1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller Generaliseret system Betonelementdæk 6
|
|
- Dorte Brandt
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk 6 5 Beregning f lstvirkning 5. Beregning f ccelertion 7 5. Beregning f ækvivlent sttisk lst 7 5. Resonsnlyse 8 6 Beregning og vurdering f ccelertioner fr gnglst 0 Eksemel 7 Beregning og vurdering f ccelertioner fr rytmisk ersonlst Eksemel 8 Referencer
2 Side f Indledning I dette fsnit gennemgås en beregningsmodel til vurdering f vibrtionskomforten i dækkonstruktioner med dynmisk ersonlst, bseret å EN 99-- DK NA:007. Der skelnes mellem gng og koordinerede bevægelser fr ersoner (rytmisk ersonlst). I første kitel beskrives bggrunden for de funktionskrv, som konstruktionen skl ofylde for t fungere tilfredsstillende. Krvene er bseret å EN 990 DK NA:007. I de følgende kitler beskrives lstmodel, konstruktionsmodel og beregning f lstvirkning. Til sidst vises to eksemler å eftervisning f vibrtionskomfort i en kontorbygning og et fitnesscenter. Komfortkriterier Svingninger f dækkonstruktioner vurderes i forhold til den ccelertion som belstningen fremklder i konstruktionen. Under svingningen vrierer konstruktionens ccelertion mellem 0 og en mksiml værdi. Accelertionen kn enten ngives som den mksimle ccelertion i svingningen ( mx ) eller sredningen å ccelertionen (σ ). Hvis den tidsmæssige vrition f svingningen følger en sinusfunktion er σ mx. Af og til ses bevægelsens intensitet også ngivet i db (i forhold til 0-6 m/s ): db 0 En sredning å ccelertionen å 0,0 m/s svrer således til 80 db. / I det følgende nvendes sredningen å ccelertionen (σ ) som mål for bevægelsens intensitet. I udenlndsk littertur benævnes sredningen å ccelertionen ofte rms (root-men-squre) værdien f ccelertionen. Accetgrænser fhænger f mnge forhold, herunder retning i forhold til rygrden, frekvens og hyighed f betydende svingninger. Mennesker er særligt følsomme for lodrette svingninger (i rygrdens retning) i frekvensintervllet -8 Hz, idet menneskets lveste egenfrekvens er i størrelsesordenen 5 Hz. Tolerncen over for ccelertioner er derfor særligt lv omkring denne frekvens. Hyigheden f betydende svingninger fhænger f risikoen for, t belstningens frekvens flder smmen med gulvets egenfrekvens (gngresonns). Gulvkonstruktioner udført f TT-dæk kn hve flere tætliggende egenfrekvenser end gulvkonstruktioner udført f huldæk og dermed større hyighed f betydende svingninger. Der er dog å nuværende tidsunkt ikke tilstrækkeligt grundlg for t differentiere ccetgrænser mellem de to dæktyer. Grænser for ccetble svingninger kn bl.. findes i ISO 6-:989, hvor udgngsunktet er en bsiskurve som ngiver tærskelværdier for ccelertioner i særligt kritiske rbedsområder, som for eksemel oertionsstuer å hositler og visse lbortorier. Ud fr denne bsiskurve fstsættes komfortgrænsen for ndre nvendelser ved t multilicere bsiskurven med en fktor.
3 Side f For boliger foreslås en multiliktionsfktor å, om ntten og - om dgen. For kontorreler foreslås en multiliktionsfktor å. Grænser for ccetble svingninger i boliger og kontorer ved forskellige frekvenser er vist å nedenstående figur. Grænseccelertioner, ISO 6- Sredning å ccelertionen [m/s] 0,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 Bsiskurve (særligt følsomme områder) Fktor, (Boliger, nt) Fktor (Boliger, dg) Fktor (Kontor) 0,0 0,0 0,0 0,0 0, f [Hz] Figur Grænseccelertioner (ISO 6-:989) For en uddybning f ovenstående henvises til B.C. Jensen og S. O. Hnsen: Bygningsberegninger, 00", ref []. I EN 990 DK NA:007 er ccetble sredninger å ccelertionerne (σ ) simlificeret til - 0, % f tyngdeccelertionen for boliger, svrende til 0,0 m/s - 0, % f tyngdeccelertionen for kontorer, svrende til 0,0 m/s - 0 % f tyngdeccelertionen for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler, svrende til m/s. For t undgå, t krvene overskrides kn konstruktionens egenfrekvens holdes over en ssende grænsefrekvens, der fhænger f konstruktionstye og belstning. Hvis konstruktionens egenfrekvens er lvere bør konstruktionens ccelertioner for den ktuelle belstning beregnes og smmenholdes med de ngivne krv til sredning å ccelertionen.
4 Side f I EN 990 DK NA:007 ngives følgende grænser for konstruktionens lveste egenfrekvens som normlt fører til en tilfredsstillende funktion - 8 Hz for kontorer og boliger - 0 Hz for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler Tilsvrende ngives, t funktionen ofte ikke er tilfredsstillende såfremt lveste egenfrekvens er mindre end - 5 Hz for kontorer og boliger - 6 Hz for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler. Lstmodel For t kunne beregne virkningerne f den dynmiske lst, er det nødvendigt t tilnærme lsten med en sum f belstninger, der vrierer som sinusfunktioner f tiden, f. EN 99-- DK NA:007, k. C.. Personlsten modelleres som en fourierrække bestående f en sttisk lst og tre hrmoniske lstkomonenter med bevægelsesfrekvensen, x bevægelsesfrekvensen og x bevægelsesfrekvensen. ql F + α K sin( ω t + ϕ ),, hvor - F er gennemsnitlig sttisk ersonlst r. m - ω πn er den cykliske bevægelsesfrekvens - α er mlitudefktoren for den 'te hrmoniske lstkomonent - K størrelsesreduktionsfktoren for den 'te hrmoniske lstkomonent, der er en fktor som tger hensyn til t ersonernes bevægelser ikke er fuldt korrelerede. Ved fuldt korrelerede åvirkninger er K. Modellen er illustreret å nedenstående fig.. q L F + α K,, sin( ω t + ϕ ) Sttisk lstndel: F. hrmoniske lstkomonent: F αk sin( ω t. hrmoniske lstkomonent: F α K sin(ω t). hrmoniske lstkomonent: F α K sin(ω t) ) Figur Fourierudvikling f eriodisk funktion. Figuren illustrer det mtemtiske rinci (F (t) å øverste figur er i rksis nturligvis ltid større end 0).
5 Side 5 f Konstruktionsmodeller. Generliseret system Såfremt mn kun ønsker t undersøge en svingningsform, kn den virkelige konstruktion beregningsmæssigt erstttes f et system med en frihedsgrd, bestående f en msse ohængt i en lineær feder og en viskos dæmer. Ved beregningen erstttes konstruktionens msse, stivhed og lst f den generliserede msse, generliserede stivhed og generliserede krft. Metoden er nærmere beskrevet i f.eks. "B.C. Jensen & S.O. Hnsen: Bygningsberegninger, 00, ref [] og "B. Bonneru, B.C. Jensen og C.M. Plum: Stålkonstruktioner efter DS/EN 99, 008, ref [5]. Modellen er illustreret å nedenstående figur. Figur Én frihedsgrds model med lineær feder og viskos dæmer Cyklisk egenfrekvens: ω k m Egenfrekvens: ω n π I nedenstående tbel er de generliserede størrelser ngivet for - en simelt understøttet bælke med ævnt fordelt msse w og sændvidde l. π x Skønnet svingningsform: ψ ( x) sin l - en rektngulær isotro lde med ævnt fordelt msse w simelt understøttet lngs lle fire sider. Længde l og bredde b. π x π y Skønnet svingningsform: ψ ( x, y) sin sin l b ν betegner Poissons forhold. I tbellen er endvidere ngivet den generliserede krft for en enkeltkrft, F F 0 sin( ω t) å midten og en ævnt fordelt lst, 0 sin( ω t) De generliserede størrelser er især rktiske i regnerk med ldeberegninger, idet der ikke findes færdige formler for nedbøningen f lder. Ved bælkeberegninger er det ofte nemmere t bruge færdige formler for egenfrekvens og nedbøning fr f.eks. teknisk Ståbi.
6 Side 6 f Konstruktion Generliseret msse (m) Generliseret stivhed (k) Generliseret krft (enkeltkrft å midten) Generliseret krft (ævnt fordelt lst) Simel bælke w l π E I l F0 sin( ω t) l 0 sin( ω t) π Plde w b l EI π π l b + l b ν F sin( ω ) 0 t b l sin( ω t) π 0 Tbel. Generliserede størrelser for simel bælke og lde med enkeltkrft og ævnt fordelt lst. Betonelementdæk Dækkonstruktioner udført f huldækelementer understøttet å lle fire sider kn beregnes som isotroe lder med stivhed svrende til dækelementernes sændretning, såfremt forholdet mellem sændvidde og feltlængde er mindre end c.,5, f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]. For dækkonstruktioner udført f huldækelementer som kun er understøttet å to sider, regnes den medvirkende ldebredde mksimlt lig med sændvidden, f. ATC Design Guide. Minimizing Floor Vibrtion by, 999, ref. []. For ribbedækkonstruktioner (TT-dæk) kn f. ATC Design Guide. Minimizing Floor Vibrtion by, 999, ref. [] regnes med følgende medvirkende ldebredder: - For ribbedækkonstruktioner uden konstruktiv overbeton kn den medvirkende bredde mksimlt regnes til / f sændvidden. - For ribbedækkonstruktioner med konstruktiv overbeton kn den medvirkende bredde mksimlt regnes til / f sændvidden. Stivhed Det dynmiske elsticitetsmodul for betondækelementer kn vælges 0 % høere end begyndelseselsticitetsmodulet for beton: E dyn, E cok, f ck f ck + hvor f ck og E cok regnes i MP. For huldækkonstruktioner kn normlt regnes med E MP, f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]. For lder kn Poissons forhold (ν) sættes til 0,.
7 Side 7 f 5 Beregning f lstvirkning Konstruktionens skl i henhold til EN 99-- DK NA:007, k. C.5, undersøges for følgende bevægelsesfrekvenser - Resonns, hvor bevægelsesfrekvensen fsses således, t den lveste hrmoniske lstkomonent hr smme frekvens som konstruktionens egenfrekvens - Størst mulig bevægelsesfrekvens 5. Beregning f ccelertion Udbøningen f konstruktionen kn beregnes som den sttiske udbøning gnge frekvensresonsfktoren, H: u H usttisk sin( ω t) hvor frekvensresonsfktor er givet ved H ( η) ( η ) + ς η (5.-) η: Frekvensforhold lstfrekvens/egenfrekvens ζ: Dæmningsforholdet summen f konstruktionens dæmning og ersonernes dæmning. Bemærk t EN 99-- DK NA:007 ngiver dæmningen ved det logritmiske dekrement, δ π ζ H er fbilledet å nedenstående fig., side. Mksiml frekvensfktor H mx fås hvor η (resonns, dvs. lstfrekvens egenfrekvens). ζ Accelertion findes herefter ved t differentiere udbøningen to gnge med hensyn til tiden: d u H u sin( t) sttisk ω ω dt Herf fås den mksimle ccelertion: mx H ω u (5.-) sttisk Sredning å ccelertionen: 5. Beregning f ækvivlent sttisk lst Af formel (5.-) ses, t den sttisk ækvivlente lst for en hrmonisk vrierende lst, FF 0 sin(ω t) kn beregnes som F s H F 0 sin( ω t) hvor F 0 er åvirkningens mlitude. I lstmodellen er belstningen smmenst f en sttisk lst og hrmoniske lstkomonenter. Den smlede sttisk ækvivlente lst er således summen f den sttiske lst og de sttisk ækvivlente hrmoniske lster.
8 Side 8 f Udtrykket er egentlig ikke helt korrekt, idet krften i fstholdelsen er summen f federkrften og dæmningskrften. Krften er ikke størst ved mksiml udbøning (hvor hstigheden og dermed dæmningskrften er 0). I stedet for H, skulle nvendes forstærkningen: D + ς η ( η ) + ς η I rksis er D H, idet ζ η næsten er nul. I det følgende nvendes udtrykket H for forstærkningen. 5. Resonsnlyse Msse Den kritiske lstfrekvens er normlt konstruktionens egenfrekvens (resonns). Udtrykkes den sttiske nedbøning og den cykliske egenfrekvens ved den generliserede stivhed k, den generliserede msse m og den hrmoniske lsts mlitude F fås: F u sttisk og ω k k m Indsættes disse størrelser i udtrykket for den mksimle ccelertion fås Herf ses, t ccelertionen er omvendt roortionl med den medsvingende msse. Alt ndet lige betyder en fordobling f mssen således en hlvering f ccelertionen. En forøgelse f mssen medfører dog også en mindre egenfrekvens, som kn resultere i, t der skl nvendes en større mlitudefktor α. Eksemel Hvis dækkets egenfrekvens ved en lille medsvingende msse er 5, Hz er mlitudefktoren for den kritiske lstkomonent α 0,06, svrende til en bevægelsesfrekvens å 5,/,7 Hz ved gngresonns. Hvis dækkets egenfrekvens med en lidt større medsvingende msse bliver,8 Hz er mlitudefktoren for den kritiske lstkomonent α 0,, svrende til en bevægelsesfrekvens å,8/, Hz ved gngresonns. Alt ndet lige betyder dette ltså en forøgelse f ccelertionen å 67 % (lt ndet er ikke lige, idet bl.. mssen er forøget, hvilket betyder en formindskelse f ccelertionen roortionlt med mssen). Det er derfor vigtigt, t regne med lidt forskellige forudsætninger når mn nlyserer sin dækkonstruktion.
9 Side 9 f Lstfrekvens og dæmning Frekvensresonsfktoren H er illustreret å nedenstående figur. Frekvensresonsfktor, H ,7 0 0, ζ 0,0 ζ0,0 ζ0,0 0,0 Figur Frekvensresonsfktoren som funktion f frekvensforholdet for dæmningsforholdene ζ 0,0, 0,0 og 0,0. Af figuren ses, t 0, 0 Frekvensforhold, η lstfrekvens/egenfrekvens - hvor lstfrekvensen er væsentlig mindre end konstruktionens egenfrekvens kn lsten regnes sttisk (kvsisttisk lst). - hvor lstfrekvensen er nær konstruktionens egenfrekvens sker der en betydelig forstærkning f den sttiske lst. Ved et tyisk dæmningsforhold å 0,0 forstærkes lsten således med en fktor 5. Jo større dæmningsforholdet er, o mindre er forstærkningen. - hvor lstfrekvensen er større end gnge konstruktionens egenfrekvens sker der en dæmning f lsten. Dæmningsforholdet er smmenst f to bidrg. Et bidrg fr ersondæmningen og et bidrg fr konstruktionens dæmning. Persondæmningen tger hensyn til, t lle ersoners bevægelser ikke otræder ved kun en frekvens (nogle virker som dæmere ). Der skelnes mellem to tyer konstruktionsdæmning - Modldæmning, som ngiver dæmningsforholdet ved en vedvrende svingning - Dæmning fr måling f en stødåvirkning, hvor mlitudereduktionen måles efter stødåvirkningen ("Log-decrement dming")
10 Side 0 f Modldæmningen, som er relevnt ved beregning f vibrtioner fr gng og rytmisk lst, er c. hlvdelen f Log-decrement dming. Modldæmningen for en dækkonstruktion fhænger meget f indretningen og ikke-bærende komonenter (lette skillevægge, lofter, møbler mm). Dæmningsforholdet for den rå konstruktion kn være meget lv (ζ < 0,0). Ikke-bærende komonenter kn medføre t dæmningsforholdet øges helt o til ζ 0,05. Eksemler å tyiske dæmningsforhold (smlet modldæmning fr konstruktion og ersoner): - Trækonstruktioner ζ 0,0 (EC 5, k. 7.. ()) - Præfbrikerede betonkonstruktioner (med ræfb. beton- eller stålbælker) - gngreler ζ 0,0 (ATC Design Guide) - irløst kontor med få skillevægge (nvendes normlt) ζ 0,0 (ATC Design Guide) - lmindeligt møbleret kontoretge med lve skillevægge ζ 0,0 (ATC Design Guide) - indretning med cellekontorer og etgehøe skillevægge ζ 0,05 (ATC Design Guide) 6 Beregning og vurdering f ccelertioner fr gnglst Som det fremgår f fsnit 5 kræver beregning f den mksimle ccelertion kun kendskb til nedbøningen fr den sttiske lst i det kritiske unkt, konstruktionens egenfrekvens og dæmningsforholdet. Accelertionen kn herefter beregnes f formel (5.-). Konstruktionen skl undersøges for følgende bevægelsesfrekvenser - Resonns, hvor bevægelsesfrekvensen fsses således, t den lveste hrmoniske lstkomonent hr smme frekvens som konstruktionens egenfrekvens - Størst mulig bevægelsesfrekvens Ved resonns er det normlt kun ccelertionen fr den lstkomonent som er i resonns med konstruktionen, der hr betydning (se eksemel ). Ved størst mulig bevægelsesfrekvens beregnes den smlede sredning å ccelertionen som kvdrtroden f kvdrtsummen å de tre ccelertioner, dvs sredningen å ccelertionen kn således bestemmes f σ + + hvor er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent Den mksimle ccelertion fr den i'te hrmoniske lstkomonent er f. formel (5.-): i H i ui, sttisk ω
11 Side f Ved vurdering f vibrtionskomforten regnes normlt kun med t én erson går å dækket. Personens vægt sættes til 0,75 kn og det ntges t ersonen går midt å dækket. Accelertionen fr n ersoner som bevæger sig ufhængigt f hinnden findes som ccelertionen fr én erson x kvdrtroden f ntl ersoner. Generelt kn sredningen å ccelertionen fr n ersoner således bestemmes f σ ( α KHω usttisk ) + ( α K H (ω ) usttisk ) + ( α K H (ω ) usttisk ) hvor - u sttisk er nedbøningen for den sttiske ersonlst (n ersoner) - ω π n er ersonernes cykliske bevægelsesfrekvens - n er bevægelsesfrekvensen for ersonerne - H er den 'te hrmoniske lstkomonents frekvensresonsfktor - K er størrelsesreduktionsfktoren, K idet korreltionskoefficienterne kn sættes til 0 (ersonerne n bevæger sig ufhængigt f hinnden) - α er mlitudefktoren (fourierkoefficienten for den 'te hrmoniske lstkomonent) - n ntl ersoner Sredningen å ccelertionen skl smmenholdes med ccetkrvene i EN 990 DK NA:007, tbel A. for boliger og kontorlokler. I rktiske beregninger er det meget vigtigt t hve styr å enhederne. Det nbefles, t benytte enhederne m (længde), N (krft), kg (msse) og s (tid). Herved undgås fel i dimensioner, idet N kg m/s. Eksemel Konstruktion og nvendelse Gulvkonstruktion i kontorbygning med storrumskontorer udført f 0 mm forsændte huldækelementer. Sændvidde:,00 m. Længde: 0,00 m. Gulvfeltet er understøttet å betonelementvægge lngs fire sider. Belstning Medsvingende msse Egenvægt, 0 mm huldæk 0 kg/m Linoleum å tynduds og nedhængt loft/instlltioner 60 kg/m² Nyttelst fr ersoner, inventr m.m. ( rbedslds r. 0 m² med 0 m hyldelds) 70 kg/m² I lt 50 kg/m
12 Side f Dynmisk ersonlst Vægt f én erson: 0,75 kn Belstningens grundfrekvens ligger ifølge EN 99-- DK NA:007, tbel C. imellem,6 og, Hz. Amlitudefktorerne er: α 0, (. hrmoniske) α 0, (. hrmoniske) α 0,06 (. hrmoniske) Tværsnit og mteriler Inertimoment (r.,0 m) : I,95 0 m /m. Dæmningsforhold: ζ 0,0 (det logritmiske dekrement: ζ s π 0,0 0,6). Elsticitetsmodul (B5) : E Ν/m (f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]). Beregning Konstruktionens egenfrekvens Generliseret msse: m w b l 8600 kg Generliseret stivhed: EI π π l b 7 k 5,78 0 N/ m + l b ν Lveste cykliske egenfrekvens: ω k / m,8 s -, svrende til n ω / π 5,9 Hz. Herf ses, t den. hrmoniske lstkomonent er kritisk ved en bevægelsesfrekvens å 5,9Hz/,8 Hz (som ofylder krvet til t bevægelsesfrekvensen skl ligge i intervllet,6-, Hz). GANGRESONANS ACCELERATION FRA KRITISK LASTKOMPONENT Sttisk nedbøning for en enkeltkrft å 0,75 kn midt å lden: F 5 usttisk 750,0 0 m 7 k 5,78 0 Mksiml ccelertion for den. hrmoniske lstkomonent (α 0,06): sttisk ς 0,0 svrende til en sredning å ccelertionen å σ mx 0,06 m/ s 5 7 mx ω u,8 (0,06, 0 ) 5,8 7,8 0 0,0 / m s,
13 Side f Hvilket er mindre end komfortkrvet til kontorer. GANGRESONANS ALLE LASTKOMPONENTER. hrmoniske lstkomonent,,8 Hz. α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0008 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,.8 Hz,66 Hz. α 0,. H,80. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,00 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,.8 Hz 5,9 Hz. α 0,06. H 5. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0, ,00 + 0,0 STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n, Hz. hrmoniske lstkomonent,, Hz 0,07 m/ s α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,005 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz,8 Hz α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0050 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz 7, Hz α 0,06. H,8. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,00 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0, , ,00 0,00 m / s Herf ses, t ccelertionen i tilfældet med gngresonns helt og holdent er bestemt f den kritiske lstkomonent. Det ses endvidere, t størst mulig bevægelsesfrekvens ikke er kritisk. Konstruktionen ofylder ccetkrvet til kontorlokler, idet sredningen å ccelertionen er mindre end 0,0 m/s. 7 Beregning og vurdering f ccelertioner fr rytmisk ersonlst Beregningen f rytmisk ersonlst dskiller sig fr ovenstående ved t flere ersoner bidrger til belstningen mere eller mindre koordineret. Virkningen f ersonernes åvirkning fhænger f korreltionen mellem de enkelte ersoners åvirkning. Fuldt korrelerede åvirkninger svrer til en korreltionskoefficient ρ, dvs ersonerne bevæger sig fuldstændig i tkt og giver den mksimle åvirkning. Den smlede
14 Side f virkning bliver væsentlig mindre når de enkelte åvirkninger er ukorrelerede. Når åvirkningen fr den enkelte erson er ufhængig f åvirkningen fr de øvrige ersoner, er korreltionskoefficient ρ 0. På grundlg f korreltionskoefficienten beregnes størrelsesreduktionsfktoren for den te hrmoniske åvirkning K ρ ρ +, hvor n eff er det effektive ntl ersoner. n eff Det interessnte er, t korreltionskoefficienten fhænger f frekvensen. For koordineret fri bevægelse er ρ,0, ρ 0, og ρ 0,0. For 50 ersoner giver det for eksemel K 0,, svrende til en reduktion å 76 %. Hvis konstruktionens egenfrekvens ligger mellem 6 Hz og 9 Hz stmmer åvirkningen i det væsentlige fr den. hrmoniske lstkomonent i resonns med konstruktionens egenfrekvens, d bevægelsesfrekvensen mksimlt kn ntge værdien Hz. Konstruktionens ccelertion bliver således gnge mindre end hvis ersonerne hvde bevæget sig fuldstændig i tkt. Beregningsrocedure og formler er udførligt beskrevet i EN 99-- DK NA:007, nneks C. Den teoretiske bggrund og de bgvedliggende forsøg er beskrevet i S.O. Hnsen & J.D. Sørensen: Dynmic lods due to synchronized movements of eole, 00, ref []. I det følgende vises et rktisk eksemel å nvendelse f beregningsmetoden. Ved beregning f den smlede lstvirkning ved den størst mulige bevægelsesfrekvens multiliceres kvdrtroden f kvdrtsummen f de enkelte lstkomonenter med,5, når ingen f lstkomonenterne er i resonns med konstruktionen k F ( α K H ),, 5 Lstvirkning, ækvivlent sttisk lst og ccelertion beregnes først ved nvendelse f formlerne i fsnit 5. Til sidst vises en gennemregning direkte ved nvendelse f formlerne i EN 99-- DK NA:007, fsnit C. og C.5. Det er lene reglerne for reduktion f lsten (størrelsesreduktionsfktorerne) og summeringen f bidrgene fr de enkelte lstkomonenter ved beregningen f ækvivlent sttisk lst som er særlige for rytmisk ersonlst. Eksemel Konstruktion og nvendelse Gulvkonstruktion i fitnesscenter bestående f 5 stk. TT 60 elementer á, m med 60 mm overbeton. Sændvidde:,90 m. Belstning: EN 99-- DK NA:007, nneks C, tbel C.: Lstgrue "Fri bevægelsesmulighed". Gulvet beregnes for en gennemsnitlig sttisk ersonlst å 0,5 kn/m (svrende til 0,67 ersoner r. m, hvilket er en meget hø værdi). I lt,90 x 55 m², svrende til ntl ersoner n 0, Tværsnit og mteriler Inertimoment (r.,0 m) : I 7,98 0 m, svrende til 7, m for hele gulvet. Modstndsmoment for undersiden: W 0,07 m (r.,0 m).
15 Side 5 f Dæmningsforhold: ζ 0,0 (det logritmiske dekrement: ζ s π 0,0 0,6). Dynmisk elsticitetsmodul (B5): E , 5000 MP N m,7 0 / Lst Egenvægt, inklusiv gulv: Sttisk ersonlst: m 55 kg/m 60 kg/m. m 50 kg/m 600 kg/m. Fourierkoefficienterne (mlitudefktorerne) er: α,6 (. hrmoniske) α,0 (. hrmoniske) α 0, (. hrmoniske) Korreltionskoefficienterne er: ρ ρ 0, ρ 0,0 Beregning Konstruktionens egenfrekvens. I henhold til EN 99-- DK NA:007 skl lst, der fremkldes f bevægelige msser (herunder ersoner), medtges i beregningsmodellen. Medsvingende msse: µ kg/m. Lveste cykliske egenfrekvens (se f.eks. teknisk ståbi): ω 9,87/l EI / µ,5s -, svrende til f ω / π 6,9 Hz. RESONANS Bevægelsesfrekvensen n ligger ifølge EN 99-- DK NA:007, tbel C. imellem 0,5 og Hz. I det følgende regnes med, Hz, således t den. hrmoniske lstkomonent giver resonns (6,9 Hz x, Hz). Det effektive ntl ersoner beregnes iht EN 99-- DK NA:007, fsnit C. (): Det effektive ntl ersoner for. og. hrmoniske lstkomonent: n e 0 78 Det effektive ntl ersoner for. hrmoniske lstkomonent (som er i resonns med konstruktionen): 8 n e 0 8 π Størrelsesreduktionsfktorerne beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C, formel C til:
16 Side 6 f. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ), , + ( 0,) 0, ,0 + ( 0,0) 0,0. 8 Frekvensresonsfktorerne kn herefter beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C formel C6 til:. hrmoniske H,, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 80, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H 5, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) Den sttisk ækvivlente nyttelst er "summen" f den sttiske lst og de sttisk ækvivlente nyttelster fr hver f de hrmoniske lstkomonenter Sttisk lstkomonent 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,,6,0 0,50 kn/m 0,90 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,80,0 0,56 0,50 kn/m 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K 5 0, 0, 0,50 kn/m 0,50 kn/m Sttisk ækvivlent nyttelst 0,50 + 0,90 + 0,50 + 0,50,6 kn/ m, er resonsfordelingsfktoren. Når en enkelt hrmonisk lstkomonent er dominerende regnes. I ndre situtioner regnes,5. I dette tilfælde regnes, d det er den. hrmoniske lstkomonent som er dominerende. Ved undersøgelsen med størst mulig bevægelsesfrekvens ( Hz) regnes,5. Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) Sttisk nedbøning for nyttelsten: 6000,9 8,7 0 7, u 5 5, l 8 EI m
17 Side 7 f RESONANS. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz. α,6. K,00. H,. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk 0, m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz,60 Hz. α,0. K 0,56. H,80. Mx ccelertion: ( π α s,mx H n ) K usttisk 0,9 m/. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 6,90 Hz. α 0,. K 5. H 5. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk,08 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0, + 0,9 +,08 0,85 m/ s, svrende til 8,5% g. Sredningen å ccelertionen vurderes ikke t være for stor, idet den er under den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n Hz. Det effektive ntl ersoner: n e 0 78 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen. Størrelsesreduktionsfktorerne:. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ), , + ( 0,) 0, ,0 + ( 0,0) 0,. 78
18 Side 8 f Frekvensresonsfktorerne :. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 06 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) Sttisk lstkomonent 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,,6,0 0,50 kn/m 0,98 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,06,0 0,56 0,50 kn/m, kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K, 0, 0, 0,50 kn/m 0,0 kn/m Sttisk ækvivlent nyttelst 0,50 + 0,98 +, + 0,0,6 kn/ m,,5 Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen). hrmoniske lstkomonent,,0 Hz α,6. K,00. H,. Mx ccelertion: ( π α s,mx H n ) K usttisk 0,0 m/. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 6,0 Hz α,0. K 0,56. H,06. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk,87 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 9,0 Hz α 0,. K 0,. H,. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk 0,0 m/ ( s
19 Side 9 f Sredningen å ccelertionen: σ 0,0 +,87 + 0,0,5 m / s svrende til,5 % g. Sredningen å ccelertionen er således større end den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. BEREGNING VED ANVENDELSE AF FORMLERNE I EN 99-- DK NA:007, AFSNIT C. og C.5. RESONANS Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) I henhold til EN 99-- DK NA:007, fsnit C. () beregnes den sttisk ækvivlente lst som F ( + k ) F s F hvor F betegner den gennemsnitlige ersonlst og k F betegner lstresonsfktoren F k ( α K H ) er resonsfordelingsfktoren. Når en enkelt hrmonisk lstkomonent er dominerende regnes. I ndre situtioner regnes,5. I dette tilfælde regnes, d det er den. hrmoniske lstkomonent som er dominerende. Ved undersøgelsen med størst mulig bevægelsesfrekvens ( Hz) regnes,5. k F (,6,0,) + (,0 0,56,8) + (0, 0, 5),9 Som giver en stødfktor å ( +,9), 9 Herf fås den mksimle sttisk ækvivlent fldelst skl dimensioneres for (krkteristisk værdi). F s ( kn m kn m +,9) 0,5 /,65 / som dækket Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) Sredningen å konstruktionens ccelertion σ kn ifølge EN 99-- DK NA:007, nneks C.5, formel C8, beregnes f: σ k ( πn ) u Hvor ccelertionsresonsfktoren kn bestemmes f k ( α K H ) som ktuelt giver k ((,6,0,) + (,0 0,5,80) + ( 0, 0,0 5) ) 7,05
20 Side 0 f Sttisk nedbøning for nyttelsten u ,9 5, l 8 EI 8,7 0 7,98 0 m Sredningen å ccelertionen bliver således: σ 7,05 (π,0) 5,77 0 0,85 m/ s, svrende til 8,5%g. Sredningen å ccelertionen vurderes ikke t være for stor idet den er under den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n Hz. Det effektive ntl ersoner beregnes iht EN 99-- DK NA:007, fsnit C. (). Det effektive ntl ersoner: n e 0 78 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen. Størrelsesreduktionsfktorerne beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C, formel C til:. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ), , + ( 0,) 0, ,0 + ( 0,0) 0,. 78 Frekvensresonsfktorerne kn herefter beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C formel C6 til:. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 06 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) I henhold til EN 99-- DK NA:007, fsnit C. () beregnes den sttisk ækvivlente lst som F ( + k ) F s F
21 Side f hvor F betegner den gennemsnitlige ersonlst og k F betegner lstresonsfktoren F k ( α K H ),5 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen k F,5 (,6,0,) + (,0 0,56,06) + (0, 0,,),5 Som giver en stødfktor å ( +,5) 5, 5 Herf fås den mksimle sttisk ækvivlent fldelst dækket skl dimensioneres for (krkteristisk værdi). Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) F s ( kn m kn m +,5) 0,5 /,76 / som Sredningen å konstruktionens ccelertion σ kn ifølge EN 99-- DK NA:007, nneks C.5, formel C8, beregnes f: σ k ( πn ) u Hvor ccelertionsresonsfktoren kn bestemmes f k ( α K H ) som ktuelt giver k ((,6,0,) + (,0 0,5,06) + ( 0, 0,,) ) 6,7 Sttisk nedbøning for nyttelsten u ,9 5, l 8 EI Sredningen å ccelertionen bliver således: 8,7 0 7,98 0 m 6 m s σ,7 (π ) 5,77 0, /, svrende til % g. Sredningen å ccelertionen er således større end den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre.
22 Side f 8 Referencer. ATC Design Guide : Minimizing Floor Vibrtion by Alied Technology Council, Cliforni, B. Suikknen, F.S. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækonstruktioner, COWI's Udviklingsfond, 00.. S.O. Hnsen & J.D. Sørensen: Dynmic lods due to synchronized movements of eole. Proceedingsthe th Interntionl Conference on Structurl Dynmics, Munich, Germny, Setember -5, 00, side 7-.. B.C. Jensen & S.O. Hnsen: Bygningsberegninger. Nyt Teknisk Forlg B. Bonneru, B.C. Jensen &C.M. Plum: Stålkonstruktioner efter DS/EN 99,. udgve Nyt Teknisk Forlg 009. Endvidere henvises i kitlet til - Teknisk Ståbi, 0. udgve Nyt Teknisk Forlg - ISO 6-: 989. Stndrden er erstttet f DS/ISO 6-,. udgve , hvor grænseværdier for ccetble svingninger dog ikke længere er ngivet som i den tidligere stndrd. For en detleret beskrivelse f forholdene henvises til DS/ISO 6-,.udgve og DS/ISO 6-,. udgve EN 990 DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode 0: Proekteringsgrundlg for bærende konstruktioner. - EN 99-- DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode : Lst å bygværker - Del -: Generelle lster - Densiteter, egenlst og nyttelst for bygninger. - EN 99-- DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode : Betonkonstruktioner Del -: Generelle regler smt regler for bygningskonstruktioner.
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereK9-K10 projekter i strukturel mekanik
April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereBrandsikring af ventilationskanaler
Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler
Læs mereCONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER
CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereDødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie
Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der
Læs mereLofter monteret direkte på underlag
Lofter / Direkte montge på underlg Lofter monteret direkte på underlg Underlg for gipsbeklædning Underlget for gipsplderne kn være bjælkelg, trælægter, forsklling, stålprofiler S25/85, S45/85 eller Gyproc
Læs mereBæreevne af Wirebokse i elementsamlinger - Kalibrering af partialkoefficienter
Bæreevne Wirebokse i elementsmlinger - Klibrering prtilkoeiienter Udrbejdet : Proessor John Dlsgrd Sørensen Adjunkt Henrik Brøner Jørgensen Dto: ugust 2016 Smmentning Dette nott beskriver undersøgelser
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs merekompositkonstruktioner
Ingeniørhøjskolen i Århus Bygningsteknik Bygningsdesign Nott om kompositkonstruktioner BK401 Jnur 2009 Peter Ehlers Lrs Germn Hgsten Indledning Eurocode 4, Kompositkonstruktioner, bygger videre på og henviser
Læs mereProjekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer
Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mere114 Matematiske Horisonter
114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen
Læs mereRAPPORT NR. 17. GUDENÅUNDERSØGELSEN Regnvandsundersøgelser
RAPPORT NR. 17 ^ ^ ^ ^ " " " ^. UDENÅUNDERSØELSEN Regnvndsundersøgelser UDENAUNDERSØELSE 1973-1975 RENVANDSUNDERSØELSER VANDKVALITETSINSTITUTTET. ATV Agern Allé 11, 2970 Hørsholm Sgsbehndlere: Sgsnr,:
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereAnalyse 30. januar 2015
30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs merePust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi
Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At
Læs mere@ ECV Tekniske data El-palleløfter. ECV 10 C ECV 10i C ECV 10
@ ECV Tekniske dt El-plleløfter ECV 10 C ECV 10i C ECV 10 Nemme løft Dette dtbld iht. VDI 198 ngiver kun de tekniske værdier for en stndrdmskine. Andre hjul, mster, ekstrudstyr osv. kn hve ndre værdier.
Læs mereLyddæmper. Fastlæggelse af lyddæmperydelse. Valg af lyddæmper. DimSilencer. Δp = Δp/faktor = 20/1 = 20 Pa. kanalsystemer lyddæmpere
Fstlæggelse f lyddæmperydelse En lyddæmpers ydelse kn bestemmes ud fr ktloget som beskrevet ved hjælp f følgende eksempel: -00-00-00- med et flow på.00 m³/h plceret i knlsystem. ) Aflæs dæmperegenskber
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereDS/EN 1991-1-1 DK NA:2013
Nationalt anneks til Eurocode 1: Last på bærende konstruktioner Del 1-1: Generelle laster Densiteter, egenlast og nyttelast for bygninger Forord Dette nationale anneks (NA) er en revision af DS/EN 1991-1-1
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereKonusmåling. Konusmåling. Konusmåling
Konusmåling Konusmåling Definition En fuldstændig kontrol f en konus omftter en bestemmelse f koniciteten 1 : C eller konusvinklen, dimetermåling smt en formkontrol med hensyn til rethed og rundhed. Udvendig
Læs mere- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske
- 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereEksamensspørgsmål: Potens-funktioner
Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereSetup til kalibrering af Clamp on-flowmålere
Setup til klirering f Clmp on-flowmålere Decemer 2018 Rpportforftter: Anders Niemnn, Teknologisk Institut Introduktion Ultrlyds-clmp-on flowmåling er en teknik, hvor mn ved hjælp f to trnsducere monteret
Læs mereLamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1
Juni 2008 2.312 DK Lmin stærk, frverig fcdeplde med formt Fcder Altnbrystninger Trppegelænder Brystninger Væg- og dørbeklædning Sndwichelementer Lmin er en højtrykslmintplde. Specielt velegnet til områder
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mereNoget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2
Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereDS/EN DK NA:2012
Nationalt anneks til Eurocode 1: Last på bærende konstruktioner Del 1-1: Generelle laster Densiteter, egenlast og nyttelast for bygninger Forord Dette nationale anneks (NA) er en revision og sammenskrivning
Læs mereInstallationsvejledning
Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.
Læs mereVEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA
VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA TL-Engineering oktober 2009 Indholdsfortegnelse 1. Generelt... 3 2. Grundlag... 3 2.1. Standarder... 3 3. Vindlast... 3 4. Flytbar mast... 4 5. Fodplade...
Læs mereEksemplificering af DEA-metodens vægtberegning
nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereForskønnelsesplanen Det Nye Furesølund
Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs merePlantehoteller 1 Resultater og konklusioner
Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv
Læs mereIntegrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
Læs mereDæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.
Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereBENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE
BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet
Læs mereVitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter
Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning
Læs mereBage/Chips/Pulver/Pommes Frites sorter
18 Bge/Chips/Pulver/Pommes Frites sorter Hkg pr h Indledning BJ-Agro hr som tidligere år lvet en sortssmmenligning f krtofler til forrbejdning. De fprøvede sorter er leveret f AKV-Lngholt, Thorsen Chips,
Læs mereCenter for Kvalitet Region Syddanmark
Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et
Læs mereSAMMEN ER BEBOERE I AFDELINGSBESTYRELSER I ORGANISATIONSBESTYRELSE I MEDARBEJDERE VI STÆRKE
PGAVE- RUPPER 3B SAMMEN ER BEBOERE I AFDELINGSBESTYRELSER I ORGANISATIONSBESTYRELSE I MEDARBEJDERE VI STÆRKE I 1 I BAGGRUND 3B s orgnistionsestyrelse nedstte i efteråret 2016 en række opgvegrupper i forindelse
Læs mereAlternative metoder til køling af løg
inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,
Læs mereMatematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011
Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereFormelsamling til Fourieranalyse 10. udgave
Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mere