Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære 1. ordens differentialligningssystemer"

Transkript

1 enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære differentialligninger generelt Det er derfor en god idé at have læst den først Desuden bruges egenværdier og -vektorer i løsningsproceduren, se enote 9 og enote 0 Version 3085 Differentialligningssystemer Vi vil i denne enote kigge på lineære koblede homogene differentialligninger af orden med konstante koefficienter (se forklaring nedenfor) En sådan samling af koblede differentialligninger kaldes et differentialligningssystem Et differentialligningssystem af orden med n ligninger ser principielt således ud: (t) = a (t) + a (t) + + a n n (t) (t) = a (t) + a (t) + + a n n (t) n(t) = a n (t) + a n (t) + + a nn n (t) (-) På venstresiden er differentialkvotienterne af de n ukendte funktioner (t), (t),, n (t) stillet op, mens hver højreside er en linearkombination af de n ukendte funktioner Koefficienterne (a erne) er reelle konstanter I matri-format kan systemet skrives således: (t) a a a n (t) (t) = a a a n (t) (-) n(t) a n a n a nn n (t)

2 enote DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Endnu mere kompakt skrives det (t) = A(t) (-3) A kaldes systemmatricen Det er nu målet at løse et sådant differentialligningssystem, altså at bestemme (t) = ( (t), (t),, n (t)) Forklaring Hvad er et differentialligningssystem? Differentialligningssystemer er samlinger af differentialligninger Grunden til, at man ikke betragter differentialligningerne enkeltvis, er, at de ikke kan løses hver for sig, da de har for mange ubekendte Men da de samme ukendte funktioner optræder i flere ligninger, er ligningerne koblede En enkelt differentialligning fra et system kan for eksempel se således ud: (t) = 4 (t) (t) (-4) Det er ikke muligt at bestemme hverken (t) eller (t), da der er to ukendte funktioner men kun én differentialligning For at kunne løse et sådant system fuldt ud skal man have lige så mange ligninger, som man har ukendte funktioner (med deres tilhørende afledede) Den anden ligning i systemet kunne derfor være (t) = 6 (t) + (t) (-5) Vi har nu lige så mange ligninger (to), som vi har ukendte funktioner (to), og det er nu muligt at bestemme både (t) og (t) For overskuelighedens skyld skriver man differentialligningssystemer på matriform Systemet ovenfor ser således ud: [ (t) (t) = [ 4 6 [ (t) (t) (t) = [ 4 (t) = A (t) (-6) 6 Ser man bort fra, at det er vektorer og matricer, der opereres med, ligner ligningssystemet noget, vi har set før: (t) = A (t), som man allerede kunne løse i gymnasiet Løsningen til denne differentialligning er triviel: (t) = ce At, hvor c er en arbitrær konstant Nedenfor finder vi ud af, at løsningen til det tilsvarende system af differentialligninger er sammenlignelig med (t) = ce At Vi løser nu differentialligningssystemet i nedenstående sætning Sætningen indeholder

3 enote DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER 3 forudsætninger, der ikke altid er opfyldte De særtilfælde, hvor sætningen ikke gælder, undersøges senere Beviset for sætningen indeholder en meget kendt og brugt metode, kaldet diagonaliseringsmetoden Sætning Et lineært differentialligningssystem bestående af n ligninger med i alt n ukendte differentialble funktioner er givet ved (t) = A(t), t R (-7) Hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer v, v,, v n tilhørende (ikke nødvendigvis forskellige) egenværdier λ, λ,, λ n, er systemets fuldstændige løsningsmængde bestemt ved (t) = c e λ t v + c e λ t v + + c n e λ nt v n, t R, (-8) hvor c, c,, c n er vilkårlige komplekse konstanter Læg mærke til, at det ikke altid er muligt at finde n lineært uafhængige egenvektorer Derfor kan man ikke altid bruge sætning til løsning af differentialligningssystemer af orden I sætningen er angivet den fuldstændige komplekse løsningsmængde for differentialligningssystemet Den fuldstændige reelle løsningsmængde kan derefter om nødvendigt findes som den reelle delmængde af den komplekse løsningsmængde Bevis Vi gætter på, at en løsning til differentialligningssystemet (t) = A(t) er en vektor v ganget på e λt, hvor λ er en konstant, så (t) = e λt v Vi har da den differentierede (t) = λe λt v (-9) Sættes dette udtryk for (t) ind i (-7) sammen med udtrykket for (t) fås λe λt v = Ae λt v λv = Av Av λv = 0 (A λe)v = 0 (-0) e λt er forskellig fra nul for ethvert t R, hvorfor det kan divideres ud Ligningen λv = Av genkendes som et egenværdiproblem, se enote 9 λ er derfor en egenværdi til A og v den tilhørende egenvektor De kan begge bestemmes Det er nu lykkedes os at finde ud af, at

4 enote DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER 4 e λt v er én løsning til differentialligningssystemet, når λ er en egenværdi og v den tilhørende egenvektor til A Til at bestemme den fuldstændige løsningsmængde bruges den såkaldte diagonaliseringsmetode: Vi antager, at A = A n n har n lineært uafhængige (reelle eller komplekse) egenvektorer v, v,, v n hørende til egenværdierne λ, λ,, λ n Vi indfører nu den regulære matri V, som indeholder alle egenvektorerne, V = [ v v v n (-) Endvidere indføres funktionen y, så y(t) = (y (t), y (t),, y n (t)), således, at (t) = Vy(t) (-) Vi har da, at (t) = Vy (t) Indsættes disse udtryk for (t) og (t) i (-7), fås Vy (t) = AVy(t) y (t) = V AVy(t) = Λy(t), (-3) hvor Λ = V AV = diag(λ, λ,, λ n ) er en diagonalmatri med egenværdierne tilhørende A Vi har nu ligningen y (t) = Λy(t), der kan skrives på følgende måde: y (t) = λ y (t) y (t) = λ y (t) y n(t) = λ n y n (t) (-4) da Λ kun har elementer forskellig fra nul i diagonalen Dette ligningssystem er ikke koblet I hver ligning optræder nemlig kun én funktion og dens afledede Derfor kan man løse dem enkeltvis, og den fuldstændige løsningsmængde til hver ligning er y(t) = ce λt for alle c C Samlet giver det den fuldstændige løsningsmængde bestående af følgende funktioner for alle c, c,, c n C: y(t) = y (t) y (t) y n (t) = c e λ t c e λ t c n e λ nt Da vi nu har løsningen y(t), kan vi også finde løsningen (t) = Vy(t), c e λ t (t) = Vy(t) = [ c e λ t v v v n c n e λ nt = c e λ t v + c e λ t v + + c n e λ nt v n (-5) (-6)

5 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 5 Vi har nu fundet den fuldstændige komplekse løsningsmængde til ligningssystemet i (-7), som består af funktionerne (t) for alle c, c,, c n C Eksempel 3 Et givet differentialligningssystem (t) = (t) + (t) (t) = 3 (t) (-7) skrives på matriform som (t) = [ (t) = A(t) (-8) 3 0 Det kan vises, at A har egenværdierne λ = 3 og λ = med de tilhørende egenvektorer v = (, ) og v = (, 3) (prøv selv!) Derfor er den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet givet ved nedenstående funktioner for alle c, c R: (t) = [ [ (t) = c (t) e 3t + c e t [ 3, t R (-9) Løsningen er fundet ved brug af sætning En anden måde at opskrive løsningsmængden på er ved at skille ligningssystemet ad, så udgør løsningsmængden, hvor t R, for alle c, c R (t) = c e 3t + c e t (t) = c e 3t 3c e t (-0) To koblede differentialligninger Givet et lineært homogent ordens differentialligningssystem med konstante koefficienter med n ligninger og n ukendte funktioner (t) = A(t), t R (-) Hvis systemmatricen A har n lineært uafhængige egenvektorer, kan systemets reelle løsningsmængde findes ved hjælp af sætning Hvis egenværdierne er reelle, kan den reelle løsningsmængde umiddelbart opskrives efter sætningens formel (-8), hvor de n tilhørende lineært uafhængige egenvektorer er reelle, og de arbitrære konstanter angives som reelle Hvis systemmatricen har egenværdier, som ikke er reelle, kan den

6 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 6 reelle løsningsmængde findes ved at uddrage den reelle delmængde af den komplekse løsningsmængde Også i dette tilfælde vil løsningsmængden kunne opskrives som en linearkombination af n lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet Tilbage har vi særtilfældet, hvor systemmatricen ikke har n lineært uafhængige egenvektorer Også her vil den reelle løsningsmængde være en linearkombination af n lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet Her kan diagonaliseringsmetoden af gode grunde ikke benyttes, og man må bruge andre metoder I dette afsnit gennemgår vi de nævnte tre tilfælde for systemer, der består af n = koblede differentialligninger med n = ukendte funktioner Dernæst i det efterfølgende afsnit generaliseres metoden til det generelle tilfælde for højere n end, se sætning 9 Metode 4 Den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R (-) bestående af n = ligninger med ukendte funktioner kan opskrives som (t) = c u (t) + c u (t), t R, (-3) hvor u og u er reelle lineært uafhængige partikulære løsninger, og c, c R Bestem først egenværdierne til A For rødderne i det karakteristiske polynomium A foreligger der tre muligheder: To reelle enkeltrødder I så fald har begge egenværdier λ og λ algebraisk multiplicitet og geometrisk multiplicitet, og vi kan sætte u (t) = e λ t v og u (t) = e λ t v, (-4) hvor v og v er egentlige egenvektorer tilhørende λ og λ respektivt To komplekse rødder De to egenværdier λ og λ er da hinandens konjugerede komplekse tal Vi bestemmer da u og u ved hjælp af metode 5 herunder En dobbeltrod Her har egenværdien λ algebraisk multiplicitet Hvis den geometriske multiplicitet af λ er, bestemmes u og u ved hjælp af metode 7

7 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 7 Ved den første mulighed i metode 4 med to forskellige reelle egenværdier, kan man udmiddelbart benytte sætning, idet de arbitrære konstanter vælges som reelle, se eksempel 3 Nu følger metoden, der tager sig af tilfældet med to komplekse egenværdier Metode 5 To lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R, (-5) hvor A har det komplekse egenværdipar λ = α + βi og λ = α βi med tilhørende egenvektorer v og v, er ( ) u (t) = Re e λt v = e αt (cos(βt)re(v) sin(βt)im(v)) ( ) (-6) u (t) = Im e λt v = e αt (sin(βt)re(v) + cos(βt)im(v)) Bevis Beviset medtages i næste version af denne enote Eksempel 6 To komplekse egenværdier Givet differentialligningssystemet (t) = Bestem den fuldstændige reelle løsningsmængde [ (t) = A(t) (-7) Egenværdierne bestemmes til λ = + i og λ = i med de tilhørende egenvektorer v = ( i, ) henholdsvis v = (i, ) Det ses, at der er to komplekse egenværdier og dertil to komplekse egenvektorer Derfor benytter vi det andet punkt i metode 5, og vi skal således bruge Re(v) og Im(v) fra en egenvektor samt α og β fra en egenværdi Med λ = + i aflæses α = og β =, og desuden haves v = [ [ i 0 = + i [ 0 = Re(v) + i Im(v), (-8)

8 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 8 så Re(v) = [ [ 0 og Im(v) = Ifølge metode 5 har vi da de to løsninger 0 [ u (t) = e (cos(t) t 0 [ u (t) = e (sin(t) t 0 sin(t) + cos(t) [ ) 0 [ ) 0 [ sin(t) = e t cos(t) (-9) [ cos(t) = e t (-30) sin(t) Den fuldstændige reelle løsningsmængde til differentialligningssystemet (-7) er da givet ved følgende funktioner for alle c, c R: ( [ sin(t) (t) = c u (t) + c u (t) = e t c cos(t) fundet ved hjælp af metode 4 + c [ cos(t) sin(t) ), t R, (-3) Bemærk i eksemplet, at kun den ene egenværdi samt dens tilhørende egenvektor blev benyttet Vi skal nemlig blot bruge reeldel og imaginærdel af egenværdi og egenvektor, og disse værdier er ens for både den konjugerede og den ikke-konjugerede Endelig beskrives metoden der kan bruges, hvis systemmatricen har egenværdien λ med am(λ) = og gm(λ) =, dvs hvor diagonalisering ikke mulig Metode 7 Hvis systemmatricen A til differentialligningssystemet (t) = A(t), t R (-3) har en egenværdi λ med algebraisk multiplicitet, men det tilhørende egenvektorrum kun har geometrisk multiplicitet, findes to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet af formen u (t) = e λt v u (t) = te λt v + e λt b, (-33) hvor v er egenvektoren tilhørende egenværdien λ, og b er løsning til det lineære ligningssystem (A λe)b = v (-34)

9 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Bevis Det er åbenlyst, at den ene løsning til differentialligningssystemet er u (t) = e λt v Det svære er at finde endnu en løsning Vi gætter på en løsning af formen u (t) = te λt v + e λt b = e λt (tv + b), (-35) hvor v er en egenvektor tilhørende egenværdien λ, og b er en kompleks vektor Vi har da u (t) = λe λt (tv + b) + e λt v = (e λt + λte λt )v + λe λt b = e λt (( + λt)v + λb) (-36) Vi kontrollerer, om u (t) er en løsning ved at indsætte det i (t) = A(t), u (t) = Au (t) e λt (( + λt)v + λb) = Ae λt (tv + b) v + λtv + λb = Atv + Ab t(λv Av) + (v + λb Ab) = 0 λv Av = 0 v + λb Ab = 0 (-37) Den første ligning kan nemt omformes til Av = λv, og den ses at være sand, da v er en egenvektor tilhørende egenværdien λ Den anden ligning omformes: v + λb Ab = 0 Ab λb = v (A λe)b = v (-38) Hvis b opfylder det foreskrevne ligningssystem, vil u (t) i (-35) også være en løsning til differentialligningssystemet Vi har dermed fundet to løsninger, og vi skal nu blot finde ud af, om de er lineært uafhængige Dette gøres ved et normalt linearitetskriterium: Hvis ligningen k u + k u = 0 kun har løsningen k = k = 0, er u og u lineært uafhængige k u + k u = 0 k e λt v + k e λt (tv + b) = 0 t(k v) + (k v + k b) = 0 k v = 0 k v + k b = 0 (-39) Da v er en egenvektor, er den forskellig fra nulvektoren, og derfor er k = 0 ifølge den første ligning Den anden ligning er derved blevet reduceret til k v = 0, og med samme argument haves k = 0 Derfor er de to løsninger lineært uafhængige, og metoden er hermed bevist

10 enote TO KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER 0 Eksempel 8 En egenværdi med algebraisk multiplicitet Givet differentialligningssystemet (t) = [ 6 (t) = A(t) (-40) 4 Egenværdierne bestemmes for A: det(a λe) = 6 λ 4 λ = (6 λ)( λ) + 4 = λ 8λ + 96 = (λ 4) = 0 (-4) Der er altså kun én egenværdi, nemlig λ = 4, selvom det er et ( )-system, og den har am(λ) = Egenvektorerne bestemmes: [ [ [ 6 4 A 4E = = (-4) Man har da egenvektoren v = (, ) eller mere elegant v = (, ) Vi må altså konstatere, at egenværdien λ har algebraisk multiplicitet, men at det tilhørende vektorrum har geometrisk multiplicitet For at bestemme to uafhængige løsninger til differentialligningsystemet kan metode 7 bruges For at finde en vektor b løses følgende ligningssystem: Fra (A λe)b = v fås T = [ [ [ 4 b = [ så (-43) Dette giver b = (, ), hvis den frie variabel sættes til De to løsninger er da u (t) = e 4t [ u (t) = te 4t [ [ + e 4t (-44) Ved hjælp af metode 4 kan den fuldstændige løsningsmængde bestemmes til at være følgende funktioner for alle c, c R: (t) = c u (t) + c u (t) = c e 4t [ + c e 4t ( t [ + [ ) (-45)

11 enote 3 N-DIMENSIONALT LØSNINGSRUM 3 n-dimensionalt løsningsrum I det foregående afsnit har vi betragtet koblede systemer bestående af to lineære ligningssystemer med to ukendte funktioner Løsningsrummet er to-dimensionalt, idet det kan opskrives som en linearkombination af to lineært uafhængige løsninger Dette kan generaliseres til vilkårlige systemer med n koblede lineære differentialligninger med n ukendte funktioner Løsningsmængden er en linearkombination af netop n lineært uafhængige løsninger Dette formuleres i generel form i følgende sætning Sætning 9 Givet det lineære homogene ordens differentialligningssystem med konstante reelle koefficienter (t) = A(t), t R (-46) bestående af n ligninger og med i alt n ukendte differentiable funktioner Den fuldstændige reelle løsningsmængde til systemet er n-dimensional og kan opskrives ved (t) = c u (t) + c u (t) + + c n u n (t), (-47) hvor u (t), u (t),, u n (t) er lineært uafhængige reelle løsninger til differentialligningssystemet, og c, c,, c n R De forskellige løsninger u(t), der skal bruges i sætningen, kan findes ved at bruge de af metoderne 4, 5 og 7, der passer til de forskellige tilfælde af egenværdier og egenvektorer Herunder er et eksempel med et koblet system af tre differentiallinger, der eksemplificerer sætning 9 Eksempel 0 3 koblede differentialligninger Givet differentialligningssystemet (t) = 3 5 (t) = A(t) (-48) 4 6 Bestem systemets fuldstændige reelle løsningsmængde Egenværdierne og egenvektorene kan bestemmes og er som følger: λ = 4 med v = (0, 5, ) λ = med v = (5, 5, 3)

12 enote 3 N-DIMENSIONALT LØSNINGSRUM Desuden har λ algebraisk multiplicitet, men det tilhørende egenvektorrum har geometrisk multiplicitet Fordi n = 3 skal vi bruge 3 lineært uafhængige løsninger til at danne den fuldstændige løsningsmængde, som set i sætning 9 Egenværdierne betragtes hver for sig: ) Den første egenværdi, λ = 4, har både geometrisk og algebraisk multiplicitet lig Det giver netop følgende løsning ifølge metode 4: 0 u (t) = e λt v = e 4t 5 (-49) ) Den anden egenværdi, λ =, har algebraisk multiplicitet men geometrisk multiplicitet Derfor kan vi bruge metode 7 til at finde to løsninger Først bestemmes b: Fra (A λ E)b = v fås T = b = (-50) En partikulær løsning til dette ligningssystem er b = (0,, ) Med denne viden har vi yderligere to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet ifølge metode 7, nemlig 5 u (t) = e λt v = e t 5 3 (-5) 5 0 u 3 (t) = te λt v + e λt b = te t e t De tre løsninger viser sig desuden at være lineært uafhængige (vi lader det være op til læseren at vise) Ifølge metode 9 er den fuldstændige reelle løsningsmængde udgjort af følgende linearkombination for alle c, c, c 3 R: (t) = c u (t) + c u (t) + c 3 u 3 (t) (-5) Dette giver altså (t) = c e 4t 5 + c e t 5 + c 3 te t 5 + e t, (-53) 3 3 hvor t R, og alle c, c, c 3 R

13 enote 4 EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER 3 4 Eksistens og entydighed af løsninger Ifølge struktursætningen sætning 9 indeholder den fuldstændige løsningsmængde til et differentialligningssystem med n ligninger n arbitrære konstanter Hvis man har n begyndelsesværdibetingelser, kan konstanterne bestemmes, og vi får da en entydig løsning Dette formuleres i følgende eksistens- og entydighedssætning Sætning Eksistens og entydighed Et ordens differentialligningssystem bestående af n ligninger og n ukendte differentiable funktioner med konstante koefficienter er givet ved (t) = A(t), t I (-54) For ethvert t 0 I og ethvert talsæt y 0 = (y, y,, y n ) findes der netop én løsning (t) = ( (t), (t), n (t) ), der opfylder begyndelsesværdibetingelsen hvilket vil sige, at (t 0 ) = y 0, (-55) (t 0 ) = y, (t 0 ) = y,, n (t 0 ) = y n (-56) Beviset udelades Eksempel I eksempel 3 fandt vi den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningssystemet [ (t) = (t), t R, (-57) 3 0 nemlig (t) = [ [ (t) = c (t) e 3t + c e t [ 3, t R (-58) Vi ønsker nu at bestemme den entydige løsning (t) = ( (t), (t)), som opfylder begyndelsesværdibetingelsen (0) = ( (0), (0)) = (6, 6) Dette giver ligningssystemet [ [ [ [ [ 6 = c 6 e 0 + c e 0 c = (-59) 3 3 Konstanterne c og c kan findes ved sædvanlig GaussJordan-elimination, [ [ [ (-60) c

14 enote 5 OMFORMNING AF LINEÆRE N TE ORDENS HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER TIL ET ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEM 4 Man får altså løsningen (c, c ) = (6, 0), og den entydige og betingede løsning er derfor (t) = 6e 3t [ hvilket er det samme som, at + 0e t [ 3 I dette særtilfælde er de to funktioner altså identiske [ = 6e 3t, t R, (-6) (t) = 6e 3t (t) = 6e 3t (-6) 5 Omformning af lineære n te ordens homogene differentialligninger til et ordens differentialligningssystem Med lidt snilde er det muligt at omforme en vilkårlig homogen n te ordens differentialligning med konstante koefficienter til et differentialligningssystem, som kan løses ved hjælp af denne enote Metode 3 Fra differentialligning til differentialligningssystem En n te ordens lineær differentialligning (n) (t) + a n (n ) (t) + a n (n ) (t) + + a (t) + a 0 (t) = 0 (-63) for t R, kan omformes til et ordens differentialligningssystem, og systemet vil se således ud: og (t) = (t) (t) (t) n (t) n(t) = a 0 a a a n (t) (t) n (t) n (t) (-64) Notationen (n) (t) angiver ikke en opløftning med derimod et antal ganges differentiering! F er (3) (t) = (t) Beviset for denne omskrivning er simpelt og giver god forståelse for omformningen

15 enote 5 OMFORMNING AF LINEÆRE N TE ORDENS HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER TIL ET ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEM 5 Bevis Lad der være givet en n te ordens differentialligning som i (-63) Vi indfører n funktioner på denne måde: (t) = (t) (t) = (t) = (t) 3 (t) = (t) = (t) 4 (t) = 3 (t) = (t) (-65) n (t) = n (t) = (n ) (t) n (t) = n (t) = (n ) (t) Disse nye udtryk indsættes i differentialligningen (-63), n(t) + a n n (t) + a n n (t) + + a (t) + a 0 (t) = 0 n(t) = a 0 (t) a (t) a n n (t) a n n (t) (-66) Denne ligning kan sammen med ligningerne (-65) skrives op på matriform: Metoden er nu bevist (t) (t) n (t) n(t) = a 0 a a a n (t) (t) n (t) n (t) (-67) Eksempel 4 Givet en lineær differentialligning af 3 orden med konstante koefficienter, (t) 4 (t) 7 (t) + 0(t) = 0, t R (-68) Bestem den fuldstændige løsningsmængde Vi ønsker at omforme ligningen til et ligningssystem på matriform, så vores metoder til løsning i denne enote kan benyttes Vi indfører funktionerne (t) = (t) (t) = (t) = (t) 3 (t) = (t) = (t) På denne måde kan vi omskrive differentialligningen til (-69) 3(t) 4 3 (t) 7 (t) + 0 (t) = 0, (-70)

16 enote 5 OMFORMNING AF LINEÆRE N TE ORDENS HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNINGER TIL ET ORDENS DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEM 6 og vi kan da samle det i et ligningssystem, (t) = (t) (t) = 3(t) 3 (t) = 0 (t) + 7 (t) (t) (-7) Det skrives på matriform på denne måde: (t) = 0 0 (t) (-7) Egenværdierne bestemmes til at være λ =, λ = og λ 3 = 5 Den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningssystemet er ifølge sætning givet ved følgende funktioner for alle de arbitrære konstanter c, c, c 3 R: hvor v, v og v 3 er de respektive egenvektorer (t) = c e t v + c e t v + c 3 e 5t v 3, t R, (-73) Vi skal imidlertid kun bruge løsningsmængden til (t) = (t), hvorfor den tages ud af systemet Desuden indfører vi nu tre nye arbitrære konstanter k, k, k 3 R, der skal gøre det ud for produkterne mellem c erne og egenvektorernes førstekoordinat Resultatet bliver således (t) = (t) = k e t + k e t + k 3 e 5t, t R (-74) Dette udgør den fuldstændige løsningsmængde til differentialligningen (-68) Hvis førstekoordinaten i v er 0 sættes k = 0, i modsat fald kan k være et vilkårligt reelt tal På samme måde med k og k 3

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere