Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6"

Transkript

1 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter 10 7 Multiple rødder og differentialregning 11 8 Løsningsskitser 12 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter samt løsningsstrategier. Desuden er der afsnit om polynomier med heltallige koefficienter og deres særlige egenskaber mht. delelighed og irreducibilitet. Der er løsninger til samtlige opgaver bagerst i noterne. I noterne betegner sædvanligvis mængden af hele tal, mængden af rationale tal, mængden af reelle tal og mængden af komplekse tal. Desuden betegner en af disse fire talmængder. De komplekse tal kan beskrives som mængden af alle tal på formen a +i b, hvor i = 1 og a og b er reelle tal. Alle opgaver kan regnes uden brug af komplekse tal. 1 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

2 1 Polynomier Først skal vi have defineret hvad et polynomium er, og indført nogle centrale begreber. Polynomium Et polynomium P er en funktion defineret på de reelle tal med forskriften P (x ) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, hvor a n,a n 1,...,a 1,a 0 og a n 0. Det kaldes yderligere et n te grads polynomium med koefficienter i. Mængden af polynomier med koefficienter i betegnes [x ]. (Husk at er enten,, eller.) Normeret polynomium Et polynomium kaldes normeret hvis koefficienten til højestegradsleddet er 1. Rod Tallet x 0 kaldes en rod i P hvis P (x 0 ) = 0. Nulpolynomiet Nulpolynomiet P er polynomiet der er konstant nul, dvs. P (x ) = 0 for alle x, og dets grad sættes per definition til. En hel central egenskab ved polynomier er at opskrivningen af entydig. Det handler de næste to sætninger om. Sætning 1.1. Nulpolynomiet er netop det polynomium hvor alle koefficienter er 0. Bevis Antag at der findes et polynomium P (x ) = a n x n a 0, hvor a n 0, så P (x ) = 0 for alle x. For n = 0 er 0 = P (x ) = a 0 0, hvilket er umuligt. Antag derfor at n > 0. Idéen i beviset er at vælge et A der er så stort at P (2A) ikke er 0. Sæt a i A = max a n i = 0, 1,...,n Bemærk at med dette valg af A er A 1 og a i A i a n A n for alle i = 0,...,n 1. Nu fås P (2A) = a n (2A) n + a n 1 (2A) n 1 + a n 2 (2A) n a 0 a n (2A) n a n 1 (2A) n 1 + a n 2 (2A) n a 0 = a n A n 2 n a n 1 A n 1 2 n 1 + a n 2 A n 2 2 n a 0. a n A n 2 n a n A n (2 n n ) = a n A n > 0. Altså er P (2A) 0 hvilket er en modstrid. Entydighedssætningen 1.2. Hvis to polynomier P og Q er identiske, dvs. at P (x ) = for alle x, da er deres koefficienter identiske. Opskrivningen af polynomier er altså entydig. Bevis Antag at P (x ) = for alle x. Hvis koefficienterne i P og Q ikke er identiske, da er 0 = G (x ) = P (x ) = a n x n a 0, hvor n 0 og a n 0, for alle x. Men dette er i modstrid med sætning 1.1. Altså er opskrivningen af polynomier entydig. Lige og ulige polynomier Et polynomium kaldes for lige hvis P (x ) = P ( x ) for alle reelle tal x. Et polynomium kaldes for ulige hvis P (x ) = P ( x ) for alle reelle tal x. Opgave 1.1. Vis at de lige polynomier netop er de polynomier hvor koefficienterne hørende til led af ulige potenser af x er nul. Vis tilsvarende at de ulige polynomier netop er de polynomier hvor koefficienterne hørende til led af lige potenser af x er nul. 2 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

3 Det reelle tal a er rod i P (x ) = x 3 x 1. Vi ønsker at bestemme et tredjegradspolynomium med heltallige koefficienter som har a 2 som rod. Da a er rod i P, ved vi at a 3 a 1 = 0 og a 3 a = 1. Det udnytter vi til at konstruere et tredjegradspolynomium med a 2 som rod: Altså er a 2 er rod i 0 = (a 3 a 1) 2 = a 6 + a a 4 2a 3 + 2a = (a 2 ) 3 2(a 2 ) 2 + a (a 3 a ) = (a 2 ) 3 2(a 2 ) 2 + a 2 1. = x 3 2x 2 + x 1. Når man skal undersøge hvor mange reelle rødder et polynomium har, behøver man ikke nødvendigvis finde de reelle rødder. Man kan i stedet udnytte at et polynomium er en kontinuert funktion, og benytte Mellemværdisætningen. Fx har fjerdegradspolynomiet P (x ) = x 4 2x 3 2x 2 + 3x + 1 fire reelle rødder da P ( 2) = 19, P ( 1) = 1, P (0) = 1, P (2) = 1 og P (3) = 19, dvs. der er ifølge Mellemværdisætningen en reel rod i hvert af følgende intervaller ] 2; 1[, ] 1; 0[, ]0; 2[ og ]2; 3[. At det ikke kan have flere reelle rødder end dets grad, følger af teorien i de næste kapitler. Opgave 1.2. Et tredjegradspolynomium P (x ) = x 3 +2x 2 3x 5 har rødderne a, b og c. Angiv et tredjegradspolynomium med rødderne 1 a, 1 b og 1 c. (Georg Mohr-Konkurrencen 1994) Opgave 1.3. Bestem samtlige mulige værdier af x + 1 x, hvor x tilfredsstiller ligningen x 4 + 5x 3 4x 2 + 5x + 1 = 0, og løs denne ligning. (Georg Mohr-Konkurrencen 2000) Polynomier betragtet som funktioner over de reelle tal er kontinuerte. Her vil vi ikke definere kontinuitet, men vi udnytter flere gange følgende kontinuitetsegenskab som vi ikke beviser. Opgave 1.4. Vis at fjerdegradspolynomiet har fire reelle rødder. P (x ) = x (x 2)(x 4)(x 6) + (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) Sætning 1.4. Et polynomium af ulige grad med reelle koefficienter har altid mindst en reel rod. Opgave 1.5. Udnyt Mellemværdisætningen 1.3 til at vise Sætning 1.4. Mellemværdisætningen 1.3. Lad f : [a, b ] være en kontinuert funktion, og lad d være et reelt tal mellem f (a ) og f (b ). Da findes et tal c ]a ; b [ så f (c ) = d. 3 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

