Kvartetafstand Chris Christiansen

Transkript

1 Kvartetafstand Chris Christiansen 1 af 58

2 Oversigt Kvartetafstanden. Skitsering af algoritmer. Implementering og tool. Eksperimenter. Visualisering. 2 af 58

3 Afstand mellem træer 3 af 58

4 Træer Rodet Urodet 4 af 58

5 Fylogenetiske træer Sammenhænge mellem arter 5 af 58

6 Forskellige træer Forskellige rekonstruktionsmetoder kan give forskellige træer, med samme input data. Forskelligt data kan give forskellige træer for samme rekonstruktionsmetoder. 6 af 58

7 Kvartetafstand Kvartet: Fire navngivne blade i et træ. a d c b 7 af 58

8 Kvartetafstand Kvartet: Fire navngivne blade i et træ. Kvartettopologi: Konfigurationen af kvartettens fire blade i træet. a d c b a d Fire mulige kvartettopologier: c b 8 af 58

9 Kvartetafstand Kvartet: Fire navngivne blade i et træ. Kvartettopologi: Konfigurationen af kvartettens fire blade i træet. a d c b a d Fire mulige kvartettopologier: c b Kvartetafstand mellem to træer: Antallet af kvartetter der ikke har samme topologi i begge træer. 9 af 58

10 Kvartetafstand Kvartetafstand mellem binære træer. Steel & Penny (1993) Bryant, Tsang, Kearney & Li (2000) Brodal, Fagerberg & Pedersen (2003) O(n3) O(n2) O(n log(n)) Kvartetafstand mellem træer af konstant maksimal grad. Stissing et. al. (2006) O(n log(n)) Kvartetafstand mellem træer af vilkårlig grad. Piaggio-Talice et. al. (2004) Martin Randers & Chris Christiansen (2006) O(n4) af 58

11 De afgørende forskelle Træer af vilkårlig grad kan indeholde kvartetter med stjernetopologi. butterfly butterfly butterfly stjerne Knuder i træer af vilkårlig grad er forbundet til et vilkårligt antal andre knuder. 11 af 58

12 Vores algoritmer Fem algoritmer inddelt i tre kategorier ud fra fremgangsmåde. Centerbaserede to algoritmer. Kantbaserede (edge claiming) to algoritmer. Knudebaserede (node claiming) en algoritme. Alle algoritmerne, pånær den første, kræver at ethvert undertræs størrelse er kendt O(n) tid og plads. Alle algoritmerne, pånær den første, kræver at størrelsen på alle par af undertræers delte bladmængder er kendte O(n2) tid og plads (mindre for den sidste kantbaserede algoritme og den knudebaserede algoritme). 12 af 58

13 Centerbaserede algoritmer En triplet af blade (a, b, c) har en unik intern knude, centerknuden C, hvor stierne mellem de tre blade mødes. Enhver kant ud fra centerknuden repræsenterer et undertræ. 13 af 58

14 Centerbaserede algoritmer For alle O(n3) tripletter (a, b, c). Find og gem topologien af kvartetten (a,b,c,x), hvor x er alle blade der ikke er a, b eller c i begge input træer O(n) tid og plads. x Sammenlign de O(n) kvartetters topologier - O(n) tid. Tidsforbrug: O(n4). Pladsforbrug: O(n). Optimalt for direkte sammenligning af topologier. k træer kan sammenlignes i O(kn4) tid og O(kn) plads. 14 af 58

15 Centerbaserede algoritmer Antal delte butterflykvartetter hvor a og x er nærmeste naboer: Ta T'a - 1. x Tilsvarende for de to andre typer af delte butterfly kvartetter. Antal kvartetter med stjernetopologi i begge træer, kan også beregnes i konstant tid ud fra størrelserne af undertræerne og disses fælles bladmængder. 15 af 58

16 Centerbaserede algoritmer For alle par af blade (a, b) - O(n2) Find alle centre for tripler (a, b, c) - O(n) tid og plads For hver triplet inkl. center Beregn og summér antal delte kvartetter O(1) tid og plads. Træk den samlede sum fra ( Tid O(n3). Plads O(n2). n 4 ) for at få kvartetafstanden. 16 af 58

17 Kvartetafstanden opdelt To input-træer T og T'. Antal ikke-delte butterflykvartetter: Antal kvartetter med stjernetopologi i T og butterflytopologi i T': Antal kvartetter med butterflytopologi i T og stjernetopologi i T': Antal butterflykvartetter med samme topologi i T og T': Antallet af kvartetter med stjernetopologi i både T og T': QB B(T, T') QSB (T, T') QBS (T, T') QB=B(T, T') QSS (T, T') 17 af 58

18 Kvartetafstanden opdelt To input-træer T og T'. Antal ikke-delte butterflykvartetter: Antal kvartetter med stjernetopologi i T og butterflytopologi i T': Antal kvartetter med butterflytopologi i T og stjernetopologi i T': Antal butterflykvartetter med samme topologi i T og T': Antallet af kvartetter med stjernetopologi i både T og T': QB B(T, T') QSB (T, T') QBS (T, T') QB=B(T, T') QSS (T, T') qdist(t, T') = QB B (T, T') + QSB (T, T') + QBS (T, T') 18 af 58

19 Kvartetafstanden opdelt 19 af 58

20 Kvartetafstanden opdelt 2x qdist(t, T') = QB=B(T, T) + QB=B(T', T') - 2 QB=B(T, T') - QB B(T, T'). 20 af 58

21 Kvartetafstanden opdelt 2x qdist(t, T') = QB=B(T, T) + QB=B(T', T') - 2 QB=B(T, T') - QB B(T, T'). Kvartetafstanden for træer af vilkårlig grad kan beregnes uden at betragte stjernekvartetter! 21 af 58

22 Kantbaserede algoritmer Butterflykvartetter der induceres af en kant. Orienterede kanter. Orienterede kanter gør krav på butterflykvartetter. _e 1 Claim: F F 1, F2. Generelle træer: O(d2) claims pr. orienteret kant. 22 af 58

23 Kantbaserede algoritmer For alle par orienterede kanter - O(n2) For alle par claims - O(d2 d'2) Sammenlign claims - O(1) Tidsforbrug: O(n2 d2 d'2). 2 Pladsforbrug: O(n ). Observér: Nok at se på kanter mellem indre knuder. Tidsforbrug: O( V V' d2 d'2). Tidsforbrug ved ekspansion: O( V V' d d'). 23 af 58

24 Kantbaserede algoritmer Delte butterflykvartetter: Tæl antal delte kvartetter som induceres af orienterede kanter. Træk antal delte kvartetter som ikke kræves af disse kanter fra. Ikke-delte butterflykvartetter: Tæl antal ikke-delte kvartetter som induceres af orienterede kanter. Træk antal ikke-delte kvartetter som ikke kræves af disse kanter fra. 24 af 58

25 Kantbaserede algoritmer Antal delte butterflykvartetter: F G ( F G ) ( ) 2 2 a c b a d c b d 25 af 58

26 Kantbaserede algoritmer Antal delte butterflykvartetter: F G ( F G ) ( ) 2 2 a c b a d c b d 26 af 58

27 Kantbaserede algoritmer Antal delte butterflykvartetter: F G ( F G ) ( ) 2 2 a c b a d c b d Antal butterflykvartetter: ikke-delte F G F G F G F G 27 af 58

28 Kantbaserede algoritmer For alle par indre kanter Beregn antal delte kvartetter som in F G duceres af både e og e': ( F G )( 2 ) 2 = = 28 af 58

29 Kantbaserede algoritmer For alle par indre kanter Beregn antal delte kvartetter som in F G duceres af både e og e': ( F G )( 2 ) 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G Fi G er gjort krav på af e: Σ( )( 2 ). i 5 2 = = 29 af 58

30 Kantbaserede algoritmer For alle par indre kanter Beregn antal delte kvartetter som in F G duceres af både e og e': ( F G )( 2 ) 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G Fi G er gjort krav på af e: Σ( )( 2 ). i 5 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G F Gj er gjort krav på af e': Σ( 2 )( 2 ). j 5 = = 30 af 58

31 Kantbaserede algoritmer For alle par indre kanter Beregn antal delte kvartetter som in F G duceres af både e og e': ( F G )( 2 ) 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G Fi G er gjort krav på af e: Σ( )( 2 ). i 5 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G F Gj er gjort krav på af e': Σ( 2 )( 2 ). j 5 Tillæg antal delte kvartetter der ikke er gjort krav på af hverken e eller e': F G Fi Gj ΣΣ( )( 2 ). i 5 j 5 2 = = 31 af 58

32 Kantbaserede algoritmer For alle par indre kanter Beregn antal delte kvartetter som in F G duceres af både e og e': ( F G )( 2 ) 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G Fi G er gjort krav på af e: Σ( )( 2 ). i 5 2 Fratræk antal delte kvartetter der ikke F G F Gj er gjort krav på af e': Σ( 2 )( 2 ). j 5 Tillæg antal delte kvartetter der ikke er gjort krav på af hverken e eller e': F G Fi Gj ΣΣ( )( 2 ). i 5 j 5 2 = = Tilsvarende for ikke-delte butterflykvartetter. Tidsforbrug: O( V V' d d'). 32 af 58

33 Kantbaserede algoritmer Nok at se på indre kanter! Tidsforbrug: O(n + V V' id id'). Worst case: O(n4). n_ n_ d-ære træer: O( d d' id id') = O(n2). Pladsforbrug: O(n + V V' ). 33 af 58

34 Knudebaseret algoritme Samme princip som den sidste kantbaserede algoritme. Et par knuder behandles ad gangen (alle knudernes kanter behandles). Summer der kan genbruges, forudberegnes. Tidforbrug: O(n + V V' min{id,id'}). Worst case: O(n3). d-ære træer: O(n2). Pladsforbrug: O(n + V V' ). 34 af 58

35 Knudebaseret algoritme 35 af 58

36 Knudebaseret algoritme 36 af 58

37 Knudebaseret algoritme 37 af 58

38 Algoritmer Algoritme Tidsforbrug Pladsforbrug Centerbaseret 1 O(n4) O(n) Centerbaseret 2 O(n3) O(n2) Kantbaseret (grundidé) O( V V' d2 d'2) O(n2) Kantbaseret (ekspansion) O( V V' d d') O(n2) Kantbaseret (inducering) O(n + V V' id id') O(n + V V' ) Knudebaseret O(n + V V' min{id,id'}) O(n + V V' ) 38 af 58

39 Implementeringer Vores fem algoritmer er implementerede i Java. Testet for korrekthed. Testet for tidsforbrug i praksis. Robuste og kan udskiftes med hinanden (interface). Tool kan downloades og bruges. Kun den knudebaserede algoritme kan bruges via tool. GUI med løs kobling til tool kan downloades. En sjette algoritme med ekstra funktionalitet (visualisering). 39 af 58

40 Eksperimenter Test af korrekthed. Resultater af forskellige algoritmer sammenlignet. Alle de implementerede algoritmer er blevet testet i praksis mht. tidsforbrug. Worst case træer. d-ære træer. Træer med tilfældig topologi. r8s-baserede træer. 40 af 58

41 Eksperimenter Test af korrekthed. Resultater af forskellige algoritmer sammenlignet. Alle de implementerede algoritmer er blevet testet i praksis mht. tidsforbrug. Worst case træer. d-ære træer. Træer med tilfældig topologi. r8s-baserede træer. 41 af 58

42 Eksperimenter tidsforbrug, simuleret data 42 af 58

43 Eksperimenter tidsforbrug, worst case træer 43 af 58

44 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. 44 af 58

45 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. 45 af 58

46 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. 46 af 58

47 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Tidsforbrug: O(n3 + V V' min{id, id'}) = O(n3). Pladsforbrug: O(n2). Mindst fire kanter og en knude er associeret til en stjernekvartet. Mindst fem kanter og to knuder er associeret til en butterflykvartet. 47 af 58

48 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Centerknuder og kanter der inducerer. 48 af 58

49 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Centerknuder og kanter der inducerer. Tidsforbrug: O(n3 + V V' min{id, id'}) = O(n3). Pladsforbrug: O(n2). Mindst fire kanter og en knude er associeret til en stjernekvartet. Kanter udenfor forgrening annoteres ikke. 49 af 58

50 Visualisering 50 af 58

51 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Centerknuder og kanter der inducerer. Alle kanter indgår i en delt kvartet. 51 af 58

52 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Centerknuder og kanter der inducerer. Alle kanter indgår i en delt kvartet. Tidsforbrug: O(n5) (kan gøres på O(n4)). Pladsforbrug: O(n). Knuder er altid omgivet af kanter. 52 af 58

53 Visualisering 53 af 58

54 Visualisering Kvartetafstanden er et tal. Visualisering af ligheder mellem to input træer. Idéer Opbyg consensus træer. Annotér input træer med information om delte kvartetter. Centerknuder og kanter der claimer. Centerknuder og kanter der inducerer. Alle kanter indgår i en delt kvartet. Tidsforbrug: O(n5) (kan gøres på O(n4)). Pladsforbrug: O(n). Knuder er altid omgivet af kanter. Online udgave (ved brug af udraw(graph)). 54 af 58

55 Visualisering 55 af 58

56 Visualisering 56 af 58

57 Visualisering 57 af 58

58 Oversigt Dette foredrag Kvartetafstanden. Skitsering af algoritmer & stjernekvartetter kan undlades. Implementering og tool. Eksperimenter. Visualisering. Yderligere i specialet Diskussion af tidligere algoritmer. Udregning af undertræers størrelser og delte bladmængder. Udregning af butterflykvartetter i et enkelt træ. Relaterede mål. Input træer der ikke opfylder antagelserne algoritmerne gør. Forbedring af pladsforbrug. Sammenligning med splitafstanden. 58 af 58