Analyse 1, Prøve maj 2009
|
|
- Andrea Johannsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede afsit. Hevises der til e Note, er dee til Tilføjelser og Rettelser til TL, og for Opgaver er det til de tilsvarede opgaver på ugesedlere. Vi tager lige tre lemmaer. Lemma. Ehver kostat følge (a ), hvor a a, a R for alle N, har græseværdi a for. Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi skal jf. TL 4.3. de et N N, så a a < ε for alle N. Me da ser vi, at uaset valg af N, er a a a a 0 < ε for et givet N. Da vil gælde, at a a < ε for alle N. Altså er lim a a jf. TL Lemma. Ehver kostat fuktio f : R R, hvor f(x) a, a R, er kotiuert. Bevis. Lad ε > 0 være givet. For givet b R skal vi de et δ > 0, så at år x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, er f(x) f(b) < ε. Me sætter vi δ ε, har vi da, at f(x) f(b) a a 0 < δ ε. Når x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, har vi så, at f(x) f(b) < ε, hvorpå f er kotiuert i b jf. TL 5... Lemma 3. Gælder der for e fuktio f, at lim x f(x) a, hvor a R, gælder for følge (a ) givet ved a f() for N, at lim a a. Bevis. Atag, at lim x f(x) a. Det vil altså sige, pr. TL 5.4.0, at der for ethvert ε > 0 des et tal N R, så f(x) a < ε for alle x N. Me vælg da N N, så N N, jf. Arkimedes' pricip, TL..6(i). Ved at omdøbe x til, får vi altså, at der for ethvert ε > 0 des et tal N N, så f() a a a < ε for alle N N. Da ser vi jf. TL 4.3., at lim a a. Opgave Der skal for hver af følgede 5 rækker bestemmes, om de er absolut koverget, betiget koverget eller diverget. Bemærkig. I opgavere beyttes forskellige kriterier, som kvotietkriteriet og rodkriteriet. Disse kriterier er i Kalkulus givet, hvis rækker, som vi udersøger, starter ved summatiosidex 0. Desværre ka det hæde, at ma kommer ud for at lave ogle ulovlige hadliger, etop hvis det er muligt at vi udersøger for et givet N 0, som så godt ka være lig 0 her tækes specielt med hesy til divisio med 0, hvilket (stadig) er ildeset og -gjort.
2 Kalkulus selv gør ikke meget ud at klargøre for læsere, at det er ligegyldigt for kovergese eller divergese, hvor vi starter række: se eksemplere efter forholdskriteriet, TL.., hvor ma ellers kue komme ud for divisio med 0. Vi siger det altså edegyldigt, med hjælp fra TL..9: e rækkes koverges eller diverges er uafhægig af, hvor ma starter række. Lader vi derfor et N eller N\{} være givet, i stedet for et N 0, vil det med kvotietkriteriet eller rodkriteriet gøre ige forskel for kovergese eller divergese, idet vi jo udersøger, hvad der sker i de kriteriere give udtryk, år vi lader blive meget stor. Græseværdie har ikke oget med bestemte 'er at gøre herved. Vi afører, år vi beytter dee bemærkig i det følgede. (a) ( ) ( + )5 Hertil vil vi beytte kvotietkriteriet for geerelle rækker, TL.4.5. Lad derfor a ( ) ( + )5 ; kvotietkriteriet vil da fortælle, om række 0 a er absolut koverget eller diverget. Vi reger derfor på følgede kvotiet for et givet N (se Bemærkig); hertil må vi dog sikre os, at a 0 for alle N (så vi ikke deler med 0), me da + > 0 og 5 > 0 for alle N, er ( + )5 > 0 for alle N, hvorpå gælder, at a ( ) ( + )5 ( + )5 > 0 og a 0. Vi får altså for et givet N, at a + a ( ) + (( + ) + )5 (+) ( ) ( + )5 ( )( + + ) ( + ) , idet og for alle N, hvorpå vi ka fjere plakeværket, og vi da deler med i tæller og æver til sidst. Da lim 0 jf. e bemærkig i TL 4.3.4, gælder jf. TL 4.3.3(iii) og Lemma, at 0 0 lim, at lim, og at lim, såvel som at lim. Da lim og lim 5 5 jf. Lemma, gælder pr. TL 4.3.3(i), at lim ( + + ) og 5 lim (5 + 5 ), hvorpå vi får jf. TL 4.3.3(iv), at 5 lim lim a + a Da 5 <, får vi jf. TL.4.5, at række 0 a er absolut koverget, altså at 0 a er koverget, jf. TL.4.. Me da får vi ved TL..9, at a er koverget, så a er absolut koverget jf. TL.4.. Altså er ( ) ( + )5 absolut koverget..