4 2 Polynomiumsdivision på polynomiumsdivision Man dividerer P (x ) = x 3 2x 2 + 2x 15 med = x 3 sådan: Opgave 2.1. Udfør følgende divisioner: a) Divider P (x ) = x 4 2x 2 + 3x 2 med = x 1. b) Divider P (x ) = 3x 4 + 8x x 2 + 9x + 4 med = x 2 + x + 1. c) Divider P (x ) = n x n+1 (n + 1)x n + 1 med = x 1. x 3 x 3 2x 2 + 2x 15 x 2 + x + 5 x 3 3x 2 (x 3) x 2 x 2 + 2x 15 (x 3) x x 2 3x 5x 15 5x 15 (x 3) 5 0 rest Da resten er 0, betyder det at resultat Sætning om polynomiumsdivision 2.1. Lad P og Q være polynomier i [x ] af grad henholdsvis n og m med n,m 0. Hvis =, antages yderligere at koefficienten til m tegradsleddet i Q er ±1. Da findes et entydigt bestemt polynomium D af grad n m og et entydigt bestemt polynomium R af grad mindre end m, begge med koefficienter i, så P (x ) = D (x ) + R (x ). Polynomiet R kaldes resten af P ved division med Q. P (x ) = x 3 2x 2 + 2x 15 = (x 3)(x 2 + x + 5). på polynomiumsdivision med rest Man dividerer P (x ) = x 3 + 3x 2 2x + 7 med = x sådan: x x 3 + 3x 2 2x + 7 x + 3 (x 2 + 1) x x 3 + 0x 2 + x 3x 2 3x + 7 3x 2 + 0x + 3 (x 2 + 1) 3 3x + 4 rest Her er resten 3x + 4, og dvs. at P (x ) = x 3 + 3x 2 2x + 7 = (x 2 + 1)(x + 3) 3x + 4 resultat Hvis du ikke er fortrolig med polynomiumsdivision, så løs følgende opgave inden du går videre til teorien. Bevis Lad P (x ) = a n x n a 0 og = b m x m b 0, hvor a n, b m 0. Først viser vi eksistensen ved induktion efter n. For n < m er eksistensen oplagt med D (x ) = 0 og R (x ) = P (x ). Lad n = N m, og antag at sætningen er sand for alle n < N. Da er P 1 (x ) = P (x ) a n b m x n m et polynomium af grad mindre end n med koefficienter i, og dermed findes ifølge induktionsantagelsen polynomier D 1 og R så P 1 (x ) = D 1 (x ) + R (x ) hvor graden af R er mindre end m. Nu er P (x ) = P 1 (x ) + a n b m x n m = D 1 (x ) + R (x ) + a n b m x n m = (D 1 (x ) + a n b m x n m ) + R (x ), dvs. nu har vi vist eksistensen. 4 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

5 Bemærk at koefficienterne i D og R stadig er elementer i da a n b m a n, b m, og vi har forudsat at b m = ±1 hvis =. når Vi undersøger for hvilke n det gælder at x går op i For at vise entydigheden antager vi at der findes polynomier D 1, D 2, R 1 og R 2 i [x ], hvor R 1 og R 2 har grad mindre end m, så Da er P (x ) = D 1 (x ) + R 1 (x ) = D 2 (x ) + R 2 (x ). (D 1 (x ) D 2 (x )) + R 1 (x ) R 2 (x ) nulpolynomiet. Da Q har grad m, og R 1 R 2 har grad mindre end m, giver Entydighedssætningen at D 1 D 2 er nulpolynomiet og altså D 1 = D 2. Dermed er R 1 R 2 også nulpolynomiet og R 1 = R 2, dvs. D og R er entydigt bestemt. Denne sætning svarer til sætningen om hele tal der siger at hvis n og m er hele tal, m 0, da findes to entydigt bestemte hele tal d og r, 0 r < m, så at n = d m + r. Her er r resten ved division af n med m. At et polynomium går op i et andet polynomium, vil ligesom for hele tal sige at resten ved division er 0, hvilket følgende definition siger. Delelighed Et polynomium Q siges at gå op i P i [x ], P,Q [x ], hvis der findes et polynomium D [x ] så P (x ) = D (x ). Reducibilitet Et polynomium P kaldes reducibelt i [x ] hvis der findes to polynomier S,T [x ] af grad mindst en så P (x ) = S(x )T (x ). Irreducibilitet Et polynomium P kaldes irreducibelt i [x ] hvis det ikke er reducibelt i [x ]. P n (x ) = x n + x n x + 1. Da P 3 (x ) = (x 2 + 1)(x + 1), må x gå op i x m + x m+1 + x m+2 + x m+3 = x m P 3 (x ). Dermed vil x 2 +1 gå op i P 4t +s (x ) netop når x 2 +1 går op i P s (x ). Da x 2 +1 ikke går op i P 2 (x ),P 1 (x ) og P 0 (x ), går x op i P n (x ) netop hvis n har rest 3 ved division med 4. med rester Hvis vi skal finde resten af P (x ) = x x ved division med = x 2 4 uden at udføre selve divisionen, udnytter vi sætningen om division med rest, dvs. vi ved at der findes et polynomium D med heltallige koefficienter og hele tal a og b så For x = 2 er og for x = 2 er x x = (x 2 4)D (x ) + a x + b. 2a + b = = , 2a + b = ( 2) ( 2) = Dermed er resten a x + b = x + 1. Opgave 2.2. Bestem resten ved division af x 100 2x med x 2 1. Opgave 2.3. Vis at P (x ) = x er irreducibelt i [x ]. Opgave 2.4. Bestem a og b så (x 1) 2 går op i a x 4 + b x Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

6 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder En helt central egenskab ved polynomier som vi kommer til at udnytte igen og igen, er følgende: Korollar om antallet af rødder 3.2. Et n te grads polynomium har højst n reelle rødder. Sætning om rødder og faktorisering 3.1. Lad P være et n te grads polynomium med koefficienter i. Hvis x 0 er rod i P, da findes et entydigt bestemt polynomium D af grad n 1 med koefficienter i så P (x ) = (x x 0 )D (x ). Specielt gælder at hvis x 1, x 2,..., x m er rødder i P, da findes et entydigt bestemt polynomium D af grad n m med koefficienter i så P (x ) = (x x 1 )(x x 2 )...(x x m )D (x ). Bevis. Antag at x 0 er rod i P og x 0. Da findes ifølge Sætningen om polynomiumsdivision 2.1 entydigt bestemte polynomier D og R i [x ], hvor R har grad højst nul, så P (x ) = (x x 0 )D (x ) + R (x ). Dermed er R (x 0 ) = 0, og da R har grad højst nul, må det være nulpolynomiet. Altså findes et polynomium D i [x ] så P (x ) = (x x 0 )D (x ). Bemærk at polynomiet x x 0 er normeret, så Sætningen om polynomiumsdivision 2.1 holder også i tilfældet =. Hvis vi antager at x 1, x 2,..., x m er rødder i P, fås ved at gentage argumentationen ovenfor at der findes et polynomium D i [x ] så P (x ) = (x x 1 )(x x 1 ) (x x m )D (x ). Korollar om entydighed 3.3. Hvis P og Q er to polynomier af grad højst n, og P (x ) = for n + 1 forskellige værdier af x, da er P = Q. Bevis. Antag at P og Q er to polynomier af grad højst n, og P (x ) = for n + 1 forskellige værdier af x. Da er P (x ) et polynomium af grad højst n med n + 1 rødder, og dermed er P (x ) nulpolynomiet. Polynomiet P (x ) = x 4 2x 2 + 3x 2 [x ] har x 0 = 1 som rod. Dermed ved vi at x 1 er divisor i polynomiet, og ved division ses at P (x ) = x 4 2x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 + x 2 x + 2). Hvis vi betragter polynomiet P (x ) = x n a n, er det nemt at se at x 0 = a er rod. Dermed går x a op i P, og ved division ses at x n a n = (x a )(x n 1 + x n 2 a + x n 3 a x a n 2 + a n 1 ). Opgave 3.1. Find en rod i polynomiet P (x ) = x 2n+1 + a 2n+1, og udfør polynomiumsdivision som i eksemplet ovenfor. Opgave 3.2. En af de to rødder i polynomiet P (x ) = m x 2 10x + 3 er 2 3 af den anden rod. Bestem samtlige mulige værdier af m. 6 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

7 Hvis et fjerdegradspolynomium med koefficienter i fx er reducibelt i [x ] og ikke har nogen heltallige rødder, så ved vi at det ikke er deleligt med et førstegradspolynomium. Derfor må det være produkt af to andengradspolynomier. Opgave 3.3. Vis at P (x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 er irreducibelt i [x ]. For at undersøge for hvilke n polynomiet P (x ) = x n x n 2 + 1, n > 3, er deleligt med = x 3 x + 1, bemærker vi at Q går op i P netop når Q går op i P (x ) = x n x n 2 x 3 + x. De reelle rødder i polynomiet P (x ) = x n x n 2 x 3 + x = x (x 2 1)(x n 3 1) er x = 0 og x = ±1. Polynomiet Q har mindst en reel rod da det er et tredjegradspolynomium, og denne reelle rod er ikke x = 0 eller x = ±1. Polynomiet Q går derfor ikke op i P Q og dermed heller ikke i P for noget n. Opgave 3.4. Undersøg for hvilke n polynomiet P (x ) = x n + x n 1 1, n > 4, er deleligt med = x 4 + x 3 1. Opgave 3.5. Bestem alle polynomier P med heltallige koefiicienter hvor (x 26)P (x + 13) = x P (x ). Om et tredjegradspolynomium P vides at P ( 1) = P (0) = P (1) = 7 og P (2) = 19. For at bestemme P indfører vi et nyt polynomium Q der har x = 1, 0, 1 som rødder. Sæt = P (x ) 7. Da er x = 1, 0, 1 alle rødder i tredjegradspolynomiet Q, og vi ved yderligere ifølge sætningen om rødder og faktorisering 3.1 at = k(x + 1)x (x 1) = k x 3 k x og dermed P (x ) = k x 3 k x +7. Da P (2) = 19, fås 19 = k(2 3 2)+7) = 6k +7, og altså k = 2. Dermed er P (x ) = 2x 3 2x + 7. Opgave 3.6. Om et fjerdegradspolynomium P (x ) = x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e, hvor b, c, d og e er hele tal, gælder at P (0) = P (1) = P (2) = P (3). Bestem samtlige mulige værdier af b. Opgave 3.7. Lad P være et n te grads polynomium med P (k) = k k+1 for k = 0, 1, 2,...,n. Bestem P (n +1). (Hint: Indfør et smart nyt polynomium Q af grad n + 1.) Som afslutning på dette kapitel ser vi på algebraens fundamentalsætning. Den kræver kendskab til komplekse tal og er ikke en sætning vi bruger, men blot ment som perspektivering. Algebraens fundamentalsætning 3.4. Lad P være et n te grads polynomium med koefficienter i. Da har polynomiet n ikke nødvendigvis forskellige rødder x 1, x 2,..., x n så P (x ) = a n (x x 1 )(x x 2 )...(x x n ). Vi beviser ikke algebraens fundamentalsætning da det kræver et rimeligt kendskab til komplekse tal. 7 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

8 Sætning 3.5. Lad P være et polynomium med koefficienter i og grad mindst 1. Da kan P faktoriseres i første- og andengradspolynomier med koefficienter i. Dette skyldes at de komplekse rødder kommer i par a + i b og a i b, og at (x (a + i b ))(x (a i b )) = (x 2 2a x + a 2 + b 2 ) [x ]. Da beviset for dette kræver kendskab til komplekse tal, springes det over. 4 Koefficienter Andengradspolynomiets koefficienter 4.1. Hvis andengradspolynomiet P (x ) = x 2 + b x + c har rødderne x 1 og x 2, da er P (x ) = (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2, dvs. at b = (x 1 + x 2 ) og c = x 1 x 2. Tredjegradspolynomiets koefficienter 4.2. Hvis tredjegradspolynomiet P (x ) = x 3 + b x 2 + c x + d har rødderne x 1, x 2 og x 3, da er P (x ) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = x 3 (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )x x 1 x 2 x 3, dvs. at b = (x 1 + x 2 + x 3 ), c = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 og d = x 1 x 2 x 3. På samme måde kan man bestemme koefficienterne i polynomier af højere grad ud fra rødderne. Hvis P (x ) = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 har rødderne 3, 1, 1, 3, da er a 2 = ( 3)( 1) + ( 3)1 + ( 3)3 + ( 1)1 + ( 1) = 10. Opgave 4.1. For hele tal a og n har polynomiet P (x ) = x 3 x 2 + a x 2 n tre heltallige rødder. Bestem a og n. Opgave 4.2. Lad x 1 og x 2 være rødderne i P (x ) = x 2 +a x +b c og x 2 og x 3 være rødderne i = x 2 + b x + a c. Vis at hvis a c b c, da er x 1 og x 3 rødderne i R (x ) = x 2 + c x + a b. 8 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

9 5 Polynomier med heltallige koefficienter I dette afsnit er alle tal hele tal, og alle polynomier har heltallige koefficienter. Sætning om delelighed 5.1. For et polynomium P gælder at når a b så vil a b P (a ) P (b ). Opgave 5.3. Lad P være et polynomium med heltallige koefficienter. Vis at der ikke findes tre forskellige hele tal a, b og c så P (a ) = b, P (b ) = c og P (c ) = a. Opgave 5.4. Et polynomium P har heltallige koefficienter og grad n. Desuden findes præcis k hele tal som er løsning til ligningen P (x ) 2 = 1. Vis at k n 2. (IMO 1974) Bevis Lad P (x ) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 og a b. Da a k b k = (a b )(a k 1 + a k 2 b + a k 3 b a b k 2 + b k 1 ), vil a b gå op i P (a ) P (b ) = a m (a m b m ) + a m 1 (a m 1 b m 1 ) a 1 (a b ). For et polynomium P er P (n) lig et trecifret tal for alle n = 1, 2, 3, Vi vil vise at P ikke har nogle heltallige rødder. (Baltic Way 1998) For ethvert helt tal m findes et n {1, 2,..., 1998} så 1998 n m. Dermed vil 1998 n m P (n) P (m). Da P (n) er et trecifret tal, følger det at P (m) 0. Dermed har P ikke nogen heltallige rødder. Opgave 5.1. Lad P være et polynomium med heltallige koefficienter så der findes to hele tal a og b så P (a ) = 1 og P (b ) = 3. Kan ligningen P (x ) = 2 have to forskellige heltallige løsninger? (Baltic Way 1994) Opgave 5.2. Lad P være et polynomium med heltallige koefficienter så der findes et helt tal n så P ( n) < P (n) < n. Vis at da er P ( n) < n. (Baltic Way 1991) 9 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

10 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter I dette afsnit gælder som før at alle tal er hele tal, og alle polynomier har heltallige koefficienter med mindre andet er nævnt. Sætning om rødder 6.1. Hvis et rationelt tal skrevet som uforkortelig brøk p q er rod i polynomiet P (x ) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 med heltallige koefficienter, da vil p a 0 og q a n. Specielt vil de eneste rationale rødder i være hele tal. Opgave 6.1. Bevis sætningen. P (x ) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 For at bestemme samtlige rationale rødder i P (x ) = x 5 + 3x 3 + 2x + 6 er det altså nok at tjekke de hele tal der går op i 6, dvs. at eneste rationale rod er x = 1. Gauss lemma 6.2. Hvis P er et polynomium med heltallige koefficienter som er irreducibelt i [x ], da er det også irreducibelt i [x ]. Bevis Antag at P (x ) = R (x ) [x ], hvor Q,R [x ] har grad mindst 1. Da alle koefficienter i Q er rationale, findes et mindste heltal q så q = q k x k + + q 0 [x ], og tilsvarende et mindste heltal r så Sæt r R (x ) = r m x m + + r 0 [x ]. q r P (x ) = qr R (x ) = a n x n + + a 1 x + a 0. På baggrund af faktoriseringen q r P (x ) = qr R (x ) vil vi finde en faktorisering af P i [x ]. Lad p være en primdivisor i q. Da er alle koefficienter i q r P (x ) delelige med p. Lad i være det mindste index så p går op i q 0,q 1,...,q i 1, men ikke i q i. Da må p gå op i r 0. Desuden er q 0 r i + q 1 r i q i r 0 = a i 0 (mod p), q 0 r i +1 + q 1 r i + + q i r 1 + q i +1 r 0 = a i +1 0 (mod p), dvs. r 1 også er delelig med p. Ved at fortsætte på denne måde ser vi at alle koefficienter i R er delelige med p, dvs. at r p R [x ]. Dermed har vi fået en ny faktorisering q r r P (x ) = q R (x ). p p Ved at fortsætte på denne måde får vi en faktorisering af P med polynomier med heltallige koefficienter. Eisensteins udvidede irreducibilitetskriterium 6.3. Lad P (x ) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 være et polynomium med heltallige koefficienter, hvor et primtal p går op i a 0,a 1,...a k, for et heltal 0 < k < n, mens p a k+1 og p 2 a 0. Da har P en irreducibel faktor af grad større end k i [x ]. Specielt er P irreducibel hvis k = n 1, og i dette tilfælde kaldes kriteriet blot for Eisensteins irreducibilitetskriterium. 10 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

11 Bevis Antag at P (x ) = R (x ), hvor 7 Multiple rødder og differentialregning = q s x s + + q 0 og R (x ) = r m x m + + r 0 er polynomier med heltallige koefficienter. Da a 0 = q 0 r 0 er delelig med p, men ikke med p 2, er netop en af q 0 og r 0 delelig med p. Antag wlog at p q 0 og p r 0. Da p går op i a 1 og a 1 = r 0 q 1 +q 0 r 1, må p q 1. Ved at fortsætte på denne måde ses at p går op i q 0,q 1,...,q k, men at p q k+1. Det følger heraf at Q har grad mindst k + 1. For at undersøge om polynomiet P (x ) = x er irreducibelt indenfor [x ], kan man bruge Eisenteins irreducibilitetskriterium, men ikke direkte. Bemærk først at P (x ) er irreducibelt, netop hvis P (x + 1) er irreducibelt. Da P (x +1) = x 5 +5x 4 +10x 3 +10x 2 +5x +5, er det irreducibelt ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium med primtallet p = 5, og dermed er P det også. Multiciplicitet Tallet x 0 siges at være m-dobbelt rod eller rod af multiplicitet m i et polynomium P hvis (x x 0 ) m går op i P. Hvis man tæller antallet af rødder i et polynomium med multiplicitet, betyder det at den m-dobbelte rod x 0 tæller m gange. Vi udnytter i det følgende at polynomier som funktioner over de reelle tal er differentiable. Sætning om røddernes multiplicitet 7.1. For et polynomium P gælder at x 0 er m-dobbelt rod i P netop hvis P (x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m 1) (x 0 ) = 0. Opgave 6.2. Vis at P (x ) = x 6 + 3x 4 + 6x 3 + 9x + 3 er irreducibelt i [x ]. Opgave 6.3. Vis at P (x ) = x p + p 2 x 2 + p x + p 1 er irreducibelt i [x ] for alle ulige primtal p. Opgave 6.4. Lad x 1, x 2,..., x n være forskellige heltal. Vis at er irreducibelt i [x ]. P (x ) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) 1 Opgave 6.5. Lad P (x ) = x n + 5x n 1 + 3, hvor n > 1 er et helt tal. Vis at P (x ) ikke kan skrives som et produkt af to polynomier med heltallige koefficienter og grad mindst en. (IMO 1993) Bevis Antag at x 0 er m-dobbelt rod i P, altså at P (x ) = (x x 0 ) m. Da er P (x ) = (x x 0 ) m 1 m + (x x 0 )Q (x ), og x 0 er dermed (m 1)-dobbelt rod i P. Tilsvarende ses at x 0 er (m 2)- dobbelt rod i P (2) osv., dvs. at P (x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m 1) (x 0 ) = 0. Antag omvendt at P (x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m 1) (x 0 ) = 0. Vi viser at hvis x 0 er n-dobbelt rod i et polynomium Q, da er x 0 (n + 1)-dobbelt rod i den stamfunktion Q til Q for hvilken Q (x 0 ) = 0, da dette giver det ønskede. Antag at x 0 er n-dobbelt rod i Q, og at Q er den stamfunktion til Q for hvilken Q (x 0 ) = 0. Antag at x 0 ikke er (n + 1)-dobbelt rod i Q. Ifølge algebraens fundamentalsætning kan vi faktorisere = (x x 0 ) n 0 (x x 1 ) n 1 (x x 2 ) n2 (x x k ) n k, 11 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

12 hvor 1 n 0 n. Dermed er Da Q (x ) = n 0 x x 0 + n 1 x x 1 + n 2 x x n k x x k. n 1 x x 1 + n 2 x x n k x x k er delelig med (x x 0 ) n 0 mens n 0 x x 0 ikke er, er Q ikke delelig med (x x 0 ) n 0. Da n 0 n, er x 0 ikke n-dobbelt rod i Q, hvilket er en modstrid. Lad P (x ) = n x n+1 (n + 1)x n + 1. Vi vil vise at (x 1) 2 går op i P. Ved differentiation får man P (x ) = (n + 1)n x n (n + 1)n x n 1, dvs. P (1) = P (1) = 0. Dermed er x = 1 dobbeltrod i P, og (x 1) 2 går op i P. Opgave 7.1. Bestem a og b så x = 1 er dobbelt rod i P (x ) = a x n +n x n 2 +b, n ulige. Opgave 7.2. Lad P være et sjettegradspolynomium som for to reelle tal a og b, 0 < a < b, opfylder at P (a ) = P ( a ), P (b ) = P ( b ) samt P (0) = 0. Vis at P (x ) = P ( x ) for alle reelle tal x. (BW 1998) Opgave 7.3. I et tredjegradspolynomium P (x ) = x 3 +a x 2 + b x + c er b < 0 og a b = 9c. Vis at P har tre forskellige reelle rødder. (Baltic Way 1992) Opgave 7.4. Bestem alle fjerdegradspolynomier P som opfylder følgende: i) P (x ) = P ( x ) for alle x. ii) P (x ) 0 for alle x. iii) P (0) = 1. iv) P (x ) har præcis to lokale minima i x 1 og x 2 således at x 1 x 2 = 2. (Baltic Way 1992) 8 Løsningsskitser Opgave 1.1 Lad P (x ) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 være et lige polynomium, dvs. at P (x ) = P ( x ). Dermed er 0 = P (x ) P ( x ) = 2(a 2m+1 x 2m+1 + a 2m 1 x 2m a 1 x ), hvor m er det største hele tal så n 2m +1. Da det eneste polynomium der er nul for alle x, ifølge sætning 1.1 er nulpolynomiet, består P (x ) kun af led af lige potens af x. At et ulige polynomium kun indeholder led af ulige potens af x, vises på tilsvarende måde. Opgave 1.2 Bemærk at P (x ) = x x 3 1 x , x dvs. = 1 + 2x 3x 2 5x 3 har rødderne 1 a, 1 b og 1 c. Opgave 1.3 Da x = 0 ikke er løsning til ligningen, kan vi dividere begge sider med x 2 og omskrive til en andengradsligning i x + 1 x. x 2 + 5x x + 1 x = 0 x x + 6 = 0. 2 x x Dermed er x + 1 x = 6 x + 1 x = 1. Disse to ligninger omskrives til x 2 +6x +1 = 0 x 2 x + 1 = 0. Af første ligning fås x = 3 ± 2 2, mens den sidste ikke har nogen løsninger. Opgave 1.4 Polynomiet P (x ) = x (x 2)(x 4)(x 6)+(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) har fire reelle rødder da P (0) > 0, P (1) < 0, P (3) > 0, P (5) < 0 og P (7) > 0, dvs. der er en reel rod i hvert af intervallerne ]0; 1[, ]1; 3[, ]3; 5[ og ]5; 7[. Opgave 1.5 Lad P (x ) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0 være et polynomium af ulige grad. Antag wlog at a n > 0. Vælg a i A = max a n i = 0, 1,...,n. 12 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

13 Da vil P (2A) = a n (2A) n + a n 1 (2A) n a 0 a n (2A) n a n 1 (2A) n a 0 a n A n 2 n a n A n (2 n n ) = a n A n > 0. På tilsvarende måde ses at P ( 2A) < 0. Ifølge Mellemværdisætningen findes dermed et c så P (c ) = 0. Dermed har P en reel rod. Hvis a n < 0 ses på tilsvarende vis at P (2A) < 0 og P ( 2A) > 0. Opgave 2.1 a) P (x ) = x 4 2x 2 + 3x 2 = (x 1)(x 3 + x 2 x + 2). b) P (x ) = 3x 4 + 8x x 2 + 9x + 4 = (x 2 + x + 1)(3x 2 + 5x + 4). c) P (x ) = n x n+1 (n + 1)x n + 1 = (x 1)(n x n x n 1 x n 2 x 1). Opgave 2.2 Vi ved at x 100 2x = (x 2 1) + a x + b. Ved at indsætte henholdsvis x = 1 og x = 1 får man a + b = 0 og a + b = 4, dvs. resten er 2x + 2. Opgave 2.3 Antag at polynomiet P (x ) = x er reducibelt i [x ]. Da findes to førstegradspolynomier Q og R med koefficienter i så P (x ) = R (x ). Førstegradspolynomierne Q og R har hver en reel rod (de er ikke nødvendigvis forskellige), og disse er derfor også rødder i P. Men det er en modstrid, for P (x ) = x > 0 for alle reelle tal x. Dermed er P irreducibelt i [x ]. Opgave 2.4 Sæt P (x ) = a x 4 + b x Antag at (x 1) 2 går op P. Da findes et polynomium Q med heltallige koefficienter så P (x ) = (x 1) 2. Altså er x = 1 rod i P. Det betyder at 0 = P (1) = a + b + 1 og altså b = a 1. Ved division ses at P (x ) = a x 4 + b x = (x 1)(a x 3 x 2 x 1). Dermed er (x 1) = a x 3 x 2 x 1. Altså er x = 1 også rod i a x 3 x 2 x 1, dvs. at a 3 = 0. Dette giver samlet a = 3 og b = 4. Opgave 3.1 Bemærk først at x 0 = a er rod i P (x ) = x 2n+1 +a 2n+1. Dermed går x + a op i P. Ved division ses at P (x ) = (x + a )(x 2n a x 2n 1 + a 2 x 2n 2 a 2n 1 x + a 2n ). Opgave 3.2 Kald rødderne i P for 2a og 3a. Da er P (x ) = m(x 2a )(x 3a ) = m x 2 5ma x + 6ma 2. Altså er 5ma = 10 og 6ma 2 = 3. Ved at løse ligningssystemet fås a = 1 4 og m = 8. Opgave 3.3 Bemærk først at x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = (x 2 + 1)(x 2 + x ) + 1 > 0 for alle hele tal x, dvs. at P (x ) ikke har nogle heltallige rødder. Hvis der findes et polynomium med heltallige koefficienter som går op i P (x ), må det altså være et andengradspolynomium. Antag at P (x ) = (x 2 + a x + b )(x 2 + c x + d ), hvor b = d = ±1 og a, c. Hvis vi ser på koefficienten til tredjegradsleddet, ses at 1 = a +c. Ved yderligere at se på koefficienten til førstegradsleddet fås 1 = b c + a d = b (a + c ) = b, dvs. b = d = 1. Nu er koefficienten til andengradsleddet 1 = b + d + a c = 2 + a c, og altså a c = 1. Dette er umuligt når a + c = 1 og a og c er hele tal. Altså er polynomiet irreducibelt i [x ]. Opgave 3.4 Polynomiet = x 4 + x 3 1 går op i P (x ) = x n + x n 1 1 netop hvis går op i P (x ) = x n + x n 1 x 4 x 3 = x 3 (x 1)(x n 4 1). Polynomiet Q har en reel rod mellem 0 og 1 da Q (0) = 1 og Q (1) = 1, men denne rod er ikke rod i P (x ). Dermed går Q ikke op i P for noget n. Opgave 3.5 Sæt først x = 0 i ligningen (x 26)P (x + 13) = x P (x ). Da er 26P (13) = 0, dvs. x = 13 er rod i P. Ved at indsætte x = 13 i ligningen fås 13P (26) = 13P (13) = 0. Dermed er x = 26 også en rod i P. Ifølge Sætningen om rødder og faktorisering 3.1 findes et polynomium Q med heltallige koefficienter så P (x ) = (x 13)(x 26). Den oprindelige ligning kan dermed omskrives til (x 26)x (x 13)Q (x + 13) = x (x 13)(x 26) for alle x. Dermed er Q (x + 13) = for alle x \{0, 13, 26}, og altså Q konstant. Dermed er de eneste polynomier P der opfylder det ønskede P (x ) = k(x 13)(x 26), 13 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

14 hvor k. Opgave 3.6 Vi ved at e = P (0) = P (1) = P (2) = P (3). Dermed har rødderne 0, 1, 2 og 3, dvs. Her af ses at b = 6. = P (x ) e = x 4 + b x 3 + c x 2 + d x = x (x 1)(x 2)(x 3) = x 4 6x x 2 6x. Opgave 3.7 Da P (k) k k+1 = 0 for k = 0, 1, 2,...,n, vil n +1 te grads polynomiet = P (x )(x + 1) x have rødderne 0, 1, 2,...,n. Dermed er = a (x 0)(x 1)(x 2)...(x n). Da Q ( 1) = 1, må a = ( 1)n+1 (n+1)!, og dermed Q (n + 1) + n + 1 P (n + 1) = n + 2 = ( 1)n+1 + n + 1 n for ulige n = n n+2 for lige n. Opgave 4.1 Kald de heltallige rødder for x 1, x 2 og x 3. Da er x 1 x 2 x 3 = 2 n, x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3 = a og x 1 +x 2 +x 3 = 1. Af sidste ligning ses at en eller tre af rødderne skal være ulige, og da x 1 x 2 x 3 = 2 n kan vi uden tab af generalitet antage at x 1 = ±1. Hvis x 1 = 1, skal x 2 + x 3 = 0 og x 2 x 3 = 2 n hvilket er umuligt. Altså er x 1 = 1 og x 2 x 3 = 2 n, x 2 + x 3 = 2 og 2 + x 2 x 3 = a. Heraf ses let at x 2 og x 3 er henholdsvis 4 og -2, dvs. a = 10 og n = 3. Opgave 4.2 Oplysningerne giver at a = (x 1 + x 2 ), b c = x 1 x 2, b = (x 2 + x 3 ) og a c = x 2 x 3, og vi skal vise at c = (x 1 + x 3 ) og a b = x 1 x 3. Af ligningerne ses at a b = x 3 x 1 og c (a b ) = x 2 (x 3 x 1 ). Da a c b c, får vi at c = x 2, a = x 3 og b = x 1. Sluttelig fås let at c = (x 1 + x 3 ). Opgave 5.1 Da a b vil b a P (b ) P (a ) = 3 1 = 2. Antag at P (c ) = 2. Da vil c a P (c ) P (a ) = 1 og b c P (b ) P (c ) = 1. Vi ved altså at c = a ± 1, c = b ±1 samt at a = b ±2 eller a = b ±1. Der findes højst et tal c der opfylder dette. Opgave 5.2 Vi ved at 2n = n ( n) P (n) P ( n), dvs. at P (n) P ( n) 2n. Dermed er P (n) 2n P ( n), og vi ved yderligere at P (n) < n. Samlet giver dette P ( n) P (n) 2n < n 2n = n. Opgave 5.3 Antag at der findes tre forskellige hele tal a, b og c så P (a ) = b, P (b ) = c og P (c ) = a. Lad fx uden tab af generalitet a c være den numerisk største differens mellem de tre tal, dvs. at a c > b a. Vi har nu at a c går op i P (a ) P (c ) = b a, hvilket er en modstrid. Opgave 5.4 Bemærk først at P (x ) 2 = 1 P (x ) 1 P (x ) + 1 = 0. Antag at P (a ) = 1 og P (b ) = 1 for to hele tal a og b. Da vil a b P (a ) P (b ) = 2, dvs. at b = a ± 1 b = a ± 2. Antag nu at m er den mindste heltallige løsning til P (x ) 1 P (x ) + 1 = 0, og antag fx at P (m) 1 = 0. Da findes højst to heltallige løsninger til P (x ) + 1 = 0, nemlig m + 1 og m + 2. Polynomiet P (x ) 1 er af n te grad og har derfor højst n rødder. Dermed har P (x ) 1 P (x ) + 1 = 0 højst n + 2 heltallige løsninger. Opgave 6.1 Antag at p q er rod i P, og at p q er uforkortelig. Da er p q n P = a n p n + a n 1 p n 1 q + + a 0 q n = 0, q og derfor må q gå op i a n p n og dermed i a n, og desuden må p gå op i a 0 q n og dermed i a 0. Opgave 6.2 Polynomiet P (x ) = x 6 + 3x 4 + 6x 3 + 9x + 3 er irreducibelt i [x ] ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium, hvor man benytter p = 3. Opgave 6.3 Polynomiet P (x ) = x p +p 2 x 2 +p x +p 1 er irreducibelt i [x ] for alle ulige primtal p, netop hvis p p P (x +1) = (x p + x p x +1)+p 2 (x 2 +2x +1)+(p x +p)+p 1 p 1 1 er irreducibelt. Da p i er delelig med p for alle i = 1, 2,...,p 1, når p er et primtal, er alle koefficienterne på nær højestegradskoefficienten til P (x + 1) delelige med p. Desuden er konstantleddet p 2 +2p ikke delelig med p 2, når p er et ulige primtal. Dermed er P (x + 1), og altså også P (x ), irreducibelt i [x ] ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium. 14 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

15 Opgave 6.4 Antag at P (x ) = R (x ), hvor Q og R er polynomier med heltallige koefficienter. Da er Q (x i ) = R (x i ) = ±1 for alle i = 1, 2,...,n. Dermed er +R (x ) et polynomium med n forskellige rødder x 1, x 2,..., x n, dvs. enten har + R (x ) grad mindst n, eller også er det nulpolynomiet. Antag at + R (x ) er nulpolynomiet. Da er P (x ) = 2 i modstrid med at koefficienten til højestegradsleddet i P er 1. Dermed har + R (x ) grad mindst n, dvs. en af dem har grad mindst n. Da P (x ) = R (x ) er et polynomium af grad n, følger at enten Q eller R har grad n. Dermed er P irreducibelt i [x ] og ifølge Gauss lemma også i [x ]. Opgave 6.5 Ifølge Eisensteins udvidede irreducibilitetskriterium med p = 3 og k = n 2 har P en irreducibel faktor i [x ] af grad mindst n 1. Dvs. hvis P er reducibelt, må det have en rod. En rod i P er et helt tal som går op i 3, og det ses derfor nemt at P ikke har nogen heltallig rod. Dermed er P irreducibelt i [x ]. Opgave 7.1 Når x = 1 er dobbelt rod i P (x ) = a x n + n x n 2 + b, n ulige, er 0 = P ( 1) = a n + b og 0 = P ( 1) = a n + n(n 2), dvs. a = 2 n og b = 2. Opgave 7.2 Polynomiet = P (x ) P ( x ) har grad højst fem samt fem forskellige rødder b, a, 0, a og b. Desuden er Q (0) = 0, hvilket viser at 0 er dobbeltrod. Dermed må være nulpolynomiet, dvs. at P (x ) = P ( x ) for alle x. Opgave 7.3 For P (x ) = 3x 2 +2a x +b vil diskriminanten være positiv da b < 0, dvs. P (x ) har to forskellige reelle rødder x 1 og x 2. Da P (x ) er et tredjegradspolynomium, vil det have tre forskellige reelle rødder netop hvis P (x 1 ) og P (x 2 ) har forskellige fortegn, dvs. netop hvis P (x 1 )P (x 2 ) < 0 (overvej). Ved at udnytte at a b = 9c, får man ved division af P (x ) med P (x ) at resten er x ( 2 3 b 2 9 a 2 ). Da P (x ) = P (x ) 1 3 x + x ( 2 3 b 2 9 a 2 ) a > 0. Da P (x ) har to lokale minima, må P (x ) = 4a x 3 +2c x = 2x (2a x 2 + c ) have tre forskellige reelle rødder, og da a > 0 giver dette at c < 0. Rødderne i P (x ) er x = 0 og x = ± c /(2a ), dvs. at 2 c /(2a ) = 2 og dermed c = 2a. Endelig giver ii) at P (x ) = a x 4 2a x = a (x 2 1) a > 0, dvs. at 0 < a 1. Det er nemt at tjekke at alle sådanne polynomier opfylder de fire betingelser. og x 1 x 2 = b 3 < 0, er P (x 1 )P (x 2 ) = x 1 x 2 ( 2 3 b 2 9 a 2 ) 2 < 0. Opgave 7.4 Lad P (x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e. Ifølge i) er b = d = 0, og ifølge iii) er e = 1. Yderligere giver ii) at a > 0, dvs. P (x ) = a x 4 + c x 2 + 1, hvor 15 Polynomier, januar 2017, Kirsten Rosenkilde.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere