Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder
|
|
- Simon Bagge
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, /22
2 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte Carlo-metoder Matrix-regning Smagsprøve på fundamentale matematiske metoder af relevans for jeres videre uddannelse og virke Hver undervisningsgang tager udgangspunkt i et konkret eksempel på en anvendelse af de gennemgåede matematiske metoder 2/22
3 Lagerstyring Hver måned leveres et antal møtrikker L. Forbrug den ite dag i måneden: X i (tilfældigt antal) Beholdning ved månedens indgang: B 0 = L Beholdning efter t dage: B t = B 0 X 1 X 2 X t = B 0 t i=1 X i. Forventet værdi af B t? Sandsynlighed for at B t < 0? Hvor stort skal L være? brug for at regne på tilfældige/stokastiske variable. Metoder: 1. teoretiske resultater 2. Monte Carlo metoder (computer-simulation) 3/22
4 Forventet værdi/middelværdi Gentager et eksperiment igen og igen (f.eks. kast med terning) X i : tilfældig værdi af ite eksperiment Gennemsnit (repræsentativ værdi) af n gentagelser: n X = (X 1 +X 2 + +X n )/n = 1 n Antag X i kun antager værdierne 1,2,...,M. i=1 X i X = 1 n M ma m = m=1 M m=1 m A m n hvor A m er antal gange værdien m (1,2,...,M 1 eller M) kom ud. Hvis n : A m /n p m = sandsynligheden P(X i = m) for værdien m 4/22
5 Forventet værdi - fortsat Definition den forventede værdi (middelværdien) for en stokastisk variabel X med mulige værdier 1,...,M er EX = M mp m hvor p m = P(X = m) m=1 P(X = m) er sandsynligheden for, at X tager værdien m Eksempel: X antal øjne ved kast med ærlig terning, p m = 1/6. EX = = 3.5 5/22
6 Regneregler Antag at X og Y er to stokastiske variable E[X +Y] = EX +EY EaX = aex 6/22
7 Tilbage til lageret Forventet værdi af beholdning: EB t = L tex 1 (antager alle X i har samme middelværdi) For at beregne EX 1 skal vi kende sandsynlighedsfunktionen p(m) = p m for X 1. Definition En funktion p(m) er en sandsynlighedsfunktion hvis p(m) 0 og M p(m) = 1 m=1 X har sandsynlighedsfunktion p(m) hvis P(X = m) = p(m). Udregning af kumulative sandsynligheder: P(X k) = k m=1 p(m) 7/22
8 Fundamental sandsynlighedsregning Lad A og B være to hændelser. Da gælder P(A eller B) = P(A)+P(B) P(A og B) hvor P(A eller B) er sandsynligheden for at mindst en af hændelserne indtræffer og P(A og B) er sandsynligheden for at begge hændelser indtræffer. Eksempel (et kast med terning). A: kast giver 4 eller 5 og B: kast giver 5 eller 6. P(A) = P(B) = 1/3 og P(A og B) = P(kast giver 5) = 1/6. Dermed P(A eller B) = 1/3+1/3 1/6 = 3/6. Hvis A: kast giver 4 og B: kast giver 5, kan A og B ikke begge indtræffe. Dermed P(A og B) = 0 og P(A eller B) = 1/6+1/6 0 = 2/6. 8/22
9 Fundamental sandsynlighedsregning fortsat Hvis A og B er uafhængige gælder P(A og B) = P(A)P(B) Eksempel (to kast med terning) A: 6 er i første kast. B: 6 er i andet kast. P(A og B) = P(A)P(B) = 1/36 9/22
10 Binomialfordelingen Lad S i være fejlstatus for ite komponent (i = 1,...,n): { 1 ite komponent defekt S i = 0 ellers Total antal defekte: X = (S 1 + +S n ) = Eksempel: lad n = 3 og p være sandsynligheden for defekt komponent. Sekvensen 010 angiver S 1 = 0,S 2 = 1,S 3 = 0. Dermed P(X = 1) = P(100 eller 010 eller 001) = n i=1 S i P(100)+P(010)+P(001) = p(1 p)(1 p)+(1 p)p(1 p)+(1 p)(1 p)p = 3p(1 p) 2 Antallet af måder en defekt ud af tre kan fremkomme=3. Bemærk, at f.eks. hændelserne A = 100 og B = 010 ikke begge kan indtræffe. 10/ 22
11 På foregående slide antog vi at S i erne uafhængige (udfaldet af S 1 giver ikke viden om udfaldet af S 2 ) hvorved f.eks. P(S 1 = 1 og S 2 = 0) = P(S 1 = 1)P(S 2 = 0) = p(1 p) Generelt n: P(X = m) = p(m) = ( ) n p m (1 p) n m m hvor ( ) n = m n! m!(n m)! er antal måder vi kan få m 1 ere i n forsøg. Ovenstående er sandsynlighedsfunktionen for en binomial-fordeling. Fakultet: f.eks. 5! = og 0! = 1. 11/22
12 Middelværdi for en binomialfordeling Antag X er binomialfordelt b(n, p) med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Så er EX = np Kan udregnes vha. sandsynlighedsfunktionen, men nemmere: EX = E[S 1 + +S n ] = ES 1 + +ES n = np Sum af to uafhængige binomialfordelinger med samme sandsynlighedsparameter: X 1 b(n 1,p) og X 2 b(n 2,p) X = X 1 +X 2 b(n 1 +n 2,p) 12/22
13 Eksempel (lager): der bruges mellem 0 og 10 møtrikker pr. dag og forventet værdi er 2 X i b(10,0.2). Total forbrug for en måned: X = 30 i=1 X i b(300,0.2) Forventet månedsforbrug: EX = 60. Sæt L = EX = 60. Sandsynlighed for at lageret tømmes : P(B 30 < 0) = P(L X < 0) = P(X > L) = 1 P(X 60) = /22
14 Fraktiler Større lager nødvendigt. F.eks. vælge L så P(X > L) 0.01%. Fraktil: tallet x er en q fraktil for X hvis P(X x) = q. F.eks. er 2 en 7% fraktil for X hvis P(X 2) = Dvs. i lager-eksemplet skal vi bestemme L så L mindst er en 99.99% fraktil for X. Gøres f.eks. i R vha. qbinom()-funktionen. Løsning: L > 87. Er binomialfordeling rimelig model? 14/22
15 Poisson-processen og Poisson-fordelingen Antag at hændelser (f.eks. opkald til help-desk) indtræffer over tid i henhold til følgende: 1. antal hændelser i to disjunkte tidsintervaller er uafhængige 2. i meget kort tidsrum højst en hændelse 3. sandsynligheden for en hændelse i meget kort tidsrum [t,t +dt[ er λdt Da kaldes følgen af tidspunkter for hændelser en Poisson-proces. Betragt det totale antal hændelser i et tidsrum [0,T]. Inddel tidsrummet i n små intervaller hver af længde T/n. Lad S i være 1 hvis hændelse i i te interval og nul ellers. Da har X = i S i tilnærmelsesvist en binomialfordeling b(n, λt/n) med middelværdi µ = λt. 15/22
16 Man kan vise, at når n så vil sandsynlighedsfunktionen for b(n,λt/n) = b(n,µ/n) gå mod P(X = m) = exp( µ) µm m! Dette er sandsynlighedsfunktionen for en Poisson-fordeling. NB: en Poisson-fordelt stokastisk variabel kan antage alle heltalsværdier. Udledning af Poisson fordeling udfra binomial-fordelinger giver EX = µ og (sum af uafhængige Poisson-variable) X 1 Poisson(µ 1 ) og X 2 Poisson(µ 2 ) X 1 +X 2 Poisson(µ 1 +µ 2 ) 16/22
17 Binomial og Poisson-fordeling b(10,0.2) og Poisson med µ = 2 henholdsvis b(100,0.02) og Poisson µ = 2: p(x) p(x) x x I hvert plot samme middelværdi for binomial og Poisson fordeling. 17/22
18 Tilbage til lageret Antag dagligt forbrug Poisson(2). Dermed månedsforbrug Poisson(60). Sandsynlighed for at lageret tømmes : P(B 30 < 0) = P(L X < 0) = P(X > L) = 1 P(X 60) = Stort set samme tal som med binomialfordeling da b(300,0.2) Poisson(60) (n = 300 stor!) 18/22
19 Med den simple lager-model kan vi nemt eksplicit beregne de fleste middelværdier og sandsynligheder. Men hvad hvis vi f.eks. spørger om noget mere kompliceret - f.eks. forventede ventetid V til lageret går i nul: V = max{t B t 0} Da har V ikke en simpel sandsynlighedsfordeling. Løsning kan være Monte Carlo beregning = empirisk beregning af middelværdier vha. computer-simulationer 19/22
20 Opgaver 1. (spil med uærlig mønt) lad X = 1 hvis plat og 1 hvis krone. Antag sandsynlighed for plat 0.4. Hvad er EX? 2. (kast med uærlig terning) Lad P(X = 5) = P(X = 6) = 0.25 og P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4). 2.1 Hvad er P(X = 1)? 2.2 hvad er P(X 3)? 2.3 Hvad er EX? 3. Lad EX = 4 og EY = Hvad er E(2X +3Y)? 3.2 Hvad er E[X Y]? 4. Antag to kort udtages tilfældigt (med tilbagelægning) fra et sæt spillekort. Lad hændelserne A og B være at henholdsvis det første og det andet spillekort er et es. 4.1 Hvad er sandsynligheden for, at begge kort er esser (P(A og B))? 4.2 Hvad er sandsynligheden for, at første kort er et es og andet kort ikke er et es? 4.3 Hvad er sandsynligheden for, at ingen af kortene er et es? 4.4 Hvad er sandsynligheden for, at mindst et kort er et es (P(A eller B))? På hvor mange måder kan du udregne dette? 20/22
21 5. Antag P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 og P(A eller B) = 1/12 hvor A er hændelsen, at det regner på vej til arbejde, og B er hændelsen, at bussen er forsinket. Er A og B uafhængige hændelser? 6. Lad X b(3,0.25). Hvad er P(X 1)? Hvad er EX? 7. Antag X 1 b(10,0.10) og X 2 b(30,0.10) er uafhængige. Argumenter for at summen X er b(40,0.10). Hvad er EX? 8. (trafikuheld i et vejkryds) Antag at sandsynligheden for en ulykke indenfor et tidsrum af 1 minut er , at der ikke sker 2 ulykker på en gang og at ulykker indtræffer uafhængigt af hinanden. 8.1 Hvad er det forventede antal ulykker indenfor en måned (31 dage)? 8.2 Hvad er sandsynligheden for, at der ikke forekommer ulykker indenfor en måned? 8.3 Er opgavens antagelser realistiske? 9. Antag antal mål i første halvleg er Poisson-fordelt med middelværdi 1.5 og Poisson-fordelt med middelværdi 1 i anden halvleg og at antallene af mål er uafhængige. Hvad er sandsynligheden for at der i alt scores mindst en gang? 21/22
22 Facit 1: 0.2, 2.1: 1/8, 2.2: 3/8, 2.3: 4, 3.1: 23, 3.2: -1, 4.1: (1/13) 2 4.2: (1/13)(12/13) 4.3: (12/13) 2 4.4: 2/13 (1/13) 2 = 1 (12/13) 2 = 2(1/13)(12/13)+(1/13) 2 5: nej (P(A og B) = 1/2 mens P(A)P(B) = 1/12), 6: , 0.75, 7: 4, 8.1: : 0.04, 9: /22
Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereJ E T T E V E S T E R G A A R D
BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D. 1 3. M A R T S 2 0 1 9 K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D. 1 4. M A R T S 2 0 1 9 HVEM
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereTØ-opgaver til uge 46
TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereProdukt og marked - betinget sandsynlighed
Produkt og marked - betinget sandsynlighed Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 12, 2019 1 / 11 Tænkeboks opgave i Ingeniøren Se webside https://ing.dk/artikel/taenkeboks-sandsynligheden-fejlved-positiv-test-221355
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)
Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mere