DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

Transkript

1 DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger i Calculus De supplerer og præciserer lærebogen "J.Stewart - Calculus, concepts and contexts, 2nd ed." Fremstillingen er bevidst kortfattet og præcis, fremfor beskrivende og detaljeret. Dette kræver en lidt større indsats ved første læsning, men vil betale sig i overskuelighed senere. Det forudsættes, at noterne suppleres med både lærebogen, forelæsninger og mange øvelser. I afsnit behandles den generelle. ordens lineære differentialligning. Løsningsmængdens lineære struktur præciseres. Løsningen omskrives til et stamfunktionsproblem og en samlet formel angives. Videre i afsnit 2 beskrives det lineære. ordens differentialligningssystem i vilkålig mange variable. Kun ligningssystemet med konstante koefficienter behandles eksplicit. Løsningen kan ved inddragelse af matrixmetoder og egenvektorer reduces til én variabel metoder. Ikke-lineære differentialligninger er vanskelige at løse, men i afsnit 3 omtaler vi en entydighedsog eksistenssætning for. ordens differentialligninger, som i mange tilfælde sikrer en løsning. I sidste afsnit 4 introduces ligevægt og stabilitet. I omegnen af sådanne punkter kan en ikke-lineær differentialligning i nogle tilfælde med fordel tilnærmes med en lineær differentialligning. Dette gælder også for systemer af differentialligninger. Version: november, 2003.

2 2. LINEÆR LIGNING. LINEÆR LIGNING Den lineære. ordens differentialligning er den simpleste. Men den spiller en stor rolle, da den i princippet nemt kan løses og løsningen kan bruges til at tilnærme løsningen af en mere vanskelig differentialligning. Den lineære differentialligning defineres rimeligt præcist og den lineære struktur af løsningsmængden angives. Ligningen med konstante koefficienter er separabel og løses ved integration. Den generelle ligning reduceres på analog måde og en samlet formel angives. Resultaterne anvendes på en populær opgavetype. En rimelig præcis definition af den lineære ligning og lidt almindelig sprogbrug, der bruges i de fleste fremstillinger, følger her. Definition.. Den lineœre. ordens differentialligning er = a(x)y + b(x) En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder y (x) = a(x)y(x) + b(x) Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger, også kaldet løsningsrummet. Ligningen = a(x)y kaldes homogen og er den homogene part af den inhomogene, b 0, ligning ovenfor. Den lineære differentiallignings form har en afgørende betydning for strukturen af løsningsrummet. I det homogene tilfælde er linearkombinationer af løsninger igen løsninger. Det kaldes i anvendelsessammenhænge ofte for superpositionsprincippet. Formuleringen af følgende sætning er inspireret af lineær algebra. Det ses, at løsningen af det inhomogene problem reduceres til det tilsvarende homogene problem samt angivelse af bare én partikulær løsning. Sætning.2. Hvis z (x),z 2 (x) er løsninger til den homogene lineœre differentialligning = a(x)y så er enhver linearkombination z(x) = C z (x) + C 2 z 2 (x) også en løsning. Hvis z 0 (x) er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning = a(x)y + b(x) så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet.

3 . LINEÆR LIGNING 3 Bevis. z = C z + C 2z 2 = C az + C 2 az 2 = az giver første del. For anden del ses, at er løsning til den homogene part. y z 0 Ligningen med konstante koefficienter er særlig nem. Den er separabel og løses ved integration. Ved brug af den lineære struktur kan løsningen opdeles i det homogene problem og angivelse af bare én partikulær løsning. Sætning.3. Den lineœre ligning med konstante koefficienter = ay + b har fuldstœndig løsning givet ved a = 0: y(x) = C + bx a 0: y(x) = Ce ax b a hvor C er arbitrœr. Specielt er den konstante funktion y(x) = b/a en løsning. Bevis. Den homogene part er separabel med løsninger Afslut ved Sætning.2. = ay y = a(x) ln y = ax + K y(x) = Ce ax y 0 x Grafer af løsninger Samme metode som anvendt på ligningen med konstante koefficienter kan bruges på den generelle homogene ligning. Denne er igen separabel og løses ved integration i følgende sætning.

4 4. LINEÆR LIGNING Sætning.4. Den homogene lineœre ligning har fuldstœndig løsning hvor C er arbitrœr og Bevis. er separabel med løsninger = a(x)y y(x) = Ce A(x) A(x) = e a(x) = a(x)y y = a(x) ln y = A(x) + K y(x) = Ce A(x) På snedig vis reduceres den inhomogene ligning til et stamfunktionsproblem. Der opnås en færdig formel for den fuldstændige løsning. Det er hovedresultatet i dette afsnit. Efterfølgende samles fremgangsmåden i en klar metode. Sætning.5. Den generelle lineœre ligning har fuldstœndig løsning hvor C er arbitrœr og A(x) = = a(x)y + b(x) y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) e a(x), B(x) = e A(x) b(x) Bevis. opfylder ligningen som integreres til og forlænges til z(x) = e A(x) y(x) dz = e A(x) b(x) z(x) = B(x) + C y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)

5 . LINEÆR LIGNING 5 Læg mærke til den efterfølgende metode, som med fordel kan bruges i mange populære opgavetyper. Bemærkning.6 (Metode).. Bestem en stamfunktion = a(x)y + b(x) A(x) = e a(x) 2. Bestem en stamfunktion B(x) = e A(x) b(x) 3. Skriv løsningen y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) 4. Konstanten C fastlægges ved indsættelse i løsningen fra 3. Metoden giver altså den fuldstændige løsning samt eventuelt en partikulær løsning der tilfredsstiller yderligere betingelser. To repræsentative opgaver af en ofte stillet type løses ved brug af resultater og metoder fra dette afsnit. Opgave.7 (Opgave 7, Matematik Alfa, August 2002). Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Løsning. a(x) = 2,b(x) = xe 2x + 3 A(x) = B(x) = a(x) = 2 = 2x e A(x) b(x) = e 2x (xe 2x + 3) = 2 x e2x Som giver fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 2 x e2x )e 2x = Ce 2x + 2 x2 e 2x + 3 2

6 6. LINEÆR LIGNING I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(0) = Ce = 2 I alt er y(x) = 2 e 2x + 2 x2 e 2x y 0 Grafen af løsningen x Opgave.8 (Opgave 5, Matematik Alfa, Januar 2003). Angiv den fuldstændige løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0) y + y x = 2x. Angiv endvidere den løsning, der opfylder betingelsen y(2) = 5. Løsning. a(x) = x,b(x) = 2 x A(x) = B(x) = = a(x) = = ln x x e A(x) b(x) = e lnx 2 x x 2 x = 2 = 2x Som giver fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce ln x + 2xe ln x = C x + 2

7 I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(2) = C = 5 I alt er y(x) = 6 x + 2. LINEÆR LIGNING 7 y 0 Grafen af løsningen x Opgave.9. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen = y + Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) =. Opgave.0. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y = y x Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) =. Opgave.. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen = 2xy + ex2 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y() = e +. Opgave.2. Angiv for alle a 0 den fuldstændige løsning til differentialligningen y = ay + e x

8 8 2. LINEÆRT SYSTEM 2. LINEÆRT SYSTEM Det lineære differentialligningssystem er en umiddelbar, men meget kraftig udvidelse af den lineære differentiallingning. Kun tilfældet med konstante koefficienter behandles. Ved indragelse af matrixmetoder og egenvektorer/værdier kan et system reduceres til lineære ligninger, som kan løses ved metoder fra afsnit. En præcis definition efterfølges af en sætning om løsningsrummets lineære struktur. En egenvektor giver en -parameter mængde af løsninger. For en diagonaliserbar matrix kan den fuldstændige løsning angives. Et par opgaveforslag behandles. Den præcise definition og gængs sprogbrug er en umiddelbar udvidelse af tilsvarende definition og sprogbrug i afsnit. Tilfældet med ikke-konstante koefficienter overlades til læseren. Definition 2.. Ved et lineœrt. ordens differentialligningssystem med konstante koefficienter forstås = a y a n y n + b 2 = a 2 y a 2n y n + b 2. n = a n y a nn y n + b n En partikulær løsning er differentiable funktioner x y (x),...,x y n (x) som indsat opfylder lignningerne. Løsningsrummet, den fuldstændige løsning er angivelsen af alle løsninger. For n n matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives det lineœre differentialligningssystem En løsning skrives = Ay + b y (x) x y(x) =. y n (x) Bemærkning 2.2. Givet n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) kaldes systemet = Ay homogent og er den homogene part af det inhomogene, b 0, system = Ay + b Den lineære struktur af løsningsrummet går igen fra den lineære ligning. I det homogene tilfælde er linearkombinationer af løsninger igen løsninger. Det ses,

9 2. LINEÆRT SYSTEM 9 at løsningen af det inhomogene problem reduceres til det tilsvarende homogene problem samt angivelse af bare én partikulær løsning. Sætning 2.3. Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)). Hvis z (x),z 2 (x) er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssystem så er enhver linearkombination = Ay z(x) = C z (x) + C 2 z 2 (x) også en løsning. Betragt yderligere n søjlen b. Hvis z 0 (x) er en løsninger til det inhomogene lineœre differentialligningssystem = Ay + b så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Bevis. Som for Sætning.2. Inddragelse af teorien for egenværdier og egenvektorer forenkler teknikken betydeligt. En egenvektor giver en -parameter mængde af løsninger for det homogene system. Sætning 2.4. Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem = Ay Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u Bevis. Gør prøve = λeλx u = e λx Au = Ay Det er ofte muligt at finde en konstant løsning. Kombineres dette med Sætning 2.3 og 2.4 kan en én parameter mængde af løsninger angives. Sætning 2.5. Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem = Ay + b

10 0 2. LINEÆRT SYSTEM En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u + v Bevis. Gør prøve ved brug af Sætning 2.4 = eλx Au = A(y v) = Ay + b For en diagonaliserbar koefficientmatrix kan man finde den fuldstændige løsning for det homogene tilfælde. Kan man samtidig finde en konstant løsning til det inhomogene problem, så kan den fuldstændige løsning også angives i dette tilfælde. Sætning 2.6. Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem = Ay Hvis matricen U med søjler u,...,u n diagonaliserer A med egenvœrdier λ,...,λ n, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved hvor C,...,C n er arbitrœre. y(x) = C e λ x u + + C n e λnx u n Bevis. Fra Sætning 2.3, 2.4 følger, at linearkombinationerne er løsninger. Omvendt for en given løsning z, findes C,...,C n så For z(0) = C u + + C n u n gælder hvoraf resultatet følger. y(x) = C e λ x u + + C n e λnx u n d(z y) = 0, z(0) = y(0) Sætning 2.7. Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u,...,u n diagonaliserer A med egenvœrdier λ,...,λ n, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved hvor C,...,C n er arbitrœre. y(x) = C e λ x u + + C n e λnx u n + v

11 2. LINEÆRT SYSTEM Følgende opgavetype overvejes som repræsentativ for resultaterne i dette afsnit. Opgave 2.8 (Opgave måske, Calculus 2, Januar 2004). Betragt differentialligningssystemet y = y + y 2 y 2 = 8y y 2 Det oplyses, at vektoren u = (, 2) er en egenvektor for matricen A = 8 Angiv den løsning y(x) = (y (x),y 2 (x)) der opfylder y(0) = u, altså (y (0),y 2 (0)) = (,2). Løsning. Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( 3 Au = = = 3u 8 )( 2 6) I følge Sætning 2.4 er ( y(x) = Ce 3x 2 løsninger for alle valg af C. For C = giver dette den ønskede løsning. Skrevet ud y (x) = e 3x y 2 (x) = 2e 3x ) En mere komplet, men også ret omfangsrig opgave kunne være. Opgave 2.9. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet Løsning. Koefficientmatricen er = y + 2y = 2y + y 2 7 A = 2 2 Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium A λi 2 = λ 2 2 λ Egenværdierne er = λ 2 2λ 3 λ =, λ 2 = 3

12 2 2. LINEÆRT SYSTEM Egenvektorer hørende til egenværdien : 2 2 A + I = 2 2 giver egenvektorer x x2 = x 2 x 2 Egenvektorer hørende til egenværdien 3: 2 2 A 3I = = x giver egenvektorer x x2 = = x x 2 x 2 2 Den fuldstændige løsning til den homogene part = y + 2y 2 = 2y + y 2 er i følge Sætning 2.6 y(x) = C e x + C 2 e 3x Skrevet ud y (x) = C e x + C 2 e 3x y 2 (x) = C e x + C 2 e 3x En konstant løsning y(x) = v = (v,v 2 ) skal opfylde Dette løses 0 = v + 2v = 2v + v 2 7 ( 2 v = 3) Den fuldstændige løsning til systemet = y + 2y 2 8 er i følge Sætning 2.7 Skrevet ud y(x) = C e x Hvor C,C 2 er arbitrære konstanter. 2 = 2y + y C 2 e 3x ( ) y (x) = C e x + C 2 e 3x + 2 y 2 (x) = C e x + C 2 e 3x + 3 ( 2 + 3)

13 2. LINEÆRT SYSTEM 3 Et hastighedsfelt giver en grafisk fornemmelse for løsningskurvernes x y(x) forløb. y 2 Hastighedsfelt y I det ikke-diagonaliserbare tilfælde kan man lidt mere besværligt også finde løsningerne. Eksempel 2.0 (Ingen egenværdier). Betragt det lineære system Koefficientmatricen y = y y 2 y 2 = y + y 2 A = har karakteristisk polynomium λ 2 2λ+2 med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier. Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer Skrevet ud y(x) = C e x ( cos x sin x ) + C 2 e x ( sin x cos x y (x) = C e x cos x C 2 e x sinx y 2 (x) = C e x sin x + C 2 e x cos x ) y 2 y Hastighedsfelt

14 4 2. LINEÆRT SYSTEM Eksempel 2. ( egenværdi). Betragt det lineære system Koefficientmatricen y = 3y + y 2 y 2 = 3y 2 A = har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e ). Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer og/eller substitution. ) ) y(x) = C e 3x ( 0 + C 2 e 3x ( x Skrevet ud y (x) = C e 3x + C 2 e 3x x y 2 (x) = C 2 e 3x y 2 y Hastighedsfelt Opgave 2.2. Betragt differentialligningssystemet = 3y + 2y 2 = y + 4y 2 Det oplyses, at vektoren u = (2, ) er en egenvektor for matricen 3 2 A = 4 Angiv den løsning y(x) = (y (x),y 2 (x)) der opfylder y(0) = u, altså (y (0),y 2 (0)) = ( 2,)

15 Opgave 2.3. Betragt differentialligningssystemet 2. LINEÆRT SYSTEM 5 y = y + y 2 y 2 = y 2 Det oplyses, at vektoren u = (, 0) er en egenvektor for matricen A = 0 Angiv den løsning y(x) = (y (x),y 2 (x)) der opfylder y(0) = 2u, altså (y (0),y 2 (0)) = (2,0) Opgave 2.4. Betragt differentialligningssystemet y = 2y + 3y 2 y 2 = 3y + 2y 2 Det oplyses, at vektorerne u = (,),u 2 = (, ) er en egenvektorer for systemets koefficientmatrix. Angiv den fuldstændige løsning. Opgave 2.5. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y = 7y + 2y y 2 = 3y + 8y 2 3 Opgave 2.6. Angiv den fuldstændige løsning til det homogene differentialligningssystem = y 2y 2 2 = y 4y 2 Angiv den løsning y(x) der opfylder y(0) = (, ).

16 6 3. GENEREL LIGNING 3. GENEREL LIGNING Emnet differentialligninger er meget omfattende. Det er kun i specialtilfælde muligt at angive løsninger ved elementære funktionsudtryk. For en ren matematisk behandling af differentialligninger, indføres en mere præcis definition af en differentialligning og en løsning som er hensigtsmæssig for formulering og bevis af en såkaldt eksistens- og entydighedssætning. Her er så en lidt mere præcis sprogbrug for differentialligninger. Formuleringen for differentialligningssystemer overlades til læseren. Definition 3.. Lad I,J være åbne intervaller og F(x,y) : I J R en reel funktion. En løsning til. ordens differentialligningen = F(x,y) er en differentiabel funktion y(x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver y (x) = F(x,y(x)), x I Følgende ikke helt optimale sætning er ofte anvendelig til at sikre eksistens og entydighed af løsninger til. ordens differentialligninger. Sætning 3.2 (Eksistens og entydighed). Antag at F(x,y) er kontinuert og F y (x,y) eksisterer og er kontinuert i I J. For et givet (x 0,y 0 ) I J findes entydigt bestemt et maximalt åbent delinterval I I om x 0 og en differentiabel funktion y(x) : I J, som er en løsning til. ordens differentialligningen og opfylder = F(x,y) y(x 0 ) = y 0 Bevis. Se f.eks. [Iversen]. Bemærkning 3.3. Den udvidede ligning = F(x,y), y(x 0) = y 0 kaldes et begyndelsesværdiproblem. Eksistens- og entydighedssætningen 3.2 for begyndelsesværdiproblemer har en vigtig udvidelse til differentialligningssystemer, som det overlades til læseren at formulere. Eksempel 3.4. Differentialligningen = x3 y + e xy

17 3. GENEREL LIGNING 7 har løsningskurver igennem ethvert (x 0,y 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner. y 0 x Retningsfelt Som en anvendelse af Eksistens- og entydighedssætningen 3.2 kan de elementære funktioner genfindes som løsninger til simple differentialligninger. Eksempel 3.5 (Elementære funktioner). Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet = y, y(0) = er eksponentialfunktionen y(x) = e x Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet = y 2 2 = y y (0) =, y 2 (0) = 0 er de trigonometriske funktioner y (x) = cos x y 2 (x) = sinx Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet = y 2 2 = y y (0) =, y 2 (0) = 0 er de hyperbolske funktioner (se Stewart, p. 25.) y (x) = cosh x = ex +e x 2 y 2 (x) = sinhx = ex e x 2

18 8 4. STABILITET 4. STABILITET Da det normalt ikke er muligt at løse en differentialligning ved eksplicitte funktionsudtryk, er det vigtigt at kunne beskrive en løsnings egenskaber på anden vis. Her kommer begreberne ligevægt og stabilitet til deres ret. I sådanne punkter er en tilnærmelse med en lineær differentialligning ofte meningsfuld. Den følgende opremsning er ultra kort og bør opfattes som en smagsprøve. Eksemplerne refererer til [Stewart]. Definition 4.. En differentialligning kaldes autonom. En konstant løsning = F(y) y(x) = b, F(b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning y(x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Grafen for funktionen F(y) kaldes fasediagrammet. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsystemer, som det overlades læseren at formulere. Bemærkning 4.2. I en omegn af en ligevægt y(x) = b,f(b) = 0 kan det autonome begyndelsesværdiproblem tilnærmes med den lineære ligning hvor y(x) = b + z(x). = F(y), y(x 0) = b + ɛ dz = F (b)z, z(x 0 ) = ɛ Bemærkning 4.3. For en ligevægt y(x) = b, F(b) = 0 for det autonome system = F(y) gælder (forudsat F(y) er tilstrækkelig pæn ) F (b) < 0: Stabil ligevægt. F (b) > 0: Ustabil ligevægt. F (b) = 0: Ingen konklussion.

19 4. STABILITET 9 y x Fasediagram Eksempel 4.4 (Logistisk ligning). Den logistiske ligning har ligevægts løsninger og dp dt = kp( P K ) = F(P) P(t) = 0, P(t) = K F (P) = 2k K P + k F (0) = k > 0: P = 0 er en ustabil ligevœgt. F (K) = k: P = K er en Stabil ligevœgt. y x Fasediagram Eksempel 4.5 (Lotka-Volterra). For Lotka-Volterra systemet, a,b,k,r > 0, er der to ligevægtsløsninger dr = kr arw dt dw = rw + brw dt (R,W) = (0,0), (R,W) = (r/b,k/a)

20 20 4. STABILITET I (R, W) = (0, 0) er den lineære approximation dr dt = kr dw dt = rw som giver en ustabil ligevægt. I (R,W) = (r/b,k/a) er den lineære approximation for ( R, W) = (R r/b,w k/a) d R dt = ar b W d W = bk dt a R som ifølge Definition 4. giver en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t),W(t) for det oprindelig system er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cyklisk udvikling i modellen. W Hastighedsfelt R

21 LITTERATUR 2 LITTERATUR Arnold, Ordinary differential equations, MIT press 980. (Frisk velskrevet og moderne tilgang). Birkhoff & Rota, Ordinary differential equations, Wiley and Sons 978. (Fine figurer, meget populær). Braun, Differential equations and their applications, Springer Verlag 975. (Udførlige eksempler og gennemregninger af konkrete modeller). Coddington & Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill 955. (Omfattende, men alligevel tilgængelig). Edwards & Penney, Differential equations, computing and modeling, Prentice Hall 996. (Elementær, supplerer forfatternes calculus bog). Hartmann, Ordinary differential equations, Wiley & Sons 964. (Den mest omfattende nyere bog om emnet). Hirsh & Smale, Differential equations, namical systems and linear algebra, Academic Press 974. (Bogen om lineære systemer). Ince, Ordinary differential equations, Dover Publ. 97. (Klassisk bog med mange ikke-lineære typer). Iversen, Reelle funktioner af flere variable, Aarhus Universitetsforlag 988. (Har et godt afsnit om lineære systemer med udførlige beviser). Simmons, Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill 972. (Fornøjelig læsning med mange oplysninger). Stewart, Calculus - concepts and contexts, Brooks/Cole 200. (Lærebogen, lidt tyndt om differentialligninger og modelering).