Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014"

Transkript

1 Matematik Hayati Balo,AAMS August, Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler. Matematiske symboler er grundlaget for matematik og vi bliver nødt til at kende nogle af dem som er vist i tabellen nedenunder. 1

2 Symbol Betydning {} Mængden af Mindre end eller lig med Forskellig fra Cirka lig med Implikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand eller eller c Biimplikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand og omvendt. Der findes eller der eksisterer For alle Og Eller Tilhører Foreningsmængde. A B betyder mængden af alle elementer, som er i mængden A eller som er i mængden B. Fællesmængden. A B betyder alle de elemnter, som er i begge mængder \ Differensmængde En ægte delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elemnter i mængden B, men at de to mængder ikke en ens En delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elementer i mængden B. Uendelig Vinkel Tom mængde / Tilhører ikke = Lig med 2

3 2 Tal, intervaller og mængder Ovenstående figur viser tallinjen for reelle tal, dvs. alle de tal som vi skal bruge i Matematik B kursus. Tallet 2 ligger således i afstanden 1 2 til venstre for og i afstanden 1 til højre for tallet 2. I det følgende tallinje kan man aflæse koordinaterne til R,S og B: R : 1 3, S : 2, og B : 1. 3 Prøv nu selv at aflæse koordinaterne for punkterne R,Sog T. R : 3 4 S : T :

4 Hvad med afstanden i den anden retning dvs. negativ retningen? Hvordan kan man udtrykke afstanden i negativ retning? Det gør man ved hjælp af numerisk tegn x som betyder at selv om tallet i virkeligheden er negativ skal vi blot udskrive tallet som positivt tal! Prøv at at se på næste tallinje og overvej hvordan afstanden 0 og 1 kan udtrykkes. Opgave 1 : Sand eller falsk = = = = = = = = = = =

5 = , = 0, = = = : 1 = = = : 3 = = = Opgave 2: Sand eller falsk ,5 = 6 4,5 2. 0,5 + 0,4 + 0,3 = 0,3 0, = ,1 = 2 0,2 5 : 15 =

6 6. 6 : 2 3 = = 100 : ,1 0,8 = = : = ? = ? = ? = ? = ,7 0,3 = 2? 16. 0,7 + 0,3 = 0,7 :? Opgave 3: Sand eller falsk = : = = = = 2 4 6

7 = < = 4 1 > 2 2 = 5 3 < > Opgave 4: På det sted hvor der står?, indsat =, < eller > for at gøre sætningen sand ? ? ?7 4. 5?6 5. 0?0 7

8 ? ?1 + 0, ? ? ? ? ? , ? ? ? ? Opgave 5: Hvad skal? være for at sætningen bliver sand 1. 4+? = ? = 3+? 4. 8? = 0 5.? : 10 = ? = 7 8

9 7. 14 = 7+? 8.? + 7 = ?< ? 0 = ? = ? > ? 14.? 8 < 8 15.? 15 > 0 16.? : 8 = ? 8 = 2 Opgave 6: Simplificér følgende udtryk (3 2) 2. (8 + 3) (5 + 3) (3 + 5) 5. 4(3 + 7)

10 ([3 2] : 4) ( 20 2 ) 5 64 [ 8 2 ] 7 ( 21 3 ) (4 3) + (4 7) { } [ ] [5 + (2 3)] [ (0 3)] 10

11 [ ] [{( 8) 3} + 5] [{( 27} + 9 3] : [( ) + 56] : {( ) 5} {4 3} {4 : 3} : Rækkefølge af regneoperationer Multiplikation og division udføres altid før addition og subtraktion. Er der paranteser, skal de altid udføres først, startende fra inderste hvis der er flere paranteser i udtrykket. Opgave 7: Simplificér følgende 1. ( ) : (7 + 9) :

12 (5 1) : /2 + 6 : : (3) : 8 : 4 : 2 9. (12 2)(8 3) 10. (2 3 (2 : 3) : : : (1 2) 5 2 : : : Mængdebegrebet Fællesmængden Fællesmængden mellem to mængder A og B består af de elementer, som ligger i begge. Eksempel: A = {1,2,3,4,5} og B = {3,4,5,6,7} Fællesmængden er {3,4,5} som ligger i begge mængder. A B = {1,2,3,4,5} {3,4,5,6,7} = {3,4,5} 12

13 2.2.2 Foreningsmængden Foreningsmængden består af de elementer, der ligger i mængden A eller i B eller i dem begge. Et element må ikke listes med mere end én gang. A = {1,2,3,4,5] og B = {3,4,5,6,7} Foreningsmængden er {2, 3, 4, 5, 6, 7} A B = {1,2,3,4,5} {3,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7} Differensmængden Differensmængden mellem mængden A og B forstås mængden af de elementer, der ligger i mængden A men ikke i B. Den betegnes A \ B hvilket læses A minus B. A = {1,2,3,4,5} og B = {3,4,5,6,7} A \ B = {1,2} B \ A = {6,7} Komplementærmægden Hvis A er en given mængde i grundmængden G, kaldes mængden af de elementer i G, som ikke ligger i A for komplementærmængden til A og betegnes. G = {1,2,3,...,18,19,20} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7,8,9,10,11,12} A = {8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} B = {1,2,3,4,13,14,15,16,17,18,19,20 Øvelse

14 A =]5,8[ dvs. A = {6,7} B = [3,7[ dvs. B = {3,4,5,6} A B = {6} dvs. ]5,7[ A B = {3,4,5,6,7} dvs. [3,8[ A \ B = {7} dvs. [7,8[ B \ A = {3,4,5} dvs. [3,5] Øvelse A = {22 elementer} B = { 30 elementer } A B = {12 elementer } A B = { (30+22)-12 = 40 elementer} Opgave 8: Beregn værdien af følgende udtryk når a = 15,b = 3og x = a 2. 7 x 14

15 3. a + x 4. a x a : x 7. a b 8. x x 9. 2x b (a + b) : (a 1) b b b 13. a b x Opgave 9: Beregn følgende udtryk når r = 1,s = 3,t = 12,u = 0,v = 5og w = r + 2 s 2. 3 t 5 v 3. 2(3r + s) 4. (st)(st) 5. (s s)(t t) 6. 2u(t 2r) 15

16 7. 2st 4sr 8. r + r + u + u + u 9. 5s wt 10. (v v v) v 11. (2w r)(2w + r) 12. (3r +t)(3r +t) w + 3r 7 6w + 5 7v 3v +t 3s t 2.3 Faktorer, koefficienter og eksponenter Når to eller flere tal ganges sammen, hedder hvert tal en faktor. F. eks. 3 7 = 21. Faktorerne er 3 og 7 og 21 er produktet. To andre faktorer er x y 1 er koefficienten af x y 2 1 x er koefficienten af y 2 1 y er koefficienten af x 2 Normalt er det tallet foran variablen dvs 1 der kaldes kvotienten. 2 16

17 2.4 Potensbegrebet x n = x x x x x x =er grundtallet n =er eksponenten Opgave 10: Bestem koefficienten af variablen z 1. 4z 2. 19z z 4. z 5. xyz 6. z(3 + 1) Opgave 11: Nævn grundtallet og eksponenten af følgende 1. 2 z y 3 3. x 7 4. w (v + 2) 3 17

18 6. 4(u 3) 2 7. (a + b) 3 8. (a b) t s 11. 4x m c z (12) x (x + y) ( x y ) Opgave 12: Beregn følgende 1. m 2 når m = n 2 når n = p 2 når p = r 2 når r = 5 5. (9x) 2 når x =

19 6. (8y) 2 når y = x 2 + 4x + 5 når x = y 2 3y + 4 når x = z 2 + z 2 z når z = a 3 2a 2 + a + 4 når a = v 5 + 3v 4 v 3 når v = w 10 + w 5 + w + 9 når w = 0 Opgave 13: Beregn følgende udtryk når x = 5,y = 2og z = 3 1. x 2 + y 2 + z 2 2. x y 2 + z 2 3. x 2 + y + z 2 4. x y + z 2 5. x 2 + y 2 2z 2 6. x 2 + y z 2 7. x 2 y 2 + z x 2 + xy 20z z 3 27 xy 19

20 x 2 + z 2 y 2 7y 2 z 2x 3 xy 12. (xz) 3 + y ( 6y z )3 + 3x (x z) 4 y 4 x y (2y z) 3 + y 3 (2x z + y) 3 Opgave 14: Beregn følgende 1. F = 9 C + 32 når C = L + π D når L = 12,25og D = 3 3. Sum = Beregn også summen af de første 7 heltal ved hjælp af: n(n + 1) 2 for n = 7 5. Effekt formlen: P = I 2 R når I = 15A og R = 0,01 ohm. 6. Strækningen s = 1 2 a t2 når a = 13,7 m/s 2 og t = 25 s 7. Volumen af en kugle V = 4 3 π r3 når r = 24 Eksempel: Følgende ligninge kan være falsk eller sand, afhængig af værdien af variablen t 20

21 3t + 2 = 14, t {3,4} Vi starter med at indsætte værdierne 3 og 4 for at se om ligningen er sand eller falsk_ 3 t + 2 = = dvs. falsk 3 t = = 14dvs. sand. Altså bliver løsningsmængden L = {4} da 3 ikke tilfredstiller ligningen. Eksempel: 2 < x 5 hvor x {4,5,8} Vi indsætter værdierne og ser hvad der sker! 2 < x 5 2 < 4 5 sand 2 < 5 5 sand 2 < 8 5 falsk! Dvs. løsningsmængden bliver: L = {4, 5} Opgave 15: Find løsningsmængden af følgende udtryk 1. t 7 = 6 når t {9;13} = n + 5 når n {5;2} 3. 2 y + 7 = 17 når y {0;4} q 6 når q {5;8} 5. d + 3 > 5 når d {3;4} 21

22 6. 6 < f 1 når f {10;9} 7. 2 k = 3 + k når k {2;4} 8. s 2 = s/2 når s {8;2} 9. m/2 > m + 4 når m {2;0} /b < 18 + b når b {9;0,5} 11. n + 5 < 100 når n {2;4;6;8;...;100} m > 6 når m {1;2;3;4;5;6;7,8;9;10} u + 1 < 1 (u + 2) når u {2;4;6;8} 2 s 1 < 10 når s {2;4;6;...;20} (a + 3) = 2 a + 3 når a {1;5} (b + 3) = 2 b når b {1;5} 17. t + 2 = r < y 9 22

23 3 Algebra Navnet Algebra kommer fra arabisk klik evt. Wikipedia Algebra blev brugt til at finde rundt i arvefordeling, dvs. fordeling af værdier efter dødsfald, juridiske spørgsmål, inddeling af land og landmåling, kanalbyggeri og geometriske konstruktioner i datidens verden. Algebraens regningsarter er således addition, subtraktion, multiplikation, division, potensopløftning og roduddragning. Man beskrev blot problemet og løste verbalt dvs. ingen variabler som x,y etc. da man ikke kendte begrebet variabel dengang. 3.1 Ligninger Et udsagn er en udtalelse, der enten er sand eller falsk. Eksempler på udsagn: 3 7 = 21 sand udsagn 4 er et primtal falsk udsagn 12 går op i 144 sand udsagn Følgende er ikke udsagn, fordi ingen af dem siges at være sande eller falske Er 2 3 = 5? 1million er et stort tal Beregn x + 7 = 45 23

24 Men det sidste udtryk 4 x+7 = 45 kan forvandles til et udsagn ved at indsætte nogle værdier i x ens plads. Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Hvis vi løser denne ligning finder vi x = 9.5. Dvs udsagnet bliver sand hvis man indsætter x = 9.5 og vi får = = 45 sandt udsagn Hvis man nu indsætter et tilfældigt tal fra den reelle talmængde f.eks. tallet = = 45 falsk udsagn Sådanne udsagn kaldes åbne udsagn og x = 9.5er løsningsmængden da tallet gør det åbne udsagn sandt. En ligning er et aritmetisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn. Løsning af en ligning betyder at man skal beregne samtlige tal, som gør ligningen sand, hvis de indsættes på den ubekendtes plads i ligningen. Disse tal kaldes ligningens løsninger eller ligningens løsningsmængde. Eksempel: Ligningen 2x + 8 = 12 er en førstegrads eller lineær ligning med den ubekendte variabel x. Vi kan løse ligningen på følgende måde; 2x + 8 = 12 24

25 2x = x = 4 x = 2 Ligningen har altså løsningen x = 2 eller løsningsmængden L = {2} Det betyder at den oprindelige ligning bliver sand hvis vi indsætter x = = = 12 Regel 1: Man må lægge samme tal på begge sider af lighedstegnet = = a + b = c a + b + d = c + d Regel 2: Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet Regel 3: Man må gange med samme tal(og ikke med nul!) på begge sider af lighedstegnet Regel 4: Man må dividere med samme tal (dog ikke med nul!) på begge sider af lighedstegnet. Regel 5: 25

26 Man må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden, hvis man samtidig ændrer fortegnet på det led, man flytter. Regel 6: Nulreglen - vigtigt! Et produkt giver nul hvis en af faktorerne er nul. a b = 0 a = 0 b = 0 Eksempel: Løs ligningen 4(x + 5) = 7 3(x 2) Ligningen løses ved hjælp af ovenstående regler, men mest regel 5 som siger at vi kan flytte et led fra den ene side til den anden og vi ændrer fortegnet samtidig. Men inden vi gør det skal vi lige gange tallene ind i paranteserne og samler x erne og tallene på hver deres side af lighedstegnet. 4x + 20 = 7 3x + 6 4x + 3x = x = 7 x = 1 Ligningen har altså løsningen x = 1 dvs. løsningsmængden er L = { 1} Eksempel: Løs ligningen (x 2)(x + 5) = 0 26

27 Der er to led som skal ganges sammen. Det ligner jo nulreglen vi skal bruge! (x 2) = 0 (x + 5) = 0 (x 2) = 0 x = 2 (x + 5) = 0 x = 5 Dvs. x = 2 x = 5 Løsningsmængden er altså; L = { 5,2} Eksempel: Løs ligningen x 2 16 = 0 x 2 = 16 Her skal vi være opmærksomme på at både (4) 2 og ( 4) 2 giver tallet 16 så løsningen må være L = { 4,4} 27

28 Vi kan nu prøve at kontrollere eksemplerne ved hjælp af CAS. Følgende kommandoer kan bruges Solve[(x 2) (x + 5) = 0] giver {x = 5,x = 2} Solve[x 2 16 = 0]giver {x = 4,x = 4} Eksempel: Løs ligningen x = 0 x 2 = 4 Kan et kvadrat være negativt? Prøv eventuelt GeoGebra CAS inden du går videre med beregningen. Solve[x = 0] giver {} en tom mængde! Dvs. løsningsmængden er den tomme mængde hvor /O betegner den tomme mængde. L = /O En anden ekstrem mulighed er, alle tal er løsningen til en given ligning. I så fald skriver man L = R Eksempel: Løs ligningen 2(x 3) + 9 = 3(x + 1) x 28

29 Vi løser ligningen først ved at hæve paranteserne og anvender reglerne. 2x = 3x + 3 x Vi samler x erne og tallene ind på hver deres side af lighedstegnet 2x 3x + x = = 0 eller 3 = 3 eller x = x Da alle tre resultater er sande vil løsningsmængden være alle reelle tal, dvs. L = R Vi prøver GeoGebra CAS Solve[2 (x 3) + 9 = 3 (x + 1) x] giver x = x Når vi skal løser en ligning skal vi altid starte med at finde grundmængden og bagefter løsningsmængden. Eksempel: Bestem grundmængden og løsningsmænden af følgende ligning x + 4 x = 2 Da x står i nævneren kan man risikere at dividere med nul når man indsætter nul i x ens plads. For at sikre at vi ikke må dividere med nul skal vi skrive x 0 29

30 og finde grundmængden G = R\{0} Løsningsmægden findes ved at gange over kors (x + 4) = x 2 4 = 2x x 4 = x eller x = 4 Løsningsmængder er L = {4} Det betyder i dette tilfælde at vi må indsætte alle reelle tal selv om de ikke opfylder ligningen, undtagen nul. Hvis vi alligevel forsøger at indsætte nul, kommer vi til at dividere med nul! Og det må vi ikke! Vi løser ligningen vha. GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[(x + 4)/x = 2] giver x = 4 Definition af grundmængde: Ved grundmængden G for en ligning forstås den mængde af tal, der må indsættes i ligningen eller uligheden. Eksempel: Løs ligningen x 1 = 4 30

31 Vi skal både finde grundmængden og løsningsmængden x 1 0 Vi løser denne ulighed ved at flytte tallet -1 over på den anden side af ulighedstegnet og samtidig ændres fortegnet til positivt. x 1 Grundmængden bliver således, at alle relle tal der er lig med og større end et. Det kan skrives på følgende måde; G = [1; [ altså et interval Man kan komme ud for at skulle løse flere ligninger samtidig. 1. Hvis der mellem to ligninger står tegnet betyder det, at man skal bestemme de tal, som opfylder begge ligninger samtidig(og). Løsningsmængden bliver fællesmængden mellem disse to ligninger og skrives som L = L 1 L 2 2. Hvis der mellem to ligninger står tegnet betyder det, at man skal bestemme de tal, som opfylder mindst en af ligningerne men ikke nødvendigvis begge samtidig(eller). Løsningsmængden bliver foreningsmængden mellem de to ligninger og skrives som 31

32 L = L 1 L 2 Eksempel: Løs ligningerne x + 3 = 1 x 2 = 16 Disse to ligninger skal løses samtidig og fællesmængden findes. x = 4 x = ±4 Det ses nu at L 1 = { 4} og L 2 = { 4,4} Vi har altså to mængder og vi skal finde fællesmængden: L = L 1 L 2 = { 4} Vi løser ligningerne vha. GeoGebra CAS Eksempel: Løs ligningerne x 5 = 3 x 2 = 16 x = 8 x = ±4 L 1 = {8}og L 2 = { 4,4} Igen har vi to mængder og vi skal finde foreningmængden mellem disse to ligninger. L = L 1 L 2 = { 4,4,8} 32

33 Øvelse 1 Løs ligningen (3x + 6)(9x 13) = 0 Løsning: (3x + 6)(9x 13) = 0 Vi bruger nulreglen igen. a b = 0 a = 0 b = 0 Grundmængden må være alle reelle tal dvs. G = R. Vi kan indsætte alle tal i ligningen. (3x + 6) = 0 3x = 6 x = 2 9x 13 = 0 x = 13 9 x = 2 x = 13 9 Løsningsmægden bliver: L = { 2, 13 9 } Øvelse 2 Løs ligningerne: a) 2x 4 =6 x 2 = 4 b) 2x 4 = 6 x 2 = 4 33

34 Løsning: a) Vi skal finde foreningsmængden som er løsninsmængden af den første og fællesmængden som er løsningsmængden af den anden ligning: 2x 4 = 6 x 2 = 4 2x 4 = 6 x = 5 x 2 =4 x = ±2 x = 5 x = ±2 Løsningsmængden bliver foreningsmængden: L 1 = {5} L 2 = { 2,2} L = L 1 L 2 = { 2,2,5} b) På tilsvarende måde: x = 5 x = ±2 L 1 = {5} L 2 = { 2,2} Løsningsmængden bliver fællesmængden, som er nulmængden: Overvej hvorfor! L = {/O} 34

35 3.2 Førstegradsligninger eller lineære ligninger Ved en ligning forstås et åbent udsagn, der indeholder et lighedstegn. At løse ligninger betyder at vi finder først grundmængden, altså at finde hvilke tal der er tilladt at indsætte i ligningen og til sidst at finde løsningsmængden Eksempel: Løs ligningen 17x + 13 = 12x + 58 Vi skal først finde grundmængden som er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at samle leddene med x på den ene side af lighedstegnet og leddene uden x på den anden side 17x 12x = x = 45 x = 9 Løsningsmængden er L = {9} GeoGebra CAS kan bruges til at kontrollere Solve[17 x 13 = ] giver {x=9} Eksempel: Løs ligningen 9t 312 = 13t

36 Vi samler alle leddene med variablen t på den ene side af lighedstegnet. 9t 13t = t = 124 Divideres begge sider af lighedstegnet med 4 t = 31 Dvs. løsningsmængden bliver L = { 31} Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[9 t 312 = 13 t 188] giver {t = 31} Eksempel: Løs ligningen 5(3x 4) 3(5 2x) = 14(5 + x) Grundmængden må være alle reelle tal. Der er ikke nogen brøk hvor man ikke må dividere med nul eller kvadratrod hvor man ikke må have negativt tal ind i kvadratroden. Løsningsmængden findes ved at ophæve paranteserne først ved at gange tallene 5, -3 og 14 ind i paranteserne. 15x x = x 36

37 Vi samler x erne og tallene igen i hver sin side af lighedstegnet 15x + 6x 14x = x = 105 x = 15 Løsningsmængden er altså; L = {15} Kontrolleres med GeoGebra CAS. Eksempel: Løs ligningen 6x x 6 = 7x Grundmængden må være alle relle tal. Hvorfor? + 9 2x 3 Løsningsmængden findes ved at finde den mindste fællesnævner for venstre side og højre side. Den mindste fællesnævner er 24. Hvorfor? 6 (6x 5) 4 (8 6x) = 3 (7x + 3) + 8 (9 2x) x x 24 = 21x x 24 60x = 37 37x

38 Vi ganger over kors 24(60x 62) = 24( 37x + 63) Divideres begge sider med tallet 24 60x 62 = 37x + 63 Løsningsmængden bliver Kontrolleres med GeoGebra CAS. 97x = 125 x = L = { } Øvelse 3 Løs følgende ligninger (Husk at kontrollere resultaterne med GeoGebra CAS eller grafregner) a) 36x 55 = 9x + 35 b) 8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7 c) 2x x 2 x = 10x

39 d) 1 2 (x 1 3 ) 1 3 (x 3 4 ) (x 2 3 ) = 0 e) 5x 3 8 3(2x 4) = 5( x + 1) 4 3x Løsning: Vi bruger regel 5 a) 36x 55 = 9x x 55 = 9x x + 9x = x = 90 x = = 2 Grundmængden: G = R Løsningsmængden: L = {2} Løsningen kontrolleres ved hjælp af GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[36 x 55 = 9 x + 35] som giver {x = 2} Grafregnerens solve kommando kan også bruges på følgende måde: solve(36x 55 = 9x + 35,x) som giver x = 2 b) 8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x

40 8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7 Vi starter med at gange tallene ind i parentes: 8x x = 10x 15 4x x 44 = 6x 8 12x 6x = x = 36 x = 6 G = R L = {6} Igen kan vi kontrollere løsningen med GeoGebra CAS: Solve[8 (x 3) 4 5 x) = 5 (2 x 3) 4 x + 7] giver {x = 6} solve(8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7,x) som giver x = 6 c) 2x x x + 7 = 10x Vi starter med at sætte paranteser rundt om leddene: (2x 1) 3 (14 2x) 2 (x + 7) 4 Vi finder den mindste fællesnævner og den er 12 (10x 1) = 6 4 (2x 1) 6 (14 2x) 3 (x + 7) = 2 (10x 1)

41 4(2x 1) 6(14 2x) 3(x + 7) 2(10x 1) = Nævnerne forsvinder når vi ganger de to brøker over kors: 8x x 3x 21 = 20x + 2 Vi samler x erne i venstre side af lighedstegnet: 17x + 20x = x = 3 G = R L = {3} Kontrol vha GeoGebra CAS eller grafregner! d) 1 2 (x 1 3 ) 1 3 (x 3 4 ) (x 2 3 ) = 0 Vi starter med at skrive alle leddene som brøker: 1 2 ( x ) 1 3 ( x ) ( x = (3x 1 3 ) 1 3 (4x 3 4 ) (3x 2 ) = (3x 1) 2 (4x 3) (3x 2) + =

42 4(3x 1) 2(4x 3) + (3x 2) = (3x 1) 2(4x 3) + (3x 2) = x 4 8x x 2 = 0 7x = 6 x = 6 7 G = R L = { 6 7 } Kontrol vha GeoGebra CAS grefregner! e) (5x 3) 8 3(2x 4) 1 (5x 3) = 5( x + 1) 4 3(2x 4) 1 3x = 2 2 5( x + 1) x 1 (5x 3) 24(2x 4) 8 = 10( x + 1) 24x 8 5x 3 48x + 96 = 10x x 9x = 83 x = 83 9 G = R L = { 83 9 } Kontrol vha GeoGebra CAS eller grafregner! 42

43 3.3 Andengradsligninger En ligning af typen ax 2 + bx + c = 0, a 0 kaldes en andengradsligning. Tallene a,b og c kaldes ligningens koefficienter og d = b 2 4ac er diskriminanten. 1. Hvis d > 0 har ligningen to løsninger x = b + d 2a eller x = b d 2a 2. Hvis d = 0 har ligningen en løsning (Eller mere rigtigt dobbeltrod)) 3. Hvis d < 0 har ligningen ingen reelle løsninger. Bevis: ax 2 + bx + c = 0 Vi ganger begge sider af ligningen med 4a 4ax 2 + 4abx + 4ac = 0 Læg b 2 4ac på begge sider 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 4ac = b 2 4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac Da vi ved at (2ax + b) 2 = 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 43

44 (2ax + b) 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = d For d > 0 2ax + b = ± d x = b ± d 2a For d = 0 2ax + b = 0 2ax = b x = b 2a For d < 0 Ingen reelle løsninger til ligningen (2ax + b) 2 = d Løsningerne til en andengradsligning kaldes andengradsligningens rødder. Vi kan også få GeoGebra CAS til at finde rødderne af andengradsligningen på følgende måde: Solve[a x 2 + b x + c = 0] giver {x = Eksempel: Løs andengradsligningen 4ac + b 2 b 2a, x = 4ac + b 2 b } 2a 44

45 5x 2 + 4x + 2 = 0 Vi ved at a = 5,b = 4 og c = 2 Vi kan nu beregne diskriminanten d = b 2 4ac d = = = 24 < 0 Da d < 0 er der ingen reelle løsninger, derfor L = /O Kontrol: Solve[5 x x + 2 = 0] giver {} en tom mængde! Eksempel: Løs andengradsligningen x 2 2x + 1 = 0 a = 1,b = 2 og c = 1 d = b 2 4ac d = ( 2) = 0 Da d = 0 er der kun en løsning x = b ± 0 2a = 2 2 = 1 Prøv at indsætte x = 1 i andengradsligninngen = 0 45

46 0 = 0 sandt Kontrol: Solve[x 2 2 x + 1 = 0] giver {x = 1} Eksempel: Løs andengradsligningen 2x 2 3x + 1 = 0 a = 2,b = 3 og c = 1 d = b 2 4ac d = ( 3) = 1 Da d > 0 er der to løsninger Kontrol: x = b ± d 2a = ( 3) ± = 1 2 Solve[2 x 2 3 x + 1 = 0] giver {x = 1 2, x = 1} Øvelse 4 Løs følgende andengradsligninger a) 8x 2 + 4x + 0,5 = 0 b) 3x 2 + 2x 41 = 0 c) x 2 x + 0,25 = 0 46

47 Løsning: Vi løser ligningerne kontrollerer resultatet med GeoGebra/grafregneren. a) 8x 2 + 4x = 0 Vi kontrollerer løsningen: d = b 2 4ac = = 0 én løsning x = b = 1 4 solve(8x 2 + 4x + 0,5 = 0,x) som giver x = 1 4 eller vha. GeoGebra CAS Solve[8 x x = 0] giver {x = 1 4 } b) x 2 x + 0,25 = 0 d = b 2 4ac d = ( 1) 2 4( 1)(0,25) = 2 > 0 to løsninger! x 1 = b + d 2a x 2 = b d 2a = = = 1,20711 = 0, Kontrol: 47

48 solve( x 2 x + 0,25 = 0,x) Eller Solve[ x 2 x = 0] giver {x = , x = } 2 2 c) 3x 2 + 2x 41 = 0 d = b 2 4ac d = 4 4( 3)( 41) = 488 < 0 dvs. ingen (reel) løsning! Solve kommandoen fra grafregneren giver false prøv selv! Og GeoGebra CAS giver en tom mængde som er det samme som false Solve[ 3 x x 41 = 0] giver {} en tom mængde! Øvelse 5 Løs følgende andengradsligninger (Kan du løse a) og b)uden at bruge løsningsformlen for andengradsligninger?) a) 36x 2 9 = 0 b) 3x 2 + 6x = 0 c) 100x x 225 = 0 Eksempel: Løs ligningen x 4 + x 2 12 = 0 Dette er en fjerdegradsligning men kan løses som en andengradsligning ved at foretage følgende omskrivning: 48

49 x 4 = (x 2 ) 2 (x 2 ) 2 + x 2 12 = 0 Vi sætter nu x 2 = z z 2 + z 12 = 0 Nu skal vi tilbage til x da x 2 = z d = b 2 4ac = ( 12) = 49 z = b ± d = 1 ± 49 3 = 2a x 2 = 3 x 2 = 4 x = ± 3 /O Hvorfor? Løsningsmængden bliver L = { 3, 3} Kontrol: Solve[x 4 + x 2 12 = 0] giver {x = 3, x = 3} Eksempel: Løs ligningen 2x x 3 16 = 0 49

50 x 6 = (x 3 ) 2 2 (x 3 ) x 3 16 = 0 2 z z-16=0 Vi løser den nye andengradsligning med hensyn til variablen z og husker z = x 3 d = b 2 4ac = (14) ( 16) = 324 z = b ± d 14 ± 18 1 = = 2a z = 1 z = 8 x 3 = 1 x 3 = 8 x = 1 x = 2 Løsningsmængden bliver L = { 2,1} Kontrol: Solve[2 x x 3 16 = 0] giver {x = 2; x = 1} Eksempel: Løs ligningen 0.5x x = 0 50

51 x 12 = (x 6 ) 2 0.5(x 6 ) 2 + 3x = 0 x 6 = z 0.5z 2 + 3z + 4 = 0 d = b 2 4ac = = 1 z = 3 ± = 2 4 z = 2 z = 4 x 6 = 2 x 6 4 Løsningsmængden bliver L = /O Hvorfor? Kontrol: Solve[0.5 x x = 0] giver {} Eksempel: Løs ligningen 3x + 3 x 60 = 0 x = z 3( x) x 60 = 0 51

52 3z 2 + 3z 60 = 0 d = b 2 4ac = ( 60) = ± 27 4 z = = x = 4 x = 5 x = 16 /O Løsningsmængden bliver L = {16} Kontrol: Solve[3 x + 3 x 60 = 0] giver {x = 16} Øvelse 6 Løs følgende ligninger. a) x 4 32x = 0 b) x x = 0 c) 27x x 3 64 = 0 Løsning: a) x 4 32x = 0 x 4 32x 144 = 0 52

53 Vi sætter x 2 = z for at løse ligningen som en andengradsligning: (x 2 ) 2 32x = 0 z 2 32z 144 = 0 d = b 2 4ac d = ( 144) = 1600 > 0 z 1 = b + d 2a z 2 = b d 2a = = = 36 = 4 x 2 = z så vi finder x ved at substituere tilbage: x 2 = z 1 = 36 x = ±6 x 2 = z 2 = 4 kan ikke lade sig gøre! Løsningsmængden L = { 6,6} Vi kontrollerer resultatet ved hjælp af grafregner: solve(x 4 32x = 0,x) giver x = 6 eller x = 6 eller vha. GeoGebra på følgende måde Solve[x 4 32x = 0] giver {x = 6,x = 6} b) x x = 0 53

54 x x = 0 Vi indsætter z = x 2 z x = 0 a = 1 b = c = Vi beregner diskriminanten d = b 2 4ac d = ( 16.29) (32.59) 135 z 1 = b + d 2a z 2 = b d 2a = = = = 2.34 x 2 = z 1 x 2 1 = x 1 = ±3.73 x 2 2 = 2.34 x2 2 = 2.34 x 2 = ±1.53 Prøv selv med solve kommandoen til kontrol! c) 27x x 3 64 = 0 27x x 3 64 = 0 Vi sætter x 3 = z og løser ligningen som en andengradsligning: 27z z 64 = 0 d = b 2 4ac 54

55 d = (208) ( 64) = z 1 = b + d 2A = = 8 27 = (2 3 )3 z 2 = b d 2a = = = 8 = (2)3 Substitueres tilbage til at finde x: x 3 = z 1 = 8 27 x 1 = 3 ( 2 3 )3 = 2 3 x 3 = z 2 x 2 = 2 solve(27x x 3 64 = 0,x) eller vha GeoGebra CAS Solve[27 x x 3 64 = 0]giver? Prøv selv! 3.4 Numeriske ligninger Vi forestiller os at vi har følgende fortegnslinje. Afstanden mellem tallet nul og tallet 2 er 2 enheder til højre for nullet og igen 2 enheder lang til venstre for tallet nul. Dvs. om man går mod højre eller venstre for tallet nul, vil afstanden altid være positiv. Positive og negative reelle tal, placeres i fortegnslinjen og relationerne < og > bruges til at afgøre deres placering på fortegnslinjen i forhold til hinanden. x er et positivt reelt tal hvis x > 0 xer et negativt reelt tal hvis x < 0 55

56 Tallet nul er hverken positivt eller negativt! F.eks. 2 = 2, 5 = 5 og 1 5 = 1. Den numeriske værdi af talllet nul er nul. 5 56

57 Regler for ligninger og uligheder: 1. x hvis x 0 x = x hvis x < 0 I stedet for x kunne vi også indsætte andre udtryk som 2x hvis 2x 0 2x = 2x hvis 2x < 0 x + 1 hvis x x + 1 = (x + 1) hvis x + 1 < 0 3x 4 hvis 3x 4 0 3x 4 = (3x 4) hvis 3x 4 < 0 2. x = a betyder at x = a eller x = a for a > 0 Hvis a < 0 x = a ingen løsning. Hvorfor? 3. a > 0 og x < a betyder at a < x < a 57

58 x a betyder at a x a 4. a > 0 og x > a betyder at x < a x > a 5. a b > 0betyder at (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) a b < 0 betyder (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) a > 0 betyder (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) b a < 0 betyder (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) b 6. Uligheder løses på samme måde som ligheder. Dvs. at reducering foregår på en sådan måde at man får isoleret den ubekendte på den ene side af ulighedstegnet, men husk at ændre fortegnet hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal. 7. Kvadrering af en ligning kræver at begge sider af ligningen har samme fortegn a = b a 0 Hvorfor skal a 0? ( a) 2 = b 2 b 0 Nogle eksempler for numeriske ligninger: 58

59 Eksempel: x = 2 er ensbetydende med: x = 2 x = 2 Kontrol: Solve[abs(x) = 2] giver {x = 2, x = 2} Eksempel: x < 2 er ensbetydende med: 2 < x < 2 59

60 Kontrol: Solve[abs(x) < 2] giver { 2 < x < 2} Eksempel: x > 2 er ensbetydende med: Kontrol: Solve[abs(x) > 2] giver {x < 2, x > 2} Eksempel: 7 = 7 Kontrol: abs(7) = 7] giver 7 = 7 Eksempel: 3 = 3 60

61 Kontrol: abs(3) = 3 giver 3 = 3 Eksempel: = 11 Eksempel: = = 11 Eksempel: 2 1 = 2 1 = 2 Eksempel: 6 = 6 Eksempel: 0 = 0 Eksempel: 7 5 = 2 Eksempel: 7 3 = 7 3 = 4 Eksempel: 61

62 3 4 = 3 4 = 12 Eksempel: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel: x = 5 L = /O Kontrol: Solve[abs(x) = 5] giver {} Eksempel x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 Kontrol: Solve[abs(x + 1) = 3] giver {x = 4, x = 2} Eksempel: x 1 = 5 x 1 = 5 x 1 = 5 x = 6 x = 4 Kontrol: Solve[abs(x 1) = 5] giver {x = 4, x = 6} Eksempel: a < 4 4 < a < 4 62

63 Kontrol: Solve[abs(a) < 4] giver { 4 < a < 4} Eksempel: a 4 4 a 4 Kontrol: Solve[abs(a) 4] giver { 4 a 4} Eksempel: a 4 a 4 a 4 Kontrol: Solve[abs(a) 4] giver {a 4, a 4} Eksempel: y > 3 2 y < 3 2 y > 3 2 Kontrol: Solve[abs(y) > 3 2 ] giver { 3 2 > y, y > 3 2 } Eksempel: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Kontrol: 63

64 Solve[abs(x) = 0] giver {x = 0} Eksempel: x = 5 6 x = 5 6 x = 5 6 Kontrol: Solve[abs(x) = 5 6 ] giver {x = 5 6, x = 5 6 } Eksempel: 2 t 2 t 2 Kontrol: Solve[abs(t) 2] giver { 2 t 2} Eksempel: z = 7 z = 7 z = 7 Kontrol: Solve[abs(z) = 7] giver {z = 7, z = 7} Eksempel: x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel: x = 9 x = 9 x = 9 64

65 Eksempel: k = 3 k = 3 /o Eksempel: x = 4 x = 4 x = 4 x = 4 Eksempel: x + 3 = 4 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel: x 2 = 5 x = 7 x = 7 x = 7 Eksempel: x + 3 = 3 x + 3 = 3 x + 3 = 3 x = 6 x = 0 Eksempel: k + 2 = 6 k + 2 = 6 k + 2 = 6 k = 8 k = 4 Eksempel: x + 8 = 6 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 Eksempel: 4 p = 0 p = 4 p = 4 p = 4 65

66 Eksempel: Løs ligningen x = 6 Hvilke reelle tal kan indsættes på x s plads, således at ligningen er opfyldt? Vi bruger regel x = a x = a x = a x = 6 betyder x = 6 eller x = 6 Dvs. løsningsmængden bliver L = { 6,6} Kontrol: Solve[abs(x) = 6] giver {x = 6, x = 6} Eksempel: Løs ligningen x = 3 L = /O Den numeriske værdi er altid positiv, dvs. løsningsmængden er tom mængde: Kontrol: Solve[abs(x) = 3] giver {} Eksempel: Løs ligningen 66

67 x 1 = 9 Regel: x = a betyder at x = a eller x = a for a > 0 bruges x 1 = 9 x 1 = 9 x = 10 x = 8 Løsningsmængden L = { 8,10} Kontrol: Solve[abs(x 1) = 9] giver {x = 8, x = 10} Eksempel: Løs ligningen 3x 4 = 5 Samme regel som før 3x 4 = 5 3x 4 = 5 3x = 9 3x = 1 x = 3 x = 1 3 Løsningsmængden L = { 1 3,3} 67

68 Hvordan løses numeriske ligninger vha. GeoGebra CAS og grafregner? Først GeoGebra CAS: Solve[abs(3 x 4 = 5] giver {x = 1,x = 3} 3 Kommandoen abs() betyder absolute værdi altså numerisk værdi! Grafregner: solve(abs(3x 4 = 5),x) giver x = 1 3 or x = 3 Eksempel: Løs ligningen x 2 5x = 6 Samme regel som før bruges x 2 5x = 6 x 2 5x = 6 x 2 5x 6 = 0 x 2 5x + 6 = 0 d = b 2 4ac og x = b ± d 2a 6 2 x = x = 1 3 Løsningsmængden L = { 1,2,3,6} 68

69 Kontrol: Solve[abs(x 2 5x) = 6] giver {x = 1,x = 2,x = 3,x = 6} Eksempel: Løs ligningen 3x 4 = x + 2 Her kan vi bruge regel 1 3x 4 = x + 2 hvis 3x 4 0 x (3x 4) = x + 2 hvis 3x 4 < 0 2x = 6 hvis 4 3 4x = 2 hvis x < 4 3 x = 3 hvis x 4 3 x = 1 2 hvis x < 4 3 Løsningsmængden (Begge løsninger er sande!) L = { 1 2,3} Kontrol: Solve[abs(3x 4) = x + 2] giver {x = 1,x = 3} 2 69

70 Eksempel: Løs ligningen 4 2x = 3 3x Man kan løse dette eksempel ligesom ovenfor ved at bruge regel 1 Men vi vil bruge en anden metode ved at dele grundmængden op i to intervaller. Nemlig der hvor det, der står indenfor numerisktegnet sættes til nul. 4 2x = 3 3x og G = R 4 2x = 0 x = 2 Det betyder at grundmængden skal deles op ved x = 2. Herved fås to intervaller x < 0 og x 2 som skal behandles hver for for sig: 1. x < 0 : Det der står indenfor numerisktegnet, positivt da et tal der er mindre end 2 indsættes giver et sandt udtryk, og man fjerner numerisktegnet 4 2x = 3 3x x = 1 Da denne værdi opfylder betingelsen x < 2,er det en løsning til ligningen. 2. x 2 Det der står indenfor numerisktegnet er negativt. Prøv at indsætte et tal der er større end 2 på x ens plads. Vi fjerner numerisktegnet men husker at ændre fortegnet til negativt. 70

71 (4 2x) = 3 3x 4 + 2x = 3 3x 5x = 7 x = 7 5 Da denne værdi ikke opfylder betingelsen x 2 er det ikke en løsning til ligningen. Løsningsmængden er derfor L = { 1} Kontrol: Solve[abs(4 2 x) = 3 3 x] giver {x = 1} Øvelse 7 Løs følgende ligninger a) 5x + 1 = 2 b) x 6 + 3x = 2 Løsning: Vi undersøger først grundmængden og dernæst løsningsmængden. a) Først kan vi konstatere at grundmængden er reelle tal da vi kan indsætte alle reelle tal på x ens plads. Derfor; G = R 71

72 Regel: x = y x = y x = y Det betyder at; 5x + 1 = 2 5x + 1 = 2 5x + 1 = 2 5x = 1 x = 1 5 5x = 3 x = 3 5 Løsningsmængden bliver; L = { 3 5, 1 5 } CAS kommandoen Solve i GeoGebra giver; Solve[abs(5x + 1) = 2] giver {x = 3 5,x = 1 5 } b) Grundmængden er alle reelle tal. G = R Vi starter med at omskrive udtrykket for at se hvilke regel eller regler kan bruges til at finde løsningsmængden; x 6 + 3x = 2 x 6 = 2 3x Regel: 72

73 x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Det betyder at; (x 6) = 2 3x hvis x 6 0 (x 6) = 2 3x hvis x 6 < 0 x = 2 hvis x 6 x = 2 hvis x < 6 Som ses er tallet 2 IKKE større end tallet 6! Altså kan tallet 2 ikke være med i løsningsmængden! Og tallet -2 er mindre end tallet 6. Dvs. tallet -2 er med i løsningsmængden. L = { 2} Geogebra s CAS kommando Solve giver {x = 2}som vist nedenunder: Solve[abs(x 6) = 2 3 x] giver {x = 2} Grafregnerens Solve kommando solve(abs(x 6) = 2 3x,x) vil give løsningen; L = { 2} 73

74 Øvelse 8 Løs følgende ligninger. a) x = 66 b) x = 3,9 c) x = 0,25 d) 2x + 4 = 6 e) x 6 = 5 f) x 2 1 = 3 Løsning: Vi bruger reglerne til at løse numeriske ligninger: a) x = 66 hvis x 0 x = x = 66 hvis x < 0 Vi kan jo nu se at x = 66 og betingelsen x 0 er opfyldt. På samme måde x = 66 dvs. x = 66 er også opfyldt da x < 0. Løsningsmængden bliver: L = { 66;66} Alternativ løsning: x = 66 x = 66 x = 66 Og løsningsmængden bliver: L = { 66,66} 74

75 Du kan kontrollere resultatet ved hjælp af GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[abs(x) = 66] som giver {x = 66, x = 66} b) x = 3,9 x = 3,9 hvis x 0 x = x = 3,9 hvis x < 0 L = /O overvej hvorfor! c) x = 0,25 hvis x 0 x = x = 0,25 hvis x < 0 L = { 0,25;0,25} Solve[abs(x) = 0.25] d) 2x + 4 = 6 (2x + 4) = 6 hvis (2x + 4) 0 2x + 4 = (2x + 4) = 6 hvis (2x + 4) < 0 (2x + 4) = 6 2x = 2 x = 1 og (2x + 4) 0 2x 4 x 2 ok. (2x + 4) = 6 2x = 10 x = 5 og (2x + 4) < 0 2x < 4 x < 2 ok 75

76 Løsningsmængden bliver: L = { 5;1} Solve[abs(2x + 4) = 6] e) x 6 = 5 (x 6) = 5 hvis (x 6) 0 x 6 = (x 6) = 5 hvis (x 6) < 0 (x 6) = 5 x = 11 og (x 6) 0 x 6 ok. (x 6 = 5 x + 6 = 5 x = 1 x = 1 og (x 6) < 0 x < 6 ok. L = {1;11} CAS kommandoen solve giver; Solve[abs(x 6) = 5] Og løsningsmængden bliver: L = {1,11} f) x 2 1 = 3 Regel 76

77 x = a x = a x = a x 2 1 = 3 x 2 1 = 3 x 2 = 4 x 2 = 2 x = ±2 /O Hvorfor? Løsningsmængden bliver L = { 2,2} f) Alternativ løsning x 2 1 = 3 (x 2 1) = 3 hvis (x 2 1) 0 x 2 1 = (x 2 1) = 3 hvis (x 2 1) < 0 x 2 = 4 x = ±2 og x 2 1 x 1 og x 1 ok. Regel: Ganger du med et negativt tal, skal ulighedstegnet samtidig vendes. Man kan med fordel bruge grafregneren til at løse ligningerne x og x 2 1 < 0 på følgende måde: solve(x 2 1 0,x) solve(x 2 1 < 0,x) CAS kommandoen Solve i Geogebra giver følgende: 77

78 x x = 1 x = 1 Vi fortsætter... (x 2 1) = 3 x 2 +1 = 3 x 2 = 2 x 2 = 2 som ikke kan lade sig gøre! Derfor ses bort fra denne løsning! L = { 2;2} Solve[abs(x 2 1) = 3,x] Igen vil Solve kommandoen i Geogebra CAS give følgende: x = 2 x = 2 Løsningsmængden bliver: L = { 2,2} 3.5 Ligninger med brøker Eksempel: Løs ligningen x 2 x = 4 Først skal man bestemme grundmængden. Man må ikke dividere med nul, dvs. nævneren ikke må være nul 2 x 0 78

79 2 x Dvs. grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 2 G = R\{2} Løsningsmængden findes ved at gange over kors x = 4(2 x) x = 8 4x x + 4x = 8 5x = 8 x = 8 5 Løsningsmængden L = { 8 5 } nul. Eksempel: Løs ligningen x(x + 1) x 1 = x x + 1 x 1 Grundmængden bestemmes ved at sikre at vi ikke kommer til at dividere med x

80 x 1 Grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 1 G = R\{1} Løsningsmængden findes x(x + 1) (x 1) x(x + 1) (x 1) x(x + 1) x 1 = x x + 1 x 1 (x 1) (x + 1) (x + 1) = + (x 1) 1 (x 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) Nu har vi to brøker med fællesnævneren (x 1), som vi ganger begge sider af lighedstegnet for at komme af med (x 1) (x 1) x(x + 1) (x 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) x(x + 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) Leddet (x + 1)er i begge sider, derfor kan vi faktorisere x(x + 1) = (x + 1)[(x 1) + 1] Nu divideres begge sider med (x + 1) Igen forkortes (x + 1) x(x + 1) (x + 1) = (x + 1)[(x 1) + 1] (x + 1) x = (x 1)

81 x = x x = x x x = 0 0 = 0 Dette er altid sand. Det betyder at alle reelle tal, der må indsættes i ligningen, er løsninger. Dvs. løsningsmængden er alle reelle tal undtagen x = 1(Husk grundmængden!) L = R\{1}=G Kontrol: Eksempel: Løs ligningen x (x + 1) (x + 1) Solve[ = x ] giver {x = x} (x 1) (x 1) Vi finder først grundmængden x 2 x + 2 = 3 4 x + 2 x x 2 G = R\{-2} 81

82 Dvs. alle relle tal undtagen x = 2 Løsningsmængden findes ved at finde en fællesnævner som er (x + 2) Nu ganges begge sider med (x + 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) 3 4 = (x + 2) (x + 2) (x 2) [(x + 2) 3 4] = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x 2) = [(x + 2) 3 4] (x 2) = (x + 2) 3 4 (x 2) = 3x x 2 = 3x + 2 x 3x = x = 4 x = 2 Løsningsmængden bliver en tom mængde da grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 2,dvs. L = /O 82

83 Kontrol: (x 2) Solve[ (x + 2) = 3 4 ] giver {} (x + 2) Eksempel: Løs ligningen nul. 2 x 1 = 1 x 2 Grundmængden findes ved at sikre at man ikke kommer til at dividere med x 1 0 og x 2 0 x 1 og x 2 Grundmængden er altså alle reelle tal undtagen tallene et og to. G = R \ {1,2} Løsningsmængden findes ved at gange over kors Løsningsmængden bliver Kontrol: 2(x 2) = 1(x 1) 2x 4 = x 1 2x x = x = 3 L = {3} 2 Solve[ x 1 = 1 ] giver {x = 3} x 2 83

84 Øvelse 9 Bestem grundmængde og løsningsmængde for følgende ligninger. a) x 2 x 3 = x + 1 2x b) x + 2 x 2 1 = 1 x x + 1 Løsning: a) Nævneren må ikke være nul! Dvs. x 2 x 3 = x + 1 x + 2 x 3 0 x 3 x x 2 Grundmængden er alle reelle tal undtagen -2 og 3! G = {x R x 2 og x 3}eller G = R \ { 2,3} Ganges over kors: (x 2) (x + 1) = (x 3) (x + 2) (x 2)(x + 2) = (x + 1)(x 3) x 2 + 2x 2x 4 = x 2 3x + x 3 x 2 4 = x 2 2x 3 84

85 4 + 3 = 2x 1 = 2x x = 1 2 Kontrol vha. GeoGebra CAS og grafregner b) Solve[(x 2)/(x 3) = (x + 1)/(x + 2)] giver {x = 1 2 } Nævneren må ikke være nul! (x 2) (x + 1) solve( = (x 3) (x + 2),x) 2x x 2 1 = 1 x x + 1 x x 2 1 x ±1 x x 1 Grundmængden er alle reelle tal undtagen x ±1 Dvs. G = {x R x 1og x 1}eller G = R \ { 1,1} Løsningsmængden findes 2x (x 2 1) = 1 1 x (x + 1) 2x (x + 1) (x 2 = 1) (x + 1) 1 1 x (x + 1) 85

86 2x 1 (x + 1) x (x 2 = 1) (x + 1) 2x (x 2 1) = 1 (x + 1) x 2 1 = 2x(x + 1) x 2 1 = 2x 2 + 2x 2x 2 x x = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 d = b 2 4ac d = = 0 dvs. en rod. x = b + 0 2a = 2 2 = 1 Men da x ±1 vil løsningsmængden være tom mængde eller nul. L = /O Kontrol Solve[2 x/(x 2 1) = 1 x/(x + 1)] giver {} 2x solve( (x 2 1) = 1 x (x + 1),x) 86

87 Øvelse 10 Bestem grundmængde og løsningsmængde for følgende ligninger 3 a) x + 2 = x b) 3x 2x x + 2 = 2 Kontrol med GeoGebra CAS giver følgende facit a) Solve[3/(x + 2) = x] giver {x = 3,x = 1} b) Solve[3 x/(2 x + 4) 4/(x + 2) = 2] giver {x = 3,x = 0} Prøv nu selv om du kan bekræfte disse! 3.6 Ligninger med kvadratrodstegn Vi løser en ligning med kvadratrodstegn som f.eks. x 1 = 3 ved at kvadrare begge sider, får vi ( x 1) 2 = ( 3) 2 x 1 = 9 x = 10 Vi kan nu kontrollere vores løsning vha. GeoGebra CAS eller grafregner 87

88 Solve[ x 1 = 3] giver {} Altså ingen løsning, tom mængde! Hvordan kan det lade sig gøre?? Lad os indsætte x = 10 i den originale ligning for at kontrollere. x 1 = = 3 9 = 3 3 = 3 falsk! Den metode vi har brugt til at løse ligningen er altså ikke helt rigtigt! Vi skal lige huske reglen igen: 7. Kvadrering af en ligning kræver at begge sider af ligningen har samme fortegn a = b a 0 Hvorfor skal a 0? ( a) 2 = b 2 b 0 Vi skal altså huske at kræve at begge sider af lighedstegnet har samme fortegn inden vi kvadrer, dvs. x 1 = 3 ( x 1) 2 = ( 3) men som ses af ovenstående er betingelsen 3 0 ikke opfyldt altså ligningen har ikke en reel løsning,dvs løsningsmængden er 88

89 L = /O Eksempel: Løs ligningen x + 13 = x + 1 Først bestemmer vi grundmængden, ved at kræve at indmaden af kvadratroden ikke må være negativ, da der ikke kan være et negativt reelt tal inde i kvadratroden, dvs. x x 13 Grundmængden er altså; G = [ 13; [ Løsningsmængden findes ved at kræve at begge sider af lighedstegnet er positiv når vi kvadrer, dvs. x + 13 = x + 1 ( x + 13) 2 = (x + 1) 2 x x + 13 = (x + 1) 2 x 1 x + 13 = x 2 + 2x + 1 x 1 x 2 + x 12 = 0 x 1 89

90 d = b 2 4ac = ( 12) = 49 x = b ± d = 1 ± 49 3 = x 1 2a Da x 1er x = 4 ikke en løsning, derfor bliver løsningsmængden L = {3} Kontrolleres vha. GeoGebra CAS eller grafregner på følgende måde; Solve[ (x + 13) = x + 1] giver {x = 3} solve( (x + 13) = x + 1,x) Eksempel: Løs ligningen 6 3x + 2 = x Inden vi beregner grundmængden skal vi sørge for at kvadratroden står alene 6 3x + 2 = x 6 3x = x-2 Grundmængden findes ved at sikre sig at indmaden ikke bliver negativ, dvs. 6 3x 0 3x 6 90

91 Ganges begge sider med 1 og samtidig vendes ulighedstegnet 3x 6 Divideres begge sider med 3, fås x 2 Grundmængden er alle reelle tal til og med tallet 2, dvs G =] ;2] Løsningsmængden ( 6 3x) 2 = (x 2) 2 (x 2) 0 6 3x = x 2 4x + 4 x 2 x 2 x 2 = 0 x 2 d = b 2 4ac = ( 1) ( 2) = 9 x = b ± d = ( 1) ± 3 2 = x 2 2a Løsningsmængden bliver L = {2} Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[ (6 3 x) = x 2] giver {x = 2} 91

92 Øvelse 11 (Øl til dem der kunne løse denne ligning!) Løs ligningen x x = 6 Øvelse 12 Løs følgende ligninger: a) 2x 2x = 0 b) 5 ( 2x + 10) + 2x = 10 Løsning: a) 2x 2x = 0 Allerførst skal vi sikre os at kvadratrodstegnet står alene på den ene side af lighedstegnet. 2x + 2 = ( 2x + 10) eller ( 2x + 10) = (2x + 2) Så skal vi undersøge grundmængden ved at betragte indmaden af kvadratroden, som skal være større eller lig med nul. 2x

93 2x 10 Ganges ulighedstegnet med minus på begge sider, vendes fortegnet! x 5 Grundmængden bliver: G =] ;5] Løsningsmængden findes. Vi kvadrarer begge sider af lighedstegnet ved at kræve 2x samtidig. Dvs. 2x 0 x 1 (2x + 2) 2 = ( 2x + 10 ) 2 2x x 2 + 8x + 4 = 2x + 10 x 1 4x 2 + 8x + 2x = 0 4x x 6 = 0 2x 2 + 5x 3 = 0 d = b 2 4ac d = 25 4( 6) d = = 49 x 1 = b + d 2a = =

94 x 2 = b d = 12 2a 4 = 3 Vi ser bort fra x 2 = 3 da vi fandt ud af at x 1. Derfor bliver løsningsmængden: L = { 1 2 } Prøv grafregneren eller GeoGebra CAS på følgende måde for at kontrollere resultatet. Solve[2 x ( 2x + 10) + 2 = 0] solve(2x 2x = 0,x) b) Grundmængden beregnes 5 2x x = x + 10 = 10 2x Indmaden af kvadratroden undersøges først: 2x x 10 2x Husk reglen om at vende ulighedstegnet når man dividerer med et negativt tal! x 5 94

95 Grundmængden bliver: G = {x R x 5} =] ;5] Løsningsmængden beregnes 5 2x + 10 = 10 2x (5 2x + 10) 2 = (10 2x) 2 (10 2x) 0 25 ( 2x + 10) = x + 4x 2 x 5 50x = x + 4x 2 4x 2 40x x 250 = 0 4x x 150 = 0 2x 2 + 5x 75 = 0 d = b 2 4ac d = ( 75) = 625 Da d > 0 har vi to rødder eller løsninger! x 1 = b + d 2a x 2 = b d 2a = = 5 = 30 4 = 15 2 Løsningsmængden bliver som følger da x 5 L = { 15 2,5} Kontrol vha. grafregner og GeoGebra CAS solve(5 2x + 10 = 10 2x,x) Solve[5 ( 2 x + 10) + 2 x = 10] 95

96 Øvelse 12 Løs følgende ligninger a) 5 x + 10 = 0 b) 5 x 10 = 0 c) x + x = 20 d) x + 3 x + 2 = 0 e) x 5 x = Uligheder Nogle regneregler for uligheder som I skal kende: Ulighedstegnet skal vendes når man ganger/dividerer Et produkt er positivt, hvis og kun hvis de to faktorer har samme fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) Et produkt er negativt, hvis og kun hvis de to faktorer har modsat fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b ) (a 0 b 0) En brøk er positiv, hvis og kun hvis tæller og nævner har samme fortegn. Dvs. a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b En brøk er negativ, hvis og kun hvis tæller og nævner har modsat fortegn. Dvs. a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b x a x a x a x a a x a 96

97 Eksempel: Løs uligheden 5x + 10(x + 3) 20x + 40 Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Ligningen løses ved at anvende ovenstående regler. Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet. 5x + 10x x x 20x x 10 Ganges begge sider med 1 og vendes samtidig ulighedstegnet, fås; 5x 10 Divideres begge sider med tallet 5 x 2 Dvs. at løsningsmængden er: L = [ 2; [ Kontrol: Solve[5x + 10(x + 3) 20x + 40] giver {x 2} 97

98 Eksempel: Løs uligheden (x 3)(x + 4) 0 Grundmængden er alle reelle ta, dvs. G = R Her kan vi bruge en af ovenstående regler: Et produkt er positivt, hvis og kun hvis de to faktorer har samme fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) x 3 0 x x 3 0 x x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 Foreningsmængden bliver løsningsmængden L = [ ; 4] [3; [ Kontrol: Solve[(x 3) (x + 4) 0] giver {x 4,x 3} Eksempel: Løs uligheden 13x (7x + 2) 3(2x + 1) Da alle reelle tal kan indsættes, er grundmængden G = R Løsningsmængden findes ved at hæve paranteserne og anvender ovenstående regler. 98

99 13x 7x 2 6x + 3 Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet 13x 7x 6x x 13x Dette er jo et falsk udtryk og vi har ingen løsninger, dvs. L = /O Kontrol: Solve[13x (7x + 2) 3(2x + 1)] giver {} Eksempel: Løs uligheden 6(1 + x) 7x < 13 x Grundmængden er alle relle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at ophæve parenteser 6 + 6x 7x < 13 x Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet 99

100 6x 7x + x < < 7 Nul er jo altid mindre end tallet 7, altså sand. Løsningsmængden må være alle relle tal L = R Kontrol: Solve[6(1 + x) 7x < 13 x] giver {x = x} Øvelse 13 Løs uligheden 8,2x + 6,3 1,15x 0,75 Løsning: Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R 8,2x + 6,3 1,15x 0,75 Vi ganger alle led med tallet 10: 82x ,5x 7,5 Vi samler x erne på venstre side af ulighedtegnet og tallene på højre side: 82x 11,5x 7,

101 70,5x 70,5 Divideres begge sider af ulighedstegnet med 70,5 70,5x 70,5 70,5 70,5 x 1 Løsningamængden bliver; L =] ; 1] Kontrolmed grafregner og GeoGebra CAS: solve(8.2x x 0.75,x) Solve[8.2 x x 0.75] giver {x 1} Øvelse 14 Bestem grundmængde og løsningsmængde til uligheden Løsning: x > 3(x 8) 3 Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at ophæve parentesen først: x > 3x 24 3 Vi flytter nu alle led til den venstre side af ulighedstegnet 101

102 x 3x + 24 > 0 3 Vi finder fællesnævneren x x > 0 Nu kan vi bruge følgende regel: x 3 9x > 0 3 x 9x > x 9x x 3 En brøk er positiv, hvis og kun hvis tæller og nævner har samme fortegn. Dvs. > 0 > 0 a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b 72 8x > 0 3 > x > 0 3 < 0 72 > 8x 3 > 0 /O 9 > x 3 > 0 Fællesmængden bliver løsningsmængden L =] ;9[ Kontrolleres vha. GeoGebra CAS 102

103 Solve[ x > 3 (x 8)] giver {x < 9} 3 Man kan også kontrollere ved at skitsere ligningerne og løse vha. GeoGebra på følgende måde(skriv i inputfeltet ligningen x 3 og bagefter 3(x 8). Og igen i inputfeltet skal der skrives f (x) > g(x) for at følgende billede. 2 Øvelse 15 Bestem grundmængde og løsningsmængden for følgende uligheder a) (x 1)(2x + 4) < 0 b) 3x + 9 x Løsning: a) (x 1)(2x + 4) < 0 103

104 Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at bruge følgende regel: Et produkt er negativt, hvis og kun hvis de to faktorer har modsat fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b ) (a 0 b 0) x 1 > 0 2x + 4 < 0 x 1 < 0 2x + 4 > 0 x > 1 2x > 4 x < 1 2x > 4 /O x < 1 x > 2 Løsningsmængden er fællesmængden L =] 2;1[ Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[(x 1) (2 x + 4) < 0] giver { 2 < x < 1} Den grafiske løsning vha. GeoGebra 104

105 b) 3x + 9 x Løs først vha. GeoGebra CAS og skitser, bagefter sammenlign disse med dit resultat. Øvelse 16 Løs ulighederne 1 a) x 2 > 0 b) 1 x 2 < 1 Løsning: 105

106 a) Grundmængden findes ved at kræve at nævneren ikke må være nul. G = \R{2} For at finde løsningsmængden skal vi bruge en af reglerne ovenover, på følgende måde. (1 > 0 x 2 > 0) (1 < 0 x 2 < 0) (1 > 0 x > 2) (1 < 0 x < 2) x > 2 {/O} Løsningsmængden bliver L =]2; [ Du kan kontrollere resultatet vha. grafregner på følgende måde: 1 solve( x 2 > 0,x) Eller GeoGebra CAS 1 Solve[ > 0] giver {x > 2} (x 2) b) Grundmængden er alle reelle tal undtagen tallet 2. G = R \ {2} Inden vi finder løsningsmængden skal vi lige ordne udtrykket så det bliver nemmere at bruge mht. reglerne. 106

107 1 x 2 < 1 1 x 2 1 < 0 3 x x 2 < 0 (3 x > 0 x 2 < 0) (3 x < 0 x 2 > 0) (3 > x x < 2) (3 < x x < 2) (x < 2) (x > 3) Foreningsmængden giver løsningsmængden L =] ;2[ ]3; [ Prøv nu grafregneren på følgende måde. 1 solve( x 2 < 1,x) Eller GeoGebra CAS 1 Solve[ > 1] giver {x < 2, x > 3} (x 2) Man kan også skitsere løsningen og aflæse løsningsmængden direkte som L = ] ;2[ ]3; [ 107

108 Øvelse 17 Løs ulighederne a) 3x 2 2 x < 2 b)x 2 > 1 1 x 10 x c) x 2 < 6 Løsning: Vi løser ligningerne ved at finde både grundmængden og løsningsmængden. a) Grundmængden bliver G = R \ {2} 3x 2 2 x 3x 2 2 x < 2 2 < 0 (3x 2) 2(2 x) 2 x 3x x 2 x < 0 5x 6 2 x < < 0

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Matematik på 9. og 10. klassetrin

Matematik på 9. og 10. klassetrin Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen,

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere