Funktion af flere variable

Transkript

1 Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk = x1 2 + x x2 k. Der gælder kxk = 0, x = 0. For t 2 R og x 2 R k gælder at ktxk = jtj kxk. Trekantsuligheden kx + yk kxk + kyk. Åben kugle, centrum z, radius r : K (z, r) = fx jjx zj < r g. z er et indre punkt i mængden A hvis 9r > 0 så K (z, r) A. A er åben, hvis ethvert punkt i A er indre. z tilhører randen A af A hvis 8r > 0 : K (z, r) \ A 6=? ^ K (z, r) \ {A 6=?. Afslutningen af A er A = A [ A. A er lukket (eller afsluttet) hvis A A, altså hvis A = A. A er begrænset hvis 9R > 0 så A K (0, R). 1.2 Funktion af flere variable: Definitioner Funktion af flere variable: Definitioner Lad A R k. Notationen f : A defineret i A og har værdier i R m.! R m betyder, at funktionen f er Altså hvis x 2 A så gælder f (x) 2 R m. Billedmængden er f (A) = f f (x) jx 2 A g f er surjektiv ("på") hvis f (A) = R m. f er injektiv (eller enentydig, 1-1) hvis f (x) = f (y) =) x = y. 1

2 Grafen for f er f(x, y) jx 2 A ^ y = f (x) g. Grafen er en delmængde af R k+m. Se Maple-worksheet for eksempler 1.3 Grænseværdi, definition og Eksempel 1 (p. 28) Grænseværdi, definition og Eksempel 1 (p. 28) Lad A R k. Punktet u 2 R k kaldes et akkumulationspunkt for A, hvis K (u, r) \ (An fug) 6=? for alle r > 0. Lad f : A! R m og u et akkumulationspunkt for A. Lad a 2 R m. Vi vil sige, at f (x)! a for x! u, hvis 8ε > 0 9δ > 0 : 0 < kx uk < δ =) k f (x) ak < ε Anden skrivemåde: lim x!a f (x) = a. Eksempel 1: Funktionen f : R 2 n f(0, 0)g! R er defineret ved xy x 2 + y 2 Vi har f (x, 0) = 0 for alle x 6= 0. Så lim x!0 f (x, 0) = 0. Vi har f (x, x) = 1 2 for alle x 6= 0. Så lim x!0 f (x, x) = 1 2. Konklusion: f (x, y) har ingen grænseværdi for (x, y)! (0, 0). 1.4 Grænseværdi, Eksempel 4 (p. 29) Grænseværdi, Eksempel 4 (p. 29) Funktionen f er defineret i alle punkter på nær (0, 0) ved x2 y x 4 + y 2 Vi har f (x, 0) = 0 for alle x 6= 0. Så lim x!0 f (x, 0) = 0. Vi har for k 6= 0 og x 6= 0 f (x, kx) = kx 3 x 4 + k 2 x 2 = kx x 2 + k 2! 0 for x! 0 Det er nærliggende at tro, at f (x, y) har grænseværdien 0 for (x, y)! (0, 0). Men det er GALT! Vi har nemlig for alle x 6= 0 f x, x 2 = x4 x 4 + x 4 = 1 2 Altså har f (x, y) ikke nogen grænseværdi for (x, y)! (0, 0). 2

3 1.5 Grænseværdi, Eksempel 2 (p. 28) Grænseværdi, Eksempel 2 (p. 28) Funktionen f er defineret i alle punkter på nær (0, 0) ved xy2 x 2 + y 2 Vi vil vise, at f (x, y)! 0 for (x, y)! (0, 0). Vi har j f (x, y) 0j = xy 2 x 2 + y 2 = jxj y2 x 2 + y 2 jxj Lad nu ε > 0 være givet. Hvis blot k(x, y) (0, 0)k = k(x, y)k = p x 2 + y 2 < ε vil også jxj < ε og dermed j f (x, y) 0j < ε. Altså har f (x, y) grænseværdien 0 for (x, y)! (0, 0). 1.6 Kontinuitet, Definition Kontinuitet, Definition Lad A R k, f : A! R m og u 2 A. f er kontinuert i u, hvis lim x!u f (x) = f (u). Hvis f er kontinuert i alle punkter af A, siges f at være kontinuert i A. Hvis f og g begge er kontinuerte i u, så er f + g og f g kontinuerte i u. Hvis m = 1 gælder yderligere, at f g og f g forudsat g (u) 6= 0). er kontinuert i u (den sidste Hvis f : A! R m, B f (A) og g : B! R n begge er kontinuerte, så er g f kontinuert. 1.7 Differentiabilitet for reel funktion af én variabel Differentiabilitet for reel funktion af én variabel f er differentiabel i x, hvis grænseværdien lim h!0 h f (x) eksisterer. I bekræftende fald kaldes grænseværdien for differentialkvotienten, og den betegnes med f 0 (x). 3

4 Anderledes sagt: f er differentiabel i x med differentialkvotient a, hvis f (x) = ah + ε (h) jhj hvor ε (h)! 0 for h! 0. At f er differentiabel i x betyder altså, at approksimeres godt ved f (x) + ah, når jhj er lille. 1.8 Differentiabilitet for reel funktion af flere variable Differentiabilitet for reel funktion af flere variable Lad A R k og lad x 2 A være indre. Lad f : A! R. f er differentiabel i x hvis der findes a 2 R k så f (x) = a h + ε (h) khk hvor ε (h)! 0 for h! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) At f er differentiabel i x betyder altså, at approksimeres godt ved f (x) + a h, når khk er lille. Vektoren a kaldes gradienten af f i x og betegnes grad f (x) eller r f (x). Udtrykket a h betegnes differentialet af f i x. Betegnelse d f (x, h) = h r f (x). Vi har altså f = små khk. f (x) = d f (x, h) + ε (h) khk ' d f (x, h) for 1.9 Partiel differentiation Partiel differentiation Lad A R k og lad x = (x 1, x 2, x 3,..., x k ) 2 A. Lad f : A! R. Antag, at funktionen g (t) = f (t, x 2, x 3,..., x k ) er defineret i en omegn om x 1. Hvis g er differentiabel i x 1, siges f at have en partiel afledet i x mht. førstekoordinaten. Den partielle afledede fx 0 1 (x) = g 0 (x 1 ). Andre betegnelser: D 1 f (x). f x 1 (x) og Sætning 1 (p.53). Hvis f : A R k! R er differentiabel x 2 A, så eksisterer alle k partielle afledede og r f (x) = f x 1 (x), f x 2 (x),..., f x (x). k Sætning 2 (p.53). Hvis f : A R k! R har partielle afledede i en omegn af x 2 A, og hvis disse er kontinuerte i x, så er f differentiabel i x. 4

5 1.10 Partiel differentiation, Eksempel, Højere afledede Partiel differentiation, Eksempel, Højere afledede sin (2x + 3y). Vi har da f 0 x (x, y) = cos (2x + 3y) 2 f 0 y (x, y) = cos (2x + 3y) 3 De nye funktioner f 0 x og f 0 y har selv partielle afledede: fxx 0 (x, y) = fx 0 0 x (x, y) = 4 sin (2x + 3y) fxy 00 (x, y) = fx 0 0 y (x, y) = 6 sin (2x + 3y) f 00 yx (x, y) = f 00 yy (x, y) = 0 fy 0 x 0 f 0 y 1.11 Blandede afledede, Tangentplan Blandede afledede, Tangentplan y (x, y) = 6 sin (2x + 3y) (x, y) = 9 sin (2x + 3y) Mængden af funktioner med kontinuerte partielle afledede i A op til og med p te orden betegnes med C p (A). Sætning (p. 67). Lad A R k være åben. Lad f : A Så gælder for alle x 2 A og alle i, j at! R og f 2 C 2 (A). 2 f x i x j (x) = 2 f x j x i (x) Lad A R k og lad f : A! R. Hvis f er differentiabel i a 2 A kaldes grafen for det lineære udtryk f (a) + r f (a) (x a) for tangentplanen for f i (a, f (a)). Når k = 2 er ligningen for tangentplanen i (a 1, a 2, f (a 1, a 2 )) altså z = f (a 1, a 2 ) + r f (a 1, a 2 ) (x 1 a 1, x 2 a 2 ) = f (a 1, a 2 ) + f 0 x 1 (a 1, a 2 ) (x 1 a 1 ) + f 0 x 2 (a 1, a 2 ) (x 2 a 2 ) 5