Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Transkript

1 1 Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant 1.1 Indledning I slutningen af 1800-tallet opdagede man, at metaller kan udsende elektroner, når de bliver belyst. Hvert metal kræver en bølgelængde under en bestemt grænse, for at elektronerne kunne frigøres, men herefter så man energien af elektronerne stige med faldende bølgelængde. Derimod spillede lysintensiteten ingen rolle for elektronernes energi. Antallet af frigjorte elektroner steg med lysintensiteten, men ikke deres energi. Dette fænomen kunne ikke forklares ud fra klassiske forestillinger om lys som en kontinuert bølgeudbredelse. I klassisk elektrodynamik sørger superpositionsprincippet for, at dobbelt så meget lys i almindelighed kan føre til dobbelt så store elektriske felter og hermed til dobbelt så store accelerationer af elektronerne. Det elektriske felt set af en enkelt elektron på et givet tidspunkt vil her udgøre et kontinuum op til en vis maximalværdi bestemt af lysintensiteten. I 1905 gav Einstein en forklaring på fænomenet ud fra Plancks kvantehypotese fra år Denne hypotese siger at lys udsendt af et sort legeme med en given temperatur forefindes i mindste kvanter, fotoner, hver med energien E = hν hvor h er Plancks konstant og ν er lysets frekvens. Einstein antog, at en enkelt foton vekselvirker med een elektron i metallet, og for at frigøre elektronen må fotonens energi være større end den energi, Φ, hvormed elektronen er bundet til metallet. For fotonenergier større end Φ er den kinetiske energi af de løsrevne elektroner, E e, givet ved E e = hν Φ (1.1)

2 2 Einstein havde hermed knyttet forbindelsen mellem den foto-elektriske effekt og Plancks formel for sort-legeme strålingen. I denne øvelse vil vi måle den kinetiske energi af elektroner frigjort fra katoden i en fotocelle (som er PbS eller Kalium) ved bestråling med lys med forskellige bølgelængder. Bølgelængden (og hermed frekvensen c λ ) måles ved hjælp af et spektrometer baseret på diffraktion fra et optisk gitter. Elektronerne fra den bestrålede katode opsamles på en trådformet platin-anode. Gennem en måling af elektronernes energi ved hver frekvens af lyset vil vi bestemme Plancks konstant og det konstante led i ligning (1.1). Allerede i 1859 havde Gustav Robert Kirchhoffs endvidere fundet at opvarmede forgassede stoffer udsender lys, der er sammensat af et for stoffet karakteristisk sæt af skarpe spektrallinier overlejret af et svagere kontinuert spektrum. En del af æren for denne opdagelse må tilskrives Kirchhoffs ven og kollega Robert Bunsen, som udviklede en opvarmningsteknik, (bunsenbrænderen), hvor lyset fra det opvarmede stof ikke blev overstrlet af lyset fra flammen. Opdagelsen satte Kirchhoff og Bunsen istand til at identificere stoffer alene på baggrund af det udsendte lys, og som noget nyt kunne man spore selv små mængder af forurening i ellers rene stoffer. Med det nye værktøj gik forskere i gang med at studere lys fra alle mulige kilder, deriblandt solen og stjernerne. En række nye grundstoffer blev identificeret, som f.eks. helium, der blev fundet i solen sytten år før det i 1895 blev fundet på jorden. Det må have været en enestående oplevelse at vise, at de stoffer, solen og stjernerne er opbygget af, er de samme som de kemiske grundstoffer på jorden. En betydningsfuld opdagelse kom fra den schweiziske matematiker og fysiker Johan Jacob Balmer. I 1885 opdagede han en simpel matematisk sammenhæng imellem bølgelængderne for den synlige del af hydrogenspektret. Balmers formel blev senere generaliseret af den svenske fysiker Rydberg til: ( 1 1 λ = R m 2 1 ) n 2, (1.2) hvor m og n er positive naturlige tal med n > m. Bølgelængderne, der fås ved at sætte m = 2, kaldes Balmer serien. Rydberg konstanten er R = m ec 2 α 2 2hc = m 1 eller 13.6 ev, hvis man ganger den med hc (herved får man venstresiden i ligning 1.2 til at være E γ = hν, fotonens energi). I februar 1913 gjorde en af Niels Bohrs gamle studiekammerater ham opmærksom på Balmers formel. Det siges at være den brik, som Bohr manglede til at kunne opstille en konsistent atomteori. Allerede i marts måned samme år kunne Bohr offentliggøre sine epokegørende postulater som bandt det hele sammen.

3 1.2. DET OPTISKE GITTER 3 Figur 1.1: Skematisk tegning af spektrometerets bestanddele; lyskilde eller belyst spalte(s), kollimatorlinse (K), gitter (G), kikkertlinse(l) og fokuspunkt (F). Vi skal i denne øvelse også foretage målinger af Balmer-serien ved hjælp af et manuelt gitterspektrometer. Det er dels for at vise, hvordan et spektrometer virker, og dels for at bestemme Rydbergs konstant og hermed f en alternativ bestemmelse af Plancks konstant. 1.2 Det optiske gitter Et optisk gitter kan f.eks. være en glasplade, hvori der er ridset ækvidistante streger, mellem hvilke pladen er gennemsigtig. Afstanden d mellem to nabo-streger kaldes gitterkonstanten. Betragtes en lyskilde gennem gitteret, ser man farvede billeder (spektre) af lyskilden på begge sider af det direkte billede. Fænomenet forklares ved lysets bølgenatur på følgende måde, se figur 1.1. Spalterne i gitteret (G) er vinkelret på tegneplanen. Fra venstre sendes et parallelbundt af monokromatisk lys, dvs. lys med kun een bølgelængde, ind mod gitteret, Et sådant parallelbundt kan fås f.eks. fra en spalte (S) anbragt i brændplanen for en kollimatorlinse (K), hvis akse står vinkelret på gitteret. Fra gitterets åbninger vil der udgå bølger i alle retninger. Idet der forudsættes, at bredden af spalteåbningerne er lille sammenlignet med lysets bølgelængde, vil bølgefladerne for bølgerne fra en enkelt spalte være koncentriske cylindre. Lysstrålerne i en retning, der danner vinklen θ med den oprindelige, kan samles i brændplanen (F) af en linse (L), se figur 1.1. Når de oprindelige lysstråler ankommer til gitteret, er de alle i fase, idet

4 4 bølgefladerne er planer, parallelle med gitteret. På vejen fra gitteret til F gennemløber stråle 2 en strækning, der er stykket AB længere end stråle 1 s vejlængde. Det samme gælder for stråle 3 i forhold til stråle 2 o.s.v. Hvis denne vejlængde er et helt antal bøgelængder, vil strålerne være i fase ved ankomsten til F, og de vil derfor forstærke hinanden, dvs. danne et billede af spalten S (konstruktiv interferens). Idet AB = d sin θ, kan betingelsen for, at strålerne forstærker hinanden, skrives som mλ = dsin θ, (1.3) hvor λ er bølgelængden af det spredte lys, og m kan antage heltallige værdier (dette m må ikke forveksles med m i Rydbergs ligning, 1.2 ). I brændplanen vil man da få en række billeder af spalten svarende til m = 0, ±1, ±2,.., kaldet linierne af nulte, første, anden o.s.v. orden. For en given farve og ±m, er betingelsen opfyldt for et bestemt θ på begge sider af midterstriben. Til at måle spektrene fra hver af de fem LED er benyttes et computerudlæst spektrometer, hvor intensiteten i hver spednings-vinkel bestemmes med en CCD-array anbragt i brændplanet F. Hold den optiske fiber hen til kilden og tryk på fotografiapparatet inden toppene går i mætning. Tryk så på symbolet med en lodret streg for at få en cursor. Flyt stregen med piletasten indtil toppens maximum findes. Det er også muligt at gemme og efteranalysere spektrene. Til at måle de synlige linier i Balmer-serien fra H-atomer manuelt benyttes et goniometer. Spektrometerbordet med gitterplanen kan med en fingerskrue fastlåses i forhold til kollimatoren. Det parallelle lysbundt brydes af gitteret og iagttages gennem en kikkert, som kan dreje om spektrometerbordets akse. Kikkerten er forsynet med en nonius-skala, hvormed kikkertens stilling i forhold til bordet kan aflæses med 1/60 grads (= 1 bueminuts) nøjagtighed 1 Kikkerten kan fastspændes i en vilkårlig vinkel og derefter finindstilles med en mikrometerskrue. Kikkerten er forsynet med et okular med trådkors, der befinder sig i kikkertlinsernes fælles brændplan. Stråler fra et bestemt punkt i spalten vil stadig efter brydningen i gitteret være indbyrdes parallelle og derfor samles i et bestemt punkt i kikkertens brændplan. Ved at dreje kikkerten vil man kunne få spaltebilledet svarende til en bestemt spektrallinie af en bestemt orden til at falde sammen med den lodrette gren af trådkorset. Vinklen aflæses om ndvendigt med brug af arkitektlampen. Det er vigtigt at måle vinklen fra en bestemt orden på hver af de to sider af 1 Det nyere apparat har en inddeling på 0.1 grad

5 1.3. FOTOCELLEN 5 Figur 1.2: Den stiplede linie angiver metalkassens indhold nulte-ordens linien. Ved at tage differensen og dividere med to går mange fejl ud i spektrometerets alignment. 1.3 Fotocellen En fotocelle er anbragt på et optisk bord. Fotocellens anode er forbundet med enten et meget følsomt amperemeter eller elektrometer. Ved brug af kassen med fem LED dioder kan man belyse katoden med varierende frekvens og intensitet. Frekvenserne kan måles med spektrometeret koblet til PC en. Vi implementer spektrometret teknisk på to forskellige måder: Apparat 1 og Apparat Apparat 1 Opkoblingen af fotocelle med modspænding, voltmeter og nanoamperemeter er vist på Figur 1. Lad os betragte strømmen gennem punktet B: Lyset giver anledning til en strøm opad (dvs. elektronerne løber nedad). En variabel negativ modspænding er pålagt anoden. Den laveste modspænding, der netop lige spærrer for al strøm i fotocellen ved en given lysfrekvens, er så simpelthen lig med fotoelektronernes (største) kinetiske energi, målt i elektronvolt (ev). Modspændingen kan muligvis forårsage en ganske lille mørkestrøm nedad. Dette er den eventuelle strøm, der ses når lyset afskærmes.

6 6 Begynd med at kontrollere opstillingen. Stil diodekassen foran spalten, tænd en LED og check om lyset fokuseres p katoden ved at holde noget uigennemsigtigt over indgangen til fotocellen. Sluk igen for dioderne og tænd for nanoamperemeteret, voltmeteret og den lille kontakt til batteriet. Sørg for at modspændingen er drejet i bund (V=0). Med dioderne slukket kan amperemeteret nulstilles med zero knappen. Lad så lyset fra en diode falde ind og se om amperemetret slår ud (det behøver ikke være meget). Målingerne foretages ved at skrue op for modspændingen med spændingsdeleren indtil nanoampere-meteret viser nul (eller snarere hvad end den viser med dioderne slukket eller lyset spærret). Modspændingens værdi i denne tilstand er netop elektronernes kinetiske energi (målt i ev), idet den lige netop spærrer for transporten fra katoden til anoden Apparat 2 I Apparat 2 sørger elektronerne selv for modspænding idet de ophobes på anoden indtil potentialet fra de ophobede ladninger spærrer for yderligere transport, dvs igen indtil spændingsfaldet fra katoden til anoden er lig med elektronernes kinetiske energi (målt i ev). På dette tidspunkt skulle man helst se spændingsfaldet stabilisere sig på denne bestemte værdi. Før hver måling tømmes systemet for ladninger med den grå knap, og det checkes at der læses ca nul med katoden afskærmet.) Man kan se detaljer om opstillingen på Phywes CD (CD drev, Physics, index P, Photoelectric effect /05) eller på desktop (LEP pdf). 1.4 Forsøgsgang og dataanalyse Med fire hold er det nødvendigt at foretage de følgende skridt i tilfældig rækkefølge efterhånden som tingene bliver ledige. 1. Det PC-udlæste spektrometer kalibreres med to kendte linier, feks fra helium. Beregn, om nødvendigt, en korrektion til de afæste bølgelængder. 2. Hver af de fem LED ers bølgelængde bestemmes nu som værdien ved intensitetsmaximum. Skøn usikkerheden, feks som værende den ændring i bølgelængde som giver et 10% fald i intensiteten. 3. Nu foretages målingen af elektronernes kinetiske energi for hver af de fem bølgelængder. For at bestemme den tilfældige måle-usikkerhed kan målingerne eventuelt gentages under de samme omstændigheder. For at få en ide om de systematiske usikkerheder gentages målingen

7 1.4. FORSØGSGANG OG DATAANALYSE 7 med både lav intensitet og høj intensitet fra dioderne og forskellen i resultatet noteres. 4. Elektronenergien versus frekvensen fittes til en ret linie. I nogle tilfælde vil man finde hældningen, Plancks konstant, til at være lig tabelværdien, mens i mange andre tilfælde en 25% mindre værdi. Det skyldes en eller anden systematisk fejl i målingen, der ikke er helt forstået. 5. På goniometeret bestemmes den effektive gitterkonstant ved at måle første ordens linien fra det stærke par af gule linier i Na (vi kan ikke skelne de to fra hinanden og deres bølgelængde på 589 nm vil vi anse som en veletableret tabelværdi). Husk at finde vinklen på begge sider af nulte ordens linien. Overvej usikkerheden i vinkelbestemmelsen. 6. Herefter måles tre linier fra Balmer serien (igen første orden). Man bruger så den eksperimentelt bestemte gitterkonstant til at finde fotonernes energi (eller 1/bølgelængde), som kan bruges til tre bestemmelser af Rydbergs konstant (med usikkerhed). Fra middelvrdien af disse findes en alternativ bestemmelse af Plancks konstant. Hvis usikkerhederne på de tre tal er forskellige, skal man benytte en vægtet middelværdi. Plancks konstant: h = ev s eller J s. Lysets hastighed: c = m/s. Energi til bølgelængde (hc): λ(nm) = 1241/E(eV). Elektronens hvilemasse: m e c 2 = MeV. Finstruktur-konstanten: α = e 2 /4πǫ 0 hc = 1/ Rydberg konstant: R = m 1. Rydberg energi: hcr = ev