Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Transkript

1 Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk afledede Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Calculus Uge

2 Tangenthældning [S] 2.7 Derivatives 2 3 Definition Den afledede af f() i tallet a er df d (a) = f f(a + h) f(a) (a) = lim h 0 h y (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) f() Calculus Uge

3 Botanik for afledte [S] 3.1, 3.4 Derivatives... d d (n ) = n n 1 d d (e ) = e d d (ln()) = 1 d d (a ) = ln(a)a Calculus Uge

4 Botanik for afledte [S] 3.1, 3.4 Derivatives... d (sin()) = cos() d d (cos()) = sin() d d d (tan()) = 1 + tan2 () d d (sin 1 ()) = d d (tan 1 ()) = Calculus Uge

5 Vælg og afled Eksempel 1 Givet funktionen f(, y) = y 3 2y 2 Hold y fast Hold fast d d f(, y) = y 3 d dy f(, y) = 32 y 2 4y Calculus Uge

6 Partielt afledt 4 Definition Den partielle afledede af f(, y) med hensyn til i punktet (a, b) er f (a, b) = lim h 0 f(a + h, b) f(a, b) h Den partielle afledede af f(, y) med hensyn til y i punktet (a, b) er f f(a, b + h) f(a, b) (a, b) = lim y h 0 h Calculus Uge

7 Skrives forskelligt Notation Ses også f (, y) = f (, y) f y (, y) = f y(, y) f (, y) = f 1 (, y) f y (, y) = f 2 (, y) Calculus Uge

8 Nemt at aflede Eksempel 1 Funktionen har partielle afledede f(, y) = y 3 2y 2 f (, y) = y 3 f y (, y) = 3 2 y 2 4y Calculus Uge

9 Graf uden kanter Figur - Eksempel 1 z 0 y f(, y) = y 3 2y 2 Calculus Uge

10 Nyttige regler Morale for Partielle afledede 1. f beregnes ved at holde y fast og differentiere med hensyn til. 2. f y beregnes ved at holde fast og differentiere med hensyn til y. 3. Alle regneregler for differentiation i en variabel, +,,, /, sammensatfunktion, inversfunktion kan benyttes. Calculus Uge

11 Udregning af partielle afledede Eksempel 3 har partielle afledede f (, y) = sin ( f y (, y) = sin ( f(, y) = sin( 1 + y ) d d 1 + y ) d dy 1 + y ) ( ) 1 + y ( ) 1 + y = cos( = cos( 1 + y ) y 1 + y ) (1 + y) 2 Calculus Uge

12 Udregning af partielle afledede Eksempel har partielle afledede og tilsvarende f(, y) = ln( f (, y) = ln ( f y (, y) = y 2 ) y ) d 2 d ( = ( y 2 2 ) ( y 2 ) 2 2 = ( y 2 ) 2y ( y 2 ) ) y 2 Calculus Uge

13 Test partielle afledede Test Betragt funktionen f(, y) = 3 y 2 + y. (a) f = 3 2 y 2 + y. (b) f = 3 3 y 2 + y. (c) f = y. (d) f = 3 2 2y 2 + y. Løsning For y fastholdt Afkryds den rigtige påstand: f (, y) = d d (3 y 2 + y) = y (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

14 Partielt afledt, grafisk Grafisk bestemmelse h y f(,y)= Niveaukurver omkring ( 0, y 0 ) = (2, 2). Sæt g(h) = f( 0 + h, y 0 ) og aflæs støttepunkter: h g(h) Calculus Uge

15 Partielt afledt, grafisk Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h) z Heraf f.eks. 1 h f ( 0, y 0 ) = g (0) 0.5( ) 0.85 Calculus Uge

16 Test grafisk afledede Test Betragt niveaukurverne for en funktion f(, y), f(1, 1) = 0 og bedøm: y 1 1 f=0 f= 1 f=5 (a) f (1, 1) > 0. (b) f (1, 1) < 0. (c) f y (1, 1) < 0. (d) f (1, 1) > 0. Afkryds to sande: Løsning f(, 1) er voksende med voksende afledt. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

17 Udvid til mange variable Eksempel 5 Omtalen af partielle afledede udvides umiddelbart til flere end to variable. f(, y, z) = e y ln(z) har tre partielle afledede f = ye y ln(z) f y = e y ln(z) f z = e y 1 z Calculus Uge

18 Afled flere gange Notation for højere afledede 2 f 2 (, y) = f (, y) 2 f y 2 (, y) = f yy(, y) 2 f y (, y) = f y(, y) 2 f y (, y) = f y(, y) Calculus Uge

19 Mere afledning Eksempel 1, 6 Afledede og højere afledede f = y 3 2y 2 f = y 3, f y = 3 2 y 2 4y f = 6 + 2y 3, f yy = 6 2 y 4 f y = 6y 2, f y = 6y 2 Calculus Uge

20 Endnu en afledning Eksempel 3 Afledede og højere afledede f y = sin( f(, y) = sin( f = cos( f = sin( 1 + y ) 1 + y ) y 1 + y ) 1 (1 + y) y ) (1 + y) 3 + cos( 1 + y ) 1 (1 + y) 2 Calculus Uge

21 Endnu en afledning Eksempel 3 - fortsat Afledede og højere afledede f yy = sin( f y = sin( f(, y) = sin( f y = cos( 1 + y ) 1 + y ) (1 + y) y ) 2 (1 + y) 4 + cos( 1 + y ) 2 (1 + y) y ) (1 + y) 3 + cos( 1 + y ) 1 (1 + y) 2 Calculus Uge

22 Der er kun det halve arbejde Sætning (Clairaut) Antag at f er defineret på en (lille) cirkelskive med centrum i (a, b). Hvis f y, f y er kontinuerte på cirkelskiven, så gœlder f y (a, b) = f y (a, b) "Højere partielle afledede afhænger ikke af differentiations rækkefølgen." Calculus Uge

23 Overbevis [S] Appendi E A few proofs Bevis (Clairaut) (h) = (f(a + h, b + h) f(a + h, b)) (f(a, b + h) f(a, b)) Omskrives ved middelværdisætningen (h) = (f (c, b + h) f (c, b))h = f y (c, d)h 2 Ved ombytning af, y f y (c, d )h 2 = f y (c, d)h 2 for (c, d), (c, d ) tæt ved (a, b). Konklusion ved kontinuitet af de dobbelte afledede. Calculus Uge

24 Opgaver er sundt Øvelse Find f og f y. f(, y) = 2 y y f = 2y y f = 2y y f = 48y f y = f y = 48 Calculus Uge

25 Mange opgaver er meget sundt Øvelse Find f yz. f(, y, z) = y 4 z 3 + yz 2 f y = 4 4 y 3 z 3 + z 2 f y = 16 3 y 3 z 3 f yz = f yz = 48 3 y 3 z 2 Calculus Uge

26 Sidste opgave Øvelse 81 f(, y) = ( 2 + y 2 ) 3/2 e sin(2 y) Find f (1, 0). f(1, 0) = 1( ) 3/2 e 0 = 1 f (1, 0) = lim 1 ( ) 3/2 e f (1, 0) = lim Calculus Uge

27 Sidste opgave Øvelse 81 - fortsat f (1, 0) = lim f (1, 0) = lim ( 1) f (1, 0) = lim = 2 Calculus Uge

28 Partielle differentialligninger Definition En partiel differentialligning er et udtryk i de partielle afledede. Ligningen 2 u + 2 u 2 y = 0 2 kaldes Laplaces ligning. Ligningen kaldes bølgeligningen. 2 u t 2 = a2 2 u 2 Calculus Uge

29 Laplaces ligning Eksempel 8 Funktionen u(, y) = e sin y er løsning til Laplaces ligning u + u yy = 0 Løsning giver u = e sin y, u = e sin y u y = e cos y, u yy = e sin y u + u yy = 0 Calculus Uge

30 Bølgeligningen Eksempel 9 Funktionen u(t, ) = sin( at) er løsning til bølgeligningen Løsning u tt = a 2 u u t = a cos( at), u tt = a 2 sin( at) giver u = cos( at), u = sin( at) u tt = a 2 u Calculus Uge

31 Test Laplaces ligning Test Funktionen f(, y) = 3 + 5y + 10 er en løsning til Laplace s ligning 2 f/ f/ y 2 = 0. Løsning Udregningen giver f = 3, f = 0, f y = 5, f yy = 0 f + f yy = 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge