Projekt 3.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismatoider
|
|
- Signe Johannsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider. Keplers vintønder Kepler fortæller selv om hvordn hn i lev optget f prolemerne med opmåling f vintønder: "D jeg i novemer sidste år hvde hjemrgt en ny kone til mit hus, vr det netop på dette tidspunkt, t en omfttende og lige så fremrgende vinhøst lev ført op på utllige prmme lngs Donu, og overfloden f denne rigdom lev fordelt til vores Noricum (Østrig), så hele flodredden i Linz vr overstrøet med vintønder, der lev tiludt til en overkommelig pris. Fordi min pligt som ægtemnd og en god fmiliefder krævede t jeg forsynede mit hus med det nødvendige lger, lod jeg mnge tønder hente til mit hus, for t opevre dem der. Fire dge senere kom nu sælgeren med en målestok (visierrute), som hn rugte som det eneste værktøj, for t opmåle lle tønder uden t tge hensyn til deres form eller foretge eventuelle eregninger. Hn stte spidsen f jernstngen skævt ned i spunsen f den fulde tønde indtil den nåede unden f det cirkulære trælåg, som vi i det lokle sprog klder sen. Når hn på denne måde hvde fundet egge sider f længden fr toppen f fdrundingen til det lveste punkt i de to cirkulære ser, fndt hn på stven det mærke, der svrede til det punkt, hvor denne længde ophørte, og ngv ntllet f spnde vin, der vr hældt op i tønden, og stte det fstlgte ntl i forhold til prisen. Det virkede underligt, hvis det skulle være muligt t fgøre rumfnget f en hlv tønde lene ud fr den fstlgte linje på tværs f tønden, og jeg vr i tvivl om pålideligheden f disse målinger. " Kepler kstede sig strks over prolemet med såvel t finde rumfnget for vintønden teoretisk som t ngive prktiske metoder til opmåling f vintønder. Resulttet lev skriftet Stereometri Doliorum Vinrium (rumfngseregninger for vintønder) fr 5, som hn indledte med et længere supplement til Archimedes, hvor hn forenklede Archimedes rgumenter for rumfngseregninger f omdrejningslegemer fremrgt f keglesnit. Det lykkedes Kepler t udvide repertoiret for legemer, som mn kunne finde rumfnget f. Fx fndt hn rumfnget for en torus (dering) og det lykkedes også t finde pssende modeller for vintønder, så hn kunne håndtere prolemet teoretisk. Ideen med rugen f en visierrute (målestok) kn forklres således: Hvis tønden hvde form som en cylinder kunne mn hve rugt en såkldt plnimetrisk viserrute Opmåling f vintønder (Kilde ukendt). Vintønden opmåles med en målestok. (se yderligere: Opmåling f vintønder (Kilde: Adrinus Metius ). Vintønden opmåles ved t finde længderne OB og OE fr spunshullet O til undpunkterne B og E. Visierrute (00-tllet, Dresden) i træ med sølveslg. (se yderligere: 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
2 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider forsynet med en lineær skl til opmåling f fstnde og en kvdrtisk skl til ngivelse f (cirkelformede) reler. Ved t stikke viserruten lodret ned gennem spunshullet kunne mn derfor finde tværsnitsrelet, ved t holde den på lngs f tønden kunne mn finde tøndens dyde. Produktet f de to giver nu netop cylinderens rumfng: V= Ah. Men de østrigske vintønder måles med et kuisk visier eller et såkldt digonlvisier, der ngiver rumfnget direkte. Det ygger på det forhold t for to ligednnede vintønder er forholdet mellem rumfngene det smme som kuen (dvs. tredje potens) på forholdet mellem digonlerne. Det forudsætter t østrigske vintønder ygges i et estemt forhold mellem højde og redde. Kepler fndt d t forholdet for østrigske vintønder fktisk er optimlt, jf. projektet Keplers vintønder, B-ogen, kpitel 4. Vintønder kn i første tilnærmelse modelleres med en cylinder, i nden omgng med to keglestue, se figur. Opmåling f vintønde med plnimetrisk visierrute (Kilde:Adm-Ries-museum, illede fr vinkælderen ygget c. 500). Annerg-Buchholz, Tysklnd (grænsen mod Tjekkiet). D Øvelse N X ) Gør rede for t den indskrevne cylinder med højden h fremrgt f endeflden med dimeteren d og den omskrevne cylinder fremrgt f ugen med dimeteren D hr rumfngene Vindskreven cylinder d h π π =, Vomskreven cylinder = D h. 4 4 A H E P M L K F S R Q O C V Y G ) Gør rede for t de to keglestue tilsmmen hr rumfnget π Vto keglestue = ( D + D d+ d ) h 4 I T Z Keplers tønderegel fremkommer ved en simpel modifiktion f reglen for keglestuene. De to keglestue giver et resultt, der er lidt for lille: Ved t ersttte d med D i det midterste produkt Dd fås et lidt større rumfng, der ligger mellem de to keglestue og den omskrevne cylinder: Sætning : Keplers tønderegel En vintøndes rumfng er med tilnærmelse givet ved π V» ( D + d ) h Øvelse For Østrigske vintønder fndt Kepler t der med god tilnærmelse gælder h= d. Gør rede for t rumfnget f den indre cylinder med god tilnærmelse er givet ved V = 0.0 s hvor s er længden f visieret (Keplers visierregel). B Keplers figur til modellering f Østrigske vintønder. Den østrigske vintønde hr form som en udulet cylinder, eller mere præcist: Mn kn tænke på den som værende smmenst f to keglestue, hvis modstte ender er skåret i gennem f trælåg, og deres fælles sis, der dskiller de to keglestue, udgøres f den største cirkel lngs ugen f tønden. I figuren er HEFG cylinderen, ABC den ene kegle, og den nden strækker sig tilsvrende fr AC til ND. Den ene fgrænses f en fstumpet keglespids EBG, den nden fskæres f HF. De to keglestue udgøres f AEGC og AHFC, med den fælles grundflde AC. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
3 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Men for t få lvor styr på krumningen må Kepler kigge på omdrejningslegemer fremrgt f krumme kurver, og her støtter hn sig især til den omfttende teori for keglesnit, der vr overleveret fr ntikken. Men det lykkes ikke for Kepler t finde en generel metode til rumfngseregninger og hn støder flere steder pnden imod en mur. Hvd der gælder for cylindrene og keglestuene kn også nvendes på en tønde, fordi den kun fviger lidt fr den cylindriske form, ligesom formen f de to keglestue fviger endnu mindre, så længe stvene på tønden, som her repræsenteres f kurven CRF kun uer lidt udd. Øvelse Kepler forfiner også modellen for en vintønde ved t inddrge keglesnit: På fuldstændigt smme måde er den midterste del f enhver tønde fremrgt f en cirkelformet udsnit f en citron eller et lodret elliptisk segment eller en prolsk lomme, men for det meste en hyperolsk spindel med lige store fskårne stykker fr toppunkterne på egge sider. Grunden til t jeg fremhæver den hyperolsk spindel er t tønderne fortrinsvis krummer på midten, og t de går over i en kegleflde mod enderne, så t låget lettere kn sluttes til og dermed fæstnes edre. Dette er fktisk tilfældet for egge hyperlerne og de derf fremrgte spindler idet deres grene grdvist overgår fr krumningen i midten til de retlinjede symptoteretninger. Det smme gælder i et vist omfng også den prolske spindel og den elliptiske lomme; tydeligst er det dog ved den hyperolske spindel, noget mindre ved den elliptiske lomme, om end ikke for enhver omdrejningsellipsoide, kun dem, der er fremrgt f et lodret ellipsesegment, hvis kse efter fstumpningen ikke når helt op til rændpunktet; den smme egrænsning gælder for den prolske spindel. I en oliven, som er fremrgt fr et punkt mellem toppene f ellipsesegmentet, finder det modstte sted, fordi den ud mod enderne øjer krftigere end i midten og dermed fviger mere fr tøndefiguren. Alligevel vil jeg ikke enægte, t mn nogle gnge kn støde på en tønde, der hr form som en fskåret oliven, men ikke på grund f en tilsigtet udformning fr håndværkeren, men på grund f en fejl i udførslen. Læs eskrivelsen igennem og prøv t illustrere Keplers rug f keglesnit og frugter til t modellere en vintønde. Hvd er fx en citron, en lomme, en oliven? (I sin og enytter Kepler også æler og kvæder som modeller for rumlige legemer J) Betydningen f Keplers vintønder er derfor først og fremmest t hn stimulerede integrlregningens udvikling: Hns udfordringer lev tget op f især de itlienske mtemtikere Cvlieri og Torricelli (elever f Glilei). Først med den generelle metode udviklet f Newton (og ufhængigt herf f Leiniz) lykkedes det t finde en generel metode til rumfngseregninger. Smtidigt lykkedes det t systemtisere rumfngsformlerne og påvise t et forløffende stort ntl rumfngseregninger kn føres tilge til en enkelt universel formel, prismtoidformlen.. Newtons prismtoidformel Eksempel: Moskv ppyrussens formel for rumfnget f en pyrmidestu. Ifølge et tleksempel fr Moskvppyrussen (se Hvd er Mtemtik? C, eksempel.4, henholdsvis projekt.) er rumfnget f en pyrmidestu med kvdrtiske endeflder givet ved formlen V = + + h hvor og er knterne i endeflderne og h er højden f pyrmidestuen. Spørgsmålet er nu dels, hvordn mn kn udlede en sådn formel, dels hvordn mn kn forstå formlen? Vi emærker d først t hvis vi ruger formlen for en pyrmides rumfng Volumen = højde grundflde fås V = h - h = ( h+ h ) - h = h + h - h = h + h - Vi udnytter t h = h+ h Vi gnger prentesen ud Vi sætter h uden for en prentes h h h 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
4 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Men f ligednnethed fås nu h = h h = h+ h h = h + h h ( - ) = h Vi udnytter t h = h+ h Vi gnger overkors Vi smler leddene med h = h Vi isolerer h - Indsættes det i rumfngsformlen fås netop Moskv ppyrussens formel V = h + h - = h + h = h + h - = h + h ( + ) = h + h + h = h + + Vi indsætter udtrykket for h på venstre side Vi flytter rundt på fktorerne i sidste led Vi forkorter røken ved hjælp f kvdrtreglen - = ( + ) ( -) Vi gnger prentesen ud h Vi sætter h uden for en prentes Men hvordn skl vi nu tolke denne formel? Den minder om formlen for rumfnget f en pyrmide, idet den sidste fktor + + kn tolkes som et rel. De to yderste led er simple nok: Det er relet f undkvdrtet henholdsvis relet f topkvdrtet. Men hvordn skl vi forstå det midterste led? Her kn mn få den ide t kigge på relet f et tværsnit midtvejs i pyrmidestuen. Det tilhørende kvdrt hr d sidelæng- + æ+ ö den og dermed relet ç = 4 ( + + ). è ø Læg mærke til hvordn det egynder t ligne rumfngsformlen for en pyrmidestu. Vi giver nu rumfngsformlen lidt mssge ( ) ( ) V = h + + = h + + = h ( ) ( ) 4 = h = h ( top 4 midt und ) = h A + A + A Dette er netop prismtoidformlen for en pyrmidestu! Vi dividerer med udenfor prentesen og gnger med inde i prentesen. Vi omformer til + og tilsvrende for Vi smler de midterste led til kvdrtet på en toleddet størrelse Vi gnger og dividerer det midterste led med 4 Vi indsætter formlerne for relerne Det er ikke så svært t vise t den gælder for en vilkårlig pyrmidestu, unset grundfldens form, og t den også udstrækkes til keglestue. Men fktisk gælder den også for fx udsnit f kugler, hvilket vi vender tilge til, så det er klrt t det er en meget omfttende formel. Men præcis hvor omfttede den egentlig vr forlev længe ufklret. h + h h 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 4
5 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Det første gennemrud skyldes Newton, der fndt en generel formel til udregning f rumfng fgrænset f pssende polyedre. Sådnne rumfngseregninger hr stor ingeniørmæssig interesse. Når mn fx skl nlægge veje hr mn rug for t vide hvor meget jord mn skl ortskffe (eller fremskffe) og meget ofte kn mn modellere udgrvningen med en prismtoid, dvs. et polyeder fgrænset f to prllelle polygoner som endeflder, hvor polygonerne ikke ehøver t hve smme ntl hjørner. Mn kn ltså tænke på prismtoiden som en -dimensionl generlistion f et trpez. Prismtoiden hr sideflder, hvis knter forinder hjørnerne i disse to polygoner. Sideflderne er ltså enten treknter eller firknter. En endeflde kn også udrte til et linjestykke eller et punkt, hvorfor prismtoider omftter ikke lot prismer, men også kiler, pyrmider, pyrmidestue osv. Newton fndt rumfnget ved t skære prismtoiden over med en pln midtvejs mellem endeflderne. Derved fås et tværsnit, der selv er en polygon. Vælges et indre punkt O i dette midtertværsnit, kn vi splte prismtoiden i et ntl pyrmider fgrænset f enten endeflderne eller sideflderne. Newton hvde ikke svært ved t finde rumfnget for hver f disse pyrmider: O C D A E F B O C A D O C D A A B h A B E F 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 5
6 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Endeflderne hr relerne A og A. De tilhørende højder for pyrmiderne udgør den hlve højde f prismtoiden. Deres idrg til rumfnget er derfor givet ved V = A h= A h og V = A h= A h Sideflderne er lidt mere indviklede. Vi ser på sideflden ABCD som et eksempel. Det er en firknt, men ikke en vilkårlig firknt: Det er nødvendigvis et trpez! Treknten ABC udspænder nemlig en pln, der også må indeholde D. Men dette pln skærer de to prllelle endeflder i to prllelle snit, dvs. AB er prllel med CD. Midtvejs mellem de to prllelle knter AB og CD finder vi netop grundlinjen i treknten OEF. Grundlinjen EF er derfor gennemsnittet f de to kntlængder AB og CD. Hvis midtertværsnittet OEF står vinkelret på sideflden ABCD gælder derfor den følgende snedige omskrivning f rumfnget: Volumen[ OABCD] = højde[ O - ABCD] Arel[ ABCD] = højde[ O - ABCD] h længde[ EF] = højde[ O - ABCD] længde[ EF] h = Arel[ OEF] h Men selv om midtertværsnittet står skråt gælder præcis den smme omskrivning stdigvæk på grund f ligednnede treknter, jfr. øvelse 4 Øvelse 4 Hvis vi ser på prismtoiden fr siden, så de prllelle plner gennem sideflderne og midtertværsnittet fremstår som rette linjer, fås som vist en pln figur, der indeholder såvel trekntens højde, som pyrmidens højde og tilsvrende åde fstnden h mellem de prllelle sideflder og grundlinjen i sideflden ABCD. ) Argumentér ud fr ligednnethed t der må gælde højde i pyrmide højde i prismtoid = højde i treknt højde i sideflde ) Argumentér for t den ovenstående formel for rumfnget V = Arel[ OEF] h også må gælde selvom midtersnittet OEF står skævt på sideflden ABCD. Sidefldernes idrg er derfor lt i lt givet ved V = Arel[ VOEF] h+... midt ( ( V )...) = Arel OEF + h = A h midt Det smlede rumfng er derfor givet ved formlen A E O F C D B 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
7 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Sætning : Newtons Prismtoidformel Rumfnget f en prismtoid er givet ved V = V + V + V = A + A + A h midt 4 midt Newton selv mente i øvrigt ikke der vr tle om ny viden men lot om en genopdgelse f en gmmel hemmelig viden der gik tilge til ægyptisk visdom. Newton kendte dog ikke til Moskvppyrussen, men støttede sine ntgelser på en lkymistisk trdition, ifølge hvilken grækerne, hvor fx Thles og Pythgors hvde studeret i Ægypten, hvde kendsk til en esoterisk viden om den ægyptiske visdom som ntydet i de såkldte hermetiske skrifter, som Newton vr velevndret i. Hermes trismegistus, Sien (c. 480) Bemærkning: Prismtoidformlen kn også tolkes som t middeltværsnitsrelet er givet ved det vægtede gennemsnit A= A + A + A 4 midt Mn skulle nu tro t en så simpel formel ville finde nvendelse lle vegne i ingeniørrejder mm. hvor mn skl vurdere hvor meget jord mn skl grve væk, hvor meget tømmer mn hr fældet osv. Men i prksis er den for indviklet t ruge, netop fordi den kræver kendsk til tværsnitsrelet på midten. I prksis ruger mn derfor i stedet den simplere formel V» A + A h vel vidende t den i lmindelighed er forkert! Til gengæld er den nem t regne på. Skl det være fint slår mn så efterfølgende op i en tel og finder en korrektionsformel for det givne prismtoid. Men d forskellige prismtoider lt efter deres smmensætning hr forskellige korrektionsformler er også denne metode ret omstændelig i prksis.. Simpsons formel Newton overlod til sin elev Simpson t generlisere prismtoidformlen til omdrejningslegemer fremrgt f pssende keglesnit. Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes det hm t tilkæmpe sig en oglig uddnnelse og siden hen live udnævnt som professor i mtemtik. Selv om hn ikke vr den første til t nvende den nye integrlregning til t finde rumfng lev hns metode hængende, så hn i dg tilskrives æren for t hve fundet den såkldte simpsons formel. I 74 udgv hn Mthemticl disserttions on vriety of physicl nd nlyticl sujects (lndede fhndlinger om emner fr fysik og mtemtik), hvor hn l.. diskuterer den nu erømte tilnærmelsesformel for integrler: 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 7
8 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Simpsons ide er t pproksimere grfen c med et stykke f en prel, der går gennem de smme tre punkter, og c og så finde relet f denne pproksimerende prel udtrykt ved ordinterne, dvs. y- værdierne for grfpunkterne. Hns næste træk er elegnt: Hn etrgter prllelogrmmet udspændt f seknten c, der forinder grfpunkterne hørende til endepunkterne A og C og midtpunktstngenten ST hørende til midtpunktet B. Hn konstterer derefter t området mellem midtpunktstngenten og preluen (rødt) netop må udgøre / f prllelogrmmet. Tilsvrende må området mellem preluen og seknten (gult)netop udgøre / f prllelogrmmet. Argumentet er t prlen opfører sig på smme måde som en pyrmide, hvis rumfng netop udgør / højde grundflde og det er den smme tredjedel! I dg ser vi på forskellen mellem midtpunktstngenten (grfen for en lineær funktion) og prlen (grfen for et ndengrdspolynomium). I moderne forstnd udgør denne forskel et ndengrdspolynomium, der er 0 på midten og hr hældningen 0 på midten, dvs. det hr en forskrift på formen y= k x, men Simpson ppellerer selvfølgelig lot til stndrdviden om prler. For t finde relet skl vi integrere forskellen. Stmfunktionen er d givet ved k x og det er præcis herfr tredjedelen kommer. Simpson emærker dernæst t relet f trpezet fremrgt f seknten er for lille, mens relet f trpezet fremrgt f midtpunktstngenten er for stort, og t fejlen hørende til seknten (dvs. det gule område = / prllelogrm) netop er doelt så stor som fejlen hørende til midtpunktstngenten (dvs. det røde område = / prllelogrm). Altså kn vi finde det ekskte rel under prlen som et vægtet gennemsnit, hvor vi tildeler midtpunktstrpezet doelt så stor vægt som seknttrpezet: A A A simpson = seknt + midtpunkt Indsættes relformlen for et trpez, dvs. middelhøjde grundlinje, fås derfor: ( ) ( y 4 y y ) x A = y + y AC + y AC simpson A C B = + + D A B C Sætning : Simpsons formel Hvis fxer et polynomium f grd højst, så er integrlet givet ved ò æ + ö f( x) dx= ç f + 4 f + f( ) - è ø Midtpunktstrpez Seknttrpez 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 8
9 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Dette er netop den formel Simpson lev erømt for! Læg mærke til t strukturen for det vægtede gennemsnit er præcist det smme som i prismtoidformlen. Denne formel kn nemt udvides til en opdeling f grundlinjen for et integrl i n lige store delintervller med tilhørende midtpunkter, hvor den fører til pproksimtionsformlen - fx dx» fx + 4 fx + fx + 4 fx fx + fx ò ( 0 n- n ) n Men pointen er ltså også t hvis re f(x) er et polynomium f grd højst følger det f Simpson sætning t ét intervl med tilhørende midtpunkt er nok til t give den ekskte værdi f integrlet! Bemærkning: I B-ogens kpitel 5 er der et projekt, hvor du kn læse mere om de forskellige simple summer, der ruges til pproksimtion f integrler. Simpson fortsætter nu sin undersøgelse f sin sumformel med t kigge på rumfng for omdrejningslegemer, hvor hn specielt interesserer sig for rumfnget f kegler, kugler, ellipsoider eller omdrejningslegemer for de øvrige keglesnit: 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 9
10 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Først emærker hn t rumfnget f et legeme ltid kn opskrives som et integrl f tværsnitsrelet ò V = A( x) dx Dernæst emærker hn t tværsnitrelet for et omdrejningslegeme, hvor vi drejer grfen for f(x) omkring x-ksen, netop er det smme som relet f en cirkel med rdius f(x), dvs. V = π f( x) dx ò hvorfor rumfnget f omdrejningslegemet er det smme som relet under grfen for π fx. dv = A(x) dx A(x) A() x x+dx A() Men hvis grfen for fx er en ret linje, dvs. f( x) = x+, en cirkel, dvs. æ xö = - f( x) r x = -, en ellipse, æ xö dvs. f( x) = - ç, en hyperel f x ç eller en vndret prel f( x) = x+, så èø èø er π fx netop et ndengrdspolynomium og vi kn derfor nvende Simpsons sætning på kegler, kugler, ellipsoider, hyperoloider og proloider, hvor vi drejer keglesnittene om en kse. I lle tilfældene fås derfor V = A + A + A L midt hvor L er udstrækningen f legemet, dvs. keglestuen, kuglefsnittet, Men det er jo præcis den smme formel som prismtoidformlen! Prismtoidformlen gælder ltså for ethvert legeme, hvor tværsnitsrelet vrierer som et polynomium f grd højst. J fktisk gælder Simpsons sætning også for tredjegrdspolynomier, men det kn du læse mere om i projektet.xx om forindelsen mellem integrler og summer. Sætning 4: Newton-Simpsons prismtoidformel Hvis tværsnitsrelet A(x) f et legeme fgrænset f prllelle endeflder vrierer som et polynomium f grd højst som funktion f dyden x f snittet, så er rumfnget f legemet givet ved Newton-Simpsons formel: V = A + A + A L midt hvor A og A er relerne f endeflderne, A midt er relet f midtertværsnittet og L er dyden f legemet målt vinkelret på endeflderne. A A midt A L Øvelse 5 Gør rede for t Keplers tønderegel er et speciltilfælde f Newton-Simpsons formel. Øvelse ) Pyrmiden: Gør rede for t tværsnitsrelet for en pyrmide vrierer som kvdrtet på dyden, hvorfor pyrmiden opfylder forudsætningen i Newtons-Simpsons sætning. Gør også rede for t rumfnget f en pyrmidestu følger f sætningen. ) Prismtoiden: Vi lægger et d-koordintsystem, så de prllelle endeflder er prllelle med y-zplnen og dyden måles lngs x-ksen. Betrgt et tværsnit f prismtodien. Gør rede for t hjørnernes y,z-koordinter i tværsnitspolygonen er lineære funktioner f dyden x. Gør rede for t relet f tværsnitsrelet må være et ndengrdspolynomium i x. Vink: Find først en formel for relet f en treknt udtrykt ved hjørnernes koordinter. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 0
11 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Øvelse 7 Kuglezone: Kugleudsnit: Kuglefsnit (kugleklot): π V = rg + rt + h h V R h V = π rg + h h= π h R- h = π ) Gøre rede for t rumfngsformlerne for kuglezoner, kugleudsnit og kuglefsnit lle følger f prismtoidformlen. Den sidste formel lev enyttet i B-ogens kpitel (polynomier), fsnit, Eksempel: Archimedes' undersøgelse f kuglefsnit, d den viser t rumfnget f et kuglefsnit som funktion f dyden h netop er et tredjegrdspolynomium. Øvelse 8 Omdrejningsproloide: V r h Proloidestu: = π p ( G T ) V = r + r h ) Gøre rede for t rumfngsformlerne for omdrejningsproloiden og proloidestuen egge V = A + A h!) følger f prismtoidformlen (og endd f den forenklede formel Øvelse 9 I B-ogen opgve.49 så vi på rumfnget f en tønde: Figuren viser en tønde, der hr højden h og endefldedimeter d, og hvis dimeter på det redeste sted er D. Tøndens rumfng V er estemt ved V = ( D + dd+ d πh 4 ). 5 ) Find tøndens rumfng ud fr Keplers tønderegel. ) Antg t tønden er fremrgt ved t dreje en ellipse omkring dens storekse. Find konstnterne og i forskriften for ellipsen æ xö f( x) = - ç èø udtrykt ved d, D og h. c) Gør rede for t tønden fremrgt ved t dreje en ellipsoide opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning og find den tilhørende rumfngsformel for en ellipsetønde. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
12 Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider d) Antg i stedet t tønden er fremrgt ved t dreje en prel omkring en linje vinkelret på dens kse. Find konstnterne og c i forskriften for prlen g( x) = c- x udtrykt ved d, D og h. e) Gør rede for t den fremrgte tønde ikke opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning. Benyt i stedet integrlformlen V = ò A( x) dx, hvor Ax () er tværsnitsrelet, til t finde den tilhørende rumfngsformlen for en preltønde. tønde f) Udtryk tøndens rumfng på formen V = Vindskreven cylinder px, hvor x er forholdet mellem dimen- D teren i ugen og dimeteren i enden, dvs. x =. Bestem herved polynomiet px hørende til såvel d ellipsetønden og preltønden. Smmenlign de to polynomier. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1
Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereLukkede flader med konstant krumning
Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereProjekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN
Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereTeknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave
Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereMatematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010
Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........
Læs mereDifferential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.
Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereIntegralregning. Erik Vestergaard
Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul
Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.
Læs merek(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereDifferentialregning. integralregning
Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7
Læs mereNoget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2
Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mereFormelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks
Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:
Læs mere