Differential- regning for gymnasiet og hf

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differential- regning for gymnasiet og hf"

Transkript

1 Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul

2 HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde med stet. Rammerne 7-9 er kun r A-niveau.. GrundlÄggende typer a pgaver med graer.... Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÑdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Hvad er en tangent? Dierentialkvtient HvrnÑr er en -tilväkst lille? Marginalmkstninger VÄksthastighed Frmel r y Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed...7. Udregne y-krdinat g tangenthäldning. Finde ligning r tangent...8. Frskelle der ikke kan ses pñ graen...9. Udregne mängde g väksthastighed Dierentialkvtient a n Dierentialkvtient a k g m.m Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Dierentialkvtient a udtryk med lere led SkrivemÑden ht, y sv Ngle typer a pgaver med tangenthäldning Ngle typer a pgaver med väksthastighed...4. Kntinuert...5. Vksende g atagende...6. Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Typisk pgave med mntnirhld Maksimum g minimum Lkalt maksimum g minimum Typisk pgave med lkale ekstrema GÉr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Flere typer pgaver med maksimum eller minimum.... Dierentiabel.... GrÄnsevÄrdi...4. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Dierentialkvtient a e k g ln Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin Metde til at dierentiere en sammensat unktin...8 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Ä 0 Karsten Juul Dette håte kan dwnlades ra HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til sm dels plyser at dette håte benyttes, dels plyser m hld, lårer g skle.

3 . GrundlÄggende typer a pgaver med graer P I krdinatsystemet er tegnet en del a graen r sammenhängen mellem t variable g y. Type.: Hvad er y nñr er 9? Metde: Vi gñr til 9 pñ vandret akse, gñr ldret p til gra g vandret ind pñ ldret akse, g ser at vi er endt ved 0. Knklusin: y er 0 nñr er 9. Type.: Hvad rtäller grapunktet P m sammenhängen mellem g y? Metde: Fra P gñr vi ldret ned pñ vandret akse g ser at vi ender ved 44. Fra P gñr vi vandret indpñ ldret akse g ser at vi ender ved. Knklusin: Grapunktet P rtäller at nñr er 44 sñ er y lig. Type.: Tegn det grapunkt der giver Élgende plysning: NÑr er 5, er y lig 7. Metde: Vi gñr til 5 pñ vandret akse, g gñr ldret p til vi er vandret ud r 7 pñ den ldrette akse, g tegner et punkt Q her. Knklusin: Det tegnede punkt Q er det grapunkt der rtäller at nñr er 5, er y lig 7. Type.4: Vi starter med 4 g giver en tilväkst pñ. Hvilken tilväkst Ñr y? Metde: 4 6. Vi aläser at nñr er 4 er y lig, g at nñr er 6 er y lig 9. Vi udregner "sidste y-värdi minus Érste": 9 7. Knklusin: y Ñr tilväksten 7 nñr vi starter med 4 g giver en tilväkst pñ. Type.5: NÑr vi starter med 5 g giver en tilväkst pñ 7 sñ Ñr y tilväksten. Brug dette til at tegne endnu et grapunkt. Metde: NÑr er 5 er y lig 7 se g Fra 60 pñ vandret akse gñr vi ldret p til vi er ud r 40 pñ ldret akse, g her tegner vi punktet R. Knklusin: Det tegnede punkt R er det ségte grapunkt. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

4 . Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge Deinitin. Vi ser pñ en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er pñ den ldrette akse. HÄldningskeicienten a er den tilväkst sm y Ñr nñr Ñr tilväksten. SÄtning. Vi ser pñ en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er pñ den ldrette akse. HÄldningskeicienten betegner vi med a. Fr enhver -tilväkst er y-tilväkst = a -tilväkst I krdinatsystemet er tegnet graen r en lineär sammenhäng mellem t variable g y. Ved at aläse pñ graen ser vi: NÑr vi giver tilväksten sñ Ñr y tilväksten 0,6. Se type.4 side. HÄldningskeicienten er 0,6 iélge Deinitin. venr. 0,6,,5 NÑr vi giver tilväksten sñ Ñr y tilväksten 0,6,8 Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. venr 0,6,,5 NÑr vi giver tilväksten 0,5 sñ Ñr y tilväksten 0,6 0,5 0, Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. NÑr vi giver tilväksten h sñ Ñr y tilväksten 0,6 h Ovenr er h hhv. g 0,5 0,6 0,5,,5 8 5, 5 0,5 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

5 . SÑdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Type.: Metde: Den lineäre gra viser sammenhängen mellem t variable g y. Hvr mange enheder bliver y stérre nñr vi gér Ön enhed stérre? Vi aläser pñ graen at NÑr 0 er y 6 NÑr 0 er y Vi udregner y-tilväkst = 6 6 -tilväkst = NÑr -tilväksten er, mñ y-tilväksten väre en tyvendedel a 6: Knklusin: y bliver 0, 8 enheder stérre hver gang vi gér Ön enhed stérre 0,8 dvs. häldningskeicienten er 0, Hvad er en tangent? Deinitin 4. NÑr P er et punkt pñ en gra gälder: Tangenten i P er den rette linje gennem P sm Élger graen när P. Eksempel 4. l er tangent til graen i P. m er ikke tangenten til graen i Q. Tangenten i Q er den linje gennem Q der Élger graen när Q. Denne linje er ikke tegnet pñ iguren. I ethvert punkt pñ den viste gra kan vi tegne en tangent. l P m Q Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

6 5. Dierentialkvtient g P I krdinatsystemet er tegnet graerne r t sammenhänge g g. Ud ra graen inder vi ud a at g-graen har häldningskeicient 0,4. Graen r g er tangent til graen r i punktet P. Vi starter med 00. NÑr vi giver en tilväkst pñ 00 er r g : y-tilväkst = 0, r : y-tilväkst = Vi starter med 00. NÑr vi giver en tilväkst pñ er r g : y-tilväkst = 0,400 r : y-tilväkst = 0,99 aläst pñ en skärm hvr det kan géres néjagtigt Vi ser at r er y-tilväksten ca. lig y-tilväksten r g, dvs. ca. 0,4 gange -tilväksten. NÑr 00 gälder r smñ -tilväkster at r : y-tilväkst 0,4 -tilväkst Vi kalder 0,4 r dierentialkvtienten r i 00. Deinitin 5. Vi ser pñ en sammenhäng mellem t variable g y, g Ved dierentialkvtienten i er en bestemt -värdi. rstñr vi häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat. Dierentialkvtienten betegnes med y sm läses "y-märke ". SÄtning 5. Vi ser pñ en sammenhäng mellem t variable g y. Hvis NÑr 0 g vi giver en lille tilväkst, er y-tilväkst a -tilväkst y a nñr 0 gälder: I eksemplet venr gälder: NÑr 00 er y 0, 4 NÑr 00 g vi giver en lille tilväkst, sñ kan vi udregne y-tilväksten sñdan: y-tilväkst 0,4 -tilväkst Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

7 6. HvrnÑr er en -tilväkst lille? Den rette linje er tangent til -graen i punktet med -krdinat. Linjens häldningskeicient er 0, sñ hvis vi starter med g giver en lille tilväkst, kan vi udregne y-tilväksten sñdan: * y-tilväkst 0, -tilväkst Denne ligning passer hvis -tilväksten er sñ lille at vi ikke kmmer uden r den del a -graen sm er nästen sammenaldende med tangenten. PÑ den Éverste igur er -tilväksten 0, lille. PÑ den nederste igur er -tilväksten 00 lille. Hvis graerne stammer ra anvendelser hvr néjagtigheden er lille, vil vi mñske bruge ligningen * selv m -tilväksten er väsentlig stérre. MÑske ville vi bruge * selv m -tilväksten var pñ Éverste igur g 000 pñ nederste. 7. Marginalmkstninger Graen viser sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal meter der remstilles y = mkstninger i kr. NÑr 400 er y, dvs. hvis vi remstiller meter mere, vil mkstningerne blive kr. stérre. NÑr 600 er y 4, dvs. hvis vi remstiller meter mere, vil mkstningerne blive 4 kr. stérre. Vi sälger hver meter r kr., sñ hvis vi remstiller 400 meter kan det betale sig at remstille lere, g hvis vi remstiller 600 meter, kan det ikke betale sig. kr. Omkstningerne ved at remstille meter enhed mere kaldes marginalmkstningerne. NÑr vi remstiller 400 meter, er marginalmkstningerne kr. NÑr vi remstiller 600 meter, er marginalmkstningerne 4 kr. Ovenr argumenterede vi ved hjälp a disse marginalmkstningerne. Dette kaldes marginalbetragtninger. Marginalbetragtninger bruges gsñ i rbindelse med andet end mkstninger. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

8 8. VÄksthastighed Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal dage eter at vi begyndte at mñle y = plantens héjde i mm Vi ser at nñr 0 er y 0, 5 Omkring tidspunktet 0 dage vil plantens héjde altsñ blive ca. 0,5 mm héjere pñ en dag. Vi siger at 0 dage eter at vi begyndte at mñle er väksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. mm dage I et lille tidsum pñ -aksen er graen nästen sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at väksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Élgende t variable: = antal mñneder eter at vi begyndte at mñle y = plantens héjde i mm Vi ser at sñ nñr er y 5 mñned eter at vi begyndte at mñle er väksthastigheden lig 5 mm pr. mñned. Dette betyder IKKE at planten i den näste mñned vkser 5 mm. PÑ graen ser vi at det kun er en lille del a en mñned at väksthastigheden er ca. 5 mm pr. mñned. mm mñneder Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul

9 9. Frmel r y Om en sammenhäng mellem g y gälder at hvis vi kender värdien a, sñ kan vi udregne y sñdan: * Divider 4 med värdien a g träk resultatet ra 5. Denne regel kan vi skrive sm Élgende rmel: y 5 4 * I krdinatsystemet er tegnet graen r denne sammenhäng. PÑ graen aläser vi at nñr, 6 sñ er y ca.,45 Ved at bruge reglen * Ñr vi at nñr, 6 sñ er y 5 4,6, 4654 PÑ graen ser vi: Hvis värdien a er mellem g 4, sñ er värdien a y stérre end,5 Hera slutter vi: Hvis vi bruger reglen * pñ en -värdi mellem g 4, sñ er resultatet stérre end,5. Dette er et tiläldigt eksempel pñ Élgende: Vi kan bruge vres viden m graen til sige nget m ligningen r sammenhängen. 0. Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed Fr sammenhängen ra ramme 9 gälder at hvis vi kender värdien a, sñ kan vi udregne y' sñdan: ** Gang värdien a med sig selv g divider resultatet p i 4. Denne regel kan vi skrive sm Élgende rmel: 4 ** y PÑ graen aläser vi at nñr, 6 sñ er y ca. 0,60 Ved at bruge reglen ** Ñr vi at nñr, 6 sñ er y 4,6 0, 5976 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

10 . Udregne y-krdinat g tangenthäldning Finde ligning r tangent FÉlgende ligning viser en sammenhäng mellem g y : y SpÉrgsmÑlene nedenr drejer sig m graen r denne sammenhäng. Vi Ñr lmmeregneren eller matematikprgrammet til at dierentiere denne sammenhäng mht.. Resultatet er y SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: d Symblet kan IKKE skrives d ved hjälp a en brékstreg. Brug i stedet skabelnen. Vi kan välge denne pñ skabelnpaletten eller i Calculus-menuen. Type.: Hvad er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat, 5?,5 Metde: NÑr, 5 er y,5 Knklusin: Grapunktet med -krdinat, 5 har y-krdinaten Type.: Hvad er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat, 5? Metde: NÑr, 5 er y 4,5 Knklusin: I grapunktet med -krdinat, 5 er tangenthäldningen 4 Type.: Find ligningen r tangenten til graen i grapunktet med -krdinat, 5 Metde: Fra type. g. ved vi at tangenten er en linje sm gñr gennem punktet, y,5, g har häldningskeicienten a 4. Disse tal indsätter vi i rmlen r linjens ligning y g Ñr y a y sm vi mskriver til y 4 5,5 4 Knklusin: Tangenten til graen i grapunktet med -krdinat, 5 har ligningen y 4 5 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

11 . Frskelle der ikke kan ses pñ graen I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g Ñr y Ved at bruge denne rmel Ñr vi at nñr er y nñr, 05 er y, 05, Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat,05 er tangenthäldningen, PÑ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altsñ en lille rskel. I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g Ñr y Ved at bruge denne rmel Ñr vi at nñr 0 er y 0 0 nñr 0, 05 er y 0,05 0, 0075 Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat 0 er tangenthäldningen 0 i grapunktet med -krdinat 0,05 er tangenthäldningen 0,0075 PÑ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altsñ en lille rskel. Vi udregner y-krdinaterne til de t punkter: nñr 0 er y 0 0, 0, nñr 0, 05 er y 0,05 0, 0, 005 PÑ graen ser det ud sm m de t punkter har samme y-krdinat, men der er altsñ en lille rskel. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 9 0 Karsten Juul

12 . Udregne mängde g väksthastighed I et shw er y e 0, hvr y er antallet a ramte ballner, g er antal minutter eter shwets start. Type.: Hvr mange ballner er ramt 50 minutter eter shwets start? 500 Metde: NÑr 50 er y 4, 6 0,50 499e Knklusin: 50 minutter eter shwets start er 5 ballner ramt. Type.: Metde: Hvr hurtigt vkser antallet a ramte ballner 50 minutter eter shwets start? Vi Ñr lmmeregneren til at udregne värdien a y r 50 g Ñr 8,8446. Knklusin: 50 minutter eter shwets start vkser antallet a ramte ballner med hastigheden 8,8 ballner pr. minut. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: 4. Dierentialkvtient a n Der gälder Élgende: dierentialkvtienten a er dierentialkvtienten a dierentialkvtienten a sv. 4 5 er er Der gälder altsñ: dierentialkvtienten a n n n Denne regel kan vi skrive n Hvis vi sätter Da er n Ñr vi er n n Advarsel: Reglen dur ikke nñr er i ekspnenten: a er IKKE lig a Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 0 Karsten Juul

13 5. Dierentialkvtient a k g m.m. Figuren viser graen r sammenhängen y, 0,5 Tangenten til denne gra i punktet P er en ret linje der er sammenaldende med graen. Tangentens häldningskeicient er altsñ, sñ dierentialkvtienten i er,. P Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten r en lineär sammenhäng er lig den lineäre sammenhängs häldningskeicient. Graen r sammenhängen y bestñr a de punkter hvis y-krdinat er. Graen er altsñ en linje med häldningskeicient 0, sñ dierentialkvtienten er 0. Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten a en knstant k er 0. Denne regel kan vi skrive k 0 Reglen r at dierentiere en knstant Graen r sammenhängen y bestñr a de punkter hvr -krdinaten er lig y-krdinaten. Graen er altsñ en linje med häldningskeicient, sñ dierentialkvtienten er. Denne regel kan vi skrive Reglen r at dierentiere 6. Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Der gälder: udtryk udtryk 4 udtryk 4 udtryk,6 udtryk, 6 udtryk sv. En knstant k gange et udtryk dierentierer vi ved at dierentiere udtrykket g behlde knstanten: k udtryk k udtryk Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Eksempel: Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

14 7. Dierentialkvtient a udtryk med lere led Et udtryk der bestñr a lere led dierentierer vi ved at dierentiere hvert led. Det er + g der adskiller led. Udtrykket 6 bestñr a de tre led 6 Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere knstant Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere Reglen r at dierentiere i n 'te 8. SkrivemÑden ht, y sv. Vi vil rklare skrivemñden ved hjälp a Élgende eksempel: h = héjden a en plante i cm t = antal uger eter udplantningen Hvis h er variablen pñ den ldrette akse, kan vi bruge Élgende skrivemñder: h er héjden eter uger h er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat h er héjdens väksthastighed eter uger h er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat h t 5 t er et tidspunkt hvr héjden er 5 cm h t 5 t er -krdinaten til et grapunkt hvr y-krdinaten er 5 h t 0,56 t er et tidspunkt hvr héjdens väksthastighed er 0,56 cm pr. uge h t 0,56 t er -krdinaten til et grapunkt hvr tangenthäldningen er 0,56 Ligning r sammenhängen mellem h g t : h 7,, 047 Frskrit r unktinen h : h t 7,, 047 t t Denne rskrit kan vi bruge til at udregne héjden eter uger: h 7,,047 8,666 dvs. eter uger er héjden 8,cm Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

15 9. Ngle typer a pgaver med tangenthäldning En unktin har rskriten Vi dierentierer denne rskrit g Ñr Type 9.: Hvad er häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat? Metde: 6 Knklusin: HÄldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat er 6 Type 9.: Tangenten i et grapunkt P har häldningskeicient 4. Hvad er -krdinaten til P? Metde: Hvis er -krdinaten til P er 4 dvs. 4 sñ, 5 Knklusin: -krdinaten til P er, 5 En unktin g har rskriten g Vi dierentierer denne rskrit g Ñr g Type 9.: Er der et punkt pñ graen sñ tangenten i dette punkt har häldningskeicienten? Metde: Knklusin: Hvis er -krdinaten til et grapunkt med tangenthäldningen er g dvs. sñ Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pñ graen sñ tangenten i dette punkt har häldningskeicienten. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

16 0. Ngle typer a pgaver med väksthastighed VÄksten a en plante kan beskrives ved M t,8, 6 t hvr t er tiden angivet i uger, g M t er vägten angivet i gram. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Lmmeregneren dierentierer denne rskrit g Ñr M t 0,89978, 6 t Type 0.: Hvad er vägtens väksthastigheden pñ tidspunktet 5 uger? Metde: Lmmeregneren udregner M 5, 7604 Knklusin: PÑ tidspunktet 5 uger er vägtens väksthastighed,76 gram pr. uge Type 0.: Metde: HvrnÑr er vägtens väksthastighed 7 gram pr. uge? NÑr t er et tidspunkt hvr väksthastigheden er 7, sñ er M t 7 Lmmeregneren léser denne ligning mht. t g Ñr t 4, 0 Knklusin: VÄgtens väksthastighed er 7 gram pr. uge pñ tidspunktet 4, uger Type 0.: Udregn M 0 g skriv hvad dette tal rtäller m vägten. Metde: Lmmeregneren udregner M 0, 697 NÑr er tiden, gälder r en unktin : PÑ tidspunktet er väksthastigheden r lig Knklusin: M 0, 70 dvs. PÑ tidspunktet 0 uger er väksthastigheden r vägten lig,70 gram pr. uge Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

17 . Kntinuert I krdinatsystemet til héjre er tegnet t a punkterne pñ graen r en unktin. Hvis graen er en sammenhängende kurve, mñ den skäre -aksen: Der mñ väre et tal mellem 7 g 0 sñ 0. Nedenr er tegnet t eksempler pñ sammenhängende graer der gñr gennem de t punkter. Fr unktinen nedenr til héjre er der ikke nget tal mellem 7 g 0 sñ 0. Dette er muligt rdi unktinen har et spring det er r lig. Deinitin. En unktin er kntinuert i et tal hvis unktinen ikke har et spring r lig dette tal. SÄtning. Hvis y-värdierne a g b har mdsat rtegn g er kntinuert i ethvert tal i intervallet a b sñ gälder: SÄtning.: der er et tal mellem a g b sñ 0. Funktiner med sädvanlige rskriter er kntinuerte i alle tal hvr de er deineret. Eksempel.4: NÑr er negativ, g nñr er psitiv, men der er ikke en -värdi mellen g sñ er nul. Dette er ikke i mdstrid med SÄtning. da ikke er kntinuert i alle tal mellem g etersm ikke er deineret r lig 0. Eksempel.5 a har lésningerne g 8. b NÑr er 9 8 lig 6. PÑstand: A a g b kan vi slutte at 9 8 er negativ r enhver -värdi mellem g 8. Begrundelse: Hvis 9 8.eks. var psitiv r 4 sñ mñtte der iélge sätningerne. g. väre en -värdi mellem g 4 hvr 9 8 er 0. Det er der ikke da 9 8 kun er 0 nñr er eller 8. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

18 . Vksende g atagende Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskärm. NÑr vi träkker -punktet hen pñ et tal kan vi aläse unktinsvärdien. PÑ iguren kan vi se: NÑr vi träkker gennem tallene ra til g med 9, vil NÑr vi träkker gennem tallene ra 9 til g med 4, vil hele tiden blive stérre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bñde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Öt tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal väre mindst t y-värdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stérre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at hvis g er tal intervallet g er stérre end sñ er stérre end At er atagende i intervallet 9 4 betyder at hvis g er tal intervallet g er stérre end sñ er mindre end Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul

19 . Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stñr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÑ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sñdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 4. Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthäldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man préver at tegne graen sñdan at *, men ikke ** gälder, sñ bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gére. Man kan bevise at hvis * gälder, sñ gälder ** gsñ. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pñ nederste igur er vksende selv m der er Öt punkt hvri tangenthäldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gälder. SÄtning 4. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er atagende i intervallet. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

20 5. Typisk pgave med mntnirhld Opgave Bestem mntnirhldene r unktinen En besvarelse Lmmeregneren g Ñr dierentierer mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi Ñr lmmeregneren til at udére. Lmmeregneren léser ligningen 0 g Ñr lésningerne eller 0 mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi Ñr lmmeregneren til at udére. Hera Élger at kun kan skite rtegn i -värdierne g 0 : Da 9 er negativ r Da er psitiv r 0 Da er psitiv r 0 A dette Élger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Se Eksempel.5 SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

21 6. Maksimum g minimum g Maksimum r er den stérste y-krdinat til et punkt pñ -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pñ -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gñr uendelig héjt p. Der er ikke nget punkt pñ graen der har den stérste y-krdinat da man altid kan asätte et punkt héjere ppe pñ graen, sñ unktinen g har ikke nget maksimum. NÑr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sñ skriver vi nrmalt gsñ hvad punktets -krdinat er: Funktinen har maksimum r 4 g maksimum er y Funktinen har minimum r g minimum er y StÉrstevÄrdi g mindstevärdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 9 0 Karsten Juul

22 7. Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsätter graen uendelig héjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan välge et stykke a graen mkring P sñdan at 5 er mindste y-krdinat pñ dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pñ graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pñ graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sñdan at y er mindste y-krdinat pñ dette stykke, sñ siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pñ graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sñdan at y er stérste y-krdinat pñ dette stykke, sñ siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gälder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. I ngle pgaver stñr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bñde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 0 Karsten Juul

23 8. Typisk pgave med lkale ekstrema Opgave Bestem de lkale ekstrema r unktinen En besvarelse I hvilke -värdier er der lkale ekstrema? Det kan vi se nñr vi har undet mntnirhldene r. Lmmeregneren dierentierer 8 90 g Ñr 8. mht. SÑdan tastede vi pñ TI-Nspire CAS: Lmmeregneren léser ligningen 0 g Ñr lésningerne 6 g. mht. Hera Élger at kun kan skite rtegn i -värdierne 6 g : Da 7 0 er psitiv r 6 Da 0 8 er negativ r 6 Da 4 0 er psitiv r Vi kan slutte Élgende: : 6 : 0 0 : Da 6 0 g 4 Ñr vi har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

24 9. GÉr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Opgave GÉr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 5. Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. 0. Flere typer pgaver med maksimum eller minimum Fr en bestemt type igurer gälder hvr 9, 0 er héjden g er bredden. Tykkelsen Ñs ved at dividere bredden med. Type 0.: Hvad skal bredden väre r at héjden bliver mindst mulig? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. Knklusin: Bredden skal väre r at héjden bliver mindst mulig? Type 0.: Hvad er den mindst mulige héjde? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. SÑ udregner vi 6 Knklusin: Den mindst mulige héjde er 6, Type 0.: Hvad er tykkelsen nñr héjden er mindst mulig? Metde: Vi bestemmer Knklusin: Tykkelsen er sm i ramme 9. SÑ udregner vi nñr héjden er mindst mulig. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

25 . Dierentiabel Graen r har et knäk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Élger graen gdt när punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gälder altsñ at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen häldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g tangenten har ikke ngen häldningskeicient. g Der gälder altsñ at g ikke eksisterer. Deinitin. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 0 Karsten Juul

26 . GrÄnsevÄrdi 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nävneren bliver 0. Vi kan udregne u r värdier a sm er tät pñ : Ved at välge värdien a tilsträkkelig tät pñ kan vi Ñ värdien a u sñ tät det skal väre pñ 6. Vi siger: gränsevärdien r gående md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sñdan: lim 6 Metde.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne gränsevärdi ved at bruge Élgende teknik: Vi aktriserer brékens täller g rkrter bréken. SÑ Ñr vi et udtryk sm vi kan udregne nñr er : 6 Fr er 6 sñ lim lim g lim 6 SÄtning. lim k udtryk k lim udtryk nñr k er en knstant SÄtning. lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk Metde.4 HÉjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stñr i. PÑ iguren ser det ud til at stlpens héjde närmer sig nñr vi träkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Ñr lmmeregner eller cmputer til at udregne gränsevärdien a héjden r gñende md 0 : e lim 0 PÄ TI-Nspire kan vi vålge grånsevårdi-skabelnen pä skabelnpaletten eller i menuen under Calculus. Skabelnen ser sädan ud: Vi behçver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 4 0 Karsten Juul

27 . Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Figuren viser graen r unktinen Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat. t Linjen s skärer graen i punkterne med -krdinaterne g. s HÄldningskeicienten r s er PÑ iguren er, 8 4,48,5 NÑr, 8 er,,8 dvs. linjen s har häldningskeicienten, Frestil dig at du tager at i skäringspunktet med -krdinat g Érer det langs graen ned md det andet skäringspunkt. SÑ vil s dreje g närme sig mere g mere til t. Vi ser at hvis, 0 vil s g t have nästen samme häldning.,5995,5 NÑr, 0 er, 995 0,0 AltsÑ er,995 en gd tilnärmelse til. Vi ser at vi r at Ñ helt néjagtigt skal udregne lim Fr er sñ lim lim dvs. Den sidste mskrivning kan vi.eks. Ñ lmmeregneren til at lave. Vi kan gsñ bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte. Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g. SÄtning. Fr en unktin er lim Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 5 0 Karsten Juul

28 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 6 0 Karsten Juul 4. Udledning a rmlen r at dierentiere NÑr er lim iélge SÄtning. lim lim iélge en a kvadratsätningerne lim vi har rkrtet med iélge metde. Vi har nu undet rem til Élgende: SÄtning 4.: 5. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk NÑr h g er lim iélge SÄtning. lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iélge sätning. h g iélge SÄtning. Vi har nu undet rem til Élgende: SÄtning 5.: h g h g

29 6. Dierentialkvtient a e k g ln Der gälder Élgende rmler: k k e k e ln' Hvis vi i den Érste a disse regler sätter k Reglen r at dierentiere e k Reglen r at dierentiere ln Ñr vi Élgende regel: e e 4 ln 4 ln 0 4ln 4ln 4 4 e 4 e 4 4 e 4 e e 7. Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk NÑr m g n er t udtryk, gälder m n ' = m' n + m n' Reglen r at dierentiere udtryk gange udtryk NÑr = e er ' = ' e e' = e e = e ADVARSEL: Man kan ikke dierentiere et udtryk ved at dierentiere hver del a udtrykket brtset ra visse specielle tilälde sm.eks. reglen i ramme 7. e er ikke e g e er ikke e Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 7 0 Karsten Juul

30 8. Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin NÑr vi kender en värdi a g skal udregne 8 udregner vi Érst tallet w 8 g sñ udregner vi w Vi siger at unktinen den indre unktin 8 er sammensat a w 8 g den ydre unktin y w Funktinen ln er sammensat a den indre unktin w g den ydre unktin y lnw Funktinen e er sammensat a den indre unktin w g den ydre unktin y e w 9. Metde til at dierentiere en sammensat unktin Fr at dierentiere en sammensat unktin bruger vi Élgende metde: ydre dierentieret indre dierentieret FÉlgende eksempel präciserer hvrdan metden skal rstñs: Funktinen 8 er sammensat a den indre unktin w 8 g den ydre unktin y w Ydre dierentieret: w w Indre dierentieret: 8 ydre dierentieret indre dierentieret w 8 6 Dierentialregning r gymnasiet g h. Udgave. Side 8 0 Karsten Juul

31 Stikrdsregister atagende...6, 7, 8, dierentiabel... dierentialkvtient...4, 8, 0,,, 5, 7, 8 ekspnentialunktin...7 gra..., gränsevärdi...4, 5 häldningskeicient...,, 4, 5,,, indre unktin...8 kntinuert...5 kvadratrd...0 lgaritmeunktin...7 lkale ekstrema...0, lkalt maksimum...0, lkalt minimum...0, lmmeregner...8, 0, 4, 8,, 4, 5 maksimum...9, marginalbetragtninger...5 marginalmkstninger...5 mindstevärdi...9 minimum...9, 0, mntnirhld...7, 8, mängde...0 ptensunktin...0 sammensat unktin...8 skrivemñden ht... stérstevärdi...9 tangent..., 4, 5, 6, 8,, tangenthäldning...7, 8, tilväkst...,,, 4, 5 TI-Nspire CAS...8, 0, 4, 8,, 4 vksende...6, 7, 8, väksthastighed...6, 7, 0,, 4 ydre unktin...8

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2 Ävelser til håtet Dierentialrenin r ymnasiet h Udave t s 0 Karsten Juul Ävelserne i dette håte Çr eleverne til at pdae hvad det er der reçr i dierentialreninen Dette pnçr man ikke ved en undervisnin hvr

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7 REMOTE BACKUP Skyfillers Kundemanual INDHOLD Opsætning... 2 Installatin... 2 Lg ind... 3 Backup-sets... 4 Datasikring... 7 Online datasikring... 7 Lkal datasikring... 7 Gendannelse af data... 9 Gendannelse

Læs mere

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011 Fibnacciprjekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skle i Skagen Matematikken i blde? December 2011 Klassen deltg fr første gang i Fibnacci Prjektet, g der var afsat ca. 10 timer i en enkelt

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Windws perativsystemer Brugervejledning Prduktregistrering Hvis du registrerer dit SMART-prdukt, giver vi dig besked, når der er nye funktiner g sftwarepgraderinger. Registrer

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG KÆRBO Sundheds- g Omsrgsfrvaltningen Brugerundersøgelse : Plejeblig 1 Brugerundersøgelse Plejeblig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinin P/S g Afdeling fr Data g Analyse,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Vejledning til Plakater

Vejledning til Plakater Vejledning til Plakater Når du er lgget ind, finder du plakatskabelnerne ved at klikke skabelner g derefter Plakat. Under teksten plakater finder du tre ikner. Det er skabelner til tre frskellige plakater:

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Konkret om AT-opgaver med innovation 1

Konkret om AT-opgaver med innovation 1 Knkret m AT-pgaver med innvatin 1 I de følgende afsnit er der plukket ud fra bl.a. vejledningen g kmmenteret på afsnit. Det er derfr stadigvæk den enkelte lærers ansvar at læse teksten i læreplan g vejledning

Læs mere

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil År 2010 Cmputerspil Nils Per Olsen g Martin Vighlt Cmputerspil 10-03-2010 Planlægning Først diskuterer vi hvilken målgruppe spillet skal henvende sig til. Derefter kikker vi på frskellige spil, fr at finde

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Værdiregelsæt er opbygget sammen med vores vision og mission

Værdiregelsæt er opbygget sammen med vores vision og mission Værdiregelsæt er pbygget sammen med vres visin g missin Sklens visin: Flere lærer mere Østbirk skle bygger fremtiden Sklens missin: 1. Flkesklen skal udfrdre alle elever, så de bliver så dygtige, de kan.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing skrevet 2005 af Rikkecri Marcussen, revideret udgave 2012 Før du påbegynder ngen frm fr spirituelt arbejde, vil jeg råde dig til, at have lært at meditere

Læs mere

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark.

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark. L L A B R O O L F R E N V STÆ rball på l F s n i l g Mt anmark l a b r l vner i F I g Flrball D æ t s d l h Af ed DG m e n a b hjemme Flrballstævner Flderen er fr dig, der gerne vil arrangere et stævne

Læs mere

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne?

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne? Interview med Kristine J: 00:00: Hvr gammel er du? K: 25 J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer J: Hvr er du pvkset henne? K: I slagelse J: Hvilket pstnummer br du i? K: 2000 J: Er du rgandner?

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Guide til netværk LÆR AT TACKLE

Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk Kmiteen fr Sundhedsplysning 2. udgave, 1. plag 2015 Med støtte fra Indhld Guide til netværk... 2 Hvrdan kan netværket rganiseres?... 3 Hvrdan frdeles pgaverne?...

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

Er genopretningsaftalen er et forvarsel om nye måder at tænke tilskud?

Er genopretningsaftalen er et forvarsel om nye måder at tænke tilskud? nr. 32 Er genpretningsaftalen er et frvarsel m nye måder at tænke tilskud? INDHOLD Genpretningsaftalen - finanslv 2011. Regeringens aftale med Danske Flkeparti indebærer en nedsættelse af tilskuddet til

Læs mere

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer Caching g Selvværd Jantelvens udfrdrer Af Jan Wittrup, Adm. Direktør / Executive Advisr En artikel der primært er tilegnet de, der har sat sig fr knstant at være under selvudvikling. Inspireret af egne

Læs mere

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag Evaluering af udviklingsprjekter m en længere g mere varieret skledag Kmmune: Vesthimmerland Invlverede skler i prjektet: Løgstør skle Evalueringsrapprten er udarbejdet af: Malene Wennerlin Kntaktplysninger:

Læs mere

Samarbejde. mellem lærere og pædagoger i undervisningen. Skolefagenheden

Samarbejde. mellem lærere og pædagoger i undervisningen. Skolefagenheden Samarbejde mellem lærere g pædagger i undervisningen Sklefagenheden Indhld Frrd... Side 3 Samarbejde... Side 4 Frmål... Side 5 Perspektiv...... Side 5 Opmærksmhedspunkter... Side 6 Udviklingsperspektiver...

Læs mere

Information om Feldborg Frie Børneunivers (friskolen)

Information om Feldborg Frie Børneunivers (friskolen) Infrmatin m Feldbrg Frie Børneunivers (frisklen) FOKUS PÅ DEN ENKELTE ELEV Børn er frskellige g kun ved at behandle dem frskelligt, giver vi dem lige muligheder. I Feldbrg Frie Børneunivers sørger vi fr

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7 Indhldsfrtegnelse Beretning fra censrfrmandskaberne fr Ingeniøruddannelserne g Diplmuddannelserne fr IT g Teknik fr periden september 2013 til september 2014... 2 Resume... 2 Uddannelsernes niveau... 2

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Ikast-Brande Gymnasiums entreprenante undervisning. Et anderledes men spændende forløb. Om virksomhedspartnerskabet i undervisningen. ting at sige.

Ikast-Brande Gymnasiums entreprenante undervisning. Et anderledes men spændende forløb. Om virksomhedspartnerskabet i undervisningen. ting at sige. Stedet hvr bør læring bygger på kreativitet g innvatin Ikast-Brande Gymnasiums entreprenante undervisning Af Marie Luise Telling Jepsen Fra råstf til færdigt prdukt I frbindelse med prjektet Fra råstf

Læs mere

[KRITERIER FOR TILPASNING I OMRÅDE SYD]

[KRITERIER FOR TILPASNING I OMRÅDE SYD] 2. Feb. 2014 Fra Områdebestyrelsen fr Område Syd, Daginstitutiner Til Skle- & Børneudvalget Att.: Frmand, Claus Larsen, clausl@rskilde.dk Dagtilbud, Velfærd Att.: Vicedirektør, Jakb Skriver, Jakbs@rskilde.dk,

Læs mere

Spørgeskema. Bilag 3. Brugen af supervision

Spørgeskema. Bilag 3. Brugen af supervision Spørgeskema Brugen af supervisin Brugen af supervisin 1. Anvender I supervisin i jeres afdeling? Hvis ja, hvr mange års praksis? (Ved nej svar kun på spørgsmål 3, ved tidligere praksis svar alligevel spørgsmålene)

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Hej konfirmand J. God fornøjelse. Julie 1/5

Hej konfirmand J. God fornøjelse. Julie 1/5 Hej knfirmand J Her er første sæt pgaver til knfirmandundervisningen, så lige lidt indledende vejledning: Det er vigtigt, at du læser teksterne g laver alle pgaverne, du må gerne skrive lange svar. Husk

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

skriv disse seks tal omhyggeligt ned

skriv disse seks tal omhyggeligt ned Kære Peter, 3Ør d;3 f/ar: Æ//erede OM.f'å. da:je v;/ d;t /;v ændre 5;3 (t;/ det bedre J) J Hr Peter Knudsen A L Meyers Vænge 3 6 Tv 2450 København Sv DENMARK Marcs vn Ring 15 14 3 6 16 19 Kære Peter, skriv

Læs mere

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen MÅL FOR ELEVERNES ARBEJDE Fælles fkusmråder mht. udviklingen af elevernes faglige kmpetencer herunder særligt den skriftlige! Overrdnet

Læs mere

Mig og min ADHD -profil:

Mig og min ADHD -profil: Mig g min ADHD -prfil: - et hjælperedskab til dig, sm kan have svært ved at beskrive dine vanskeligheder g hvad ADHD gør ved lige netp dit liv. Denne skabeln kan du bruge, hvis du ligesm mange andre med

Læs mere

Fysioterapeuter stiller diagnosen Men hvilke kompetencer forudsættes der?

Fysioterapeuter stiller diagnosen Men hvilke kompetencer forudsættes der? Fysiterapeuter stiller diagnsen Men hvilke kmpetencer frudsættes der? Et kvalitativt casestudie m fysiterapeuter i diagnstiske funktiner på rtpædkirurgiske afdelinger Indhldsfrtegnelse Bilag 1 - PICO...3

Læs mere

Forslag til diskussion

Forslag til diskussion Frslag til diskussin Her bliver der vist ngle frslag til temaer, sm eleverne kan diskutere efter de har set præsentatinen. Disse temaer kan diskuteres i grupper eller i plenum. 1. Præsentatinen kmmer med

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Copyright

Indholdsfortegnelse. Copyright 1 Hvis filer slettes fra prgrammet kan det frårsage at dette ikke længere fungerer. Slet kun filer med det dertil prettede prgramværktøj. Garantien dækker ikke i tilfælde at manuelt slettede filer. Indhldsfrtegnelse

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede

Læs mere

Argentinsk Tango. Undervisningsplan for 4 gange MW20131118-1

Argentinsk Tango. Undervisningsplan for 4 gange MW20131118-1 Argentinsk Tang Undervisningsplan fr 4 gange Argentinsk Tang Undervisningsplan fr 4 gange Frrd Glæden g lysten til at danse er det vigtigste vi kmmer med, når vi gerne vil lærer at danse. En danseglæde

Læs mere

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015 Undersøgelse af virksmhedernes tilfredshed med Jbcenter Esbjergs ydelser g service i 2015 Esbjerg, marts 2016 Side 1 af 13 1. Indledning Denne virksmhedstilfredshedsundersøgelse er baseret på udsendelse

Læs mere

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side Nyhedsbrev Nr. 26 den 20. nvember 2015: Nyhedsbrev fra Stabens ledelse Flkeafstemning samt lkalvalg Læs mere på næste side Valg Cpydan Tekst & Nde Indgang i Herning Fernisering frtsat Pstkrt Side 2 Side

Læs mere

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N VERSIONSBREV LUDUS versin 1.27.0 Den 10. december 2009 J.nr.: 4004 V1088 09 CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N Tlf. +45 3614 4000, fax +45 3614 7324, www.scandihealth.dk, scandihealth@csc.cm

Læs mere

Udviklingen af det nære samfund fx udbygning, byggegrunde, der har betydning for bosætning og erhverv, skole og forretningslivet

Udviklingen af det nære samfund fx udbygning, byggegrunde, der har betydning for bosætning og erhverv, skole og forretningslivet OPSAMLING PÅ EKSTERN MINIRESEARCH SAMMENDRAG INDHOLD Alle de adspurgte brgere tager udgangspunkt i eget mråde g understreger aktuelle lkale emner er vigtige, hvis de skal invlvere sig i nærdemkratiet.

Læs mere

Til en begyndelse bliver det hovedsagelig vuggestuen vi kigger indretning på vi anskaffer et væg hængt bord samt investerer i en tumle ottekant.

Til en begyndelse bliver det hovedsagelig vuggestuen vi kigger indretning på vi anskaffer et væg hængt bord samt investerer i en tumle ottekant. 1 Visiner Vi arbejder fr det sunde liv, fyldt med bevægelse. Vi startede med mrgensjv g har udbygget det på frskellige måder bl.a. Med ugens leg. Vi bruger gså vres gryde mere målrettet i frhld til aktiviteter.

Læs mere

Biogasproduktion i Tyskland

Biogasproduktion i Tyskland Bigasprduktin i Tyskland Af Prjektleder Henning Lyngsø Fged, Center fr Bienergi g Miljøteknlgisk Innvatin, hlf@cbmi.dk Tyskland har ca. 4.000 bigas gårdanlæg, g ca. halvdelen af den bimasse de prducerer

Læs mere

Virksomhedsoplysninger

Virksomhedsoplysninger Alt det inf du behøver... Frretningsbetingelser & persndataplitik Virksmhedsplysninger Den-design A/S (datterselskab af HFP) CVR NR.: 17023292 Adresse: Hestehaven 16, 8721 Daugaard, DK Mail: Michela@den-design.dk

Læs mere

Mediestrategi i Dagplejen

Mediestrategi i Dagplejen Mediestrategi i Dagplejen Leg g medier i børnehøjde GOD FORNØJELSE Dagplejen Skanderbrg Kmmune "Det er den pædaggiske praksis, der afgør, hvrdan de digitale mediers muligheder anvendes" Klaus Thestrup

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide Christian Hjrtshøj HTX Rskilde 1.4 06-05-2011 Lære: Bartlmiej Warszawski Fag: KmIT 1 S ide Indhld 1. Indledning... 3 2. Målgruppeanalyse... 4 3. Valg af medie... 5 4. Skitsering... 6 4.1 Skitse 1.... 6

Læs mere

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement Verdensbrger Hjem Målgruppe: Spirer g grønsmutter Årstid: Hele året. Evt. i frbindelse med Spejderhjælpsugen Varighed: 3 trin + et engagement Hjem - niveau 1 g 2 - trin fr trin Danske pigespejdere skal

Læs mere

YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM

YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 13/2-2014 Indhldsfrtegnelse Indledning... 3 Teri & Design... 3 Målgruppe... 4 Kmmunikatinsmdellen...

Læs mere