Estimation og test i normalfordelingen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Estimation og test i normalfordelingen"

Transkript

1 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer: é middelværdi, variae kedt é middelværdi, variae ukedt 3 parvie obervatioer 4 to middelværdier, amme varia 5 to middelværdier, forkellig varia 6 é varia (predig) 7 to variaer (prediger) Der er tale geerelle tatitike tekikker, om emt ka udføre ved hjælp af Microoft Excel. Formålet med die tekikker er at udføre etimatio af og tet for middelværdi og varia i é eller to grupper af obervatioer for ormalfordelte data. Alle die tekikker er i øvrigt bekrevet i ISO 854. Hvi data ikke (tilærmelevit) ka bekrive ved e ormalfordelig, må ma ete traformere data (f.ek. logaritmik) eller avede adre ( ikkeparametrike ) tatitike tekikker. Er ma i tvivl, om data ka bekrive tilfredtillede ved hjælp af e ormalfordelig, ka ma evt. avede grafik tjek af ormalitet (ormalfordeligplot). Dette behadle ikke i die oter der hevie til ISO Det forudætte, at læere er i tad til at berege geemit og tadardafvigele for e gruppe af obervatioer. Dette ka f.ek. gøre i Excel ved hjælp af fuktioere AVERAGE heholdvi STDEV. For god orde kyld gegive formlere her. Af og til avede betegele middelværdi (ofte beteget for e ad værdi, me geemit avede for de etimerede værdi. På tilvarede måde kele af og til mellem begrebere predig (ofte beteget ) for de ade værdi og tadardafvigele for de etimerede værdi. Ofte vil ma dog avede betegelere i flæg. Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Geemittet ( middelværdie ) er givet ved formle x x i i

2 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Variae er givet ved formle ( xi x) og tadardafvigele ( predige ) er, dv. kvadratrode af variae. I rete af die oter vil der ikke blive givet detaljerede formler overalt. i I mage ammehæge har ma brug for mere avacerede tatitike metoder. Iær er der ofte brug for lieære modeller, heruder regreioog variaaalye. Dette er modeller, hvor ma tuderer idflydele af e eller flere faktorer på e afhægig variabel (itereevariable). Die faktorer ka være ete kvatitative (regreioaalye), kvalitative (variaaalye) eller der ka evt. være begge typer på é gag ( geerelle lieære modeller ). Die modeller ka f.ek. aalyere ved hjælp af tatitikoftware om SAS/JMP. é middelværdi, variae kedt Baggrud Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x, jf. ovefor. Dere predig tæke kedt, og det gælder dermed ogå variae. Derimod er middelværdie ukedt. Formålet er At etimere middelværdie amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0. Vi kal derfor ikke foretage oge beregig af tadardafvigele. Er ma i tvivl, om de give tadardafvigele tadig ka avede, ka ma evt. tete dette. Se afit 6. Ekempel x x x 3 x 4 x 0 x - 0 z 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85 5 0,85,5,00

3 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. Vi ved fra mage tidligere aalyer, at predige (tadardafvigele) ka atage at være kotat =,5. Etimatio Middelværdie () er ukedt, me etimere ved geemittet x = 5,85. Kofideiterval Et geemit er (ikke overrakede) mere ikkert betemt, jo flere obervatioer ma har. Hvi ma f.ek. får 4 gage å mage obervatioer, kal variae ogå dividere med 4, dv. tadardafvigele kal dividere med. Geerelt gælder der følgede regel: Stadardafvigele for geemittet får ma ved at dividere de opridelige tadardafvigele med kvadratrode af atallet af obervatioer, dv. de bliver /. Vi vælger derfor et iterval på forme k /, hvor kotate k ætte til z-/, dv. e fraktil i (tadard) ormalfordelige. Hvi f.ek. = 0,05 = 5%, bliver z-/ =,96. Dette hæger amme med, at 95% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,96 og,96. Tekik kalder ma,96 for,5%-fraktile og,96 for 97,5%-fraktile i (tadard) ormalfordelige. Kofideitervallet bliver derfor: x,96 / x,96 / Dette iterval ka berege til [4,36; 7,9], og det vil med 95% adylighed ideholde de ade me ukedte værdi af middelværdie. Kofideitervallet ka geerelt krive: x z x z / / / / Vil vi f.ek. i tedet have et iterval, der med 99% adylighed ideholder de ukedte værdi af middelværdie, kal vi i tedet vælge = 0,0 = %, og å bliver z-/ =,576, idet 99% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,576 (om er 0,5%-fraktile) og,576 (om er 99,5%- fraktile). Itervallet bliver i å fald [3,89; 7,76]. 3

4 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om geemittet afviger fra e targetværdi på 0=5,0. Vore geemit x = 5,85 kal altå ammelige med targetværdie 5,0. Numerik tore (poitive eller egative) afvigeler mellem die tørreler fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Afvigelere mellem geemittet og target kal aturligvi e i forhold til predige, dv. =,5. Hvi der er tor predig, kal der (umerik) tørre afvigeler til, før vi må forkate atagele om e middelværdi = 5,0. Som ævt ovefor få tadardafvigele af et geemit ved at dividere de opridelige tadardafvigele med kvadratrode af atallet af obervatioer. Dette fører til, at ma aveder følgede tettørrele : x 0 z0 / I ekemplet ovefor bliver z0 =,00. Spørgmålet er å, hvor tor e værdi (umerik) af z0 om fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Tettørrele fordelig Dette pørgmål hæger ige amme med, hvilke fordelig vore tettørrele følger. I det aktuelle tilfælde ka ma vie, at tettørrele følger e tadard ormalfordelig (dv. middelværdi 0 og predig ). Det har de fordel, at dee fordelig er tabelleret. Ma behøver derfor blot at lå op i e tabel over (tadard) ormalfordelige for at e, hvor (umerik) tore værdier af z0 om fører til forkatele af atagele om e middelværdi = 5,0. Svaret på dette pørgmål hæger å ige amme med valget af igifikaiveau. Oftet vælger vi igifikaiveau 5%, me af og til vælger vi igifikaiveau %. Det er die to igifikaiveauer, om abefale i forkellige ISO-tadarder. Hvi vi vælger et igifikaiveau på 5%, er (umerike) værdier over,96 kritike. Dette hæger amme med, at 95% af alle obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,96 og,96. Tekik kalder ma,96 for,5%-fraktile og,96 for 97,5%-fraktile. Det er altå die, ma kal fide i tabelle. 4

5 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Vælger vi et igifikaiveau på %, bliver (umerike) værdier over,576 kritike, idet 99% af obervatioere i e tadard ormalfordelig ligger mellem,576 (om er 0,5%-fraktile) og,576 (om er 99,5%-fraktile). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på,00. Dette ligger pæt uder de,96, hvorfor der ikke er tatitik belæg for at forkate atagele om, at middelværdie er lig med targetværdie, dee atagele må altå acceptere (på 5%-iveau, og aturligvi ogå på %-iveau). På jævt dak: De fude geemitværdi 5,85 afviger ikke markat fra de accepterede targetværdi 5,0. Eidet tet I jælde tilfælde er det åda, at ma på forhåd ved, at det er umuligt at få et geemit uder target. I å fald avede et åkaldt eidet tet. I ekemplet gøre det åda: Vi har et geemit på 5,85, der jo om forvetet er over de 5,0 (eller var der oget galt med vore forhådvide!). I et eidet tet kal ma (for tet på 5%-iveau) ammelige tettørrele,00 med 95%-fraktile, i tedet for 97,5%-fraktile. I e tabel aflæe dee til,645. Vore atagele om, at geemittet er lig med target, bliver tadig accepteret. For et tet på %-iveau kal ma ammelige med 99%-fraktile, om er,36. Hvi vore forhådvide omvedt er, at det er umuligt at få geemit over target, å er værdier uder,645 (hhv.,36) kritike. é middelværdi, variae ukedt Baggrud Vi har om ovefor e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Dere predig tæke ukedt, det gælder dermed ogå variae. Ligelede er middelværdie ukedt. Formålet er 5

6 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 At etimere middelværdie amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0. Ekempel Samme data om i tet r.. x x x 3 x 4 x 0 x - 0 t 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85 5 0,85,806 0,94 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. Etimatio Vi kal u både etimere predige (tadardafvigele) og middelværdie (geemittet). Middelværdie () etimere ved geemittet x = 5,85. Spredige etimere u ved tadardafvigele =,806. Kofideiterval Vi kal her ku agive et kofideiterval for middelværdie. I afit 6 vil vi agive et kofideiterval for variae hhv. tadardafvigele. I aalogi med afit optiller vi et kofideiterval for middelværdie af forme: x t / x t / /, /, Forkelle er, at vi ikke keder predige om i tedet etimere ved tadardafvigele. Det vier ig u, at de kotat, ma kal gage tadardafvigele med, bliver oget tørre ed før. I tedet for fraktiler i ormalfordelige kal ma u avede e Studet t-fordelig. Dette er ikke é, me e hel familie af fordeliger. Hvi der er obervatioer (midt ), kal ma avede e (Studet) t-fordelig med - frihedgrader. I ekemplet er der 4 obervatioer, dv. atal frihedgrader er 3. Øker vi et kofideiterval, der med adylighed 95% ideholder de ade me ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 97,5%- fraktile, om få i e tabel til 3,8. 6

7 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Itervallet berege derefter til [,95; 8,70]. Øker vi et i tedet et kofideiterval, der med adylighed 99% ideholder de ade med ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 99,5% fraktile, om få i e tabel til 5,84. Itervallet berege derefter til [0,55;,0]. Die kofideitervaller er om ma ka e temmelig meget bredere, ed da vi kedte predige. Det er å at ige traffe for ikke at kede predige. Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om dette geemittet afviger fra e targetværdi på 0=5,0. I forhold til tet r. er det ye, at vi aveder tadardafvigele om mål for predig, idet vi ikke har e på forhåd kedt værdi. Dette fører til, at ma aveder følgede tettørrele, om vi u kalder t0: t 0 x 0 / I ekemplet ovefor bliver t0 = 0,94. Spørgmålet er å, hvor tor e værdi (umerik) af t0 om fører til, at vi forkater atagele om e middelværdi = 5,0. Tettørrele fordelig Nu er der ikke lægere tale om, at tettørrele følger e (tadard) ormalfordelig. Når atallet af obervatioer er tort (f.ek. over 0), vil det dog være e god tilærmele, me år der er tale om få obervatioer, gælder det ikke lægere. I tedet for ormalfordelige kal ma u avede e Studet t-fordelig med - frihedgrader, hvi der er obervatioer. I ekemplet er der 4 obervatioer, dv. atal frihedgrader er 3. Hvi vi vælger et igifikaiveau på 5%, fide de kritike græe til 3,8 (97,5%-fraktile) i tabelle. Hvi vi vælger et igifikaiveau på %, fide de kritike græe til 5,84 (99,5%-fraktile) i tabelle. 7

8 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på 0,94. Dette ligger pæt uder de 3,8, hvorfor der ikke er tatitik belæg for at forkate atagele om, at middelværdie er lig med targetværdie. Dee atagele må altå acceptere (på 5%-iveau, og aturligvi ogå på %-iveau). Eidet tet Hvi vi f.ek. på forhåd ved, at det er umuligt at få et geemit uder target, avede et eidet tet: I ekemplet har vi et geemit på 5,85, der jo om forvetet er over de 5,0. I et eidet tet kal ma (for tet på 5%-iveau) ammelige tettørrele 0,94 med 95%-fraktile, i tedet for 97,5%-fraktile. I tabel over t-fordelige (med 3 frihedgrader) aflæe dee til,353. Vore atagele om, at geemittet er lig med target, bliver tadig accepteret. For et tet på %-iveau kal ma ammelige med 99%-fraktile, om er 4,54. 3 parvie obervatioer Baggrud Situatioe ka f.ek. være følgede: Vi har prøver, om hver er blevet aalyeret af to laboratorier. Vi er itereerede i at uderøge, om der er forkelle mellem de to laboratorier (og hvor tor forkelle er), hvorimod forkellee mellem prøver i dee ammehæg ikke er itereate. Formålet er derfor At etimere middelværdie D for forkelle mellem laboratorier amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie D ka atage at være lig med 0. Dette problem ka hådtere ved at tage differee mellem reultatere for de to laboratorier, idet det ku er forkelle mellem laboratoriere, om er itereat. De ekelte reultater for hvert laboratorium er herefter ikke relevate. 8

9 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Ekempel Laboratorium 4,6 8,5 4,9 5,3 Laboratorium 5,0 9,0 5,0 6,0 d d t 0 Differe 0,4 0,5 0, 0,7 4 0,4 0,5 3,4 Vi har laboratorier, og der er foretaget aalyer af 4 prøver. I førte række er vit reultatere for laboratorium, i ade række reultatere for laboratorium. Differee mellem reultatere (Laboratorium Laboratorium ) er vit i 3. række, amme med de relevate beregiger. Etimatio Middelværdie D for forkelle mellem laboratorier etimere ved geemittet af differeere d = 0,4. Kofideiterval Et kofideiterval for middelværdie D af forkelle mellem laboratorier ka berege på amme måde om i afit, dv. d t / d t / /, d d /, d I ekemplet er der 4 differeer, dv. atal frihedgrader er 3. Øker vi et kofideiterval, der med adylighed 95% ideholder de ade me ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 97,5%- fraktile 3,8. Itervallet berege derefter til [0,03; 0,8]. Øker vi i tedet et kofideiterval, der med adylighed 99% ideholder de ade med ukedte værdi af middelværdie, kal vi avede 99,5%-fraktile, om få i e tabel til 5,84. Itervallet berege derefter til [-0,3;,6]. Beregig af tettørrele Tetet er mage til tet r., idet predige af differeere i praki vil være ukedt. Vi ka derfor optille tettørrele 9

10 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 t 0 d d / I ekemplet får vi t0 = 3,4. Tettørrele fordelig Vi kal tete, om laboratoriere er e, dv. om middelværdie af differeere ka atage at være 0. I forhold til bekrivele af tet r. varer 0 derfor til target middelværdie. Som for tet r. følger dee tettørrele e (Studet) t-fordelig. Atallet af frihedgrader er ogå her -, idet vi har differeer. I ekemplet er der 4 differeer, dv. atal frihedgrader er 3. Kritike værdier er (om i ekemplet for tet r. ) hhv. 3,8 (97,5%- fraktile, igifikaiveau på 5%) og 5,84 (99,5%-fraktile, igifikaiveau på %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på 3,4. Dette ligger over 3,8, hvorfor vi må forkate atagele om, at laboratoriere er e (på 5%- iveau). Derimod ligger tettørrele 3,4 uder 5,84. På %-igifikaiveau vil vi altå acceptere atagele om, at laboratoriere er e. Eidet tet Hvi vi f.ek. på forhåd ved (af faglige grude), at laboratorium altid vil give reultater tørre ed reultatere for laboratorium, avede et eidet tet: Kritike værdier få (om i ekemplet for tet r. ) til hhv.,353 (5%-iveau, 95%-fraktile) og 4,54 (%-iveau, 99%-fraktile). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet: På 5%-iveau forkater vi, me vi på %-iveau accepterer atagele om, at laboratoriere er e. 0

