The Field Equations of Modified Newtonian Gravity

Transkript

1 The Field Equaions of Modified Newonian Gaviy By Hebe Fabes Kisiansen B.c., Roskilde, Denmak , 1.1 Absac Denne aikel handle om udledninen af fellininene hvo den modificeede aviaionslov e løsninen. I eksen vil je ae skide videe o udlede ydeliee e linine således da dee vil væe fonufi, a øe baseede på eoiens amme. De vise si a fellininene vil indeholde en ække kvanemekaniske elemene de e nødvendie fo sukuen af fellininene. De kan konkludees, a de kvanemekaniske elemene e en nødvendihed o a de alle Loenz invaiane

2 1. Modified Newonian Gaviy Fa den føse aikel je skev, posulee je a Newons Gaviaions lov skulle laves om således, a yndekafen oså beskives ove små afsande[1]. Modificeinen af yndeloven e således: hvo, m0m m0 F G e e (1) m 1 e o e en ny "yndekonsan". Men nå yndekafen c modificees ove 'små afsande' så kan man ikke lade væe med, a ænke på om kvanemekanikken oså må have en indflydelse. Gunden e, a fysikken de beskive de kæfe de foå i den aoma veden, ved vi i da e beskeve via kvanemekanikken. Men hvodan se en sådanne 'eoi om kvaneaviaion' så ud? E sva il dee spøsmål beaes som e af de allesøse bland fysike. om fysike kan man ikke lade væe med sille spøsmåle: Hvodan kan man have o så smukke eoie de beskive voes veden med en uhø pæcision uden, a de skulle væe en sammenhæn? E de komme noen fosla? E ko sva: Ja, men alle svaene e mee foskellie i den pale de spænde fa semiklassiske beskivelse il eneoi. Men se i lyse af den klassiske kvanemekanik e de klassiske de mes ineessane. I en afhandlin af D. Pee Jay alzman ennemås den mes ineessane af disse semiklassiske eoie: chödine-newon lininene. Disse linine komme som en løsnin af Einseins modificee fellinine fa den almen elaivieseoi unde den foudsænin af[]: 1. Rumidens eomei e med od ilnæmelse flad.. Kilden il aviaionsfele skyldes pimæ masseæhed o ikke eneisømnin. 3. Alle obsevaøe bevæe si med en hasihed mee minde end lyses således, a supeposiion e muli. Ved a løse fellininene i de klassiske ilfælde fås chödine-newon lininene: m x, x, () Hvo x, e sandsynlihedsæheden o 4 G 1 densieen udykkes kvanemekanisk ved, m,. Bemæk enan a x x o hvo de simplese - -

3 sysem e hvo m e massen af kun én paikel. Dee se i føse oman lid mysisk ud, men eenli ive de fin menin ide paiklens masse jo oså e ubesem, på samme måde som des posiion o impuls e. En løsnin il ovensående diffeeniellinin e de kende poenial med en vis[]: x, x, Gm dv (3) Hvis vi beae en 'selv-avieende' paikel så vil chödine lininen have følende udseende[]: x, x, m x, x, i (4) m Denne linin opfylde alle de samme eenskabe som den klassiske chödine linin ø[]; Eneibevaelse, sandsynlihedssømbevaelse, impulsbevaelse ec. Fo a vudee hvonå linin () beskive den klassiske aviaion, så skal vi kie på paameeen[]: 4Gm c (5) impel fomulee: Hvis 1 så e paiklen 'sæk' selv-avieende o ikke e kvanemekanisk objek. Hvis 1 så vil paiklen foblive e kvanemekanisk objek[]. 1.3 Fellininene Fellininen fo de saionæe ilfælde om nævn e vi ineessee i a finde fellininene fo. Af linin (1) må fele væe ive ved: m G e e (6) m æe vi en vilkåli Gauss flade om punk paiklen, så må fluxen ennem Gauss fladen væe ive ved: m m d A G e d A (7) Høje siden kan ineees ved, a skife ove il sfæiske koodinae o ineee ove 0 0. Bemæk a da nda hvo da sindd. I denne - 3 -

4 fobindelse skal vi ydeliee bemæke, a e e en enhedsveko de e paallel med adius hvilke må beyde a en 0 e n en 1. Eo ha vi: A m 0 0 m da G d m e A m da G sindd m d Gm d sind 4 da 4Gm m (8) Vi definee nu den aviionelle pemiivie 4 G 1 pemiivieen' 4 1 således: o 'amma m 1 d A (9) m Fo massen kan vi kie på en koninue fodelin således, a følende ineal ælde: m dv (10) V Defo: da dv dv (11) V V Vensesiden af linin (11) kan omskives via Gauss sænin: åledes: dv da (1) V 1 1 V V V 1 dv dv dv (13) - 4 -

5 Men de opså nu e poblem. Pobleme e a indmaden unde inealene ikke nødvendivis e li hinanden da vi ikke kan samle ledende på høje siden af linin (13). Fo a løse dee poblem så kan vi omskive linin (13) således a: dv dv 1 0 V V (14) Bemæk a fakoen på de føse led i linin (14) e blo massen o beyde, a denne e en skalæ o vil defo ikke beøe ineaionen. a på en anden måde så vil følende udyk væe sand: dv dv dv dv (15) V V V V Vi indsæe i linin (14) o få e ny poblem: dv dv 1 0 (16) V V Pobleme denne an e konsanen k 1. om de femå af linin (16), så e de ikke ale om en lineæ afbildnin, men en affine hvilke poblemaisee voes ønske om, a anvende Gauss eoem il a finde de føse fellinine. Men de e måske en løsnin, hvis konsanen dække ove sandsynliheden fo, a finde den i'e paikelbøle af syseme i en afænse eion D umme, så må den samlede sandsynlihed i umme summee op il 1. a på en anden måde: Eo må vi have:, dv 1 x (17) V dv, dv 0 (18) x V V O dee må beyde: dv, 0 x (19) V Ved a ene lid und få vi de føse fellinine: - 5 -

6 , x dv V (0) Hvis vi udnye x, m x, esulae: sam linin (17) i nævneen o så få vi slu m 1,,, m x x x (1) Hvo je he vil bue i sede fo. Efe alle disse beenine ha vi he e mee smuk esula i linin (1) o de e o oveodne in vi kan sie om dee udyk. Fo de føse ha linin (1) linin (), dvs. chödine-newon lininene, som ænse nå m e so o fo de ande, så e sandsynlihedsæheden en nauli del af fellininene. ådan behøve de nødvendivis ikke a væe! Men do fik vi alleede e nys om, a de vil væe en elle anden fom fo kvanemekanik, da de ande led i linin (1) indeholde Plancks konsan. E sidse, men vii punk e foudsæninen fo, a anvende en sandsynlihedsfodelin: 1. andsynliheden fo, a finde sysemes i'e paikelbøle, besemmes indenfo fo en afænse eion D. andsynliheden udenfo denne eion e li nul. Hvis vi sammenholde dee punk med elaivieseoiens beskivelse af yndekafen så beyde dee blo, a eionen D e de (afænse) omåde hvo umidens kumnin ha en beydnin. Konsekvensen e, a vi inddae 'lokalie' hvilke kun e fobehold indenfo i elaivieseoien o ydemee bibeholde vi den eomeiske beskivelse af yndekafen. Lokalie ha defo funde sin plads i kvanemekanikken. En løsnin il linin (1) vil have samme fom som linin (3), men blo med e eksa led: V x, x, Gm dv dv m V () Måles poeniale i en fix afsand fa kilden så educees linin () il de semiklassiske poenial: m G (3) m Men dee e ikke spo oveaskkende o pæcis som fovenede. om idliee nævn ved linin (5), så e denne fako aføende fo hvonå e objek beaes som kvanemekanisk elle klassisk. Tilsvaende kan findes i den føse eoi som undeene ha udvikle[1] o he fand je ud af: - 6 -

7 Gm (4) c mc Lininen ovenfo udykke ænsen fo hvonå en sinulaie dannes med udanspunk i massen. Vi omskive lininen: Gm c (5) m Bemæk a lininen indeholde de o poeniale som beskeve i linin (3), men blo med e minus il foskel. Men ved a fokoe med fakoen i de ande led o omskive så få vi: c 4Gm c (6) Men fo a denne linin skal væe sand alle ilfælde så e vi nødsae il, a kvadee da udykke på vense side kan blive neaiv: c 4Gm c (7) Ved a udene vense siden så kan linin skives som en enkel linin af anden ad: c c (8) Hvo 4 Gm / c. Løsninene e ive ved: c (9) De ineessane ved linin (9) o med linin (5) i bahoved e, a fakoen e omvend popoionel med kvadae på amma-feles poenial. De beyde, a fakoen ikke e alene e afhæni af massen, men e fundamenal se afhæni af dee nye skalæfel. Da vi i denne eoi ha anae, a vi befinde os i den svae appoksimaion, dvs. a c o 1, så vil linin (9) educees il: c 4 (30) - 7 -

8 Bemæk a de inen foenspobleme e da poeniale e kvadee. Dee esula sæe linin (5) i e ny lys fodi fakoen e 'sæk' afhæni af amma-poeniale. Lad os vudee om dee udyk ive menin. Hvis poeniale e 'lille', dvs. c så vil 1, hvilke medføe a massen e so. Eo ha vi a øe med e klassisk objek hvis man ae hensyn il linin (5). De ineessane e, a i linin () de vil de 'Newonske' led dominee da vi neop anae, a massen e so fo c. Men dee e i oveenssemmelse med anaelsen[1] om, a amma-fele e fosvindende lille nå massen e so. Gænsen mellem de kvanemekaniske o de klassiske e hvo denne beinelse i linin (9) så ive de o løsnine: c 1 c Anvendes (31) Bemæk a den føse løsnin semmeoveens med den klassiske fo 1 i linin (30) hvilke vi må fovene. Anvendes beinelsen så e de ikke så mækeli, a de neop e Planck-massen de udøe en slas ænse. Fo de omvend ilfælde, dvs. c så vil 1 dee beyde, a massen e lille. Dee beyde umiddelba a linin (9) educees il: (3) Men som de femå så kan vense side o høje side ikke semme oveens o defo e denne beinelse ubueli. Men blo fodi a vi se bo fa de føse led i linin (9) behøve de ikke nødvendivis beyde, a dee e koek. Fo som i linin (31) så kan vi se bo fa ilfælde i linin (3) o konkludee a de må ælde samme maemaiske udyk som i linin (30). Disse e ilfælde kan illusees på følende måde: Fiu 1 I fohold il linin () så e de amma-fele de e domineende, mens de klassiske led bofalde. Dee e i åd med de anaelse de blev lave i den føse eks af undeene[1]. Dee kan måske ses ydeliee hvis vi omskive linin (30) kan poenialene: - 8 -

9 4 (33) Hvo poeniale i ælleen e de klassiske Newonske poeniale B-fele elvom esulae i linin (1) e anske smuk, så vise Tajma o de. Maeos abejde[3] a de eksisee 'Maxwell-linende' linine. Mi udanspunk fo, a besemme disse linine vil væe, a definee B- fele fo en jævnsømnin: d ' ˆ 4 d ' B I l I l (34) 4 Hvo ˆ, hhv. e enhedsvekoen o afsandsvekoen de pee fa ledeen il e vilkåli punk P, mens dl' e den infiniesimale eninsveko de pee i sømmens 1 enin. Bemæk a 'amma-lede' afae med il foskel fo de klassiske aviaions led de afae med 4G 4. Ydemee e o e 'amma pemeabillieen'. Dee e e nauli kav da dee i kombinaion med 'amma pemiivieen' opfylde udykke: c 1 c (35) Hvilke beyde, a 'amma bøle' udbede si med lyses hasihed. Ydemee e dee oså hel unde de amme vi sae fo eoien. Hvis vi væle a beskive sømmen via sømæheden J så vil lininen væe: ˆ 4 B J dv ' J dv ' (36) 4 Fo a poine hvilke vaiable de foskellie fele ha så e de[4]: c B B x, y, z J J x ', y ', z ' dv ' dx ' dy ' dz ' x x ' y y ' z z ' i j k (37) Hvo 'mæke' koodinaene e fo de punke de føle med sømmen, mens de 'ikke-mæke' e fo e vilkåli punk P i afsanden udenfo sømmen. Ved a ae spedninen på bee side af linin (37) fås: - 9 -

10 ˆ 4 dv ' B J dv ' 4 J (38) De føse led e maemaisk idenisk med manefeles o blive defo nul nå spedninen aes[4]. Vi vil nu abejde med de ande led: J J J (39) Hvo vi he ha bu en af vekoanalysens eneele. Bemæk nu, a de føse led må væe nul, dvs. J 0, da J kun afhæne af de 'mæke' koodinae. De ande led il enæld fås ved dieke udenin (hvilke je ikke vil vise) o dee vise si oså a ive nul. Eo kan vi konkludee: B 0 (40) Ved a ae cikulaionen af linin (36) fås: ˆ 4 dv ' B J dv ' 4 J (41) om ved spedninen, så e de føse led maemaisk idenisk med cikulaionen af manefele o de ved vi ive: 4 B J J dv ' (4) På de ande led bue vi endnu en eneeel fa vekoanalysen: J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J ˆ ˆ J J (43) Da alle ledende hvo spedninen af J indå, e nul. Vi indsæe i ineale o få: 4 B ˆ ˆ J J J dv ' 4 4 B ˆ ' ˆ J J dv J dv ' 4 4 B ˆ ' ˆ J J dv J dv ' (44)

11 I de føse ineal anvende vi Gauss sænin: O få: V ' ˆ dv ' ˆ nda (45) ˆ da ˆ dv ' (46) 4 4 B J J n J Anvende vi en simpel sfæisk eomei så blive ineale i de føse led li med: ˆ nda ˆ dv ' 4 (47) Hvis lihedsenene ovenfo skal passe så skal følende beinelse ælde: V ' ˆ 4 3 (48) Bemæk a vi må kæve 0 fo elles vil vense side i linin (48) konveee mod uendeli. Dee e en uheldi eenskab da vi mise infomaion om kilden i cenum. De e defo o mulihede: E vi accepee a vi ikke kan å videe hefa o fokase esulae elle o a vi måske befinde os i e ænseomåde mellem kvanemekanikken o elaivieseoien. Hvis vi accepee a vi neop befinde os i dee ænseomåde så vil de medføe, a vi blive nød il a ae hensyn il den fysiske ænse de e i mellem de o eoie. Denne ænse manifesee si i Planck enhedene o i dee ilfælde e de 'Planck afsanden': 3 ˆ f 4 P (49) Hvo P e 'Planck' vekoen hvis lænde e idenisk med Planck lænden. Ved a bue Gauss sæninen på dee esula: V ' ˆ ˆ dv f dv l (50) ' 4 P ' P 4 V ' He kan de ses a e foskelli fa nul, hvilke e elean da vi nu undå sinulaies pobleme. Linin (50) udykke alså fluxen ennem en sfæe de ha en adius de e li Planck lænden. Vi kan alså ikke 'pesse' sfæen minde ned uden, a komme i pobleme med koninuieen. Men a Planck lænden neop e 'ænsen' fo hvo koninuieen ælde, komme næppe som noen oveaskelse. Vi indsæe dee esula i linin (46) o få:

12 lp 4 B 16 ˆ J J J dv ' (51) De ande led i linin (51) fosvinde unde anaelsen om, a vi kan væle e abiæ volumen de e so nok, således sømmen alid foblive indenfo. a på anden måde: ømmen ved 'ænsen' e li med nul[4]. Linin (51) kan defo skives: l B J 16 J (5) P Cikulaionen ovenfo ælde fo alle ænkelie lede, blo de e ale om en jævn sømnin Kvanevesionen af B-fele Fo a finde den kvanemekaniske udave af linin (5) elle eee sa flowe J, så kan vi udnye x, m x, sam hasihedsopeaoen: v i m (53) Dee beyde a: x', ' v m x', ' i m x', ' v i x', ' x', ' v i x', ' ', ' i x', ' J x P P (54) Hvo P e sandsynlihedsfele. Dee esula foælle os beyde, a lie mee hvilken ype sømnin vi ha, så vil usikkeheden på flowe alid væe uafhæni paikelbølenes masse. De e vii a undesee, a paikelbølene ikke kan bevæe si med lys hasihed o deove, men a de blo e usikkeheden på flowe de e uafhæni af massen. a på en anden måde: Vi behøve ikke a ae hensyn il paikel-bølenes masse nå usikkehed på flowe undesøes. Eo blive den kvanemekaniske udave af flowe på 'diffeenielfom': 16 lp i P ', ' i P ', ' x x (55) - 1 -

13 Konsanene educees o vi få de mee smukke udyk: 3 i c ', ' P x (56) Hvo β e bleve bu fo, a vise foskellen på linin (5) o κ e en lille hyldes il Albe Einsein, da de e konsanen de foene umidens eomei med eneiimpuls ensoen i den almen elaivieseoien. Fo a få linin (5) på 'inealfom' så kan vi ien udnye Gauss sænin på vense siden o få: B lp d l I 16 I (57) C Hvo: I da J n (58) På samme måde som fø vi vil vi kvanificee fele. Men fo a dee skal kunne lade si øe, så skal sømsyken I beskives via bølefunkionen. Dee kæve do 'lid mee knofed' fodi voes udanspunk e chödine lininen: Vi anae a m m, (59) få man: U i m (59) x o ved muliplikaion af denne på bee side af linin Ved a diffeeniee mh. iden få vi: U m i m (60) m m U m U i m i (61) Vi isolee massesømninen: mu m mi i U (6) Hvo je he ha illad mi a bue noaionen /. Ved a opløse bøken i led o indsæe linin (59) i de føse led så få man:

14 U m i i U U m m m m i i U i U m m i 1 1 U 1 U i (63) Bemæk nu a vi, i paenesen i linin (63), kan bue 'icke': ln, ln, ln' ' ' (64) De enese vi ha bu e eenskaben fo diffeenielkvoienen af den naulie loaime. Paenesen kan defo skives: ln ' m ' ln' m ln U 1 i 1 ln' i ln' 1 U (65) om de umiddelba femå så e linin (65) e mee komplicee udyk, men de samme kan jo sies om chödnine lininen. De de do ha ilfælles e, a de bee e afhænie af sysemes fakoe. Eksempelvis simplificees chödine lininen hvis den poenielle enei af syseme e li nul o med dee udanspunk så e de opla, a sudee linin (65) fo dee ilfælde. Lininen educees defo il: m m ' ' ln ln (66) Denne beinelse svae il, a den kineiske enei e al domineende o udøe defo sysemes samlede enei elle a vi beae (fa e ineiel sysem) en søm, 'lan væk' fa alle ænkelie kilde, de kan påvike sømmen. a på en enkel måde: Al den poenielle enei e omdanne il kineisk enei. Den anden ænse e hvo den poenielle enei e al domineende hvilke beyde, a linin (65) educees il: m m ' ln ln' (67) Fysisk se e denne beinelse ækvivalen med e sysem, hvo de e en kilde il sede de påvike sømmen med kæfe. E de ale om yndekæfe så 'opbye vi' enei ved, a flye en esmasse fa e lavee il e højee poenial. Ko sa omdannes kineisk enei il poeniel enei hvilke e hvad linin (67) i bund o

15 und foælle. Lininen foælle ydeliee a sømmen må væe acceleeede, hvilke e en modsid mod de vi ano om en 'jævn søm' o defo e vi nødsaede il, a kie bo fa dee esula. å voes undesøelse fa nu vil foå omkin linin (66). De eleane vil væe, a omskive paenesen i linin (66) via en af loaime eneelene, men pobleme e, a de ikke e ale om de samme vaiable o defo e følende foke: ' ' ' ln ln ln (68) Men fo a løse dee lille poblem, så kan vi lave følende absakione: ' ' ln ln v ln v u ln u ln ' ' v u ln ln ln v ' ' u ln ln de v ' ' ln ln u u v (69) Hvo v o u. De ineessane ved denne fako e, a vi fakisk kan opfae den som deeminanen af en kvadaisk maix, som je vil væle a kalde fo 'chödine maicen'. ln u ln v v u, de uv v uv u (70) Bemæk a symbolene i den sidse linin i (70) skal blo fosås, a u o v e vaiablene de diffeeniees mh. Eo kan linin (65) omskives il: m m u v (71) Lininen ovenfo e en paiel føseodens diffeeniellinin, hvis løsnin kan findes. Hvis vi vende ilbae il chödine lininen o bue voes idliee beanine fo a nå fem il linin (71), så blive massen ive ved: m i (7) Fo a vise, a dee e en løsnin il linin (71) så skal vi blo indsæe. På høje side ha vi:

16 m ' i ' ln i ln (73) De sidse vi blo skal vise e, a den paielle aflede mh. iden fo linin (7) e idenisk med linin (73). Vi diffeeniee: m i m i i m ' i ' ln i ln (74) Hvo vi i den sidse linin i (74) ha udnye linin (64). Nu e vi omside nåe il de endelie udyk fo 'massesømsopeaoen': m u u i v v (75) Eo blive den kvanemekanisk udave af linin (57) li med: u u 8 lp u u dl i v i v (76) C v v O på samme måde som fø så kan konsanene øes pænee o vi få, måske lid oveaskkende, de mee smukke esula: 3 u u dl i 4 c v (77) C v De sidse vi manle a vise e, a linin (56) i kombinaion med linin (77) oveholde okes' eoem: nda dl (78) Gunden il dee e a okes' eoem e de man skal bue fo, a komme fa inealfom il diffeenielfom. Ydemee e dee oså en vii es fo de o linine fo hvis ikke ovensående eoem oveholdes så ved vi, a lininene fokee, da okes' eoem e koek! Men lad os sae. Iføle linin (78) så må de ælde: C

17 ', ' P x 3 3 u u i c i 4 c v (79) v å kan vi 'bae' vise a dee e sand så ved vi, a lininene opfylde okes' eoem o a alle voes udlednine e koeke. Bemæk føs, a ineale på vense side af linin (79) e li med: i c da i c x n x nda 3 3 P ', ' ', ' i c ', ' da c i ', ' x n x nda 3 3 P i c x nda c J nda 3 3 P ', ' (80) Men på und af linin (58) så ha vi: c da c I J n (81) 3 3 Ved a indsæe dee esula i linin (79) så ha vi: u u c I i c v (8) v Vi indsæe il slu esulae fa linin (75) o få: 3 3 u u c I i c 4 v v 3 u u 3 u u c i v i 4 c v v v 3 u u 3 u u i 4 c v i 4 c v v v (83) om de kan ses af beeninene så e linin (78) opfyld o defo e linin (77) på diffeenielfom li med linin (56)! Fo a afslue analoiene il Maxwells linine så kan vi opskive den modificeede vesion af linin (5): l c P 1 B J 16 J (84) Ved a indsæe de kvanemekanisk fele så kan vi opskive:

18 3 1 i c ', ' P x (85) c Hvis man se på lininen så femkomme de umiddelba e lille poblem nå man spøe il hvad vakuum beinelsene e. Fosvinde flowe dvs. fosvinde de føse led? vae e mee enkel: Ja, da flowe kun e associee med en søm af paikelbøle med masse. Dee beyde a: 1 c Ved ae cikulaionen af denne linin så kan man besemme, a disse bøle udbede si med lyses hasihed. Men dee kæve a vi føs undesøe cikulaionen på høje siden. (86) A fele o indukion På baund af linin (40) så kan B-fele ved skives som: B A (87) Dee analo il manefele i elekomaneismen. Ved a ae cikulaionen af dee fel så få vi: B A B A A l A A J J P 16 (88) I de ande led på vense siden af de sidse lihedsen kan vi væle, a sæe spedninen af A-fele il nul[4] således: l A J J (89) P 16 Dee e blo en mee avancee udave af Poissons linin o denne ha løsninen: J 4lP J A dv ' dv ' (90) 4 V Den kvanemekaniske udave af dee fel kan besemmes ved, a indsæe linin (54): V

19 4 P lp P i x ', ' dv ' i x ', ' dv ' 4 V V (91) He e α bleve bu il, a skelne fa A-fele. Ved a ene på konsanene så kan linin (91) educees il: i cl x dv P 3 P ', ' ' V Undesøelse af Einseins fellinine vise a de vil væe fonufi a definee - fele så de oså omfae leeme i bevæelse[3]: A (9) (93) Ved ae cikulaionen på bee side af linin (93) sam bue linin (87) så få man: B (94) Hvo vi ha udnye 0. Denne linin e maemaisk idenisk med Faaday's indukions lov. Da vi nu ha inoducee de kvanemekaniske udave af de foskellie fele de indå i linin (94), så kan linin (94) skives som: Med. Vi kan nu å videe linin (86) ved a ae cikulaionen på bee side: (95) 1 c 1 c (96) På baund af linin (40) så kan vi definee den kvanemekaniske udave af spedninen fo B-fele ved: Defo: 0 (97)

20 1 c 0 (98) Men dee e blo den edimensionale udave af bølelininen af denne kan de ses, a -bøle udbede si med lyses hasihed Poeniale fomuleinen o aue ansfomaione På baund af alle disse udlednine kan vi nu samle alle fellininene: m 1 x, x', ' x', ' m i c P ', ' x c (99) Lininene på denne fom e eleane men de kan fosimples ved, a 'educee' de fie linine ned il o. Dee kan vi øe ved, a kie på aue ansfomaione. Hele poblemaikken lie i, a spedninen fo alfa fele kunne sæes il 0 da denne kan opfaes som e skalæ. amme in kan anaes i fobindelse med de fie linine således, a de kan 'øes kønnee'. De føse vi kan øe e, a kie i linin numme o: 0 0 (100) Men dee må beyde, a de eksisee e skalæfel således a: (101) Ved a ae spedninen af dee esula få man: m 1 x', ' x', ' m (10) Vi kie nu på den sidse fellinin. Fa idliee ved vi a beyde: dee i c P ', ' x (103) c c - 0 -

21 Vi kan på vense side bue vekoeneelen: (104) Heaf: i c P ', ' c c x (105) Bemæk opeaoen på de føse led e d'alembeian opeaoen de definees ved: 1 c O sæe vi skalæfele i de sidse led li med: (106) L 1 c (107) å ha vi: ', ' x 3 L i c P (108) I linin (107) isolee vi spedninen af alfa-fele o indsæe dee i linin (10) så få vi: L m 1 ', ' ', ' x m x (109) Al i al ha vi educee de fie lininene ned il o; Nemli linin (108) o (109). Bemæk symmeien i de o linine: 3 L i c P ', ' x L m 1 m x', ' x', ' (110) Linin (110) foælle os, a hve an vi ække adienen af skalæfele fa, så skal vi addee den ids aflede il fele, dee vil ikke ænde de fysiske eenskabe fo amma- o bea-felene. Lininene ovenfo opfylde aue ansfomaionene, hvilke ive os fiheden il addee en skalæe uden a de ænde eenskabene fo felene, dee e selvføleli unde foudsæninene af, a de e ale om de samme amma- o bea-fele, denne fihed il a væle en skalæe bine os i den posiion - 1 -

22 il, a ydeliee simplificee lininene. Den nemmese løsnin vil selvføleli væe, a 'læe nul il' dvs. sæ L 0 o vi få: 3 i c P ', ' x m 1 m x', ' x', ' (111) Alle infomaione em i de ovensående linine, dække pæcis infomaionen ove alle fie linine i (99)! 1.4 Diskussion Nole af de mes ineessane beeninene va i fobindelse med de kvanemekaniske udave af flowe I o massesømninen J. Bee disse beenine vise, a de bee va uafhæni af massene som flowe udøes af. Den viise poine som kan daes e; Alle lininene e koninuee o a sandsynlihedseenskaben i kvanemekanikken ikke e fosvunde. De en mulihed fo, a man kan foolke esulae i linin (54) på en mee ineessan måde. Hvis man beae 'sandsynlihedsfunkionen' som e eel skalæfel o bue analoien il e klassisk poeniale, så ive adienen anlednin il e ny vekofel: Nemli e sandsynlihedsfel som je ha val a kalde de. Dee fel ha den sæe eenskab, a 'flowe' kvanemekanisk se e den samme uafhæni af hvad flowe beså af! Men dee e måske ikke så mækeli hvis vi o på, a sandsynlihedsfele selv e 'den eenlie subsans' ba paikelbøle. I denne fobindelse kan vi inddae foolknine ind. I Københavnefoolkninen skal man væle hvad man ønske a måle, da vi aldi kan vide en iven paikelbøles eenskab på ved en o samme fosøsopsillin. Eksempelvis des posiion o des impuls. Dee e måske ikke så mækeli, hvis sandsynliheden manifesees som paikle, da målevale ha en beydnin (iføle Københavnefoolkninen alså), så vil sandsynliheden fo, hvad man vil måle væe søe end omvend o da sandsynlihedsfele e de undlæende fo alle paikle så 'ilpasse' fele si il denne målin. a med en populæ vendin, så kan fele alså ikke 'muliaske'. Eo kan man ikke besemme en paikelbølens posiion o samidi vide, hvad des impuls e, hvis man alleede måle posiionen. En sidse in je vil nævne e konsanen 'kappa' de indå på smukkese vis i linin (111) sammen med Plancks konsan. Dee e ikke så undeli da lininene eel se e de føs udkas il en eoi om kvaneaviaion. Je vil il slu undesee a disse beanine skal undesøes dybee o a aiklen he ikke dække alle disse. De sidse spøsmål e da; E de muli a å den 'anden vej' o besemme de fellinine de indå i den Almen Kvaneelaivisiske eoi? De må kun iden vise. - -

23 1.5 Konklusion Vi ha i denne aikel vis, a fellininene fo indeholde kvanemekaniske elemene o a disse e nødvendie. Dee esulee i fie fellinine de via aue ansfomaione kunne educees il o. Men undevejs dukke de nole delesulae op. De viise delesula va lokalieens indpas i kvanemekanikken. Dee kan kun væe koek hvis vi beaede e sysem (de e i hvile) indenfo e afænse omåde D. Ydemee kan vi konkludee, a lininene i (111) e Loenz invaiane da de ha samme maemaiske suku som Maxwells linine

24 1.6 Lieau [1] Hebe Fabes Kisiansen, Modified Newonian Gaviy and he heoy of Elecoavioisme, Denmak Roskilde Euope, 31/01/008 [] Pee Jay alzman, Invesiaion of he Time Dependen chödine-newon Equaion, Univesiy of Califonia, 005 [3] M. Tama, C.J de Maos, Couplin of Elecomaneisme and Gaviaion in he weak field appoximaion, Jounal of Theoeics, hp:// (Dao: 1/5/001) [4] Giffihs David J., Inoducion o Elecodynamics, Thid Ediion, Penice Hall