Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She
|
|
- Simone Villadsen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning α 1 x 3 + α 2 x 2 + α 3 x + α 4 = 0 (1) hvor α 1, α 2, α 3 og α 4 er reelle tal, og α 1 0. Ved division med α 1 fås den reducerede ligning hvor x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (2) a = α 2 α 1, b = α 3 α 1 og c = α 4 α 1. Vi vil nu løse den reducerede ligning 23 ved at benytte en række snedige tricks. Vi vil første skille os af med andengradsleddet ved at substituere x = y 1 3 a i (2): ( x 3 + ax 2 + bx + c = y 1 ) 3 ( 3 a + a y 1 ) 2 3 a + b (b 1 ) 3 a2 y a3 1 ab + c. 3 =y 3 + hvorved ligningen (2) kan skrives på formen (y 1 3 a ) + c y 3 + py + q = 0 (3) 23 Da de to ligninger er ækvivalente, vil rødderne i anden ligning præcis være rødderne i første ligning. 22. årgang, nr. 1
2 54 Løsning af tredjegradsligningen hvor p = b 1 3 a2 og q = 2 27 a3 1 3ab + c. Bemærk, at ligningssystemet er nemt at løse, hvis p eller q er lig 0. I følgende betragter vi derfor kun tilfælde, hvor p, q 0. Sættes y = u + v, fås 24 : (u + v) 3 + p(u + v) + q = 0 { p = 3uv q = (u 3 + v 3 ) { p 3 27 = u3 v 3 q = (u 3 + v 3 ) (4). (5) Det er altså tilstrækkeligt at finde u og v, så ligningssystemet i (5) løses. Bemærk desuden, at p, q 0 tillader os at antage u, v 0 og u + v 0. Vi vil konstruere en andengradsligning, hvor koefficienterne er en snedig konstruktion af p og q, som vi allerede kender fra vores tredjegradsligning, og hvor rødderne af andengradsligningen viser sig at være netop u 3 og v 3, hvor u og v opfylder (5). Et kvalificeret gæt kunne være: z 2 + qz 27 = 0 (6) Vi skal altså vise, at u og v opfylder (5) u 3 og v 3 er rødder i (6). Vi starter med at vise -implikationen. Antag, at u og v opfylder ligningssystemet i (5). Da fås det ønskede ved at evaluere (6) i z = u 3 og z = v 3, efter substitution af koefficienterne i (6) med de ækvivalente udtryk fundet i (5). 24 Læseren kan eftervise (4) ved at bemærke (u+v) 3 = u 3 +v 3 +3uv(u+v). Famøs oktober 2012
3 Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She 55 Vi viser nu, at hvis u 3 og v 3 er rødder i (6), så er ligningerne i (5) opfyldt. Per antagelse har vi: (u 3 ) 2 + qu 3 27 = 0 (v 3 ) 2 + qv 3 27 = 0 Det giver mening 25 at dividere med u 3 hhv. v 3 : u 3 + q v 3 + q Ved at isolere q i begge ligninger fås: Lidt omrokering giver: 27u 3 = 0 27v 3 = 0 q = 27u 3 u3 = 27v 3 v3 (7) ( 1 27 u 3 1 ) v 3 = u 3 v 3 (8) p 3 27 = u3 v 3 1 = 1 u 3 v 3 ( u 3 v 3) u 3 v 3 ( ) 1 1 u u 3 v 3 v 3 3 = u 3 v 3 25 Per antagelse er u, v årgang, nr. 1
4 56 Løsning af tredjegradsligningen Substitution, i udtrykket for q fra første lighedstegn i (8), giver: q = (u 3 + v 3 ) Altså ser vi, at ligningerne i (5) er opfyldte. Vi kan altså finde u 3 og v 3 ved at løse andengradsligningen i (6). Ideen er derefter at finde en af løsningerne y 1 = u 1 + v 1 på (3), hvorefter en af løsningerne x 1 = y 1 1 3a til (2) kan bestemmes. Resten af magien foregår ved polynomiumsdivision til at få en andengradsligning, hvis rødder er de to resterende rødder af tredjegradsligningen. Til at finde u 1 og v 1 bestemmes først den ene kubikrod u 1 af u 3. Vi udnytter da restriktionen 3u 1 v 1 = p fra (4) til at bestemme v 1. Lidt historie Det netop gennemgåede er en variation af Cardanos formel. Det var i hans arbejde med tredjegradsligninger, at han indså nødvendigheden af at udvide det daværende talsystem. Det pudsige ved denne metode er, at vi i beregningen af u 3 godt kan komme ud for at tage kvadratroden til et negativt tal, og så alligevel have at u 1 er reelt! Inden fødslen af de komplekse tal må det have en været en overraskende opdagelse. Et eksempel I følgende eksempel demonstreres brugen af det netop beviste. Vi starter med tredjegradsligningen: Famøs oktober 2012
5 Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She 57 2x 3 30x x 350 = 0 (9) Ved division med koefficienten på tredjegradsleddet reduceres ligningen til formen (2): x 3 15x x 175 = 0 Så vi har a = 15, b = 81, c = 175. Vi skriver nu ligningen om til formen (3), med følgende p og q-værdier: p = b 1 3 a2 = = 6 q = 2 27 a ab + c = = Nu kan vi bestemme u 3, som den ene rod i (6): u 3 = q 2 + q = En kubikrod for u kan være u 1 = Idet 3u 1 v 1 = p = 1, fås v 1 = p 3u 1, dvs. v 1 = Da y 3 1 = u 1 + v 1 = 0, kan vi nu substitutere tilbage, for at finde en af rødderne til tredjegradsligningen: x 1 = y 1 a 3 = = 7 Den ene af rødderne er altså 7. Vi udfører nu polynomiumsdivision for at få et andengradspolynomium, hvis rødder er de to 22. årgang, nr. 1
6 58 Løsning af tredjegradsligningen resterende rødder: x 3 15x x 175 x 7 = x 2 8x + 25 (x 3 7x 2 ) 8x x 175 ( 8x x ) 25x 175 (25x 175) Vi får, at rødderne i x 2 8x + 25 er de to resterende løsninger til (9), hvilke vi let kan finde ved løsningsformlen for en andengradsligning: x = 8 ± ( 8) = 4 ± 36 2 = 4 ± 3i Altså finder vi, at alle løsningerne til (9) er 7, 4 + 3i og 4 3i. Litteratur [1] Matematiske Horisonter. DTU,2011. Bogen kan hentes her: Informationsmateriale/MatematiskeHorisonter.aspx Famøs oktober 2012
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereAFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15
AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereOversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal
Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over
Læs mereProjekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereSÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION
SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merePolynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen
Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereOm brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling
Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereDen lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3
Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4
Læs mereDen lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.
Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...
Læs mereGode råd til den motiverede ansøgning
Gode råd til den motiverede ansøgning Mange uddannelsessteder vil gerne have, at kvote 2 ansøgere vedlægger en motiveret ansøgning (nogle steder også kaldet en levnedsbeskrivelse). Den motiverede ansøgning
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereQUICK START GUIDE TIL ARBEJDE MED PUNKTFORMATER.
QUICK START GUIDE TIL ARBEJDE MED PUNKTFORMATER. I listepanel kan man vælge menupunktet Sæt som punktformat. Denne guide giver en introduktion til, hvad Punkterformater er, hvad de kan anvendes til, og
Læs mereI dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk.
I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. 0B1. Omregning mellem procenter og kommatal Ordet procent
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mereKom godt i gang. Sluttrin
Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,
Læs mereOm tastaturgenveje i Noter
Om tastaturgenveje i Noter Lad os starte med at præcisere, hvad det er vi har I tankerne: Tastaturgenveje er genveje til at frembringe særlige symboler, særlige skabeloner, særlig layout og særlige handlinger
Læs mereTo-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013
To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse
Læs mereInteressebaseret forhandling og gode resultater
og gode resultater Af Poul Kristian Mouritsen, mindbiz Indledning Ofte anser vi forhandling for en hård og ubehagelig kommunikationsdisciplin. Faktisk behøver det ikke være sådan og hvis vi kigger os omkring,
Læs mereMeditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereDet vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne
Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,
Læs mereLær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse, konklusion og indholdsfortegnelse
Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse, konklusion og indholdsfortegnelse Lær at lave indledning, problemformulering, arbejdsbeskrivelse og konklusion Indledning, problemformulering,
Læs mereMATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE
MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På
Læs mere