Analyse 1, Prøve maj 2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Analyse 1, Prøve maj 2009"

Transkript

1 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede afsit. Hevises der til e Note, er dee til Tilføjelser og Rettelser til TL, og for Opgaver er det til de tilsvarede opgaver på ugesedlere. Vi tager lige tre lemmaer. Lemma. Ehver kostat følge (a ), hvor a a, a R for alle N, har græseværdi a for. Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi skal jf. TL 4.3. de et N N, så a a < ε for alle N. Me da ser vi, at uaset valg af N, er a a a a 0 < ε for et givet N. Da vil gælde, at a a < ε for alle N. Altså er lim a a jf. TL Lemma. Ehver kostat fuktio f : R R, hvor f(x) a, a R, er kotiuert. Bevis. Lad ε > 0 være givet. For givet b R skal vi de et δ > 0, så at år x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, er f(x) f(b) < ε. Me sætter vi δ ε, har vi da, at f(x) f(b) a a 0 < δ ε. Når x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, har vi så, at f(x) f(b) < ε, hvorpå f er kotiuert i b jf. TL 5... Lemma 3. Gælder der for e fuktio f, at lim x f(x) a, hvor a R, gælder for følge (a ) givet ved a f() for N, at lim a a. Bevis. Atag, at lim x f(x) a. Det vil altså sige, pr. TL 5.4.0, at der for ethvert ε > 0 des et tal N R, så f(x) a < ε for alle x N. Me vælg da N N, så N N, jf. Arkimedes' pricip, TL..6(i). Ved at omdøbe x til, får vi altså, at der for ethvert ε > 0 des et tal N N, så f() a a a < ε for alle N N. Da ser vi jf. TL 4.3., at lim a a. Opgave Der skal for hver af følgede 5 rækker bestemmes, om de er absolut koverget, betiget koverget eller diverget. Bemærkig. I opgavere beyttes forskellige kriterier, som kvotietkriteriet og rodkriteriet. Disse kriterier er i Kalkulus givet, hvis rækker, som vi udersøger, starter ved summatiosidex 0. Desværre ka det hæde, at ma kommer ud for at lave ogle ulovlige hadliger, etop hvis det er muligt at vi udersøger for et givet N 0, som så godt ka være lig 0 her tækes specielt med hesy til divisio med 0, hvilket (stadig) er ildeset og -gjort.

2 Kalkulus selv gør ikke meget ud at klargøre for læsere, at det er ligegyldigt for kovergese eller divergese, hvor vi starter række: se eksemplere efter forholdskriteriet, TL.., hvor ma ellers kue komme ud for divisio med 0. Vi siger det altså edegyldigt, med hjælp fra TL..9: e rækkes koverges eller diverges er uafhægig af, hvor ma starter række. Lader vi derfor et N eller N\{} være givet, i stedet for et N 0, vil det med kvotietkriteriet eller rodkriteriet gøre ige forskel for kovergese eller divergese, idet vi jo udersøger, hvad der sker i de kriteriere give udtryk, år vi lader blive meget stor. Græseværdie har ikke oget med bestemte 'er at gøre herved. Vi afører, år vi beytter dee bemærkig i det følgede. (a) ( ) ( + )5 Hertil vil vi beytte kvotietkriteriet for geerelle rækker, TL.4.5. Lad derfor a ( ) ( + )5 ; kvotietkriteriet vil da fortælle, om række 0 a er absolut koverget eller diverget. Vi reger derfor på følgede kvotiet for et givet N (se Bemærkig); hertil må vi dog sikre os, at a 0 for alle N (så vi ikke deler med 0), me da + > 0 og 5 > 0 for alle N, er ( + )5 > 0 for alle N, hvorpå gælder, at a ( ) ( + )5 ( + )5 > 0 og a 0. Vi får altså for et givet N, at a + a ( ) + (( + ) + )5 (+) ( ) ( + )5 ( )( + + ) ( + ) , idet og for alle N, hvorpå vi ka fjere plakeværket, og vi da deler med i tæller og æver til sidst. Da lim 0 jf. e bemærkig i TL 4.3.4, gælder jf. TL 4.3.3(iii) og Lemma, at 0 0 lim, at lim, og at lim, såvel som at lim. Da lim og lim 5 5 jf. Lemma, gælder pr. TL 4.3.3(i), at lim ( + + ) og 5 lim (5 + 5 ), hvorpå vi får jf. TL 4.3.3(iv), at 5 lim lim a + a Da 5 <, får vi jf. TL.4.5, at række 0 a er absolut koverget, altså at 0 a er koverget, jf. TL.4.. Me da får vi ved TL..9, at a er koverget, så a er absolut koverget jf. TL.4.. Altså er ( ) ( + )5 absolut koverget..

3 3 (b) ( )! Vi vil ige beytte kvotietkriteriet for geerelle rækker, TL.4.5. Lad derfor b ( )! ; kvotietkriteriet vil da fortælle om række 0 b er absolut koverget eller diverget. Vi vil altså udersøge følgede kvotiet for et givet N 0 ; vi sikrer os, at b 0 for alle N 0 (så vi ikke deler med 0) ved at se, at! > 0 og > 0 for alle N 0, er! > 0 for alle N 0, hvorpå gælder, at b ( )!! > 0 og b 0. For et givet N 0 har vi da, at b + b ( ) + ( + )! (+) ( )! ( )( + ) + +, idet + > 0 for 0. Vi vil vise, at følge ( ) + N divergerer. Lad derfor c R være givet. Vi skal de et N N, så + c for alle N. Me lad da N være det midste tal i N, der er større ed c. Når N, gælder da, at + N +, hvorpå vi har, at + N + c + c c, så der des altså N, så + c for alle N ved et givet c R. Ved TL får vi da, at oveståede følge divergerer mod uedelig. Altså har vi jf. TL 4.3.6, at lim b + b >, hvorpå vi med det samme kokluderer jf. TL.4.5, at række 0 b er diverget. Vi får da ved TL..9, at b er diverget, så vi kokluderer altså, at ( )! er diverget. (c) ( ) +l() Lad c ( ) / + l() for alle N. Lad N være givet. Da > 0 og l() 0, er + l() > 0. Da gælder, at + l() > 0, og dermed, at / + l() > 0 for alle N. Da er c ( ) / + l() / + l(). Altererede. Lad N være givet. Da c ( ) c og c + ( ) + c +, ser vi, at c og c + har forskellige forteg, da c og c + begge er positive størrelser og ( ) ( ) + (disse to størrelser bestemmer fortegee). Dermed er c e altererede række.

4 4 Aftagede. Lad N være givet. Da > 0, er + >, og da l er e stregt voksede fuktio, er l( + ) > l(). Me da er ( + ) + l( + ) > + l( + ) > + l() > 0, hvorpå ( + ) + l( + ) > + l() > 0, da kvadratrodsfuktioe er voksede. Ved at gage over kors får vi edelig, da vi ikke deler med 0, at c > c + > 0. + l() ( + ) + l( + ) Da har vi, at c + < c for alle N. Dermed er følge ( c ) stregt aftagede, og dermed aftagede, jf. TL s. 93. Absolutte led går imod 0. Lad N være givet. Da l() 0, gælder, at + l() > 0, da kvadratrodsfuktioe er voksede, hvorpå + l() > 0. Da har vi, at 0 < / + l() / for alle N. Vi vil vise, at lim / 0. Lad derfor ε > 0 være givet. Vi skal de et N N, så / 0 < ε for alle N. Me lad da N være det midste tal i N, så N > / ε > 0 (hvilket ka lade sig gøre ved Arkimedes' pricip, TL..6(i)). For N > 0, gælder da, at N > 0, hvorpå / / N; da har vi, at 0 < ε, N hvorpå vi kokluderer, at lim / 0, idet vi for ethvert ε > 0 ka vælge N N, så / 0 < ε for alle N. Da vi har jf. Lemma, at lim 0 0, ka vi u beytte Klemmelemmaet, TLO 4.3., på / + l(). Da lim / lim 0 0 og 0 < / + l() / for alle N, gælder jf. TLO 4.3., at lim / + l() 0. Altså er lim c 0. Koverget. Da gælder jf. TL.3., da c er altererede og følge ( c ) N er aftagede og går imod 0, at c er koverget. Absolut koverget? Vi vil u udersøge, om c er absolut koverget. Vi kigger derfor på række c, og vil beytte græsesammeligigskriteriet TL..8. Lad u række c være givet ved c / / / for alle N. Dees led er klart positive for alle N, og række c er da positiv. Lad N være givet (se evt. Bemærkig, velvidede, at der ikke er ogle problemer her). Da er c c +l() + l() + l() Vi vil u de dette udtryks græseværdi for. + l(). + l()

5 5 Vi har jf. TL 6.3.5(a), at lim x l(x)/x 0 ved a b. Jf. Lemma 3, får vi, at der gælder for følge (l()/) N, at lim l()/ 0. Vi har jf. Lemma og TL s. 4, at fuktioere x og x x er kotiuerte i puktet 0. Da har vi jf. TL 5..5, at fuktioe x + x er kotiuert i puktet 0, og jf. samme, at fuktioe f givet ved f(x) +x er kotiuert i puktet 0, da Da fuktioe g givet ved g(x) x er kotiuert i puktet f(0), gælder da jf. TL 5..7, at fuktioe h givet ved h(x) g(f(x)) /( + x) er kotiuert i puktet 0. Idet vi lader følge (x ) N være givet ved x l()/, ved vi fra før, at lim x 0. Da h er kotiuert i puktet 0, gælder jf. TL 5..0(a), at lim h(x ) h(0). Me da h(x ) /( + l()/) og h(0), har vi u, at lim h(x ) lim + l() lim c c. Vi har u jf. TL..4, at c // divergerer, idet <. Me da får vi jf...8(ii), da c og c er positive rækker, og c divergerer, at c c også divergerer, da lim c > 0. Altså er c ikke absolut koverget jf. TL.4.. Me da vi fadt, at c var koverget, må der gælde, at c er betiget koverget jf. TL.4.3. Altså er række ( ) betiget koverget. +l() (d) ( cos(π ) + 6 ) På dee række vil vi beytte de dejlige rotteste for geerelle rækker, TL.4.6. Lad derfor d ( cos(π ) + 6 ) ; de dejlige rotteste vil fortælle, om d er absolut koverget eller diverget (se Bemærkig; vi bliver simpelthe ødt til at ædre edre summatiosgræse til, idet leddet for 0 ikke eksisterer). Lad N være givet. Da gælder for alle a R, at a a } {{ a } a a a. }{{} Altså er a a for alle N og a R. Lad u N være givet. Da har vi, at ( ) d cos(π ) + 6 cos(π ) + 6 cos(π ) + 6 Vi vil u vise, at cos(π ) for alle N. For er cos(π ) + 6 ( )

6 6 For er, og specielt π π, da π > 0. Da π > 0 for alle N \ {}, gælder altså, at π [0, π ]. Da cos(x) 0 for x [0, π ], gælder da, at cos( π ) 0 for π [0, π ], dvs. for. Da får vi for, at cos(π ) for alle N \ {}. Altså har vi sammelagt, at cos(π ) for alle N, og dermed for alle N, at d cos(π ) + 6 cos(π ) + 6. Da vi har jf. e bemærkig i TL 4.3.4, at lim 0, og jf. Lemma π, at lim π π, har vi jf. TL 4.3.3(iii), at 0 π 0 lim. Da fuktioe cos er kotiuert på hele R og specielt i 0, og følge ( π ) kovergerer imod 0, har vi, jf. TL 5..0(a), at lim cos(π ) cos(0). Lemma giver, at lim 6 6 og lim, så med TL 4.3.3(iii), får vi, at lim cos(π ) og at lim 6. Vi får altså, at ( ) + 0 lim cos(π ) + 6 lim d. De dejlige rotteste, TL.4.6, giver u, idet <, at række d er absolut koverget (se Bemærkig). Altså er række ( cos(π ) + 6 ) absolut koverget. (e) ( ) ( ) + +5 Vi har, at ( ) ( ) ( ) + ( )+. Vi ved, at de altererede, harmoiske række ( ) + kovergerer, jf. TL.3.. Vi har u jf. TL..7(iii), da ( )+ ( ) + er koverget og vi sætter c, at er koverget, og dermed at ( ) er koverget. Lad N være givet. Da > 0, er + 5 > 0, hvorpå vi ser, at +5 > 0. Række +5 er altså positiv. Ligeledes idses, at række er positiv. Da 0 5, gælder desude, at + 5, hvormed +5 for alle N. Vi har, at kovergerer jf. TL..4. Ved sammeligigskriteriet, TL..6(i), har vi u, da rækkere +5 og er positive og da (c ), at også kovergerer Da rækkere ( ) og +5 kovergerer, får vi u jf. TL..7(i), at række ( ) ( ) + +5 også er koverget! Det gestår u bare at de ud af, om ( ) ( ) + +5 er absolut koverget, altså om ( ) er koverget, jf. TL.4.. Lad et + +5

7 7 N være givet. Da har vi, ( ) TL..3 ( ) ( + 5) ( ) , da vi fadt, at +5 0 for alle N. Idet + 5, har vi da, at +5, dvs. at Da har vi edeligt, at ( ) Da vi har jf. TL..4, at divergerer, og at +5 kovergerer fra før, har vi jf. TL..8, at ( ) +5 divergerer. Me da vi med oveståede ulighed har, at rækkere ( ) +5 og ( ) + +5 er positive, samt at ( ) +5 divergerer, ka vi beytte TL..6(ii) (d ): da vil også ( ) + +5 divergere. ( ) ( ) Da er + +5 ikke absolut koverget jf. TL.4., me da vi fadt, at række var koverget, må gælde jf. TL.4.3, at ( ) ( ) + +5 er betiget koverget. Opgave Det skal vises, at række ( + ) + har positive led og er koverget. Lad N være givet. Da er > 0 og > 0, og specielt 4 > 0. Vi får u ved at lægge de positive størrelse + til på begge sider af ulighedsteget, at > + > 0. Da vi ser, at ( + ) + + 4, får vi altså, at ( + ) > + > 0, og da kvadratrodsfuktioe er voksede, at ( + ) + > +. Da vi u har, at + > > 0, er + +, hvormed vi altså får, at + > +. Me da har vi aturligvis for alle N, at + + > 0,

8 8 så række har altså positive led, og er dermed positiv. Vi vil vise, at række er koverget. Lad u et N være givet. Da er + > 0, hvorpå + > 0. Da vi fadt før, at rækkes led var positive, ser vi u ligeledes, at ( + ) > 0. Altså er de kojugerede til + + også positiv. Vi ka u rege på det følgede udtryk, idet vi ikke eder med at dele med 0: + + ( + + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) , idet >, da > 0 og + > 0, hvorpå ( ) <. Altså gælder, at for alle N. Vi fadt før, at de i opgave give række var positiv, og da > 0 for alle N, er række positiv. Idet vi ligeledes ved, at er koverget jf. TL..4, da >, ka vi kombiere dette med oveståede ulighed, hvorpå vi jf. TL..6(i) med c 4 får, at række ( + ) + er koverget. Opgave 3 (a) Vi vil først vise et lille lemma: Lemma 4. For reelle tal a, b gælder, at ab (a + b ). Bevis. Lad a, b R være givet. Da gælder, at ( a b ) 0, idet kvadrater er ikke-egative i R. Vi har derfor, at ( a b ) a + b ab 0. Isolerer vi ab i dee ulighed, får vi da, at ab ( a + b ) (a + b ).

9 9 Lad (a ) være e følge af reelle tal. Der skal vises, at hvis række er koverget, er række absolut koverget. a Bevis. Atag, at række a er koverget. Da (a ) er e følge af reelle tal, gælder, at a R for alle N. Lad u N være givet. Da gælder specielt, at R, og at R. Edvidere gælder, at a R. Nu ka vi beytte Lemma 4 på tallee a og, hvorpå vi får, at a a ((a ) + ( ) ) ( a + ). Da gælder oveståede for alle N. Pr. atagelse er række a koverget, og vi ved jf. TL..4, at række er koverget, da >. Da rækkere a og begge er kovergete, får vi jf. TL..7(i), at række ( a + ) er koverget. Da 0 a ( a + ) jf. oveståede ulighed for alle N, ser vi derpå, at 0 ( a + ) a + for alle N, og slutter, at rækkere a og ( a + ) begge er positive. Da vi fadt, at række ( a + ) var koverget, har vi ved TL..6(i) med c, da a ( a + ) for alle N, at a kovergerer. Da får vi jf. TL.4., at række a er absolut koverget. a (b) Først et lemma: Lemma 5. Lad a være e positiv, koverget række. Da er absolut koverget. a Bevis. Atag, at a er positiv og koverget. Vi skal vise, at a er koverget. Me da a er positiv, er a 0 for alle N; da a a for alle N, gælder specielt, at a a for alle N. Jf. TL..6(i) får vi med c ved dee ulighed, at a er koverget. Jf. TL.4. er a absolut koverget. Der skal gives et eksempel på e følge (a ) N, så række a er absolut koverget, me så a er diverget.

10 0 Lad række a være givet ved a 3/ for alle N. Da række 3/ er koverget jf. TL..4, da 3 >, og 3/ 0 for alle N (hvorpå række er positiv), gælder jf. Lemma 5, at række er absolut koverget. Række a har da led givet ved a ( 3/ ) 3 for alle N. Me da er diverget jf. TL..4, er række a diverget. Opgave 4 Først to lemmaer! Lemma 6. Nulrække k0 a, hvor a k 0 for alle k N 0 er koverget med sum 0. Bevis. Lad k0 a være ulrække. Afsitssumme er da s k0 a k 0 for alle N 0. Idet 0 lim 0 lim s jf. Lemma, kovergerer følge af afsitssummer (s ) N0 mod 0 jf. TL 4.3., hvorpå vi slutter jf. TL s. 64 midte, at k0 a kovergerer imod 0. Lemma 7. Lad 0 a være e positiv, koverget række med sum S. Da er 0 a absolut koverget med sum S. Bevis. Atag, at 0 a er positiv og koverget med sum S. Vi skal vise, at 0 a er koverget med sum S. Me da 0 a er positiv, er a 0 for alle N 0 ; da a a for alle N 0, gælder, at a a 0 for alle N 0. Da er ulrække 0 ( a a ) koverget med sum 0, jf. Lemma 6. Vi ka u beytte TL..7(i) på rækkere 0 a og 0 ( a a ), idet disse er kovergete (de første pr. atagelse): da gælder, at 0 (a + ( a a )) er e koverget række med sum S 0 S. Me da a + ( a a ) a for alle N 0, er 0 a koverget med sum S. Lad a + x 3 e x dx. Der skal vises, at række 0 a er absolut koverget med sum 6. Strategi. Hvis vi da ka vise, at række er positiv og koverget med sum 6, har vi jf. Lemma 7, at række er absolut koverget med sum 6. Positiv. Vi skal vise, at a + x 3 e x dx 0 for alle N 0. Da x 3 0 og e x 0 for alle x R, er produktet x 3 e x 0 for alle x R. Lad N 0 være givet. Da x 0, x e x, x x og x x 3 er kotiuerte fuktioer på R jf. TL s. 4, gælder jf. TL 5..5, at fuktioe x x på R, og jf. TL 5..7, at fuktioe x e x er kotiuert på R. Me da er fuktioe x x 3 e x kotiuert på hele R og specielt på [0, + ], og især på [, + ]. Me da er fuktioe f : [, + ] R givet ved f(x) x 3 e x itegrabel på [, + ] jf. TL Lad u Π {x 0,..., x m } være e (lige-)iddelig i m

11 dele af [, + ], jf. TL s Da vil gælde jf. TL s for udersumme til N(Π), at m m N(Π) m i (x i x i ) if{f(x) x [x i x i ]}(x i x i ) i i m 0(x i x i ) 0, i da vi fadt, at x 3 e x 0 for alle x R, hvorpå imum af dee fuktio over et givet iterval også vil være større ed eller lig 0. Da fuktioe er itegrabel, gælder jf. beviset for TL 8..4, at a + x 3 e x dx N(Π) 0. Da dette gælder for et givet N 0 og e hvilke som helst (lige-)iddelig Π af [, + ], har vi, at a 0 for alle N 0. Da er række positiv. Koverget med sum 6. følge (s ) N0 af afsitssummer for følge (a ) N0 kovergerer mod et tal S, vil Vi vil u udersøge række 0 a. Hvis s 0 a kovergere mod et tal S. Vi har altså for et givet N 0, at k0 a k er de 'te afsitssum. Lad N 0 være givet. Da ka vi aturligt opskrive s således: s a 0 + a a 0 x 3 e x dx + x 3 e x dx x 3 e x dx. Vi fadt i det foregåede, at fuktioe f : [0, ) R givet ved f(x) x 3 e x var kotiuert på hele [0, ); da er f specielt kotiuert på itervallet [0, +]. Da giver Note 3, at f er itegrabel på ethvert afsluttet og begræset deliterval af [0, + ] og specielt på hele [0, + ], og af Idskudsregle (versio ) i Note følger, da f er itegrabel på [0, + ] og da,,..., [0, + ], at s 0 x 3 e x dx + x 3 e x dx x 3 e x dx + 0 x 3 e x dx. Vi deerer u e stamfuktio på et halvåbet, ubegræset iterval, således, at e fuktio F : [a, ) R er stamfuktio til f : [a, ) R, hvis F (x) f(x) for alle x [0, ), og hvis F er kotiuert på [a, ) (thi deitioe s. 377 øverst ikke helt syes at række). Lad F : [0, ) R være givet ved F (x) e x (x 3 + 3x + 6x + 6). Vi vil u de F (x) ved at beytte TL 6..3, TL 6..4 (her beyttes (i), (ii) og (iv)), samt TL For et givet x [0, ) har vi da, idet ( e x ) ( e x ) e x jf. TL 6..5, at F ( (x) e x (x 3 + 3x + 6x + 6) ) TL 6..4(iv) e x (x 3 + 3x + 6x + 6) + ( e x ) (x 3 + 3x + 6x + 6) TL 6..5 e x (3x + 6x + 6) + e x (x 3 + 3x + 6x + 6) x 3 e x e x (3x + 6x + 6) + e x (3x + 6x + 6) x 3 e x,

12 hvor vi udervejs beyttede vores vide fra TL Da er F (x) f(x) for alle x [0, ). Idet fuktioere x x a, for a R, og x c, hvor c R, er kotiuerte på R jf. TL s. 4 og Lemma, gælder at alle polyomier er kotiuerte på R jf. TL Fuktioe x x 3 + 3x + 6x + 6 er derfor kotiuert på R, og da fuktioere x 0 og x e x er kotiuerte jf. oveståede og Lemma, gælder jf. TL 5..5, at fuktioe x e x (x 3 + 3x + 6x + 6) er kotiuert på R og specielt på [0, ). Heraf ses, at F er kotiuert på [0, ). Da er F e stamfuktio til f. Idet f var kotiuert på [0, + ] jf. oveståede, har vi jf. TL 8.3.4, at s + 0 x 3 e x dx [ e x (x 3 + 3x + 6x + 6) ] + 0 [ ] e (+) (( + ) 3 + 3( + ) + 6( + ) + 6) [ e 0 ( ) ] e (+) ( ) + 6 ( e 3 6 e + 6e ) e + 5e e + 6e e. Vi vil u vise, at dette går imod 6 for. x Vi har jf. TL 6.3.5(b), at lim 3 x x e 0, lim x x x e 0, lim x x e 0, x idet vi sætter b,, 3 og a. Vi får da jf. Lemma 3 for de tilsvarede følger, at lim 3 e 0, lim e 0 og lim e 0. Idet e for alle N 0, gælder, at e, og vi ser, at e 0 for alle N 0. Beytter vi klemmelemmaet TLO 4.3. på ulighede 0 e, samt vores vide jf. Lemma og e bemærkig i TL 4.3.4, at lim 0 lim 0, får vi, at lim e 0. Jf. Lemma, får vi, at lim e e, lim 6e 6e, lim 5e 5e og lim 6e 6e. Vi får da, jf. oveståede kovergeser og TL 4.3.3(iii), at 0 lim e 3 6e 0 lim 5e e, 0 lim 6e e og 0 lim e. Summe af disse re følger vil da også gå imod 0, jf. TL 4.3.3(i). e, Da vi får jf. Lemma, at lim 6 6, har vi jf. TL 4.3.3(ii), at lim (6 ( e 3 e + 6e e + 5e e + 6e e ). Me da har vi jf. oveståede lighed, at 6 lim + 0 x 3 e x dx lim s. Me da kovergerer (s ) N0 mod tallet 6 jf. TL 4.3., og jf. TL s. 64 gælder da, at 0 a kovergerer imod 6, at de er koverget med sum 6. Absolut koverget med sum 6. absolut koverget med sum 6. Da gælder jf. Lemma 7, at 0 a er

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Deskriptiv teori: momenter

Deskriptiv teori: momenter Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n! Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4. MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE 1984-85 Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum. 1. 1. Metrik 1.2. Normeret rum 1. 3. Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r.

Læs mere