2. Fourierrækker i en variabel
|
|
- Fredrik Thøgersen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner der er ens n.o. identificeres med hinanden. Her har L p rummene den fordel, at f p = 0 f = 0 i disse rum, og de er Banach rum (specielt er L rummene Hilbert rum, jvf. Eksempel 1.9). Vi kan anskue elementerne af L p (X, µ) som funktioner der er fastlagt n.o. (ved detaljerede formuleringer kan man evt. henføre til repræsentanter for ækvivalensklasser). Også for underrum af L p (X, µ) bestående af pænere funktioner har det interesse at betragte tilsvarende underrum af L p (X, µ). For eksempel, når M er et kompakt interval [a 1, b 1 ] [a k, b k ] af R k, er de kontinuerte funktioner på M jo p-integrable m.h.t. Lebesgue målet, dvs. C(M) er et underrum af L p (M, m k ). Ved underrummet C(M) af L p (M, m k ) forstår vi nu rummet af ækvivalensklasser [f] L p (M, m k ) der har en repræsentant f C(M). (Bemærk, at der kun er én kontinuert repræsentant i hver ækvivalensklasse. Vi undlader altså at indføre en ny betegnelse, idet det vil fremgå af sammenhængen hvad der menes.) På lignende måde kan f.eks. mængden af stykkevis kontinuerte funktioner på [a, b] opfattes som et underrum af L p ([a, b]); herved identificeres naturligt de funktioner der kun afviger fra hinanden ved værdien i eventuelle diskontinuitetspunkter. Når vi i det følgende udtaler at et element af L p (M, m k ) er kontinuert, mener vi altså: det har en kontinuert repræsentant. Når vi udfører beregninger med sådanne elementer, er det i reglen underforstået, at den kontinuerte repræsentant benyttes. Tilsvarende konventioner gælder for begreberne differentiabel, stykkevis kontinuert, osv. Se også slutningen af II Funktionsrum over T. I teorien for Fourierrækker i en variabel betragtes periodiske funktioner f : R C som har periode, dvs. f(θ) = f(θ + ) for alle θ R. Funktionerne f på R med periode kan identificeres med funktionerne f på [, π] der opfylder f() = f(π) (idet de sidstnævnte forlænges til R så de får periode ); vi benytter denne identifikation til at indføre normer og skalarprodukter på rum af periodiske funktioner. Et hvilket som helst andet interval af R af længde kan også anvendes. En anden mulighed er at identificere funktionerne på R med periode med funktionerne på kvotientgruppen R/Z, der består af ækvivalensklasserne defineret ved ækvivalensrelationen θ 1 θ n Z : θ θ 1 = n.
2 . Disse klasser er netop originalmængderne til de enkelte punkter på enhedscirklen T = {z C z = 1} i C ved afbildningen θ e iθ, θ R, og en funktion f : R C med periode, kan derfor tillige identificeres med en funktion ϕ: T C via f(θ) = ϕ(e iθ ). Dette synspunkt er bekvemt, når man ikke ønsker at knytte definitionen til et bestemt interval (såsom [, π]), f.eks. ved definition af foldning (se Opg..7 8). T står for torus, idet cirklen er den endimensionale torus; i 4 ser vi generelt på den k-dimensionale torus T k for k 1. Med C(T) betegner vi mængden af kontinuerte funktioner f : R C, som er periodiske med periode. Da denne kan identificeres med mængden af kontinuerte funktioner f på [, π] med f() = f(π), og dette er et Banach rum med sup-normen f u = sup θ f(θ), er C(T) et Banach rum med sup-normen. Lad p [1, [. Med L p (T) betegner vi mængden af Borel funktioner f : R C som er periodiske med periode, og for hvilke f(θ) p dθ < ; her sætter vi ( 1 π 1/p. f p = f(θ) dθ) p Bemærk, at f p = ( 1 I f(θ) p dθ ) 1/p for ethvert interval I af længde. Her kan L p (T) identificeres med funktionsrummet L p ([, π[, 1 m 1), hvor funktionerne i sidstnævnte rum blot forlænges til periodiske funktioner på R; så en lang række sætninger fra Kapitel II overføres umiddelbart til rummene L p (T). For eksempel gælder Lebesgues sætning for L p -rum og Hölders ulighed; og når p > 1 er L p (T) L 1 (T) med f p f 1, jvf. Sætning II Funktionsrummet L p (T) går for hvert 1 p < over i et Banach rum L p (T), når funktionerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen f g f g p = 0, se side II 7.9. Man definerer på lignende måde L (T) og L (T), jvf. II 7.5. Banach rummet L (T) er specielt et Hilbert rum med indre produkt givet ved (f, g) = 1 f(θ)g(θ)dθ. Som i de indledende bemærkninger kan vi opfatte C(T) som et underrum af rummene L p (T), idet et element af L p (T) siges at tilhøre C(T) når
3 .3 det har en repræsentant i C(T). Herefter vil de fleste resultater blive formuleret direkte for L p rummene, idet det overlades til læseren at formulere den tilsvarende konklusion for L p rummene. Systemet {e n } n Z af funktioner er et ortonormalsystem i L (T), thi (e n, e n ) = 1 (e n, e m ) = 1 = 1 i(n m) e n (θ) = e inθ, n Z, e i(n n)θ dθ = 1 e i(n m)θ dθ 1 dθ = 1, for n Z, ( e iπ(n m) e iπ(n m)) = 0 for n m. (Det er for at undgå normeringsfaktorer her, at vi har indbygget 1 i målet.) Fourierrækken hørende til dette ortonormalsystem kaldes den trigonometriske Fourierrække, og den vil nu blive studeret i detaljer. Vi viser senere (Sætning.10), at ortonormalsystemet {e n } n Z er fuldstændigt i L (T), dvs. er en basis for L (T)... Fourierrækken for en funktion f L 1 (T). Lad f L 1 (T), og betragt følgende række c 0 + ( cn e inθ + c n e inθ) = c n e inθ, n=1 hvor c n = c n (f) = 1 n Z f()e in d, n Z. Denne række kaldes den trigonometriske Fourierrække hørende til f. Udtrykket for Fourierkoefficienterne c n (f) har mening for alle f L 1 (T), men rækken er ikke altid konvergent i simpel forstand (f.eks. med punktvis konvergens). Vi skriver f n Zc n (f) e inθ. På den anden side kan man helt generelt betragte trigonometriske rækker af formen n Z c n e inθ, hvor {c n } n Z er et sæt komplekse tal. En sådan række kan godt være konvergent for alle θ R med sum f(θ), uden at f endda tilhører L 1 (T).
4 .4 Vores mål er at finde tilstrækkelige betingelser på f, for at Fourierrækken hørende til f konvergerer mod f i passende forstand (f.eks. punktvis konvergens, uniform konvergens, eller konvergens i et af de andre funktionsrum vi betragter). Vi bruger i reglen følgen s n (θ) = n k= n c ke ikθ som afsnitsfølge, hvilket svarer til den første skrivemåde ovenfor, eller til at ordne Z i rækkefølgen 0, 1, 1,,,... For konvergens af ortogonalrækker i Hilbert rum er det jo ligegyldigt hvilken ordning der vælges, jvf. Sætning 1.13, og dette gælder også for de andre konvergensbegreber hvis der er absolut konvergens. Hvis absolut konvergens ikke er sikret, er konvergensen bundet til valget af afsnitsfølge (det gælder for Sætning.1 og.3 nedenfor). Sætning.1. Hvis rækken n Z c ne inθ er uniformt konvergent, med sum f, da er f C(T) og c n = 1 f(θ)e inθ dθ. Bevis. Da leddene i rækken tilhører C(T), er f C(T). For hvert n fremkommer ved multiplikation med funktionen e inθ, som har numerisk værdi 1, en ny uniformt konvergent række: f(θ)e inθ = m Zc m e i(m n)θ. Her er ledvis integration tilladt, det giver at 1 f(θ)e inθ dθ = m Z c m (e imθ, e inθ ) = c n. Fourierrækken n Z c n e inθ kan også skrives 1 a 0 + (a n cos nθ + b n sin nθ), hvor n=1 a n = c n + c n = 1 π b n = i(c n c n ) = 1 π f(θ) cosnθ dθ, for n N 0, f(θ) sinnθ dθ, for n N; hvilket følger direkte af Eulers formler. Denne formulering benyttes specielt, når f er reel, og man ønsker en rækkeudvikling med reelle led. Systemet { sin nθ} n N { cos nθ} n N {1}
5 .5 er et reelt ortonormalsystem i L (T). Sinus og cosinus systemerne kan benyttes hver for sig på intervallet [0, π], jvf. Opg..9 og.10; der er en systematisk fremstilling i Kap. V Riemann-Lebesgues lemma. Idet funktionerne {e inθ } n Z udgør et ortonormalsystem i Hilbert rummet L (T), er Fourierkoefficienterne hørende til f L (T) ( L 1 (T)) c n (f) = (f, e inθ ) = 1 f(θ)e inθ dθ ; og der gælder ifølge Bessels ulighed (Sætning 1.13), at c n (f) f. n Z Specielt følger, at c n (f) 0, n ±. Vi vil nu vise, at dette endda gælder for f L 1 (T). Sætning. (Riemann-Lebesgues lemma). For enhver f L 1 (T) gælder, at c n (f) 0 for n ±. Bevis. Vi viser først, at L (T) ligger tæt i L 1 (T). Dette ses f.eks. af, at når f L 1 (T), er funktionerne (med N N) { f(θ) for f(θ) N f N (θ) = 0 for f(θ) > N, i L (T) (da de er begrænsede og målelige), og f N f i L 1 (T) for N ved Lebesgues majorantsætning. Så er også L (T) tæt i L 1 (T). Lad f L 1 (T). Til et givet ε > 0 vælges N så stort, at f f N 1 < ε. Da f N L (T), eksisterer et n 0, så at c n (f N ) < ε for n > n 0. Da er c n (f) = c n (f f N + f N ) c n (f f N ) + c n (f N ) f f N 1 + c n (f N ) < ε for n > n 0, og dette viser det ønskede.
6 .6.4. Punktvis konvergens. I dette afsnit betragtes en bestemt funktion f L 1 (T), ikke blot en ækvivalensklasse. Lad s n være det n te afsnit af Fourierrækken n Z c n(f)e inθ for f L 1 (T), dvs. n s n (θ) = c k (f)e ikθ. k= n Indsættes udtrykket for Fourierkoefficienterne får vi s n (θ) = 1 n k= n e ik(θ ) f()d 1 D n (θ )f()d, hvor D n (θ) = n k= n eikθ kaldes den n te Dirichlet kerne. Det følger af periodiciteten af D n og f, at D n (θ )f()d = +θ +θ D n ()f(θ )d = D n ()f(θ )d.? Den n te Dirichlet kerne for n = 1,..., 4. Lad os studere D n (θ) lidt nærmere. Ved brug af Eulers formler fås, for e iθ 1, dvs. for θ R \ Z, D n (θ) = n k= n e ikθ = e inθ n k=0 e ikθ = e inθ ei(n+1)θ 1 e iθ 1 = ei(n+ 1 )θ e i(n+ 1 )θ e i 1 θ e i 1 θ = sin(n + 1 )θ sin 1 θ.
7 .7 Det oprindelige udtryk for D n (θ) er veldefineret også for θ Z, dette stemmer med at sin(n + 1 )θ/ sin 1 θ har en hævelig singularitet i hvert af punkterne p, p Z. Sætning.3 (Dini s Test (1880)). En tilstrækkelig betingelse for, at Fourierrækken n Z c n e inθ for en funktion f L 1 (T) er konvergent i punktet θ R med sum n Z c n e inθ = s (dvs. s n k= n c ke ikθ 0 for n ), er at for et δ > 0. δ 0 f(θ + ) + f(θ ) s d <, Bevis. Idet D n er en lige funktion, har vi og da 1 s n (θ) = 1 0 f(θ )D n ()d + 1 = 1 (f(θ + ) + f(θ ))D n ()d, 0 D n()d = 1, følger s n (θ) s = 1 = 1 Lad os sætte g() = f(θ )D n ()d, (f(θ + ) + f(θ ) s)d n ()d f(θ + ) + f(θ ) s sin 1 sin(n + 1 ) d. f(θ + ) + f(θ ) s sin 1 for ]0, π], 0 for ] π, 0], så er s n (θ) s = 1 g() sin(n + 1 ) d. Da / sin 1 har en hævelig singularitet i 0, stemmer den overens med en kontinuert (dermed begrænset) funktion på [, π]. Idet vi skriver g() = f(θ + ) + f(θ ) s sin 1 for > 0,, ses, at ( ) medfører, at g L 1 ([, π]). Indføres sin(n+ 1 ) = 1 i (ei(n+ 1 )θ e i(n+ 1 )θ ), har vi endelig: s n (θ) s = 1 4πi g()e 1 i e in d 1 4πi g()e 1 i e in d, og det følger af Riemann-Lebesgues lemma, at s n (θ) s 0 for n. ( )
8 .8 Korollar.4. Lad f L 1 (T), og lad θ R. Dens Fourierrække n Z c n(f) e inθ konvergerer mod s i punktet θ, når en af følgende betingelser (som hver for sig medfører Dinis betingelse ( )) er opfyldt: 1 f C(T) og er differentiabel i θ, og s = f(θ). f er stykkevis kontinuert på R, samt differentiabel fra højre og fra venstre i θ (evt. med forskellige grænseværdier og differentialkvotienter fra højre: f(θ+), f (θ+), og fra venstre: f(θ ), f (θ )); og s = 1 (f(θ+) + f(θ )). 3 f er Hölder kontinuert af orden α > 0 i θ, dvs. der findes en konstant M, så f(θ) f() M θ α for R, og s = f(θ). Bevis. Bemærk først, at hvis h() = f(θ + ) + f(θ ) s er kontinuert, eller blot stykkevis kontinuert, som funktion af på R +, så er ( ) opfyldt. (Vi minder om, at en funktion ϕ: [a, b] C kaldes stykkevis kontinuert, når der findes endeligt mange delepunkter t 0 = a < t 1 < < t m 1 < t m = b, så ϕ stemmer overens med en funktion ϕ j C([t j 1, t j ]) på hvert interval ]t j 1, t j [.) Når 1 gælder, vil f(θ + ) + f(θ ) s f(θ + ) f(θ) f(θ ) f(θ) = + f (θ) f (θ) = 0 for 0, så h() er kontinuert på R +, når h(0) sættes lig med 0. Når gælder, har vi f(θ + ) + f(θ ) s f(θ + ) f(θ+) f(θ ) f(θ ) = + f (θ+) f (θ ) for 0, så her er h() stykkevis kontinuert på R +. I begge tilfælde fås ( ) (bemærk at 1 = ).
9 .9 Endelig, når 3 er opfyldt, er f(θ + ) + f(θ ) s f(θ + ) f(θ) f(θ ) f(θ) + M α 1, for > 0. Da funktionen α 1 kan integreres ind i 0 når α > 0, ses, at ( ) er opfyldt. Specielt bemærker vi, at Fourierrækken for f konvergerer mod f(θ) i ethvert punkt, når f C(T) og er differentiabel fra højre og venstre i ethvert punkt; eller når f er Hölder kontinuert af orden α > 0 på R, dvs. der findes en konstant M, så f(θ 1 ) f(θ ) M θ 1 θ α, for θ 1, θ R. Bemærk, at det er nok at verificere en sådan ulighed for θ 1 og θ i et periodeinterval..5. Uniform konvergens. Lad os nu også betragte rummet C 1 (T) af kontinuert differentiable funktioner f(θ) med periode ; det er et Banach rum med normen f C 1 (T) = f u + f u. Bemærk, at det kan identificeres med rummet af C 1 -funktioner f på [, π], for hvilke både f() = f(π) og f () = f (π). Lemma.5. For f C 1 (T) gælder c n (f ) = in c n (f). Bevis. c n (f ) = 1 = 1 f (θ)e inθ dθ [f(θ)e inθ] π = in c n (f), 1 f(θ)( in)e inθ dθ hvor vi har brugt delvis integration og udnyttet at f() = f(π).
10 .10 Sætning.6. Når f C 1 (T), konvergerer Fourierrækken n Z c n(f)e inθ absolut og uniformt mod f. Bevis. Den generaliserede Bessel ulighed for f L (T) giver n Z hvorefter det følger af Lemma.5, at c n (f ) 1 f (θ) dθ, n c n (f) f. (1) n Z Betragt rækken n Z c n(f). Denne række er en konvergent majorantrække for Fourierrækken n Z c n(f)e inθ, da der for hvert N N gælder: 0< n N c n (f) = 0< n N ( 0< n N C f, nc n (f) 1 n n c n (f) ) 1 ( 0< n N med C = ( n N 1 )1 n 1 n )1 ; her brugte vi Cauchy-Schwarz ulighed for skalarproduktet i C N, samt (1) og den velkendte konvergens af rækken n N 1 n. Dette medfører at Fourierrækken n Z c n(f)e inθ konvergerer absolut og uniformt mod en kontinuert funktion f. (Vi minder om at ordene absolut og angiver, at rækken af absolutværdier også konvergerer uniformt.) Da f C 1 (T), konvergerer Fourierrækken punktvis mod f(θ) for alle θ R ifølge Dinis test (Korollar.4 1 ), og vi kan slutte at f = f. Det er ikke kun for funktionerne i C 1 (T), at Fourierrækken konvergerer uniformt; vi skal nu se på et noget større underrum af C(T), hvor dette gælder. Betragt følgende rum H 1 (T) af funktioner: H 1 (T) = { f(θ) = θ g()d + k g L (T), c 0 (g) = 0, k C }. () Ifølge Infinitesimalregningens Hovedsætning (Sætning II 5.6) er funktionerne i H 1 (T) kontinuerte, og betingelsen c 0 (g) = 0 sikrer, at de er periodiske
11 .11 med periode, altså H 1 (T) C(T). Ifølge en sætning af Lebesgue er f H 1 (T) endda differentiabel n.o. med f = g L (T) (Sætning II 5.8). H 1 (T) indeholder de funktioner i C(T) som er stykkevis C 1. Vi vil nu vise, at for f H 1 (T) med g som ovenfor gælder c n (g) = i n c n (f). (3) =?? Dette er klart for n = 0, og for n 0 har vi θ i n c n (f) = i n c n (f k) = in g()e inθ ddθ = in ( g()e inθ dθ ) d = 1 g() ( e in e inπ) d = c n (g), hvor vi har ombyttet integrationsordenen ved brug af Fubinis sætning. Endvidere gælder: Lemma.7. Når f H 1 (T), er f Hölder kontinuert af orden 1/ på [, π], dvs. der findes M > 0 så f(θ 1 ) f(θ ) M θ 1 θ 1 for θ 1, θ [, π]. Bevis. Lad θ θ 1. For f H 1 (T) gælder, at f(θ 1 ) f(θ ) = θ 1 θ g(θ)dθ med g L (T). Det følger da af Cauchy-Schwarz ulighed, at f(θ 1 ) f(θ ) θ1 ( 1 g(θ) dθ θ 1 θ 1 θ )1 g(θ) dθ,
12 .1 så vi kan vælge M = ( g(θ) dθ )1. (Man ser ved brug af periodiciteten, at uligheden medfører gyldighed af en lignende ulighed for alle θ 1, θ R, med et større M.) Af Dinis test (Korollar.4 3 ) følger nu, at Fourierrækken for f H 1 (T) konvergerer punktvis mod f for alle θ R. Endvidere kan argumentet i Sætning.6 på grund af (3) udvides til at vise at n Z c n(f) < også for f H 1 (T), og dermed følger den lovede generalisation af Sætning.6: Sætning.8. Når f H 1 (T), konvergerer Fourierrækken n Z c n(f)e inθ absolut og uniformt mod f..6. Konvergens i L (T) og Parsevals ligning. Vi har set, at når f C 1 (T) (eller blot H 1 (T)), konvergerer Fourierrækken for f uniformt mod f. Der findes funktioner f C(T), hvis Fourierrække divergerer i visse punkter, men mængden af sådanne punkter udgør en Lebesgue nulmængde ifølge en dybtgående sætning af den svenske matematiker L. Carleson (1966): For f L (T) er Fourierrækken c n(f)e inθ konvergent for næsten alle θ R med sum f(θ). I dette afsnit vises en enklere sætning, nemlig at Fourierrækken for f L (T) er konvergent med sum f i Hilbert rummet L (T). I beviset får vi brug for følgende tæthedsresultat: Lemma.9. Mængden C (T) af vilkårligt ofte differentiable funktioner på R med periode er tæt i L (T); ydermere er Cc ( ], π[ ) (hvor elementerne udvides til periodiske funktioner) tæt i L (T). Tilsvarende udsagn gælder for L (T), når funktionerne i C (T) erstattes med deres ækvivalensklasser. Bevis. Af Sætning II 7.8 ses, at C c ( ] π, π[ ) (dvs. de kontinuerte funktioner med støtte i kompakte delintervaller af ] π, π[ ) er tæt i L ( ] π, π[ ). Beviset for Sætning II 8.1 giver, at også Cc ( ], π[ ) er tæt i L ( ], π[ ) (idet supp v ε suppv + [ ε, ε]). Ved udvidelse til periodiske funktioner på R fås lemmaet for L (T), og det følger umiddelbart for L (T). (Bemærk, at Cc ( ] π, π[ ) her giver funktioner som er 0 i omegnen af π + pπ for p Z.) Sætning.10. For f L (T) er Fourierrækken konvergent i L (T) med sum f, dvs. s N (, f) f 0 for N, hvor s N (θ, f) = N n= N c n(f)e inθ. Der gælder altså, at f = n Z c n(f)e inθ i L (T); dermed gælder også Parsevals ligning f = n Z c n (f).
13 .13 Bevis. Lad f L (T) og ε > 0 være givet. Ifølge Lemma.9 findes g C (T) så f g ε. Af det sidste udsagn i Bessels approksimationssætning følger, at f s N (, f) f s N (, g), og for udtrykket til højre har vi endvidere f s N (, g) f g + g s N (, g) ε + g s N (, g) ε + g s N (, g) u ε når N er tilstrækkeligt stor, ved Sætning.6 anvendt på g. Dette viser konvergensen af Fourierrækken i Hilbert rummet L (T), og Parsevals ligning følger som i Sætning Sætning.10 viser ifølge Sætning 1.14, at ortonormalsystemet {e inθ } n Z er en ortonormal basis for Hilbert rummet L (T). Erstattes indeksmængden N i Sætning 1.16 med Z, kan denne sætning anvendes på basen {e inθ } n Z i L (T). Lad os her betegne den optrædende afbildning ved F, altså F : f {(f, e inθ )} n Z = {c n (f)} n Z. Sætning 1.16 viser, at F er en isometrisk isomorfi af L (T) på l (Z). Enhver følge {c n } n Z l (Z) er altså billede af en funktion f L (T) ved F. Dettte viser: Korollar.11. Når {c n } n Z er en talfølge med n Z c n <, dvs. {c n } n Z l (Z), så konvergerer s N (θ) = N n= N c n e inθ i L (T) for N mod en funktion f(θ), som netop har Fourierkoefficienterne c n (f) = c n. Vi bemærker, at Opg viser, at (f, g) = n Zc n (f)c n (g) for alle f, g L (T).
14 .14 Opgaver til..1. Lad f n (α) = 0 xα sin nx dx, hvor α > og n N. Vis, at 0, α > 1, lim f n(α) = en konstant, α = 1, n +, < α < 1... Find Fourierrækken for f(θ) = sin 3 (θ)..3. Lad f C(T) være stykkevis C 1, dvs. der findes delepunkter t 0 = < t 1 < < t m 1 < t m = π, så f stemmer overens med en funktion f j C 1 ([t j 1, t j ]) på hvert interval ]t j 1, t j [. Vis, at f H 1 (T), med f(θ) = θ g() d + f(), hvor g er en stykkevis kontinuert funktion, der stemmer overens med f j på hvert interval ]t j 1, t j [..4. Find Fourierrækken for f defineret ved: f(θ) = θ for θ [, π[, f(θ + ) = f(θ). Vis, at Fourierrækken ikke konvergerer uniformt for θ [, π]..5. Vis, at n=1 1 n = π 6. (Vink. Brug Parsevals ligning for f(θ) i Opg..4.).6. Vis, at π 4 = n=1 sin(n 1)θ n 1 for hvert θ ]0, π[, og beskriv rækkens sum for hvert θ R ved en skitse af sumfunktionen. Bemærk specielt, at π 4 = ( 1) n 1 1 n 1. n=1.7. Lad f og g L 1 (T). Vis, at foldningsproduktet f g defineret ved (f g)(θ) = 1 f(θ θ 1 )g(θ 1 )dθ 1
15 .15 giver en funktion i L 1 (T)..8. Vis, at c n (f g) = c n (f)c n (g) for f, g L 1 (T)..9. Vis, at { π sin nθ} n=1 er en ortonormal basis for L ([0, π]). Diskuter uniform konvergens af Fourierrækken. (Vink. Udnyt, at man kender en basis for L (T). Pas på normeringen.).10. Vis, at { } { 1 π π cos nθ} er en ortonormal basis for L n=1 ([0, π]). Diskuter uniform konvergens af Fourierrækken..11. Find Fourierrækken for funktionen f defineret ved f(θ) = θ for θ [, π[, f(θ + ) = f(θ), og diskuter konvergensen..1. Vis, at { π sin(n 1 )θ} n=1 er en ortonormal basis for L ([0, π])..13. Vis, at når f C m (T), konvergerer Fourierrækken, og de ved ledvis differentiation op til orden m 1 dannede rækker, uniformt mod de tilsvarende afledede af f..14. Vis, at når f L (T) og Fourierkoefficienterne opfylder n Z nm c n (f) < for et m N, så er f C m 1 (T)..15. Lad α ] 1, 1], og lad f α (θ) = θ α for 0 < θ π, f α (0) = 0, forlænget til en funktion med periode. (a) Vis, at for α > 0 er f α er Hölder kontinuert af orden α. (b) Vis, at f α H 1 (T), hvis α > 1. (c) Vis, at f α / H 1 (T), hvis α < 1. (Vink. Brug Lemma.7.) (Bemærkning. For fuldstændigheds skyld oplyses, at f 1 / H1 (T).).16. Idet f α defineres som i Opg..15, skal man vise: (a) f α L 1 (T) for α > 1. (b) f α L (T) for α > 1. (c) Fourierrækken for f α konvergerer punktvis mod f for α > 0. (d) Fourierrækken for f α konvergerer uniformt mod f for α > Betragt en funktion f på R med periode, således at f er kontinuert undtagen for θ = θ 0 + pπ. Antag endvidere, at f(θ 0 ±) = lim ɛ 0 f(θ 0 ± ɛ)
16 .16 eksisterer, og f opfylder f(θ) f(θ 0 +) M + θ θ 0 α +, for θ ]θ 0, θ 0 + [, f(θ) f(θ 0 ) M θ θ 0 α, for θ ]θ 0, θ 0 [, hvor M ±, α ± R +. Vis, at Fourierrækken for f i punktet θ = θ 0 konvergerer mod s = 1 ( f(θ0 +) + f(θ 0 ) ). Er f Hölder kontinuert af orden > 0?
Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb
1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum
Læs mereMatematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus
Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mere3. Operatorer i Hilbert rum
3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereMatematik 2 MA Matematisk Analyse. Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger. Gerd Grubb
1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereAnalyse 1. Matthias Christandl
Analyse 1 Matthias Christandl Marts 2019 ii Forord Følger af tal kan opføre sig på mange forskellige måder, bare tænk på talfølgerne som går mod uendelig, som konvergerer mod nul, og 1, 2, 3, 4, 5,...,
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereDeskriptiv teori: den karakteristiske funktion
Kapitel 15 Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Når man forsøger at karakterisere et sandsynlighedsmål ν på R ved hjælp af dets momenter, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere polynomier
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereMat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28
Mat2AN Minilex Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dk 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl.
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mere4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet
4.1 4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet 4.1. Indledning, de forskellige typer. Der er tre hovedeksempler på partielle differentialligninger, som har særlig betydning i fysik:
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereOpgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1
1.17 Opgaver til 1. 1 1.1. Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z + 1 1 z ). 1.2. Beskriv billedkurverne
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereEksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =
Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereANALYSE 1, 2013, Uge 2
ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereSvag konvergens. Kapitel Historisk indledning
Kapitel 4 Svag konvergens 4.1 Historisk indledning I første halvdel af 1700-tallet var stort set al sandsynlighedsregning af kombinatorisk natur. Hovedværker fra perioden er Abraham de Moivres The Doctrine
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mere