7. Rumgeometri med Derive

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "7. Rumgeometri med Derive"

Transkript

1 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg på at understøtte den 3-dimensionale grafik. Så det er bestemt et forsøg værd at understøtte algebraen med 3-dimensionale illustrationer af hvad der foregår! Vi starter som sædvanlig med at sætte Derive op som en graf-regner, men denne gang med et tredimensionalt grafvindue! 7.1 Indledende knæbøjninger For at åbne et 3-dimensionalt grafvindue klikker man på 3d-graf-ikonet de tre akser: med Derefter skifter man til algebravinduet ved et klik på algebra-ikonet : For at se begge vinduer samtidigt vælger vi til slut Tile Vertically i Windowsmenuen: Vi er nu klar til at tegne i tre dimensioner! 111

2 7.2 Simple 3d-tegninger i Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Punkter angives ved deres koordinatsæt, dvs. de indskrives som lister med kantede parenteser, fx [3,3,3]. Herefter markeres de og overføres til grafvinduet ved at vælge dette og trykke på graf-ikonet : Det er næsten umuligt at se punktet, fordi det bare sættes som en svag prik, men det ligger faktisk ud for enden af pilespidsen! Det vil være godt at få sendt et sådant punkt til opfedning, og det kan da også gøres med hjælp fra lidt programmering! Men her konstaterer vi blot, at punktgrafer kræver gode øjne! Forbinder vi to punkter fås et linjestykke. Det kan fx indskrives således: [ [x1, y1, z1], [x2, y2, z2] ] og det vises på skærmen som en punkttabel: 112

3 Det var straks bedre! På denne måde kan vi altså illustrere fx vektorer, om end det igen ville gøre godt med lidt opfedning, og måske også en spydspids. Men nu kan vi så skrive større punkttabeller op, som vil blive tegnet som serier af linjestykker. Hvis vi gentager det første punkt til sidst får vi altså tegnet rumlige polygoner. Her har vi illustreret det med en trekant, hvor de to forrige punkter forbindes med Origo: Ved at benytte piletasterne eller rotationsikonerne hvor det første giver kontinuert rotation kan vi faktisk godt få en rimelig fornemmelse af den rumlige struktur af trekanten. Med lidt tålmodighed kan princippet udvides til fx tegning af en pyramide med hjørnerne (0,0,0), (3,0,0), (0,3,0) og (0,0,3): Bemærkning: Hvis punkterne i tabellen indesluttes i listeparenteser, vil de ikke blive forbundet, og vi vil i stedet få en ren punktgraf. Men som tidligere bemærket er de svære at se på skærmen, fordi punkterne afsættes som bittesmå prikker. 113

4 Sådanne punkttabeller er også nyttige til tegning af rumlige kurver, fx løsningskurver for systemer af differentialligninger. Derive accepterer godt nok parametriseringen af en rumlig kurve som et tegneobjekt i 3 dimensioner. Men den opfatter dem som flader, der blot mangler den anden parameter, og derfor udarter til rumlige kurver. Så hvis vi vil tegne fx en helix med parametriseringen [ 3 cos(2 t), 3 sin(2 t), t ] så bliver vi ikke afvist, hvis vi forsøger at overføre den direkte. Men resultatet kan godt være lidt overraskende, for vælger vi at overføre plottet ved hjælp af 3d-grafikonet vi får ikke nogen spørgsmål om parameteren. I standardmode giver det derfor anledning til en zig-zag-linje: For at få adgang til at sætte parameteren må vi i stedet vælge menupunktet Plot i Insert-menuen. I modsætning til 3d-graf-ikonet giver det nemlig anledning til en dialogboks: Her kan vi netop sætte antallet af deleintervaller for parameteren t, der altså i dette tilfælde opfattes som den første parameter, dvs. den hedder s i dialogboksen! Vi kan derfor sætte antallet af delintervaller op til fx 200 hvilket giver anledning til en kraftig forbedring af rumkurvens udseende (men samtidigt får det ind- 114

5 flydelse på tegningen af alle de kommende parametriserede kurver og flader, som overføres direkte ved hjælp af 3d-graf-ikonet): I almindelighed er det derfor bedre at generere en punkttabel for rumkurven og tegne den i stedet. Det sker ved hjælp af listekommandoen VECTOR: Husk som sædvanlig at slå Approximate Before Plotting til Options-menuen! Vi kan også få tegnet rumkurven som en punktgraf i stedet for en linjegraf. Det kræver som tidligere bemærket blot at vi indlejrer hvert punkt [x, y, z] i en ekstra liste [ [x, y, z] ], dvs. ændrer kommandoen til: 115

6 Til slut udvider vi repertoiret til tegning af fladeelementer. Givet to linjestykker vil de udspænde et fladeelement udspændt af de to linjestykker, som vi kan få tegnet, hvis blot vi sætter linjestykkerne side om side: [ [ [x1, y1], [x2, y2] ], [ [x3, y3], [x4, y4] ] ] Princippet kan også benyttes til at tegne udfyldte trekanter, hvis vi blot lader to af punkterne falde sammen! Her er fladeelementet udspændt af linjestykkerne, der forbinder (3,0,0) med (0,3,0) henholdsvis (0,3,0) med (0,0,3): 116

7 Listen over linjestykkerne kan igen frembringes som en tabel ved hjælp af en VECTOR-kommando: I dette tilfælde frembringer vi den nydeligste vindeltrappe: På denne måde kan vi fortsætte med at kombinere lister over punkttabeller til mere og mere komplicerede grafer, men vi stopper her mens legen er god, og fortsætter i stedet med at undersøge, hvordan vi kan afbilde 3d-grafer for ligninger. 7.3 Flader givet ved ligninger For at tegne en flade givet ved en ligning kan vi ligesom ved de to-dimensionale grafer gå frem på følgende tre måder: som et algebraisk udtryk i to variable, fx x^2 + y^2. som en funktionsligning, hvor den uafhængige variabel sættes lig med et algebraisk udtryk i de to afhængige variable, fx z = x^2 + y^2. som en funktionsforskrift, fx f(x, y) := x^2 + y^2 (hvor det er vigtigt at huske kolonnet!) I alle tre tilfælde kan vi så markere udtrykket og overføre det som et 3d-plot ved at skifte til 3d-vinduet og trykke på 3d-grafikonet, hvis vi blot vil have en automatisk tegning, og ellers vælge menupunktet Plot fra Insert-menuen, hvis vi have adgang til en dialogboks, der fastlægger antallet af gitterintervaller og det farveskema, der benyttes til at tegne grafen, dvs. i dette tilfælde paraboloiden: 117

8 Standard er altså gitterintervaller! Det er selvfølgelig ikke afgørende, at man benytter navnene x og y for de uafhængige variable, henholdsvis for den afhængige variabel. Vi kan sagtens tegne flere grafer af gangen og vil så kunne se skæringskurven. Ændrer vi fx paraboloiden til fx z = ½ (x 2 + y 2 5), vil vi tydeligt kunne se skæringskurven med x-y-planen, dvs. z = 0 : Det er selvfølgelig ikke afgørende at vi har sat dem op som en familie af grafer. De kunne lige så godt være indtaste hver for sig: Men det skal blot tjene til at illustrere den betydelige fleksibilitet, vi har i opbygningen af plot-udtrykkene: 118

9 7.4 Flader givet ved implicitte ligninger I modsætning til de to-dimensionale plots har Derive ikke mulighed for automatisk at tegne implicitte plots, dvs. 3d-plots baseret på implicitte ligninger. Men Derive vil gøre et hæderligt forsøg på at isolere z fra ligningen og tegne fladen baseret på den eksplicitte ligning. Fx kan Derive altså godt tegne en plan baseret på en almindelig implicit ligning: 119

10 Prøver vi derimod med en kugle med ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 9 fås beskeden I så fald må man altså selv løse ligningen med hensyn til z og dernæst forsøge sig med et plot: Men det giver så anledning til de sædvanlige problemer med definitionsmængden. Tegningen af en kugle passer ikke godt sammen med et rektangulært gitter: Ved tegning af komplicerede flader står man sig derfor bedre ved at opbygge en parameterfremstilling eller, hvis man har mod på det, ved at skifte til et eksotisk koordinatsystem, her sfæriske koordinater, hvor kuglen jo vil få den trivielle ligning r = 3 Derive understøtter gængse koordinatsystemer i rummet, dvs. foruden rektangulære koordinater også cylinder koordinater og sfæriske koordinater, men det er ikke noget vi vil komme nærmere ind på. 120

11 7.5 Flader givet ved en parameterfremstilling Igen kan parameterfremstillingen indskrives på forskellig vis: som et koordinatudtryk med to parametre, fx [cos(s) sin(t), sin(s) sin(t), cos(t)] som en forskrift for en parameterfremstilling, fx P(s,t) := [cos(s) sin(t), sin(s) sin(t), cos(t)] Man kan sætte såvel parameterintervallerne som antallet af gitterinddelinger i en dialogboks ved at vælge Plot fra Insert-menuen (eller F4), men man kan også få tegnet parameterfladen med de gængse intervaller ved blot at trykke på 3dgrafikonet. I det ovenstående tilfælde vil parameterintervallerne 0 < t < π og -π < s < π give anledning til en enhedskugle. Hvis man ikke kan huske parametriseringen for en kugle kan man blot anvende kommandoen SPHERE(r, s, t). Fx kan kuglen med centrum i (0, 0, 0) og radius 3 tegnes med kommandoen SPHERE(3, s, t). Derefter vælges grænserne for ækvatorvinklen s og polvinklen t: Her indtastes værdien for π selvfølgelig symbolsk! Til slut vælger man farveskema, hvorefter kuglen tegnes lige så nydeligt: 121

12 Vil man tilføje endnu en kugle, fx med centrum I (0, 1, 1) og radius 2 tilføjes kommandoen: Som det ses, har vi valgt forskellige farveskemaer for de to kugler. Man kan ændre farve for en flade ved at vælge den med et klik og derefter fx højreklikke sig til en Edit-kommando. Man kan selvfølgelig sagtens blande parameterfremstillinger og almindelige ligninger. Fx kan vi tilføje x-y-planen ved hjælp af ligningen z = 0: Afslutningsvis bemærker vi også at man kan trace rumlige flader, ligesom man kan trace 2-dimensionale kurver. Derved kan man få oplyst koordinaterne til gitterpunkterne på fladerne, fx ved at klikke på et gitterpunkt i Trace-mode. Udover koordinaterne til punktet kan man da se de to udvalgte gitterlinjer lyse op på fladen. Det giver mulighed for at orientere sig også koordinatmæssigt i de 3- dimensionale figurer. 122

13 7.6 3-dimensionale standardobjekter i Derive Foruden kuglen understøtter Derive de følgende tre standardobjekter: Torusen, cylinderen og keglen: Den vandrette torus: TORUS(r1, r2, s, t). Denne kommando frembringer en vandret torus med centrum i (0,0,0), den ydre (store) radius r1 og den indre (lille) radius r2. De to parametre s og t står for henholdsvis vinklen langs den ydre cirkel og vinklen langs den indre cirkel. Fx vil kommandoen TORUS(3, 1, s, t) med 0 < s < 2π og 0 < t < 2π frembringe en vandret torus med ydre radius 3 og indre radius 1: Den lodrette cylinder: CYLINDER(r, s, z) Denne kommando frembringer en lodret cylinder med z-aksen som akse og radien r. De to parametre s og z står for henholdsvis vinklen s rundt langs cylinderen og højden z op langs cylinderen. Fx vil kommandoen CYLINDER(1, s, z) med 0 < s < 2π og -3 < z < 3 frembringe en lodret cylinder med radius 1: 123

14 (men pas på rækkefølgen af parametrene i dialogboksen, hvor dialogboksens s står for den anden parameter, dvs. z!) : Den lodrette kegle: CONE(v, s, z) Denne kommando frembringer en lodret kegle med åbningsvinklen v (dvs. vinklen ind til aksen) og toppunkt i (0, 0, 0). De to parametre s og z står for henholdsvis vinklen s rundt langs keglen og højden z op langs aksen. Fx vil kommandoen CONE(π/6, s, z) med 0 < s < 2π og -3 < z < 3 frembringe en lodret dobbeltkegle med åbningsvinklen π/6 (dvs. 30 ) og udstrækningen 6: (men pas på rækkefølgen af parametrene i dialogboksen, hvor dialogboksens s står for den anden parameter, dvs. z!) : 124

15 Ved passende forskydninger, skaleringer og evt. rotationer kan man nu opbygge komplekse scener i Derive. Og man kan også deformere standardfigurerne ved at ændre passende i parameterfremstillingerne, hvis man har mod på noget sådant! Opgave1: Hvordan tegner man et juletræ med pynt! Du skal frembringe en tegning af et juletræ med stamme og fod, og alskens pynt på juletræet, ligesom der også bør være gaver under juletræet. Du kan bruge standardobjekter, fx en kegle passende afskåret til juletræet, en lang tynd cylinder til stammen, en flad kort cylinder til foden osv. Pynten kan fx være diverse farvede kugler, men hvis du har mod på det kan de også deformeres til ellipsoider (æg), ligesom du kan sno guirlander omkring juletræet. Træet kan også deformeres passende, så det får bølgeform. Det sværeste er nok stjernen i toppen, men hvem siger, det skal være en stjerne i toppen! God fornøjelse! 125

16 7.7 Planer og linjer i rumgeometri Kapitel 7: Rumgeometri med Derive I det følgende afsnit vil vi primært fokusere på de grafiske muligheder i Derives rumgeometri. Vi lægger ud med nogle simple problemstillinger: Eksempel 1: I et koordinatsystem i rummet er givet to punkter A(3, -2, 0) og B(2, 1, 2). En plan α har ligningen x + 2y z = 11. Undersøg om planen α skærer linjestykket AB. Grafisk løsning: Ved at indtegne såvel linjestykket AB som planen α ses det umiddelbart, at planen α ikke skærer linjestykket AB: Eksempel 2: I et koordinatsystem i rummet er der givet en plan α med ligningen 4x 2y + z + 12 = 0. Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem planen α og koordinatsystemets akser. Grafisk løsning: Vi starter med at udvide koordinatsystemets grænser til at gå fra 10 til 10 for alle tre koordinater, da vi ellers ikke ville kunne se skæringspunkterne med koordinatsystemets akser. Dernæst skjuler vi akserne i Display Opti- 126

17 ons da akserne ikke tegnes med hidden view, dvs. de klaskes bare oven på fladen uanset om de ligger foran eller bagved fladen. I stedet indfører vi parametriseringer for de tre akser og tegner dem som rumkurver ( med 20 inddelinger fra 10 til 10 i parametrene, der jo følger koordinatsystemet): Det ses da tydeligt, at x-aksen og y-aksen skærer falden indenfor koordinatsystemet, mens z-aksen lige netop slipper fri! Ved at tilføje x-y-planen med ligningen z = 0, ses det samme muligvis lidt tydeligere, idet vi så blot selv skal identificere gitterlinjerne gennem Origo (dvs. der hvor z-aksen rammer x-y-planen): 127

18 Under alle omstændigheder skal vi nu prøve at aflæse skæringspunkterne med akserne. Det sker ved hjælp af Trace-kommandoen. Når vi klikker på et gitterpunkt på fladen ændrer de respektive gitterlinjer nu farve (her til hvid): Vi ser da nederst i venstre hjørne, at x-aksen skærer i punktet (-3, 0, 0). Tilsvarende fås at y-aksen skærer i punktet (0,6,0): Og selv om det falder udenfor billedrammen, kan vi godt ved hjælp af tracepilene sænke y-koordinaten til 0, hvorved vi finder at z-aksen skærer i (0,0,-12): 128

19 Eksempel 3: I et koordinatsystem i rummet er der givet tre planer med ligningerne x + y + z = 6 2x y z = 1 x + y 2z = 3 Undersøg planernes indbyrdes beliggenhed. Grafisk løsning: Ligningerne for de tre planer indskrives og de tre planer tegnes med hver sin farvekode (højreklik på planerne for at få lov til at skifte farve): 129

20 Som det ses, skærer de tre planer tydeligvis hinanden i et fælles punkt. En trace af de tre planer, viser at det sker i nærheden af punktet (2.5, 2.5, 1), men det nøjagtige koordinatsæt kan vi ikke finde ved aflæsning, da det tydeligvis ikke er et gitterpunkt. Eksempel 4: I et koordinatsystem, i rummet er givet tre planer med ligningerne 2x y + 2z = 3 3x + 2y + z = 2 x 4y + 3z = 4 Undersøg planernes indbyrdes beliggenhed. Grafisk løsning: Ved en tegning af de tre planer ser det umiddelbart ud som om de har en fælles linje: 130

21 Det kan vi gøre endnu mere overbevisende ved at dreje de tre planer, så vi kigger lige direkte ind på den fælles linje. Det kræver lidt fingerspidsfornemmelse, men kan faktisk godt lade sig gøre med lidt behændighed: Her har vi sat drejningsvinklen ned til 1, og det ser da meget rimeligt ud! Eksempel 5: I et koordinatsystem i rummet er tre planer α, β og γ givet ved ligningerne α: 3x 2y + z 5 = 0 β: 5x y z + 2 = 0 γ: 2x 6y + 6z + 5 = 0 Undersøg den indbyrdes beliggenhed af de tre planer. Grafisk løsning: Ligningerne indskrives og planerne tegnes: 131

22 Men så snart vi får dem drejet hen i den rigtige stilling kan vi umiddelbart se, at de skærer hinanden i tre indbyrdes parallelle linjer, dvs. de tre planer ser ikke ud til at have nogen fælles punkter: Vi kan bekræfte dette ved en simpel udregning. Parameterfremstillingerne for de tre skæringslinjer fås ved at løse ligningerne to og to med hensyn til x og y, og så bruge z som parameter: Alle tre skæringslinjer, viser sig da at have retningsvektoren [3/7, 8/7, 1]! 132

23 Så er det tid til lidt fifleri med planer på en skærm for at opbygge den visuelle fornemmelse for planers indbyrdes beliggenhed. Opgave 1: I et koordinatsystem i rummet er der givet de to planer α: x y z = 1 β: x + y + 5z = 3 Tegn de to planer og forsøg nu at vurdere vinklen mellem de to planer, ved at dreje dem, så du ser lige ind langs skæringslinjen. Tilføj x-y-planen z = 0 og afløs koordinaterne til skæringspunktet mellem de tre planer. Understøt den grafiske analyse med beregninger! Opgave 2: I et koordinatsystem i rummet er der givet de tre planer α: x + y + z = 9 β: 4x + 2y + 2z = 3 γ: 2x + 2y 4z = 9 Tegn de tre planer og undersøg ved hjælp heraf beliggenheden af de tre planer i forhold til hinanden. Hvis de skærer hinanden, forsøg da at aflæse skæringspunktets koordinater. Understøt den grafiske analyse med beregninger! Opgave 3: I et koordinatsystem i rummet er der givet de tre planer α: 2x y + 2z = 3 β: 3x + 2y + z = 2 γ: x 4y + 3z = 4 Tegn de tre planer og undersøg ved hjælp heraf beliggenheden af de tre planer i forhold til hinanden. Hvis de skærer hinanden, forsøg da at aflæse skæringspunktets koordinater. Understøt den grafiske analyse med beregninger! 133

24 7.8 Kuglen i rumgeometri Hvis ellers vi kan få tegnet kugler er det klart, at vi nu også kan undersøge kuglers indbyrdes beliggenhed, ligesom vi kan undersøge kuglers beliggenhed i forhold til planer. Vi viser et enkelt eksempel på en sådan grafisk analyse: Eksempel 6: I et koordinatsystem i rummet, har en kugle K og en plan α ligningerne: K: x 2 + y 2 + z 2 4x 6y 4z = 8 α: 2x + 2y + z = 3 Undersøg den indbyrdes beliggenhed af planen og kuglen. Grafisk løsning: Det er nemt nok at indskrive de to ligninger og få tegnet planen α. Men for at få tegnet kuglen K overbevisende er vi nødt til at kende dens centrum og dens radius, dvs. vi er nødt til at omskrive ligningen for kuglen på standardformen (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 Hvis vi indskriver denne almene ligning og trækker den fra kuglen K s ligning fås: Da ligningen skal være opfyldt for alle værdier af x, y og z ses umiddelbart at centrums koordinater er givet ved (a, b, c) = (2, 3, c). Substitueres disse værdier fås en ligning til bestemmelse af r, der viser at radius har værdien 5. Vi må altså fifle lidt med kuglens ligning for at trække de ønskede oplysninger ud. Men nu kan kuglen indskrives som: og vi kan få den tegnet sammen med planen (med standardparameterintervallerne π < s < π og 0 < t < π): Det fremgår da tydeligt, at kuglens skærer planen! 134

25 Dernæst viser vi nogle eksempler på, hvordan man kan lege med kuglernes ligninger: Eksempel 7: I et koordinatsystem i rummet er der givet to kugler med ligningerne: K 1 : (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z 2) 2 = 25 K 2 : x 2 + y 2 + (z + 4) 2 = 81 Undersøg den indbyrdes beliggenhed af de to kugler. Grafisk løsning: De to kugler har centrum i (2, 3, 2) henholdsvis (0, 0, -4) og radierne 5 og 9. De tegnes derfor med kommandoerne: [2, 3, 2] + SPHERE(5, s, t) og [0, 0,-4] + SPHERE(9, s, t): Som det ses, skærer de to kugler tydeligvis hinanden! Vi kan fremhæve skæringen mellem de to kugler ved at se på snitplanen, dvs. på forskellen mellem ligningerne for de to kugler: 135

26 Indtegnes snitplanen ses netop, at den går gennem fællescirklen for de to kugler: Vi kan underbygge dette ved at tilføje centerlinjestykket, som forbinder de to kuglers centre og checke grafisk, at centerlinjen står vinkelret på snitplanen: Vi bliver da nødt til midlertidigt at fjerne de to kugler for at få lov til at se centerlinjestykket: Og det ligner jo godt nok en ret vinkel. Vi kunne selvfølgelig også parametrisere linjen gennem de to centre: 136

27 Så bliver der mulighed for at se den sammen med kuglerne: Læg mærke til at retningsvektoren for centerlinjen [ 2, -3, -6 ] er proportionale med normalvektoren til planen [ -4, -6, -12 ], hvilket netop bekræfter at de står vinkelret på hinanden. Eksempel 8: En pyramide OABCD er udspændt af punkterne O = (0,0,0), A = (4,0,0), B = (4,4,0), C = (0,4,0) og D = (2,2,10) Tegn pyramiden. bestem en ligning for den kugle, der indeholder alle pyramidens hjørnespidser O, A, B, C og D. Grafiske løsning: Vi indskriver de fem sideflader for pyramiden og tegner dem i koordinatsystemet: 4 < x < 10, 4 < y < 10, 2 < z < 12: 137

28 Man kan godt pynte på tegningen ved at tilføje x-y-koordinatplanen og z-aksen, så man kan se hvordan pyramiden hviler på x-y-planen med z-aksen gennem det ene hjørnepunkt: Det ser vist rimeligt overbevisende ud men selvfølgelig virker det endnu mere overbevisende på en skærm, hvor man kan rotere figurerne kontinuert og se dem fra hvilken vinkel man lyster! Så er der den omskrevne kugle. Her skal vi vælge fire punkter, der ikke ligger i en plan og indsætte dem i kuglens ligning. Det giver fire ligninger til at fastlægge de fire ubekendte, dvs. koordinaterne til centrum og radius: 138

29 Centrum er altså givet ved (2,2,23/5) og radius er givet ved 27/5. Læg mærke til at aksen for pyramiden netop er givet ved ligningssystemet x = y = 2, så det er selvfølgelig ikke så overraskende at centrum ligger på aksen. Vi kan så få tegnet kuglen ved hjælp af kommandoen: Men da kuglen vil dække for pyramiden er det smartere at nøjes med en halvkugle, ved at nøjes med at lade s gå fra π til 0: 139

30 En anden mulighed er at tegne kuglen uden fladeelementer ud fra en punkttabel. Vi skal så huske at omklamre med lister for at forhindre faldetegningen. Det kan ske med en liste omkring den inderste VECTOR-kommando som vist her: Men vi kan også sætte listeparenteser omkring punkternes koordinater hvorved kuglen tegnes som en punktsværm. Som sædvanlig er punktsværmen bare ikke så nem at se på skærmen, fordi punkterne er så små. 140

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Rumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen

Rumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen Rumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen Indhold 1. Kuglen... 1 1.1 Parameterfremstillinger: Betydningen af parametrene t og u... 1 1.2 Kuglens attributer: Gitterinddelinger, transparens

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning   De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Kompendium til Geogebra

Kompendium til Geogebra Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra

Læs mere

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Ved hjælp af programmet GeomeTricks kan du tegne figurer i geometri. Når du tegner en figur, så skal du opbygge din figur ved hjælp af geometriske objekter. Geometriske

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Matematik A 5 timers skriftlig prøve

Matematik A 5 timers skriftlig prøve Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

For at få 3D-kommandoer til at virke skal AutoCAD LT 2002 først sættes op Vælg Start->Programmer->BYG-CAD>LTSetup

For at få 3D-kommandoer til at virke skal AutoCAD LT 2002 først sættes op Vælg Start->Programmer->BYG-CAD>LTSetup For at få 3D-kommandoer til at virke skal AutoCAD LT 2002 først sættes op Vælg Start->Programmer->BYG-CAD>LTSetup Herefter startes AutoCAD LT 2002 Tryk F2 og se om LT-extender er indlæst Nu vælges Tools->Options

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere