Svingningsrapport. Projektopgave 2, Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985"

Transkript

1 Projektopgave 2, Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s og Mikkel Seibæk, s / Underskrift! 1

2 Part I - Vinge modellering - Transiente (frie) svingninger 3 Opgave 1 3 Opgave 2 3 Opgave 3 3 Opgave 4 4 Opgave 5 5 Opgave Part II - Platform modellering - Transiente og Permanente svingninger 6 Opgave 1 6 Opgave 2 6 Opgave 3 6 Opgave 6 7 Opgave 4, 5 og Opgave 11 9 Opgave Opgave Part III - Platforms vinger - Transiente og Permanente svingninger i systemer med 2 frihedsgrader 14 Opgave 1 14 Opgave 2 14 Opgave 3 15 Opgave 4 16 Opgave 5 17 Part IV - Platform vinger - Transiente og Permanente svingninger i systemer med flere frihedsgrader 18 Opgave 1 18 Opgave 2 18 Opgave 3 19! 2

3 Part I - Vinge modellering - Transiente (frie) svingninger Opgave 1 Matematisk model Fra fritlegemediagrammet kan vi opstille en matematisk model vha. kraftligevægt ifølge Newtons 2. lov: Fritlegemediagram F = m x f + f k d + F(t) mg = m x Mekanisk model hvor F(t) = 0, f = kx k og f = d x d. Vi får altså: m x + d x + kx = mg Vi kan tage højde for den statiske udbøjning, der sker i den vertikale retning ved at antage at nulpunktet for målingen, x 0 er i det yderste udbøjningspunkt x st. Med andre ord sætter vi et nyt koordinatsystem, så tyngdekraften udgår: Vi får derved en ligning der beskriver den dynamiske bevægelse for hver vinge: m x + d x + kx = 0 Opgave 2 Opstiller den matematiske betegnelse for fjederstivheden: Interti-momentet i vingen er bestemt af dens højde h og bredden b, jf. bjælketeori: Vingens bredde, højde og længde: Vingen anskues som en fjeder og dennes fjederstivhedskoefficient er afhængig af det førnævnte inerti-moment I, materialets elasticitetsmodul E, og vingens længde L: Alle størrelserne er opgivet i Tabel 1, undtagen k og L som er os ubekendte. Tabel 1 fra opgavebeskrivelsen: Opgave 3 Opgave 3-6 behandler vinge nr. 1 ved brug af data fra målingen Figur 3 i opgavebeskrivelsen.! 3

4 Vi vil nu identificere den strukturelle dæmpningsfaktor, : Dæmpningsfaktoren er bestemt ved antallet af svingninger N, og henholdsvis den første og den n te svingnings amplitude og : Indsætter og får: Vi kan anvende målingerne for accelerationen, selvom ovenstående formel kræver amplituder. Dette lader sig gøre fordi forholdet mellem amplituderne og forholdet mellem accelerationerne er det samme: x 0 x N = x 0 x N Eftersom x(t) = x 0 e iωt x(t) = iω x 0 e iωt x(t) = ω 2 x 0 e iωt x 0 x N = ω 2 x 0 e iωt ω 2 x N e iωt = x 0 x N Opgave 4 Ved brug af dæmpningsfaktoren kan den naturlige (udæmpede) egensvingningsfrekvens bestemmes ud fra: (1) Den dæmpede svingningsfrekvens er målt og opgivet i hertz radianer pr. sekund ved multiplikation med 2 Pi:, hvilket omregnes til [ rad s ] Indsættes dæmpningsfaktoren og den målte svingningsfrekvens i formel (1) får vi:! 4

5 Det ses at, hvilket kan forklares med at dæmpningsfaktoren. I formel (1) ser vi at når dæmpningsfaktoren næsten er 0 vil nævneren være næsten 1, og den naturlige og den dæmpede egensvingningsfrekvens vil da være næsten ens. Dette forstås også i praksis ved at jo lavere dæmpning der er på fjederen des tættere er fjederens dæmpede egensvingningsfrekvens på sin naturlige egensvingningsfrekvens. Opgave 5 Med den naturlige egensvingningsfrekvens, massen af vingen og dæmpningsfaktoren kan vi nu bestemme dæmpningskoefficienten d: Opgave 6 Indsætter k fra opgave 2 og isolerer da L: = 0,337[m] Opgave 7-10 Samme fremgangsmetode i opgave 3-6 bruges til vinge nr. 2 i opgave Desuden udregnes vingernes fjederstivheder til senere brug i part IV. Disse er indsat i tabellen: x 0 x N N ξ f d /[Hz] ω d /[ rad s ] ω n /[ rad s ] d /[ N m/s ] L[m] Vinge nr. 1 Vinge nr. 2 0,5 0, , ,32 20, ,8602 0,0248 0,337 0,4 0, , ,37 21, ,1744 0,0351 0,333! 5

6 Part II - Platform modellering - Transiente og Permanente svingninger Opgave 1 Matematisk model Vi opstiller kraftligevægt ud fra Newtons 2. lov, og opstiller en ligning for bevægelse for dette system: F = m x f + f k d + F(t) = m x hvor F(t) = F cos(ωt), f k = kx og f d = d x. Vi får altså: Mekanisk model m x + d x + kx = F 0 cos(ωt) Fritlegemediagram: Opgave 2 Ved målingerne af fjederens forskydning ift. de påsatte masser (tabel 3 i opgavebeskrivelsen) kan vi udregne fjederstivheden. Fra ovenstående bevægelsesligning fås: Fra fritlegemediagrammet opstiller vi følgende kraftligevægt: F = F g F k = F g kx = m x k = m x x = m g x Vi får altså = [ N / m ] Opgave 3 Fastspændingen ændrer inerti-momentet. Fjederstivheden kan bestemmes ved bjælketeorien og de nye dimensioner opgivet i tabellen:! 6

7 [ N / m] Fjederstivheden for de to bjælker tilsammen: [ N / m] Dette resultat rimelig tæt på den fundne værdi i opgave 2, (1399,7). Afvigelsen kan skyldes at den lineære regression ikke er helt præcis, hvis der var en vis usikkerhed i målingen af forskydelsen. Mest sandsynligt er det dog at de anvendte dimensioner og elasticitetsmodulet har en vis usikkerhed, som afviger fra de aktuelle værdier. Opgave 6 Opgave 4-10 behandler målinger for det samme system, men med forskellige dæmpere påsat. Opgave 6 er valgt som udregnings-eksempel for disse opgaver, fordi der i denne case påsættes en reel dæmper. Case III: Først udvælges en række målinger af amplituder fra målingen. Hver x-værdi og N-værdi sættes ind i formlen for dæmpningsfaktoren: Ved at indsætte de forskellige værdier fås:,,, Det ses ud fra dæmpningsfaktoren ændrer sig. Generelt er det bedst at medregne så mange målinger som muligt, for at få et så præcist billede som muligt (som med lineær regression), derfor anvendes dæmpningsfaktoren for målingen op til x 4. På den anden side bør man dog vurdere om nogle af de medtagne målinger har for høj usikkerhed og bør udtages fordi de forvansker resultatet. Vi ønsker at bestemme dæmpningskoefficienten d som er bestemt ved: Først skal vi altså regne den naturlige egensvingningsfrekvens ud: Udregner den dæmpede egensvingningsfrekvens ud fra (2)! 7

8 = 27,33[ rad s ] Vi får altså som indsættes i formel (2) og vi får: Vi bestemmer fjederstivheden: d III = 16,4 [ m/s N ] = 27,56[ rad s ] = 1742,9 [ N / m] Opgave 4, 5 og 7-10 Samme fremgangsmetode i opgave 4 bruges til opgave Disse er indsat i følgende tabel: Case I: Sammenlignes eksperimentelt bestemte fjederstivhed med den fundne fjederstivhed i opgave 2 afviger de kun lidt fra hinanden. Sammenlignes disse eksperimentelt bestemte værdier med den teoretisk bestemte værdi i opgave 3 ses en tydelig afvigelse. De eksperimentelle værdier vurderes mest korrekte, eftersom bjælketeoriens parametre i opgave 3 såsom elasticitetsmodulet og dimensionerne afviger fra de aktuelle. Case II: Her ses fjederstivheden er være næsten dobbelt så stor som i case I. Dette skyldes at dæmperen er helt blokeret og derfor ikke virker som en reel dæmper. Når luften i dæmperen komprimeres og ekspanderes fungerer den elastisk, som en meget stiv fjeder. Dæmpningskoefficienten er højere end i case I, men ikke lige så høj som case III, dette kan igen forklares med at dæmperen ikke fungerer som en reel dæmper. For case III: Et lille hul åbnes i dæmperen, hvilket medfører at luften presses ud og suges ind, vi har altså meget høj dæmpning, hvilket også ses på dæmpningskoefficienten og på figur 10, hvor svingning dør meget hurtigt ud. Dæmperen bidrager stadig med en For case IV-VI: Generelt ses det at dæmpningskoefficienterne falder, i takt med at flere og flere dæmpnings-huller åbnes, fordi dæmpningen da bliver lavere og lavere. På figur ses! 8

9 svingningerne også at dø ud i langsommere og langsommere grad. Det samme gælder fjederstivhederne. Dette kan forklares med at k er afhængig af d: ω n = d k = ω 2 n m k = d 2 m 2ξm, (2ξm) = d 2 2 4ξ 2 m Når d formindskes, vil k således også formindskes, dog i mindre grad. Case VII: Her er dæmpningen meget lavere end case VI, hvilket også ses på figur 14, hvor svingningerne dør langsommere ud. Fjederstivheden ses dog kun at være formindsket i lav grad, grundet at dæmperen har en fjeder-effekt, selvom den er relativt åben. Dette viser at når man i praksis skal dæmpe strukturer, så må dæmperen ikke være for lukket, da dæmperen selv vil fjedre. På den anden side må dæmperen heller ikke være for åben, fordi den så ikke dæmper overhovedet. Opgave 11 Vi plotter nu frequency response functions (data fra tabel 11-14) og ser følgende. Den afbildede data er valgt, så punkterne omkring den naturlige egensvingningsfrekvens ses, kurvetoppene viser amplituden for resonansen. - Grafen for Case I er reelt 100 gange større, og er altså den største og mest spidse graf (amplituden går mod uendeligt ved resonans) - altså er der ikke nogen dæmpning, pånær den strukturelle dæmpning (hvilket er meget lav). Graf 1: Forskydning / Frekvens - Grafen for Case II, ses også at være spids dog i meget lavere grad, selvom der er påsat en dæmper, fungerer den ikke som en reel dæmper. Dæmper-åbningerne er nemlig blokerede, hvilket får selve dæmperen til at virke som en fjeder og derfor indtræffer resonansen ved en højere frekvens. - For Case III ses en meget dæmpet amplitude-kurve, hvilket er udtryk for meget høj dæmpning. Dæmperen bidrager stadig med en fjeder-effekt, hvorfor resonansen er forskudt. - For Case VII ses en relativt høj amplitude, der er altså lav dæmpning, hvilket kan forklares med at det er en dæmper med 4 store dæmper-åbninger. Stivheden er lidt større, hvilket igen forårsager en forskydning af resonans ift. case I.! 9

10 Høj dæmpning mindsker altså udsvingene ved resonans. På Graf 2 ses fasen mellem input (kraften F) og outputet (fjederens acceleration) afbildet som funktion af frekvensen. Som på graf 1 er de afbildningerne omkring resonans-frekvensen, hvor der ses et faseskift. - For Case 1, 2 og 7 ses et øjeblikkeligt faseskift over meget lavt frekvensinterval, hvilket er udtryk for de lave dæmpnings-værdier. De tre grafers resonans er dog forskudt pga. dæmpernes forskellige fjeder-effekt. - For Case 3, ses et faseskift over et meget større frekvensinterval end de andre cases, hvilket kan forklares med den høje dæmpning i denne forsøgsopstilling. Faktisk opnås der slet ikke fase eller modfase for den afbildede data. Opgave 12 Case 1 er valgt som udregnings-eksempel for denne opgave. Udregningerne for case 2,3 og 7 benytter samme fremgangsmetode og er derfor samlet i en tabel i slutningen af denne opgave. Vi kan på baggrund af målingerne i tabel bestemme massen, fjederstivheden og dæmpningskoefficient ud fra følgende Frequency Response Function: Som vi kan omskrive til: Ved at multiplicere dette med FRF a (ω ) = ω 2 ( mω 2 + k) + dωi = a + bi mω 2 + k + i dω = ω 2 (a bi) (a bi) Får vi opdelt funktionen i real-del og imaginær-del: Graf 2: Fasen / Frekvens (a + bi) ω 2 a a 2 + b + ω 2 b 2 a 2 + b i = mω 2 + k + i dω 2 Hvor Re = mω 2 + k = ω 2 a a 2 + b 2 og Im = i dω = ω 2 b a 2 + b 2 En real-del med m og k samt en imaginær-del med d:! 10

11 Værdierne a og b multipliceres med -1, da fortegnet er negativt for målinger pga. accelerometeret er monteret i en bestemt side af forsøgsopstillingen. Værdierne for frekvensen vælges lige omkring resonanspunktet (dvs. 5-målinger på hver side af fortegnsskiftet i kolonnen med målinger H 2 ). I dette regneeksempel er det i frekvensintervallet fra [3,4 Hz ; 4,3 Hz]. Værdierne indsættes i følgende løsninger for matrix-ligningerne: og Real-del: Imaginær-del: m[kg] k[n / m] d /[ N m/s ] Case I 2, ,3 0,19 Case II 2, ,7 4,5 Case III 2, ,1 20,5 Case VII 2, ,1 1,2! 11

12 Sammenlignes værdierne med de tilsvarende fundet eksperimentelt i opgave 4-10 ses de generelt at afvige lidt. Specielt case III afviger en del, hvilket kan forklares med den manglende coherence, som angiver sikkerheden af målingen. Generelt er sikkerheden tilstrækkelig når coherence-værdien er tæt på 1, dvs. [0,98 ; 1]. For case III ses det at coherence omkring frekvensen for resonans er omkring 0,90. Opgave 13 Følgende ligninger for systemets svingninger kan opstilles: Den transiente svingning: Og den permanente svingning, som virker, mens vinden yder en kraft med 10N de første 10 sekunder: Da vindkraften er konstant, er frekvensen til den permanente løsning nul: ω = 0, så vi får: Så udtrykket for svingningerne, i de 10 sekunder, som vinden virker er: Efter 10 sekunder blæser vinden ikke mere og svingningerne består udelukkende af den transiente svingning. Vi ønsker at udtrykke svingningerne grafisk for case I og III i tidsintervallet [0s; 20s]. Vi anvender funden data fra part II: k[n / m] ω n /[ rad s ] ξ Case I 1391,6 24,63 2,25E-03 Case III 1742,9 27,5 0,13 I intervallet fra 0-10s kender vi startbetingelserne. Til tiden t = 0 er amplitude og hastighed nemlig 0, dvs. x(0) = 0 og ligelede x (0) = 0. Vi kan nu løse to ligninger med de to ubekendte, maksimalamplituden A 0 og startfasen φ 0, som udregnes til: Vi får så: For de første 10 sekunder får vi altså følgende udtryk for svingningerne:! 12

13 Vi vil nu opstille et udtryk for svingningerne efter 10 sekunder. Startbetingelserne der sker for de transiente svingninger efter de 10 sekunder undersøges: x generel (10) = 0,0059 [m] x generel '(10) = 0,097[m / s] Disse indsættes i den transiente svingning og dens afledte og vi kan endnu engang bestemme den maksimale amplitude og startfasen efter de 10 sekunder: A 0 = 0,012[m] φ 0 = 247 Udtrykket for svingningerne efter 10 sekunder er hermed: De to funktioner plottes: For case I ses det at den maksimale amplitude er: 2 A 0 = 2 0,007 = 0,014[m], desuden når svingingerne ikke at aftage helt de første 10 sekunder. Dette betyder at den transiente svingning, får overført en del af energien, så snart vinden holder op med at blæse. Graf: Forskydning / tid! 13

14 Part III - Platforms vinger - Transiente og Permanente svingninger i systemer med 2 frihedsgrader Opgave 1 Matematisk model Fjederkræfterne for de to masser: F k1 = k 1 (x 1 x 0 ) = k 1 x 1 F k2 = k 2 (x 2 x 1 ) Beregner kraftligevægt ud fra fritlegemediagrammet: F = m 1 x 1 F k 1 F k2 = m 1 x 1 m 1 x 1 + ( k 1 + k 2 )x 1 k 2 x 2 = 0 F = m 2 x 2 F k 2 = m 2 x 2 m 2 x 2 k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0 Vi opstiller disse to ligninger for svingninger som et lineært ligningssystem. Dette er så den matematiske model for systemet med 2 frihedsgrader: m 1 0 x 1 0 m 2 x 2 + k + k 1 2 k 2 k 2 k 2 x 1 x 2 = 0 0 (5) Mekanisk model Fritlegemediagram Opgave 2 Vi ønsker at bestemme m 2 og k 2 ved hjælp af den matematiske model for forsøgsopstillingen opstillet i opgave 1. Vi bruger m 1 og k 1 og de opgivne egensvingningsfrekvenser f = 2,55Hz 1 og f 2 = 6,57Hz. De homogene løsninger x h ( t) = A 1 A 2 A x h ( t) = λ 2 1 A 2 Disse indsættes i (5) og homogene løsning bliver: e λt e λt! 14

15 λ 2 m 1 + k 1 + k 2 k 2 k 2 λ 2 m 2 + k 2 A 1 A 2 eλt = 0 Vi ved at A 1 A 2 eλt 0!, derfor: det λ2 m 1 + k 1 + k 2 k 2 = 0! k 2 λ 2 m 2 + k 2 Vi får så karakterligningen: m 1 m 2 λ 4 + ( m 2 ( k 1 + k 2 ) + m 1 k 2 )λ 2 + k 1 k 2 = 0! Da rødderne til ligningen er λ 1,2 = ω n1,2 kan disse bestemmes: Nu kan vi opstille to ligninger med to ubekendte og m 1 m 2 λ ( m 2 ( k 1 + k 2 ) + m 1 k 2 )λ k 1 k 2 = 0 m 1 m 2 λ ( m 2 ( k 1 + k 2 ) + m 1 k 2 )λ k 1 k 2 = 0 og får: m 2 = 2,0168[kg] og k 2 = 1463,5[N / m] Opgave 3 Med k erne og m erne fundet i opgave 2 beregnes naturlig egensvingningsfrekvenser og opstilles egensvingningsform ved brug af modalanalysen. Beregner M 1/2 : Bestemmer! 15

16 Vi bestemmer egenværdierne for K samt de normaliserede egenvektorer: og Vi opstiller egenvektorerne i matrix P, Beregner nu matrix S for at få egensvingningsformerne: Disse værdier er de to massers amplituders forhold, når egensvingningsfrekvensen opnås, som kan illustreres: De naturlige egensvingningsfrekvenser bestemmes af egenværdierne som er λ = ω i2 : Opgave 4 Nu påvirkes massen m 1 med en kraft og vores matematiske model ser således ud: Formlen for massens amplitude kan derved opskrives:! 16

17 (6) Når x* 1 = 0 indtræffer anti-resonans for systemet. Dette sker når tælleren i (6) er nul. Det ses at tælleren går mod nul, F 1 ( m 2ω 2 + k 2 ) 0 for ω k 2 m 2 Frekvensen for anti-resonans er: ω = 26,94[ rad s ] som sammenlignes med den eksperimentelt fundne frekvens i figur 20, som aflæses til: De to egensvingningsfrekvenser stemmer godt overens. Den lille afvigelse kan skyldes at vi i de teoretiske beregninger ser bort fra eventuel dæmpning. Opgave 5 Nu påvirkes den øverste masse m 2 af kraften og matematiske model: Formlen for massens amplitude: Og frekvensen for systemets anti-resonans findes ud fra: F 2 ( m 1 ω 2 + k 1 + k 2 ) = 0 ω = 35,14[ rad s ] Den eksperimentelt fundne frekvens aflæses fra figur 21 til: ω 2experimental = evalf (5.2 2π ) = 32,6[ rad s ] Afvigelsen er her lidt større end i opgave 4. Igen kunne den skyldes at vi i de teoretiske beregninger ser bort fra eventuel dæmpning.! 17

18 Part IV - Platform vinger - Transiente og Permanente svingninger i systemer med flere frihedsgrader Opgave 1 Matematisk model Fjederkræfterne for de enkelte masser opstilles: F k1 = k 1 x 1 ( ) ( ) ( ) F k2 = k 2 x 2 x 1 F k3 = k 3 x 3 x 2 F k4 = k 4 x 4 x 2 Jf. Newtons 2. lov opstilles kraftligevægt for samtlige masser: [ F = m 1 x 1 ] F k1 F k2 = m 1 x 1 m 1 x 1 + ( k 1 + k 2 )x 1 k 2 x 2 = 0 F = m 2 x 2 x 2 m 2 x 2 k 2 x 1 + ( k 2 + k 3 + k 4 )x 2 k 3 x 3 k 4 x 4 = 0 [ ] F k2 F k3 F k4 = m 2 [ F = m 3 x 3 ] F k3 = m 3 x 3 m 3 [ F = m 4 x 4 ] F k4 = m 4 x 4 m 4 x 3 k 3 x 2 + k 3 x 3 = 0 x 4 k 4 x 2 + k 4 x 4 = 0 Vi opstiller disse fire ligninger for svingninger som et lineært ligningssystem. Dette er så den matematiske model for systemet med 4 frihedsgrader:! Mekanisk model Fritlegemediagram m x 1 k 1 + k 2 k m x 2 + k 2 k 2 + k 3 + k 4 k 3 k m 3 0 x 3 0 k 3 k m 4 x 4 0 k 4 0 k 4 x 1 x 2 x 3 x =! 0 0 Opgave 2 Samme fremgangsmetode som opgave 3 i part III, men blot med 4 ligninger med 4 ubekendte, følgende er udregnet i tidligere opgaver: Opstiller egensvingningsformen vha. modal-analysen:! 18

19 Egensvingningsfrekvenserne er beregnet til: Opgave 3 ω 1 = 12,46 rad s [ ] ω, 2 = 21,01[ rad s ] ω, 3 = 23,68[ rad s ] og ω 4 rad = 39,92[ s ] Fra forsøget bestemmes egensvingningsfrekvenser for forsøgsopstillingen. Disse aflæses i figur 23 og omregnes til radianer pr. sekunder: ω 1 = 11,62 rad s [ ] ω, 2 = 21,43[ rad s ] ω, 3 = 24,94[ rad s ] og ω 4 rad = 39,08[ s ] Disse sammenlignes med værdierne fundet ved modal-analysen i opgave 2. Det ses at de stemmer godt overens, med kun mindre afvigelser. Afvigelserne kan skyldes at vi i opgave 2 har set bort fra dæmpning. Desuden er fjederstivhederne der indgår i opgave 2 baseret på målte masser, længder og materialeegenskaber i part I.! 19

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode:

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

Basrefleks kabinettet

Basrefleks kabinettet Basrefleks kabinettet Hvordan virker en basrefleks? Denne kabinet type er den mest populære da den typisk giver mere oplevelse af bas og en større belastbarhed. Inden du læser denne artikel vil jeg anbefale

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Den frie og dæmpede oscillator

Den frie og dæmpede oscillator Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 1 0101 Beregn uden hjælpemidler: a) 2 9 4 6+5 3 b) 24:6+4 7 2 13 c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55:5 0102 Beregn uden hjælpemidler: a) 3 6+11 2+2½ 10 b) 49:7+8 11 3 12 c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120:4

Læs mere

Gipspladers lydisolerende egenskaber

Gipspladers lydisolerende egenskaber Gipspladers lydisolerende egenskaber Materialeegenskaber Gipsplader er specielt velegnede til lydadskillende bygningsdele. Dette beror på et optimalt forhold mellem vægt og stivhed, som gør, at pladen

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan.

Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan. Efterårets øvelser, blok 2 Fysik2 Introduktion Fysik 2 øvelser består af 3 øvelser hvori der indgår måling af de fundamentale størrelser: længde, tid og masse. Alle øvelserne handler på en eller anden

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Koblede differentialligninger.

Koblede differentialligninger. 2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,

Læs mere

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Måling af lydens hastighed... 4 Resonans... 5 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 6 Stående tværbølger på en snor....

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0. Opgave 6 Vi sætter P = 1000 og isolerer x i ligningen Se Bilag 2! P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.6 ( 10 y 0.4 )1 /0.6 = x 10 1 /0.6 y 0.4 /0.6 = x x = 10 5 /3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 - Juni 2013 Institution Gymnasiet HTX Skjern 21-02-2012 Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider.

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider. Side 1 af 7 Indhold Rapportering rapportskrivning... 1 Løsning af fysikfaglige problemer opgaveregning.... 2 Formidling af fysikfaglig indsigt i form at tekster, præsentationer og lignende... 4 Projektrapporter...

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Forsøgsvejledning - Hoppehøjde

Forsøgsvejledning - Hoppehøjde Forsøgsvejledning - Hoppehøjde Indledning: Indenfor idrættens verden er det ofte af stor vigtighed at man kan hoppe højt. Det være sig selvsagt i højdespring, hvor det er målet i sig selv, men også fx

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Eksempler på differentialligningsmodeller

Eksempler på differentialligningsmodeller 1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2. Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen

Læs mere

Fysik 2015 Råd og vink til den skriftlige prøve Fysik stx Maj juni 2015

Fysik 2015 Råd og vink til den skriftlige prøve Fysik stx Maj juni 2015 Fysik 2015 Råd og vink til den skriftlige prøve Fysik stx Maj juni 2015 Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Indhold 1. Indledende bemærkninger side

Læs mere

Øvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport

Øvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere