4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold"

Transkript

1 4.1. Geometrisk hovedindhold 4. Simplexmetoden 4.1. Geometrisk hovedindhold 4.2. Opstart 4.3. Algebraisk form 4.4. Tableauform 4.5. Løse ender 4.6. Kunstige variabler og tofasemetoden 4.7. Postoptimale analyser Henrik Juel x 2 x 1 Simplexmetoden starter i (0,0) Z s stigningstakt bestemmes for kanterne Næste løsning ligger for enden af bedste kant Metoden stopper når alle stigningstakter er negative OR, IMM, DTU 4. Simplexmetoden p. 1/31 4. Simplexmetoden p. 2/ Opstart Begrænsningerne ændres til ligninger ved at indføre slackvariabler x 1 4 x 3 4 x 1 x 1 4 og x 3 0 max. Z = 3x 1 + 5x 2 uht. 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0 Basisløsning Basisløsning, f.eks. (6,0, 2,12,0) Mulig basisløsning, f.eks. (2,6,2,0,0) med basisvariabler x 1, x 2, x 3 og ikkebasisvariabler x 4, x 5 Mulige basisløsninger svarer til mulige hjørneløsninger max. Z uht. Z 3x 1 5x 2 = 0 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x Simplexmetoden p. 3/31 4. Simplexmetoden p. 4/31

2 4.3. Algebraisk form Algebraisk form fortsat Ikkebasisvariabler: x 1 = x 2 = 0 Værdierne af Z og basisvariablerne kan aflæses Z 3x 1 5x 2 = 0 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 Indkommende variabel: x 2 Udgående variabel: x 4 Z 3x 1 5x 2 = 0 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 Z 3x 1 + 5/2x 4 = 30 x 2 + 1/2x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 x 1 ind x 5 ud 4. Simplexmetoden p. 5/31 4. Simplexmetoden p. 6/31 Algebraisk form fortsat igenigen Z 3x 1 + 5/2x 4 = 30 + x 2 + 1/2x 4 = 6 3x 1 x 4 + x 5 = 6 Z + 3/2x 4 + x 5 = 36 x 3 + 1/3x 4 1/3x 5 = 2 + x 2 + 1/2x 4 = 6 x 1 1/3x 4 + 1/3x 5 = 2 Optimum: Z = 36, x = (2, 6, 2, 0, 0) 4. Simplexmetoden p. 7/ Tableauform Basisvariabler antydes med et enkelt 1 i søjlen Rækkenummer udelades Z x 1 x 2 x 3 x 4 x / / Simplexmetoden p. 8/31

3 Tableauform fortsat Z x 1 x 2 x 3 x 4 x / / / /3 1/ / /3 1/3 2 Simplexmetoden, fase 2 1. Opskriv første tableau 2. Er alle koefficienter i række (0) ikkenegative? ja: optimum, stop nej: mest negativ indkommende 3. Udfør kvotienttest (positiv nævner) mindste kvotient udgående 4. Pivotér, gå til step 2 4. Simplexmetoden p. 9/31 4. Simplexmetoden p. 10/ Løse ender Flere mest negative koefficienter i række (0) Flere mindste kvotienter Degeneration: en basisvariabel har værdien 0 Ingen positive koefficienter i pivotsøjlen: Ubegrænset gode løsninger Optimalt tableau med 0 i række (0): Flere optimale løsninger Flere optimale løsninger Wyndor med Z = 3x 1 + 2x 2 Z x 1 x 2 x 3 x 4 x /2 1/ /3 1/ /3 1/ / Simplexmetoden p. 11/31 4. Simplexmetoden p. 12/31

4 Alle optimale løsninger Optimale basisløsninger: x = (x 1, x 2 ) = (4, 3) x = (2, 6) Alle optimale løsninger: x = w 1 (4, 3) + w 2 (2, 6) for alle w 1, w 2 med w 1 + w 2 = 1, w 1 0, w Kunstige variabler Strålebehandling (fra s. 44) min. Z =.4x 1 +.5x 2 uht..3x 1 +.1x x 1 +.5x 2 = 6.6x 1 +.4x 2 6 x 1 0, x 2 0 slack x 3, surplus x 5, kunstige x 4 og x 6 alle x-variabler ikkenegative.3x 1 +.1x 2 + x 3 = 2.7.5x 1 +.5x 2 + x 4 = 6.6x 1 +.4x 2 x 5 + x 6 = 6 4. Simplexmetoden p. 13/31 4. Simplexmetoden p. 14/31 Tofasemetoden I fase 1 minimeres summen af de kunstige variabler: min. Z = x 4 + x 6 eller max. Z uht. Z + x 4 + x 6 = 0 (husk at etablere et legitimt Simplextableau) Når Z = 0 har vi en basis af ikkekunstige variabler I fase 2 optimeres den rigtige målfunktion: min. Z =.4x 1 +.5x 2 eller max. Z uht. Z +.4x 1 +.5x 2 = 0 Fase 1: legitimt tableau /10 1/ /10 1/2 1/ /5 2/ /10 9/ /10 1/ /10 1/2 1/ /5 2/ Simplexmetoden p. 15/31 4. Simplexmetoden p. 16/31

5 Fase 1: 1. iteration 1 11/10 9/ /10 1/ /10 1/2 1/ /5 2/ /15 11/3 1 21/10 1 1/3 10/ /3 5/ /2 1/ /5 Fase 1: 2. iteration 1 8/15 11/3 1 21/10 1 1/3 10/ /3 5/ /2 1/ /5 1 5/3 5/3 8/3 1/2 1 20/3 5/3 5/3 8 5/3 1 5/3 5/3 1/ Simplexmetoden p. 17/31 4. Simplexmetoden p. 18/31 Fase 1: 3. iteration 1 5/3 5/3 8/3 1/2 1 20/3 5/3 5/3 8 5/3 1 5/3 5/3 1/ /2 1 3/ / /2 Efter fase 1 1. De kunstige variabler droppes 2. Den rigtige målfunktion indlægges 3. Tableaudelen under stregen kopieres fra fase 1 4. Et legitimt Simplextableau etableres 5. Simplexiterationer til optimum (her 0 iterationer) 4. Simplexmetoden p. 19/31 4. Simplexmetoden p. 20/31

6 Fase 2 Z x 1 x 2 x 3 x 5 1 2/5 1/ / / /2 1 1/2 21/ / / /2 Z = 5.25, x 1 = 7.5, x 2 = 4.5 Fase 1 kan mislykkes Strålebehandling med /10 9/ /10 1/ /5 1/2 1/ /5 2/ /15 11/3 1 27/5 1 1/3 10/ /3 5/ / /5 4. Simplexmetoden p. 21/31 4. Simplexmetoden p. 22/31 Ingen mulig løsning 1 8/15 11/3 1 27/5 1 1/3 10/ /3 5/ / / /5 1 3/ / /5 Andre nedre grænser x 1 9 x 1 x Indsæt x 1 = x 1 9 overalt, løs med x 1 0 x 2 > dvs. x 2 er en fri variabel Indsæt x 2 = x + 2 x 2 overalt, løs med x+ 2, x 2 0 x + 2, x 2 er aldrig begge i basis Z = 3/5 > 0 ingen mulig løsning 4. Simplexmetoden p. 23/31 4. Simplexmetoden p. 24/31

7 Simplexmetoden. Fase 0 Simplexmetoden. Fase 1 beslutningsvariabler ikkenegative variabler begrænsninger ligninger vha. slack- og surplusvariabler kunstige variabler x j Z = x j skal minimeres et legitimt simplextableau etableres simplexiterationer 1. indkommende variabel 2. udgående variabel 3. pivotering hvis Z > 0: ingen mulig løsning, stop 4. Simplexmetoden p. 25/31 4. Simplexmetoden p. 26/31 Simplexmetoden. Fase 2 Z skal optimeres et legitimt simplextableau etableres simplexiterationer 1. indkommende variabel 2. udgående variabel 3. pivotering hvis den indkommende variabel kun har ikkepositive koefficienter, har modellen ubegrænset gode løsninger, stop ellers: optimal løsning bestemmes, stop Ressourceallokeringsmodel Fase 0: tilføj slackvariabler Fase 1: overspringes Fase 2: simplexiterationer 4. Simplexmetoden p. 27/31 4. Simplexmetoden p. 28/31

8 4.7. Postoptimale analyser Skyggepriser Reoptimering Skyggepriser Følsomhedsanalyse Parametrisk programmering I et ressourceallokeringsproblem er skyggeprisen for ressource i: Z / b i forudsat ændringen er lille nok Skyggeprisen fås fra det optimale tableau som koefficienten i række (0) til slackvariablen for ressource i Ikkebindende ressourcer har en skyggepris på 0 4. Simplexmetoden p. 29/31 4. Simplexmetoden p. 30/31 Skyggepriser fortsat Z x 1 x 2 x 3 x 4 x = b = b = b 3 1 3/ = Z 1 1/3 1/ / /3 1/3 2 Z / b 1 = 0, Z / b 2 = 3/2, Z / b 3 = 1 4. Simplexmetoden p. 31/31

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Operationsanalyse. Hans Keiding

Operationsanalyse. Hans Keiding Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel

Læs mere

Optimering i Moderne Portefølje Teori

Optimering i Moderne Portefølje Teori Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6

Læs mere

Optimering af multifysisk-systemer

Optimering af multifysisk-systemer Optimering af multifysisk-systemer DANSIS, 29. marts 2006, DTU Fridolin Okkels, Laurits H. Olesen, og Henrik Bruus MIC Institut for Mikro- og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet www.mic.dtu.dk/research/mifts

Læs mere

G r u p p e G

G r u p p e G M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Hvede Byg Rug Roer Kløver 3500 2000 2500 4000 1000

Hvede Byg Rug Roer Kløver 3500 2000 2500 4000 1000 Opgave En landmand dyrker et areal på 35 ha. Af disse er højst 80 ha. egnede til dyrkning af hvede; 00 ha. til byg; 75 ha. til rug; 90 ha. til roer og 45 ha. til kløver. På grund af begrænset maskinkapacitet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kørselsgodtgørelse - satser

Kørselsgodtgørelse - satser 2014 2013 2012 2011 2010 2009 2008 3,73 3,82 3,80 3,67 3,56 3,56 3,47 2,1 2,13 2,10 2,00 1,90 1,90 1,83 0,42 0,43 0,42 0,40 0,38 0,38 0,37 2,10 2,13 2,10 2,00 1,90 1,90 1,83 1) max 1.401 max 1.401 0,51

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Handelshøjskolen i København Statistikgruppen Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 4. semester 2003 C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Lene Hansen leha01ad Morten Høgholm

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave 2007 1 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP -

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Bachelorprojekt. Ikke-krydsende fraktil-regression for vindkraftdata. Minh Haw Truong, s090088. Sofie Pødenphant Jensen, s093096

Bachelorprojekt. Ikke-krydsende fraktil-regression for vindkraftdata. Minh Haw Truong, s090088. Sofie Pødenphant Jensen, s093096 Bachelorprojekt Ikke-krydsende fraktil-regression for vindkraftdata Minh Haw Truong, s090088 Sofie Pødenphant Jensen, s093096 Kgs. Lyngby 18. juni 2012 Danmarks Tekniske Universitet Abstract This work

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Eksperimentel Matematik

Eksperimentel Matematik Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2012 Institution Gymnasiet HTX Skjern Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Programmering C Henrik

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering

Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering Institut for Regnskab, Finansiering og Logistik Kandidatafhandling Forfattere: Anders K. Knudsen Jutta J. Jørgensen Vejleder: Jens Lysgaard Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især

Læs mere

Optimering af hastighedsprofilet ved opgradering af jernbaner. Jesper Thorsen Kim Bang Salling

Optimering af hastighedsprofilet ved opgradering af jernbaner. Jesper Thorsen Kim Bang Salling Optimering af hastighedsprofilet ved opgradering af jernbaner Jesper Thorsen Kim Bang Salling Hvem er nu det? Kandidatstuderende ved DTU Transport Studentermedhjælper hos DSB (Langsigtet Planlægning) Normalt

Læs mere

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik Øvelser til Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse TI-Nspire CAS version 2.0...2 Generelle TIPS & TRICKS (T&T)...3 Eksempel

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur).

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur). Murbue En murbue beregnes generelt ved, at der indlægges en statisk tilladelig tryklinje/trykzone i den geometriske afgrænsning af buen. Spændingerne i trykzonen betragtes i liggefugen, hvor forskydnings-

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Elisabeth

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Noter til C# Programmering Iteration

Noter til C# Programmering Iteration Noter til C# Programmering Iteration Programflow Programmer udfører det meste af deres arbejde vha. forgrening og løkker. Løkker Mange programmeringsproblemer kan løses ved at gentage en handling på de

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2012 Roskilde

Læs mere

18.1. Højttalerproduktion. 18. Lagermodeller Determ. lagermodeller. Grundmodel

18.1. Højttalerproduktion. 18. Lagermodeller Determ. lagermodeller. Grundmodel 18. Lagermodeller 18.1. Eksempler 18.3. Deterministiske lagermodeller 18.7. tokastiske lagermodeller Henrik Juel OR, DTU-Management 18.1. Højttalerproduktion Givne parametre: Efterspørgsel d = 8000 stk/måned

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi har indtil nu fokusret på markeder med fuldkommen konkurrence: Virksomheder tager prisen for given. 2. Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Vejledende løsninger kapitel 9 opgaver

Vejledende løsninger kapitel 9 opgaver KAPITEL 9 OPGAVE 1 a) Hypoteser H 0 : Der er uafhængighed (ingen sammenhæng) i kontingenstabellen H 1 : Der er afhængighed (sammenhæng) i kontingenstabellen Observerede værdier Ny metode Gammel metode

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 28. maj 2003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse. Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S

Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse. Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S 1 Data med detektionsgrænse Venstrecensurering: Baggrundsstøj eller begrænsning i måleudstyrets følsomhed

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Forord... 5

Indholdsfortegnelse. Forord... 5 Forord............................................................ 5 1 Indledning.......................................................... 13 1.1 Introduktion til kompendiet.......................................

Læs mere

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

Opgave 1 - Rentesregning. Opgave a)

Opgave 1 - Rentesregning. Opgave a) Matematik C, HF 7. december 2016 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Løsningerne nedenfor er løst

Læs mere

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 4. november 013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere