p = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C
|
|
- Hilmar Ibsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk effekt, superledende materialer og mange andre. Mens de ligger allesammen inden for fysikens domæne, var der et rent matematisk fenomen som viste sig til at ligge bagved dem allesammen - ikke-kommuterende variable. Som basis for kvantemekanik blev det formuleret af Heisenberg i ligningen [p, q] = pq qp =, hvor p er momentum, q er beligenhed af en partikel og er en universal konstant - Plack konstanten. Rent matematisk fandtes der Schrödinger modelen for de relationer giver ved p = d, q = multiplikation med x, dx hvor d dx og x virker på et rum af C (R) differentiable funktioner af x. der fandtes også en diskret model, hvor p og q er givet ved to uændelige matricer. En konklusion fra de ovenstående er, at de naturlige algebra som optræder ved beskrivelse af natur er ikke kommutative, som n n matricer M n (C) eller algebra af begrænsede operatorer B(H) på et Hilbert rum H. Den umiddelbare næste trin er at se på dens delalgebra, af tekniske grunde afsluttet m.h.t. operator norm og, endnu mere vigtigt, under konjugering T T. De algebra som vi ender med kaldes for C*-algebra. Den simpleste eksempel er givet med komplekse tal C, hvor topologi er givet ved absolut værdi, z z, og konjugering ved den komplekse konjugering z z = z. Den (meget)lidt mere avanserede eksempel er M n (C), hvor adjungering er den sædvenlige transponeret konjugeret": a = {a ij } i,j=1,...,n {a ji } i,j=1,...,n = a Det er det samme som B(H), hvor H = C n er endeligt dimensional. Den første ikke endelig dimensional eksempel (ud over B(H)) er algebra K(H) af alle kompakte operatorer på et uendelig dimensional Hilbert rum H, dvs alle dem, som kan approksimeres (i norm) med dem med endelig rang (dvs. dem som lever på et endelig dimensional underrum). Den er vigtig nok til at blive kaldt den elementære C*-algebra. Ud over M n (C), B(H), og K(H), lad os tage et eksempel til. Den såkaldte ikkekommutative torus T θ, er en C*-algebra genereret af to unitære operatorer på et Hilbert rum, U og V, som opfylder relationen UV = exp 2πiθV U med en ikke-rational θ R. Den beskriver et elektron som bevæger sig på en todimensionel gitter i tværettet magnetisk felt. da vi vil bruge den som eksempel igen og igen, lad os skrive ned nogle af dens eganskaber. Theorem 1.1. T θ er simpel, dvs. givet en vilkårlig C*-algebra A, en kontinuert *-homomorphi Φ : T θ A er injektiv. Here *-homomorfi betyder at Φ er linear og opfylder Φ(ab) = Φ(a)Φ(b), Φ(a ) = (Φ(a)). T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C 1
2 2 som opfylder τ(1) = 1 og τ(ab) = τ(ba). Givet en unitær representation af T θ, dvs en *-homomorfi Φ : T θ B(H), dens billedmængde Φ(T θ ) indeholder aldrig nogle ikke nul kompakte operatorer på H. Inden vi fortsætter, lad os klare den kommutative tilfælde. (spektralsætningen for begrænsede operatorer): Theorem 1.2. En kommutativ C*-algebra med enhed er isomorf med algebra af kontinuerlige funktioner på et kompakt Hausdorff rum. Baseret på ovenstående resultat plejer man at sige at C*-algebra den beskriver et ikke-kommutativ topologisk rum. Der er nogle ting som mangler. En partial liste er: 1. Ikke Hausdorff topologiske rum, som optræder meget tit i naturen. den hurtigste eksempel er R/Q, som er ikke Hausdorff, faktisk de eneste kontinuerte funktioner på R som er invariante under alle translation med rationale tal er konstante. 2. Topologiske invarianter - som (ko)homologi grupper, som er normalt defineret ved at studere kombinatorik af den måde et topologisk rum kan bygges sammen af enkle elementer som f. eks. flerdimensionale kuber [0, 1] n. Den problem som opstår here er meget enkelt. En kontinuert afbilding φ : [0, 1] n X kan gengives ved at se på den tilsvarende afbilding (*-homomorfi) på niveau af funktioner C(X) f f φ C([0, 1] n ). Så, for eksempel, et punkt x X kan gengives ved at give et *-homomorfi f f(x) C Men da T θ er simpel, har den ingen *-homomorfier ind i C, dvs. den har ingen punkter! 1.2. Geometri. Hvordan opstår den i den ikke-kommutative verden? Ideen er meget enkelt, og vi vil gennemgår et eksempel. Lad X = {P, Q} være et topunktsmængde med diskret topologi. En kontinuert funktion på X er givet med et par tal, (f(p ), f(q)). Vi vil representere C(X) på to-dimensional Hilbert rum C 2 med følgende *-homomorfi: f Lad D være den følgende matrice: Bemærk at [D, f] = Df fd = l(f(p ) f(q)) Dermed ( f(p ) 0 0 f(q) ( 0 l l 0 ). ( ) ). l 1 = sup{ f(p ) f(q) [D, f] 1}. og [D, f] = l f(p ) f(q).
3 3 Vi kan bruge dette som en definition! Givet algebra A representeret på Hilbert rum H, og et operator (selfadjungeret) D på H, vi kan definere følgende afstandsbegræb. For to kontinuerte lineare funktionaler φ i : A C som er normaliseret, dvs. φ i (1) = 1, og positive, dvs. φ i (a a) 0 for alle a A, afstand mellem φ 1 ogφ 2 er givet ved d(φ 1, φ 2 ) = sup{ φ 1 (a) φ 2 (a) [D, a] 1}. Sådan et tripel (A, H, D) kaldes en spektral trippel. I vores topunktsmængde eksempel, punktet P giver et linear funktional φ P : f f(p ), tilsvarende Q, og vi har d(φ P, φ Q ) = l 1. Vi har konstrueret et metrik på X som giver den diameter l 1. Men nu kan vi stille og rolig udvide den til et metrik på M 2 (C) ved at bruge den samme formel! Inden vi begynder at drage nogle konklusioner, lad os tænke lidt om algebra som M N ()C. Hvis vi vil akceptere (som man tit gør i algebra), at M N (C) er bestemt ved dens representationer, så er der ikke meget forskel mellem C og M N (C). alle representationer af C er af formen af konstante matricer C λ λi k = λ λ λ λ på C k, mens alle representationer af M N (C) er af formen af blokdiagonaler a a M N (C) a a a på (C N ) k. Mand siger at de to algebra er em Morita ækvivalente. Det betyder, at det er ikke meget forskel mellem to punkter som er identificeret, dvs. X/ = {P, Q}/{P = Q} og to kryds to matricer M 2 (C). Men, som vi har set ovenfoe, det er næmt at give M 2 (C) en metrik, mens X/ er en etpunktsmængde, og dermed har ingen struktur. Det vi har lavet ovenover er lidt af en leg. Men lad os komme tilbage til den sære kvotientrummet R/Q. den har ingen ikke konstante kontinuerte funktioner, lige som vores etpunkts mængde X/. Men, lige som vi har kunnet erstatte X/ med en Morita ækvivalent algebra M 2 (C), kan vi erstatte vores intuitiv forståelse af kvotienten R/Q med en pænt C*-algebra som har følgende elementer: som analog af diagonale matricer de kontinuerte funktioner på R; som analog af de ikke diagonale matriceenheder translationer med rationale tal. Here hedder konstruktionen krydsprodukt Q C 0 (R). ideen er, at Q C 0 (R) består af (nogle af) summer af formen c q λ(q) q Q
4 4 hvor c q er kontinuerte funktioner på R og, for en vilkårlig funktion f på R og q Q gælder følgende kommutationsrelation: (λ q fλ q )(x) = f(x q). Det er vigtig at bemærke her, at i analogi med endelige matricer, kan vi næmt konstruere naturlig forekommende tripler af formen (Q C 0 (R), H, D), og, lidt poppet op, eksemplen optræder i forbindelse mede talteori Topologiske invarianter. Triplene (A, H, D) kan gives en ækvivalens relation, så at ækvivalenslasser danner en abelsk gruppe gruppe af homotopi invarianter af A, dens K-homologi K 1 (A). Det bliver lidt for teknisk at komme ind på hvad der forstås med homotopi, men i den abelske tilfælde, med A = C(X) for st kompakt Hausdorff rum X, K 1 (X) er invariant under kontinuerte deformationer af X. det er nok påsin plads at bemærke, at den blev først konstrueret for de ikke-kommutative algebra. En anden topologisk invariant er givet med ækvivalensklasser af projektioner. En projektion er en element p A som opfylder p 2 = p = p. Hvert gang A representeres som et konkret algebra af operatorer på et Hilbert rum, en projektion bliver representeret som et ortogonal projektion på et underrum. To projektioner p og q kaldes ækvivalente, hvis der findes to elementer u og v af A so at p = uv og q = vu. Vi vil betegne dette med [p] = [q]. For eksempel, to orthogonale projektioner på endelig dimensionale underrum af et givet Hilbert rum H er ækvivalente i K(H) netop hvis dimmensioner af deres billedrum er ens. Igen, ud af ækvivalensklasser af projektioner dannes et abelsk gruppe, K 0 (A), den lige K-kohomologi gruppe af A. Den viser sig at være en af de vigtigste invarinter af A, allerede i den kommutative tilfælde Indekssætninger. En god eksempel er fœlgende. Lad D = a(x) d dx + b(x) være en differential operator på R og lad D = d dxa(x) + b(x). Vi er intereseret i løsninger af ligninger af formen Df = g. Under enkle betingelser på funktioner a og b, fœlgende to underrum af kvadratisk integrable funktioner på R er endelig dimensionale: KerD = {f Df = 0}; CokerD = KerD. Den mest oplagte spørgsmål er: Find dim(kerd) dim(cokerd) vel at mærke uden at finde den eksplicite løsning af Df = g! Den (hele) tal, som står påden venstre, side kaldes for indeks af D, og svaret kaldes for em indeks sætningen. Svaret er givet i Atiyah-Singer Indeks Sætningen. Da dens formulering kræver forarbejde, vil den udelades her. Den kaldes ofte for en af de vigtigste resultater i den tyvende århundredets matematik.
5 Lad os dog omformulere den lidt. Først, givet et Hilbert rum H og et endelig dimensional underrum V lad p betegne den ortogonale projektion på V. da gælder dimv = T rp, hvor T r er den sædvenlige spor - dvs. summen af diagonale elementer af matricen som udtrykker p i en (ortonormal) basis. Lad p og q være projektioner på henholdsvis KerD og CokerD givet som ovenfor. Da de er endelig dimensionale sidder de begge i K(L 2 (R), kompakte operatorer påhilbert rum af kvadratisk integrable funktioner på R. Det betyder at Vi kan nu skrive [p] [q] K 0 (K(L 2 (R)). IndeksD = T r(p) T r(q) og tænke på den lighed som beregning af værdi af gruppehomomorfi på en konkret element af K 0. T r : K 0 (K(L 2 (R)) Z R 1.5. Hvad forsker jeg i. Den korteste svar. Givet konkrete naturlig forekommende algebra A, hvad er (1) Hvad er K 0 (A). (2) Hvad kan bruges som φ i homomorfier φ : K 0 (A) R (3) Hvad bliver værdier af φ på naturlig forekommende elementer af K 0 (A). Den lidt længere besvarelse. De φ er som kan erstatte den anmindelige spor af en matrice kaldes cykliske kocykler. De er giver ved multilineare afbildinger med følgende to egenskaber: (1) Cyklicitet (2) Kocykel egenskab: φ : A A... A C φ(a 0,... a n ) = ( 1) n+1 φ(a n, a 0,..., a n 1 ). φ(a 0 a 1, a 2,... a n+1 ) φ(a 0, a 1 a 2,..., a n+1 )±...+( 1) n+1 φ(a n+1 a 0, a 2,... a n ) = 0. De danner et vektorrum som kaldes for cyklisk kohomologi af A og betegnes med HC (A). Deres værdier på projektionsklasser er givet ved < φ, [p] >= φ(p, p,..., p). I modsætning til K-teori, er HC beregnelig ved homologiske metoder, og i de fleste geometriske situationer eller anvendelser til matematisk fysik dukker op nogle naturlige cykliske kocykler som beskriver interesante størrelser. De algebra som er af interesse opstår i følgende situationer (Pseudo)differentiale operatorer. De har forbindelse til både indeks af differentiale operatorer men også geometri af mangfoldigheder. Formale deformationer af kommutative algebra. En eksempel er givet ved algebraen genereret af størrelser (p, q, ) med relation [p, q] = som vi begyndte med, men hvor betragtes som en variabel istedet for fast tal. Det er deformationen af algebra af funktioner i to kommuterende variable (p 0, q 0 ). De opstår i differential geometri og fysik. 5
6 6 Fourier integrale operatorer. De kan tænkes som løsninger af evolutionsligningen, dvs, givet et differential operator D, t f + Df = g = f(t) = Φ t (f). den slags Φ t har et geometrisk beskrivelse som involverer Fourier Transform - derfor navnet Fourier integrale operatorer. Riemann-Roch sætning for D-moduler. Vi skal nok lade være at komme ind på hvad det egentlig betyder, lad os bare sige at det giver os mulighed for at løse indeks problem for algebraiske ligninger (i modsætning til differentiale ligninger som ovenover. Sidst, med ikke mindst, konkrete C*-algebra som bruges i forskellige sammenhænge - representationsteori af grupper...
Lineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mere3. Operatorer i Hilbert rum
3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereMATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1
OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereSpingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen
40 Formidlingsaktivitet Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen Indledning Som en del af kandidatuddannelsen i matematik forlanges det, at den studerende udfører visse formidlingsaktiviteter.
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereSelv-absorberende C*-algebraer
Selv-absorberende C*-algebraer Speciale af Randi Rohde 5. marts 006 Vejleder: Mikael Rørdam Indhold Indledning Tensorprodukter 3. Indledende resultater................................. 3. Fuldstændigt
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereGruppekohomologi og Gruppeudvidelser
DET NATURVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Lise Volsing Smith Gruppekohomologi og Gruppeudvidelser Bachelorprojekt i matematik. Institut for matematiske fag, Københavns Universitet Bachelor
Læs mereKommutativ harmonisk analyse
Kommutativ harmonisk analyse F 999 Henrik Stetkær Indhold I Topologiske grupper........................ II Sideklasserum.......................... III Haar integralet.......................... 7 IV Banach-algebraen
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mere