Sinusrelation og cosinusrelation Konstruktioner i geometriværktøjet Grundlæggende matematik Hypotese Uafhængighedstest...

Transkript

1 Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Grundlæggende... 2 Lister... 4 Grafer... 5 Undersøg grafer:... 6 Geometri... 7 Konkrete eksempler... 8 Deskriptiv statistik... 8 Statistiske deskriptorer og frekvenser... 8 Pindediagram... 8 Trappediagram... 9 Histogram... 9 Sumkurve Kvartilsæt Boksplot Differentialligninger Linjeelement Tangenten til løsningskurven gennem et givent punkt Monotoniforhold Løsninger til en differentialligning Differentialregning Grænseværdi Differentiering af en funktion Tangent Monotoniforhold Optimering Funktioner Sammensatte funktioner Inverse Geometri Sinus, cosinus og tanges i en retvinklet trekant Areal af en trekant... 17

2 Sinusrelation og cosinusrelation Konstruktioner i geometriværktøjet Grundlæggende matematik Hypotese Uafhængighedstest Goodness of fit-test Generel beregning Integralregning Stamfunktionen gennem et punkt Areal/punktmængde Areal mellem grafer Omdrejningslegeme Integral af en funktion med sinus, cosinus eller tangens Komplekse tal Løs en ligning med komplekse løsninger Kommandoer på et komplekst tal Polynomier Skæring mellem linjer/grafer Løsning af ligningssystemer Polynomiers division Rentes regning Sammenhænge Lineær LineærRegression Påvisning af lineærvækst i et datasæt Eksponentiel EksponentielRegression Fordoblings-/halveringskonstant Påvisning af eksponentielvækst i et datasæt Potens PotensRegression Procentvis vækst Påvisning af potensvækst i et datasæt Sandsynlighedsregning... 29

3 Permutation og kombination Binomialfordeling Vektorer i planen Vektor generelt Længden af en vektor/afstand mellem punkter Skalarprodukt Vinkel mellem vektorer Projektion Determinant og areal Rette linjer Parameterfremstilling Linjens ligning Skæring mellem linjer Vinkel mellem linjer Afstand punkt til linje Cirkler Tangent til en cirkel Skæring mellem cirkel og linje Vektorer i rummet Længde og afstand Skalarprodukt Vinkel mellem vektorer Projektion af vektor på vektor Krydsprodukt Areal af et udspændt parallelogram Linjer i rummet Parameterfremstilling Skæring mellem linjer Afstand punkt linje Projektion af punkt på linje Planer i rummet Planensligning Parameterfremstilling for et plan Afstand fra punkt til plan... 41

4 Vinkel mellem linje og plan Vinkel mellem planer Skæring mellem plan og linje Tangentplan og kugle røringspunkt... 43

5 Indledning Hæftet er tænkt som et opslagsværktøj, og ikke som en manual. Programmet kan ændre sig over tid, hvorfor at hæftet måske kan være forældet (måske allerede nu), men forhåbentlig kan hæftet stadig give en ide/hjælp til videre arbejde. Det er vigtigt at pointere, at der oftest er mange måder at løse diverse opgaver på, og at hæftet her kun viser et lille udpluk af de givne løsningsmetoder. Hæftet tager udgangspunkt i arbejde i TI-Nspire dokument og ikke PublishWiev. Tankerne bag de enkelte procedurer er, 1. at det skal være overskueligt.der må ikke være kommandoer eller fremgangsmåder som er gemt væk. Årsag: Til eksamen skal fremgangsmåden klart fremgå. 2. opgaverne skal kunne opstilles, så der ikke er brug for Print All 3. give dig som bruger et værktøj til at lade Nspire regne for dig og gemme for dig. De enkelte skærmdumps her i hæftet vil (oftest) være at finde i teorihæfterne/noterne til. Deskriptiv statistik Differentialligninger Differentialregning Funktioner Geometri og trigonometri Grundlæggende regneregler Hypotesetest Komplekse tal Polynomier Rentesregning Sammenhænge Sandsynlighedsregning Vektorer i planen Vektorer i rummet Integralregning Tip: HUSK AT GEMME LØBENDE Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 1

6 Grundlæggende Inden du går i gang, så kan det være nyttet at se følgende video: Introduktion til Nspire, som vil give dig et hurtigt overblik over programmet. Et par små kommandoer, som er vigtige ved beregninger ctrl + m åbner en math-boks (her i kan der foretages beregninger) := kolon ligmed, gemmer en værdi/funktion :: kobler flere mathbokse sammen i en boks, er en seperator. er et komma er en hvor om der gælder at indikator Solve() Delvar() Right() Approx() Stat. Sec() Zeros() Attributter Løser en ligning/ligninger. Input: det som skal løses, den variabel/variable som skal findes sletter en variabel som ikke længere ønskes gemt. Returnere den højre side af en udtryk Returnere en ca. værdi af resultet. Programmet kan indstillet til altid at give resultatet eksakt, approx eller automatisk. Kalder listen med gemte værdier (evt statistiske beregninger) frem. Angiver ud fra en model en række af tal. Returnere en liste med de værdier som resulterer i 0, når de bliver indsat. Ved at højre klikke på en math-boks og vælg attributter, kan der vælges forskellige indstillinger for layout/beregninger Det kunne være relevant at skjule enten input eller output, vælge tegn mellem beregning og resultat, antal cifre i outputtet eller om programmet skal regne i radianer eller grader. VIGTIGT: Nspire skelner ikke mellem store og små bogstaver i mathboksene 2

7 Når en aflevering skal opstilles hensigtsmæssigt, så bør det undgås, at der er mere tekst/grafer end hvad der kan være i rammen på en gang. UNGDÅ SCROLLEREN I HØJRE SIDE. Du kan indstille layoutet i Nspire ved at vælge hvordan siden skal opdeles Hvis teksten ikke kan være i vinduet uden at scrolleren dukker op, så hellere indsætte en side mere. Forskellen på side og opgave er, at side overfører gemte værdier til den næste (da der stadig arbejdes i samme opgave), og opgave sletter alt gemt og start forfra på en ny opgave. Når der så skal printes eller gemmes som PDF, så vælges ctrl+p eller blot print. Sørg for at der udskrives den synlige del, og at der udskrives 2 sider på et ark. HUSK at skrive dit navn på ved at alle sider ved at tilføje en overskrift og derefter redigere sidehovedet. Endelig vælges om der skal gemmes som PDF eller blot printes TIL EKSAMEN (OG TIT VED AFLEVERINGER) SKAL DER AFLEVERES I PDF 3

8 Lister Lister er et super nyttigt værktøj. En liste er blot en rækketal (lige som vi kan indtaste i dataarket). Det smarte ved lister er bl.a. at der hurtigt og let kan udføres den samme regneoperation på flere tal på en gang. Hvem husker ikke et sildeben fra folkeskolen Kommandoerne kunne være: { } en liste angives melle { og } og tallene i listen er adskilt af et, Dim Xlist[2] Zeros Seq vil returnere størrelsen på listen. vil returnere tallet på plads nummer 2 i liste xlist. løser en given situation = 0 og returnere svarene i en liste. her oprettes en sekvens/liste med tal Det er vigtigt at understrege, at det sammen kan gøres i dataarket (minder meget om excel), men tanken i hæftet er, at excelarket hurtigt fylder meget, kommandoer/beregninger bliver gemt væk mm. 4

9 Grafer I en graf kan der tegnes funktioner, punkter, geometriskeobjekter, parameterfremstillinger og meget mere. Det er et rigtig godt værktøj til EFTERVISNING af en given udregning. Vi kan ikke gå gennem det hele, men blot fremhæve indtastning af funktioner og punktplot Det er hæftets anbefaling af gemme en funktion i et notesværktøjet og derefter tegne den i en graf til placeret til højre. Eller gemme to lister med henholdsvis x-værdierne og y-værdierne og så plotte dem på grafen. En af grundene er bl.a. at det typisk er nødvendigt med lidt tekstforklaring. Hvis graf eller punkter ønskes redigeret i forhold til tykkelse, farve, form osv, så højreklikkes på graf/punkt og vælges attributter. Inde i denne menu er det nemmest at bruge piltasterne. Hvis der skal tegnes en lodret linje så vælges ligning ->linje-> x=c Et graf vindue kan sagtens indeholde flere grafer/punkter mm. samtidig. 5

10 Undersøg grafer: Hvis en grafen skal bruges til eks. at undersøge for nulpunkter, skæring med anden graf eller andet, så kan Nspires undersøg graf benyttes. Så længe begge objekter i samme kategori (der er forskel på funktioner, punkter og geometrisk tegnede objekter. Et eksempel kunne være nedenstående hvor skæringspunktet mellem to grafer ønskes. Først skrives de to grafer ind (her er de blot skrevet direkte og ikke defineret først). Så kan der enten højreklikkes på den ene graf og vælges undersøg grafer eller det kan vælges i værktøjskassen. Du kan se videoen her for forklaring af fremgangsmåde (video). Hvis der er flere objekter oveni hinanden, det kunne være punkter og grafer, så kan tabulator knappen bruges til at skifte mellem objekterne. 6

11 Geometri Skal der konstrueres linjer, figurerer eller andet så er geometriværktøjet en fin mulighed. Et mere uddybende forslag til brug kommer under deskriptiv statistik og geometri. Et lille eksempel her kunne dog være, at bestemme skæringspunkt mellem linjen l gennem A(2,3) og B(5,7) og funktion f(x) = 3x 1 For at løse problemet tegnes (via geometri) en linje mellem de to punkter. Herefter vælges skæringspunkter. Begge grafer vælges og punkter dukker op. Nu kan vi højreklikke på punktet og vælge koordinater og ligninger, og så fremkommer koordinatsættet for punktet. Ønskes flere decimaler, så vælges attributter og cifre. Geometriværktøjet virker både i grafvinduet og i geometrivinduet. 7

12 Konkrete eksempler Efterfølgende hentes vigtige skærmdumps fra de enkelte hæfter ind, så de er samlet her (uden al mulig teori). Deskriptiv statistik Her kan vi anskueliggøre statistisk materiale på følgende måder Statistiske deskriptorer og frekvenser Her ses hvorledes et par statistiske deskriptorer, samt frekvens og kumuleret frekvens kan bestemmes. (video) Husk at hvis middelværdien skal beregnes for et grupperet observationssæt, så skal der regnes på en liste som indeholder midtværdierne i intervallerne. Eks. mean(midtlist,hyp_list) Pindediagram I TI Nspire tegnes pindediagrammet ved at indskrive tallene i et dataark og herefter lave et kombinationsdiagram. (video). Dette er det eneste sted hvor det er nødvendigt at bruge dataarket. 8

13 Trappediagram I Nspire kunne det se således ud: Læg mærke til at vi gør intervallerne lige store og flytter søjlerne. (video) Histogram Et Histogram kan tegnes i Nspire som et udvidet pindediagram. Det kan godt være der skal lidt eksta værdier til. Her kan du se hvordan vi kan gøre det i TI Nspire (video) 9

14 Sumkurve En sumkurve tegnes ved et punktplot at endeværdierne i intervallerne og de dertil hørende kummuleredefrekvenser Kvartilsæt I TI Nspire kan vi bestemme kvartilsættet samt andre statistiske størrelser for et ikke grupperet observationssæt ved at lave statistik med en variabel på vores observationsliste og vores hyppighedsliste. For et grupperet observationssæt skal vi aflæse kvartilsættet på en sumkurve. 10

15 Vi indtegner tre vandrette linjer (f1(x) = 25 og f2(x) = 50 og f3(x) = 75). Der hvor de skærer vores sumkurve kan vi aflæse vores kvartiler som førstekoordinaten. Skæringspunkterne findes ved at tegne et linjestykke (geometri) mellem de aktuelle punkter og aflæse skæringspunkt mellem linjerne ved skæringspunkt (geometri) (Video) Boksplot Vi kan tegne et boksplot ved definere en liste med kvartilsættet samt minimum og maksimum (eller samtlige observationer). Hvis vi benytter kvartilsættet, så skal medianen gå igen to gange, eller lade BÅDE den nedre kvartil og den øvre kvartil gå igen to gange (video) Ved at højreklikke på x aksen, så kan der tilføjes flere bokse i samme billede. Differentialligninger Differentialligninger er ligninger som indeholder differentialkvotienten og funktionen selv. Løsningen er en funktion. Linjeelement I Nspire kan linjeelementer tegnes som vist på billedet. Husk at ændre til y (i den røde cirkel). Eller kald eventuelle y på højreside for eks. y1. 11

16 Tangenten til løsningskurven gennem et givent punkt Hvis der blot erindres at dy eller y er det samme som f (x), så er fremgangsmåden den samme som ved dx tangent under differentialregning. Monotoniforhold Monotoniforhold fungere som nævnt under differentialregnings. Alternativt kan der tegnes linjeelementer, når dy = 0 er løst. I Nspire kunne det se således dx ud. Det er her tydeligt at se af væksthastigheden er negativ så længe x er mindre end -2 positiv for x større end -2 Løsninger til en differentialligning 12

17 Differentialregning Grænseværdi I Nspire kan jeg beregne det ved kommandoen lim (2 + x+2, x, ). Eller som vist på x billedet. Her fortæller jeg at det er grænseværdien skal findes. Dens skal findes for funktionen2 + x+2, den x uafhængige variabel hedder x og det er for x->, at grænseværdien skal findes Differentiering af en funktion Dette kan gøres på følgende måde i Nspire. Nspire kan ikke lave mærket, når der skal gemmes, så et tip kunne være at kalde f (x) for fm(x) (f mærke af x). Tangent 13

18 Monotoniforhold Optimering Typist en blanding af 2 ligninger med 2 ubekendt og bestemmelse af ekstrema sted. Et eks kunne være Funktioner Nspire kan gemme funktioner af en eller flere variable Funktioner 14

19 En graf oprettes ved at angive navn og variabel og benytte :=, en funktion kan have 1 eller flere variable. Hvis funktionen kun indeholder 1 variabel, så den tegnes i grafværktøjet. Hvis variablen hedder eks. s, så skal der blot tastes x i stedet for s når den skal ind i grafen. Sammensatte funktioner Er blot et udtryk for at sammensætte to funktioner (at sætte en funktion ind i parentesen på den anden funktion) 15

20 Inverse Hvis to sammensatte funktioner giver x uanset hvordan de kobles så er de hinandens inverse, og de spejles omkring linjen y=x Geometri VIGTIGT: Nspire skal oftest stå til at arbejde i grader Den enkelte math-boks kan indstilles som på billedet til højre. Hvis du vil gøre det til standardindstilling så kan du følge denne video. Sinus, cosinus og tanges i en retvinklet trekant I Nspire kan vi løse en tænkt opgave således. Vi får givet en retvinklet trekant med hypotenusen 7.77cm og vinkel A er 32. Bestem de resterende sider og vinkler. 16

21 Areal af en trekant Sinusrelation og cosinusrelation Når der løses via sinusrelation og cosinusrelation, er det tit nødvendigt at indsætte en betingelse. Skal der findes en vinkel, så indstilles eks som i ved den første beregning. Skal der findes en sidelængde via cosinus, så er det oftest nødvendigt at påpege at længden er positiv. Husk på, at der kan være to løsninger til enkelte opgaver, hvorfor en sund fornuft med resultatet kan være en nødvendighed. HUSK: AT ARBEJDE I GRADER 17

22 Konstruktioner i geometriværktøjet Er der brug for at konstruere trekanter eller andre geometriske figurere, så kan der tages udgangspunkt i videoerne nedenfor her Tilfælde 1 løses ved: (Nspire) Tilfælde 4 løses ved: (Nspire) Tilfælde 2 løses ved: (Nspire) Tilfælde 5 løses ved: (Nspire) Tilfælde 3 løses ved (pas på! Måske flere løsninger): (Nspire) Tilfælde 6 kun de tre grader kendes. (kan ikke løses) Grundlæggende matematik Der er det sjældent nødvendigt med Nspire, men et par eksempler kunne være. Den nok MEST brugte kommando er solve(), som løser en problematik. 18

23 Hypotese Fælles er at de tester en given sandsynlighed H0: Der er ikke forskel på Uafhængighedstest Først opretter vi en matrice via menuen Så indtastes (her en 2 x 3 matrice) obs [ ] Så vælges en uafhængighedstest, og vores matrice indtastes. Dette giver nu følgende resultat: Hvis stat.results slettes i mathboksen, så skriver Nspire blot udført i stedet for at give alle resultater. I såfald kan eks pværdien hentes frem ved stat.pval i en mathboks. Se eks under generelt. HUSK: at inddrage alle resultater i konklusionen, hvis ikke de slettes. 19

24 Goodness of fit-test I praksis gør vi som under uafhængighedstesten, men her skal vi blot angive vores fordelinger (altså forventede værdier) med. (video) obs {115,188,97} forv {25%, 50%, 25%} 400 Herefter vælges Godness of Fit-testen. Den observerede liste og forventede liste indtastes sammen med degress of freedom (kan findes ved dim(forv)-1 ). Resulstat: Hvis stat.results slettes i mathboksen, så skriver Nspire blot udført i stedet for at give alle resultater. I såfald kan eks pværdien hentes frem ved stat.pval i en mathboks. Se eks under generelt HUSK: at inddrage alle resultater i konklusionen, hvis ikke de slettes. Generel beregning Hvis der ikke drages nytte af de indbyggede test, så kan det bestemmes ud fra lister. Eks således Den HELT KORTE linje ses i den sidste rude til højre. Sammen med obs:= giver den p- værdien. 20

25 Integralregning Da Nspire ikke kender forskel på store og små bogstaver, så kan der ikke skrives F(x). Et bud kunne være at døbe funktionen sf(x) (Stamfunktionen til f(x)). Stamfunktionen gennem et punkt Areal/punktmængde Husk et integral er ikke nødvendigvis det samme som et areal. Areal mellem grafer Her er det blot vigtigt at holde styr på hvilken graf der er størst 21

26 Omdrejningslegeme Når en punktmængde drejes 360grader om førsteaksen Integral af en funktion med sinus, cosinus eller tangens Hvis I skal lave den samme beregning i Nspire, så vil I få forskellige output afhængig af om Nspire er indstillet til grader eller radianer. Husk på at når funktionen er bygget op på sinus eller cosinus, og når vi indsætter et reelt tal (ikke et antal grader), så skal den stå i radianer. Kan ændres ved at højreklikke på math-boksen og vælge Attributter fo, herefter vælges vinklen til radianer. 22

27 Komplekse tal Løs en ligning med komplekse løsninger I Nspire benytter vi csolve til at bestemme de komplekse løsninger. csolve(x = 0, x) x = i or x = i Kan også findes i menuen: Kommandoer på et komplekst tal Kommandoerne kan hentes fra værktøjskassen 23

28 Polynomier Skæring mellem linjer/grafer Vi kan selvfølgelig også anskue det grafisk, og her benytte vores CAS-værktøj til at finde skæringspunktet direkte. Løsning af ligningssystemer Ud over at Nspire kan løse en almindelig ligning, så kan den også løse flere 24

29 Toppunkt Polynomiers division Rentes regning Her er der ikke noget som kræver en særlig gennemgang. Det er blot håndtering almindelige math-bokse og håndtering af dataark eller bedre endnu excel, som gør sig bedst her. 25

30 Sammenhænge Lineær LineærRegression Vi har altså bestemt bedste rette linje til de givne data, og herefter vist at den fundne funktion passer godt med punkterne. Her er en video der regner en opgave med årstal (video) Påvisning af lineærvækst i et datasæt Gør rede for, at der gælder lineærsammenhæng i tabellen nedenunder, og bestem forskriften. x y y Jeg kan se at de ligger på en tilnærmelsesvis ret linje. (video) x 26

31 Eksponentiel EksponentielRegression Vi kan se på grafen af regressionen og punkterne passer godt sammen, men det er ikke det samme som at påvise en eksponentielvækst. Her er en video der viser regression ved årstal (video). Fordoblings-/halveringskonstant Påvisning af eksponentielvækst i et datasæt Påvises ved tilnærmelsesvis ret linje på et enkeltlogaritmiskpapir. HUSK zoom data til sidst 27

32 Potens PotensRegression Vi opretter de to originale lister og laver potensregression på disse, og bagefter gemmer ligningen som f(x). Til sidst kan vi vælge at indtegne graf og punkter og se om de passer sammen. (video) Procentvis vækst Påvisning af potensvækst i et datasæt Påvises ved en tilnærmelsesvis ret linje på et dobbeltlogaritmiskpapir. HUSK zoom data til sidst 28

33 Sandsynlighedsregning Igen (som bl.a. under rentes regning er der ikke ret meget specielt her i forbindelse med Nspire. Der nævnes dog mindre ting. Permutation og kombination Binomialfordeling 29

34 Vektorer i planen Vektor generelt Om vektoren noteres vandret eller lodret i Nspire har ingen betydning for resultatet. Nspire kan heller ikke lave pilen. Det hurtigste er derfor at skrive jeg definere nu vektor a og skriver som i nedenstående Du kan tegne vektorer i dit grafvindue på følgende måde: 1. Du åbner dit grafvindue og vælger geometri -> punkter og linjer ->vektorer 2. Nu kan du enten pege de to punkter ud som vektoren skal løbe imellem. Eller du kan starte med at taste (. ( uden at pege på nogle punkter). Nu får du mulighed for først at taste start koordinatet og derefter slutkoordinatet. 30

35 Længden af en vektor/afstand mellem punkter En vektor mellem to punkter betegnes eks. AB (vektoren fra A til B). Længden af denne vektor må være det samme som afstanden mellem punkterne Skalarprodukt Vinkel mellem vektorer 31

36 Projektion Determinant og areal 32

37 Rette linjer Parameterfremstilling Linjens ligning I Nspire kan du indtegne en linje ud fra dens ligning ved at vælge Grafindtastninger- >Ligning->Linje->ax + by = c. (video) 33

38 Skæring mellem linjer Eksemplet er med en ligning og en parameterfremstilling grafisk. Ideen er det samme for de andre kombinationer. (video) Analytisk kan de tre tilfælde håndteres således 34

39 Vinkel mellem linjer Der kan blot bestemmes vinkel mellem henholdsvis retningsvektorerne og normalvektorerne. Se under vinkel mellem vektorer. Der kan være særlige hensyn i forbindelse med normalvektorerne (se noterne). Alternativt kan det også løses grafisk. Eks. I Nspire kan vi indtegne to linjer som tidligere beskrevet. Så konstrueres skæringpunktet (hvis der er parameterfremstillinger involveret). Så vælges værktøjet Geometri->Målinger- >Vinkel så vælges først et punkt på den ene linje, så skæringspunktet og så et punkt på den anden linje. (video) HVIS den fremkommer i radianer kan Nspire indstilles til grader eller blot omregne ved radianer 180 = grader π Afstand punkt til linje I Nspire kan du gøre det ved at tegne linjen l og plotte punktet P i Nspire. Her efter konstrueres et linjestykke oven på l, og der afsættes et punkt på P. Nu vælges at bestemme længden mellem P og linjestykket (video) Eller analytisk blot ved 35

40 Cirkler Tangent til en cirkel Et eksempel kunne være tangenten til cirklen med centrum i C(2,1) og hvor P(6,4) ligger på buen. Når cirken er konstrueret og vektoren CP er tegnet, så kan tangen konstrueres ved en vinkel ret linje. Herefter attributter -> koordinater og ligninger for linjen. Skal det være en parameterfremstilling, så dan tværvektoren til CP og opskriv ud fra P og denne. Skæring mellem cirkel og linje I Nspire kan vi bestemme skæringspunkterne ved at konstruere en cirkel og derefter en linje. Derefter bestemmes skæringspunkter mellem linje og cirkel og koordinaterne hives frem (video). Der arbejdes i grafer, men via geometriværktøjet. 36

41 Vektorer i rummet Længde og afstand Længden af en vektor eller afstanden mellem to punkter kan løses således 1. Definere de to vektorer og skrive kommandoen som vist. 2. Normen kan også vælges fra menuen, som vist på billedet. Skalarprodukt Vinkel mellem vektorer 37

42 Projektion af vektor på vektor Krydsprodukt Areal af et udspændt parallelogram Længden/normen af krydsproduktet giver arealet af det udspændte parallellogram udspændt af a og b Linjer i rummet Parameterfremstilling Kan opstilles på samme måde som ved planen blot med en koordinat mere. Se parameterfremstilling for linjen i planen. 38

43 Skæring mellem linjer Da linjer kun kan skrives som parameterfremstillinger i rummet. Afstand punkt linje Der kendes en retningsvektor r fra parameterfremstillingen. Herefter opstilles vektoren p 0 p, som går fra det kendte punkt på linjen og til punktet P, som er det punkt vi skal finde afstanden fra/til. Herefter bruges formlen som fra noterne Projektion af punkt på linje Der oprettes en stedvektor ud til det projektierende punkt. Vektoren fra det kendte punkt på linjen til P opstilles, og retningsvektoren bestemmes. Så skal projektionen af p 0 p ned på retningsvektoren blot ligges i forlængelse af punktet P 0. 39

44 Planer i rummet Planensligning Parameterfremstilling for et plan 40

45 Afstand fra punkt til plan Skæring mellem linje og plan Vinkel mellem linje og plan Vinklen mellem normalvektoren for planen, og retningsvektoren for linjen findes Se afsnittet for vinkel mellem vektorer for hjælp og i noterne for evt. korrektion. 41

46 Vinkel mellem planer Vinklen mellem normalvektorerne for planerne findes. Se afsnittet for vinkel mellem vektorer for hjælp og i noterne for. Skæring mellem plan og linje 42

47 Tangentplan og kugle røringspunkt 43