The Field Equations of Modified Newtonian Gravity

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "The Field Equations of Modified Newtonian Gravity"

Transkript

1 The Field Equaions of Modified Newonian Gaviy By Hebe Fabes Kisiansen B.c., Roskilde, Denmak , 1.1 Absac Denne aikel handle om udledninen af fellininene hvo den modificeede aviaionslov e løsninen. I eksen vil je ae skide videe o udlede ydeliee e linine således da dee vil væe fonufi, a øe baseede på eoiens amme. De vise si a fellininene vil indeholde en ække kvanemekaniske elemene de e nødvendie fo sukuen af fellininene. De kan konkludees, a de kvanemekaniske elemene e en nødvendihed o a de alle Loenz invaiane

2 1. Modified Newonian Gaviy Fa den føse aikel je skev, posulee je a Newons Gaviaions lov skulle laves om således, a yndekafen oså beskives ove små afsande[1]. Modificeinen af yndeloven e således: hvo, m0m m0 F G e e (1) m 1 e o e en ny "yndekonsan". Men nå yndekafen c modificees ove 'små afsande' så kan man ikke lade væe med, a ænke på om kvanemekanikken oså må have en indflydelse. Gunden e, a fysikken de beskive de kæfe de foå i den aoma veden, ved vi i da e beskeve via kvanemekanikken. Men hvodan se en sådanne 'eoi om kvaneaviaion' så ud? E sva il dee spøsmål beaes som e af de allesøse bland fysike. om fysike kan man ikke lade væe med sille spøsmåle: Hvodan kan man have o så smukke eoie de beskive voes veden med en uhø pæcision uden, a de skulle væe en sammenhæn? E de komme noen fosla? E ko sva: Ja, men alle svaene e mee foskellie i den pale de spænde fa semiklassiske beskivelse il eneoi. Men se i lyse af den klassiske kvanemekanik e de klassiske de mes ineessane. I en afhandlin af D. Pee Jay alzman ennemås den mes ineessane af disse semiklassiske eoie: chödine-newon lininene. Disse linine komme som en løsnin af Einseins modificee fellinine fa den almen elaivieseoi unde den foudsænin af[]: 1. Rumidens eomei e med od ilnæmelse flad.. Kilden il aviaionsfele skyldes pimæ masseæhed o ikke eneisømnin. 3. Alle obsevaøe bevæe si med en hasihed mee minde end lyses således, a supeposiion e muli. Ved a løse fellininene i de klassiske ilfælde fås chödine-newon lininene: m x, x, () Hvo x, e sandsynlihedsæheden o 4 G 1 densieen udykkes kvanemekanisk ved, m,. Bemæk enan a x x o hvo de simplese - -

3 sysem e hvo m e massen af kun én paikel. Dee se i føse oman lid mysisk ud, men eenli ive de fin menin ide paiklens masse jo oså e ubesem, på samme måde som des posiion o impuls e. En løsnin il ovensående diffeeniellinin e de kende poenial med en vis[]: x, x, Gm dv (3) Hvis vi beae en 'selv-avieende' paikel så vil chödine lininen have følende udseende[]: x, x, m x, x, i (4) m Denne linin opfylde alle de samme eenskabe som den klassiske chödine linin ø[]; Eneibevaelse, sandsynlihedssømbevaelse, impulsbevaelse ec. Fo a vudee hvonå linin () beskive den klassiske aviaion, så skal vi kie på paameeen[]: 4Gm c (5) impel fomulee: Hvis 1 så e paiklen 'sæk' selv-avieende o ikke e kvanemekanisk objek. Hvis 1 så vil paiklen foblive e kvanemekanisk objek[]. 1.3 Fellininene Fellininen fo de saionæe ilfælde om nævn e vi ineessee i a finde fellininene fo. Af linin (1) må fele væe ive ved: m G e e (6) m æe vi en vilkåli Gauss flade om punk paiklen, så må fluxen ennem Gauss fladen væe ive ved: m m d A G e d A (7) Høje siden kan ineees ved, a skife ove il sfæiske koodinae o ineee ove 0 0. Bemæk a da nda hvo da sindd. I denne - 3 -

4 fobindelse skal vi ydeliee bemæke, a e e en enhedsveko de e paallel med adius hvilke må beyde a en 0 e n en 1. Eo ha vi: A m 0 0 m da G d m e A m da G sindd m d Gm d sind 4 da 4Gm m (8) Vi definee nu den aviionelle pemiivie 4 G 1 pemiivieen' 4 1 således: o 'amma m 1 d A (9) m Fo massen kan vi kie på en koninue fodelin således, a følende ineal ælde: m dv (10) V Defo: da dv dv (11) V V Vensesiden af linin (11) kan omskives via Gauss sænin: åledes: dv da (1) V 1 1 V V V 1 dv dv dv (13) - 4 -

5 Men de opså nu e poblem. Pobleme e a indmaden unde inealene ikke nødvendivis e li hinanden da vi ikke kan samle ledende på høje siden af linin (13). Fo a løse dee poblem så kan vi omskive linin (13) således a: dv dv 1 0 V V (14) Bemæk a fakoen på de føse led i linin (14) e blo massen o beyde, a denne e en skalæ o vil defo ikke beøe ineaionen. a på en anden måde så vil følende udyk væe sand: dv dv dv dv (15) V V V V Vi indsæe i linin (14) o få e ny poblem: dv dv 1 0 (16) V V Pobleme denne an e konsanen k 1. om de femå af linin (16), så e de ikke ale om en lineæ afbildnin, men en affine hvilke poblemaisee voes ønske om, a anvende Gauss eoem il a finde de føse fellinine. Men de e måske en løsnin, hvis konsanen dække ove sandsynliheden fo, a finde den i'e paikelbøle af syseme i en afænse eion D umme, så må den samlede sandsynlihed i umme summee op il 1. a på en anden måde: Eo må vi have:, dv 1 x (17) V dv, dv 0 (18) x V V O dee må beyde: dv, 0 x (19) V Ved a ene lid und få vi de føse fellinine: - 5 -

6 , x dv V (0) Hvis vi udnye x, m x, esulae: sam linin (17) i nævneen o så få vi slu m 1,,, m x x x (1) Hvo je he vil bue i sede fo. Efe alle disse beenine ha vi he e mee smuk esula i linin (1) o de e o oveodne in vi kan sie om dee udyk. Fo de føse ha linin (1) linin (), dvs. chödine-newon lininene, som ænse nå m e so o fo de ande, så e sandsynlihedsæheden en nauli del af fellininene. ådan behøve de nødvendivis ikke a væe! Men do fik vi alleede e nys om, a de vil væe en elle anden fom fo kvanemekanik, da de ande led i linin (1) indeholde Plancks konsan. E sidse, men vii punk e foudsæninen fo, a anvende en sandsynlihedsfodelin: 1. andsynliheden fo, a finde sysemes i'e paikelbøle, besemmes indenfo fo en afænse eion D. andsynliheden udenfo denne eion e li nul. Hvis vi sammenholde dee punk med elaivieseoiens beskivelse af yndekafen så beyde dee blo, a eionen D e de (afænse) omåde hvo umidens kumnin ha en beydnin. Konsekvensen e, a vi inddae 'lokalie' hvilke kun e fobehold indenfo i elaivieseoien o ydemee bibeholde vi den eomeiske beskivelse af yndekafen. Lokalie ha defo funde sin plads i kvanemekanikken. En løsnin il linin (1) vil have samme fom som linin (3), men blo med e eksa led: V x, x, Gm dv dv m V () Måles poeniale i en fix afsand fa kilden så educees linin () il de semiklassiske poenial: m G (3) m Men dee e ikke spo oveaskkende o pæcis som fovenede. om idliee nævn ved linin (5), så e denne fako aføende fo hvonå e objek beaes som kvanemekanisk elle klassisk. Tilsvaende kan findes i den føse eoi som undeene ha udvikle[1] o he fand je ud af: - 6 -

7 Gm (4) c mc Lininen ovenfo udykke ænsen fo hvonå en sinulaie dannes med udanspunk i massen. Vi omskive lininen: Gm c (5) m Bemæk a lininen indeholde de o poeniale som beskeve i linin (3), men blo med e minus il foskel. Men ved a fokoe med fakoen i de ande led o omskive så få vi: c 4Gm c (6) Men fo a denne linin skal væe sand alle ilfælde så e vi nødsae il, a kvadee da udykke på vense side kan blive neaiv: c 4Gm c (7) Ved a udene vense siden så kan linin skives som en enkel linin af anden ad: c c (8) Hvo 4 Gm / c. Løsninene e ive ved: c (9) De ineessane ved linin (9) o med linin (5) i bahoved e, a fakoen e omvend popoionel med kvadae på amma-feles poenial. De beyde, a fakoen ikke e alene e afhæni af massen, men e fundamenal se afhæni af dee nye skalæfel. Da vi i denne eoi ha anae, a vi befinde os i den svae appoksimaion, dvs. a c o 1, så vil linin (9) educees il: c 4 (30) - 7 -

8 Bemæk a de inen foenspobleme e da poeniale e kvadee. Dee esula sæe linin (5) i e ny lys fodi fakoen e 'sæk' afhæni af amma-poeniale. Lad os vudee om dee udyk ive menin. Hvis poeniale e 'lille', dvs. c så vil 1, hvilke medføe a massen e so. Eo ha vi a øe med e klassisk objek hvis man ae hensyn il linin (5). De ineessane e, a i linin () de vil de 'Newonske' led dominee da vi neop anae, a massen e so fo c. Men dee e i oveenssemmelse med anaelsen[1] om, a amma-fele e fosvindende lille nå massen e so. Gænsen mellem de kvanemekaniske o de klassiske e hvo denne beinelse i linin (9) så ive de o løsnine: c 1 c Anvendes (31) Bemæk a den føse løsnin semmeoveens med den klassiske fo 1 i linin (30) hvilke vi må fovene. Anvendes beinelsen så e de ikke så mækeli, a de neop e Planck-massen de udøe en slas ænse. Fo de omvend ilfælde, dvs. c så vil 1 dee beyde, a massen e lille. Dee beyde umiddelba a linin (9) educees il: (3) Men som de femå så kan vense side o høje side ikke semme oveens o defo e denne beinelse ubueli. Men blo fodi a vi se bo fa de føse led i linin (9) behøve de ikke nødvendivis beyde, a dee e koek. Fo som i linin (31) så kan vi se bo fa ilfælde i linin (3) o konkludee a de må ælde samme maemaiske udyk som i linin (30). Disse e ilfælde kan illusees på følende måde: Fiu 1 I fohold il linin () så e de amma-fele de e domineende, mens de klassiske led bofalde. Dee e i åd med de anaelse de blev lave i den føse eks af undeene[1]. Dee kan måske ses ydeliee hvis vi omskive linin (30) kan poenialene: - 8 -

9 4 (33) Hvo poeniale i ælleen e de klassiske Newonske poeniale B-fele elvom esulae i linin (1) e anske smuk, så vise Tajma o de. Maeos abejde[3] a de eksisee 'Maxwell-linende' linine. Mi udanspunk fo, a besemme disse linine vil væe, a definee B- fele fo en jævnsømnin: d ' ˆ 4 d ' B I l I l (34) 4 Hvo ˆ, hhv. e enhedsvekoen o afsandsvekoen de pee fa ledeen il e vilkåli punk P, mens dl' e den infiniesimale eninsveko de pee i sømmens 1 enin. Bemæk a 'amma-lede' afae med il foskel fo de klassiske aviaions led de afae med 4G 4. Ydemee e o e 'amma pemeabillieen'. Dee e e nauli kav da dee i kombinaion med 'amma pemiivieen' opfylde udykke: c 1 c (35) Hvilke beyde, a 'amma bøle' udbede si med lyses hasihed. Ydemee e dee oså hel unde de amme vi sae fo eoien. Hvis vi væle a beskive sømmen via sømæheden J så vil lininen væe: ˆ 4 B J dv ' J dv ' (36) 4 Fo a poine hvilke vaiable de foskellie fele ha så e de[4]: c B B x, y, z J J x ', y ', z ' dv ' dx ' dy ' dz ' x x ' y y ' z z ' i j k (37) Hvo 'mæke' koodinaene e fo de punke de føle med sømmen, mens de 'ikke-mæke' e fo e vilkåli punk P i afsanden udenfo sømmen. Ved a ae spedninen på bee side af linin (37) fås: - 9 -

10 ˆ 4 dv ' B J dv ' 4 J (38) De føse led e maemaisk idenisk med manefeles o blive defo nul nå spedninen aes[4]. Vi vil nu abejde med de ande led: J J J (39) Hvo vi he ha bu en af vekoanalysens eneele. Bemæk nu, a de føse led må væe nul, dvs. J 0, da J kun afhæne af de 'mæke' koodinae. De ande led il enæld fås ved dieke udenin (hvilke je ikke vil vise) o dee vise si oså a ive nul. Eo kan vi konkludee: B 0 (40) Ved a ae cikulaionen af linin (36) fås: ˆ 4 dv ' B J dv ' 4 J (41) om ved spedninen, så e de føse led maemaisk idenisk med cikulaionen af manefele o de ved vi ive: 4 B J J dv ' (4) På de ande led bue vi endnu en eneeel fa vekoanalysen: J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J ˆ ˆ J J (43) Da alle ledende hvo spedninen af J indå, e nul. Vi indsæe i ineale o få: 4 B ˆ ˆ J J J dv ' 4 4 B ˆ ' ˆ J J dv J dv ' 4 4 B ˆ ' ˆ J J dv J dv ' (44)

11 I de føse ineal anvende vi Gauss sænin: O få: V ' ˆ dv ' ˆ nda (45) ˆ da ˆ dv ' (46) 4 4 B J J n J Anvende vi en simpel sfæisk eomei så blive ineale i de føse led li med: ˆ nda ˆ dv ' 4 (47) Hvis lihedsenene ovenfo skal passe så skal følende beinelse ælde: V ' ˆ 4 3 (48) Bemæk a vi må kæve 0 fo elles vil vense side i linin (48) konveee mod uendeli. Dee e en uheldi eenskab da vi mise infomaion om kilden i cenum. De e defo o mulihede: E vi accepee a vi ikke kan å videe hefa o fokase esulae elle o a vi måske befinde os i e ænseomåde mellem kvanemekanikken o elaivieseoien. Hvis vi accepee a vi neop befinde os i dee ænseomåde så vil de medføe, a vi blive nød il a ae hensyn il den fysiske ænse de e i mellem de o eoie. Denne ænse manifesee si i Planck enhedene o i dee ilfælde e de 'Planck afsanden': 3 ˆ f 4 P (49) Hvo P e 'Planck' vekoen hvis lænde e idenisk med Planck lænden. Ved a bue Gauss sæninen på dee esula: V ' ˆ ˆ dv f dv l (50) ' 4 P ' P 4 V ' He kan de ses a e foskelli fa nul, hvilke e elean da vi nu undå sinulaies pobleme. Linin (50) udykke alså fluxen ennem en sfæe de ha en adius de e li Planck lænden. Vi kan alså ikke 'pesse' sfæen minde ned uden, a komme i pobleme med koninuieen. Men a Planck lænden neop e 'ænsen' fo hvo koninuieen ælde, komme næppe som noen oveaskelse. Vi indsæe dee esula i linin (46) o få:

12 lp 4 B 16 ˆ J J J dv ' (51) De ande led i linin (51) fosvinde unde anaelsen om, a vi kan væle e abiæ volumen de e so nok, således sømmen alid foblive indenfo. a på anden måde: ømmen ved 'ænsen' e li med nul[4]. Linin (51) kan defo skives: l B J 16 J (5) P Cikulaionen ovenfo ælde fo alle ænkelie lede, blo de e ale om en jævn sømnin Kvanevesionen af B-fele Fo a finde den kvanemekaniske udave af linin (5) elle eee sa flowe J, så kan vi udnye x, m x, sam hasihedsopeaoen: v i m (53) Dee beyde a: x', ' v m x', ' i m x', ' v i x', ' x', ' v i x', ' ', ' i x', ' J x P P (54) Hvo P e sandsynlihedsfele. Dee esula foælle os beyde, a lie mee hvilken ype sømnin vi ha, så vil usikkeheden på flowe alid væe uafhæni paikelbølenes masse. De e vii a undesee, a paikelbølene ikke kan bevæe si med lys hasihed o deove, men a de blo e usikkeheden på flowe de e uafhæni af massen. a på en anden måde: Vi behøve ikke a ae hensyn il paikel-bølenes masse nå usikkehed på flowe undesøes. Eo blive den kvanemekaniske udave af flowe på 'diffeenielfom': 16 lp i P ', ' i P ', ' x x (55) - 1 -

13 Konsanene educees o vi få de mee smukke udyk: 3 i c ', ' P x (56) Hvo β e bleve bu fo, a vise foskellen på linin (5) o κ e en lille hyldes il Albe Einsein, da de e konsanen de foene umidens eomei med eneiimpuls ensoen i den almen elaivieseoien. Fo a få linin (5) på 'inealfom' så kan vi ien udnye Gauss sænin på vense siden o få: B lp d l I 16 I (57) C Hvo: I da J n (58) På samme måde som fø vi vil vi kvanificee fele. Men fo a dee skal kunne lade si øe, så skal sømsyken I beskives via bølefunkionen. Dee kæve do 'lid mee knofed' fodi voes udanspunk e chödine lininen: Vi anae a m m, (59) få man: U i m (59) x o ved muliplikaion af denne på bee side af linin Ved a diffeeniee mh. iden få vi: U m i m (60) m m U m U i m i (61) Vi isolee massesømninen: mu m mi i U (6) Hvo je he ha illad mi a bue noaionen /. Ved a opløse bøken i led o indsæe linin (59) i de føse led så få man:

14 U m i i U U m m m m i i U i U m m i 1 1 U 1 U i (63) Bemæk nu a vi, i paenesen i linin (63), kan bue 'icke': ln, ln, ln' ' ' (64) De enese vi ha bu e eenskaben fo diffeenielkvoienen af den naulie loaime. Paenesen kan defo skives: ln ' m ' ln' m ln U 1 i 1 ln' i ln' 1 U (65) om de umiddelba femå så e linin (65) e mee komplicee udyk, men de samme kan jo sies om chödnine lininen. De de do ha ilfælles e, a de bee e afhænie af sysemes fakoe. Eksempelvis simplificees chödine lininen hvis den poenielle enei af syseme e li nul o med dee udanspunk så e de opla, a sudee linin (65) fo dee ilfælde. Lininen educees defo il: m m ' ' ln ln (66) Denne beinelse svae il, a den kineiske enei e al domineende o udøe defo sysemes samlede enei elle a vi beae (fa e ineiel sysem) en søm, 'lan væk' fa alle ænkelie kilde, de kan påvike sømmen. a på en enkel måde: Al den poenielle enei e omdanne il kineisk enei. Den anden ænse e hvo den poenielle enei e al domineende hvilke beyde, a linin (65) educees il: m m ' ln ln' (67) Fysisk se e denne beinelse ækvivalen med e sysem, hvo de e en kilde il sede de påvike sømmen med kæfe. E de ale om yndekæfe så 'opbye vi' enei ved, a flye en esmasse fa e lavee il e højee poenial. Ko sa omdannes kineisk enei il poeniel enei hvilke e hvad linin (67) i bund o

15 und foælle. Lininen foælle ydeliee a sømmen må væe acceleeede, hvilke e en modsid mod de vi ano om en 'jævn søm' o defo e vi nødsaede il, a kie bo fa dee esula. å voes undesøelse fa nu vil foå omkin linin (66). De eleane vil væe, a omskive paenesen i linin (66) via en af loaime eneelene, men pobleme e, a de ikke e ale om de samme vaiable o defo e følende foke: ' ' ' ln ln ln (68) Men fo a løse dee lille poblem, så kan vi lave følende absakione: ' ' ln ln v ln v u ln u ln ' ' v u ln ln ln v ' ' u ln ln de v ' ' ln ln u u v (69) Hvo v o u. De ineessane ved denne fako e, a vi fakisk kan opfae den som deeminanen af en kvadaisk maix, som je vil væle a kalde fo 'chödine maicen'. ln u ln v v u, de uv v uv u (70) Bemæk a symbolene i den sidse linin i (70) skal blo fosås, a u o v e vaiablene de diffeeniees mh. Eo kan linin (65) omskives il: m m u v (71) Lininen ovenfo e en paiel føseodens diffeeniellinin, hvis løsnin kan findes. Hvis vi vende ilbae il chödine lininen o bue voes idliee beanine fo a nå fem il linin (71), så blive massen ive ved: m i (7) Fo a vise, a dee e en løsnin il linin (71) så skal vi blo indsæe. På høje side ha vi:

16 m ' i ' ln i ln (73) De sidse vi blo skal vise e, a den paielle aflede mh. iden fo linin (7) e idenisk med linin (73). Vi diffeeniee: m i m i i m ' i ' ln i ln (74) Hvo vi i den sidse linin i (74) ha udnye linin (64). Nu e vi omside nåe il de endelie udyk fo 'massesømsopeaoen': m u u i v v (75) Eo blive den kvanemekanisk udave af linin (57) li med: u u 8 lp u u dl i v i v (76) C v v O på samme måde som fø så kan konsanene øes pænee o vi få, måske lid oveaskkende, de mee smukke esula: 3 u u dl i 4 c v (77) C v De sidse vi manle a vise e, a linin (56) i kombinaion med linin (77) oveholde okes' eoem: nda dl (78) Gunden il dee e a okes' eoem e de man skal bue fo, a komme fa inealfom il diffeenielfom. Ydemee e dee oså en vii es fo de o linine fo hvis ikke ovensående eoem oveholdes så ved vi, a lininene fokee, da okes' eoem e koek! Men lad os sae. Iføle linin (78) så må de ælde: C

17 ', ' P x 3 3 u u i c i 4 c v (79) v å kan vi 'bae' vise a dee e sand så ved vi, a lininene opfylde okes' eoem o a alle voes udlednine e koeke. Bemæk føs, a ineale på vense side af linin (79) e li med: i c da i c x n x nda 3 3 P ', ' ', ' i c ', ' da c i ', ' x n x nda 3 3 P i c x nda c J nda 3 3 P ', ' (80) Men på und af linin (58) så ha vi: c da c I J n (81) 3 3 Ved a indsæe dee esula i linin (79) så ha vi: u u c I i c v (8) v Vi indsæe il slu esulae fa linin (75) o få: 3 3 u u c I i c 4 v v 3 u u 3 u u c i v i 4 c v v v 3 u u 3 u u i 4 c v i 4 c v v v (83) om de kan ses af beeninene så e linin (78) opfyld o defo e linin (77) på diffeenielfom li med linin (56)! Fo a afslue analoiene il Maxwells linine så kan vi opskive den modificeede vesion af linin (5): l c P 1 B J 16 J (84) Ved a indsæe de kvanemekanisk fele så kan vi opskive:

18 3 1 i c ', ' P x (85) c Hvis man se på lininen så femkomme de umiddelba e lille poblem nå man spøe il hvad vakuum beinelsene e. Fosvinde flowe dvs. fosvinde de føse led? vae e mee enkel: Ja, da flowe kun e associee med en søm af paikelbøle med masse. Dee beyde a: 1 c Ved ae cikulaionen af denne linin så kan man besemme, a disse bøle udbede si med lyses hasihed. Men dee kæve a vi føs undesøe cikulaionen på høje siden. (86) A fele o indukion På baund af linin (40) så kan B-fele ved skives som: B A (87) Dee analo il manefele i elekomaneismen. Ved a ae cikulaionen af dee fel så få vi: B A B A A l A A J J P 16 (88) I de ande led på vense siden af de sidse lihedsen kan vi væle, a sæe spedninen af A-fele il nul[4] således: l A J J (89) P 16 Dee e blo en mee avancee udave af Poissons linin o denne ha løsninen: J 4lP J A dv ' dv ' (90) 4 V Den kvanemekaniske udave af dee fel kan besemmes ved, a indsæe linin (54): V

19 4 P lp P i x ', ' dv ' i x ', ' dv ' 4 V V (91) He e α bleve bu il, a skelne fa A-fele. Ved a ene på konsanene så kan linin (91) educees il: i cl x dv P 3 P ', ' ' V Undesøelse af Einseins fellinine vise a de vil væe fonufi a definee - fele så de oså omfae leeme i bevæelse[3]: A (9) (93) Ved ae cikulaionen på bee side af linin (93) sam bue linin (87) så få man: B (94) Hvo vi ha udnye 0. Denne linin e maemaisk idenisk med Faaday's indukions lov. Da vi nu ha inoducee de kvanemekaniske udave af de foskellie fele de indå i linin (94), så kan linin (94) skives som: Med. Vi kan nu å videe linin (86) ved a ae cikulaionen på bee side: (95) 1 c 1 c (96) På baund af linin (40) så kan vi definee den kvanemekaniske udave af spedninen fo B-fele ved: Defo: 0 (97)

20 1 c 0 (98) Men dee e blo den edimensionale udave af bølelininen af denne kan de ses, a -bøle udbede si med lyses hasihed Poeniale fomuleinen o aue ansfomaione På baund af alle disse udlednine kan vi nu samle alle fellininene: m 1 x, x', ' x', ' m i c P ', ' x c (99) Lininene på denne fom e eleane men de kan fosimples ved, a 'educee' de fie linine ned il o. Dee kan vi øe ved, a kie på aue ansfomaione. Hele poblemaikken lie i, a spedninen fo alfa fele kunne sæes il 0 da denne kan opfaes som e skalæ. amme in kan anaes i fobindelse med de fie linine således, a de kan 'øes kønnee'. De føse vi kan øe e, a kie i linin numme o: 0 0 (100) Men dee må beyde, a de eksisee e skalæfel således a: (101) Ved a ae spedninen af dee esula få man: m 1 x', ' x', ' m (10) Vi kie nu på den sidse fellinin. Fa idliee ved vi a beyde: dee i c P ', ' x (103) c c - 0 -

21 Vi kan på vense side bue vekoeneelen: (104) Heaf: i c P ', ' c c x (105) Bemæk opeaoen på de føse led e d'alembeian opeaoen de definees ved: 1 c O sæe vi skalæfele i de sidse led li med: (106) L 1 c (107) å ha vi: ', ' x 3 L i c P (108) I linin (107) isolee vi spedninen af alfa-fele o indsæe dee i linin (10) så få vi: L m 1 ', ' ', ' x m x (109) Al i al ha vi educee de fie lininene ned il o; Nemli linin (108) o (109). Bemæk symmeien i de o linine: 3 L i c P ', ' x L m 1 m x', ' x', ' (110) Linin (110) foælle os, a hve an vi ække adienen af skalæfele fa, så skal vi addee den ids aflede il fele, dee vil ikke ænde de fysiske eenskabe fo amma- o bea-felene. Lininene ovenfo opfylde aue ansfomaionene, hvilke ive os fiheden il addee en skalæe uden a de ænde eenskabene fo felene, dee e selvføleli unde foudsæninene af, a de e ale om de samme amma- o bea-fele, denne fihed il a væle en skalæe bine os i den posiion - 1 -

22 il, a ydeliee simplificee lininene. Den nemmese løsnin vil selvføleli væe, a 'læe nul il' dvs. sæ L 0 o vi få: 3 i c P ', ' x m 1 m x', ' x', ' (111) Alle infomaione em i de ovensående linine, dække pæcis infomaionen ove alle fie linine i (99)! 1.4 Diskussion Nole af de mes ineessane beeninene va i fobindelse med de kvanemekaniske udave af flowe I o massesømninen J. Bee disse beenine vise, a de bee va uafhæni af massene som flowe udøes af. Den viise poine som kan daes e; Alle lininene e koninuee o a sandsynlihedseenskaben i kvanemekanikken ikke e fosvunde. De en mulihed fo, a man kan foolke esulae i linin (54) på en mee ineessan måde. Hvis man beae 'sandsynlihedsfunkionen' som e eel skalæfel o bue analoien il e klassisk poeniale, så ive adienen anlednin il e ny vekofel: Nemli e sandsynlihedsfel som je ha val a kalde de. Dee fel ha den sæe eenskab, a 'flowe' kvanemekanisk se e den samme uafhæni af hvad flowe beså af! Men dee e måske ikke så mækeli hvis vi o på, a sandsynlihedsfele selv e 'den eenlie subsans' ba paikelbøle. I denne fobindelse kan vi inddae foolknine ind. I Københavnefoolkninen skal man væle hvad man ønske a måle, da vi aldi kan vide en iven paikelbøles eenskab på ved en o samme fosøsopsillin. Eksempelvis des posiion o des impuls. Dee e måske ikke så mækeli, hvis sandsynliheden manifesees som paikle, da målevale ha en beydnin (iføle Københavnefoolkninen alså), så vil sandsynliheden fo, hvad man vil måle væe søe end omvend o da sandsynlihedsfele e de undlæende fo alle paikle så 'ilpasse' fele si il denne målin. a med en populæ vendin, så kan fele alså ikke 'muliaske'. Eo kan man ikke besemme en paikelbølens posiion o samidi vide, hvad des impuls e, hvis man alleede måle posiionen. En sidse in je vil nævne e konsanen 'kappa' de indå på smukkese vis i linin (111) sammen med Plancks konsan. Dee e ikke så undeli da lininene eel se e de føs udkas il en eoi om kvaneaviaion. Je vil il slu undesee a disse beanine skal undesøes dybee o a aiklen he ikke dække alle disse. De sidse spøsmål e da; E de muli a å den 'anden vej' o besemme de fellinine de indå i den Almen Kvaneelaivisiske eoi? De må kun iden vise. - -

23 1.5 Konklusion Vi ha i denne aikel vis, a fellininene fo indeholde kvanemekaniske elemene o a disse e nødvendie. Dee esulee i fie fellinine de via aue ansfomaione kunne educees il o. Men undevejs dukke de nole delesulae op. De viise delesula va lokalieens indpas i kvanemekanikken. Dee kan kun væe koek hvis vi beaede e sysem (de e i hvile) indenfo e afænse omåde D. Ydemee kan vi konkludee, a lininene i (111) e Loenz invaiane da de ha samme maemaiske suku som Maxwells linine

24 1.6 Lieau [1] Hebe Fabes Kisiansen, Modified Newonian Gaviy and he heoy of Elecoavioisme, Denmak Roskilde Euope, 31/01/008 [] Pee Jay alzman, Invesiaion of he Time Dependen chödine-newon Equaion, Univesiy of Califonia, 005 [3] M. Tama, C.J de Maos, Couplin of Elecomaneisme and Gaviaion in he weak field appoximaion, Jounal of Theoeics, hp:// (Dao: 1/5/001) [4] Giffihs David J., Inoducion o Elecodynamics, Thid Ediion, Penice Hall

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Elementær Matematik. Parameterkurver

Elementær Matematik. Parameterkurver Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

Beregningsmetode for bestemmelse af forsatsvinduers energimæssige egenskaber

Beregningsmetode for bestemmelse af forsatsvinduers energimæssige egenskaber Beeninsmetode fo bestemmelse af fosatsvindues eneimæssie eenskabe dabejdet af DT i 200 fo eneistyelsen, o justeet i 2005 i fællesskab af DT o Teknoloisk Institut Kontaktpesone: Pofesso Svend Svendsen Danmaks

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14.

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14. Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole.

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole. Po amu dvik lin Desin up k c Ba ed Sikkeh S e v el øs nin af Ne t m Poam væ k Da ta e e i n se ba Bu e s e vi ce Se m Poam ve løs nin e Fe e i n n di jl f in Softwae ae Hadw D at aba se Si k he d ERHVERVSUDDANNELSER

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Dynamiske Rentemodeller

Dynamiske Rentemodeller Dynamiske Renemodelle BD & ande én-fako modelle Noa il Invesmens Ovesig Behove fo dynamiske modelle. Klassiske dynamiske modelle og foskellige specifikaione. De klassiske modelles mangle. Ny indsig og

Læs mere

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70 61 Få Anal få (udyk i usind) Belgien 120 Fankig 9 000 Øsig 350 Danmak 120 Iland 5 000 Pougal 3 600 Tyskland 2 000 Ialien 11 000 Finland 70 Gækenland 9 000 Luxemboug 7 Sveige 440 Spanien 24 000 Nedelandene

Læs mere

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3. Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1 De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

SkanKomp Værdiskabende projekt eller tidsrøver? Dagligdagens balancekunst??

SkanKomp Værdiskabende projekt eller tidsrøver? Dagligdagens balancekunst?? SkanKomp Vædiskabende pojek elle idsøve? Dagligdagens balancekuns?? 02-02-2012 1 Pogam Check in il wokshoppen Opvamning Fomål med wokshoppen Henik - SkanKomp vædiskabe elle idsøve fo Kususcenee? Hvodan

Læs mere

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) 1. 19.08.13 - introduktion/repetition af kerneområderne

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) 1. 19.08.13 - introduktion/repetition af kerneområderne Undevisningsbeskivelse Redig e Fag: Tilføj foløb Genee beskivelse Tilføj supplemen Temin: Juni 2014 Læe(e): Niveau: abejdsfome Psykologi C->B, VAF Flemming Johansen (FLJO) B fokuspunke Insiuion: VUC Vejle,

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

A. Valg af udførelsesmetode og materiel

A. Valg af udførelsesmetode og materiel A. Val af udførelseseode o aeriel I dee kapiel beskrives, vorledes ovedakivieerne udføres, sa vilke aeriel der benyes. I dee kapiel benyes der ænder. A.1 Val af raveaskiner I forbindelse ed val af askine

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) Placér lektioner

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) Placér lektioner Undevisningsbeskivelse Redig e Fag: Tilføj foløb Genee beskivelse Tilføj supplemen abejdsfome Psykologi C, VAF Temin: Juni 2014 Læe(e): Niveau: Flemming Johansen (FLJO) C fokuspunke Insiuion: VUC Vejle,

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Markedsværdiansættelse af L&P-selskaber

Markedsværdiansættelse af L&P-selskaber Insiu fo Finansieing Cand.mec. afhandling Fofaee: Henik Deman Seffen Haslev Vejlede: Andes Gosen Makedsvædiansæelse af L&P-selskabe - Med fokus på sepaeing af pensionskundene i besande med hve dees enegaani

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Rettevejledning til Tag Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2004

Rettevejledning til Tag Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2004 Reevejledig il Tag Med-Hjem-Eksame Makoøkoomi, 2. Åspøve Efeåssemese 2004 Modelle fo lukke økoomi geage fa opgave: De avedes defiiioee: Y = K α H L, 0

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Ejendomsværdibeskatning i Danmark

Ejendomsværdibeskatning i Danmark DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Tilfredshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH. 1. Har du været i praktik i en virksomhed i løbet af den seneste praktikperiode? 2. Køn. 3.

Tilfredshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH. 1. Har du været i praktik i en virksomhed i løbet af den seneste praktikperiode? 2. Køn. 3. Tilfedshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH 1. Ha du væet i paktik i en viksomhed i løbet af den seneste paktikpeiode? 2. Køn 3. Alde 4. Hvo langt e du i uddannelsen? 5. Hvo meget ha du sammenlagt væet i paktik

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE As fas as necessay as slow as possible KONTAKT TEKST: PR konoe SVENDBORG KOMMUNE RAMSHERRED 5 5700 SVENDBORG FOTO: Gei Haukusson WWW.SVENDBORG.DK WWW.CITTASLOW-SVENDBORG.DK

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

En forhandlingsmodel for løndannelsen

En forhandlingsmodel for løndannelsen MODELGRUPPEN Moten Wene Danmaks Statistik Abejdspapi 30. janua 2003[Udkast] En foandlingsmodel fo løndannelsen Resumé: Afløse foige papi af samme navn. [Koektulæsning og gennemskivning udestå] mo Nøgleod:

Læs mere

Overgangsbetingelser for D- og E-felt

Overgangsbetingelser for D- og E-felt lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel

Bilag 1: Beregningseksempel Bila : Beeninseksempel Nævæende bila ha til omål at vise beeninspoceden o ovenlys med opdelt. De anvendes til eksemplet et speciikt ovenlyspoil med en osatsløsnin som ennemenes o dokmentees. Det beenede

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5.

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5. Oue ikole Uyghede ved kolen Piv-/ikole, Oue ikole Uygge punke Anl udpegninge 5 il 5 il 5 3 il il 3 il Uygge ækninge Anl udpegninge 5 il il 5 3 il il 3 il Svfodeling Skolefikken fodeling Svpocen f kolevejlyen

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Kvantepartikel i centralpotential

Kvantepartikel i centralpotential Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

2016-2019 RESUMÉ/LÆSEVEJLEDNING

2016-2019 RESUMÉ/LÆSEVEJLEDNING Nyudda ede i SMV e e 2016-2019 RESUMÉ/LÆSEVEJLEDNING Nedenfo flge e ko amle eum fo indaen Nyuddannede i SMV ene am levejledning il o undeende pojeke/angninge il hhv. Regionale Udvikli g idle Mle i g og

Læs mere

I lærervejledningen har vi formuleret læringsmål, som i det følgende er omsat til en række tegn på læring:

I lærervejledningen har vi formuleret læringsmål, som i det følgende er omsat til en række tegn på læring: Lærinsmål Kompetenceområdet Tal o alebra i forenklede Fælles Mål omfatter på trin tre færdiheds- o vidensområder. I evaluerinen til 1. kap. Tal o målin ser vi på det område, som omhandler elevens opnåelse

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Newton, Einstein og Universets ekspansion

Newton, Einstein og Universets ekspansion Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi.

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Vi skal tale om. Husk lige pauserne Side 18. Styrketrænings effekt på sklerose. Vidensbank om udlandsudveksling. Vi tæller ned til havesæsonen

Vi skal tale om. Husk lige pauserne Side 18. Styrketrænings effekt på sklerose. Vidensbank om udlandsudveksling. Vi tæller ned til havesæsonen Husk lie pausene Side 18 Vi skal tale om vold Vi skal sætte od o handlin på voes ænse ovefo vold, fo det må aldi toleees. Side 06 04 16 20 Vis mi din fosknin Intensivsyepleje Gode åd Styketænins effekt

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel.

Bilag 1: Beregningseksempel. Bila 1: Bereninseksemel. Claus F. Jensen, 5/4-01 Bilae har il ormål a vise bereninsroceduren or e elemen a en lasacade. De anvende elemen er rundlæende idenisk med de i ren 13947 anivne. Der renes i dee

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Honeywell Hometronic

Honeywell Hometronic Honeywell Hometonic Komfot + Spa enegi Gulvvame Lysstying Lys Sikkehed Sikkehed Andet Andet Radiato Insight Building Automation 1 MANAGER Hometonic Manageen HCM200d e familiens oveodnede buge-inteface.

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Højkapa citetsda ge. pacitetsda ge. Døgn. mkapacit. Pr. retning Min 300 LM gods * Op til 5.000 passager er. Pr. retning.

Højkapa citetsda ge. pacitetsda ge. Døgn. mkapacit. Pr. retning Min 300 LM gods * Op til 5.000 passager er. Pr. retning. Ø Ndsæls af pis på passa, bil gods. Fa Boholms sid d alafgød øsk maka dsæls af pis udyk som afikal lisillig, offsiv ilag, d vil idvik posiiv på d boholmsk samfudsøkoomi. Tafikal lisillig idbæ, a d kos

Læs mere

VRÅ - EM AUGUST SEPTEMBER 2015

VRÅ - EM AUGUST SEPTEMBER 2015 VRÅ - EM E K R KI T E D BLA tale m a i l o - en fot o e l Sjæ ikeåd på Em k e n i d Æn t ce Kikekon andin v d å e Kik tjenete d u ft Filu 4 AUGUST SEPTEMBER 2015 Kontaktlite Sonepæt: Telefon: 98 98 10

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller Tik køe. Nogle memiske modelle Memiske eme Tik køe Nogle memiske modelle Ole Wi-Hse Køge gymsium 008 Tik køe. Nogle memiske modelle Idhold Idhold.... Geeelle deiiioe og begige oe bil ik....3. Aiklig ik-køe

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere