Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel."

Transkript

1 Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. På Z har vi noget, vi kalder + plus. Det er en regneoperation, der til to hele tal m og n knytter et nyt helt tal m + n. I mængden Z er der et tal, der opfører sig specielt. Det er tallet 0, der har egenskaben m + 0 = 0 + m = m for alle m Z. Ydermere har ethvert helt tal m et omvendt tal, nemlig m, som opfylder m + m = m + m = 0. Sidst men ikke mindst er det ligegyldigt, hvordan vi sætter parenteser, når vi lægger hele tal sammen. Der gælder, at for alle m, n, r Z. m + n + r = m + n + r Det forekommer måske mærkeligt, at vi i ovenstående eksempel fremhæver en række egenskaber, som vi ganske udmærket kender i forvejen, men prøv alligevel at have eksemplet i baghovedet ved gennemlæsningen af det næste eksempel. Prøv især at lægge mærke til, hvordan de tre centrede ligninger næsten går igen. Eksempel 1.2. Lad Q betegne mængden af de rationale tal brøker, { m } Q = n m, n Z, n 0, og sæt Q = Q \ {0}. Det vil sige, at Q er mængden af alle rationale tal undtagen 0. På Q har vi regneoperationen gange, der til to tal x, y Q 1

2 knytter et nyt tal x y Q. Der er i Q et særligt tal, nemlig 1, som har egenskaben 1 x = x 1 = x for alle x Q. Derudover har ethvert tal x Q et omvendt tal, nemlig 1 x, som opfylder 1 x x = x 1 x = 1. Bemærk, at det her er vigtigt, at det er Q, og ikke hele Q, vi betragter. Tallet 0 har nemlig ikke noget omvendt tal. Til sidst bemærker vi, at det er ligegyldigt, hvordan vi sætter parenteser, når vi ganger tal i Q sammen. Der gælder, at x y z = x y z for alle x, y, z Q. Prøv at lade blikket glide ned over de to ovenstående eksempler. Rent typografisk er der ikke meget, der adskiller dem. I det store hele har vi i det andet eksempel blot erstattet Z med Q og plus med gange. 2 Gruppebegrebet Vi så i det foregående afsnit, at mængderne Z og Q udstyret med henholdsvis + og havde meget til fælles. Disse observationer vil vi i dette afsnit forsøge at samle sammen i en abstrakt definition, som Z og Q er specialtilfælde af. Definition 2.1. Lad M være en mængde. Ved en sammensætning på M forstås en tilordning, der til to elementer a, b M knytter et nyt element a b M. Bemærk, at vi allerede er stødt på sammensætninger: Regneoperationerne + og på henholdsvis Z og Q er eksempler på sammensætninger. Vi er nu i stand til at formulere definitionen af en gruppe. Definition 2.2. En mængde G med en sammensætning kaldes en gruppe, hvis følgende tre punkter er opfyldt: 1 For alle a, b, c G er a b c = a b c. 2 Der findes et element e G, så e a = a e = a for alle a G. 3 For alle a G findes et b G, så b a = a b = e. 2

3 Måske synes denne definition ved første øjekast at være lige lovlig abstrakt, men bemærk lige, hvad det er, vi har gjort: Vi har skåret eksemplerne Z med + og Q med helt ind til benet. Hvis vi sætter G = Z og lader betegne +, så har vi jo allerede tjekket, at 1, 2 og 3 er opfyldt. Tilsvarende gør sig gældende for G = Q, hvor nu spiller rollen som. Ideen med at abstrahere fra konkrete eksempler er et gennemgående tema i matematikken. Man forsøger at skære overflødig information væk i håbet om at skabe klarhed. Når vi beskæftiger os med grupper i den abstrakte forstand, har vi i forhold til eksemplerne Z og Q givet afkald på en masse information. Det eneste, vi har beholdt, er spillereglerne 1, 2 og 3, og vi skal ikke længere bekymre os om, hvorvidt vi har med hele tal, brøker eller måske noget helt tredje at gøre. Hvem siger, at det i det hele taget skulle dreje sig om tal? Det står der ikke noget om i definitionen af en gruppe! I det følgende vil vi med med udtrykket G, er en gruppe mene, at G er en gruppe med sammensætning. Man skal være på vagt, når man beskæftiger sig med grupper i den abstrakte forstand. Mange af de egenskaber, som vi måske har taget for givet for konkrete grupper, er ikke altid så oplagte længere. De er måske oven i købet forkerte! Lad os se, hvor man for eksempel kunne gå galt i byen: Inspireret af eksemplerne Z og Q kunne man måske fristes til at tro, at der i en vilkårlig gruppe G med sammensætning altid gælder, at a b = b a for alle a, b G. Dette er ikke tilfældet, og vi vil snart se et eksempel på dette fænomen. Lad os se på et andet potentielt problem. I eksemplet med Z er det klart, at 0 er det eneste tal, der kan spille rollen som e i definitionen af en gruppe. Tilsvarende gør sig gældende for tallet 1 i eksemplet med Q. Hvordan mon det forholder sig en vilkårlig gruppe? Punkt 3 siger, at et sådant element skal findes, men der står intet om, at der ikke kan findes flere. Denne gang har vi dog heldet med os. Sætning 2.3. Lad G, være en gruppe. Da findes præcis ét element e G, som opfylder e a = a e = a for alle a G. Bevis. Vi ved i følge punkt 3, at et sådant element findes, så vi skal blot gøre rede for, at der ikke findes flere. Antag derfor, at f opfylder f a = a f = a for alle a G. Vi skal vise, at f = e. Da f a = a for alle a G, gælder dette specielt, hvis vi sætter a = e. 3

4 Altså har vi f e = e. 2.1 Husk nu, at e opfylder a e = a for alle a G. Så gælder det specielt for a = f, så vi ser, at f e = f. 2.2 Altså får vi ved at kombinere ligningerne 2.1 og 2.2, at Hermed har vi vist det ønskede. f = f e = e. På helt tilsvarende vis kan man bevise den følgende sætning. Vi overlader beviset som en øvelse til læseren. Sætning 2.4. Lad G, være en gruppe, og lad a G. Da findes præcis ét element b G, som opfylder b a = a b = e. Vi ved nu, at alle elementer i en gruppe har et entydigt bestemt omvendt element. Det omvendte element af et element a vil vi fremover betegne a 1. Vi vil dog i særlige tilfælde, hvor der er tradition for at bruge en anden notation, bruge en anden betegnelse end a 1. For eksempel i gruppen Z med +, hvor det er naturligt at skrive a for det omvendte element af et helt tal a. Definition 2.5. Lad G, være en gruppe. En delmængde H af G kaldes en undergruppe af G, hvis H, er en gruppe. Lad G, være en gruppe, og lad H være en delmængde af G. Hvordan tjekker man, om H er en undergruppe af G? Kravet er, at H, er en gruppe, så for det første skal være en sammensætning på H. Altså skal der gælde g h H for alle g, h H. For det andet skal punkterne 1, 2 og 3 i definitionen af en gruppe være opfyldt. Kravet i punkt 1 er stadig opfyldt, når vi holder os til H, så det er kun 2 og 3, der skal tjekkes. 4

5 Øvelser Øvelse 1. Lad G være en gruppe med sammensætning, og lad a, b, c G opfylde a b = a c. Vis, at b = c. Øvelse 2. Lad G være en gruppe med sammensætning, og lad a, b, c G. Vis, at a b 1 = b 1 a 1. Øvelse 3. En gruppe G kaldes abelsk, hvis a b = b a for alle a, b G. Vis, at hvis G er en gruppe, hvor a a = e for alle a G, så er G abelsk. Øvelse 4. Lad G, og H, være grupper, og lad G H betegne det cartesiske produkt af G og H. Det vil sige G H = {g, h g G, h H}. Vis, at G H,, hvor er givet ved er en gruppe. g, h g, h = g g, h h, Øvelse 5. Lad n Z, og sæt nz = {n m m Z}. Vis, at nz er en undergruppe af Z. Øvelse 6. Lad G være en undergruppe af Z. Vis, at der findes et n Z, så G = nz. Øvelse 7. Lad G = {a, b} være en mængde med to elementer, og definer en sammensætninger og på G ved a b a a b b b a og a b a b a b a b og vis, at G, og G, er grupper. Bemærk, at sammensætningerne og ikke adskiller sig meget fra hinanden. Elementerne a og b har blot skiftet roller. Prøv med mængder med 3 og 4 elementer og se, om hvor mange sammesætninger, du kan lave på dem. Vil du kalde nogle af dem - som for eksempel og ovenfor - ens? 5

6 3 Symmetriske grupper Lad S n betegne mængden af alle ombytninger af tallene i mængden {1, 2,..., n}. Lad σ S n være en ombytning. Da betegner vi for alle i = 1, 2,..., n med σi det tal, som σ ombytter i til, og givet to ombytninger σ, τ S n skriver vi σ τ for den sammensatte ombytning, som er givet ved σ τi = στi for alle i = 1, 2,..., n. Det vil altså sige først τ og derefter σ. Det er ikke svært at vise, at S n, er en gruppe, og det overlader vi til øvelserne. Definition 3.1. En ombytning σ S n kaldes en k-cykel, hvis der findes k forskellige tal 1 i 1, i 2,..., i k n, så σi 1 = i 2, σi 2 = i 3,..., σi k 1 = i k, σi k = i 1, og så σi = i, hvis i / {i 1, i 2,..., i k }. Vi benytter notationen σ = i 1 i 2 i k. Vi må vist hellere illustrere definitionen af en k-cykel med et eksempel! Eksempel 3.2. Betragt ombytningen σ S 4, som er givet ved σ1 = 3, σ2 = 1, σ3 = 2 og σ4 = 4. Bemærk, at σ1 = 3, σ3 = 2, σ2 = 1, og da σ4 = 4, vil det sige, at σ er en 3-cykel. Med notationen fra definitionen har vi σ = Denne notation er meget overskuelig, idet vi undgår at skrive det ene σ efter det andet, og idet vi ikke noterer de tal, som σ alligevel ikke gør noget ved. I dette eksempel drejer det sig om tallet 4. Sætning 3.3. Enhver ombytning i S n kan skrives som en sammensætning af cykler. Vi vil ikke bevise denne sætning, som vi i stedet nøjes med at illustrere med et eksempel. Ideen i eksemplet kan bruges til at give et konstruktivt bevis for sætningen. 6

7 Eksempel 3.4. Betragt ombytningen σ S 6 givet ved σ1 = 3, σ2 = 6, σ3 = 1, σ4 = 2, σ5 = 5, σ6 = 4. Vi går frem på følgende måde: Først skriver vi 1? og spørger, hvad σ gør ved 1. Da σ1 = 3, skriver vi 1 3? og ser, hvad σ gør ved 3. Da σ3 = 1, afsluttes cyklen, og vi begynder en ny cykel med et tal, som ikke indgår i den foregående ?. Da σ2 = 6, skriver vi ? og spørger, hvad σ gør ved 6. Idet σ6 = 4, skriver vi ?, og da σ4 = 2, afsluttes parentesen Til sidst har vi ?, og da σ5 = 5, afsluttes parentesen. Resultatet er altså Hvis vi tror på, at denne fremgangsmåde virker, har vi fundet frem til, at σ =

8 Øvelser Øvelse 8. Vis, at S n, er en gruppe. Øvelse 9. Find ombytninger σ, τ S 3, som opfylder σ τ τ σ. Her ser vi dette første eksempel på en ikke-abelsk gruppe. Øvelse 10. Lad σ S 7 være givet ved σ1 = 4, σ2 = 6, σ3 = 5, σ4 = 1, σ5 = 3, σ6 = 7, σ7 = 2. Skriv σ som en sammensætning af cykler. Kan det gøres på flere måder? Øvelse 11. En 2-cykel, altså en cykel på formen i j, hvor i j, kaldes en transposition. Skriv cyklen S 3 som en sammensætning af transpositioner. Øvelse 12. En transposition på formen i i + 1 kaldes en simpel transposition. Skriv cyklen S 6 som en sammensætning af simple transpositioner. Øvelse 13. Gør rede for - eventuelt ved at vifte lidt med armene - at enhver ombytning i S n kan skrives som en sammensætning af simple transpositioner. Man siger, at S n er frembragt af de simple transpositioner. 8

9 4 Diedergrupper Betragt et kvadrat A B O D C i planen med centrum O og hjørner A, B, C og D. Lad r θ betegne drejningen af kvadratet omkring O gennem vinklen θ i positiv omløbsretning. Det vil altså sige mod uret. Lad s betegne spejlingen af kvadratet i linjen gennem midtpunkterne af de vandrette sider, s A B t D C og lad t betegne spejlingen i linjen gennem midtpunkterne af de lodrette sider. Hvis x og y er spejlinger eller drejninger, skriver vi x y for sammensætningen af x og y. Det vil altså sige først y og derefter x. Bemærk, at t r π/2 er spejlingen af kvadratet i linjen gennem A og C, A B D C mens s r π/2 er spejlingen i linjen gennem B og D. Sæt D 4 = {r 0, r π/2, r π, r 3π/2, s, t, s r π/2, t r π/2 }. Da er D 4, en gruppe! Vi vil ikke vise dette, som forhåbentligt er til at tro på ud fra de geometriske betragtninger ovenfor. Gruppen D 4 er et eksempel på en diedergruppe. Genrelt defineres D n som gruppen af drejninger og spejlinger af en regulær n-kant. 9

10 Øvelser Øvelse 14. Vis, at {r 0, r π/2, r π, r 3π/2 } er en undergruppe i D 4. Øvelse 15. Hvad er de omvendte elementer af elementerne i D 4? Øvelse 16. Vis, at alle drejningerne r 0, r π/2, r π og r 3π/2 kan skrives som sammensætninger af spejlingerne s, t, s r π/2 og t r π/2. Dette udtrykkes ofte ved at sige, at D 4 er frembragt af spejlinger. Øvelse 17. Opskriv elementerne i D 3. De relevante spejlingsakser er indtegnet nedenfor. A B C Øvelse 18. Er D 3 også frembragt af spejlinger? Er alle D n frembragt af spejlinger? 10

11 5 Division med rest De to grupper Z og Q er begge eksempler på uendelige grupper, mens S n og D n er endelige grupper. Fra nu af vil vi fokusere på endelige grupper. Ved ordenen af en endelig gruppe forstås antallet af elementer i gruppen. Vi indleder med at repetere begrebet division med rest. Sætning 5.1. Lad n og d være hele tal, og antag d > 0. Da findes entydigt bestemte tal q, r Z, som opfylder n = qd + r og 0 r < d. Tallet r kaldes resten af n ved division med d. Hvis r = 0, er n = qd, så d går op i n. Dette skrives kort d n. Vi vil ikke bevise Sætning 5.1, men nøjes i stedet med at illustrere den med et eksempel. Eksempel 5.2. Sæt n = 33 og d = 7. Da 4 7 = 28 og 5 7 = 35, ser vi, at det højeste antal gange, som 7 går op i 33, er 4. Tilbage er = 5. Altså kan vi sætte q = 4 og r = 5. Lad nu d være et helt tal, og antag d > 0. I følge Påstand 5.1 findes der til ethvert n Z entydigt bestemte tal q n og r n, som opfylder n = q n d + r n og 0 r n < d. For ethvert m Z definerer vi [m] d = {n Z r n = r m }. Det vil altså sige, at [m] d er mængden af de hele tal, der har samme rest som m ved division med d. Vi vil nu finde en lidt mere bekvem beskrivelse af mængden [m] d. Sætning 5.3. Lad m, d Z og antag d > 0. Da er { } [m] d = n Z d n m. Bevis. Når man skal vise, at to mængder er ens, viser man, at den første er indeholdt i den anden, og at den anden er indeholdt i den første. Lad n [m] d. Vi skal vise, at d n m. At n [m] d betyder ifølge definitionen af [m] d, at r n = r m, så idet n = q n d + r n og m = q m d + r m, følger det, at n m = q n d + r n q m d + r m = q n d q m d = q m q n d, 11

12 hvilket viser, at d n m. Antag nu omvendt, at d n m. Vi skal vise, at n [m] d. Idet d n m, findes et k Z, så n m = kd. Heraf følger, at q n d + r n = n = m + kd = q m d + r m + kd = q m + kd + r m, så entydigheden af r n giver, at r n = r m. Det vil sige, at n [m] d. Lad os se på et eksempel. Eksempel 5.4. Lad d = 2. Vi vil beskrive [m] 2 for m Z. Sættes m = 0, giver Påstand 5.3, at { } [0] 2 = n Z 2 n. Det vil sige, at [0] 2 er mængden af alle de tal, som 2 går op i. Disse er netop de lige tal, så [0] 2 = {..., 4, 2, 0, 2, 4,...}. Ved nu at sætte m = 1, giver Påstand 5.3, at { } [1] 2 = n Z 2 n 1. Altså er [1] 2 mængden af de tal, n, der opfylder, at n 1 er lige. Disse er netop de ulige tal, så [1] 2 = {..., 3, 1, 1, 3,...}. Lad nu m Z være vilkårligt. Da kan vi ved division med rest finde q, r Z med 0 r < d, så m = qd + r. Da m og r har samme rest, nemlig r, ved division med d, har vi [m] d = [r] d. Altså kan ethvert [m] d skrives på formen [r] d, hvor 0 r < d. Det vil sige, at Denne mængde vil vi betegne Z d. {[m] d m Z} = {[0] d, [1] d,..., [d 1] d }. Eksempel 5.5. I det forrige eksempel fandt vi beskrivelser af mængderne [0] 2 og [1] 2. For et vilkårligt m Z er resten af m ved division med 2 enten 0 eller 1, så [m] 2 = [0] 2 eller [m] 2 = [1] 2. Overvej, at det første er tilfældet, hvis m er lige, og at det sidste er tilfældet, hvis m er ulige. 12

13 Øvelser Øvelse 19. Find resten af 87 ved division med 9. Øvelse 20. Beskriv mængderne [m] 3 for alle m Z. Øvelse 21. Lad d > 0. Vis, at [n] d = [m] d, hvis og kun hvis d m n. 13

14 6 Cykliske grupper Vi skal nu se, at Z d har struktur som en gruppe for alle d > 0. Sætning 6.1. Lad d > 0, og lad som ovenfor Z d = {[m] d m Z}. Der findes en sammensætning på Z d, som er givet ved for alle m, n Z. [m] d [n] d = [m + n] d Bevis. For at vise, at på Z d er en sammensætning, må vi vise, at dette er veldefineret. Vi ved fra Eksempel 5.5, at vi sagtens kan have [m] d = [m ] d, selv om m m. Definitionen [m] d [n] d = [m + n] d ser ud til at afhænge af valget af repræsentanterne m og n, og det er op til os at vise, at det ikke er tilfældet. Antag derfor, at vi har et andet par repræsentanter m og n. Det vil sige, at [m] d = [m ] d og [n] d = [n ] d. Vi skal vise, at der gælder [m + n] d = [m + n ] d. Idet [m] d = [m ] d, gælder d m m, og tilsvarende gælder d n n, da [n] d = [n ] d. Heraf følger, da at Altså er [m + n] d = [m + n ] d. m + n m + n = m m + n n, d m + n m + n. Sætning 6.2. Lad d > 0. Da er Z d, en gruppe. Bevis. Vi skal tjekke, at punkterne 1, 2 og 3 i definitionen af en gruppe er opfyldt. Idet der for alle hele tal m, n, og r gælder, at m + n + r = m + n + r, ser vi, at [m] d [n] d [r] d = [m + n] d [r] d = [m + n + r] d = [m + n + r] d = [m] d [n + r] d = [m] d [n] d [r] d 14

15 for alle elementer [m] d, [n] d og [r] d i Z d. Dette viser punkt 1. For at vise punkt 2 bemærker vi, at [0] d opfylder [0] d [m] d = [0 + m] d = [m] d og [m] d [0] d = [m + 0] d = [m] d for alle elementer [m] d i Z d. Lad nu [m] d være et element i Z d. Da er [m] d + [ m] d = [m m] d = [0] d og [ m] d + [m] d = [ m + m] = [0] d, hvilket viser, at [m] d har et omvendt element, nemlig [ m] d. Dette viser punkt 3. Gruppen Z d kaldes den cykliske gruppe af orden d. 7 Isomorfibegrebet I dette afsnit vil vi diskutere, hvornår vi vil kalde to grupper ens. Definition 7.1. Lad G, og H, være grupper. En funktion f : G H kaldes en gruppehomomorfi, hvis fg g = fg fg for alle g, g G. Bemærk, at betingelsen fg g = fg fg i definitionen ovenfor betyder, at det er ligegyldigt, om man først sammensætter elementerne g og g i G og derefter anveder f, eller om man først anvender f på g og g og derefter sammensætter elementerne fg og fg i H. Eksempel 7.2. Lad d > 0, og lad f d : Z d Z d være givet ved f d [m] d = [2m] d. Som tidligere, er der noget, der lige skal tjekkes: Er funktionen f d veldefineret? Hvis [m] d = [n] d, er så [2m] d = [2n] d? Ja, thi hvis [m] d = [n] d, så gælder d m n og dermed også d 2m 2n, og dermed er [2m] d = [2n] d. Lad os vise, at f d er en gruppehomomorfi: For elementer [n] d og [m] d i Z d gælder, at f d [n] d [m] d = f d [n + m] d = [2n + m] d = [2n + 2m] d = [2n] d [2m] d = f d [n] d f d [m] d. Definition 7.3. Lad G og H være grupper. En gruppehomomorfi f : G H kaldes en gruppeisomorfi, hvis følgende krav er opfyldt: 1 Hvis g, g G opfylder fg = fg, så er g = g. 2 For ethvert h H findes et g G, så fg = h. 15

16 Hvis der findes en gruppeisomorfi f : G H, siges grupperne G og H at være isomorfe grupper. Vi vil tænke på to grupper som værende ens, hvis de er isomorfe. Lad os overveje, hvorfor dette synes rimeligt: Lad f : G H være en gruppeisomorfi. Definitionen af en gruppeisomorfi giver, at der er en 1-1 korrespondance mellem elementerne i G og H, og da f er en gruppehomomorfi viser diskussionen efter Definition 7.1, at der i princippet ikke er forskel på sammensætningerne i henholdsvis G og H. 16

17 Øvelser Øvelse 22. Betragt gruppehomomorfierne f d, hvor d > 0, fra Eksempel 7.2. Vis, at f 3 er en gruppeisomorfi. Er f 4 en gruppeisomorfi? Øvelse 23. Vis, at f : Z Z, hvor fn = n 2, er en funktion, som ikke er en gruppehomomorfi. Øvelse 24. Gør rede for, at funktionen f : Z Z d givet ved fn = [n] d er en gruppehomomorfi. Øvelse 25. Lad f : G H være en gruppehomomorfi og definer billedet af G under f ved imf = {fg g G}. Vis, at imf er en undergruppe af H. Øvelse 26. Lad f : G H være en gruppehomomorfi og definer kernen for f ved kerf = {g G fg = e}. Vis, at kerf er en undergruppe af G. Øvelse 27. Lad f : G 1 G 2 og g : G 2 G 3 være gruppehomomorfier. Vis, at den sammensatte funktion g f : G 1 G 3 er en gruppehomomorfi. Vis også, at g f er en gruppeisomorfi, hvis både f og g er gruppeisomorfier. Øvelse 28. Vis, at grupperne D 3 og S 3 er isomorfe grupper. Hvorfor er D n og S n ikke isomorfe grupper, når n 3? Øvelse 29. Vis, at Z 2 Z 3 og Z 6 er isomorfe grupper. Er Z 2 Z 4 og Z 8 isomorfe? Hvornår mon Z m Z n og Z mn er isomorfe? Øvelse 30. Lad G og H være grupper, og lad s: G H være en gruppeisomorfi. Vis, der er findes en funktion t: H G, som opfylder tsg = g for alle g G og sth = h for alle h H. Vis, at t er en gruppeisomorfi. 17

18 8 Grupper af primtalsorden Det er generelt svært at sige, hvor mange forskellige grupper - det vil sige grupper, der ikke er isomorfe - der findes af en given orden. Hvis G er en gruppe af orden p, hvor p er et primtal, er det derimod ikke så svært. Der gælder følgende vigtige sætning, som vi ikke vil bevise her. Sætning 8.1 Lagrange. Lad G være en endelig gruppe, og lad H være en undergruppe af G. Da gælder H G. Lad G være en endelig gruppe af orden p, hvor p er et primtal, og vælg et element g e i G. Sæt g = {g n n Z}. Det overlades til læseren at vise, at g er en undergruppe af G. Da g e, er g > 1, og i følge Sætning 8.1 går g op i p. Da p er et primtal, må vi da have g = p, så G = g. Heraf følger, at Vi er nu nået til hovedresultatet! G = {e, g, g 2,..., g p 1 }. Sætning 8.2. Lad G, være en endelig gruppe af orden p, hvor p er et primtal. Da er G isomorf med Z p. Bevis. I følge diskussionen ovenfor er G = {e, g, g 2,..., g p 1 }. Definer nu en funktion f : Z p G ved f[m] p = g m. Som sædvanlig skal vi lige tjekke, at funktionen f er veldefineret. Hvis [m] p = [n] p, gælder p m n. Derfor m n = kp for et k Z, og dermed er m = n + kp. Heraf følger, at g m = g n+kp = g n g kp = g n g p k = g n e k = g n e = g n, så f er veldefineret. Det overlades til læseren at tjekke, at f er en gruppehomomorfi. Definitionen af f viser direkte, at f rammer ethvert element i G, og da G og Z p indeholder lige mange elementer, bliver hvert element i G ramt præcist én gang. Det betyder altså, at f er en gruppeisomorfi. 18

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Invarianter og kombinatoriske beviser

Invarianter og kombinatoriske beviser Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Symmetri i natur, kunst og matematik

Symmetri i natur, kunst og matematik Symmetri i natur, kunst og matematik Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1. februar 2017 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur,

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eleverne skal lave tre forskellige typer af svar på opgaven: Almindelige, vanskelige og smarte.

Eleverne skal lave tre forskellige typer af svar på opgaven: Almindelige, vanskelige og smarte. Åben og undersøgende julematematik Jul er jo en herlig tid, og jeg har givet mig selv den opgave at finde på en juleopgave, inden for hver af de seks typer af åbne og undersøgende aktiviteter, som jeg

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere