Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Transkript

1 SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder skakspillet selv rige muligheder på den front. Tænker man således over de enkelte brikkers mulige antal træk, bemærker man, at et tårn har 896 træk (14 træk på hvert af de 64 felter), mens der findes 560 mulige løbertræk og 336 springertræk. Utroligt nok er antallet af mulige tårntræk altså lig med summen af de mulige løber- og springertræk. Om det er et tilfælde, er selvfølgelig svært at vide, eftersom skakspillets opfindelse/oprindelse fortaber sig i fortidens tåger, og reglerne, herunder løberens gangart, har ændret sig i tidens løb. Men regner man lidt på sagen, viser det sig, at der kun findes 3 kvadratiske spillebrætter med nxn felter, hvor denne sammenhæng mellem tårn-, løber- og springertræk gælder. For at undersøge dette forhold nærmere kan man opstille formler for antallet af mulige træk med de forskellige brikker på et kvadratisk bræt med nxn felter. Indledningsvis skal det lige præciseres, at når en brik bevæger sig fra et felt til et andet, tæller det i denne sammenhæng som 1 træk, hvad enten den slår en anden brik eller bevæger sig til et tomt felt. Tårnet Tårnet er det enkleste problem, da det som følge af sin horisontale og vertikale gangart har lige mange træk, uanset hvor på brættet det står. Formlen for antallet af tårntræk lyder: Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. Springeren Med springeren forholder det sig en smule mere indviklet, da dens bevægelsesfrihed jo bliver indskrænket, når den nærmer sig randen af brættet. I første omgang antages, at. For at illustrere kommer her som eksempel det virkelige 8x8-skakbræt med angivelse af antallet af mulige springertræk på de enkelte felter: Som det fremgår, er der 2 springertræk fra hvert af hjørnefelterne, 3 træk fra hvert af de randfelter, der grænser horisontalt og vertikalt op til hjørnefelterne, og 4 træk fra hvert af de felter, der grænser diagonalt op til hjørnefelterne. I de 4 områder på 2x2 felter i hjørnerne er der altså i alt mulige træk. Der er 4 mulige springertræk fra hvert af de randfelter, der er i 2 eller flere felters afstand fra hjørnerne. Disse felter er der af på hver rand, og i alt findes der altså træk fra disse felter. Der er 6 mulige springertræk fra hvert af de felter, der ligger på 2. række set nedefra og oppefra og på 2. linje set fra venstre og fra højre (b- hhv. g-linjen på det traditionelle skakbræt) og som ikke grænser op til hjørnefelterne hverken diagonalt eller horisontalt/vertikalt. Disse felter er der også af på hver af de 2 linjer og 2 rækker, og i alt bidrager disse felter med træk. På de midterste felter, der er adskilt fra randen med mindst 2 rækker og 2 linjer, har springeren sit maximale antal træk, 8. Disse felter findes der af, og i alt er der altså træk fra disse felter.

2 I alt lander vi altså på følgende formel for antallet af mulige springertræk : Som sagt blev det (af hensyn til argumentationen) antaget, at, men formlen passer også for og (i begge tilfælde får man i overensstemmelse med, at en springer jo ikke vil have nogen træk på et 1x1-bræt eller et 2x2-bræt) og for, hvor man får, hvilket passer med, at en springer på et 3x3-bræt vil have 2 træk fra hvert af de 8 randfelter og 0 træk fra det midterste felt. Løberen Vejen til formlen for løbertræk er lidt broget, og det er muligt, der findes en mere enkel metode end den, der følger her. For det første er det nødvendigt at dele problemet op i 2 tilfælde, hvor n er hhv. lige og ulige. Først antages det, at n er lige. Nu kan brættet deles op i et antal ringe, der nummereres udefra og indad, begyndende med 1, som det fremgår af illustrationen (igen vises for eksemplets skyld det rigtige 8x8-skakbræt): Pointen med dette er, at antallet af mulige løbertræk er det samme på alle felter i samme ring. Yderst, i 1. ring, er antallet af mulige løbertræk, og antallet vokser med 2 for hver ring, man bevæger sig indad. Antallet af løbertræk pr. felt i den p te ring kan altså udtrykkes således: Der er også brug for et udtryk for antallet af felter i den p te ring. I 1. ring er der felter (dvs. de n felter på hver rand minus de 4 hjørnefelter, der er talt med 2 gange), og antallet falder med 8 for hver ring, man bevæger sig indad. Antallet af felter i den p te ring kan altså udtrykkes: Antallet af løbertræk i den p te ring er altså: Leddene med udligner heldigvis hinanden. Endelig skal der selvfølgelig bruges et udtryk for antallet af ringe simpelt, nemlig: på et nxn-bræt. Når n er lige, er det heldigvis For at finde antallet af løbertræk på hele brættet resterer der nu blot at summere værdierne i hver ring gange:

3 Til udregning af de to første summer findes der praktisk nok nogle summationsformler, nemlig: og Således når man frem til: ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) Når n er ulige, er man nødt til at ændre en smule på fremgangsmåden. Som illustration vises et 7x7-bræt. Igen inddeles brættet i et antal ringe, der nummereres som før udefra og indad begyndende med 1. Denne gang bliver der imidlertid et felt til overs i midten (markeret med på illustrationen) Heldigvis er udtrykket for antallet af mulige løbertræk fra dette felt enkelt: en løber vil her have træk langs den ene lange diagonal og træk langs den anden lange diagonal, i alt altså træk. Antallet af mulige løbertræk i den p te ring er det samme som i tilfældet, hvor n er lige, nemlig: Antallet af ringe er denne gang For at finde antallet af løbertræk på hele brættet summeres som før værdierne i hver ring at lægge antallet af træk fra midterfeltet til. Dvs.: gange, mens man husker Igen kan man bruge summationsformlerne:

4 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) Formlen for antallet af mulige løbertræk på et nxn-bræt er altså den samme, hvad enten n er lige eller ulige. Morskaben når nu et foreløbigt klimaks, når man undersøger, for hvilke værdier af n det gælder, at, dvs.: Vi ved altså allerede, at denne 3.gradsligning har løsningen, og ved et par forsøg viser det sig, at også og er løsninger. Da et 3.gradspolynomium højst kan have 3 rødder, gælder det altså kun for disse 3 værdier af n, at antallet af tårntræk er lig med summen af antallet af løber- og springertræk. For gælder den spændende sammenhæng, og, dvs., og for gælder der, og, dvs.. Skak på et bræt med 1 felt ville nok ikke være specielt ophidsende for andre end de allermest subtile filosoffer, og et 3x3-bræt ville nok heller ikke rumme det helt store drama. Et 8x8-bræt er altså det eneste kvadratiske bræt, der giver mulighed for et reelt spil og samtidig rummer denne sammenhæng mellem tårn-, løber- og springertræk. Der kan selvfølgelig også opstilles formler for de øvrige brikker. Dronningen Dronningen kombinerer jo tårnets og løberens evner, så formlen for antallet af mulige dronningetræk simpelthen: er Kongen For kongen skal det først bemærkes, at der ses bort fra rokader. I første omgang antages det, at illustrationen (her et 8x8-bræt) er angivet antallet af mulige kongetræk på hvert felt.. På

5 På alle ikke-randfelter har kongen sin fulde bevægelsesfrihed, altså 8 træk. Der er i alt disse felter bidrager altså med 8 træk. På randfelter, der ikke er hjørnefelter, har kongen 5 mulige træk. Af disse felter er der der altså i alt træk. ikke-randfelter, og, og på disse felter er Endelig er der fra hvert af de 4 hjørnefelter 3 mulige kongetræk, og disse felter bidrager altså med i alt 12 træk. Formlen for antallet af kongetræk er altså: Formlen passer også for, hvor man får. Bonden Endelig kommer vi til spillets sjæl, bonden. Her er det nødvendigt at indføre en betingelse, nemlig. Ellers er der jo ikke plads til, at bonden kan flytte 2 felter i første træk (det forudsættes selvfølgelig, at en bonde ikke kan stå på sin egen parts bageste række, ligesom i almindelig skak). Desuden skal det præciseres, at en passant-slag ikke tæller som selvstændige træk, og at hvert træk til baglinjen kun tælles med 1 gang, uanset hvad der forvandles til, og at der kun regnes med bønder fra den ene side (Hvid eller Sort). x x x x x x x x x x x x x x x x På felter markeret med x på illustrationen kan der ikke stå bønder. På hvert ikke-afkrydset ikke-randfelt kan en bonde gå 1 felt frem og slå til 2 sider, dvs. den har i alt 3 træk. Der er af disse felter, der altså i alt bidrager med træk. På hvert ikke-afkrydset randfelt kan bonden gå 1 felt frem og slå til 1 side, dvs. den har i alt 2 træk. Der er af disse felter, og der er altså i alt træk fra disse felter. Desuden har hver af de n bønder på 2. række jo den ekstra mulighed at gå 2 felter frem. I alt gælder der altså følgende formel for antallet af bondetræk : Her er en oversigt over formlerne for antallet af mulige træk for de forskellige brikker på et nxn-bræt:

6 Og en oversigt over antallet af mulige træk for de forskellige brikker på det almindelige 8x8-skakbræt: Nu bemærker man måske en anden uventet sammenhæng, nemlig, dvs. Det spændende ved disse sidste formler er, at de kun gælder pga. bondens mulighed for at gå 2 felter frem i første træk. Det er, så vidt jeg ved, ikke helt klart, hvordan og hvorfor denne specielle regel blev indført en gang i det 15. århundrede, men det er da en sød tanke, at en eller anden har siddet og regnet på formlen og ønsket at skabe endnu en fantastisk sammenhæng ved at give bonden 8 ekstra træk. I øvrigt gælder sammenhængen kun på et 8x8-bræt. Det tilsvarende 3.gradspolynomium har udover rødderne og. En værdi af n, der ikke er et helt tal, giver ingen mening i forbindelse med brætspil og for gælder bondeformlen jo ikke. Den hollandske forfatter og skakspiller Tim Krabbe har skrevet om disse talsammenhænge på sin hjemmeside: Han henviser til bogen Schach und Zahl (Bonsdorff, Fabel & Riihimaa, 1971), som jeg (endnu) ikke har læst, men som (i hvert fald at dømme efter titlen) rummer et væld af sjov med tal og skak.