Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
|
|
- Lene Magdalene Carlsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis A + B = C. Kemisk ligevægt er en dynamisk situation, hvor to modgående reaktioner, i dette tilfælde A + B C og C A + B, forløber lige hurtigt. Koncentrationerne af de indgående species er således konstante ved kemisk ligevægt. Der forekommer imidlertid reaktioner i naturen som ikke følger denne adfærd; koncentrationerne af de indgående species i disse reaktioner, herunder reaktanter, mellemprodukter og produkter, varierer med tiden eller i rummet. Man taler om oscillerende kemiske reaktioner. Oscillerende kemiske reaktioner spiller en stor rolle i naturen; ildfluer der blinker og hjertet der slår, er to eksempler på fænomener som er styret af oscillerende kemiske systemer. Glycolysen er et tredje eksempel på en vigtig biologisk proces, den første del af glucosenedbrydningen, som er styret af oscillerende kemiske reaktioner. Belousov-Zhabotinskiis (herefter BZ) reaktion, der er en redoxreaktion mellem bromat og malonsyre katalyseret af cerium i en svovlsyreopløsning, er måske den mest studerede oscillerende reaktion nogensinde. Den anskueliggøres ofte ved følgende totrinsreaktion, der afspejler HBrO s rolle som autokatalysator BrO - + HBrO +H O + BrO + H O BrO + Ce(III) + H O + HBrO + Ce(IV) + H O Oregonatoren er en simplificeret model, hvori man ser bort fra tilbagegående og hurtige elementarreaktioner, der ofte benyttes til at beskrive BZ reaktionen. Der indgår 5 elementarreaktioner i Oregonatoren, der dog kan simplificeres for en analytisk matematisk behandling. Eksperimentelt kan BZ reaktionen udvikling følges ved at måle forholdet mellem [Ce + ] og [Ce 4+ ] med en platinelektrode, der er tilsluttet en skriver eller en dataopsamlingsstation. Faglige forudsætninger Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede g elever med matematik A og kemi A. Matematik: - eleven skal have en solid forståelse af anvendelse af funktionsuryk og afledet funktion til opstilling af matematiske modeller på baggrund af viden fra for eksempel kemi - eleven skal have kendskab til opstilling af differentialligninger samt kunne løse lineære differentialligninger af 1. orden - eleven skal kunne anvende CAS til numerisk løsning af differentialligninger 1
2 Kemi: - eleven skal have en solid forståelse af kemisk ligevægt, herunder kunne hånere massevirkningsloven - eleven skal være fortrolig med kemiske reaktioners hastighed, herunder reaktionsmekanismer (uni- og bimolekylære elementarreaktioner) og katalyse - eleven skal have kendskab til elementær reaktionskinetik, og kunne opskrive hastighedsuryk - eleven kan med fordel være fortrolig med elektrokemi, specielt Nernsts lov for elektrodepotentialer Faglige mål Matematik: - eleven skal kunne bearbejde komplicerede matematiske modeller analytisk, herunder anvende fornuftige simplificeringer - eleven skal kunne anvende CAS til løsning af komplicerede matematiske problemer, herunder til brug for numerisk løsning af koblede ikke-lineære differentialligninger, samt lineær algebra (matrixregning) Kemi: - eleven skal kunne tilrettelægge og gennemføre eksperimentelt kemisk arbejde, herunder omgås kemikalier og laboratorieudstyr på forsvarlig vis samt tage højde for risikomomenter - eleven skal kunne optegne og efterbehandle eksperimentelle data, herunder analysere, vurdere og formidle - eleven skal kunne indhente information om matematiske og kemiske fagspecifikke emner fra forskellige kilder, herunder vurdere og anvende denne information Emnebeskrivelse Dette oplæg har til formål at virke som inspirationskilde til studieretningsprojekter i matematikkemi om oscillerende kemiske systemer; oplægget sigter på såvel tilrettelæggelse og udførsel af eksperimentelt kemisk arbejde som opstilling og bearbejdning af matematiske modeller og simuleringer. En problemformulering til et studieretningsprojekt af denne type kan for eksempel indeholde en eller flere af nedenstående opgavetyper - Gør rede for begrebet oscillerende reaktion. Der kan for eksempel tages udgangspunkt i iodklokken eller Belousov-Zhabotinskiis reaktion - Gør rede for begreberne autokatalyse, feedbackmekanisme og stady-state
3 - Beskriv én eller flere autokatalytiske mekanismer ved brug af matematiske modeller. Der kan tages udgangspunkt i en generel model til beskrivelse af et oscillerende kemisk system, for eksempel Lotka-Volterra mekanismen, eller der kan opstilles en matematisk model under brug af hastighedsuryk. - Analysér den matematiske model under brug af matematiske metoder, såsom lineær algebra. Alternativt kan modellen undersøges og beskrives ved brug af numeriske metoder og CAS - Tilrettelæg og gennemfør eksperimentelt arbejde med oscillerende reaktioner, for eksempel iodklokken eller Belousov-Zhabotinskiis reaktion. Hvor mange oscillationer forløber før end den stopper, og hvorfor stopper den? Til at besvare disse spørgsmål kan du gøre brug af den opstillet matematiske model - Undersøg reaktionens periodetid, og sammenhold denne med for eksempel simulatoren på Hvad afhænger periodetiden af? - Undersøge om der er en sammenhæng mellem reaktionshastigheden og reaktionsblandings temperatur ved at fremstille et passende plot (log(1/t) mod 1/T). Bestem aktiveringsenergien ved brug af regression - Kan Lotka-Volterra modellen bruges til at beskrive iodklokken? Hvorfor/hvorfor ikke? Her kan du sammenholde data fra eksperimentet med data fra simuleringer der gør brug af Lotka-Volterra ligningerne - Diskuter vigtigheden af oscillerende reaktioner i naturen. Der kan for eksempel tages udgangspunkt i glycolysen Eksempel 1: Opstilling af en simpel model En af de simpleste matematiske modeller til at beskrive et oscillerende kemisk system er den såkale Lotka-Volterra mekanisme. Der er imidlertid kun tale om en model, og i praksis findes der ingen oscillerende kemiske reaktioner, som kan beskrives med en så simpel model. Lad os betragte reaktionen A B. Forbindelsen A, reaktanten, bliver til forbindelse B, produktet. Den interessante kinetik kan udledes fra den følgende tretrinsmekanisme A + X X k 1 X + Y Y k Y B k X og Y er mellemprodukter. De tre ovenstående reaktioner kaldes elementarreaktioner; summen af de tre processer giver netop reaktionen A B. Det bemærkes at notationen A + X X ikke er ækvivalent med notationen A X ; dette hænger sammen med den underliggende reaktionskinetik: Forbindelsen A vekselvirker med forbindelsen X og danner X. Denne bimolekylære elementar-
4 reaktion er et eksempel på en autokatalytisk proces, hvilket vil sige at der må være noget af produktet X tilstede for at der kan dannes mere af dette produkt. Ved den unimolekylære elementarreaktionen Y B omdannes mellemproduktet Y til det stabile produkt B. Konstanterne k 1, k og k kaldes hastighedskonstanter. Vi er nu i stand til at opskrive hastighedsuryk for mellemprodukterne X og Y d [X] = k [A][X] [X][Y] 1 k d [Y] = k [X][Y] [Y] k Hvis vi antager [A] er konstant, dvs. [A] = [A] 0, har netop Lotka-Volterra mekanismen. Hvis vi yderligere antager d[x]/ = d[y]/ = 0, dvs. vi benytter stady-state approksimation, får vi k [A] [X] k [X][Y] = 0 og 1 0 k [X][Y] k [Y] = 0 Ligningssystems løsninger er [X] = k / k og [Y] = k1[a] 0 / k. Stady-state approksimationen udelukker altså dermed reaktionsmekanismens facilitet, nemlig mellemprodukternes oscillerende koncentrationer i tiden. Eksempel : Analytisk behandling af modellen En løsning til differentialligningssystemet d [X] = ( k [A] [Y] 1 0 k ) [X] d [Y] = ( k [X] k ) [Y] er et sæt funktioner, [X]( t ) og [ Y]( ) t, der beskriver koncentrationerne [X] og [Y] som funktion af tiden; det er imidlertid ikke muligt at bestemme eksplicitte løsninger for [X] og [Y] som funktion af tiden. Ved anvendelse af en grafisk metode er dog muligt at bestemme systemets ligevægtspunkter, dvs. hvor d[x]/ = 0 og d[y]/ = 0. Øjensynligt er der to ligevægtspunkter, nemlig ([X],[Y]) = ( 0,0) og ([X],[Y]) ( k / k, k [A] / k ) =. Vi opskriver nu Jacobi-matricen for systemet 1 0 ( ) D [X],[Y] k [A] k [Y] k [X] 1 0 = k[y] k[x] k 4
5 Ligevægtspunktet ([X], [Y])=(0, 0) Jacobi-matricen er da ( ) D 0,0 k [A] = 0 k Det karakteristiske polynomium opskrives og egenværdiernes bestemmes ( ) λ k [A] k λ k k [A] = λ = k [A], λ = k Det sluttes, idet k 1 [A] 0 > 0 og k > 0, at (0,0) er et saddelpunkt og derfor ustabilt. Ligevægtspunktet ([X], [Y])=(k /k, k 1 [A] 0 /k ) Jacobi-matricen er da k k1[a] 0 k 0 D, = k k k1[a] 0 0 Det karakteristiske polynomium opskrives og egenværdierne bestemmes + k k [A] = 0 = i k k [A], = i k k [A] λ 1 0 λ1 1 0 λ 1 0 De imaginære egenværdier hørende til ( /, [A] / ) k k k k kan ikke give os nogen information om 1 0 stabilitet. Derfor undersøges systemets fasediagram: De to linjer [Y] = k / k og [X] = k1[a] 0 / k tegnes i første kvadrant. Linjerne skære naturligvis hinanden i ( /, [A] / ) k k k k, og opdeler 1 0 således første kvadrant i fire områder. I hvert område er fortegnet for d[x]/ henholdsvis d[y]/ uændret. Hvert område undersøges separat, og man finder at løsningskurverne ([X]( t),[y]( t )) løber mod uret omkring punktet ( /, 1[A] 0 / ) ( /, [A] / ) 1 0 k k k k. Man kan vise, at k k k k er et stabilt ligevægtspunkt og enhver løsningskurve til ligningssystemet er en lukket bane. Betragt løsningskurven som graf for funktionen [Y] [Y]([X]) ( t) ( X ( t) ) [Y] = [Y] [ ] og =. Da har man specielt, at 5
6 d[y] d d d d[y] ( k[x] k )[Y] k[x] k [Y] [Y] = [Y] [X] = = = d[x] d[x] d[x] ( k1[a] 0 k[y] )[X] [X] k1[a] 0 k[y] Den separable differentialligning har den generelle løsning [X] [Y] = Ke e, k k 1[A] 0 k [X] k [Y] hvor K er en konstant. Materialer Alle referencer herunder var tilgængelige på Internettet den 1. februar 007. Iodklokken (Forsøgsvejledning til iodklokken på dansk) Oscillating Reactions Web Module (Indeholder en hel del materiale om oscillerende reaktioner på forskellige niveauer, vejledning til numerisk løsning af koblede differentialligninger med programmet Polymath). The Oscillating Clock Reaction or The Briggs-Rauscher Oscillating Reaction (Forsøgsvejledning til iodklokken på engelsk, indeholder desuden li baggrundsmateriale) Oscillating Reactions (Om oscillerende reaktioner og Lotka-Volterra ligningerne) Transient kaos i en lukket Belousov-Zhabotinsky reaktion kaspershjemmeside.dk/ruc/projekter/kaos.pdf (Baggrundsmateriale på dansk, forsøgsvejledning til Belousov-Zhabotinskiis reaktion) Heraklit i kemien (Perspektiverende læsning) Lotka-Volterra equation (Baggrundslæsning om Lotka-Volterra ligningerne) Kinetics Mechanism Simulation/Lotka-Volterra Mechanism Example Oscillating Chemical Reactions 6
7 Noter om lineære differentialligningssystemer Film/Demonstrationsforsøg H. Mygind: Kemi 000 A-niveau, p. 185 (Baggrundsmateriale om glycolysen) Edb-program til løsnings af systemer af differentialligninger Polymath: (Man kan downloade en 15-dages prøveversion) 7
Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereOPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM KVANTITATIV KEMISK ANALYSE OG STATISTISKE MODELLER
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM KVANTITATIV KEMISK ANALYSE OG STATISTISKE MODELLER Indledning Ved en kvantitativ kemisk analyse forstår man en tilbundsgående undersøgelse af et kemisk
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2012 ZBC Ringsted
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B
Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 13/14 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Kemi A valgfag Hasse Bonde Rasmussen 3gKE Denne
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Erhvervsgymnasiet Grindsted HHX Kemi B Anders??,
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereReaktionskinetik
[PJ] Kemi.dfw Reaktionskinetik Kemi A-niveau Vi starter med at repetere siderne 38-4 i Kemi Nulte ordens kemisk reaktion Det kunne fx være den enzymkatalyseret proces: A + E -> B + E Vi følger hvordan
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution Hf og VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Kemi B Monikka
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mere2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier,
Formål Faget skal give eleverne indsigt i det naturfaglige grundlag for teknik, teknologi og sundhed, som relaterer sig til et erhvervsuddannelsesområde. For niveau E gælder endvidere, at faget skal bidrage
Læs mereStamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Studieretningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj 2013 Teknisk Gymnasium
Læs mereBaggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 A + B C + D
Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 Indhold Kernestof... 1 Supplerende stof... 1 1. Differentialligninger (Baggrundsmateriale til Minigame 3)... 1 2. Reaktionsorden (Nulte-, første- og andenordensreaktioner)...
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereKlavs Thormod og Tina Haahr Andersen
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereRikke Lund, 3.f Studieretningsprojekt 21/ Reaktionskinetik
Rikke Lund,.f Studieretningsprojekt / Abstract Reaktionskinetik This paper examines the subject reaction kinetics and the factors that can affect the speed of the reaction. We investigate how the reaction
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereSRP Mat A Kemi B Reaktionskinetik Gülcicek Sacma, 3.x 20. december 2012
Gülcicek Sacma, 3.x 20. december 202 Indhold Abstract... 2 Indledning:... 3 Hvad er en differentialligning?... 4 Bevis for løsningsmetoden separation af variable.... 5 Reaktionshastighed... 7 Faktorer,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for STX 1m Kemi B
Undervisningsbeskrivelse for STX 1m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 12/13 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Kemi B Hasse Bonde Rasmussen 2mKe Denne undervisningsbeskrivelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF & VUC Kbh. Syd hfe kemi B (C-B) Kira
Læs mereKlavs Thormod og Tina Haahr Andersen
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin dec 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk
Læs mereSpontan biologisk mønsterdannelse på basis af reaktions-diffusions mekanismer: Turing strukturer
Spontan biologisk mønsterdannelse på basis af reaktions-diffusions mekanismer: Turing strukturer Axel Hunding Spontan dannelse af komplekse strukturer i biologien kan synes at stride mod sund fornuft (og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B
Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 16/17 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Kemi A valgfag Hasse Bonde Rasmussen 3mKE Denne
Læs mereReaktionsmekanisme: 3Br 2 + 3H 2 O. 5Br - + BrO 3 - + 6H + Usandsynligt at alle 12 reaktantpartikler støder sammen samtidig. ca.
Reaktionsmekanisme: 5Br - + BrO 3 - + 6H + 3Br 2 + 3H 2 O Usandsynligt at alle 12 reaktantpartikler støder sammen samtidig ca. 10 23 partikler Reaktionen foregår i flere trin Eksperimentel erfaring: Max.
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-Juni 2017 Hansenberg
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2011 KTG -
Læs mereKlavs Thormod og Tina Haahr Andersen
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2018 Institution Viden Djurs Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Kemi B Hanne Lind og Ida L. Jacobsen
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2014 Institution Københavns Tekniske Gymnasium, Sukkertoppen Uddannelse
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 06/17 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Kemi B Vincenzo Enzo lillo
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereStabilitet af kølet tankreaktor
Stabilitet af kølet tankreaktor Vi betragter en velomrørt tankreaktor, i hvilken den exoterme reaktion B skal gennemføres. Tankreaktorens volumen er V m 3 ), og reaktanten tilføres i en opløsning med den
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B
Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 16/17 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Kemi B Hasse Bonde Rasmussen 2mKe Denne undervisningsbeskrivelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09 Institution Københavns Tekniske Skole, Sukkertoppen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx
Læs mereBedømmelseskriterier Naturfag
Bedømmelseskriterier Naturfag Grundforløb 2 rettet mod social- og sundhedsuddannelsen Social- og sundhedsassistentuddannelsen NATURFAG NIVEAU E... 2 NATURFAG NIVEAU C... 5 Gældende for prøver afholdt på
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereTemaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger
Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin SOM 2014 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF/HFe Kemi B Niels Johansson NkeB114
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013. Her efterår 2011 og forår 2012 Institution Københavns
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin VIN 2014 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF/HFe Kemi B Niels Johansson NkeB114V
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Vestegnens HF & VUC HFe Kemi C B Eva Degn Egeberg
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Institution Københavns Tekniske Gymnasium, Sukkertoppen Uddannelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 11/12 Eksamen juni 2012 Institution HTX Skjern Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Kemi A
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution VUC Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Kemi B Dorte Ramlov KeBu Oversigt
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereSide 1 af 7. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin. Maj 2014. Skive Tekniske Gymnasium
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj 2014 Skive Tekniske Gymnasium HTX Kemi B Trine Rønfeldt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Vestegnens HF & VUC HF/HFe Kemi C B Peter Ingvardsen
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 12 Institution Københavns Tekniske Skole, Sukkertoppen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx
Læs mereTitler på eksamensspørgsmål til kemi B maj/juni 2018
Titler på eksamensspørgsmål til kemi B maj/juni 2018 (3gkebsh1) Der kan komme ændringer til eksamensspørgsmålene. 1. Redoxreaktioner 2. Reaktionshastighed 3. Kemisk Ligevægt 4. Syre-base ligevægt 5. Carbonhydrider
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns Tekniske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Kemi B (stx bekendtgørelse)
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Valghold Kemi A august juni 2018
Undervisningsbeskrivelse Valghold Kemi A august 2017 - juni 2018 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners Teknisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 KTS Sukkertoppen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Vestegnens HF & VUC HFe Kemi C B Eva Egeberg Hold
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereSide 1 af 13. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Aug juni 2019.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.2017- juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUCVEST HTX Kemi B Nader Gry 1A kemi
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for STX 1m Kemi B
Undervisningsbeskrivelse for STX 1m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 15/16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole STX Kemi B Hasse Bonde Rasmussen 2mKe Denne undervisningsbeskrivelse
Læs mereDiffusionsbegrænset reaktionskinetik
Diffusionsbegrænset reaktionskinetik Bimolekylære reaktioner Ved en bimolekylær elementarreaktion afhænger hastigheden såvel af den hyppighed (frekvens), hvormed reaktantmolekylerne kolliderer, som af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni - skoleår: 2013 Institution EUC Nordvest Uddannelse Fag og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
1 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni - skoleår: 10-12 Institution EUC Nordvest Uddannelse Fag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Marts.-Maj., 2015 Institution KVUC Uddannelse GSK Fag og niveau Kemi B Lærer(e) Jørgen Holm og Lars Jørgen Buch Laursen Hold g1keb215 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereJan B. Larsen HTX Næstved Computational Thinking Albena Nielsen N. Zahles Gymnasium 2018/2019
Forløb: Toksikologi Fag og emner Forløbet kan laves udelukkende i matematik og bioteknologi, men der er oplagt, at det implementeres i andre fag. Matematik modellering, differenceligninger, sandsynlighed,
Læs mereFra spild til penge brug enzymer
Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion
Læs mereOpholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer
Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor
Læs mereI fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider.
Side 1 af 7 Indhold Rapportering rapportskrivning... 1 Løsning af fysikfaglige problemer opgaveregning.... 2 Formidling af fysikfaglig indsigt i form at tekster, præsentationer og lignende... 4 Projektrapporter...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 11 Københavns tekniske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2019 (denne UVB dækker G2 og H1) Institution Uddannelse Fag og
Læs mere