11 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 4 to middelværdier, amme varia Baggrud Situatioe er u følgede: Vi har to grupper af uafhægige og ormalfordelte obervatioer. Dere predig tæke ukedt, me fælle for begge grupper. Middelværdie i begge grupper er ukedt. Formålet er At etimere forkelle mellem middelværdie i de to grupper amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie i de to grupper ka atage idetike. Er ma i tvivl, om det er rimeligt at atage, at de to grupper har amme predig, ka ma evt. avede tetet i afit 7. Ekempel Vi har f.ek. 4 getage måliger foretaget på é prøve og 3 getage måliger foretaget på e ade prøve. Vi vil uderøge, om de to prøver ka atage at være idetike. x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 Her er aført geemit, atal måliger amt tadardafvigele for hver prøve. Bemærk: Atallet af obervatioer i de to grupper behøver ikke at være idetike! To måliger i amme koloe har itet med hiade at gøre! Måligere fra amme prøve ka bytte rudt frit, de tår i vilkårlig rækkefølge. Etimatio I dette afit kal vi etimere middelværdie for begge grupper hver for ig, differee mellem die amt de fælle predig. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ).

12 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Differee - etimere ved x x = -0,85. De fælle predig etimere om e poolet ( geemitlig ) tadardafvigele for de to prøver ved hjælp af følgede formel: p ( ) ( ) Her er hhv. tadardafvigele og atal måliger i førte prøve, og tilvarede have heh. for prøve r.. I ekemplet få p = 0,365. Kofideiterval Et kofideiterval for forkelle mellem middelværdier, dv. differee -, ka berege ved hjælp af følgede formel: x x x x t /, t /, p p Her er kotate t /, de relevate fraktil i e t-fordelig med + frihedgrader, dv. i ekemplet er der 5 frihedgrader. Dee fraktil ka aflæe i tabel til,57 (for et 95%-kofideiterval) hhv. 4,03 (for et 99%-kofideiterval). I ekemplet får vi et 95%-kofideiterval [-,54; -0,] hhv. et 99%- kofideiterval [-,95; 0,30]. Beregig af tettørrele Vi kal u tete, om forkelle mellem middelværdier - ka atage at være 0. Ført berege e tettørrele t 0 p x x

13 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Her er x geemittet for prøve r., x er geemittet for prøve r., me p er fudet ovefor. I ekemplet få t0 = -,959. Tettørrele fordelig Ige følger tettørrele e t-fordelig. Atallet af frihedgrader er +, dv. i ekemplet er der 5 frihedgrader. Kritike værdier er hhv.,57 (igifikaiveau 5%) og 4,03 (igifikaiveau %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på,959. Dette ligger ude for itervallet fra -,57 til,57, hvorfor vi forkater atagele om, at middelværdiere er idetike (på 5%-iveau). Derimod ligger tettørrele,959 ide for itervallet 4,03 til 4,03, hvorfor vi på %-iveau må acceptere atagele om, at middelværdiere er idetike. Eidet tet Hvi vi på forhåd ved (af faglige grude), at prøve r. altid vil give tørre måleværdier ed prøve r., avede et eidet tet: Kritike værdier få til hhv.,05 (5% iveau) og 3,365 (%-iveau). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet. 5 to middelværdier, forkellig varia Baggrud Her er ituatioe om i afit 4, me vi ka (eller vil) ikke atage, at variae (predige) i de to grupper er idetike. Formålet er At etimere middelværdie for forkelle mellem grupper amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om middelværdie i de to grupper ka atage idetike. 3

14 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 I mage ituatioer vil predige afhæge af middelværdie ( iveauet ). Hvi ma på forhåd ikke ved, om middelværdiere er e, ka ma ikke automatik atage, at predigere er e. Det ka ogå være, at ma ført har uderøgt, om predigere er e (vha. tetet i afit 7), me dette er blevet forkatet. Ekempel Samme ekempel om i afit 4. Blot vil vi ikke atage, at de to prøver har amme predig. Etimatio x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 I dette afit kal vi etimere middelværdie og predig for begge grupper hver for ig, amt edvidere differee mellem middelværdiere. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ). Differee - etimere ved x x = -0,85. Spredige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,403, predige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,300. Kofideiterval Et kofideiterval for forkelle mellem middelværdier, dv. differee -, ka berege ved hjælp af følgede formel: x x x x t /, t /, 4

15 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Her er kotate frihedgrader. t de relevate fraktil i e t-fordelig med /, Atallet af frihedgrader er mere kompliceret ed før: ( / ( / ) / ) ( / ) Her får vi i ekemplet = 4,987. Dette afrude til = 5, hvilket er amme atal frihedgrader om i afit 4. Derfor bliver t-fraktilere de amme om i afit 4, dv.,57 (for et 95%-kofideiterval) hhv. 4,03 (for et 99%- kofideiterval). I ekemplet får vi et 95%-kofideiterval [-,5; -0,4] hhv. et 99%- kofideiterval [-,90; 0,5]. Beregig af tettørrele Nu kal vi ikke berege e fælle tadardafvigele, me bereger direkte følgede tettørrele: t 0 x x I tettørrele idgår altå udelukkede geemit, tadardafvigele og atal måliger for hver prøve. I ekemplet får vi t0 = -3,0. Tettørrele fordelig Her følger tettørrele med tilærmele e t-fordelig. Atallet af frihedgrader () er betemt ovefor til 5. Kritike værdier er hhv.,57 (igifikaiveau på 5%) og 4,03 (igifikaiveau på %). Kokluio Vi har i ekemplet fudet e tettørrele på -3,0. Dette ligger ude for itervallet fra -,57 til,57, hvorfor vi forkater atagele om, at middelværdiere er idetike (på 5%-iveau). 5

16 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Derimod ligger tettørrele -3,0 ide for itervallet 4,03 til 4,03, hvorfor vi på %-iveau må acceptere atagele om, at middelværdiere er idetike. Eidet tet Hvi vi på forhåd ved (af faglige grude), at prøve r. altid vil give tørre måleværdier ed prøve r., avede et eidet tet: Kritike værdier få til hhv.,05 (5%-iveau) og 3,365 (%-iveau). Kokluioe bliver her de amme om for et toidet tet. 6 é varia (predig) Baggrud Vi har e gruppe af uafhægige og ormalfordelte obervatioer x til x. Dere predig tæke ukedt, det gælder dermed ogå variae. Ligelede er middelværdie ukedt. Formålet er At etimere variae (eller predige ) amt agive et kofideiterval for dee. At tete, om variae ka atage at være lig med e på forhåd give værdi 0 (eller om 0). Dette tet ka f.ek. avede forud for tet r., hvi ma ikke er ikker på, om de kedte værdi af predige tadig ka avede. Ekempel Vi aveder amme data om for tet r. og. x x x 3 x 4 x 0 4,6 8,5 4,9 5,3 4 5,85,806,5 4,35 I dette ekempel er der 4 obervatioer, dv. =4. 6

17 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio Vi kal ført etimere både predige (tadardafvigele) og middelværdie (geemittet). Middelværdie () etimere ved geemittet x = 5,85. Spredige etimere u ved tadardafvigele =,806. Kofideiterval Ført kofideiterval for variae: I dette tilfælde er kofideitervallet pecificeret direkte ved i edre hhv. øvre græe (dv. det er ikke et ymmetrik iterval omkrig variae). Vi får u brug for e åkaldt -fordelig (Chi-i-ade, chi-quare ). Ligeom t-fordelige er dette e familie af fordeliger, hver med it atal frihedgrader. Her er atal frihedgrader (-). I ekemplet er =4, dv. atal frihedgrader er 3. Kofideitervallet for variae er: ( ) ( ) /, /, For et 95% kofideiterval er ævere i brøke hhv. 97,5%-fraktile (edre græe) og,5%-fraktile (øvre græe) i e -fordelig med 3 frihedgrader. Die ka aflæe i tabel til hhv. 0, og 9,35. Kofideitervallet få da til [,05; 45,36]. For et 99%-kofideiterval er ævere i brøke hhv. 99,5%-fraktile (edre græe) og 0,5%-fraktile (øvre græe) i e -fordelig med 3 frihedgrader. Die ka aflæe i tabel til hhv. 0,07 og,84. Kofideitervallet få da til [0,76; 36,46]. Kofideiterval for predige få impelthe ved at tage kvadratrode af græere i kofideiterval for variae. Dermed får vi følgede kofideitervaller for predige: 95% kofideiterval: [,0; 6,73]. 99% kofideiterval: [0,87;,68]. 7

18 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Beregig af tettørrele Vi atager fra mage tidligere aalyer, at predige (tadardafvigele) er kotat =,5 (dv. om =,5). Vore formål er at tete, om dee atagele tadig holder. Det vil være ærliggede at avede forholdet / om tettørrele. Her vil værdier lagt fra være kritike. Af tekike årager vil ma gage dee tettørrele med (-), hvor = atal obervatioer. Dv. ma aveder tettørrele 0 ( ) 0 Her vil værdier lagt fra (-) være kritike. I ekemplet får vi 0=4,35. Tettørrele fordelig Tettørrele følger -fordelig med - = 3 frihedgrader. Både må og tore værdier af 0 er kritike. På 5%-igifikaiveau ka de kritike værdier aflæe til 0, (,5%-fraktile) og 9,35 (97,5%-fraktile). På %-igifikaiveau få tilvarede de kritike værdier 0,07 (0,5%-fraktile) og,84 (99,5%-fraktile). Kokluio I ekemplet ligger tettørrele 0 = 4,35 mellem de kritike værdier på 5%-igifikaiveau 0, og 9,35. Dette betyder, at vi vil acceptere atagele om, at predige er,5 på 5%-iveau (og dermed ogå på %- iveau). Eidet tet Hvi ma på forhåd ved, at tadardafvigele ikke ka være midre (hhv. tørre) ed de give værdi, ka ma avede et eidet tet. Her bliver de kritike værdi på 5%-igifikaiveau 95%-fraktile (hhv. 5%-fraktile). På %-igifikaiveau kal ma avede 99%-fraktile (hhv. %-fraktile). I ekemplet er de beregede tadardafvigele =,806 tørre ed de på forhåd give værdi 0=,5. Hvi dette er oget, ma vidte på forhåd, ka 8

19 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 ma avede et eidet tet, hvor ma kal ammelige tettørrele 0 =4,35 med 95%-fraktile i e -fordelig med 3 frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 7,8. I dette tilfælde vil vi derfor acceptere atagele om, at predige er lig med de give værdi,5. 7 to variaer (prediger) Vi har to grupper af uafhægige og ormalfordelte obervatioer. Formålet er At etimere forholdet mellem variae i de to grupper amt agive et kofideiterval for dette. At tete, om variae i de to grupper ka atage idetike. Dette tet ka ma f.ek. avede forud for tet r. 4 hvi ma ikke er ikker på, om de to grupper har amme varia. Ekempel Vi aveder amme data om i afit 4. Vi vil uderøge, om variae (predige) i de to prøver ka atage at være idetike. x i i i Prøve 3,6 4,5 3,9 4,3 4, ,403 Prøve 4,6 5, 4,9 4, ,300 Her er aført geemit, atal måliger amt tadardafvigele for hver prøve. Etimatio I dette afit kal vi etimere middelværdie og predig for begge grupper hver for ig, amt edvidere forholdet mellem variaere. Middelværdie i gruppe () etimere ved x (geemittet for prøve r. ), tilvarede etimere middelværdie i gruppe () ved x (geemittet for prøve r. ). Spredige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,403, predige i gruppe () etimere ved tadardafvigele =0,300. Dv. at forholdet mellem variaere etimere ved 9

20 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Dee tørrele berege til,806. Kofideiterval Vi får u brug for e F-fordelig. Dette er e familie af fordeliger, om har to atal frihedgrader, et for tællere og et for ævere. Dv. vi kal avede e F-fordelig med (3,) frihedgrader, idet atal frihedgrader for tællere er 3 (vi har 4 obervatioer), me atal frihedgrader for ævere er (vi har 3 obervatioer). Kofideitervallet for bliver F /,, F /,, For et 95%-kofideiterval aveder vi 97,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 39,. Edvidere har vi brug for,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka få om det reciprokke af 97,5%-fraktile i e F- fordelig med (,3) frihedgrader (NB: Byt om på frihedgradere!). Ma får derved,5%-fraktile til /6,0=0,065. Kofideitervallet få da til [0,; 70,8]. For et 99%-kofideiterval aveder vi 99,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka aflæe i tabel til 99. Edvidere har vi brug for 0,5%-fraktile i e F-fordelig med (3,) frihedgrader. Dee ka få om det reciprokke af 99,5%-fraktile i e F- fordelig med (,3) frihedgrader (NB: Byt om på frihedgradere!). Ma får derved,5%-fraktile til /49,8=0,00. Kofideitervallet få da til [0,036;359]. Beregig af tettørrele Det vil være ærliggede at avede forholdet mellem de to beregede variaer om tettørrele. Dv. vi aveder tettørrele 0

21 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 F 0 / Værdier lagt fra er kritike. Ma kue lige å godt avede tettørrele /F0 = /. Af tekike årager vil ma ørge for altid at avede de tørte af die to tørreler. I ekemplet får vi F0 =,805. Dermed er /F0 = 0,554. I dette tilfælde avede F0. Tettørrele fordelig Tettørrele følger e F-fordelig. Dette er e familie af fordeliger, om har to atal frihedgrader, et for tællere og et for ævere. I ekemplet aveder vi F0 = /. Dv. vi kal avede e F-fordelig med (3,) frihedgrader, idet atal frihedgrader for tællere er 3 (vi har 4 obervatioer), me atal frihedgrader for ævere er (vi har 3 obervatioer). Da vi har valgt de tørte af de to mulige tettørreler F0 og /F0, er det ku tore værdier, om er kritike. Me der er tadig tale om et toidet tet. Derfor kal vi ku ammelige tettørrele med 97,5%-fraktile i F- fordelige (5%-igifikaiveau) = 39,7 hhv. 99,5%-fraktile (%- igifikaiveau) = 99,6. Kokluio I ekemplet er tettørrele F0 =,805 midre ed 39,7 (97,5%-fraktile), vil vi acceptere atagele om, at de to variaer (prediger) er idetike. Eidet tet Atag f.ek., at vi på forhåd vidte, at variae (predige) i gruppe ville være tørre ed i gruppe. I å fald kal vi i tedet ammelige med 95%-fraktile (tet på 5%-igifikaiveau) hhv. 99%-fraktile (%-iveau). I tabel over F-fordelige med (3,) frihedgrader aflæe 95%-fraktile til 9,6, me 99%-fraktile aflæe til 99,6. Kokluioe bliver tadig, at vi accepterer atagele om, at de to variaer (prediger) er idetike.

22 af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Referecer ISO 854: Statitical Iterpretatio of data Techique of etimatio ad tet relatig to mea ad variace. (Omhadler alle tet, r. r. 7). ISO 330: Statitical Iterpretatio of data Compario of two mea i the cae of paired obervatio. (Omhadler pecielt tet r. 3 mere detaljeret).

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE

BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE Joh Dalgaard Søree Itituttet for Bygigtei Aalborg Uiveritet Idhold:. Idledig....

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen Program Statitik og Sandynlighedregning 2 Normalfordelingen venner og bekendte Helle Sørenen Uge 9, ondag Reultaterne fra denne uge kal bruge om arbejdhete i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen,

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast Det krå kat Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling:

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner Statiti arateritie værdier BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER beteele af arateritie værdier for aterialearaetre og odtadever etode i ae A i DS 409 (DS 409: Sierhedbeteeler for Kotrtioer, 999) baeret

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret

Læs mere