Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998"

Transkript

1 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere il nøjagig samme konklusion [1,, 3, 4]. Ikke ved a påvise muligheden af en alomfaende naurkaasrofe eller en frygelig sygdom, men blo ud fra en vurdering af de oale anal mennesker, der indil nu har leve her på Jorden. Med saisiske argumener i hånden hævdede disse forskere, a de mes sandsynlige ville være, a menneskehedens fremid ville blive lige så lang som dens forid, mål i anal individer. Al i al ville de mes sandsynlige oale anal individer af menneskearen alså blive dobbel så sor, når regnskabe endelig skulle gøres op. Med den nuværende befolkningsilvæks vil e anal af denne sørrelsesorden nås inden for en overskuelig id, og denne forudsigelse burde derfor ages mege alvorlig af os alle. Dommedag er nu, næsen! De samme argumen anvendes også på leveider, hvad enen de drejer sig om den id e eaerskuespil vil være på plakaen, eller hvor længe socialdemokraie vil forsæe med a beholde regeringsmagen. Hvis der ikke er nogen særlig sammenhæng mellem e fænomen og de idspunk, hvor de observeres, alså hvis alle observaionsidspunker er lige sandsynlige, så påsås de, a fænomene med 95% sandsynlighed vil forsæe si liv mellem 1/39 og 39 gange den id, de allerede har leve. Brug på socialdemokraie, som nu har regere i 5 år, er forudsigelsen, a de med 95% sandsynlighed forsæer minds 45 dage endnu, men ikke ud over år 193! Disse påsande og den deraf følgende deba [5, 6] er for nylig igen komme frem [7] og har vak opmærksomhed i dagspressen [8, 9]. Men genagelse gør ikke e forker argumen rigigere. Saisik er ofe bleve brug il a underbygge påsande, som enhver kan se srider mod sund fornuf, og dee er også ilfælde her. Argumene for en snarlig dommedag er simpelhen 1

2 basere på fejlagig anvendelse af saisik. Kor foral besår fejlen i, a en enkel observaion af e fænomen ikke kan danne grundlag for saisisk forudsigelse. Enhver saisisk forudsigelse basere på en enkel observaion vil næsen kun forælle noge om de a priori foresillinger, der gøres om fænomene. De er klar, a hvis man observerer, a socialdemokraie har regere i 5 år, så kan man uden videre konkludere, a de samle vil være ved magen i mere end 5 år. De er der ingen usikkerhed om. Men enhver forudsigelse af, hvor længe de vil bevare magen ud over de 5 år, afhænger af, hvorledes man foresiller sig, a de kan mise magen, og hvilken sandsynlighed man på forhånd illægger de forskellige scenarier, hvorved de kan ske. De er naurligvis ineressan a diskuere de forskellige scenarier, men så længe man ikke har yderligere informaion, om hvilke der vil blive realisere, er de ikke mulig a sige mere. Påsandene er subjekive vurderinger af, hvad fremiden kan bringe. Der ndes ikke noge generel saisisk princip, som kan forælle os, hvor længe menneskeheden eller socialdemokraie vil forsæe, basere alene på kendskab il de anal mennesker, der har eksisere, eller den id, socialdemokraerne foreløbig har være ved magen. I de følgende vil vi ved hjælp af mere formelle argumener præcisere de saisiske beragninger for derved klar a afsløre de fejl, der er begåe af des særkese foraler, asrofysikeren J. Richard Go III fra Princeon universiee [4, 7]. A priori sandsynlighed De er nemmes a analysere leveider, fordi de illader os naurlig a benye koninuere variable og inegraler. Argumenerne kan uden videre oversæes il de diskree problem om menneskehedens sørrelse, fordi de oale anal individer er så kolossal. Ine varer evig. Ehver sysem eller fænomen har en endelig leveid, som vi beegner med T, som må være e posiiv reel al 1. Lad os anage, a vi il a begynde med ine ved om, hvor længe sysemer af en given ype fakisk vil leve, men a vi er i sand il a observere en masse sådanne sysemer blive skab, leve deres liv, for derefer a dø. Da er de mulig ved simpel opælling a besemme en ilnærmelsesvis koninuer fordeling af leveider, som vi skal kalde p(t ). Ved hjælp af denne funkion kan vi angive 1 Hvis vi diskuerer menneskehedens sørrelse angiver T de oale anal individer, der har leve, lever nu eller kommer il a leve. Alle argumener forløber ellers på samme måde i de o ilfælde.

3 hyppigheden for leveider, p(t ) dt, alså hvilken brøkdel af sysemer, der har leveid i e lille inerval mellem T og T + dt. I den idealiserede grænse, hvor der er uendelig mange sysemer, kaldes hyppighedsfordelingen en sandsynlighedsfordeling. Sådanne fordelinger er velkende i mange sammenhænge. For eksempel anvender forsikringsselskaber menneskers leveidsfordeling il a beregne præmier på livsforsikringer. Når vi anyder, a fordelingen p(t ) kun afhænger af selve leveiden T, men ikke af de præcise idspunk for sysemes fødsel, udrykker de, a verden er den samme il alle ider, i hver fald hvad angår disse sysemer. Dee er ilnærmelsesvis ilfælde for menneskers leveid indenfor en generaion eller o, men besem ikke over mange generaioner. Uden en sådan anagelse, kunne man sle ikke have livsforsikringsselskaber. Hyppighedsfordelingen og dermed sandsynlighedsfordelingen er normalisere, hvilke udrykkes ved ligningen 0 p(t ) dt = 1. (1) Denne ligning beyder såmænd blo, a ehver sysem må have en eller anden leveid. Summen af alle leveidshyppigheder skal da være 100%. For de ese sysemer har vi en vis viden om leveidsfordelingen. Selv om de måske ikke er mulig direke a observere sysemer gennem hele deres leveid fra fødsel il død, så er de somme ider mulig a opnå indireke viden om leveidsfordelingen. Sjernernes liv er for eksempel korlag i så sor dealje gennem observaion af sjerner i alle aldre, a der ndes emmelig præcise forudsigelser af Solens leveid. Men der ndes unikke sysemer, for eksempel live på Jorden, menneskeheden, den eknologiske civilisaion, eller universe, hvor vi kun kender e enkel eksempel. Så er vi bogsavelig al på Herrens mark, hvad angår leveidsfordelingen og er vunge il a gæe os frem il p(t ). Dee er, hvad der menes med a priori sandsynligheden for, a e sysem har en given leveid. De er den sandsynlighed, vi på forhånd vil illægge leveiden. Lid mere religiøs kan man kalde de den fordeling, som Vorherre bruger, når han skaber menneskeheder eller universer. For unikke sysemer er vi vunge il a gæe på Hans fordeling. Vi kan gæe mere eller mindre inelligen og med mere eller mindre overbevisende argumener, men for sådanne sysemer er og bliver p(t ) e gæ. Hele sandsynlighedsbegrebe kommer fakisk i vanskeligheder, når de ikke baseres på hyppigheder. Sandsynlighed kan da omforolkes som graden af ilro, på engelsk degree of belief. 3

4 A poseriori sandsynlighed Når e sysems leveid T er give, kan man spørge om sandsynligheden for a observere syseme med alderen, eller reere i aldersinervalle fra il + d. Beegnes denne beingede fordeling med P ( T ) er selve sandsynligheden alså P ( T ) d. Den må også være normalisere T 0 P ( T ) d = 1, () fordi e sysem må have en eller anden alder, når de fakisk eksiserer. Læg mærke il, a inegrales grænser udrykker, a observaionsidspunke må ligge inden for leveiden. Sandsynligheden for a > T er simpelhen nul. Ved hjælp af prior fordelingen p(t ) kan vi nu beregne sandsynligheden for a e ilfældig valg sysem har alderen. Den beegner vi med q() = P ( T ) p(t ) dt. (3) Denne ligning udrykker blo, a e sysem med alderen må have en eller anden leveid, der er sørre end. Aldersfordelingen er auomaisk normalisere, fordi de andre fordelinger er normaliserede. Aldersfordelingen q() er ineressan, fordi den kan besemmes uden a observere sysemerne gennem hele deres liv, men kun forudsæer, a deres nuværende alder kan besemmes. Hvis vi her og nu opæller hyppigheden af sysemer med alderen, så vil denne hyppighedsfordeling være en ilnærmelse il aldersfordelingen. Kender man aldersfordelingen q() og den beingede sandsynlighed P ( T ), så er de mulig ved hjælp af ovensående formel a regne sig ilbage il a priori fordelingen p(t ). Nu kommer vi endelig il de, der er ineressan for dommedagsdiskussionen. Lad os spørge om sandsynligheden for a e vilkårlig sysem har leveiden T, når de vides, a de har alderen. Dee er også en beinge sandsynlighedsfordeling, som beegnes med Q(T ). Den kaldes a poseriori fordelingen og skal også være normalisere Q(T ) dt = 1. (4) Læg igen mærke il, a alle leveider sørre end alderen er mulige. E sysem, der har alderen, må selvfølgelig have leveid sørre end. Hvis vi blo kende denne a poseriori fordeling, kunne vi begynde a komme med forudsigelser om leveiden. Nu er de sådan, a der ndes en vigig sæning i sandsynlighedsregningen, kalde Bayes's sæning, som bringer 4

5 sammenhæng mellem de beingede sandsynligheder. Her kan den skrives P ( T )p(t ) = Q(T )q(). (5) Sæningen udrykker simpelhen, a den ubeingede sandsynlighed for, a e sysem har både alderen og leveiden T, er den samme, uanse om man beregner den med leveiden eller alderen som beingelse. Med denne sæning kan vi nu beregne a poseriori sandsynligheden Q(T ) = P ( T )p(t ) q() = P ( T )p(t ), (6) P ( T ) p(t ) dt hvor vi også eksplici har indsa formlen for aldersfordelingen. Dee er vores afsæspunk for en raionel diskussion af, hvad der kan siges om fremiden. Den ade fordeling Ofe kan man fasslå den beingede sandsynlighed P ( T ) ud fra rimelige anagelser om, hvorledes alderen er bleve besem. Lad os for eksempel anage, a vi observerer e sysem som vides a have leveiden T og konsaerer, a de har alderen. Hvis observaionen af syseme ikke på nogen måde er koble il sysemes skæbne eller eksplici il iden, så må de være naurlig a anse ehver observaionsidspunk for a være lige god. De beyder, a fordelingen må være ad, give ved P ( T ) = 1 T (0 T ). (7) Denne fordeling er korrek normalisere i de angivne inerval. Udenfor inervalle sæes sandsynligheden il nul. Hvis T beegner socialdemokraies regeringsperiode, så beyder denne fordeling, a vi kunne have sille dee spørgsmål på e hvilke som hels idspunk, mens de var ved magen. Når T beegner menneskehedens sørrelse, beyder den ade fordeling, a vi og vores samid er ilfældige individer bland alle de mennesker, der har leve eller kommer il a leve. Med en mere malerisk sprogbrug siges den ade fordeling a udrykke de Kopernikanske princip: Vi og vores id indager ikke in særsilling i civilisaionens hisorie, i lighed med a vi siden Kopernikus er gåe bor fra a berage Jorden som universe cenrum. Med den ade fordeling, kan vi sraks beregne poserior fordelingen Q(T ) = 1 p(t ) q() T 5 (0 T ), (8)

6 hvor p(t ) q() = dt (9) T blo sikrer normaliseringen. De følger sraks, a inegrale i q() må være konvergen, fordi p(t ) er normalisere. Af samme grund kan vi alid beregne middelleveiden T T Q(T ) dt = 1 p(t ) dt (10) q() under beingelse af, a syseme har opnåe alderen. Denne sørrelse er alid konvergen, fordi prior fordelingen skal være normalisere. Derimod er de på ingen måde give, a de næse momen af fordelingen eksiserer T T Q(T ) dt = 1 T p(t ) dt. (11) q() Hvis denne sørrelse divergerer, så divergerer spredningen σ = T T (1) også. Sørrelsen σ er også de, der menes med usikkerheden på leveiden T give. Selv om der alid ndes en middelleveid for en mængde sysemer udrukke af fordelingen p(t ), så kan spredningen omkring denne middelværdi alså god være uendelig sor. Uanse om spredningen divergerer, så kan man alid beregne medianleveiden som den leveid T 1, hvor den inegrerede poserior sandsynlighed er præcis 50%. Den må derfor opfylde ligningen T 1 Q(T ) dt = 1 T 1 q() p(t ) T dt = 1. (13) Denne ligning siger, a syseme med 50% sandsynlighed vil opnå en samle leveid, der er mindre end T 1. Heraf følger selvfølgelig, a syseme også med 50% sandsynlighed vil opnå en leveid, der er sørre end T 1. Go's fejlagelse Probleme med dommedagsprofeerne er, a de ror, a de kan kigge Vorherre i korene og vide noge om a priori fordelingen af mulige leveider for unikke sysemer. Vi skal nu explici vise, a Go gør en anagelse, der låser ham fas il en besem prior. 6

