karakterene for de irreducible repræsentationer den indeholder 6. Det kan også ses at de irreducible repræsentationer ligger som blokke langs diagonalen på repræsentationsmatricen. Altså gælder det at: Γ E = E + A hvilket vi også ville forvente da vi allerede ved fra karaktertabellen at z transformere som A og (x, y) transformere som E. For at undersøge hvilke overgange der er tilladte udfra udvalgsreglerne for matrixelementerne skal vi se lede efter irreducible repræsentationer i de nye eigentilstande skabt af pertubationen. Da vi kan dekomponere vores pertubationsrepræsentation ned i to mindre irreducible repræsentationer ser vi enkeltvis på disse. Lad os først se på et felt 6 Se Tinkham s. 9 afsnit 3-5 5
17 i z-retningen, således vi leder kun efter repræsentationer, Γ (j), der kan ndes i Γ Ez Γ (j) = A Γ (j). De mulige produkter er: A A = A A A = A A E = E hvilket betyder at fordi jeg kan fx nde A i gruppen mellem A A er der overgange mellem A og A. De tilladte overgange for et felt i z-retningen er derfor: A A E E For et felt i xy-planet laver vi samme beregninger, blot hvor vi husker at i xy-planet følger vores elektriske felt den irreducible repræsentation E: E A = E E A = E E E = A + A + E Her kan vi nde A og A i E og E i både A, A og E. Derfor er de tilladte overgange: A E A E E E Vi kan altså nu nde overgange i spektret introduceret ved en pertubation ved at dekomponere pertubationsrepræsentationen ned til irreducible repræsentationer fra vores symmetrigruppe og derefter lede efter hvilke irreducible repræsentationer vi kan nde i direkte produkt grupperne mellem pertubationsrepræsentationen og de irreducible repræsentationer fra vores symmetrigruppe..6. Inversion Inversionsoperationen er altid interessant da det kommunterer med alle vores rotationsoperationer. Vi kan derfor altid lave en direkte produkt gruppe med inversions gruppen og hvilken som helst gruppe. karaktertabelerne er: G C... C n Γ ()... χ Γ (n) & i E i Γ (g) Γ (u) Tabel 7: karaktertabellen for en generel gruppe og for inversion. Indekset af repræsentationerne i inversionsgruppen referer til hvorvidt det er en gerade eller ungerade repræsentation vi ser på. Det direkte produkt er: 6
18 G i C... C n ic... ic n Γ (g)... χ χ Γ (ng) Γ (u)... χ χ Γ (nu) Tabel 8: karaktertabellen for den direkte produkt gruppe mellem en generel gruppe og inversionsgruppen Det kan ses at hvis vi dekomponere en repræsentation til denne gruppe vil den enten kun bestå af ungerade eller gerade irreducible repræsentationer da en sum af karaktererne mellem en gerade og ungerade repræsentationer vil give 0. Desuden er vestre og højre halvdel af karaktertaellen identiske, borset fra et fortegn, og en sum af karakterene vil blot gentage en masse led. Vi kan altså konkludere at gerade og ungerade repræsentation dekomponeres henholdsvis kun i gerade og ungerade irreducible repræsentationer, samt at vi kan nøjes med at se på grupperne uden inversionssymetrien når vi skal dekomponere en repræsentation. 7
19 3 Et trekantet kvantesystem med 3 partikler Figur 4: Et kvantespinsystem for en trekant. s,,3 angiver spinsitet mens J A,B,C angiver udvekslingskoblingskonstanten mellem to sites. Modiceret ud fra artiklen Spin electric eect in molecular antriferromagnets af Trif et al. Jeg vil opstille en model der forklarer hvordan et trekantet kvantesystem (se g. 4) kan koble med et elektrisk felt. Jeg opstiller min model udelukkende som et spinsystem da, som jeg vil vise, er nok til at forklare koblingen til et elektrisk felt. Jeg vil med andre ord opstille en model som gør det muligt at koble mellem to spintilstande for et trekantet kvantesystem. Først vil jeg opskrive tilstandene der beskriver spinet på de tre sites, derefter vil jeg opskrive min hamiliton og tilsidst se hvordan et elektrisk felt påvirker systemet. 3. Spinmodellen Vores trekant har tre sites med hver et spin. Det samlet spin, S for trekanten kan altså således enten være ± eller 3. Jeg ser først på tilstandene for S = som jeg navngiver på følgende måde: S = = s s s 3 = = () = 3 8
20 Resten af tilstandene ser således ud: S = 3 s s s 3 = S = 3 s s s 3 = S = = s s s 3 = = = 3 Vi kan bygge en samlet bølgefunktion med S = op som en linæer kombination af tilstandene fra () ved at se på symmetrigruppen C 3, da spintilstanden udspænder basisen for denne gruppe (bemærk at C 3 -gruppen er en undergruppe af D 3 gruppen. Se afsnittet om direkte produkter grupper): C 3 E C 3 C 3 x + y, z R z, z A (xz, yz) (x, y) (x y, xy) (R x, R y ) E ω ω ω Tabel 9: Tabeloversigt for C 3 gruppen, hvor ω = e πi 3. Dette er symmetrigruppen for spinet i en trekant. Den todimensionelle repræsentation, E, er splittet op så man kan se diagonal elementerne af matricen og ikke blot karakteren (som er: ω + ω = ) Denne gruppe er en undergruppe af D 3 gruppen. ω Det kan ses at vi har tre mulige bølgefunktion til denne gruppe: ψ (0) = ψ (k) 3 ( ) S = ψ () ( = 3 + ω + ω 3 ) (3) ( = 3 + ω + ω 3 ) ψ () Hvilket Tri et al. skriver som summen: ψ (k) = 3 ε k j C j 3 j=0 Hvor C j 3 er operation som drejer systemet π 3 j gange. For ɛk j gælder det blot at ɛ k j = e πi 3 j k således at ω og ω kommer de rigtige steder hen. Disse nye tilstande er eigentilstande til chiralitets operatoren (opskrevet som Tri et al.): ψ () C z = + ψ () ψ () C z = ψ () ψ (0) C z = 0 ± ψ± C z 3 = 0 (da C z = C z = 0) 9
21 3. Hamilitonoperatoren Jeg opskriver Hamiliton operatoren for spinsystemet som: H = J A s s + J B s s 3 + J C s 3 s H / 4 = 3 J A + J B J C J A J C J A J A J B + J C J B 3 J C J B J A J B J C Hvor J i er koblingskonstanten mellem de to spin. Hamiliton-matricen er udtryk i basen,, 3, men jeg vil gerne have den udtryk i en base af egenfunktioner til chiralitets operatoren. Jeg skal altså bruge basen (fra (3)): ψ (0) = 3 ( ) ψ () ( = 3 + ω + ω 3 ) ( = 3 + ω + ω 3 ) ψ () Jeg skifter base for min hamiliton ved at udregne overlappet mellem baserne: ψ (k) S og S ψ (k) hvor S = 3. Det gælder at: ψ (k) S S H S S ψ (k) = H / = 4 ψ (k) H ψ (k) da S S =. Hamilitonoperatoren i den nye base bliver derfor: ψ (0) ψ () ψ () ψ (0) ψ () J 0 0 ψ () 0 J Φ 0 Φ J Hvor J er J = J A + J B + J C og Φ er Φ = (J A J B + J C ) + i 3 (J A J C ) Hvis der ikke er noget ekstern felt kan hamilitonoperatoren forsimples ved at lade de tre koblingskonstanter være lige store, J A = J B = J C = J, således at hamilitonoperatoren bliver: H / 3 = 4 ψ (0) ψ () ψ () ψ (0) ψ () ψ () J J J 0
22 3.3 Kobling med et elektrisk felt Sætter vi et eksternt elektrisk felt på vores system vil det ikke længere gælde at J A = J B = J C = J. Det elektriske felt har formen: E = i er i E = er E hvor r i er koordinaterne for den i'te elektron, e er elektronens ladning og R = r i. R kan også betragtes som operatoren: R = X, Ŷ, Ẑ. Selvom vi allerede i har skrevet den mest generelle hamiltonoperator op for spinsystemet, vil jeg stadig prøve at bruge gruppeteori til at se om jeg kan reducere problemet. Hvis vi vender tilbage til afsnittet med udvalgsregler for pertubationshamilitonsoperator ser vi at vi allerede har regnet et eksempel med en trekantsgruppen D 3 hvor vi fandt at der kun var ikke-diagonal elementer mellem eigentilstande tilhørende henholdvis A og A og mellem E og E når feltet var udelukkende i z-retningen. Alle overgange var tilladte når feltet var i xy-planet. Vi ser ikke længere på D 3 gruppen, men vores gruppe C 3, men fremgangsmetoden er ækvivalent. Det elektrisk felt dekomponere ned i A og E og de mulige overgange når feltet er i z-retningen er: A A = A E = E z A E = E A A E E De tilladte overgange når feltet er løber i xy-planet er: E A = E E = E xy E E = A A E E E Undersøger vi matrixelementerne mellem eigentilstande opdager vi hurtigt at selvom overgangen mellem A og E ikke er forbudt er der ikke noget matrixelement mellem to eigentilstande til hver deres repræsentation. Altså er den endelige hamilitonoperator med pertubationen: H / = 4 ψ (0) ψ () ψ () ψ (0) ψ () ψ () J J Φ 0 Φ J Og energispektrummet bliver derfor:
23 Figur 5: Energispektrummet for trekantssystemmet. S angiver det totale spin, E og A referere til repræsentationerne tilstandene hører til. Bemærk opsplitningen af det udartet energiniveau for E. 4 Et femkantet kvantesystem med 5 partikler Jeg bruger samme fremgangsmetode som for trekantssystemmet. Denne gang er gruppen dog noget større, navnligt D 5. Hvis vi betragter kun spinnet i systemet kan vi nøjes med C 5.
Vektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereKvant 2. Notesamling....Of doom!
Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig
Læs mereAppendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)
Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner.
Lineær algebra Beskrivelse Denne dag vil bestå af to miniprojekter, hvor underviser vil give en kort præsentation af hvert emne et om formiddagen og et om eftermiddagen, og herefter være til rådighed til
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mere