Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014"

Transkript

1 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a Mandag den 5. maj 014

2 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes 6 imer af holdes sædvanlige uddannelsesid il, a eleverne kan arbejde med forberedelsesmaeriale forud for den skriflige prøve. 3-5 spørgsmål i delprøve af den skriflige prøve ager udgangspunk i de maeriale, der findes i dee oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernesoffe. Oplægge indeholder eori, eksempler og øvelser i ilknyning il e emne, der ligger umiddelbar i forlængelse af e kernesofemne. Resulaerne af arbejde med dee forberedelsesmaeriale bør medbringes il den skriflige prøve. Alle hjælpemidler er illad, og de er illad a modage vejledning. 1

3 Indhold Indledning... 3 Linjeelemener... 4 Koblede differenialligninger... 6 Anvendelser af koblede differenialligninger... 8 Lancheser s model... 8 Andenordens differenialligninger Anvendelser af andenordens differenialligninger Andenordens differenialligninger forsa Anvendelser af andenordens differenialligninger forsa Bilag... 0 Koblede differenialligninger og faseplo i Maple... 0 Koblede differenialligninger og faseplo i Geogebra... 1 Koblede differenialligninger og faseplo i NSpire...

4 Indledning Dee forberedelsesmaeriale ager udgangspunk i førseordens differenialligninger som y ay, y = b- ay og y = y( b- ay), som du forudsæes a være forrolig med. I forberedelsesmaeriale er der både øvelser og opgaver. Øvelserne er ænk som hjælp il forsåelse af eorien, herunder beviser for nogle af sæningerne. Opgaverne er ænk som forberedelse il de opgaver, der kommer il den skriflige eksamen. I forberedelsesmaeriale anvendes 5 yper af farvede bokse. De grønne indeholder definiioner, de grå indeholder eksempler, de blå indeholder øvelser, de røde indeholder sæninger og de lilla indeholder opgaver. Bemærk, a der il eksamen vil blive sille krav om a egne faseplo for koblede differenialligninger. I bilagene ligger der vejledninger il, hvordan man anvender værkøjsprogrammerne Geogebra, NSpire og Maple il a egne disse. 3

5 Linjeelemener Førseordens differenialligningerne fra kernesoffe som y = ay, y = b- ay og y = y( b- ay) kan alle løses eksak. Der findes også differenialligninger, der ikke kan løses eksak. Du vil i de følgende møde eksempler på begge yper. Når differenialligninger ikke kan løses eksak, anvendes derfor andre løsningsmeoder. Disse meoder bygger på, a en differenialligning giver informaion om angenhældninger il løsningskurver. I differenialligningen dy 1 y d =-, er højre side en funkion af og y. Kalder vi denne funkion s(, y ), kan vi opskrive differenialligningen således dy s(, y) d = Hvis en løsningsfunkions graf herefer kalde en løsningskurve går igennem punke ( 0, y 0), så vil løsningskurvens angen i punke have hældningskoefficienen a = s( 0, y0). De re sørrelser ilsammen: 0, y 0 og s( 0, y 0 ) kaldes e linjeelemen. Hermed menes, a vi har e punk og e lille linjesykke gennem dee punk med hældningskoefficienen a = s( 0, y0). Linjeelemene beegnes ( 0, y0; a ). E plo af linjeelemener kaldes hældningsfele. På baggrund af disse linjeelemener kan man abellægge en god ilnærmelse il den løsning, der begynder i e besem punk. En sådan løsning kaldes en numerisk løsning. Vi illusrerer med e konkre eksempel, hvorledes linjeelemener kan hjælpe il a få overblik over løsningskurver il differenialligninger. Eksempel 1 Linjeelemener Vi vil som e konkre eksempel se på differenialligningen dy 1 y d =- Vi kan udregne en række linjeelemener hørende il denne differenialligning ved a vælge punker ( 0, y0) og indsæe disse i udrykke på højresiden i differenialligningen. For punke (,6) får vi fx 1 a =- 6 =- 6 dvs. (,6;- 6) er e linjeelemen for differenialligningen. Vi kan på den måde udregne en 4

6 række linjeelemener inden for fx grafvindue [- 10;10] [- 10;0]. Vi kan fx udregne angenhældninger for alle punker med helallige koordinasæ i dee vindue. De er jo emmelig mange beregninger, men dee kan nem auomaiseres i fx e regneark. De næse skrid bliver a egne små angensykker svarende il alle disse beregninger og de er omsændelig! Heldigvis har de flese værkøjsprogrammer en indbygge facilie il neop dee! Anvender vi denne får vi nedensående plo, hvoraf vi ydelig kan se konurerne af forskellige løsningskurver: Vælger vi nu fx begyndelsesværdien (,6), får vi samidig beskreve lige neop den ene løsningskurve, som går gennem dee punk. (,6) Her er løsningskurven gennem (,6) egne sammen med hældningsfele. De flese værkøjsprogrammer kan også hene løsningskurven, og egne denne uden de ilhørende hældningsfel. I nogle programmer er begyndelsespunke (svarende il begyndelsesværdien) dynamisk, så når man rækker i de, kan man se, hvordan løsningskurven ændrer sig, eller man kan indskrive flere begyndelsesværdier sammen med den enkele differenialligning. Vi har her ikke løs differenialligningen eksak, men vi har egne hældningsfele sammen med grafen for en numerisk løsning gennem punke (,6). 5

7 Opgave 1 Give differenialligningen dy y d = a) Besem linjeelemene i punke (3,). b) Tegn hældningsfele i e passende grafvindue sammen med løsningskurven gennem punke (3,). Koblede differenialligninger For modeller med flere variable er der e indbyrdes afhængighedsforhold mellem de variable. Sådanne sysemer beskrives ved en række sammenhørende differenialligninger. Man kan sammenligne e sysem af koblede differenialligninger med fx ligninger med o ubekende, hvor vi har brug for begge ligninger for a kunne besemme de o ubekende. Vi vil se på e sysem af o koblede differenialligninger du v d = og dv u d =-. u og v er begge funkioner af, men sammenkoblingen medfører, a vi ikke umiddelbar kan få egne løsningskurver for dem. I sede vælger vi en anden sraegi: Vi berager u og v som variable og ligningerne som en beskrivelse af variabelsammenhængen mellem dem. Dvs. vi vælger a afsæe u som 1. koordina og v som. koordina (eller omvend). Begyndelsesværdierne u (0) = og v (0) = 1 giver os punke (,1) i (u,v)-koordinasyseme som begyndelsesværdi for en grafisk fremsilling af variabelsammenhængen mellem u og v. Vi skifer hældningsfele ud med e reningsfel, hvor hver angensykke er ersae af en vekor, der viser den rening, e punk ( uv, ) bevæger sig, når gennemløber allinjen. 6

8 du du I punke (,1) er = 1 og =- =- 4. I reningsfele vil den pil, der sidder i ( uv, ) = (,1) pege i d d æ ö samme rening som vekoren ç 4, der derfor er reningsvekor for angenen i punke. ç- è ø Den grafiske fremsilling af sammenhængen mellem de o variable u og v kaldes e faseplo. Her har vi egne reningsfele for syseme af de koblede differenialligninger du v d = og dv u d =- sammen med faseploe gennem ( uv, ) = (,1), der viser sammenhængen mellem u og v. Bemærk, a højresiden i de o differenialligninger ikke indeholder idsparameeren, hvilke er en forudsæning for, a de giver mening a egne reningsfele og faseploe. Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere, kan vi oversæe syseme af de o koblede differenialligninger il én førseordens differenialligning ved a anvende reglen om differeniaion af sammensa funkion på funkionen vu ( ( )): dv dv du dv = giver a - u= v og dermed dv - = u. d du d du du v Der kan være problemer med definiionsmængden, men de vil føre for vid a medage dee her. Denne ligning kan vi så løse med begyndelsesbeingelsen ( uv, ) = (,1) sædvanlig vis i e værkøjsprogram: ( v =- u v = u v) desolve and () 1,, v = 5-u u + v = 5 v. Differenialligningen løses på 7

9 Vi ser, a løsningen fremkommer på implici form, dvs. a udrykke indeholder de o variable, uden a v er isolere. Nogle værkøjsprogrammer løser ligningen fuld ud, sådan a v fremkommer som en funkion af u. Faseploe er alså en del af en cirkel med cenrum i (0,0) og radius 5. Opgave E sysem af koblede differenialligningen er give ved du dv =-3 v og 3 u d d = a) Besem vækshasighederne i punke ( u(0), v (0)) = (1,1), dvs. besem u (0) og v (0). b) Tegn reningsfele for syseme af koblede differenialligninger. c) Tegn e faseplo, der viser sammenhængen mellem u og v, med begyndelsesbeingelsen ( u(0), v (0)) = (1,1). Opgave 3 Forklar, hvordan reningsfele for syseme af koblede differenialligninger du dv =-k v og k u d d = ændrer sig for forskellige værdier af k. Brug ev. en skyder for k i di værkøjsprogram. Opgave 4 E sysem af koblede differenialligninger er give ved du dv =- v og 3 u d d =. Tegn reningsfele sammen med e faseplo, når de oplyses, a u (0) = 65 og v (0) = 90. Anvendelser af koblede differenialligninger Lancheser s model I forbindelse med fx e kampvognsslag, hvor o syrker kæmper mod hinanden, kan analle af hærenheder, u og v, som funkion af iden (mål i dage efer slages sar) modelleres ud fra Lancheser s model. E eksempel på en sådan model kan være e sæ koblede differenialligninger som u () =-a v() v () =-b u() hvor a og b er posiive konsaner, der angiver effekivieen af henholdsvis hærenhederne u og v. Opgave 5 a) Anag hærsyrkerne ved slages begyndelse er på u (0) = 00 og v (0) = 100 sam a a = 0,15 og b = 0,03. Udregn vækshasighederne u (0) og v (0), og giv e skøn over hærsyrkernes sørrelse il idspunkerne = 1 og =. 8

10 Eksempel I en Lanchesermodel for e slag mellem o hære, kan udviklingen i analle af hærenheder, u og v, som funkion af iden, beskrives ved følgende sæ af koblede differenialligninger u () =-0,1 v() v () =-0,07 u(), Begyndelsesbeingelserne er give ved u (0) = 400 og v (0) = 700. E reningsfel i grafvindue [ 0,500] [ 0,800] kan sammen med faseploe med de angivne begyndelsesbeingelser se ud som: (400,700) Af faseploe ses a punke (400,700) repræsenerer slages sar, og herefer miser begge syrker hærenheder. Slage ender med a u har 0 hærenheder, mens v har ca. 630 hærenheder. De konkluderes alså, a hæren u aber, og alle kampvognene er ødelag, og hæren v vinder med e ab på omkring 70 kampvogne. Opgave 6 Give Lanchesers model med paramerene a og b u () =-a v() v () =-b u() Vi anager førs, a a = 0,15 og b = 0,03. a) Tegn e faseplo for løsningen med begyndelsesbeingelserne u (0) = 10 og v (0) = 300. Forklar beydningen af faseploe. b) Tegn e faseplo for løsningen med begyndelsesbeingelserne u (0) = 50 og v (0) = 600. Forklar beydningen af faseploe. c) Tegn e faseplo for løsningen, hvor de o hærsyrker er lige sore il a begynde med. Forklar beydningen af faseploe. Anag nu, a a = 0,15 og b = 0,10. d) Tegn e faseplo for løsningen med forskellige begyndelsesbeingelser. Sammenlign med faseploene, hvor a = 0,15 og b = 0,03. 9

11 Andenordens differenialligninger De sysemer af koblede differenialligninger, vi har se på ovenfor, kan omskrives il andenordens differenialligninger, hvor kun u eller v indgår som ubekend. Dermed kan en eksak løsning besemmes. Opgave 7 Vi ser igen på de o koblede differenialligninger u () =-0,15 v() v () =-0,03 u() hvor u og v beegner analle af hærenheder, som funkion af iden (mål i dage efer slages sar). a) Differenier v () =-0,15 u() og vis, a den nye differenialligning kan skrives som v () = 0,045 v(). b) Differenier u ( ) =-0,03 v( ) og vis, a den nye differenialligning kan skrives som u () = 0,045 u(). c) Besem u (0) og v (0), når begyndelsesbeingelserne er give ved u (0) = 10 og v (0) = 300. d) Besem de parikulære løsninger, u() og v(), med de givne begyndelsesbeingelser i di værkøjsprogram. e) Besem analle af hærenheder i de o hære efer 5 dage. Vi har nu fåe omskreve de koblede differenialligninger u ( ) =-a v( ) og v ( ) =-b u( ) il o andenordens differenialligninger u ( ) = k u( ) og v () = k v(), hvor konsanen k= a b er den samme i begge differenialligninger. Vi ser nu på e mere generel sysem af koblede lineære differenialligninger: u () = a u() + b v() + c v () = d u() + e v() + f hvor a, b, c, d, e og f er konsaner, og u og v er funkioner af, som i de følgende blo beegnes med u og v. Differenialligningerne omskrives nu efer følgende opskrif: - differenier førse ligning - indsæ anden ligning i de fundne udryk - isoler v i førse ligning og indsæ også denne i samme udryk Proceduren genages, men nu ved førs a differeniere den anden ligning. Herved når man frem il følgende o andenordens differenialligninger: 1. u -( a+ e) u + ( ae- bd) u= bf - ec. v -( a + e) v + ( ae- bd) v = dc - af 10

12 Øvelse 1 a) Omskriv følgende koblede sysem il andenordens differenialligninger: u = 0,5u+ v v =- 0, 75u+,5v b) Udny begyndelsesbeingelserne u (0) = 1 og v (0) = il a udregne begyndelsesbeingelserne for u og v. c) Løs ligningerne med begyndelsesbeingelserne fra b) i di værkøjsprogram. Øvelsen er ikke e bevis for, a der er ækvivalens mellem koblede lineære differenialligninger og lineære andenordens differenialligninger. Men bevise følger den samme meode. I de følgende skal vi se på re yper af anden ordens differenialligninger sam deres løsninger. De er alle lineære differenialligninger af anden orden, dvs. de kan skrives på formen y + f1() y + f() y= g(), hvor f 1, f og g er givne funkioner af én variabel. Hvis g () = 0kaldes differenialligningen homogen. Ellers siges ligningen a være inhomogen. Vi vil kun beskæfige os med lineære differenialligninger af anden orden, hvor funkionerne f 1 og f er konsaner. Vi vil i dee afsni koncenrere os om følgende yper af andenordens differenialligninger: y = g(), hvor g er en koninuer funkion i e inerval I, y = a y, hvor a er en konsan, y + p y + q y= 0, hvor p og q er konsaner. y + p y + q y= k, hvor p, q og k er konsaner. For førseordens differenialligninger går der højs én løsningskurve gennem e give punk, dvs. man skal blo kende e punk på løsningskurven for a besemme den parikulære løsning il førseordens differenialligninger. For andenordens differenialligninger er e punk ikke nok il a besemme den parikulære løsning. Her skal man kende e linjeelemen ( 0, y0; a ), hvorigennem løsningskurven skal passere. For nogle andenordens differenialligninger er de dog ilsrækkelig a kende o punker på løsningskurven. Nogle andenordens differenialligninger kan løses ved a inegrere o gange. Man får herved o konsaner, og man skal derfor kende o punker eller e linjeelemen for a kunne finde den parikulære løsning. Opgave 8 a) Løs differenialligningen y = 5 ved a inegrere o gange. b) Besem den løsning, der går gennem punkerne (0,3) og (,30). c) Tegn hældningsfele og løsningskurven gennem de o punker. 11

13 Sæning 1 Den fuldsændige løsning il differenialligningen y = g(), hvor g er en koninuer funkion i e inerval I, er give ved ò () 1, y = G d+ c + c hvor G() er en samfunkion il g(), og hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. Øvelse Bevis sæningen ved a inegrere differenialligningen o gange på samme måde som i opgaven ovenfor. Opgave 9 a) Besem den fuldsændige løsning il differenialligningen b) Besem re løsninger, hvis grafer går gennem punke c) Besem den løsning, der går gennem punkerne d) Besem den løsning, der går gennem punke hældningskoefficien i punke P. y = 4e. P (1, e ). P (1, e ) og Q (5,0). P (1, e ), og som har en angen med Bemærk, a de for differenialligningen eller e linjeelemen for a faslægge en enydig løsning. y = 4e er nødvendig a kende enen o punker Sæning Den fuldsændige løsning il differenialligningen y = a y afhænger af foregne for Bevis konsanen a. 1) Hvis a = 0, så er den fuldsændige løsning give ved y= c1 + c. a - a ) Hvis a > 0, så er den fuldsændige løsning give ved y= c1 e + c e. 3) Hvis a < 0, så er den fuldsændige løsning give ved ( ) sin( ) y = c cos -a + c -a. 1 I alle re ilfælde gælder udrykke for alle, og c 1 og c er vilkårlige konsaner. Vi deler bevise op i re ilfælde svarende il de re muligheder for foregne for a. 1) Dee følger af sæning 1. Forklar hvorfor. a - a ) Førs bevises, a y= c1 e + c e ren fakisk er en løsning. Øvelse 3 Vis dee ved a gøre prøve. a - a Dernæs bevises, a der ikke findes andre løsninger il differenialligningen end y= c1 e + c e. Anag derfor, a y er en vilkårlig løsning il differenialligningen. 1

14 y = a y y -a y= 0 Vi omskriver differenialligningen ved a gange med fakoren e a og får: a a y e -a y e = 0 Nu lægger vi ledde e a y a il på vensre side og rækker de fra igen: a a a a y e + y a e -y a e -a y e = 0 Ved a bruge produkregnereglen for differeniaion baglæns kan dee kan omskrives il: a a ( y ) ( y a ) e - e = 0 Øvelse 4 Konrollér, a dee er rigig ved a differeniere ovensående vha. produkregnereglen for differeniaion. Nu bruges differensreglen for differeniaion il a samle de o differenialkvoiener: a a ( y y a ) e - e = 0 Begge sider inegreres, og vi får: a a y e -y a e = c, hvor c er en konsan. Vi ganger med e - a på begge sider af lighedsegne: a - a a - a - a y e e -y a e e = c e y -y a = c e - a Nu har vi alså oversa probleme il en lineær førseordens differenialligning. Vi omskriver denne ligning ved igen a gange med fakoren e - a. - a - a - a - a y e -y a e = c e e Ved a bruge produkregnereglen for differeniaion baglæns kan vensre omskrives il: a ( y e ) = c e - - a Øvelse 5 Konroller a dee er rigig ved a differeniere ovensående vha. produkregnereglen for differeniaion på vensre side og en poensregneregel på højre side. Begge sider af ligningen ovenfor inegreres, og vi får: - a 1 - a e a y e =- c + c, hvor c er en konsan. 13

15 Vi ganger nu med fakoren e a på begge sider af lighedsegne: - a a 1 - a a a a y e e =- c e e + c e. Vi omdøber konsanen - il c 1 og anvender en poensregneregel: c a - a a 1 e e y= c + c. Vi har hermed bevis a en vilkårlig løsning y il differenialligningen kan skrives på formen - a a 1 e e y= c + c. ) Vi mangler nu de sidse a de re ilfælde, og vi vil bevise, a y c1 cos( a ) c sin( a ) fakisk er en løsning il differenialligningen y = a y, med a < 0. = ren Øvelse 6 Vis dee ved a gøre prøve. Til sids skal de bevises, a der ikke findes andre løsninger il differenialligningen end ( ) sin( ) y = c cos -a + c -a. Bevise udelades her, men findes i gængse lærebøger. 1 Nedenfor ses re mulige løsningskurver il differenialligningen y = a y. En hvor a = 0, en hvor a er negaiv og en hvor a er posiiv. 14

16 Anvendelser af andenordens differenialligninger Med sæning kan vi arbejde videre med differenialligningerne fra Lanchesers model. Opgave 10 Besem en parikulær løsning il hver af de o andenordens differenialligninger fra opgave 7 v () = 0,045 v() og u () = 0,045 u(). med begyndelsesbeingelserne u (0) = 10, v (0) = 300, u (0) =- 45 og v (0) =- 3,6. Opgave 11 Give differenialligningen y = 6 y. a) Brug sæning il a opskrive den fuldsændige løsning. b) Brug sæning il a besemme den parikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem linjeelemene (1,;). c) Konroller din løsning il differenialligningen ved hjælp a di værkøjsprogram. Andenordens differenialligninger forsa Inden vi ser nærmere på den sidse af de re andenordens differenialligninger, nemlig y + p y + q y= 0 indfører vi de ilhørende karakerisiske polynomium. Definiion 1 Ved de karakerisiske polynomium for differenialligningen y + p y + q y= 0 forsås andengradspolynomie g( x) = x + p x+ q, hvor vi har kald den variable x for a undgå sammenblanding med variablen i differenialligningen. De karakerisiske polynomiums diskriminan og evenuelle rødder spiller en væsenlig rolle for løsningen af den ilhørende differenialligning. 15

17 Sæning 3 Den fuldsændige løsning il differenialligningen y + p y + q y= 0, hvor p og q er konsaner, afhænger af diskriminanen polynomium g( x) = x + p x+ q. d = p - 4q for de ilhørende karakerisiske 1) Hvis d > 0, så har de karakerisiske polynomium o rødder l og m, og den fuldsændige løsning il differenialligningen er mængden af funkioner på formen l 1 m, y = c e + c e hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. ) Hvis d = 0, så har de karakerisiske polynomium én rod, og den fuldsændige løsning il differenialligningen er mængden af funkioner på formen: l 1 l, y = c e + c e hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. 3) Hvis d < 0, så er den fuldsændige løsning il differenialligningen mængden af funkioner på formen: 1 p ( ) sin 1 ( ) - p y c e cos d c e d = - + -, hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. Bevise udelades her, men kan læses i flere gængse lærebøger. Nedenfor ses re mulige løsningskurver il differenialligningen y + p y + q y= 0. Én for hver af de re foregn for de karakerisiske polynomiums diskriminan d. 16

18 Opgave 1 Give differenialligningen y -4 y + 5 y= 0 a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, som opfylder, a f p ( ) = 0 og ( ) p. f = Opgave 13 Give differenialligningen y = y + y. a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, hvis graf går gennem linjeelemene 1 ( ) 3, ;. Opgave 14 Give differenialligningen 0 y + 40 y + 0 y= 0 a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, som opfylder a f (0) = 5 og f (0) = 0. Anvendelser af andenordens differenialligninger forsa Eksempel 3 Fjeder uden frikion E lod er ophæng i en fjeder, og når vi rækker i lodde og slipper, så bevæger fjederen sig op og ned. Vi anager førs, a der ikke er nogen frikion i bevægelsen, og a lodde derfor vil forsæe med a bevæge sig op og ned. Bevægelsesligningen for lodde kan beskrives ved k m y () =- y(), hvor y() er loddes afsand fra ligevægspunke, er iden, m er loddes masse og k er en konsan herefer kalde fjederkonsanen. 17

19 Opgave 15 E lod på 0,5 kg ophænges i en fjeder. De rækkes 4 cm væk fra ligevægspunke, holdes i hvile e øjeblik, slippes il = 0, og sarer derefer sine svingninger. Fjederkonsanen er k = 3. a) Opskriv begyndelsesbeingelserne og differenialligningen. b) Løs differenialligningen vha. af sæning, så du får e udryk for y som funkion af. Tjek din løsning ved også a løse differenialligningen i di værkøjsprogram. c) Tegn grafen for y. Eksempel 4 Fjeder med frikion En fjeder vil naurligvis ikke forsæe i evighed med a svinge op og ned. Udsvingene vil afage med iden på grund af frikion. Tager man dee aspek med i modellen for fjederens bevægelse, ændres bevægelsesligningen il: b m k m y () + y () + y () = 0, hvor y() er loddes afsand fra ligevægspunke, er iden, m er loddes masse, k er fjederkonsanen, og b er en konsan. Opgave 16 For en besem fjeder er m = 10kg, k = 6,5 og b = 6. a) Opskriv differenialligningen med disse konsaner indsa, og opskriv de karakerisiske polynomium, der hører il denne differenialligning. b) Besem diskriminanen for de karakerisiske polynomium sam evenuelle rødder. c) Besem den fuldsændige løsning il differenialligningen. d) Besem den parikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 7,1. e) Tegn grafen for y. f) Denne ype af fjedersvingninger kaldes dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 17 For en besem fjeder er m = 1kg, k = 9 og b = 6. a) Besem den parikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 4. b) Tegn grafen for y. c) Denne ype af fjedersvingninger kaldes kriisk dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 18 For en besem fjeder er m = kg, k = 8 og b = 10. a) Besem den parikulære løsning når y (0) = 1 og y (0) =- 7. b) Tegn grafen for y. c) Denne ype af fjedersvingninger kaldes overdæmpede svingninger. Hvorfor mon? 18

20 Bevægelsesligningerne i ovensående eksempler med fjedre kan også bruges il a beskrive andre yper af svingninger. Eksempel 5 Lidokain i blode I behandling af uregelmæssig hjereryme kan e sysem af koblede differenialligninger modellere brugen af medikamene lidokain. Anag, a u () beegner massen af lidokain i blode (mål i mg), og v () beegner massen af lidokain i kropsvæve (mål i mg). De koblede sysem af differenialligninger kan for en besem kropsvæg da opsilles som: u ( ) 0,09 u( ) 0,038 v( ) v ( ) 0,066 u( ) 0,038 v( ) I modellen er massen af lidokain i blode il a begynde med 0, og massen af lidokain i kropsvæve svarer il massen af den dosis, der indsprøjes. Kilde: J. M. Cushing, Differenial Equaions: An Applied Approach Øvelse 7 a) Omskriv de koblede sysem af differenialligninger i eksempel 5 il. ordens differenialligninger. b) Besem de parikulære løsninger il syseme af koblede differenialligninger i eksempel 5, når begyndelsesbeingelserne er u (0) = 0 og v (0) = 1. b) Tegn e faseplo for disse løsninger. Eksempel 6 Markeingssraegi En kosmeikkæde har en markeingssraegi for prisen på en besem shampoo. I e sysem af koblede differenialligninger beegner u () prisen på shampoo, og v () beegner lagermængden af den beseme shampoo. E sysem af koblede differenialligninger for den beseme shampoo kan formuleres som: u () v() v ( ) u( ) 6 v( ) 89 4 med begyndelsesbeingelserne u(0) 10 og v(0) 7. Øvelse 8 a) Omskriv de koblede sysem af differenialligninger i eksempel 6 il. ordens differenialligninger. b) Besem de parikulære løsninger il syseme af koblede differenialligninger fra eksempel 6. c) Hvad sker der med pris og lagermængde, når bliver mege sor. d) Tegn e faseplo for disse løsninger. 19

21 Bilag Koblede differenialligninger og faseplo i Maple Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v (0) = 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i Maple med pakken DEools og kommandoen Deplo 0

22 Koblede differenialligninger og faseplo i Geogebra Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i Geogebra med dee workshee hp://www.geogebraube.org/suden/m8930 eller Geogebrafilen GeogebraFaseplo. 1

23 Koblede differenialligninger og faseplo i NSpire Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i grafvindue i NSpire. Under Grafindasning/Rediger vælges førs Differenialligninger : Herefer indases den førse differenialligning sammen med begyndelsesbeingelsen for u. Bemærk a u kalds y1 og v kaldes y. Herefer indases den anden differenialligning sam begyndelsesbeingelser for v, og der klikkes på knappen med de re prikker yders il højre: Vælg følgende indsillinger i de fremkomne vindue:

24 Til sids ændres vindues sørrelse, så de passer il faseploe: 3

25

26

27

28

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx141-matn/a-05052014 Mandag den 5. maj 2014 Forberedelsesmateriale til stx A net MATEMATIK

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri Maemaikkens mserier - på e høj niveau af Kenneh Hansen 4. Rumgeomeri Hvordan kan o forskellige planer ligge i forhold il hinanden? 4. Rumgeomeri Indhold 4. Vekorer i rumme 4. Krdsproduke 7 4. Planer og

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator En ny mellemfrie holdbarhedindikaor Andrea Øergaard Iveren Danih aional Economic Agen Model, DEAM Peer Sephenen Danih aional Economic Agen Model, DEAM DEAM Arbejdpapir 03: Februar 03 Abrac Arbejdpapire

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Afmærkning af vejarbejder på statsveje. Tegningsbilag - motorveje

Afmærkning af vejarbejder på statsveje. Tegningsbilag - motorveje Afmærkning af vejarbejder på sasveje Tegningsbilag - moorveje Drifsområde - maj 2008 Indholdsforegnelse DRI nr. Kor beegnelse overskrifer på egningerne 00 Generel il egningsbilage Arbejder i eller fra

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del.

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del. orma klasse ræninshæfe LS Side ordel lieli. majs på hver. bacon på hver. ananas på hver. ordel lieli o find. ordel fylde lieli på pizzaerne. æl pizzafylde, o skriv analle. Skriv derefer analle på hver

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere