Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She"

Transkript

1 Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning α 1 x 3 + α 2 x 2 + α 3 x + α 4 = 0 (1) hvor α 1, α 2, α 3 og α 4 er reelle tal, og α 1 0. Ved division med α 1 fås den reducerede ligning hvor x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (2) a = α 2 α 1, b = α 3 α 1 og c = α 4 α 1. Vi vil nu løse den reducerede ligning 23 ved at benytte en række snedige tricks. Vi vil første skille os af med andengradsleddet ved at substituere x = y 1 3 a i (2): ( x 3 + ax 2 + bx + c = y 1 ) 3 ( 3 a + a y 1 ) 2 3 a + b (b 1 ) 3 a2 y a3 1 ab + c. 3 =y 3 + hvorved ligningen (2) kan skrives på formen (y 1 3 a ) + c y 3 + py + q = 0 (3) 23 Da de to ligninger er ækvivalente, vil rødderne i anden ligning præcis være rødderne i første ligning. 22. årgang, nr. 1

2 54 Løsning af tredjegradsligningen hvor p = b 1 3 a2 og q = 2 27 a3 1 3ab + c. Bemærk, at ligningssystemet er nemt at løse, hvis p eller q er lig 0. I følgende betragter vi derfor kun tilfælde, hvor p, q 0. Sættes y = u + v, fås 24 : (u + v) 3 + p(u + v) + q = 0 { p = 3uv q = (u 3 + v 3 ) { p 3 27 = u3 v 3 q = (u 3 + v 3 ) (4). (5) Det er altså tilstrækkeligt at finde u og v, så ligningssystemet i (5) løses. Bemærk desuden, at p, q 0 tillader os at antage u, v 0 og u + v 0. Vi vil konstruere en andengradsligning, hvor koefficienterne er en snedig konstruktion af p og q, som vi allerede kender fra vores tredjegradsligning, og hvor rødderne af andengradsligningen viser sig at være netop u 3 og v 3, hvor u og v opfylder (5). Et kvalificeret gæt kunne være: z 2 + qz 27 = 0 (6) Vi skal altså vise, at u og v opfylder (5) u 3 og v 3 er rødder i (6). Vi starter med at vise -implikationen. Antag, at u og v opfylder ligningssystemet i (5). Da fås det ønskede ved at evaluere (6) i z = u 3 og z = v 3, efter substitution af koefficienterne i (6) med de ækvivalente udtryk fundet i (5). 24 Læseren kan eftervise (4) ved at bemærke (u+v) 3 = u 3 +v 3 +3uv(u+v). Famøs oktober 2012

3 Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She 55 Vi viser nu, at hvis u 3 og v 3 er rødder i (6), så er ligningerne i (5) opfyldt. Per antagelse har vi: (u 3 ) 2 + qu 3 27 = 0 (v 3 ) 2 + qv 3 27 = 0 Det giver mening 25 at dividere med u 3 hhv. v 3 : u 3 + q v 3 + q Ved at isolere q i begge ligninger fås: Lidt omrokering giver: 27u 3 = 0 27v 3 = 0 q = 27u 3 u3 = 27v 3 v3 (7) ( 1 27 u 3 1 ) v 3 = u 3 v 3 (8) p 3 27 = u3 v 3 1 = 1 u 3 v 3 ( u 3 v 3) u 3 v 3 ( ) 1 1 u u 3 v 3 v 3 3 = u 3 v 3 25 Per antagelse er u, v årgang, nr. 1

4 56 Løsning af tredjegradsligningen Substitution, i udtrykket for q fra første lighedstegn i (8), giver: q = (u 3 + v 3 ) Altså ser vi, at ligningerne i (5) er opfyldte. Vi kan altså finde u 3 og v 3 ved at løse andengradsligningen i (6). Ideen er derefter at finde en af løsningerne y 1 = u 1 + v 1 på (3), hvorefter en af løsningerne x 1 = y 1 1 3a til (2) kan bestemmes. Resten af magien foregår ved polynomiumsdivision til at få en andengradsligning, hvis rødder er de to resterende rødder af tredjegradsligningen. Til at finde u 1 og v 1 bestemmes først den ene kubikrod u 1 af u 3. Vi udnytter da restriktionen 3u 1 v 1 = p fra (4) til at bestemme v 1. Lidt historie Det netop gennemgåede er en variation af Cardanos formel. Det var i hans arbejde med tredjegradsligninger, at han indså nødvendigheden af at udvide det daværende talsystem. Det pudsige ved denne metode er, at vi i beregningen af u 3 godt kan komme ud for at tage kvadratroden til et negativt tal, og så alligevel have at u 1 er reelt! Inden fødslen af de komplekse tal må det have en været en overraskende opdagelse. Et eksempel I følgende eksempel demonstreres brugen af det netop beviste. Vi starter med tredjegradsligningen: Famøs oktober 2012

5 Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She 57 2x 3 30x x 350 = 0 (9) Ved division med koefficienten på tredjegradsleddet reduceres ligningen til formen (2): x 3 15x x 175 = 0 Så vi har a = 15, b = 81, c = 175. Vi skriver nu ligningen om til formen (3), med følgende p og q-værdier: p = b 1 3 a2 = = 6 q = 2 27 a ab + c = = Nu kan vi bestemme u 3, som den ene rod i (6): u 3 = q 2 + q = En kubikrod for u kan være u 1 = Idet 3u 1 v 1 = p = 1, fås v 1 = p 3u 1, dvs. v 1 = Da y 3 1 = u 1 + v 1 = 0, kan vi nu substitutere tilbage, for at finde en af rødderne til tredjegradsligningen: x 1 = y 1 a 3 = = 7 Den ene af rødderne er altså 7. Vi udfører nu polynomiumsdivision for at få et andengradspolynomium, hvis rødder er de to 22. årgang, nr. 1

6 58 Løsning af tredjegradsligningen resterende rødder: x 3 15x x 175 x 7 = x 2 8x + 25 (x 3 7x 2 ) 8x x 175 ( 8x x ) 25x 175 (25x 175) Vi får, at rødderne i x 2 8x + 25 er de to resterende løsninger til (9), hvilke vi let kan finde ved løsningsformlen for en andengradsligning: x = 8 ± ( 8) = 4 ± 36 2 = 4 ± 3i Altså finder vi, at alle løsningerne til (9) er 7, 4 + 3i og 4 3i. Litteratur [1] Matematiske Horisonter. DTU,2011. Bogen kan hentes her: Informationsmateriale/MatematiskeHorisonter.aspx Famøs oktober 2012

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Gode råd til den motiverede ansøgning

Gode råd til den motiverede ansøgning Gode råd til den motiverede ansøgning Mange uddannelsessteder vil gerne have, at kvote 2 ansøgere vedlægger en motiveret ansøgning (nogle steder også kaldet en levnedsbeskrivelse). Den motiverede ansøgning

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

QUICK START GUIDE TIL ARBEJDE MED PUNKTFORMATER.

QUICK START GUIDE TIL ARBEJDE MED PUNKTFORMATER. QUICK START GUIDE TIL ARBEJDE MED PUNKTFORMATER. I listepanel kan man vælge menupunktet Sæt som punktformat. Denne guide giver en introduktion til, hvad Punkterformater er, hvad de kan anvendes til, og

Læs mere

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk.

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. 0B1. Omregning mellem procenter og kommatal Ordet procent

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Om tastaturgenveje i Noter

Om tastaturgenveje i Noter Om tastaturgenveje i Noter Lad os starte med at præcisere, hvad det er vi har I tankerne: Tastaturgenveje er genveje til at frembringe særlige symboler, særlige skabeloner, særlig layout og særlige handlinger

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Interessebaseret forhandling og gode resultater

Interessebaseret forhandling og gode resultater og gode resultater Af Poul Kristian Mouritsen, mindbiz Indledning Ofte anser vi forhandling for en hård og ubehagelig kommunikationsdisciplin. Faktisk behøver det ikke være sådan og hvis vi kigger os omkring,

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse, konklusion og indholdsfortegnelse

Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse, konklusion og indholdsfortegnelse Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse, konklusion og indholdsfortegnelse Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse og konklusion Indledning, problemformulering,

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere