OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.
|
|
- Frederik Mikkelsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: x 1 + 2x 2 4x 3 = 2 x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 (1) b) Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: x 1 x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 4x 1 + 4x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 5 (2) c) Find den fuldstændige løsning til det komplekse lineære ligningssystem: i x 1 2x 2 = i x 1 + (1 + i)x 2 = 1 (3) d) Find den fuldstændige løsningsmængde til det lineære ligningssystem: x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 4x 2 + 8x 3 = 9 (4)
2 OPGAVER 2 Opgave 2 Introduktion til Maple Matematikprogrammet Maple er ét blandt flere matematikprogrammer som bruges i undervisningen og til forskning på DTU. Her er en kort introduktion til de vigtigste aspekter. Det er vigtigt, at du bruger noget tid til at sætte dig ind i Maple, fordi du skal bruge det rigtig meget i Matematik 1. Hvor får jeg fat på Maple? Du henter Maple til din computer på Log ind med din DTU-bruger, tryk på: Maple 2015, og vælg den installationsfil, som passer til dit styresystem. Noter installationsnøglen (Activation key Stand alone), den skal du bruge, når du installerer programmet. Opsætning af Maple Når du skal i gang med Maple, er der to options du skal tage stilling til: 1) Ønsker jeg at arbejde i worksheet-mode eller i document-mode, og 2) Ønsker jeg at skrive kommandolinjer med MapleNotation eller 2D-Math Notation. I undervisningen på DTU benyttes kombinationen worksheet-mode og MapleNotation. Hvis du indtiller din Maple til denne kombination, der fx benyttes i kursets MapleDemo er, skal du følge denne opskrift: Første gang du starter Maple: 1. Gå til Tools Options Interface Default format for new worksheets og skift til Worksheet. Afslut med Apply Globally. 2. Gå til Tools Options Display Input display og skift til Maple Notation. Afslut med Apply Globally. 3. Start Maple på ny nu er vi klar! Blandt de gymnasier som er begyndt at bruge Maple, er der mange der anbefaler 2D- Math Notation. En af fordelene er, at man så bedre kan benytte sig af paletter og højrekliksmenuer. På DTU anses den rå tekstkode, dvs. Maple Notation, for at være mere videnskabelig, idet dokumentationen for hvad der foregår, er mere klar. I er naturligvis velkomne til selv at eksperimentere med jeres Maple-opsætning. Tutorial i Maple og opgaver Start Maple. Maple fungerer efter princippet med spørgsmål (input) og svar (output): Du stiller spørgsmål på en kommandolinje (til højre for det røde > tegn) som input til Maple, og Maple svarer med et output, centreret og i blå således, at svar tydeligt kan kendes fra spørgsmål. Hvis du vil have Maple til at acceptere et input, men uden at vise svaret, skal du skrive kolon efter kommandoen. Som det allerførste input i ethvert Maple-ark skriver du
3 OPGAVER 3 > restart; Maple udfører kommandoen, når du trykker Enter. Denne kommando vil nulstille hukommelsen i arket, og da det er tit, du udfører alle kommandoerne i arket efter hinanden flere gange, er det nødvendigt at nulstille i toppen. Læg mærke til, at der ikke kommer noget svar fra Maple uanset om du slutter kommandoen med kolon eller ej. Prøv nu følgende regnestykke: > 2 + 2; Maple kan naturligvis fungere som lommeregner! Men programmets mere interessante egenskaber ligger i dets evne til at foretage symbolske matematiske operationer. For eksempel bliver sin x differentieret med hensyn til x med kommandoen > diff(sin(x), x) ; Prøv det. I dette tilfælde bruger man kommandoen diff. Til kommandoen hører to argumenter: sin(x) og x, som er adskilt med komma. Maple kan også plotte funktioner. Den simpleste plot-kommandoen er plot. Kommandoen har minimum to argumenter: Det, der skal plottes, og grænserne af den uafhængige variable. Hvis man eksempelvis ønsker at se funktionen sin x i intervallet mellem 0 og 5, benyttes kommandoen > plot(sin(x), x=0..5); Intervaller angives altid med to punktummer efter hinanden. For at få samme enheder på akserne skrives desuden scaling=constrained som tredje argument, altså: > plot(sin(x), x=0..5, scaling=constrained); Kan du se forskellen? Der er et hav af valgfri argumenter og kombinationsmuligheder til plot-kommandoen. Til at finde den, som passer bedst til dine behov, kan du enten bruge Maples hjælpefunktion i menulinjen eller også kan du skrive >?plot; At skrive et spørgsmålstegn foran virker med alle kommandoer. Her er endnu et eksempel på et plot, nu med flere funktioner og flere argumenter. Prøv at gætte hvad de gør eller slå op i Maples hjælpefunktion under plot-kommandoen. > plot([sin(x),x^2],x=0..5,y=-2..2,color=[red,blue],scaling=constrained); Du kan lave potenser ved at trykke på tasten. I dag har du lært lidt om lineær algebra, og det er derfor her, vi tager udgangspunkt for det, du i det følgende skal lære om Maple. Maple kan selvfølgelig regne med matricer, men før man kan gøre det, skal man inkludere en pakke i Maple, som vil lukke op for en række kommandoer, der har med lineær algebra at gøre. Pakken hedder LinearAlgebra og den inkluderes ved denne kommando:
4 OPGAVER 4 > with(linearalgebra): Læg mærke til, at kommandoen denne gang er skrevet med kolon til sidst. Prøv først at skrive kommandoen uden, og se derefter forskellen. Outputtet fra Maple er alle de kommandoer, som pakken inkluderer. Det er imidlertid overflødig information, og derfor kan det være en ide at afslutte kommandoen med kolon for at undgå outputtet. Læg også mærke til at LinearAlgebra indeholder et stort L og A. Maple skelner mellem små og store bogstaver, og derfor er det vigtigt at du skriver LinearAlgebra som det står her. Ellers får du en fejlmelding fra Maple. Det lille lineære ligningssystem 3x 7y = 1 2x y = 4 har koefficientmatricen [ 3 ] I Maple ønsker vi at kalde denne matrix for A. Man tildeler en variabel i Maple en værdi ved hjælp af det dynamiske lighedstegn := (kolon lighedstegn). Det virker altså ikke, hvis man kun bruger et lighedstegn. Så tolker Maple nemlig inputtet som en ligning (som man eventuelt senere har lyst til at løse). Man kan i Maple skrive matricer ved hjælp af de fire tegn <>, på denne måde > A := < <3-7>, <-2-1> >; eller > A := < <3,-2> <-7,-1> >; Den sidste og nemmeste mulighed er dog at bruge Matrix-paletten til venstre for kommandovinduet: Tryk på Matrix-paletten angiv hvor mange rækker og søjler matricen skal have, og tryk derefter Insert Matrix. Udfyld det første felt som er highlighted og brug tabulatortasten til at komme videre til næste felt. Sådan kan du fortsætte. Prøv at se, hvad nogen af de andre paletter kan. Definer nu også højresiden b ved > b := <1,4>; eller med paletten. Man kan løse det lineære ligningssystem med kommandoen LinearSolve (husk igen forskellen på store og små bogstaver): > LinearSolve( A, b ); Vi kan også betragte de to ligninger med to ubekendte som et spørgsmål om skæring mellem to linjer i en plan. Hvis vi ønsker at illustrere det, skal vi bruge en anden pakke, skriv: (5) (6)
5 OPGAVER 5 > with(plots): Læg igen mærke til brugen af kolon til sidst. plots-pakken indeholder mere avancerede former for plots end kommandoen plot kan klare. Nu prøver vi at plotte de to linjer sammen: > linje1 := implicitplot( 3*x - 7*y = 1, x = , y = ): > linje2 := implicitplot( -2*x - y = 4, x = , y = ): Plottene kan herefter flettes sammen og vises med denne kommando (og scaling = constrained er også inkluderet som argument): > display([linje1, linje2], scaling=constrained); Gangetegnet skriver du med * (asterisk). Det er vigtigt, at du altid skriver gangetegnet og ikke udelader det som man ofte ellers vil gøre, når man skriver matematik. Hvis du i stedet for at skrive 3 x 7 y prøvede at skrive x3 y7 uden gangetegnene havde du fået en fejlmelding i Maple. Prøv! Så: Husk altid at skrive gangetegnene! Sammenlign skæringspunktets koordinater med den tidligere fundne løsning til de to ligninger for linjerne. Du kan aflæse koordinaterne ved at klikke på plottet og derefter på plotsymbolet i menulinjen. Vælg en af de tre nederste muligheder, og hold cursoren over plottet. Afprøv alle tre muligheder for aflæsning. Stemmer det overens (nogenlunde) med resultatet fra udregningen? Nu skal vi prøve at løse opgave 1b) i Maple. Skriv (og forstå!) følgende kommandoer: > restart: with(linearalgebra) : Der er givet ligningerne: > lign1 := x1 - x3 + x4 = 0 : > lign2 := x1 + x2 + x3 + x4 = 1: > lign3 := 4*x1 + 4*x2 + 4*x3 + 3*x4 = 5: Vi danner (genererer) ligningssystemets totalmatrix: > T :=<< 1, 1, 4 > < 0, 1, 4 > < 1, 1, 4 > < 1, 1, 3 > < 0, 1, 5 >>; Skriv de følgende kommandoer og se, om det bliver det samme, som da du regnede opgaven i hånden. > T1 := RowOperation(T, [2,1], -1); > T2 := RowOperation(T1, [3,1], -4); > T3 := RowOperation(T2, [3,2], -4); > T4 := RowOperation(T3, 3, -1); > trapt := RowOperation(T4, [1,3], -1);
6 OPGAVER 6 Prøve nu at opskrive det tilhørende fuldstændigt reducerede lineære ligningssystem. Man kan komme frem til trappeformen af en matrix straks ved hjælp af kommandoen > trapt2 := ReducedRowEchelonForm(T); Opskriv løsningsmængden på standardparameterform og sammenlign den med det følgende (som er den hurtigste løsningsmetode LinearSolve bliver din ven!): Først skal du definere koefficientmatricen > A:= og højresiden > b:=. Derefter forsøger du med: > LinearSolve(A,b,free=t); Giver alle løsningsmetoderne det samme? Tips, tricks og faldgruber (Genvejene er kun til Windows-versionen) Man kan indsætte en kommandolinje lige over den aktive kommandolinje ved at trykke Ctrl + K. For at indsætte en nedenunder bruges Ctrl + J. Man kan lave et felt til tekst ved at trykke på knappen eller bruge Insert Text. På samme måde kan man lave kommandolinjer til udregning ved at bruge eller Insert Maple Input / Insert 2-D Math alt efter hvilken input-typen man plejer at bruge. (Genvejene er Ctrl + T, Ctrl + M og Ctrl + R). I et tekstfelt (Insert Text) kan man skifte mellem at skrive normal tekst og pæn matematik (2-D Math) ved at bruge knapperne eller F5. Er du træt af at skrive lange kommando-navne? Prøv at skriv noget af navnet (for eksempel LinearA) og tryk derefter Esc eller Ctrl + Mellemrum. Nu får du nogle valgmuligheder, som du kan vælge imellem ved hjælp af piletasterne. På den samme måde kan du for eksempel også lave Pi om til π i 2-D Math mode (Maple skelner ikke mellem Pi og π, men det sidste ser pænere ud). Tallet π (3, ) skrives i Maple med stort P! Altså Pi og ikke pi. Hvis man skriver det med lille associerer Maple ikke egenskaberne med π. Tilsvarende findes grundtallet e kun i form af funktionen exp i Maple! Hvis du vil skrive flere kommandoer i én kommandolinje, skal du adskille kommandoerne enten med kolon eller semikolon. Du kan gå en linje ned ved at bruge Shift + Enter. Du kan slette en hel kommandolinje ved at trykke Ctrl + Del. Brug Maples hjælpefunktion. Den er kanon!
7 OPGAVER 7 Opgave 3 Lineært ligningssystem med Maple Givet ligningssystemet x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 6 x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 4x 2 + 8x 3 = 12 (7) a) Definér i Maple ligningssystemets koefficientmatrix A, højreside b og totalmatrix T. b) Afprøv de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve. c) Opskriv ligningssystemets løsningsmængde på standard parameterform Opgave 4 Introduktion til Maple med komplekse tal Download og gennemgå MapleDemo en om komplekse tal. Heri introduceres de relevante maplekommandoer for denne opgave. Det er i denne opgave meningen at du skal bruge Maple til at løse følgende opgaver. Du har tidligere løst tilsvarende opgaver med papir og blyant, tænk over hvad det er Maple giver som svar og omsæt det en løsning på opgaven. a) Hvad er i 2, i 3, i 4, i 5, ( i) 2, ( i) 3, ( i) 4 og ( i) 5? b) Bestem realdelen og imaginær værdien af og skriv tallet på rektangulær form. c) Givet w = 1 i. 1. Bestem w og arg(w). 2. Bestem e w og arg(e w ) i i d) Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form: 1. e i π e 1+πi e) Givet tallene z 0 = 1 + i 3, z 1 = 3 + i, z 2 = 1 i 3 og z 3 = 3 i.
8 OPGAVER 8 1. Angiv de fire tal på eksponentiel form. 2. Vis at der findes en binom ligning z 4 = w hvori alle fire tal er en løsning. f) Løs de binome ligninger z 2 = 4, z 2 = i og z 2 = 1 i. Skitsér løsningerne i den komplekse talplan. g) Løs de binome ligninger 1. z 3 = 1 2. z 3 = i 3. z 3 = 1 + i og skitsér løsningerne i den komplekse talplan. h) Find løsningerne for ligningen z 2 (1 + 5i)z = 0. i) Find løsningerne for ligningen z 2 + (2 + 2i)z 2i = 0. j) Vis at x 0 = 1 er rod i polynomiet P(x) = x 3 x 2 + x 1 og bestem et andengradspolynomium Q således at P(x) = (x 1) Q(x). k) Bestem samtlige komplekse rødder for 7. gradspolynomiet P(z) = (z 6 z 5 + z 4 z 3 )(z 1) og angiv røddernes multipliciteter, faktoriser herefter polynomiet. l) Find for enhvert t R differentialkvotienterne af følgende funktioner: f 1 (t) = t 2 + i sin(t) f 2 (t) = 1 + it 5 f 3 (t) = t 5 i f 4 (t) = 3 e it f 5 (t) = i e 2t+3it
OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt
Læs mere3. Gå til Tools Options Interface Default format for new worksheets og skift til Worksheet. Afslut med Apply Globally.
01005 Matematik 1 Introduktion til Maple side 1 Indledning. Matematikprogrammet Maple er ét blandt flere matematikprogrammer som på DTU bruges i undervisning og forskning. Her giver vi en kort introduktion
Læs mereBrug af Word til matematik
Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs merePraktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde
Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Options: I menuen "Tools" findes "Options". Under fanebladet "Interface" bør man vælge Default format for new worksheets = Worksheet Det bevirker, at man kan skelne
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereKom hurtigt i gang Maplesoft, 2014
Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereMatematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik
Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereKom godt i gang. Sluttrin
Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,
Læs mereIntroduktion til TI-Interactive!
Introduktion til TI-Interactive! TI-Interactive! er et program, som befinder sig i grænseområdet mellem almindelig tekstbehandling, regneark og egentlige tunge matematikprogrammer. Man kan gøre mange af
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereVejledning til Excel 2010
Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE HÆFTE... 3 KOM I GANG MED MAPLE... 4 Et par
Læs mere2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).
En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE...
Læs mereEn lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)
Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereKom godt i gang. Mellemtrin
Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereLad os prøve GeoGebra.
Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!
Læs mereQR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra
QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereMathcad Survival Guide
Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereNspire 4.2 kom godt i gang
Nspire 4.2 kom godt i gang Disse 3 knapper åbner nyt dokument, henter eksisterende dokument og gemmer det åbne dokument Her kan dokumentet lukkes Indstillinger Indstillinger 1. Først skal vi have den rigtige
Læs mereIntroduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat
1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium November 2018 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereLineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8
Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereSÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION
SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige
Læs mereVejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013
Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...
Læs mereVejledning i brug af Gym-pakken til Maple
Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereOm tastaturgenveje i Noter
Om tastaturgenveje i Noter Lad os starte med at præcisere, hvad det er vi har I tankerne: Tastaturgenveje er genveje til at frembringe særlige symboler, særlige skabeloner, særlig layout og særlige handlinger
Læs mereExcel for nybegyndere
cm Excel for nybegyndere 2007-2010 Indhold: Kolonner Rækker Celler Formellinjen Regnefunktioner (de 4 regningsarter) Kolonnebredde Værktøjslinjen Startside Søjlediagram. Udskrivning Hvor høje er vi? 185
Læs mereMatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet
MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger
Læs mereHow to do in rows and columns 8
INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version
Læs mereFlemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereFlemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereχ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium
χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereBrug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden
Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display
Læs mereOktober Dokumentpakker
Oktober 2017 Dokumentpakker Dokumentpakkerne er et værktøj til at udskrive dynamiske breve, som har en standardtekst i brevet, og hvor der automatisk sættes blandt andet patientens navn, adresse og aftaletid
Læs mereIntroduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010
Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller
Læs mereVejledning til Gym18-pakken
Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede
Læs mereUndersøgelse af funktioner i GeoGebra
Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:
Læs mereDoros nemme guide til: Sms-beskeder. En begynderguide til at skrive, sende og læse sms-beskeder
Doros nemme guide til: Sms-beskeder En begynderguide til at skrive, sende og læse sms-beskeder Introduktion Velkommen til Doros nemme guide til at skrive sms-beskeder. Det er en let basisguide til dig,
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereSådan opretter du en elektronisk aflevering
Sådan arbejder du med opgaver i Gradebook/karakterbog Denne vejledning indeholder en detaljeret beskrivelse af hvordan du bruger gradebook/karakterbogen når du vil arbejde med opgaver og give karakterer
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs mereVejledning til Photofiltre nr. 108 Side 1. Lave visitkort i dankort størelse med eget foto
Side 1 I denne vejledning vises hvordan man kan lave visitkort, på samme måde som der blev lavet bordkort. Vi vil her som baggrund bruge et af vores egne foto. Opsætningen foregår i LibreOffice Draw og
Læs mereKogebog til Maple 18
Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante
Læs mereMathType 6.7e og 6.8 for elever og lærere på HAKA
MathType 6.7e og 6.8 for elever og lærere på HAKA Med årene er der blevet større og større behov for i gymnasiet at kunne skrive formler ind i elektroniske dokumenter, fx når der skal udfærdiges rapporter
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereIndledning. På de følgende sider vises, primært i tegneserieform, lidt om mulighederne i PC-AXIS for Windows.
Indledning PC-AXIS for Windows er et talbehandlingsprogram, der kan håndtere store mængder statistisk materiale. PC-AXIS giver mulighed for at arbejde videre med det statistiske materiale i egne programmer
Læs mereKom godt i gang. Begyndertrin
Kom godt i gang Begyndertrin Kom godt i gang Begyndertrinnet Forfattere Kirsten Spahn og Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard,
Læs mereAndreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX
IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereFra Blåt Medlem til Excel.
Fra Blåt Medlem til Excel. Kopi fra Blåt Medlem til Excel 1 Eksport fra Blåt Medlem til Excel 2 Hvad kan du bruge det til 5 Eksempler: Medlemsdelen: Afdelingsopdelt liste med spejderne 5 Fødselsdage og
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereOpsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1
side 1 Hvis man vil lave en opsætning af rejsebeskrivelse og billeder, kan man også gøre det i DRAW. Denne vejledning vil vise hvordan man indsætter hjælpelinjer så man laver en pæn opstilling med billede
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereBilagskladder kaldes ved at vælge menupunktet Regnskab -> Kladde eller klikke på favoritikonet Bilagskladder på Winfinans skrivebordet.
Bilagskladde Bilagskladder kaldes ved at vælge menupunktet Regnskab -> Kladde eller klikke på favoritikonet Bilagskladder på Winfinans skrivebordet. Navigering i kladder flytter fra felt til felt.
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs mereBrugervejledning til Graph (1g, del 1)
Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet
Læs mereAnnemette Søgaard Hansen/www.dinwebvejleder.dk
Google Docs Dokumenter Indholdsfortegnelse Værktøjer... Side 3 Menuer... Side 5 Opgave... Side 8 Få adgang til filerne fra din computer... Side 16 Vejledende løsning... Side 17 GoogleDocs Dokumenter 2
Læs mere