3 3 (b) ( )! Vi vil ige beytte kvotietkriteriet for geerelle rækker, TL.4.5. Lad derfor b ( )! ; kvotietkriteriet vil da fortælle om række 0 b er absolut koverget eller diverget. Vi vil altså udersøge følgede kvotiet for et givet N 0 ; vi sikrer os, at b 0 for alle N 0 (så vi ikke deler med 0) ved at se, at! > 0 og > 0 for alle N 0, er! > 0 for alle N 0, hvorpå gælder, at b ( )!! > 0 og b 0. For et givet N 0 har vi da, at b + b ( ) + ( + )! (+) ( )! ( )( + ) + +, idet + > 0 for 0. Vi vil vise, at følge ( ) + N divergerer. Lad derfor c R være givet. Vi skal de et N N, så + c for alle N. Me lad da N være det midste tal i N, der er større ed c. Når N, gælder da, at + N +, hvorpå vi har, at + N + c + c c, så der des altså N, så + c for alle N ved et givet c R. Ved TL får vi da, at oveståede følge divergerer mod uedelig. Altså har vi jf. TL 4.3.6, at lim b + b >, hvorpå vi med det samme kokluderer jf. TL.4.5, at række 0 b er diverget. Vi får da ved TL..9, at b er diverget, så vi kokluderer altså, at ( )! er diverget. (c) ( ) +l() Lad c ( ) / + l() for alle N. Lad N være givet. Da > 0 og l() 0, er + l() > 0. Da gælder, at + l() > 0, og dermed, at / + l() > 0 for alle N. Da er c ( ) / + l() / + l(). Altererede. Lad N være givet. Da c ( ) c og c + ( ) + c +, ser vi, at c og c + har forskellige forteg, da c og c + begge er positive størrelser og ( ) ( ) + (disse to størrelser bestemmer fortegee). Dermed er c e altererede række.
4 4 Aftagede. Lad N være givet. Da > 0, er + >, og da l er e stregt voksede fuktio, er l( + ) > l(). Me da er ( + ) + l( + ) > + l( + ) > + l() > 0, hvorpå ( + ) + l( + ) > + l() > 0, da kvadratrodsfuktioe er voksede. Ved at gage over kors får vi edelig, da vi ikke deler med 0, at c > c + > 0. + l() ( + ) + l( + ) Da har vi, at c + < c for alle N. Dermed er følge ( c ) stregt aftagede, og dermed aftagede, jf. TL s. 93. Absolutte led går imod 0. Lad N være givet. Da l() 0, gælder, at + l() > 0, da kvadratrodsfuktioe er voksede, hvorpå + l() > 0. Da har vi, at 0 < / + l() / for alle N. Vi vil vise, at lim / 0. Lad derfor ε > 0 være givet. Vi skal de et N N, så / 0 < ε for alle N. Me lad da N være det midste tal i N, så N > / ε > 0 (hvilket ka lade sig gøre ved Arkimedes' pricip, TL..6(i)). For N > 0, gælder da, at N > 0, hvorpå / / N; da har vi, at 0 < ε, N hvorpå vi kokluderer, at lim / 0, idet vi for ethvert ε > 0 ka vælge N N, så / 0 < ε for alle N. Da vi har jf. Lemma, at lim 0 0, ka vi u beytte Klemmelemmaet, TLO 4.3., på / + l(). Da lim / lim 0 0 og 0 < / + l() / for alle N, gælder jf. TLO 4.3., at lim / + l() 0. Altså er lim c 0. Koverget. Da gælder jf. TL.3., da c er altererede og følge ( c ) N er aftagede og går imod 0, at c er koverget. Absolut koverget? Vi vil u udersøge, om c er absolut koverget. Vi kigger derfor på række c, og vil beytte græsesammeligigskriteriet TL..8. Lad u række c være givet ved c / / / for alle N. Dees led er klart positive for alle N, og række c er da positiv. Lad N være givet (se evt. Bemærkig, velvidede, at der ikke er ogle problemer her). Da er c c +l() + l() + l() Vi vil u de dette udtryks græseværdi for. + l(). + l()
5 5 Vi har jf. TL 6.3.5(a), at lim x l(x)/x 0 ved a b. Jf. Lemma 3, får vi, at der gælder for følge (l()/) N, at lim l()/ 0. Vi har jf. Lemma og TL s. 4, at fuktioere x og x x er kotiuerte i puktet 0. Da har vi jf. TL 5..5, at fuktioe x + x er kotiuert i puktet 0, og jf. samme, at fuktioe f givet ved f(x) +x er kotiuert i puktet 0, da Da fuktioe g givet ved g(x) x er kotiuert i puktet f(0), gælder da jf. TL 5..7, at fuktioe h givet ved h(x) g(f(x)) /( + x) er kotiuert i puktet 0. Idet vi lader følge (x ) N være givet ved x l()/, ved vi fra før, at lim x 0. Da h er kotiuert i puktet 0, gælder jf. TL 5..0(a), at lim h(x ) h(0). Me da h(x ) /( + l()/) og h(0), har vi u, at lim h(x ) lim + l() lim c c. Vi har u jf. TL..4, at c // divergerer, idet <. Me da får vi jf...8(ii), da c og c er positive rækker, og c divergerer, at c c også divergerer, da lim c > 0. Altså er c ikke absolut koverget jf. TL.4.. Me da vi fadt, at c var koverget, må der gælde, at c er betiget koverget jf. TL.4.3. Altså er række ( ) betiget koverget. +l() (d) ( cos(π ) + 6 ) På dee række vil vi beytte de dejlige rotteste for geerelle rækker, TL.4.6. Lad derfor d ( cos(π ) + 6 ) ; de dejlige rotteste vil fortælle, om d er absolut koverget eller diverget (se Bemærkig; vi bliver simpelthe ødt til at ædre edre summatiosgræse til, idet leddet for 0 ikke eksisterer). Lad N være givet. Da gælder for alle a R, at a a } {{ a } a a a. }{{} Altså er a a for alle N og a R. Lad u N være givet. Da har vi, at ( ) d cos(π ) + 6 cos(π ) + 6 cos(π ) + 6 Vi vil u vise, at cos(π ) for alle N. For er cos(π ) + 6 ( )
6 6 For er, og specielt π π, da π > 0. Da π > 0 for alle N \ {}, gælder altså, at π [0, π ]. Da cos(x) 0 for x [0, π ], gælder da, at cos( π ) 0 for π [0, π ], dvs. for. Da får vi for, at cos(π ) for alle N \ {}. Altså har vi sammelagt, at cos(π ) for alle N, og dermed for alle N, at d cos(π ) + 6 cos(π ) + 6. Da vi har jf. e bemærkig i TL 4.3.4, at lim 0, og jf. Lemma π, at lim π π, har vi jf. TL 4.3.3(iii), at 0 π 0 lim. Da fuktioe cos er kotiuert på hele R og specielt i 0, og følge ( π ) kovergerer imod 0, har vi, jf. TL 5..0(a), at lim cos(π ) cos(0). Lemma giver, at lim 6 6 og lim, så med TL 4.3.3(iii), får vi, at lim cos(π ) og at lim 6. Vi får altså, at ( ) + 0 lim cos(π ) + 6 lim d. De dejlige rotteste, TL.4.6, giver u, idet <, at række d er absolut koverget (se Bemærkig). Altså er række ( cos(π ) + 6 ) absolut koverget. (e) ( ) ( ) + +5 Vi har, at ( ) ( ) ( ) + ( )+. Vi ved, at de altererede, harmoiske række ( ) + kovergerer, jf. TL.3.. Vi har u jf. TL..7(iii), da ( )+ ( ) + er koverget og vi sætter c, at er koverget, og dermed at ( ) er koverget. Lad N være givet. Da > 0, er + 5 > 0, hvorpå vi ser, at +5 > 0. Række +5 er altså positiv. Ligeledes idses, at række er positiv. Da 0 5, gælder desude, at + 5, hvormed +5 for alle N. Vi har, at kovergerer jf. TL..4. Ved sammeligigskriteriet, TL..6(i), har vi u, da rækkere +5 og er positive og da (c ), at også kovergerer Da rækkere ( ) og +5 kovergerer, får vi u jf. TL..7(i), at række ( ) ( ) + +5 også er koverget! Det gestår u bare at de ud af, om ( ) ( ) + +5 er absolut koverget, altså om ( ) er koverget, jf. TL.4.. Lad et + +5
7 7 N være givet. Da har vi, ( ) TL..3 ( ) ( + 5) ( ) , da vi fadt, at +5 0 for alle N. Idet + 5, har vi da, at +5, dvs. at Da har vi edeligt, at ( ) Da vi har jf. TL..4, at divergerer, og at +5 kovergerer fra før, har vi jf. TL..8, at ( ) +5 divergerer. Me da vi med oveståede ulighed har, at rækkere ( ) +5 og ( ) + +5 er positive, samt at ( ) +5 divergerer, ka vi beytte TL..6(ii) (d ): da vil også ( ) + +5 divergere. ( ) ( ) Da er + +5 ikke absolut koverget jf. TL.4., me da vi fadt, at række var koverget, må gælde jf. TL.4.3, at ( ) ( ) + +5 er betiget koverget. Opgave Det skal vises, at række ( + ) + har positive led og er koverget. Lad N være givet. Da er > 0 og > 0, og specielt 4 > 0. Vi får u ved at lægge de positive størrelse + til på begge sider af ulighedsteget, at > + > 0. Da vi ser, at ( + ) + + 4, får vi altså, at ( + ) > + > 0, og da kvadratrodsfuktioe er voksede, at ( + ) + > +. Da vi u har, at + > > 0, er + +, hvormed vi altså får, at + > +. Me da har vi aturligvis for alle N, at + + > 0,
8 8 så række har altså positive led, og er dermed positiv. Vi vil vise, at række er koverget. Lad u et N være givet. Da er + > 0, hvorpå + > 0. Da vi fadt før, at rækkes led var positive, ser vi u ligeledes, at ( + ) > 0. Altså er de kojugerede til + + også positiv. Vi ka u rege på det følgede udtryk, idet vi ikke eder med at dele med 0: + + ( + + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) , idet >, da > 0 og + > 0, hvorpå ( ) <. Altså gælder, at for alle N. Vi fadt før, at de i opgave give række var positiv, og da > 0 for alle N, er række positiv. Idet vi ligeledes ved, at er koverget jf. TL..4, da >, ka vi kombiere dette med oveståede ulighed, hvorpå vi jf. TL..6(i) med c 4 får, at række ( + ) + er koverget. Opgave 3 (a) Vi vil først vise et lille lemma: Lemma 4. For reelle tal a, b gælder, at ab (a + b ). Bevis. Lad a, b R være givet. Da gælder, at ( a b ) 0, idet kvadrater er ikke-egative i R. Vi har derfor, at ( a b ) a + b ab 0. Isolerer vi ab i dee ulighed, får vi da, at ab ( a + b ) (a + b ).
9 9 Lad (a ) være e følge af reelle tal. Der skal vises, at hvis række er koverget, er række absolut koverget. a Bevis. Atag, at række a er koverget. Da (a ) er e følge af reelle tal, gælder, at a R for alle N. Lad u N være givet. Da gælder specielt, at R, og at R. Edvidere gælder, at a R. Nu ka vi beytte Lemma 4 på tallee a og, hvorpå vi får, at a a ((a ) + ( ) ) ( a + ). Da gælder oveståede for alle N. Pr. atagelse er række a koverget, og vi ved jf. TL..4, at række er koverget, da >. Da rækkere a og begge er kovergete, får vi jf. TL..7(i), at række ( a + ) er koverget. Da 0 a ( a + ) jf. oveståede ulighed for alle N, ser vi derpå, at 0 ( a + ) a + for alle N, og slutter, at rækkere a og ( a + ) begge er positive. Da vi fadt, at række ( a + ) var koverget, har vi ved TL..6(i) med c, da a ( a + ) for alle N, at a kovergerer. Da får vi jf. TL.4., at række a er absolut koverget. a (b) Først et lemma: Lemma 5. Lad a være e positiv, koverget række. Da er absolut koverget. a Bevis. Atag, at a er positiv og koverget. Vi skal vise, at a er koverget. Me da a er positiv, er a 0 for alle N; da a a for alle N, gælder specielt, at a a for alle N. Jf. TL..6(i) får vi med c ved dee ulighed, at a er koverget. Jf. TL.4. er a absolut koverget. Der skal gives et eksempel på e følge (a ) N, så række a er absolut koverget, me så a er diverget.
10 0 Lad række a være givet ved a 3/ for alle N. Da række 3/ er koverget jf. TL..4, da 3 >, og 3/ 0 for alle N (hvorpå række er positiv), gælder jf. Lemma 5, at række er absolut koverget. Række a har da led givet ved a ( 3/ ) 3 for alle N. Me da er diverget jf. TL..4, er række a diverget. Opgave 4 Først to lemmaer! Lemma 6. Nulrække k0 a, hvor a k 0 for alle k N 0 er koverget med sum 0. Bevis. Lad k0 a være ulrække. Afsitssumme er da s k0 a k 0 for alle N 0. Idet 0 lim 0 lim s jf. Lemma, kovergerer følge af afsitssummer (s ) N0 mod 0 jf. TL 4.3., hvorpå vi slutter jf. TL s. 64 midte, at k0 a kovergerer imod 0. Lemma 7. Lad 0 a være e positiv, koverget række med sum S. Da er 0 a absolut koverget med sum S. Bevis. Atag, at 0 a er positiv og koverget med sum S. Vi skal vise, at 0 a er koverget med sum S. Me da 0 a er positiv, er a 0 for alle N 0 ; da a a for alle N 0, gælder, at a a 0 for alle N 0. Da er ulrække 0 ( a a ) koverget med sum 0, jf. Lemma 6. Vi ka u beytte TL..7(i) på rækkere 0 a og 0 ( a a ), idet disse er kovergete (de første pr. atagelse): da gælder, at 0 (a + ( a a )) er e koverget række med sum S 0 S. Me da a + ( a a ) a for alle N 0, er 0 a koverget med sum S. Lad a + x 3 e x dx. Der skal vises, at række 0 a er absolut koverget med sum 6. Strategi. Hvis vi da ka vise, at række er positiv og koverget med sum 6, har vi jf. Lemma 7, at række er absolut koverget med sum 6. Positiv. Vi skal vise, at a + x 3 e x dx 0 for alle N 0. Da x 3 0 og e x 0 for alle x R, er produktet x 3 e x 0 for alle x R. Lad N 0 være givet. Da x 0, x e x, x x og x x 3 er kotiuerte fuktioer på R jf. TL s. 4, gælder jf. TL 5..5, at fuktioe x x på R, og jf. TL 5..7, at fuktioe x e x er kotiuert på R. Me da er fuktioe x x 3 e x kotiuert på hele R og specielt på [0, + ], og især på [, + ]. Me da er fuktioe f : [, + ] R givet ved f(x) x 3 e x itegrabel på [, + ] jf. TL Lad u Π {x 0,..., x m } være e (lige-)iddelig i m
11 dele af [, + ], jf. TL s Da vil gælde jf. TL s for udersumme til N(Π), at m m N(Π) m i (x i x i ) if{f(x) x [x i x i ]}(x i x i ) i i m 0(x i x i ) 0, i da vi fadt, at x 3 e x 0 for alle x R, hvorpå imum af dee fuktio over et givet iterval også vil være større ed eller lig 0. Da fuktioe er itegrabel, gælder jf. beviset for TL 8..4, at a + x 3 e x dx N(Π) 0. Da dette gælder for et givet N 0 og e hvilke som helst (lige-)iddelig Π af [, + ], har vi, at a 0 for alle N 0. Da er række positiv. Koverget med sum 6. følge (s ) N0 af afsitssummer for følge (a ) N0 kovergerer mod et tal S, vil Vi vil u udersøge række 0 a. Hvis s 0 a kovergere mod et tal S. Vi har altså for et givet N 0, at k0 a k er de 'te afsitssum. Lad N 0 være givet. Da ka vi aturligt opskrive s således: s a 0 + a a 0 x 3 e x dx + x 3 e x dx x 3 e x dx. Vi fadt i det foregåede, at fuktioe f : [0, ) R givet ved f(x) x 3 e x var kotiuert på hele [0, ); da er f specielt kotiuert på itervallet [0, +]. Da giver Note 3, at f er itegrabel på ethvert afsluttet og begræset deliterval af [0, + ] og specielt på hele [0, + ], og af Idskudsregle (versio ) i Note følger, da f er itegrabel på [0, + ] og da,,..., [0, + ], at s 0 x 3 e x dx + x 3 e x dx x 3 e x dx + 0 x 3 e x dx. Vi deerer u e stamfuktio på et halvåbet, ubegræset iterval, således, at e fuktio F : [a, ) R er stamfuktio til f : [a, ) R, hvis F (x) f(x) for alle x [0, ), og hvis F er kotiuert på [a, ) (thi deitioe s. 377 øverst ikke helt syes at række). Lad F : [0, ) R være givet ved F (x) e x (x 3 + 3x + 6x + 6). Vi vil u de F (x) ved at beytte TL 6..3, TL 6..4 (her beyttes (i), (ii) og (iv)), samt TL For et givet x [0, ) har vi da, idet ( e x ) ( e x ) e x jf. TL 6..5, at F ( (x) e x (x 3 + 3x + 6x + 6) ) TL 6..4(iv) e x (x 3 + 3x + 6x + 6) + ( e x ) (x 3 + 3x + 6x + 6) TL 6..5 e x (3x + 6x + 6) + e x (x 3 + 3x + 6x + 6) x 3 e x e x (3x + 6x + 6) + e x (3x + 6x + 6) x 3 e x,
12 hvor vi udervejs beyttede vores vide fra TL Da er F (x) f(x) for alle x [0, ). Idet fuktioere x x a, for a R, og x c, hvor c R, er kotiuerte på R jf. TL s. 4 og Lemma, gælder at alle polyomier er kotiuerte på R jf. TL Fuktioe x x 3 + 3x + 6x + 6 er derfor kotiuert på R, og da fuktioere x 0 og x e x er kotiuerte jf. oveståede og Lemma, gælder jf. TL 5..5, at fuktioe x e x (x 3 + 3x + 6x + 6) er kotiuert på R og specielt på [0, ). Heraf ses, at F er kotiuert på [0, ). Da er F e stamfuktio til f. Idet f var kotiuert på [0, + ] jf. oveståede, har vi jf. TL 8.3.4, at s + 0 x 3 e x dx [ e x (x 3 + 3x + 6x + 6) ] + 0 [ ] e (+) (( + ) 3 + 3( + ) + 6( + ) + 6) [ e 0 ( ) ] e (+) ( ) + 6 ( e 3 6 e + 6e ) e + 5e e + 6e e. Vi vil u vise, at dette går imod 6 for. x Vi har jf. TL 6.3.5(b), at lim 3 x x e 0, lim x x x e 0, lim x x e 0, x idet vi sætter b,, 3 og a. Vi får da jf. Lemma 3 for de tilsvarede følger, at lim 3 e 0, lim e 0 og lim e 0. Idet e for alle N 0, gælder, at e, og vi ser, at e 0 for alle N 0. Beytter vi klemmelemmaet TLO 4.3. på ulighede 0 e, samt vores vide jf. Lemma og e bemærkig i TL 4.3.4, at lim 0 lim 0, får vi, at lim e 0. Jf. Lemma, får vi, at lim e e, lim 6e 6e, lim 5e 5e og lim 6e 6e. Vi får da, jf. oveståede kovergeser og TL 4.3.3(iii), at 0 lim e 3 6e 0 lim 5e e, 0 lim 6e e og 0 lim e. Summe af disse re følger vil da også gå imod 0, jf. TL 4.3.3(i). e, Da vi får jf. Lemma, at lim 6 6, har vi jf. TL 4.3.3(ii), at lim (6 ( e 3 e + 6e e + 5e e + 6e e ). Me da har vi jf. oveståede lighed, at 6 lim + 0 x 3 e x dx lim s. Me da kovergerer (s ) N0 mod tallet 6 jf. TL 4.3., og jf. TL s. 64 gælder da, at 0 a kovergerer imod 6, at de er koverget med sum 6. Absolut koverget med sum 6. absolut koverget med sum 6. Da gælder jf. Lemma 7, at 0 a er
Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereRiemann-integraler. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereRegularitetsbetingelserne i simple modeller
Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereBachelorprojekt for BSc-graden i matematik
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereNotater til Analyse 1
Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereDenne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen
Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereR E E L L E F U N K T I O N E R.
Købehavs Uiversitets Hateratiske Istitut M A T E M A T I K 2 1962-63 B. Jesse Forelæsiger over R E E L L E F U N K T I O N E R. Mat 2, 1962-63 MI Kap.l Idledig. l. Weierstrass 11 approksimatiossætig. l,
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereHvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:
0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs merer n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!
Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt
Læs mere1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mere