Differential- regning for gymnasiet og hf

Transkript

1 Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul

2 HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde med stet. Rammerne 7-9 er kun r A-niveau.. GrundlÄggende typer a pgaver med graer.... Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÑdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Hvad er en tangent? Dierentialkvtient HvrnÑr er en -tilväkst lille? Marginalmkstninger VÄksthastighed Frmel r y Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed...7. Udregne y-krdinat g tangenthäldning. Finde ligning r tangent...8. Frskelle der ikke kan ses pñ graen...9. Udregne mängde g väksthastighed Dierentialkvtient a n Dierentialkvtient a k g m.m Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Dierentialkvtient a udtryk med lere led SkrivemÑden ht, y sv Ngle typer a pgaver med tangenthäldning Ngle typer a pgaver med väksthastighed...4. Kntinuert...5. Vksende g atagende...6. Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Typisk pgave med mntnirhld Maksimum g minimum Lkalt maksimum g minimum Typisk pgave med lkale ekstrema GÉr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Flere typer pgaver med maksimum eller minimum.... Dierentiabel.... GrÄnsevÄrdi...4. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Dierentialkvtient a e k g ln Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin Metde til at dierentiere en sammensat unktin...8 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Ä 0 Karsten Juul Dette håte kan dwnlades ra HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til kj@mat.dk sm dels plyser at dette håte benyttes, dels plyser m hld, lårer g skle.

3 . GrundlÄggende typer a pgaver med graer P I krdinatsystemet er tegnet en del a graen r sammenhängen mellem t variable g y. Type.: Hvad er y nñr er 9? Metde: Vi gñr til 9 pñ vandret akse, gñr ldret p til gra g vandret ind pñ ldret akse, g ser at vi er endt ved 0. Knklusin: y er 0 nñr er 9. Type.: Hvad rtäller grapunktet P m sammenhängen mellem g y? Metde: Fra P gñr vi ldret ned pñ vandret akse g ser at vi ender ved 44. Fra P gñr vi vandret indpñ ldret akse g ser at vi ender ved. Knklusin: Grapunktet P rtäller at nñr er 44 sñ er y lig. Type.: Tegn det grapunkt der giver Élgende plysning: NÑr er 5, er y lig 7. Metde: Vi gñr til 5 pñ vandret akse, g gñr ldret p til vi er vandret ud r 7 pñ den ldrette akse, g tegner et punkt Q her. Knklusin: Det tegnede punkt Q er det grapunkt der rtäller at nñr er 5, er y lig 7. Type.4: Vi starter med 4 g giver en tilväkst pñ. Hvilken tilväkst Ñr y? Metde: 4 6. Vi aläser at nñr er 4 er y lig, g at nñr er 6 er y lig 9. Vi udregner "sidste y-värdi minus Érste": 9 7. Knklusin: y Ñr tilväksten 7 nñr vi starter med 4 g giver en tilväkst pñ. Type.5: NÑr vi starter med 5 g giver en tilväkst pñ 7 sñ Ñr y tilväksten. Brug dette til at tegne endnu et grapunkt. Metde: NÑr er 5 er y lig 7 se g Fra 60 pñ vandret akse gñr vi ldret p til vi er ud r 40 pñ ldret akse, g her tegner vi punktet R. Knklusin: Det tegnede punkt R er det ségte grapunkt. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

4 . Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge Deinitin. Vi ser pñ en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er pñ den ldrette akse. HÄldningskeicienten a er den tilväkst sm y Ñr nñr Ñr tilväksten. SÄtning. Vi ser pñ en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er pñ den ldrette akse. HÄldningskeicienten betegner vi med a. Fr enhver -tilväkst er y-tilväkst = a -tilväkst I krdinatsystemet er tegnet graen r en lineär sammenhäng mellem t variable g y. Ved at aläse pñ graen ser vi: NÑr vi giver tilväksten sñ Ñr y tilväksten 0,6. Se type.4 side. HÄldningskeicienten er 0,6 iélge Deinitin. venr. 0,6,,5 NÑr vi giver tilväksten sñ Ñr y tilväksten 0,6,8 Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. venr 0,6,,5 NÑr vi giver tilväksten 0,5 sñ Ñr y tilväksten 0,6 0,5 0, Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. NÑr vi giver tilväksten h sñ Ñr y tilväksten 0,6 h Ovenr er h hhv. g 0,5 0,6 0,5,,5 8 5, 5 0,5 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

5 . SÑdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Type.: Metde: Den lineäre gra viser sammenhängen mellem t variable g y. Hvr mange enheder bliver y stérre nñr vi gér Ön enhed stérre? Vi aläser pñ graen at NÑr 0 er y 6 NÑr 0 er y Vi udregner y-tilväkst = 6 6 -tilväkst = NÑr -tilväksten er, mñ y-tilväksten väre en tyvendedel a 6: Knklusin: y bliver 0, 8 enheder stérre hver gang vi gér Ön enhed stérre 0,8 dvs. häldningskeicienten er 0, Hvad er en tangent? Deinitin 4. NÑr P er et punkt pñ en gra gälder: Tangenten i P er den rette linje gennem P sm Élger graen när P. Eksempel 4. l er tangent til graen i P. m er ikke tangenten til graen i Q. Tangenten i Q er den linje gennem Q der Élger graen när Q. Denne linje er ikke tegnet pñ iguren. I ethvert punkt pñ den viste gra kan vi tegne en tangent. l P m Q Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

6 5. Dierentialkvtient g P I krdinatsystemet er tegnet graerne r t sammenhänge g g. Ud ra graen inder vi ud a at g-graen har häldningskeicient 0,4. Graen r g er tangent til graen r i punktet P. Vi starter med 00. NÑr vi giver en tilväkst pñ 00 er r g : y-tilväkst = 0, r : y-tilväkst = Vi starter med 00. NÑr vi giver en tilväkst pñ er r g : y-tilväkst = 0,400 r : y-tilväkst = 0,99 aläst pñ en skärm hvr det kan géres néjagtigt Vi ser at r er y-tilväksten ca. lig y-tilväksten r g, dvs. ca. 0,4 gange -tilväksten. NÑr 00 gälder r smñ -tilväkster at r : y-tilväkst 0,4 -tilväkst Vi kalder 0,4 r dierentialkvtienten r i 00. Deinitin 5. Vi ser pñ en sammenhäng mellem t variable g y, g Ved dierentialkvtienten i er en bestemt -värdi. rstñr vi häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat. Dierentialkvtienten betegnes med y sm läses "y-märke ". SÄtning 5. Vi ser pñ en sammenhäng mellem t variable g y. Hvis NÑr 0 g vi giver en lille tilväkst, er y-tilväkst a -tilväkst y a nñr 0 gälder: I eksemplet venr gälder: NÑr 00 er y 0, 4 NÑr 00 g vi giver en lille tilväkst, sñ kan vi udregne y-tilväksten sñdan: y-tilväkst 0,4 -tilväkst Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

7 6. HvrnÑr er en -tilväkst lille? Den rette linje er tangent til -graen i punktet med -krdinat. Linjens häldningskeicient er 0, sñ hvis vi starter med g giver en lille tilväkst, kan vi udregne y-tilväksten sñdan: * y-tilväkst 0, -tilväkst Denne ligning passer hvis -tilväksten er sñ lille at vi ikke kmmer uden r den del a -graen sm er nästen sammenaldende med tangenten. PÑ den Éverste igur er -tilväksten 0, lille. PÑ den nederste igur er -tilväksten 00 lille. Hvis graerne stammer ra anvendelser hvr néjagtigheden er lille, vil vi mñske bruge ligningen * selv m -tilväksten er väsentlig stérre. MÑske ville vi bruge * selv m -tilväksten var pñ Éverste igur g 000 pñ nederste. 7. Marginalmkstninger Graen viser sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal meter der remstilles y = mkstninger i kr. NÑr 400 er y, dvs. hvis vi remstiller meter mere, vil mkstningerne blive kr. stérre. NÑr 600 er y 4, dvs. hvis vi remstiller meter mere, vil mkstningerne blive 4 kr. stérre. Vi sälger hver meter r kr., sñ hvis vi remstiller 400 meter kan det betale sig at remstille lere, g hvis vi remstiller 600 meter, kan det ikke betale sig. kr. Omkstningerne ved at remstille meter enhed mere kaldes marginalmkstningerne. NÑr vi remstiller 400 meter, er marginalmkstningerne kr. NÑr vi remstiller 600 meter, er marginalmkstningerne 4 kr. Ovenr argumenterede vi ved hjälp a disse marginalmkstningerne. Dette kaldes marginalbetragtninger. Marginalbetragtninger bruges gsñ i rbindelse med andet end mkstninger. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

8 8. VÄksthastighed Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal dage eter at vi begyndte at mñle y = plantens héjde i mm Vi ser at nñr 0 er y 0, 5 Omkring tidspunktet 0 dage vil plantens héjde altsñ blive ca. 0,5 mm héjere pñ en dag. Vi siger at 0 dage eter at vi begyndte at mñle er väksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. mm dage I et lille tidsum pñ -aksen er graen nästen sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at väksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal mñneder eter at vi begyndte at mñle y = plantens héjde i mm Vi ser at sñ nñr er y 5 mñned eter at vi begyndte at mñle er väksthastigheden lig 5 mm pr. mñned. Dette betyder IKKE at planten i den näste mñned vkser 5 mm. PÑ graen ser vi at det kun er en lille del a en mñned at väksthastigheden er ca. 5 mm pr. mñned. mm mñneder Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul

9 9. Frmel r y Om en sammenhäng mellem g y gälder at hvis vi kender värdien a, sñ kan vi udregne y sñdan: * Divider 4 med värdien a g träk resultatet ra 5. Denne regel kan vi skrive sm Élgende rmel: y 5 4 * I krdinatsystemet er tegnet graen r denne sammenhäng. PÑ graen aläser vi at nñr, 6 sñ er y ca.,45 Ved at bruge reglen * Ñr vi at nñr, 6 sñ er y 5 4,6, 4654 PÑ graen ser vi: Hvis värdien a er mellem g 4, sñ er värdien a y stérre end,5 Hera slutter vi: Hvis vi bruger reglen * pñ en -värdi mellem g 4, sñ er resultatet stérre end,5. Dette er et tiläldigt eksempel pñ Élgende: Vi kan bruge vres viden m graen til sige nget m ligningen r sammenhängen. 0. Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed Fr sammenhängen ra ramme 9 gälder at hvis vi kender värdien a, sñ kan vi udregne y' sñdan: ** Gang värdien a med sig selv g divider resultatet p i 4. Denne regel kan vi skrive sm Élgende rmel: 4 ** y PÑ graen aläser vi at nñr, 6 sñ er y ca. 0,60 Ved at bruge reglen ** Ñr vi at nñr, 6 sñ er y 4,6 0, 5976 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

10 . Udregne y-krdinat g tangenthäldning Finde ligning r tangent FÉlgende ligning viser en sammenhäng mellem g y : y SpÉrgsmÑlene nedenr drejer sig m graen r denne sammenhäng. Vi Ñr lmmeregneren eller matematikprgrammet til at dierentiere denne sammenhäng mht.. Resultatet er y SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: d Symblet kan IKKE skrives d ved hjälp a en brékstreg. Brug i stedet skabelnen. Vi kan välge denne pñ skabelnpaletten eller i Calculus-menuen. Type.: Hvad er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat, 5?,5 Metde: NÑr, 5 er y,5 Knklusin: Grapunktet med -krdinat, 5 har y-krdinaten Type.: Hvad er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat, 5? Metde: NÑr, 5 er y 4,5 Knklusin: I grapunktet med -krdinat, 5 er tangenthäldningen 4 Type.: Find ligningen r tangenten til graen i grapunktet med -krdinat, 5 Metde: Fra type. g. ved vi at tangenten er en linje sm gñr gennem punktet, y,5, g har häldningskeicienten a 4. Disse tal indsätter vi i rmlen r linjens ligning y g Ñr y a y sm vi mskriver til y 4 5,5 4 Knklusin: Tangenten til graen i grapunktet med -krdinat, 5 har ligningen y 4 5 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

11 . Frskelle der ikke kan ses pñ graen I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g Ñr y Ved at bruge denne rmel Ñr vi at nñr er y nñr, 05 er y, 05, Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat,05 er tangenthäldningen, PÑ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altsñ en lille rskel. I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g Ñr y Ved at bruge denne rmel Ñr vi at nñr 0 er y 0 0 nñr 0, 05 er y 0,05 0, 0075 Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat 0 er tangenthäldningen 0 i grapunktet med -krdinat 0,05 er tangenthäldningen 0,0075 PÑ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altsñ en lille rskel. Vi udregner y-krdinaterne til de t punkter: nñr 0 er y 0 0, 0, nñr 0, 05 er y 0,05 0, 0, 005 PÑ graen ser det ud sm m de t punkter har samme y-krdinat, men der er altsñ en lille rskel. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 9 0 Karsten Juul

12 . Udregne mängde g väksthastighed I et shw er y e 0, hvr y er antallet a ramte ballner, g er antal minutter eter shwets start. Type.: Hvr mange ballner er ramt 50 minutter eter shwets start? 500 Metde: NÑr 50 er y 4, 6 0,50 499e Knklusin: 50 minutter eter shwets start er 5 ballner ramt. Type.: Metde: Hvr hurtigt vkser antallet a ramte ballner 50 minutter eter shwets start? Vi Ñr lmmeregneren til at udregne värdien a y r 50 g Ñr 8,8446. Knklusin: 50 minutter eter shwets start vkser antallet a ramte ballner med hastigheden 8,8 ballner pr. minut. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: 4. Dierentialkvtient a n Der gälder Élgende: dierentialkvtienten a er dierentialkvtienten a dierentialkvtienten a sv. 4 5 er er Der gälder altsñ: dierentialkvtienten a n n n Denne regel kan vi skrive n Hvis vi sätter Da er n Ñr vi er n n Advarsel: Reglen dur ikke nñr er i ekspnenten: a er IKKE lig a Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 0 Karsten Juul

13 5. Dierentialkvtient a k g m.m. Figuren viser graen r sammenhängen y, 0,5 Tangenten til denne gra i punktet P er en ret linje der er sammenaldende med graen. Tangentens häldningskeicient er altsñ, sñ dierentialkvtienten i er,. P Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten r en lineär sammenhäng er lig den lineäre sammenhängs häldningskeicient. Graen r sammenhängen y bestñr a de punkter hvis y-krdinat er. Graen er altsñ en linje med häldningskeicient 0, sñ dierentialkvtienten er 0. Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten a en knstant k er 0. Denne regel kan vi skrive k 0 Reglen r at dierentiere en knstant Graen r sammenhängen y bestñr a de punkter hvr -krdinaten er lig y-krdinaten. Graen er altsñ en linje med häldningskeicient, sñ dierentialkvtienten er. Denne regel kan vi skrive Reglen r at dierentiere 6. Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Der gälder: udtryk udtryk 4 udtryk 4 udtryk,6 udtryk, 6 udtryk sv. En knstant k gange et udtryk dierentierer vi ved at dierentiere udtrykket g behlde knstanten: k udtryk k udtryk Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Eksempel: Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

14 7. Dierentialkvtient a udtryk med lere led Et udtryk der bestñr a lere led dierentierer vi ved at dierentiere hvert led. Det er + g der adskiller led. Udtrykket 6 bestñr a de tre led 6 Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere knstant Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere Reglen r at dierentiere i n 'te 8. SkrivemÑden ht, y sv. Vi vil rklare skrivemñden ved hjälp a Élgende eksempel: h = héjden a en plante i cm t = antal uger eter udplantningen Hvis h er variablen pñ den ldrette akse, kan vi bruge Élgende skrivemñder: h er héjden eter uger h er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat h er héjdens väksthastighed eter uger h er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat h t 5 t er et tidspunkt hvr héjden er 5 cm h t 5 t er -krdinaten til et grapunkt hvr y-krdinaten er 5 h t 0,56 t er et tidspunkt hvr héjdens väksthastighed er 0,56 cm pr. uge h t 0,56 t er -krdinaten til et grapunkt hvr tangenthäldningen er 0,56 Ligning r sammenhängen mellem h g t : h 7,, 047 Frskrit r unktinen h : h t 7,, 047 t t Denne rskrit kan vi bruge til at udregne héjden eter uger: h 7,,047 8,666 dvs. eter uger er héjden 8,cm Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

15 9. Ngle typer a pgaver med tangenthäldning En unktin har rskriten Vi dierentierer denne rskrit g Ñr Type 9.: Hvad er häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat? Metde: 6 Knklusin: HÄldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat er 6 Type 9.: Tangenten i et grapunkt P har häldningskeicient 4. Hvad er -krdinaten til P? Metde: Hvis er -krdinaten til P er 4 dvs. 4 sñ, 5 Knklusin: -krdinaten til P er, 5 En unktin g har rskriten g Vi dierentierer denne rskrit g Ñr g Type 9.: Er der et punkt pñ graen sñ tangenten i dette punkt har häldningskeicienten? Metde: Knklusin: Hvis er -krdinaten til et grapunkt med tangenthäldningen er g dvs. sñ Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pñ graen sñ tangenten i dette punkt har häldningskeicienten. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

16 0. Ngle typer a pgaver med väksthastighed VÄksten a en plante kan beskrives ved M t,8, 6 t hvr t er tiden angivet i uger, g M t er vägten angivet i gram. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Lmmeregneren dierentierer denne rskrit g Ñr M t 0,89978, 6 t Type 0.: Hvad er vägtens väksthastigheden pñ tidspunktet 5 uger? Metde: Lmmeregneren udregner M 5, 7604 Knklusin: PÑ tidspunktet 5 uger er vägtens väksthastighed,76 gram pr. uge Type 0.: Metde: HvrnÑr er vägtens väksthastighed 7 gram pr. uge? NÑr t er et tidspunkt hvr väksthastigheden er 7, sñ er M t 7 Lmmeregneren léser denne ligning mht. t g Ñr t 4, 0 Knklusin: VÄgtens väksthastighed er 7 gram pr. uge pñ tidspunktet 4, uger Type 0.: Udregn M 0 g skriv hvad dette tal rtäller m vägten. Metde: Lmmeregneren udregner M 0, 697 NÑr er tiden, gälder r en unktin : PÑ tidspunktet er väksthastigheden r lig Knklusin: M 0, 70 dvs. PÑ tidspunktet 0 uger er väksthastigheden r vägten lig,70 gram pr. uge Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

17 . Kntinuert I krdinatsystemet til héjre er tegnet t a punkterne pñ graen r en unktin. Hvis graen er en sammenhängende kurve, mñ den skäre -aksen: Der mñ väre et tal mellem 7 g 0 sñ 0. Nedenr er tegnet t eksempler pñ sammenhängende graer der gñr gennem de t punkter. Fr unktinen nedenr til héjre er der ikke nget tal mellem 7 g 0 sñ 0. Dette er muligt rdi unktinen har et spring det er r lig. Deinitin. En unktin er kntinuert i et tal hvis unktinen ikke har et spring r lig dette tal. SÄtning. Hvis y-värdierne a g b har mdsat rtegn g er kntinuert i ethvert tal i intervallet a b sñ gälder: SÄtning.: der er et tal mellem a g b sñ 0. Funktiner med sädvanlige rskriter er kntinuerte i alle tal hvr de er deineret. Eksempel.4: NÑr er negativ, g nñr er psitiv, men der er ikke en -värdi mellen g sñ er nul. Dette er ikke i mdstrid med SÄtning. da ikke er kntinuert i alle tal mellem g etersm ikke er deineret r lig 0. Eksempel.5 a har lésningerne g 8. b NÑr er 9 8 lig 6. PÑstand: A a g b kan vi slutte at 9 8 er negativ r enhver -värdi mellem g 8. Begrundelse: Hvis 9 8.eks. var psitiv r 4 sñ mñtte der iélge sätningerne. g. väre en -värdi mellem g 4 hvr 9 8 er 0. Det er der ikke da 9 8 kun er 0 nñr er eller 8. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

18 . Vksende g atagende Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskärm. NÑr vi träkker -punktet hen pñ et tal kan vi aläse unktinsvärdien. PÑ iguren kan vi se: NÑr vi träkker gennem tallene ra til g med 9, vil NÑr vi träkker gennem tallene ra 9 til g med 4, vil hele tiden blive stérre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bñde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Öt tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal väre mindst t y-värdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stérre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at hvis g er tal intervallet g er stérre end sñ er stérre end At er atagende i intervallet 9 4 betyder at hvis g er tal intervallet g er stérre end sñ er mindre end Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul

19 . Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stñr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÑ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sñdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 4. Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthäldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man préver at tegne graen sñdan at *, men ikke ** gälder, sñ bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gére. Man kan bevise at hvis * gälder, sñ gälder ** gsñ. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pñ nederste igur er vksende selv m der er Öt punkt hvri tangenthäldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gälder. SÄtning 4. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er atagende i intervallet. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

20 5. Typisk pgave med mntnirhld Opgave Bestem mntnirhldene r unktinen En besvarelse Lmmeregneren g Ñr dierentierer mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi Ñr lmmeregneren til at udére. Lmmeregneren léser ligningen 0 g Ñr lésningerne eller 0 mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi Ñr lmmeregneren til at udére. Hera Élger at kun kan skite rtegn i -värdierne g 0 : Da 9 er negativ r Da er psitiv r 0 Da er psitiv r 0 A dette Élger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Se Eksempel.5 SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

21 6. Maksimum g minimum g Maksimum r er den stérste y-krdinat til et punkt pñ -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pñ -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gñr uendelig héjt p. Der er ikke nget punkt pñ graen der har den stérste y-krdinat da man altid kan asätte et punkt héjere ppe pñ graen, sñ unktinen g har ikke nget maksimum. NÑr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sñ skriver vi nrmalt gsñ hvad punktets -krdinat er: Funktinen har maksimum r 4 g maksimum er y Funktinen har minimum r g minimum er y StÉrstevÄrdi g mindstevärdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 9 0 Karsten Juul

22 7. Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsätter graen uendelig héjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan välge et stykke a graen mkring P sñdan at 5 er mindste y-krdinat pñ dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pñ graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pñ graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sñdan at y er mindste y-krdinat pñ dette stykke, sñ siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pñ graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sñdan at y er stérste y-krdinat pñ dette stykke, sñ siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gälder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. I ngle pgaver stñr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bñde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 0 Karsten Juul

23 8. Typisk pgave med lkale ekstrema Opgave Bestem de lkale ekstrema r unktinen En besvarelse I hvilke -värdier er der lkale ekstrema? Det kan vi se nñr vi har undet mntnirhldene r. Lmmeregneren dierentierer 8 90 g Ñr 8. mht. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Lmmeregneren léser ligningen 0 g Ñr lésningerne 6 g. mht. Hera Élger at kun kan skite rtegn i -värdierne 6 g : Da 7 0 er psitiv r 6 Da 0 8 er negativ r 6 Da 4 0 er psitiv r Vi kan slutte Élgende: : 6 : 0 0 : Da 6 0 g 4 Ñr vi har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

24 9. GÉr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Opgave GÉr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 5. Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. 0. Flere typer pgaver med maksimum eller minimum Fr en bestemt type igurer gälder hvr 9, 0 er héjden g er bredden. Tykkelsen Ñs ved at dividere bredden med. Type 0.: Hvad skal bredden väre r at héjden bliver mindst mulig? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. Knklusin: Bredden skal väre r at héjden bliver mindst mulig? Type 0.: Hvad er den mindst mulige héjde? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. SÑ udregner vi 6 Knklusin: Den mindst mulige héjde er 6, Type 0.: Hvad er tykkelsen nñr héjden er mindst mulig? Metde: Vi bestemmer Knklusin: Tykkelsen er sm i ramme 9. SÑ udregner vi nñr héjden er mindst mulig. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

25 . Dierentiabel Graen r har et knäk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Élger graen gdt när punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gälder altsñ at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen häldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g tangenten har ikke ngen häldningskeicient. g Der gälder altsñ at g ikke eksisterer. Deinitin. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

26 . GrÄnsevÄrdi 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nävneren bliver 0. Vi kan udregne u r värdier a sm er tät pñ : Ved at välge värdien a tilsträkkelig tät pñ kan vi Ñ värdien a u sñ tät det skal väre pñ 6. Vi siger: gränsevärdien r gående md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sñdan: lim 6 Metde.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne gränsevärdi ved at bruge Élgende teknik: Vi aktriserer brékens täller g rkrter bréken. SÑ Ñr vi et udtryk sm vi kan udregne nñr er : 6 Fr er 6 sñ lim lim g lim 6 SÄtning. lim k udtryk k lim udtryk nñr k er en knstant SÄtning. lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk Metde.4 HÉjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stñr i. PÑ iguren ser det ud til at stlpens héjde närmer sig nñr vi träkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Ñr lmmeregner eller cmputer til at udregne gränsevärdien a héjden r gñende md 0 : e lim 0 PÄ TI-Nspire kan vi vålge grånsevårdi-skabelnen pä skabelnpaletten eller i menuen under Calculus. Skabelnen ser sädan ud: Vi behçver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

27 . Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Figuren viser graen r unktinen Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat. t Linjen s skärer graen i punkterne med -krdinaterne g. s HÄldningskeicienten r s er PÑ iguren er, 8 4,48,5 NÑr, 8 er,,8 dvs. linjen s har häldningskeicienten, Frestil dig at du tager at i skäringspunktet med -krdinat g Érer det langs graen ned md det andet skäringspunkt. SÑ vil s dreje g närme sig mere g mere til t. Vi ser at hvis, 0 vil s g t have nästen samme häldning.,5995,5 NÑr, 0 er, 995 0,0 AltsÑ er,995 en gd tilnärmelse til. Vi ser at vi r at Ñ helt néjagtigt skal udregne lim Fr er sñ lim lim dvs. Den sidste mskrivning kan vi.eks. Ñ lmmeregneren til at lave. Vi kan gsñ bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte. Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g. SÄtning. Fr en unktin er lim Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

28 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul 4. Udledning a rmlen r at dierentiere NÑr er lim iélge SÄtning. lim lim iélge en a kvadratsätningerne lim vi har rkrtet med iélge metde. Vi har nu undet rem til Élgende: SÄtning 4.: 5. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk NÑr h g er lim iélge SÄtning. lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iélge sätning. h g iélge SÄtning. Vi har nu undet rem til Élgende: SÄtning 5.: h g h g

29 6. Dierentialkvtient a e k g ln Der gälder Élgende rmler: k k e k e ln' Hvis vi i den Érste a disse regler sätter k Reglen r at dierentiere e k Reglen r at dierentiere ln Ñr vi Élgende regel: e e 4 ln 4 ln 0 4ln 4ln 4 4 e 4 e 4 4 e 4 e e 7. Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk NÑr m g n er t udtryk, gälder m n ' = m' n + m n' Reglen r at dierentiere udtryk gange udtryk NÑr = e er ' = ' e e' = e e = e ADVARSEL: Man kan ikke dierentiere et udtryk ved at dierentiere hver del a udtrykket brtset ra visse specielle tilälde sm.eks. reglen i ramme 7. e er ikke e g e er ikke e Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

30 8. Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin NÑr vi kender en värdi a g skal udregne 8 udregner vi Érst tallet w 8 g sñ udregner vi w Vi siger at unktinen den indre unktin 8 er sammensat a w 8 g den ydre unktin y w Funktinen ln er sammensat a den indre unktin w g den ydre unktin y lnw Funktinen e er sammensat a den indre unktin w g den ydre unktin y e w 9. Metde til at dierentiere en sammensat unktin Fr at dierentiere en sammensat unktin bruger vi Élgende metde: ydre dierentieret indre dierentieret FÉlgende eksempel präciserer hvrdan metden skal rstñs: Funktinen 8 er sammensat a den indre unktin w 8 g den ydre unktin y w Ydre dierentieret: w w Indre dierentieret: 8 ydre dierentieret indre dierentieret w 8 6 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

31 Stikrdsregister atagende...6, 7, 8, dierentiabel... dierentialkvtient...4, 8, 0,,, 5, 7, 8 ekspnentialunktin...7 gra..., gränsevärdi...4, 5 häldningskeicient...,, 4, 5,,, indre unktin...8 kntinuert...5 kvadratrd...0 lgaritmeunktin...7 lkale ekstrema...0, lkalt maksimum...0, lkalt minimum...0, lmmeregner...8, 0, 4, 8,, 4, 5 maksimum...9, marginalbetragtninger...5 marginalmkstninger...5 mindstevärdi...9 minimum...9, 0, mntnirhld...7, 8, mängde...0 ptensunktin...0 sammensat unktin...8 skrivemñden ht... stérstevärdi...9 tangent..., 4, 5, 6, 8,, tangenthäldning...7, 8, tilväkst...,,, 4, 5 TI-Nspire CAS...8, 0, 4, 8,, 4 vksende...6, 7, 8, väksthastighed...6, 7, 0,, 4 ydre unktin...8