Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Transkript

1 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere il nøjagig samme konklusion [1,, 3, 4]. Ikke ved a påvise muligheden af en alomfaende naurkaasrofe eller en frygelig sygdom, men blo ud fra en vurdering af de oale anal mennesker, der indil nu har leve her på Jorden. Med saisiske argumener i hånden hævdede disse forskere, a de mes sandsynlige ville være, a menneskehedens fremid ville blive lige så lang som dens forid, mål i anal individer. Al i al ville de mes sandsynlige oale anal individer af menneskearen alså blive dobbel så sor, når regnskabe endelig skulle gøres op. Med den nuværende befolkningsilvæks vil e anal af denne sørrelsesorden nås inden for en overskuelig id, og denne forudsigelse burde derfor ages mege alvorlig af os alle. Dommedag er nu, næsen! De samme argumen anvendes også på leveider, hvad enen de drejer sig om den id e eaerskuespil vil være på plakaen, eller hvor længe socialdemokraie vil forsæe med a beholde regeringsmagen. Hvis der ikke er nogen særlig sammenhæng mellem e fænomen og de idspunk, hvor de observeres, alså hvis alle observaionsidspunker er lige sandsynlige, så påsås de, a fænomene med 95% sandsynlighed vil forsæe si liv mellem 1/39 og 39 gange den id, de allerede har leve. Brug på socialdemokraie, som nu har regere i 5 år, er forudsigelsen, a de med 95% sandsynlighed forsæer minds 45 dage endnu, men ikke ud over år 193! Disse påsande og den deraf følgende deba [5, 6] er for nylig igen komme frem [7] og har vak opmærksomhed i dagspressen [8, 9]. Men genagelse gør ikke e forker argumen rigigere. Saisik er ofe bleve brug il a underbygge påsande, som enhver kan se srider mod sund fornuf, og dee er også ilfælde her. Argumene for en snarlig dommedag er simpelhen 1

2 basere på fejlagig anvendelse af saisik. Kor foral besår fejlen i, a en enkel observaion af e fænomen ikke kan danne grundlag for saisisk forudsigelse. Enhver saisisk forudsigelse basere på en enkel observaion vil næsen kun forælle noge om de a priori foresillinger, der gøres om fænomene. De er klar, a hvis man observerer, a socialdemokraie har regere i 5 år, så kan man uden videre konkludere, a de samle vil være ved magen i mere end 5 år. De er der ingen usikkerhed om. Men enhver forudsigelse af, hvor længe de vil bevare magen ud over de 5 år, afhænger af, hvorledes man foresiller sig, a de kan mise magen, og hvilken sandsynlighed man på forhånd illægger de forskellige scenarier, hvorved de kan ske. De er naurligvis ineressan a diskuere de forskellige scenarier, men så længe man ikke har yderligere informaion, om hvilke der vil blive realisere, er de ikke mulig a sige mere. Påsandene er subjekive vurderinger af, hvad fremiden kan bringe. Der ndes ikke noge generel saisisk princip, som kan forælle os, hvor længe menneskeheden eller socialdemokraie vil forsæe, basere alene på kendskab il de anal mennesker, der har eksisere, eller den id, socialdemokraerne foreløbig har være ved magen. I de følgende vil vi ved hjælp af mere formelle argumener præcisere de saisiske beragninger for derved klar a afsløre de fejl, der er begåe af des særkese foraler, asrofysikeren J. Richard Go III fra Princeon universiee [4, 7]. A priori sandsynlighed De er nemmes a analysere leveider, fordi de illader os naurlig a benye koninuere variable og inegraler. Argumenerne kan uden videre oversæes il de diskree problem om menneskehedens sørrelse, fordi de oale anal individer er så kolossal. Ine varer evig. Ehver sysem eller fænomen har en endelig leveid, som vi beegner med T, som må være e posiiv reel al 1. Lad os anage, a vi il a begynde med ine ved om, hvor længe sysemer af en given ype fakisk vil leve, men a vi er i sand il a observere en masse sådanne sysemer blive skab, leve deres liv, for derefer a dø. Da er de mulig ved simpel opælling a besemme en ilnærmelsesvis koninuer fordeling af leveider, som vi skal kalde p(t ). Ved hjælp af denne funkion kan vi angive 1 Hvis vi diskuerer menneskehedens sørrelse angiver T de oale anal individer, der har leve, lever nu eller kommer il a leve. Alle argumener forløber ellers på samme måde i de o ilfælde.

3 hyppigheden for leveider, p(t ) dt, alså hvilken brøkdel af sysemer, der har leveid i e lille inerval mellem T og T + dt. I den idealiserede grænse, hvor der er uendelig mange sysemer, kaldes hyppighedsfordelingen en sandsynlighedsfordeling. Sådanne fordelinger er velkende i mange sammenhænge. For eksempel anvender forsikringsselskaber menneskers leveidsfordeling il a beregne præmier på livsforsikringer. Når vi anyder, a fordelingen p(t ) kun afhænger af selve leveiden T, men ikke af de præcise idspunk for sysemes fødsel, udrykker de, a verden er den samme il alle ider, i hver fald hvad angår disse sysemer. Dee er ilnærmelsesvis ilfælde for menneskers leveid indenfor en generaion eller o, men besem ikke over mange generaioner. Uden en sådan anagelse, kunne man sle ikke have livsforsikringsselskaber. Hyppighedsfordelingen og dermed sandsynlighedsfordelingen er normalisere, hvilke udrykkes ved ligningen 0 p(t ) dt = 1. (1) Denne ligning beyder såmænd blo, a ehver sysem må have en eller anden leveid. Summen af alle leveidshyppigheder skal da være 100%. For de ese sysemer har vi en vis viden om leveidsfordelingen. Selv om de måske ikke er mulig direke a observere sysemer gennem hele deres leveid fra fødsel il død, så er de somme ider mulig a opnå indireke viden om leveidsfordelingen. Sjernernes liv er for eksempel korlag i så sor dealje gennem observaion af sjerner i alle aldre, a der ndes emmelig præcise forudsigelser af Solens leveid. Men der ndes unikke sysemer, for eksempel live på Jorden, menneskeheden, den eknologiske civilisaion, eller universe, hvor vi kun kender e enkel eksempel. Så er vi bogsavelig al på Herrens mark, hvad angår leveidsfordelingen og er vunge il a gæe os frem il p(t ). Dee er, hvad der menes med a priori sandsynligheden for, a e sysem har en given leveid. De er den sandsynlighed, vi på forhånd vil illægge leveiden. Lid mere religiøs kan man kalde de den fordeling, som Vorherre bruger, når han skaber menneskeheder eller universer. For unikke sysemer er vi vunge il a gæe på Hans fordeling. Vi kan gæe mere eller mindre inelligen og med mere eller mindre overbevisende argumener, men for sådanne sysemer er og bliver p(t ) e gæ. Hele sandsynlighedsbegrebe kommer fakisk i vanskeligheder, når de ikke baseres på hyppigheder. Sandsynlighed kan da omforolkes som graden af ilro, på engelsk degree of belief. 3

4 A poseriori sandsynlighed Når e sysems leveid T er give, kan man spørge om sandsynligheden for a observere syseme med alderen, eller reere i aldersinervalle fra il + d. Beegnes denne beingede fordeling med P ( T ) er selve sandsynligheden alså P ( T ) d. Den må også være normalisere T 0 P ( T ) d = 1, () fordi e sysem må have en eller anden alder, når de fakisk eksiserer. Læg mærke il, a inegrales grænser udrykker, a observaionsidspunke må ligge inden for leveiden. Sandsynligheden for a > T er simpelhen nul. Ved hjælp af prior fordelingen p(t ) kan vi nu beregne sandsynligheden for a e ilfældig valg sysem har alderen. Den beegner vi med q() = P ( T ) p(t ) dt. (3) Denne ligning udrykker blo, a e sysem med alderen må have en eller anden leveid, der er sørre end. Aldersfordelingen er auomaisk normalisere, fordi de andre fordelinger er normaliserede. Aldersfordelingen q() er ineressan, fordi den kan besemmes uden a observere sysemerne gennem hele deres liv, men kun forudsæer, a deres nuværende alder kan besemmes. Hvis vi her og nu opæller hyppigheden af sysemer med alderen, så vil denne hyppighedsfordeling være en ilnærmelse il aldersfordelingen. Kender man aldersfordelingen q() og den beingede sandsynlighed P ( T ), så er de mulig ved hjælp af ovensående formel a regne sig ilbage il a priori fordelingen p(t ). Nu kommer vi endelig il de, der er ineressan for dommedagsdiskussionen. Lad os spørge om sandsynligheden for a e vilkårlig sysem har leveiden T, når de vides, a de har alderen. Dee er også en beinge sandsynlighedsfordeling, som beegnes med Q(T ). Den kaldes a poseriori fordelingen og skal også være normalisere Q(T ) dt = 1. (4) Læg igen mærke il, a alle leveider sørre end alderen er mulige. E sysem, der har alderen, må selvfølgelig have leveid sørre end. Hvis vi blo kende denne a poseriori fordeling, kunne vi begynde a komme med forudsigelser om leveiden. Nu er de sådan, a der ndes en vigig sæning i sandsynlighedsregningen, kalde Bayes's sæning, som bringer 4

5 sammenhæng mellem de beingede sandsynligheder. Her kan den skrives P ( T )p(t ) = Q(T )q(). (5) Sæningen udrykker simpelhen, a den ubeingede sandsynlighed for, a e sysem har både alderen og leveiden T, er den samme, uanse om man beregner den med leveiden eller alderen som beingelse. Med denne sæning kan vi nu beregne a poseriori sandsynligheden Q(T ) = P ( T )p(t ) q() = P ( T )p(t ), (6) P ( T ) p(t ) dt hvor vi også eksplici har indsa formlen for aldersfordelingen. Dee er vores afsæspunk for en raionel diskussion af, hvad der kan siges om fremiden. Den ade fordeling Ofe kan man fasslå den beingede sandsynlighed P ( T ) ud fra rimelige anagelser om, hvorledes alderen er bleve besem. Lad os for eksempel anage, a vi observerer e sysem som vides a have leveiden T og konsaerer, a de har alderen. Hvis observaionen af syseme ikke på nogen måde er koble il sysemes skæbne eller eksplici il iden, så må de være naurlig a anse ehver observaionsidspunk for a være lige god. De beyder, a fordelingen må være ad, give ved P ( T ) = 1 T (0 T ). (7) Denne fordeling er korrek normalisere i de angivne inerval. Udenfor inervalle sæes sandsynligheden il nul. Hvis T beegner socialdemokraies regeringsperiode, så beyder denne fordeling, a vi kunne have sille dee spørgsmål på e hvilke som hels idspunk, mens de var ved magen. Når T beegner menneskehedens sørrelse, beyder den ade fordeling, a vi og vores samid er ilfældige individer bland alle de mennesker, der har leve eller kommer il a leve. Med en mere malerisk sprogbrug siges den ade fordeling a udrykke de Kopernikanske princip: Vi og vores id indager ikke in særsilling i civilisaionens hisorie, i lighed med a vi siden Kopernikus er gåe bor fra a berage Jorden som universe cenrum. Med den ade fordeling, kan vi sraks beregne poserior fordelingen Q(T ) = 1 p(t ) q() T 5 (0 T ), (8)

6 hvor p(t ) q() = dt (9) T blo sikrer normaliseringen. De følger sraks, a inegrale i q() må være konvergen, fordi p(t ) er normalisere. Af samme grund kan vi alid beregne middelleveiden T T Q(T ) dt = 1 p(t ) dt (10) q() under beingelse af, a syseme har opnåe alderen. Denne sørrelse er alid konvergen, fordi prior fordelingen skal være normalisere. Derimod er de på ingen måde give, a de næse momen af fordelingen eksiserer T T Q(T ) dt = 1 T p(t ) dt. (11) q() Hvis denne sørrelse divergerer, så divergerer spredningen σ = T T (1) også. Sørrelsen σ er også de, der menes med usikkerheden på leveiden T give. Selv om der alid ndes en middelleveid for en mængde sysemer udrukke af fordelingen p(t ), så kan spredningen omkring denne middelværdi alså god være uendelig sor. Uanse om spredningen divergerer, så kan man alid beregne medianleveiden som den leveid T 1, hvor den inegrerede poserior sandsynlighed er præcis 50%. Den må derfor opfylde ligningen T 1 Q(T ) dt = 1 T 1 q() p(t ) T dt = 1. (13) Denne ligning siger, a syseme med 50% sandsynlighed vil opnå en samle leveid, der er mindre end T 1. Heraf følger selvfølgelig, a syseme også med 50% sandsynlighed vil opnå en leveid, der er sørre end T 1. Go's fejlagelse Probleme med dommedagsprofeerne er, a de ror, a de kan kigge Vorherre i korene og vide noge om a priori fordelingen af mulige leveider for unikke sysemer. Vi skal nu explici vise, a Go gør en anagelse, der låser ham fas il en besem prior. 6

7 Gos fejlagelse [4, 7] bunder i den vage formulering af de Kopernikanske princip (den ade fordeling), som siger, a 95% af alle sysemer med leveiden T vil have en alder, der opfylder uligheden 1 40 T < < T. (14) De er hel riviel, fordi fordelingen er ad og der mangler 1 % af de fulde aldersinerval (0 < < T) i hver ende og derfor i al 5% af leveiden. Denne ulighed, som egenlig besår af o separae uligheder, kan også skrives på formen 40 < T < 40. (15) 39 Hvis leveiden T er give, vil 95% af alle sysemer naurligvis også have en alder, der opfylder denne ulighed. Trækkes leveiden fra denne ulighed får vi 1 < T < 39, (16) 39 som angår den eksra leveid, syseme får ud over den opnåede alder. Som før, give leveiden, vil 95% af sysemernes alder også opfylde denne ulighed. Som sag gælder ulighederne med 95% sandsynlighed, når leveiden T er kend og alderen ukend. De er mege frisende a ro, a ulighederne også gælder med 95% sandsynlighed i den omvende siuaion, hvor alderen er kend, medens leveiden T er ukend. De er en fælde, man skal vare sig for, men Go falder lige i den [4, 7]. Vi skal nu mere maemaisk se, hvordan denne forveksling faslåser prior fordelingen p(t ) il a være af formen p(t ) = kons T. (17) Hermed knæsæes en ganske besem opfaelse af, hvordan Vorherre vælger leveider for sysemerne. En opfaelse, der kan være rigig eller forker, men for hvilken vi ikke har nogen evidens. Inervalle svarende il 95% sandsynlighed har naurligvis ingen særsaus. Hel almindelig gælder de for den ade fordeling, a give T er sandsynligheden b a = b a P ( T ) d for a at < < bt, (18) hvor 0 a < b 1 er e vilkårlig inerval. De 95% opnås ved a sæe a = 1/40 og b = 1 a = 39/40. Heraf følger de ligesom før, a give T vil 7

8 sandsynligheden også være b a for a ligger i inervalle 1 b < T < 1 a. (19) Begge disse uligheder er som sag beinge af, a vi kender leveiden. Hvis vi i sede ønsker a beregne sandsynligheden for a leveiden opfylder ulighederne, når alderen er give, så skal vi benye poserior sandsynligheden Q(T ) give ved (9) og den er al ande end ad. Go's fejlagelse kan nu i almindelighed formuleres som en påsand om, a poserior sandsynligheden for, a leveiden ligger i inervalle (19) også er b a, eller med andre ord /a Q(T ) dt = b a (0) /b for ehver inerval 0 a < b 1. Konsekvensen af denne anagelse ndes ved a diereniere begge sider af denne ligning efer, for eksempel b, hvorved vi får ( ) Q b b = 1, (1) som er gyldig for alle b. Sæes b = /T bliver dee il Q(T ) = T. () Indsæes dee i ligning (8) udleder vi a p(t ) 1/T, hvilke beviser de, vi hævdede. De følger desuden af Bayes's sæning, a vi også har q() 1/. Ved a hævde en i almindelighed fejlagig påsand, bliver Go vunge il a foreage e unik valg af prior, p(t ) 1/T, for hvilken hans påsand fakisk er gyldig. For a korrigere en logisk fejl i si argumen er Go nød il a give afkald på den frihed, der ligger i valge af prior! Scenarier for dommedag De foregående beragninger viser ydelig, a Go's argumenaion er noge vrøvl, og a forudsigelserne alid er dyb afhængige af den prior fordeling for leveider, der anages. Vi skal nu gennemgå nogle forskellige scenarier for a underbygge dee i dealje. Den `vage' prior: Da Go i 1993 bliver presse i debaen [5], begynder han for førse gang a bruge argumener af bayesiansk karaker. Han hævder imidlerid for a redde si skind, a når man ikke har nogen daa om 8

9 fremiden, bør man vælge en ilsrækkelig vag prior fordeling, nemlig (17). Som vi har se, vil neop denne fordeling underbygge hans påsand, men de er også den enese der gør de. Den vage fordeling har ilsyneladende ingen indbygge idsskala, og de følger sraks, a poserior fordelingen er give ved (). Læg mærke a dee resula ikke afhænger af den ubekende konsan, der indgår i denne prior. Selv om poserior fordelingen () svarende il den vage prior er korrek normalisere, så divergerer middelleveiden og spredningen på leveiden. Den korreke konklusion er her, a sådanne uendelige resulaer viser vores oale mangel på evne il a forudsige middelleveiden på basis af de daa, vi kender. I sede beregner Go medianleveiden og nder T 1 =. (3) Der er alså 50% chance for a leveiden vil være mindre (eller sørre) end den dobbele alder for dee valg af prior. Sag på en anden måde kan leveiden lige så vel være mindre som sørre end medianværdien. Hvis man ror på Go (og for e unik sysem som menneskeheden kan der kun være ale om ro), så vil menneskeheden med 50% sandsynlighed forgå inden den bliver dobbel så sor. Dommedag er nær. De følger også af de vage scenarie, a der med 95% sandsynlighed vil blive mellem 180 millioner og 73 milliarder ere individer end der er nu. Som sag divergerer både middelleveiden og spredningen i dee ilfælde. De srider mod de generelle resula, som vi har udled, a middelværdien alid vil være endelig. Probleme med dee scenarie er, a prior fordelingen ikke er normaliserbar, som den burde være. For a normalisere den er de nødvendig a skære den af både for små og sore leveider. Man kunne for eksempel ersae den med p(t ) = 1 log B A 1 T, A T B. (4) Denne fordeling er korrek normalisere og idenisk med den vage i hele inervalle A T B. Den ubeseme konsan er desuden bleve besem. Fordelingen er il gengæld ikke nær så `vag' længere. Den afhænger nu eksplici af inervalles endepunker, som afsikker de grænser, der på forhånd er sa for leveider. Nu kan man både beregne middelleveid og spredning, som kommer il a afhænge af inervalle. I sidse ende kommer der alså præcis de ud af dee scenarie, som bliver pue ind. Man kan ikke få noge for ingening! 9

10 Meeornedslag: E ande scenarie bygger på en forhåndsanagelse om, a menneskeheden kommer af dage ved en kaasrofe, for eksempel e meeornedslag som de der skee for 65 millioner år siden, og som uden vivl var medvirkende il dommedag for dinosaurerne. Hvis vi foresiller os, a der alid er den samme sandsynlighed λ per idsenhed for, a e meeor slår ned, så vil fordelingen af leveider for menneskeheder, der lige er bleve skab, være af samme form som for radioakive aomer, der henfalder. Vi har derfor Q(T 0) = λe λt, (5) hvor henfaldskonsanen λ er sandsynligheden per idsenhed for e nedslag (for eksempel 1 per 5 millioner år). Ved hjælp af ligning (8) nder vi så prior fordelingen p(t ) = λ T e λt (6) Fakoren T skyldes, a når vi udvælger e aom eller en menneskehed ilfældig bland alle de, som eksiserer på e give idspunk, vil de længslevende have sørs chance for a blive udvalg. Igen hænger alle forudsigelser på anagelsen om, a neop dee scenarie afgør vores skæbne, og a vi har e bud på sørrelsen af henfaldskonsanen. Geneisk sammenbrud: E scenarie, der indrømme er noge exrem, går ud på, a en ar som menneskeheden uddør, fordi den opsamler så mange geneiske fejl, a individerne ikke længere er levedygige. Efer e vis anal, for eksempel T 0, reprodukioner er de bare slu, så a vi har p(t ) = δ(t T 0 ). (7) Her kan aling også beregnes, men igen afhænger de af, a vi har e god gæ for T 0. Indsamling af daa Uden viden om a priori fordelingen kommer vi ikke videre. Vi kan ikke afgøre om de ene eller de ande scenario er de rigige og har derfor ingen forudsigelser om fremiden. Hvad skal der il for a opnå daa om p(t )? Svare er, a vi må gå ud og konake andre verdener (a la Sarrek) og spørge dem, om hvor gamle, de er, eller om hvor mange individer, de er lige nu. Sandsynligheden er q() for a svare er. Med ilsrækkelig mege daa kan vi danne e hisogram over q() og dermed indireke opnå viden om prior fordelingen p(t ). 10

11 Hvis den beingede fordeling P ( T ) er ad, kan vi beregne prior fordelingen ved simpel diereniaion af poserior fordelingen (9) og nder dq() d = p(t ) =T T. (8) Bemærk, a højre side alid er negaiv, så a q() alid er afagende. De er en direke konsekvens af anagelsen om en ad beinge foredeling og kan kun forvenes opfyld for denne fordeling. qhl 0.0 phtl T Figur 1: Aldersfordelingen (vensre) og leveidsfordelingen (højre) for Danmarks befolkning. Daa er age fra Danmarks saisik på hp:// og korrigere som beskreve i eksen. I Fig. 1 er denne meode benye il a beregne prior fordelingen af levealdre ud fra befolkningens nuværende aldersfordeling. Anagelse om en ad beinge fordeling beyder i dee ilfælde, a befolkningen er i en saionær ilsand, hvilke de varierende fødselsal viser, ikke kan være rigig. For a korrigere for dee, har vi renormalisere befolkningens aldersfordeling med de fakiske fødselsal. Korrekionen kan sagens undgås på bekosning af formalismens enkelhed. Den derved fremkomne fordeling er vis i vensre delgur. Som den fuld oprukne kurve viser, får man e forbavsende n med funkionen q() = γ + 1 γt 0 ( ( ) γ ) 1 T 0 (0 < < T 0 ), (9) hvor T 0 = 94.5 år og γ Den deraf følgende prior fordeling er vis i højre side af guren. Den er p(t ) = γ + 1 T 0 ( T T0 ) γ (0 < T < T 0 ). (30) 11

12 og vokser monoon op il T 0 95 år for derefer a falde dramaisk mod nul. Middelleveiden bliver T = T0 0 T p(t ) dt = γ + 1 γ + T 0 = 77. år, (31) medens den forvenede leveid for e menneske, der har opnåe alderen bliver T0 T = T Q(T ) dt = γ T γ+1 0 γ+1 γ + 1 T γ (3) 0 γ For e menneske der lige er fød bliver den forvenede leveid 73.3 år, medens e menneske, der har opnåe denne alder, kan forvene a blive 85 år gammel. Dee eksempel viser, a de er relaiv enkel a udlede leveidsfordelingen ud fra aldersfordelingen, forudsa der er ilsrækkelig med daa. De daa, der er brug i Fig. 1, besår af mere end 5 millioner danskeres nuværende alder. De er indlysende, a kendskab il en enkel ilfældig udvalg danskers nuværende alder ikke kan føre il nogen som hels brugbar konklusion om leveidsfordelingen p(t ). Konklusion Vi har gennemgåe nogle generelle eknikker fra sandsynlighedsregningen, som er brugbare il a vurdere dommedagsprofeiernes beydning. De har vis os, a enkelsående begivenheder afslører mege lid om de underliggende sandsynlighedsfordelinger. Påsande om enydige forudsigelser er alid basere på skjule anagelser vedrørende a priori fordelinger. Vi har påpege, a den enese raionelle meode il a løse denne og lignende problemsillinger er a indsamle mere daa. Når sandsynlighedsberegning leder il konik med den sunde fornuf, er de en god ide a konsruere e formel argumen, som kan afsløre mulige skjule anagelser og logiske fejlsluninger. De eknikker, vi har diskuere her, danner en passende ramme for denne analyse. Speciel har vi vis, a Go's dommedagsprofei er resulae af e præcis, men ganske ubereige, valg af prior. E valg, han er vunge il på grund af en logisk fejl i si argumen. Selv om man kan vælge a ro, a dommedag er nær, så er der ingening, der vinger en il de. Dommedag er ikke en uundgåelig konsekvens af sandsynlighedsregningen. 1

13 Lieraur [1] B. Carer Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A310, (1983) [] J. Leslie Bull. Canad. Nucl. Soc. 10, 1015 (1989) [3] H. B. Nielsen Aca Physica Polonica B0, (1989) [4] J. Richard Go III Implicaions of he Copernican principle for our fuure prospecs Naure 363, (1993) [5] Seven N. Goodman, Alan L. Mackay, P. Buch, J. Richard Go III Fuure prospecs discussed Naure 368, (1994) [6] T. Kopf, P. Krous, and D. N. Page Too soon for doom gloom? Universiy of Albera preprin (1994) [7] J. Richard Go III A grim reckoning New Scienis 156, 3639 (1997) [8] Dan H. Andersen Dommedag er nær sandsynligvis Berlingske Tidende, 4. februar (1998) [9] J. Bang E dy i basunen Berlingske Tidende, 3. mars (1998) 13