7 Gos fejlagelse [4, 7] bunder i den vage formulering af de Kopernikanske princip (den ade fordeling), som siger, a 95% af alle sysemer med leveiden T vil have en alder, der opfylder uligheden 1 40 T < < T. (14) De er hel riviel, fordi fordelingen er ad og der mangler 1 % af de fulde aldersinerval (0 < < T) i hver ende og derfor i al 5% af leveiden. Denne ulighed, som egenlig besår af o separae uligheder, kan også skrives på formen 40 < T < 40. (15) 39 Hvis leveiden T er give, vil 95% af alle sysemer naurligvis også have en alder, der opfylder denne ulighed. Trækkes leveiden fra denne ulighed får vi 1 < T < 39, (16) 39 som angår den eksra leveid, syseme får ud over den opnåede alder. Som før, give leveiden, vil 95% af sysemernes alder også opfylde denne ulighed. Som sag gælder ulighederne med 95% sandsynlighed, når leveiden T er kend og alderen ukend. De er mege frisende a ro, a ulighederne også gælder med 95% sandsynlighed i den omvende siuaion, hvor alderen er kend, medens leveiden T er ukend. De er en fælde, man skal vare sig for, men Go falder lige i den [4, 7]. Vi skal nu mere maemaisk se, hvordan denne forveksling faslåser prior fordelingen p(t ) il a være af formen p(t ) = kons T. (17) Hermed knæsæes en ganske besem opfaelse af, hvordan Vorherre vælger leveider for sysemerne. En opfaelse, der kan være rigig eller forker, men for hvilken vi ikke har nogen evidens. Inervalle svarende il 95% sandsynlighed har naurligvis ingen særsaus. Hel almindelig gælder de for den ade fordeling, a give T er sandsynligheden b a = b a P ( T ) d for a at < < bt, (18) hvor 0 a < b 1 er e vilkårlig inerval. De 95% opnås ved a sæe a = 1/40 og b = 1 a = 39/40. Heraf følger de ligesom før, a give T vil 7

8 sandsynligheden også være b a for a ligger i inervalle 1 b < T < 1 a. (19) Begge disse uligheder er som sag beinge af, a vi kender leveiden. Hvis vi i sede ønsker a beregne sandsynligheden for a leveiden opfylder ulighederne, når alderen er give, så skal vi benye poserior sandsynligheden Q(T ) give ved (9) og den er al ande end ad. Go's fejlagelse kan nu i almindelighed formuleres som en påsand om, a poserior sandsynligheden for, a leveiden ligger i inervalle (19) også er b a, eller med andre ord /a Q(T ) dt = b a (0) /b for ehver inerval 0 a < b 1. Konsekvensen af denne anagelse ndes ved a diereniere begge sider af denne ligning efer, for eksempel b, hvorved vi får ( ) Q b b = 1, (1) som er gyldig for alle b. Sæes b = /T bliver dee il Q(T ) = T. () Indsæes dee i ligning (8) udleder vi a p(t ) 1/T, hvilke beviser de, vi hævdede. De følger desuden af Bayes's sæning, a vi også har q() 1/. Ved a hævde en i almindelighed fejlagig påsand, bliver Go vunge il a foreage e unik valg af prior, p(t ) 1/T, for hvilken hans påsand fakisk er gyldig. For a korrigere en logisk fejl i si argumen er Go nød il a give afkald på den frihed, der ligger i valge af prior! Scenarier for dommedag De foregående beragninger viser ydelig, a Go's argumenaion er noge vrøvl, og a forudsigelserne alid er dyb afhængige af den prior fordeling for leveider, der anages. Vi skal nu gennemgå nogle forskellige scenarier for a underbygge dee i dealje. Den `vage' prior: Da Go i 1993 bliver presse i debaen [5], begynder han for førse gang a bruge argumener af bayesiansk karaker. Han hævder imidlerid for a redde si skind, a når man ikke har nogen daa om 8

9 fremiden, bør man vælge en ilsrækkelig vag prior fordeling, nemlig (17). Som vi har se, vil neop denne fordeling underbygge hans påsand, men de er også den enese der gør de. Den vage fordeling har ilsyneladende ingen indbygge idsskala, og de følger sraks, a poserior fordelingen er give ved (). Læg mærke a dee resula ikke afhænger af den ubekende konsan, der indgår i denne prior. Selv om poserior fordelingen () svarende il den vage prior er korrek normalisere, så divergerer middelleveiden og spredningen på leveiden. Den korreke konklusion er her, a sådanne uendelige resulaer viser vores oale mangel på evne il a forudsige middelleveiden på basis af de daa, vi kender. I sede beregner Go medianleveiden og nder T 1 =. (3) Der er alså 50% chance for a leveiden vil være mindre (eller sørre) end den dobbele alder for dee valg af prior. Sag på en anden måde kan leveiden lige så vel være mindre som sørre end medianværdien. Hvis man ror på Go (og for e unik sysem som menneskeheden kan der kun være ale om ro), så vil menneskeheden med 50% sandsynlighed forgå inden den bliver dobbel så sor. Dommedag er nær. De følger også af de vage scenarie, a der med 95% sandsynlighed vil blive mellem 180 millioner og 73 milliarder ere individer end der er nu. Som sag divergerer både middelleveiden og spredningen i dee ilfælde. De srider mod de generelle resula, som vi har udled, a middelværdien alid vil være endelig. Probleme med dee scenarie er, a prior fordelingen ikke er normaliserbar, som den burde være. For a normalisere den er de nødvendig a skære den af både for små og sore leveider. Man kunne for eksempel ersae den med p(t ) = 1 log B A 1 T, A T B. (4) Denne fordeling er korrek normalisere og idenisk med den vage i hele inervalle A T B. Den ubeseme konsan er desuden bleve besem. Fordelingen er il gengæld ikke nær så `vag' længere. Den afhænger nu eksplici af inervalles endepunker, som afsikker de grænser, der på forhånd er sa for leveider. Nu kan man både beregne middelleveid og spredning, som kommer il a afhænge af inervalle. I sidse ende kommer der alså præcis de ud af dee scenarie, som bliver pue ind. Man kan ikke få noge for ingening! 9

10 Meeornedslag: E ande scenarie bygger på en forhåndsanagelse om, a menneskeheden kommer af dage ved en kaasrofe, for eksempel e meeornedslag som de der skee for 65 millioner år siden, og som uden vivl var medvirkende il dommedag for dinosaurerne. Hvis vi foresiller os, a der alid er den samme sandsynlighed λ per idsenhed for, a e meeor slår ned, så vil fordelingen af leveider for menneskeheder, der lige er bleve skab, være af samme form som for radioakive aomer, der henfalder. Vi har derfor Q(T 0) = λe λt, (5) hvor henfaldskonsanen λ er sandsynligheden per idsenhed for e nedslag (for eksempel 1 per 5 millioner år). Ved hjælp af ligning (8) nder vi så prior fordelingen p(t ) = λ T e λt (6) Fakoren T skyldes, a når vi udvælger e aom eller en menneskehed ilfældig bland alle de, som eksiserer på e give idspunk, vil de længslevende have sørs chance for a blive udvalg. Igen hænger alle forudsigelser på anagelsen om, a neop dee scenarie afgør vores skæbne, og a vi har e bud på sørrelsen af henfaldskonsanen. Geneisk sammenbrud: E scenarie, der indrømme er noge exrem, går ud på, a en ar som menneskeheden uddør, fordi den opsamler så mange geneiske fejl, a individerne ikke længere er levedygige. Efer e vis anal, for eksempel T 0, reprodukioner er de bare slu, så a vi har p(t ) = δ(t T 0 ). (7) Her kan aling også beregnes, men igen afhænger de af, a vi har e god gæ for T 0. Indsamling af daa Uden viden om a priori fordelingen kommer vi ikke videre. Vi kan ikke afgøre om de ene eller de ande scenario er de rigige og har derfor ingen forudsigelser om fremiden. Hvad skal der il for a opnå daa om p(t )? Svare er, a vi må gå ud og konake andre verdener (a la Sarrek) og spørge dem, om hvor gamle, de er, eller om hvor mange individer, de er lige nu. Sandsynligheden er q() for a svare er. Med ilsrækkelig mege daa kan vi danne e hisogram over q() og dermed indireke opnå viden om prior fordelingen p(t ). 10

11 Hvis den beingede fordeling P ( T ) er ad, kan vi beregne prior fordelingen ved simpel diereniaion af poserior fordelingen (9) og nder dq() d = p(t ) =T T. (8) Bemærk, a højre side alid er negaiv, så a q() alid er afagende. De er en direke konsekvens af anagelsen om en ad beinge foredeling og kan kun forvenes opfyld for denne fordeling. qhl 0.0 phtl T Figur 1: Aldersfordelingen (vensre) og leveidsfordelingen (højre) for Danmarks befolkning. Daa er age fra Danmarks saisik på hp:// og korrigere som beskreve i eksen. I Fig. 1 er denne meode benye il a beregne prior fordelingen af levealdre ud fra befolkningens nuværende aldersfordeling. Anagelse om en ad beinge fordeling beyder i dee ilfælde, a befolkningen er i en saionær ilsand, hvilke de varierende fødselsal viser, ikke kan være rigig. For a korrigere for dee, har vi renormalisere befolkningens aldersfordeling med de fakiske fødselsal. Korrekionen kan sagens undgås på bekosning af formalismens enkelhed. Den derved fremkomne fordeling er vis i vensre delgur. Som den fuld oprukne kurve viser, får man e forbavsende n med funkionen q() = γ + 1 γt 0 ( ( ) γ ) 1 T 0 (0 < < T 0 ), (9) hvor T 0 = 94.5 år og γ Den deraf følgende prior fordeling er vis i højre side af guren. Den er p(t ) = γ + 1 T 0 ( T T0 ) γ (0 < T < T 0 ). (30) 11

12 og vokser monoon op il T 0 95 år for derefer a falde dramaisk mod nul. Middelleveiden bliver T = T0 0 T p(t ) dt = γ + 1 γ + T 0 = 77. år, (31) medens den forvenede leveid for e menneske, der har opnåe alderen bliver T0 T = T Q(T ) dt = γ T γ+1 0 γ+1 γ + 1 T γ (3) 0 γ For e menneske der lige er fød bliver den forvenede leveid 73.3 år, medens e menneske, der har opnåe denne alder, kan forvene a blive 85 år gammel. Dee eksempel viser, a de er relaiv enkel a udlede leveidsfordelingen ud fra aldersfordelingen, forudsa der er ilsrækkelig med daa. De daa, der er brug i Fig. 1, besår af mere end 5 millioner danskeres nuværende alder. De er indlysende, a kendskab il en enkel ilfældig udvalg danskers nuværende alder ikke kan føre il nogen som hels brugbar konklusion om leveidsfordelingen p(t ). Konklusion Vi har gennemgåe nogle generelle eknikker fra sandsynlighedsregningen, som er brugbare il a vurdere dommedagsprofeiernes beydning. De har vis os, a enkelsående begivenheder afslører mege lid om de underliggende sandsynlighedsfordelinger. Påsande om enydige forudsigelser er alid basere på skjule anagelser vedrørende a priori fordelinger. Vi har påpege, a den enese raionelle meode il a løse denne og lignende problemsillinger er a indsamle mere daa. Når sandsynlighedsberegning leder il konik med den sunde fornuf, er de en god ide a konsruere e formel argumen, som kan afsløre mulige skjule anagelser og logiske fejlsluninger. De eknikker, vi har diskuere her, danner en passende ramme for denne analyse. Speciel har vi vis, a Go's dommedagsprofei er resulae af e præcis, men ganske ubereige, valg af prior. E valg, han er vunge il på grund af en logisk fejl i si argumen. Selv om man kan vælge a ro, a dommedag er nær, så er der ingening, der vinger en il de. Dommedag er ikke en uundgåelig konsekvens af sandsynlighedsregningen. 1

13 Lieraur [1] B. Carer Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A310, (1983) [] J. Leslie Bull. Canad. Nucl. Soc. 10, 1015 (1989) [3] H. B. Nielsen Aca Physica Polonica B0, (1989) [4] J. Richard Go III Implicaions of he Copernican principle for our fuure prospecs Naure 363, (1993) [5] Seven N. Goodman, Alan L. Mackay, P. Buch, J. Richard Go III Fuure prospecs discussed Naure 368, (1994) [6] T. Kopf, P. Krous, and D. N. Page Too soon for doom gloom? Universiy of Albera preprin (1994) [7] J. Richard Go III A grim reckoning New Scienis 156, 3639 (1997) [8] Dan H. Andersen Dommedag er nær sandsynligvis Berlingske Tidende, 4. februar (1998) [9] J. Bang E dy i basunen Berlingske Tidende, 3. mars (1998) 13

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

Newton, Einstein og Universets ekspansion

Newton, Einstein og Universets ekspansion Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi.

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling

Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling 7 Tillidsindikaorer Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING Officielle daa for den økonomiske akiviesmæssige udvikling, herunder BNP og des underkomponener, bliver

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd?

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd? Hvorfor en pjece il lønmodagere gif med landmænd? Fordi 60 pc. af alle landbokvinder er lønmodagere og mange yngre landbokvinder ikke er opvokse på e landbrug, og mange heller ikke på lande. Fordi de kan

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Rustfrit stål i husholdningen

Rustfrit stål i husholdningen Rus f r i s åli hus hol dni ngen Hv i l k es ål y perbr ugerv iikøkk ene oghv or f or?oghv ader f l y v er us? Rusfri sål i husholdningen Hvilke sålyper bruger vi i køkkene og hvorfor? Og hvad er flyverus?

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri Maemaikkens mserier - på e høj niveau af Kenneh Hansen 4. Rumgeomeri Hvordan kan o forskellige planer ligge i forhold il hinanden? 4. Rumgeomeri Indhold 4. Vekorer i rumme 4. Krdsproduke 7 4. Planer og

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable.

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable. DENMARK Q1 DEFEND Q1prime Q3defend Q1mini Q1 Q7defend Q2 Q2 V3 V3air Q3 Q3classic V3air rechargeable Q3 Q3r V3pro Q4 Q4xr V3pro rechargeable Transparen eknologi Hos Suprabeam er vi besae af a udvikle den

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab Danmarks Sask Naonalregnskab 9. november 00 ædnng og sæsonkorrekon af de kvaralsvse naonalregnskab Med den revderede opgørelse af de kvaralsvse naonalregnskab 3. kvaral 007 6. januar 008 blev meoden l

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGRD TP'S KTURIT S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37 Indholdsforegnelse. Indledning 4. Rapporens indhold 4 3. Daamaeriale 4 4. Lexis diagrammer 5 5. Beskrivelse af daamaeriale

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Mismatch på det danske arbejdsmarked. Andreas Østergaard Iversen, Peter Stephensen og Jonas Zangenberg Hansen

Mismatch på det danske arbejdsmarked. Andreas Østergaard Iversen, Peter Stephensen og Jonas Zangenberg Hansen Mismach på de danske arbejdsmarked Andreas Øsergaard Iversen, Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen November 2016 Mismach på de danske arbejdsmarked Indholdsforegnelse 1. Indledning... 2 2. Fremskrivning

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Billige boliger er vejen frem

Billige boliger er vejen frem B A T BAT Side 4 Eksrem signing i byggebeskæfigelsen på 30.700 personer i løbe af blo e enkel kvaral. Side 6 Siden nyår er EU s nye forskningsbudge bleve åben for ansøgninger. Byggeforskning kan også ilgodeses

Læs mere

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning B A T k a r e l l e BAT Nr. 3 maj 2008 Bygningsarbejdernes idéer og opfindelser bliver ikke udnye ilsrækkelig i byggerie. De viser en rappor, som Teknologisk Insiu neop har lag sidse hånd på. Side 3 De

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere