D i f f e r e n t i a l t o p o l o g i m e d A n v e n d e l s e r f o r Ø j e

Transkript

1 D i f f e r e n t i a l t o p o l o g i m e d A n v e n d e l s e r f o r Ø j e D i f f e r e n t i a l To p o l o g y w i t h A p p l i c a t i o n s i n M i n d H e l e n e M a t i l d e S v a n e S p e c i a l e i M a t e m a t i k J u n i Vejleder: Andrew du Plessis Institut for Matematik Aarhus Universitet

2

3 i Abstract This paper deals with some of the tools used to prove foundational results in the field of computer vision. It will in particular focus on the Poincaré-Hopf theorem and a theorem by Chazal and Cohen-Steiner, which gives a condition for isotopic approximation of two homeomorphic surfaces. In the end of the paper we will explain how these results can be put to use in the reconstruction of a 3-dimensional digitised object.

4

5 Indhold Indledning 1 1 Morseteori og limning af mangfoldigheder Limning af mangfoldigheder Poincaré-Hopf-sætningen Grad af en funktion Indeks af et nulpunkt for et vektorfelt Poincaré-Hopf-sætningen Isotopi af to homeomorfe overflader Jordan-Brouwers Separationssætning og en generaliseret Schoenflies Sætning Nogle basale topologiske resultater om 3-mangfoldigheder Isotopi af homeomorfe overflader Rekonstruktion af digitaliserede 3-mangfoldigheder 57 Bibliografi 65 iii

6

7 Indledning Dette projekt vil sigte mod at få styr på nogle af de værktøjer, som min vejleder Andrew du Plessis og hans ph.d.-studerende Sabrina Tang Christensen har brugt i deres forskning i digital rekonstruktion. Et overblik over dele af deres arbejde gives derfor i sidste kapitel, efter at vi har etableret de redskaber, der bruges. Første kapitel byder på en kort gennemgang af Morseteori og de mest basale anvendelser heraf. Mange af tingene bliver ikke bevist, da vi bare gerne vil have resultaterne stående til senere brug. Derudover gennemgåes i detaljer hvordan man kan lime to mangfoldigheder med rand sammen ved hjælp af en diffeomorfi mellem deres rande, således at man ender med en ny glat mangfoldighed. Det andet kapitel er dedikeret til Poincaré-Hopfs Sætning, som ligeledes vil spille en central rolle i Kapitel 4. Denne sætning kræver imidlertid en del forarbejde, så vi lægger ud med at vise nogle sætninger om grad af afbildninger og indeks af nulpunkter for vektorfelter. I tredje kapitel giver vi os i kast med topologi på 3-mangfoldigheder i R 3, idet vi har som hovedformål at kunne bevise en sætning om, hvornår to homeomorfe overflader er isotope. Dette kræver en del topologisk forarbejde, da vi undervejs får brug for klassiske resultater såsom Jordan-Brouwers Separationssætning og den glatte version af Schoenflies Sætning i 2 og 3 dimensioner, såvel som nogle mere specifikker resultater om 3-mangfoldigheder, der er diffeomorfe til produktet mellem en overflade og et interval. 1

8

9 Kapitel 1 Morseteori og limning af mangfoldigheder Dette kapitel har to formål: Dels at formulere en del resultater fra Morseteori, og dels at vise, at man på en veldefineret måde kan lime to mangfoldigheder med rand sammen langs deres rand og få en glat mangfoldighed. De fleste resultater fra Morseteori vil vi ikke bevise, men bare nævne til senere brug. Resultaterne i denne del stammer fra [9]. Den anden del om limning af mangfoldigheder vil vi til gengæld vise i detaljer. Denne del af teorien stammer fra [1]. Ideen i Morseteori er at prøve at udlede noget information om topologien af en mangfoldighed ud fra en reel funktion på mangfoldigheden. Det viser sig, at en sådan funktion faktisk kan sige meget om opbygningen af ikke mindst kompakte mangfoldigheder. Lad os definere Morsefunktioner: Definition 1.1. Lad f : M R være en glat funktion på en n-mangfoldighed M. Et kritisk punkt for f er et punkt p i hvilket differentialet d p f : T p M T f (p) R er 0, hvilket i lokale koordinater (U,(x 1,...,x n )) på M omkring p svarer til betingelsen at f x i (p) = 0 for i = 1,...,n. Et kritisk punkt p M kaldes ikke-degenereret hvis Hessiantmatricen ( 2 ) f x i x j (p) 1 i,j n er invertibel. De kritiske punkter er uafhængige af valg af kort. En Morsefunktion er en glat funktion f : M R hvor alle kritiske punkter er ikke-degenererede. 3

10 4 KAPITEL 1. MORSETEORI OG LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER Den første nyttige ting at vide om Morsefunktioner er følgende. Beviset er givet i [9]. Lemma 1.2 (Morses Lemma). Lad p være et ikke-degenereret kritisk punkt for en funktion f : M R. Da findes der et λ {1,...,n} og lokale koordinater (x 1,...,x n ) på en omegn U af p så på hele U. f (x 1,...,x n ) = f (p) (x 1 ) 2 (x λ ) 2 + (x λ+1 ) (x n ) 2 Definition 1.3. Tallet λ kaldes (Morse)indekset af det kritiske punkt p. Bemærkning 1.4. Ikke-degenererede kritiske punkter er isolerede: Det følger nemlig af Morses Lemma, at Morsefunktionen f på en omegn U af et kritisk punkt p har formen f (x 1,...,x n ) = f (p) (x 1 ) 2...(x λ ) 2 + (x λ+1 ) (x n ) 2 i de lokale koordinater på U, så gradientvektorfeltet i disse koordinater bliver gradf = ( 2x 1,..., 2x λ,2x λ+1,...,2x n ), hvilket kun har ét nulpunkt i U. Så p må derfor være det eneste nulpunkt for gradientvektorfeltet på den åbne omegn U af p. Før vi udvider teorien om Morsefunktioner yderligere, er det nok relevant at bemærke, at enhver glat mangfoldighed tillader en Morsefunktion. Til det skal vi først bruge følgende lemma, som vi i øvrigt også vil få brug for mange gange senere hen. Lemma 1.5. Enhver kompakt n-mangfoldighed M kan indlejres i R k for et passende k. Bevis. Hvert punkt x M har en koordinatomegn (U x,ϕ x ) så B 2 (0) ϕ x (U x ) og ϕ x (x) = 0. Da vil M x M ϕx 1 (B 1 (0)), og kompaktheden af M betyder, at vi kan finde endeligt mange x 1,...,x N så M N i=1 ϕ 1 x i (B 1 (0)). Vælg nu en glat bump function λ : R n [0,1] så λ = 1 på B 1 (0) og λ = 0 uden for B 2 (0). Definer λ ϕ λ i = xi på U xi 0 ellers. Lad A i = λ 1 i ({1}). Da vi valgte ϕ erne så M x M ϕx 1 (B 1 (0)), må A i -mængderne overdække M. Nu kan ϕ-funktionerne gøres til en glatte funktioner f i : M R n på hele M ved at sætte ϕ f i (x) = xi (x)λ i (x) når x U xi. 0 ellers Ved at sætte g i = (f i,λ i ) : M R n R bliver g = (g 1,...,g m ) : M R n+1 R n+1 en glat funktion, og for x inta i er g i = (f i,λ i ) = (ϕ xi,1), så g i en

11 5 immersion, og derfor må g også være en immersion. Desuden er g injektiv: Lad x y og y A i. Hvis x A i, er g i (x) = (ϕ xi (x),1) og g i (y) = (ϕ xi (y),1) som er forskellige, da ϕ xi er en diffeomorfi på A i. Så i så fald er g(x) g(y). Hvis x A i, er λ i (x) λ i (y), så g i (x) g i (y), og følgelig er g(x) g(y). Altså er g en injektiv immersion, og da M er kompakt, er g en homeomorfi på sit billede. Så g er en indlejring af M i R N(n+1). Sætning 1.6. Lad M være en n-mangfoldighed indlejret i R k. For næsten alle p R k er afbildningen L p : M R k givet ved L p (x) = x p 2 en Morsefunktion på M. Specielt ses det altså, at enhver kompakt mangfoldighed tillader en Morsefunktion. Beviset er givet i [9]. Bemærkning 1.7. Vi kan faktisk sige noget endnu stærkere end udsagnet i forrige sætning, nemlig at enhver funktion kan approksimeres arbitrært godt med en Morsefunktion, se [6], sætning 6.1.2, og vi kan sågar approksimere vores funktion med en Morsefunktion, som er homotop til den oprindelige funktion. Vi kan også antage, at de kritiske værdier for vores Morsefunktioner er forskellige (ved at lægge bump functions med støtte omkring et kritisk punkt for f til f om nødvendigt). Det kan også vises, at enhver overflade M tillader en Morsefunktion med præcis ét maksimum (kritisk punkt af indeks n) og ét minimum (kritisk punkt af indeks 0), ifølge diskussionen i [1] af resultatet i [10]. Vores sidste store hovedpointe er, at det er muligt at bestemme topologien for en kompakt mangfoldighed ud fra en Morsefunktion f : M R på mangfoldigheden. Mere præcist vil vi se, at en kompakt n-mangfoldighed har struktur som et n-dimensionalt CW-kompleks: Definition 1.8. Vi vil i følgende konstruktion betegne e n = intd n som n-celler, og punkter som 0-celler. Et CW-kompleks er et rum X som konstrueres på følgende måde: Start med en diskret mængde 0-celler X 0, kaldet 0-skelettet. Da kan n-skelettet X n dannes induktivt fra (n 1)-skelettet X n 1 på følgende måde: Lad D n α være en samling n-diske og ϕ α : D n α X n 1 en samling kontinuerte afbildninger fra randen af disse celler til (n 1)-skelettet X n 1. Vi definerer da X n = X n 1 α D n α/(ϕ α (x) x). Altså fås n-skellettet fra (n 1)-skelettet ved at identificere punkter på randen af diskene med deres billede under den tilsvarende ϕ-afbildning. Da bliver n-skelettet som mængde betragtet X n = X n 1 α e n α, og dette udstyres med kvotienttopologien. Resultatet af denne konstruktion kaldes et CW-kompleks. Hvis vi stopper med at klistre celler på efter et endeligt antal skridt n, således at vi ender med n-skelettet X n, kaldes X = X n et n-dimensionalt CW-kompleks.

12 6 KAPITEL 1. MORSETEORI OG LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER Den følgende sætning er nyttig, og er en konsekvens af Morseteorien. Vi vil ikke vise den her, men nøjes med at henvise til [9], sætning 3.5. Sætning 1.9. Lad f : M R være en Morsefunktion på en kompakt n-mangfoldighed M. Da har M homotopitype som et n-dimensionalt CW-kompleks med en k-celle for hvert kritisk punkt af indeks k for f. 1.1 Limning af mangfoldigheder Det vil i det kommende vise sig at være nyttigt at vide, hvordan man kan lime to mangfoldigheder med rand sammen langs deres rande for at få en ny glat mangfoldighed, så det vil vi vise her. Lad M 1, M 2 være to glatte n-mangfoldigheder med rand, og lad f : M 1 M 2 være en diffeomorfi mellem deres rande. Vi ønsker nu at bruge f til at lime M 1 og M 2 sammen på en måde, så vi får en glat struktur på den resulterende mangfoldighed M, se figur 1.1 Figur 1.1: De to mangfoldigheder med rand til venstre limes sammen ved hjælp af funktionen f for at opnå mangfoldigheden til højre. Vi limer de to mangfoldigheder M 1 og M 2 sammen til en mangfoldighed M ved at sige, at M = M 1 M 2 /(f (x) x) som topologisk rum, udstyret med kvotienttopologien. Da bliver M Hausdorff: Bemærk først, at med denne definition bliver inklusionsafbildningerne j i : M i M homeomorfier på deres billeder. For to punkter x,y i M som ikke ligger på N = j i ( M i ) M kan vi oplagt finde disjunkte åbne omegne omkring dem ved at vælge åbne omegne i M 1 eller M 2, hhv., så antag at x N, og y j 1 (intm 1 ). Vælg disjunkte, åbne omegne U af j1 1(x) i M 1 og V af j1 1(y) i intm 1. Da M 1 har sportopologien fra M 1, er U M 1 en åben mængde i M 1 og da f er en diffeomorfi, er f (U M 1 )

13 1.1. LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER 7 ligeledes åben i M 2. Der findes derfor en åben mængde Ũ i M 2 så Ũ M 2 = f (U M 1 ). Så j 1 (U) j 2 (Ũ) er en åben omegn af x i M så x j 1 (U) j 2 (Ũ) og y j 1 (V ), og Ũ og V er disjunkte, så derfor er j 1 (U) j 2 (Ũ) og j 1 (V ) det ligeledes. En lignende konstruktion kan laves når y M 2 (ved at erstatte f med f 1 ), samt for tilfældet hvor både x og y ligger i N. Så M bliver et Hausdorff topologisk rum. For at vise, at M er en glat mangfoldighed, mangler vi bare at vise, at M kan udstyres med en differentiabel struktur. Vælg glatte indlejringer c i : M i [0,1) M i så c i (x,0) = x. Sådanne indlejringer kaldes kraveomegne. Vi kan lime de to kraver sammen og få en kontinuert afbildning c : N ( 1, 1) M ved at sætte j c(x,t) = 1 (c 1 (j1 1 (x),t)) hvis t 0 j 2 (c 2 (j 1. (x), t)) hvis t 0 2 Da c 1 og c 2 begge er homeomorfier på deres billeder, og da de desuden stemmer overens på x N, er c også en homeomorfi på sit billede, og billedet er en åben omegn af N i M. Vi kan nu lave et kort omkring ethvert punkt x M: Hvis x M\N, kan vi for et passende i vælge et kort (U,ϕ) på ji 1 (M i ) omkring ji 1 (x) så U M i =. Da bliver ϕ ji 1 : j i (U) R n et kort på M omkring x. Tilbage er da kun af betragte elementer x N. Lad (U,ϕ) være et randkort på M i omkring x og vælg en åben mængde Ũ i c(n ( 1,1)) så Ũ N = j 1 (U). Da definerer (ϕ,id) c 1 : Ũ R n et kort på M omkring x. Vi har dermed konstrueret en række kort på M, og vi kan bemærke, at disse kort er glat kompatible: To kort (U,ϕ), (V,ψ) omkring punkter, som ikke ligger i N, er glat kompatible, fordi kortene arver denne egenskab fra atlasset på M 1 eller M 2 (idet U V kun er ikke-tom, hvis både U og V ligger i den samme del j i (M i \ M i )). Det samme argument viser, at to kort omkring punkter i N er kompatible, så vi mangler at betragte det tilfælde, hvor (U,ϕ) er et kort omkring et punkt i N, og (V,ψ) er et kort omkring et andet punkt, for eksempel et punkt i j 1 (M 1 \ M 1 ). I så fald er U V j 1 (M 1 \ M 1 ), og transitionsafbildningen bliver her ψ c (ϕ 1,id) = ψ c 1 (ϕ 1,id) som er en diffeomorfi, da c 1 er en diffeomorfi på j 1 (M 1 ). Der er nu tilbage at sikre os, at den differentiable struktur, som disse kort giver, ikke afhænger af valg af kraveomegne c i. Vi starter med et teknisk lemma, som vi får brug for senere: Lemma Lad f : N [0,1] R være en glat funktion som opfylder, at f t (x,t) > 0 for t i nærheden af N {0,1}, og at f (x,0) < f (x,1) for alle x N. Da findes en glat funktion F : M [0,1] R som stemmer overens med f på en omegn af N {0,1} og som opfylder, at F (x,t) > 0 for alle (x,t). t Bevis. Lad g(x,t) = f (x,t) og lad ε > 0 være så lille, at g(x,t) > 0 for t t [0,ε) (1 ε,1] og f (x,ε) < f (x,1 ε) for alle x N. Lad ϕ : [0,1] [0,1] være

14 8 KAPITEL 1. MORSETEORI OG LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER en glat bump function som opfylder, at ϕ(t) = 0 for t [ε,1 ε] og ϕ(t) = 1 for t [0,ε/2] [1 ε/2,1]. Lad g(x,t) = ϕ(t)g(x,t). Da stemmer g overens med g nær N {0,1}, er mindre end g for t (ε/2,ε) (1 ε,1 ε/2) og 0 ellers. Lad h : N R være funktionen givet ved h(x) = 1 g(x,t) g(x,t)dt. Da er 0 1 h(x) = g(x,t) g(x,t)dt = = 0 1 ε/2 ε/2 1 ε ε 1 ε ε g(x,t) g(x,t)dt g(x,t) g(x,t)dt g(x,t)dt = f (x,1 ε) f (x,ε) > 0. Lad nu k : [0,1] R + være en glat funktion som opfylder, at k(t) = 0 for t [0,ε/2] [1 ε/2,1], k(t) > 0 for t (ε/2,1 ε/2) og 1 k(t)dt = 1. Sæt 0 G(x,t) = g(x,t) + k(t)h(x). Vi er nu i stand til at definere vores kandidat til funktionen F: Sæt t F(x,t) = G(x,s)ds + f (x,0). 0 For t [0,ε/2] er k(t) = 0, så G(x,t) = g(x,t) = g(x,t), og dermed er F(x,t) = t g(x,s)ds + f (x,0) = f (x,t) f (x,0) + f (x,0) = f (x,t) når t [0,ε/2]. For t 0 [1 ε/2,1] er t F(x,t) = = = = G(x,s)ds + f (x,0) 1 G(x,s)ds g(x,s)ds + t 1 0 G(x,s)ds + f (x,0) 1 h(x)k(s)ds g(x,s)ds h(x) + h(x) 1 t t g(x,s)ds + f (x,0) g(x,s)ds + f (x,0) = f (x,1) f (x,0) (f (x,1) f (x,t)) + f (x,0) = f (x,t), så F(x,t) = f (x,t) på N ([0,ε/2] [1 ε/2,1]. I denne udregning brugte vi i fjerde lighedstegn, at h(x) = 1 0 g(x,t)dt 1 0 g(x,t)dt. Det sidste vi mangler at verificere er da blot, at F (x,t) > 0 for alle (x,t) t N [0,1]. Men F t (x,t) = ( t ) g(x,s) + h(x)k(s)ds + f (x,0) = g(x,t) + h(x)k(t) > 0, t 0

15 1.1. LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER 9 da h, k og g alle er ikke-negative, og h > 0 overalt, k > 0 på (ε/2,1 ε/2), og g > 0 på [0,ε) (1 ε,1]. Vi er nu klar til at vise, at valg af kort ikke ændrer diffeomorfitypen for en sammenklistret mangfoldighed. Sætning Hvis vi erstatter kraveomegnene c i med kraveomegne c i når vi konstruerer et atlas på M, får vi en mangfoldighed M som er diffeomorf til M. Bevis. Lad c i og c i, i = 1,2, være forskellige kraveomegne, og lad hhv. M og M være de mangfoldigheder, som disse kraver giver anledning til. Da M og M har en topologi som ikke afhænger af kraveomegnene, er identitetsafbildningen mellem dem en homeomorfi, som faktisk er en diffeomorfi væk fra N. Vi er nødt til at modificere denne afbildning lidt for at få en afbildning, der er en diffeomorfi overalt. Definer for tilpas lille ε afbildningen ξ : N ( ε, ε) N ( 1, 1) givet ved ξ(x,t) = (ξ N (x,t),ξ I (x,t)) = c 1 2 c 2(x,t) hvis t 0 c 1 1 c 1(x,t) hvis t 0. Beviset går fra nu af på at erstatte ξ med andre afbildninger, indtil vi får en afbildning, der definerer en diffeomorfi. Trin 1: Forenkling af problemet Antag, at vi kan finde en anden afbildning ˆξ : N ( ε,ε) N ( 1,1) som er en diffeomorfi på sit billede, og som stemmer overens med ξ på en åben mængde i N ( ε,ε) omkring N (( ε, δ) (δ,ε)) for et passende lille δ (0,ε). Vi vil nu vise, at i så fald er M og M diffeomorfe: Definer nemlig f : M M, c f (x) = ˆξ c 1 (x) hvis x c(n ( ε,ε)) x hvis x j i (M i \c i (N [0,δ))). Dette bliver da en diffeomorfi fra M til M, idet ξ er en diffeomorfi væk fra N {0}, og ˆξ stemmer overens med ξ uden for en lille omegn af N, samt er en diffeomorfi på sit billede. Så beviset holder, når vi kan finde afbildningen ˆξ. Resten af beviset går ud på at konstruere en sådan funktion. Trin 2: Et hjælpelemma Bemærk, at ξ er en homeomorfi på sit billede, da ξ N ( ε,0] : N ( ε,0] N ( 1,0] og ξ N [0,ε) : N [0,ε) N [0,1) er homeomorfier, som stemmer overens på N {0} (hvor ξ er identiteten) og afbilder ind i hver sin halvdel af N ( 1,1). Desuden er restriktionerne ξ N ( ε,0] : N ( ε,0] N ( 1,0] og ξ N [0,ε) : N [0,ε) N [0,1) glatte. Vi har brug for en yderligere egenskab for ξ, men denne kræver et argument, så vi formulerer det som et lemma:

16 10 KAPITEL 1. MORSETEORI OG LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER Lemma For ethvert x N er både den partielle højreafledte og den partielle venstreafledte af funktionen t ξ I (x,t) i t = 0 strengt positive, og vi kan vælge ε så lille, at ξ I t > 0 for alle (x,t) N ( ε,ε). Bevis. Da (x 0,0) = ξ(x 0,0) = (ξ N (x 0,0),ξ I (x 0,0)), ved vi for t tilstrækkeligt tæt på 0 at ξ I (x 0,t) ξ I (x 0,0) t = ξ I(x 0,t) t idet ξ N ( ε,0] afbilder N ( ε,0] homeomorft ind i N ( 1,0] og ξ N [0,ε) afbilder N [0,ε) homeomorft ind i N [0,1), så små positive ændringer af t må nødvendigvis give små positive ændringer af ξ I (x 0,0), og tilsvarende for små negative ændringer af t. Dermed må både den højre og venstre partielt afledte af ξ I i (x 0,0) være ikke-negative. Vi skal da blot vise, at de ikke kan være 0: Hvis for eksempel den højre partielle afledte var 0, ville den højre differentialafbildning > 0, dξ + : T (x0,0)(n ( ε,ε)) T (x0,0)(n ( 1,1) i en basis d dt d d t=0, dx 1 x=x0,..., dx n x=x0 få blokmatrixrepræsentationen dξ + (x 0,0) = ( dξn (x 0,t) Men i så fald ville dξ + ikke længere være surjektiv på T (x0,0)(n ( 1,1)), hvilket strider mod, at c 1 og c 1 var diffeomorfier på deres billeder (da de var indlejringer). Så ξ I > 0 i t = 0, og vi kan så vælge ε så lille, at denne ulighed t holder på hele N ( ε,ε). Trin 3: Et specialtilfælde Antag nu et øjeblik, at ξ var på formen ξ(x,t) = (ξ N (x,t),t) i en lille omegn af N {0}, og lad α : ( ε,ε) ( ε,ε) være en glat, monoton afbildning med α(t) = 0 i en omegn af {0} og α(t) = t nær ±ε. Da ville afbildningen ˆξ(x,t) = (ξ N (x,α(t)),t) opfylde det, som ifølge trin 1 skal til for at vise sætningen: ˆξ ville være lig med ξ nær N { ε,ε}, og ˆξ ville være en diffeomorfi på sit billede. Det sidste følger af, at hvis (ξ N (x,α(t )),t ) = ˆξ(x,t) = ˆξ(x,t ) = (ξ N (x,α(t )),t ), må t = t, og dermed også x = x, fordi ξ var en homeomorfi på sit billede. Så ˆξ ville være injektiv, og dermed en diffeomorfi på sit billede, idet Jacobimatricen i lokale koordinater ville være J ˆξ(x,t) = ( ξn ) x (x,α(t)) 0 1. (ξ N (x,α(t)) t så detj ˆξ(x,t) = detjξ(x,α(t)) 0, da ξ var en diffeomorfi på N [0,ε) og på N ( ε,0]. ),

17 1.1. LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER 11 Trin 4: Reduktion til specialtilfældet Vi kan ikke være sikre på at ξ har formen ξ(x,t) = (ξ N (x,t),t) som vi behandlede i trin 3, men hvis vi nu kan reducere problemet til denne situation, ville vi have vist sætningen. Som nævnt er ξ + = ξ N [0,ε) = (ξ + N,ξ+ I ) og ξ = ξ N ( ε,0] = (ξn,ξ I ) glatte afbldninger, og ifølge lemma 1.12 er ξ I > 0 for alle t (x,t) N ( ε,ε). Definer afbildningerne p + : N [0,ε) N [0,1), p : N (ε,0] N ( 1,0] ved p ± (x,t) = (x,ξ I ± (x,t)). Disse er injektive, da vi har antaget at ξ I > 0. t Desuden er ( ) In 1 0 Jp + (x,t) = ξ + I t (x,t) invertibel for alle (x,t) N [0,ε), og tilsvarende for Jp. Så p + og p er diffeomorfier på deres billeder. Lad q + og q betegne deres inverser. Da er q + på formen q + (x,t) = (x,α + (x,t)) for (x,t) Im(p + ), og ligeledes er q på formen q (x,t) = (x,α (x,t)) for (x,t) Im(p ). Desuden er (x,t) = p + (q + (x,t)) = p + (x,α + (x,t)) = (x,ξ I + (x,α+ (x,t)), så ξ I + (x,α+ (x,t)) = t, og tilsvarende har vi at ξi (x,α (x,t)) = t. Bemærk at p ± N {0} = id N {0}, så der findes et δ (0,ε) så N [0,δ) p + (N [0,ε)) og N ( δ,0] p (N (ε,0]). Da bliver α ± funktioner α + : N [0,δ) R og α : N ( δ,0] R. Vi ønsker nu at udvide disse funktioner til funktioner α 1 + : N [0,ε] R og α1 : N [ ε,0] R. Så vælg et δ (0,δ) og bump function ϕ + : [0,ε) [0,1] så ϕ + = 1 på [0,δ ] og 0 uden for [0,δ). Sæt α 1 + (x,t) = ϕ+ (t)α + (x,t)+(1 ϕ + (t) 2 )t. Da er α 1 + = α+ på N [0,δ ] og α 1 + (x,t) = t nær N {ε}. α udvides på lignende vis til en funktion α1 som er lig med α på N [ δ,0] og lig med t nær N { ε}. Bemærk, at α+ 1 t (x,t) > 0 nær N {0,ε}, idet α+ 1 (x,t) = t nær N {ε} og α+ 1 = α + nær N {0}, og kædereglen giver os at 1 = t t = ξ I (x,α + (x,t)) = ξ I (x,α + ) α + (t), t α + t og ξ I (x,t) > 0 overalt, så α+ 1 (t) = α+ (t) > 0 i nærheden af 0. Desuden er t t t ξ I (x,0) = 0, så da ξ I + (x,α+ (x,0)) = 0, må α + (x,0) = 0 = α 1 + (x,0), og dermed er ε = α 1 + (x,ε) > α+ 1 (x,0). Vi ved nu fra Lemma 1.10 at vi kan finde en funktion α + : N [0,ε] R som opfylder α+ t (x,t) > 0 overalt, og så α+ (x,t) = α 1 + (x,t) = α + (x,t) nær N {0} og α + (x,t) = t nær N {ε}. En tilsvarende funktion α kan findes for α1, således at α (x,t) = t nær N { ε} og α (x,t) = α (x,t) nær N {0}. Definer Φ + : N [0,ε] ved Φ + (x,t) = (x, α + (x,t)), og tilsvarende defineres en afbildning Φ : N [ ε,0] så Φ (x,t) = (x, α (x,t)). Da er Φ ± diffeomorfier, da de er injektive og har invertibel Jacobimatrix overalt. Nu betragter vi ξ 1 : N ( ε,ε) N ( 1,1) givet ved ξ 1 (x,t) = (ξ 1 N (x,t),ξ1 I (x,t)) = ξ(φ + (x,t)) hvis t 0 ξ(φ (x,t)) hvis t 0.

18 12 KAPITEL 1. MORSETEORI OG LIMNING AF MANGFOLDIGHEDER Da Φ + (x,t) = (x,t) nær N {ε} og Φ (x,t) = (x,t) nær N { ε}, er ξ 1 = ξ nær N { ε,ε}. For små t 0 er ξi 1(x,t) = ξ I (x,α (x,t)) = t, og tilsvarende for små t 0. Så ξ 1 har formen ξ 1 (x,t) = (ξn 1 (x,t),t) i en omegn af N {0}, så ifølge Trin 3 findes en funktion ˆξ : N ( ε,ε) N ( 1,1) som opfylder betingelserne fra Trin 1. Dette færdiggør beviset. Da kan vi finde en diffeomorfi fra M til M som er identiteten væk fra c(n ( ε,ε)) og som er givet ved c ˆξ c 1 : c(n ( ε,ε)) c(n ( 1,1)) på c(n ( ε, ε)). Altså er M og M diffeomorfe.

19 Kapitel 2 Poincaré-Hopf-sætningen Hovedmålet i dette kapitel er, som overskriften antyder, at vise Poincaré-Hopfsætningen som siger, hvordan man kan beregne Eulerkarakteristikken af en mangfoldighed ved hjælp af et kontinuert vektorfelt med isolerede nulpunkter på mangfoldigheden. Inden vi når så langt, er vi imidlertid nødt til at etablere nogle resultater om grad af en afbildning og indeks af et nulpunkt for en funktion. En del af arbejdet kommer til at bestå i at vise, at disse begreber er veldefinerede, men vi vil også få brug for nogle generelle resultater, især om grad af en afbildning. Det viser sig nemlig, at graden af en afbildning er homotopiinvariant, hvilket blandt andet kan bruges til at udvide grad til et begreb for kontinuerte funktioner. Desuden er graden af en funktion på randen af en kompakt mængde 0 hvis funktionen udvides til en glat funktion på hele mangfoldigheden, og dette resultat er også en vigtig ingrediens i beviset for Poincaré-Hopfs Sætning. Det meste af teorien i dette afsnit følger [11]. 2.1 Grad af en funktion Vi starter med at indføre begrebet grad. Selvom vi gør det med et klart mål for øje, er begrebet grad også interessant i sig selv, og finder mange andre anvendelser end dem, vi vil benytte os af. Lad os starte med definitionen: Definition 2.1. Lad f : M N være en glat afbildning mellem to n-mangfoldigheder uden rand, og lad y N være en regulær værdi for f. For M kompakt og N sammenhængende defineres graden degf af f til at være deg(y,f ) = sign(det(df x )). x f 1 (y) Vores første store resultat går ud på at vise, at denne definition ikke afhænger af valget af regulær værdi. Men for at komme så langt får vi brug for nogle hjælpelemmaer samt følgende vigtige definition, som vi vil bruge gentagne gange og i mange forskellige sammenhænge i det følgende: 13

20 14 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN Definition 2.2. Lad M og N være mangfoldigheder og f 0,f 1 : M N være glatte indlejringer. En isotopi fra f 0 til f 1 er en glat afbildning F : M [0,1] N så F(x,0) = f 0 (x), F(x,1) = f 1 (x) og for alle fastholdte t [0,1] er F t (x) = F(x,t) en indlejring. Afbildningerne f 0 og f 1 kaldes ambient isotope hvis der findes en isotopi G : N [0,1] N fra identiteten G 0 : N N til en diffeomorfi G 1 som opfylder, at f 1 = G f 0. En isotopi er dermed en glat deformation af en afbildning til en anden, mens en ambient isotopi er en isotopi, der forvrider hele rummet, som afbildningerne sender over i, på en sådan måde, at billedet af den ene afbildning deformeres glat til billedet af den anden afbildning. Ambient isotopi er således et stærkere begreb end isotopi, da to ambient isotope afbildninger også er isotope. Det bør i øvrigt bemærkes, at isotopi bliver en ækvivalensrelation: Hvis f 1 er isotop til f 2 gennem en isotopi F, f 2 er isotop til f 3 gennem en isotopi G, og ϕ : [0,1] [0,1] er en glat, monoton funktion så ϕ(t) = 1 2 i en lille omegn af 1 2 og ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, er F(x,2ϕ(t)) hvis t H(x,t) = 2 1 G(x,2(ϕ(t) 2 1)) ellers en isotopi fra f 1 til f 3. Vi snupper lige et teknisk hjælpelemma mere: Lemma 2.3. Lad N være en glat, sammenhængende mangfoldighed med y og z indre punkter. Da eksisterer der en diffeomorfi h : N [0,1] N så h(y) = z, og så h er glat isotop til identiteten. Bevis. Vi vil vise, at vi kan konstruere en isotopi F : R n [0,1] R n som tager 0 til et vilkårligt punkt i enhedskuglen, og er identiteten uden for enhedskuglen. Da følger beviset nemlig på følgende måde: Ethvert punkt p N har en omegn U p som er diffeomorf til B 1 (0) under en afbildning ϕ p : U p R n, så sammensætningen ϕp 1 (F(ϕ p (x),t)) er en isotopi fra p til et vilkårligt andet punkt i U p. Lad nu y og z være indre punkter i N og γ : [0,1] N en sti mellem dem. Da er p γ([0,1]) ϕp 1 (B 1 (0)) en åben overdækning af γ([0,1]), som er kompakt, så vi kan udtynde overdækningen til en endelig overdækning m i=1 ϕ 1 p i (B 1 (0)). Da ethvert punkt i ϕp 1 i (B 1 (0)) kan isotoperes til ethvert andet punkt i samme mængde, kan en endelig sammensætning af disse isotopier tage y først til et punkt p 1 på γ, så videre til et punkt p 2 på γ og så videre indtil en isotopi kan tage et punkt p l γ til z, hvilket var det vi hævdede. Vi mangler dermed blot at vise eksistensen af F. Lad ψ : R n R n være en bump function så ψ(x) > 0 på B 1 (0) og ψ(x) = 0 uden fr B 1 (0)

21 2.1. GRAD AF EN FUNKTION 15 Betragt nu for c = (c 1,...,c n ) S n 1 differentialligningerne x i t = c iψ(x 1,...,x n ), hvor i = 1,...,n. For enhver begyndelsesværdi x 0 har disse ligninger en entydig løsning F(x 0 ;t), defineret for alle t R og med F(x 0 ;0) = x 0. Løsningerne afhænger glat af både t og x 0, og for x 0 B 1 (0) er F(x 0 ;t) = x 0 for alle x 0, idet ψ er 0 her. Af samme grund er F(x 0 ;t) ikke konstant for x 0 B 1 (0), så specielt er F(0;t) ikke konstant, men bevæger sig ud mod randen af B 1 (0) i retningen bestemt af c. Lad nu z B 1 (0) være vilkårlig. Forskellige valg af c S n 1 svarer til rotation af løsningskurverne, så for et passende c S n 1 og en passende værdi t 0 af t vil F(0;t 0 ) = z. Men så er F : R n [0,t 0 ] R n en isotopi af R n så F(x 0 ;0) = x 0 er identiteten, F(x 0 ;t) = x 0 for x 0 B 1 (0) også er identiteten og som sender 0 til z. Resultatet følger nu af overvejelserne ovenfor. Følgende proposition skal også bruges til at vise, at grad ikke afhænger af valg af regulær værdi, men resultatet er også nyttigt i sig selv, og vil blive brugt igen senere: Proposition 2.4. Lad N være en n-mangfoldighed og X en kompakt (n + 1)- mangfoldighed. Lad f : X N være en glat afbildning. Hvis f kan udvides til en glat afbildning F : X N, så er deg(y,f ) = 0 for alle regulære værdier y for f. Bevis. Vi er først nødt til at sikre os, at vi kan finde en værdi, som er regulær for både f og F. Lad til det formål y 0 være en regulær værdi for f (en sådan findes ifølge Sard s sætning). Da er alle værdier i en omegn af y 0 regulære for f, så funktionen deg(y,f ) er konstant i en omegn U af y 0. Ifølge Sard s sætning findes da en regulær værdi z for F i U. Men da er z en regulær værdi for både f og F, som var det vi havde brug for. Vælg altså en regulær værdi y for både f og F. Så bliver F 1 (y) en glat 1-dimensional delmangfoldighed hvis rand er indeholdt i randen for X. En sådan mangfoldighed er en forening af cirkler og buer, så lad A være en af buerne, og lad {a,b} være randpunkterne for A. Vi skal da blot vise, at sign(df a ) + sign(df b ) = 0, da dette ville medføre at x f 1 (y) sign(det(df x)) = 0, fordi leddene går ud to og to. Vi udstyrer nu buen A med en orientering på følgende måde: Lad v(p) være en enhedstangentvektor til A i p, og udvid denne til en positivt orienteret basis (v(p),v 1,...,v n ) for T p X. Hvis denne basis opfylder, at df p tager (v 1,...,v n ) til en positivt orienteret basis for T y N, vil vi sige, at v(p) bestemmer en positiv orientering af T p A. Da denne konstruktion er glat, er v(p) en glat funktion fra A til T A, og den må pege indad i det ene bueendepunkt b, og udad i det andet a. Hvis v(x) peger udad i a, kan v(a) udvides til en positivt orienteret basis (v(a),v 1,...,v n ) for X sådan at (v 1,...,v n ) er en positiv basis for X, og pr. antagelse tager F denne basis til en positivt orienteret basis for T y N, så det(df a ) > 0.

22 16 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN Omvendt, hvis v(x) peger indad i b, kan v(b) udvides til en positivt orienteret basis (v(b),v 1,...,v n ) for T b X så (v 1,...,v n ) bliver en negativt orienteret basis for X. Pr. antagelse tager df denne basis til en positivt orienteret basis for T y N, så df b vender orienteringen, og det(df b ) = 1. Den sidste proposition vi skal bruge viser, at graden af en funktion er invariant under homotopi, hvilket også er nyttigt i sig selv, og desuden kan bruges til at udvide begrebet grad til kontinuerte funktioner (men det kommer vi tilbage til senere). Proposition 2.5. Lad f,g : M N være to glat homotope afbildninger og y en regulær værdi for begge. Da er deg(y,f ) = deg(y,g). Bevis. Lad Φ : M [0,1] N være en glat homotopi fra f til g. Da er M [0,1] en glat mangfoldighed med rand M {0,1}, og kan da orienteres som en produktmangfoldighed således at M {0} får en negativ orientering og M {1} får positiv orientering. Da er deg(y,φ M {0,1} ) = deg(y,g) deg(y,f ) = 0, hvor det sidste lighedstegn kommer fra Proposition 2.4, idet Φ udvider til en glat afbildning på hele M [0,1]. Men så er deg(y,f ) = deg(y,g), som hævdet. Vi er nu endelig i stand til at vise, at vi ikke behøver at bekymre os om valget af regulær værdi. Sætning 2.6. Graden af en glat funktion f : M N afhænger ikke af valget af regulær værdi y. Bevis. Antag at y og z begge er regulære værdier for f. Vi ved da fra Lemma 2.3, at der findes en diffeomorfi h : N N som tager y til z, og som er glat isotop til identiteten. Da isotopier tager orienteringsbevarende afbildninger til orienteringsbevarende afbildninger, er h orienteringsbevarende, så for x f 1 (y) er sign(det(d(h f ) x )) = sign(det(dh y df x )) = sign(det(df x )). Da h er en diffeomorfi, er x f 1 (y) hvis og kun hvis x (h f ) 1 (z), så deg(y,f ) = sign(det(df x )) = sign(det(d(h f ) x )) = deg(z,h f ). x f 1 (y) x (h f ) 1 (z) Men h var glat isotop til id N, så h f er glat homotop til f, hvorved vi får fra Proposition 2.5 at deg(y,f ) = deg(z,h f ) = deg(z,f ), som ønsket. Bemærkning 2.7. På grund af Sætning 2.6 vil vi fremover bare skrive degf for graden af en afbildning f, uden at specificere den regulære værdi y. Med disse lemmaer i lommen kan vi udvide begrebet grad til også at omfatte afbildninger f : M N som kun er kontinuerte: En kontinuert afbildning f er nemlig homotop til en glat afbildning g, se for eksempel [7],

23 2.2. INDEKS AF ET NULPUNKT FOR ET VEKTORFELT 17 Sætning 6.26, så vi kan definere degf := degg. Med denne definition er graden af en kontinuert afbildning veldefineret, for antag at f også er homotop til en anden glat afbildning g. Da homotopi er en ækvivalensrelaton, betyder dette, at g og g er homotope, og to glatte, homotope afbildninger er glat homotope, se [7], Sætning Da giver Proposition 2.5 at graden af g og graden af g er ens. Nu kan vi så yderligere udvide Proposition 2.5 til at sige, at to homotope afbildninger har samme grad, uanset om de er glat homotope eller ej. 2.2 Indeks af et nulpunkt for et vektorfelt Det næste emne, vi skal tage under behandling for at kunne formulere Poincaré-Hopfs Sætning, er indeks af et nulpunkt for et vektorfelt. Definition 2.8. Lad v : M T M være et kontinuert vektorfelt på en n- mangfoldighed M. Lad z være et isoleret nulpunkt for v og vælg et kort (U,ϕ) og en koordinatkugle B ε (z) omkring z i M så z er det eneste nulpunkt for v i denne kugle. Da er indekset af z defineret som graden af afbildningen v : B ε (ϕ(z)) S n 1 givet ved v(x) = v (x) v (x), hvor v = dϕ v ϕ 1 er det vektorfelt på R n som svarer til v i den forstand at dϕ x sender v(x) til v (ϕ(x)). Vi vil somme tider skrive index(v,z) for indekset af et nulpunkt z for et vektorfelt v for at understrege, hvilket vektorfelt vi arbejder med. Som med enhver god definition må vi hellere lige tjekke, at definitionen på graden af en afbildning er veldefineret: Proposition 2.9. Indekset for et nulpunkt for et vektorfelt v : M T M er veldefineret. Men før vi beviser denne sætning, får vi lige brug for følgende lemma: Lemma En orienteringsbevarende diffeomorfi f : U R n, hvor U R n er konveks, er glat isotop til identiteten. En tilsvarende orienteringsvendende diffeomorfi er glat isotop til den lineære afbildning repræsenteret ved diagonalmatricen Diag( 1,1,...,1). Bevis. f er differentiabel i 0, og f (tx) df 0 (x) = lim, t 0 t

24 18 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN så vi kan definere en glat homotopi Φ : R n [0,1] R n ved f (tx) Φ(x,t) = t for t ]0,1]. df 0 (x) for t = 0 Da er Φ(x,0) = df 0 (x) og Φ(x,1) = f (x). For at vise, at Φ er glat bemærker vi, at da U er konveks, kan vi ifølge [9], Lemma 2.1, skrive f (x 1,...,x n ) = ni=1 x i g i (x 1,...,x n ) for passende glatte funktioner g i med g i (0) = f (0). Da x i bliver Φ(x,t) = n i=1 x i g i (tx) for alle (x,t), og dette udtryk er tydeligvis glat. Så Φ er en glat homotopi, og vi mangler da blot at vise, at Φ(x,t 0 ) er en diffeomorfi for alle fastholdte t 0 [0,1]. Lad os skrive Φ(x,t 0 ) = Φ t0 (x). Bemærk, at Φ t0 er injektiv: Hvis t 0 (0,1] og Φ t0 (x) = f (t 0x) t = f (t 0y) 0 t = Φ t0 (y), så er f (t 0 0 x) = f (t 0 y) og dermed x = y, da f er en diffeomorfi. Hvis t 0 = 0 er Φ t0 injektiv, fordi det er differentialet af en diffeomorfi. For t 0 = 0 er differentialet d(φ t0 ) x invertibelt for alle x, da det(df 0 ) 0 og df 0 er lineær, så fasthold et t 0 ]0,1]. Da f var en diffeomorfi, giver kædereglen at d(φ t0 ) x = df t0 x 0, så f er glat homotop til df 0 gennem diffeomorfier, og dermed er Φ en isotopi. Der er nu to tilfælde: Enten er f orienteringsbevarende eller -vendende. Hvis den er orienteringsbevarende, er detdf 0 > 0. Da GL + (n,r) er stisammenhængende gennem glatte stier, er df 0 isotop til identiteten. Lad F betegne sammensætningen af disse to isotopier, så F : U [0,1] R n opfylder at F(x,0) = x og F(x,1) = f (x). Omvendt, hvis f er orienteringsvendende, er det(df x ) < 0 for alle x. I så fald kan et symmetrisk argument vise, at f er glat homotop gennem en homotopi F til afbildningen L repræsenteret ved matricen Diag( 1, 1,..., 1), idet GL (n,r) også er stisammenhængende. Bevis for Proposition 2.9. Der er to ting at vise: Dels at indekset for et vektorfelt ikke afhænger af radius ε af koordinatkuglen, og dels at det ikke afhænger af valg af kort. For at starte med det første bemærker vi, at i et kort (U,ϕ) afhænger indekset af et nulpunkt z for vektorfeltet v ikke af radius ε af koordinatkuglen omkring z, da v Bε (ϕ(z)) er homotop gennem glatte afbildninger til v Bε (ϕ(z)) så længe v ikke har andre nulpunkter end z i disse koordinatkugler. Vi kan nemlig definere homotopien F : B ε (ϕ(z)) [0,1] T M ved ( F(x,t) = v tε x x x + (1 t)ε x Da gradafbildningen er invariant under homotopier ifølge Proposition 2.5, ændrer dette ikke graden af nulpunktet z. ).

25 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 19 Lad (U,ϕ), (V,ψ) være to kort omkring z M. Vi kan antage, at at ϕ(u V ) er konveks (ved at skrumpe U og V lidt hvis det er nødvendigt), og at ϕ(z) = ψ(z) = 0, da graden af et vektorfelt ikke ændres af translation. Da er ψ ϕ 1 en diffeomorfi, og der er nu to tilfælde: Enten er ϕ og ψ begge orienteringsbevarende eller -vendende, hvorved ψ ϕ 1 bliver orienteringsbevarende. I så fald er ψ ϕ 1 glat isotop til identiteten gennem en isotopi F : ϕ(u V ) [0,1] R n så F(x,0) = x og F(x,1) = ψ ϕ 1 (x), ifølge Lemma Vektorfelterne v t = df t (dϕ v ϕ 1 ) Ft 1 vil da være forskellige fra 0 på randen af en lille ε-kugle omkring 0 i ψ(u V ), da F t er en diffeomorfi på sit billede for ethvert fastholdt t, således at 0 er det eneste nulpunkt for F t, og v ikke har andre nulpunkter end z i ϕ(u V ). På denne kugle er v 0 = df 0 (dϕ v ϕ 1 ) F0 1 = dϕ v ϕ 1 isotop til v 1 = df 1 (dϕ v ϕ 1 ) F1 1 = d(ψ ϕ 1 ) (dϕ v ϕ 1 ) (ψ ϕ 1 ) 1 = dψ v ψ 1, så graden af v 0, v 1 er ens. Men så er indekset af z i kortet (U,ϕ) lig med indekset af z i kortet (V,ψ). Hvis derimod den ene af ϕ og ψ er orienteringsbevarende, og den anden orienteringsvendende, er ψ ϕ 1 orienteringsvendende, så ψ ϕ 1 er glat homotop gennem en homotopi F til afbildningen L repræsenteret ved matricen Diag( 1,1,...,1). Som før betyder det, at vektorfelterne v t = df t (dϕ v ϕ 1 ) Ft 1 vil være forskellige fra 0 på randen af en lille ε-kugle omkring 0 i ϕ(u V ). På denne kugle er v 0 = df 0 (dϕ v ϕ 1 ) F0 1 = L dϕ v ϕ 1 L isotop til v 1 = df 1 (dϕ v ϕ 1 ) F1 1 = d(ψ ϕ 1 ) (dϕ v ϕ 1 ) (ψ ϕ 1 ) 1 = dψ v ψ 1, så graden af disse to afbildninger er ens. Men graden af et nulpunkt for L dϕ v ϕ 1 L er lig med graden af et nulpunkt for dϕ v ϕ 1, da afbildningen L, som vender orienteringen, optræder to gange i det første vektorfelt. Så indekset af z i kortet (U,ϕ) er lig med indekset af z i kortet (V,ψ) i dette tilfælde også. 2.3 Poincaré-Hopf-sætningen Vi har nu introduceret de begreber, som er nødvendige for at formulere dette kapitels hovedsætning, nemlig Poincaré-Hopf-sætningen. Selve beviset er relativt langt, så vi vil dele det op i nogle små dele. Men før vi når så langt, er der imidlertid lige yderligere nogle definitioner, vi skal bruge: Definition Lad X være et endelig-dimensionalt CW-kompleks. Hvis c λ betegner antallet af λ-celler i X, defineres Eulerkarakteristikken for X som χ(x) = n ( 1) λ c λ. λ=0

26 20 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN Definition Lad M R m være en kompakt n-mangfoldighed med rand, som er indlejret i R m. Da defineres Gaussafbildningen g : M S m 1 til at være den afbildning, der til ethvert punkt på randen M knytter den enhedsnormalvektor, der peger udad. Definition Lad M være en n-dimensional mangfoldighed og v : M T M et glat vektorfelt på M. Vi kalder et nulpunkt z for v ikke-degenereret hvis dv z : T z M T z M er invertibel. Hvis alle nulpunkter for v er ikkedegenererede, siger vi at v er ikke-degenereret. Sætning 2.14 (Poincaré-Hopf-sætningen). Lad M være en n-dimensional mangfoldighed og v : M T M et glat vektorfelt på M. Hvis M har rand vil vi yderligere kræve, at v peger udad på randen. Antag at v kun har isolerede nulpunkter z 1,...,z m. Da er m χ(m) = index(z i ). i=1 Specielt ses det, at summen af indices af nulpunkter for et vektorfelt ikke afhænger af vektorfeltet. Bevis. Beviset kan ses som bestående af fire trin: Først vises, at summen af indices for et ikke-degenereret vektorfelt på en mangfoldighed uden rand, indlejret i R k, ikke afhænger af vektorfeltet. Dernæst findes ét eksempel på et sådan vektorfelt hvis indekssum er lig med Eulerkarakteristikken. Så vises det, at et degenereret vektorfelt kan erstattes af et ikke-degenereret vektorfelt med samme indekssum som det oprindelige, og til sidst udvides resultatet til også at omfatte tilfældet, hvor mangfoldigheden M har en rand. Trin 1: Vi starter altså med at kigge på tilfældet, hvor M ikke har nogen rand, og hvor alle de kritiske punkter er ikke-degenererede. Vi har følgende vigtige lemma: Lemma 2.15 (Hopf). Lad X R k være en kompakt k-mangfoldighed med rand og lad v være et glat vektorfelt på X som kun har isolerede, ikke-degenererede nulpunkter z 1,...,z m. Antag at v peger udaf på X. Da er m index(z i ) = deg g, i=1 hvor g er Gaussafbildningen g : X S k 1. Specielt er indekssummen altså uafhængig af vektorfeltet v.

27 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 21 Bevis. Vi starter med at fjerne en ε-bold omkring hvert nulpunkt, hvor radiussen ε er valgt så lille, at de fjernede bolde er disjunkte. Derved fås en ny kompakt mangfoldighed X med rand X bestående af den oprindelige rand X og en samling sfærer. Bemærk nu, at afbildningen v : X S k 1, x v(x) v(x) er defineret på hele X, så graden af dens restriktion til randen X er 0 ifølge Proposition 2.4. Da er 0 = deg v X = deg v X + deg( v Bε (z i )) z i 0-pkt da graden af v X pr. definition af grad splitter op i en sum af grader på hver af randkomponenterne. Bemærk nu, at hver af de små sfærer B ε (z i ) bliver orienteret som randen af X, og altså får en orientering bestemt en normalvektor, som peger indad i B ε (z i ). Men for at beregne indeks af et nulpunkt z i, skal vi udregne graden af v Bε (z i ) når B ε (z i ) er orienteret som randen af B ε (z i ), og altså har en orientering som er bestemt af en normalvektor, der peger udad i B ε (z i ). Så deg( v Bε (z i )) = index(z i ), da deg( v Bε (z i )) får den forkerte orientering i forhold til at beregne indeks, og dermed får vi, at m m 0 = deg v X = deg v X + deg( v Bε (z i )) = deg v X index(z i ). i=1 Vi er derfor færdige hvis vi kan konkludere, at deg v X = degg. Men da v blev antaget til at pege udad på randen af X, definerer afbildningen Φ : X [0,1] S k 1 defineret ved Φ(x,t) = t v X(x)+(1 t)g(x) en glat homotopi fra t v X (x)+(1 t)g(x) v X til g, idet v X (x) og g(x) begge tilhører det samme halvplan, så nævneren aldrig er 0. Da gradafbildningen var homotopiinvariant ifølge Proposition 2.5, viser dette at deg v X = deg g, hvilket færdiggør beviset. Det kan nu ses, at vi er færdige med trin 1, hvis vi kan reducere vores problem til at handle om et vektorfelt på en k-dimensional mangfoldighed i R k, som peger udad på randen. Før vi foretager denne reduktion, får vi imidlertid lige brug for et lemma mere, som gør det nemmere at beregne indeks af et nulpunkt for et ikke-degenereret vektorfelt: Lemma Lad v : M T M være et glat vektorfelt på en n-mangfoldighed M, og lad z være et isoleret, ikke-degenereret nulpunkt for v. Lad (U,ϕ) være et kort omkring z, og lad v = dϕ v ϕ 1 være vektorfeltet på ϕ(u) som svarer til v. Da er index(z) = 1 hvis determinanten af differentialet dv ϕ(z) (set som en lineær afbildning) er positiv, og index(z) = 1 hvis den er negativ. Bevis. Vi starter med at vælge et kort (U,ϕ) omkring z i M med ϕ(z) = 0 og ϕ(u) = R n. Vi kan vælge dette kort således at dv x 0 og v er injektiv på ϕ(u), hvorved v bliver en diffeomorfi på sit billede. Hvis dv 0 har positiv determinant, så er v isotop til identiteten gennem en glat isotopi som ikke skaber i=1

28 22 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN nye nulpunkter for v, ifølge Lemma I så fald er v (x) v (x) isotop til x x på randen af en ε-kugle omkring 0, og da gradafbildningen er homotopiinvariant ifølge Proposition 2.5, vil indekset af 0 for v være lig med indekset af 0 for id R n. Så på randen af ε-kuglen omkring 0 bliver index(v,z) = deg v Bε (0) v Bε (0) = deg id B ε (0) = 1, ε som ønsket. I tilfældet hvor det(dv 0 ) < 0 giver et lignende argument, at v er homotop til afbildningen (x 1,...,x n ) ( x 1,x 2,...,x n ) på R n repræsenteret ved D = Diag( 1,1,...,1), idet GL (n,r) også er stisammenhængende. I så fald er v (x) v (x) Dx homotop til på randen af en ε-kugle, så indekset af 0 som et nulpunkt for Dx v er lig med graden denne afbildnings restriktion til en lille kugle omkring 0. På randen af den lille ε-bold omkring 0 er som hævdet. index(v,0) = deg v Bε (0) v Bε (0) = deg Dx B ε (0) = 1, ε Enhver glat n-mangfoldighed M kan indlejres i R k for et passende k ifølge Sætning 1.5, så antag nu, at vi har gjort det. Vi vil gerne kunne benytte os af Hopfs Lemma (2.15), men uheldigvis kræver det, at vi arbejder på en kompakt mangfoldighed af samme dimension som det rum, den er indlejret i. Det er der heldigvis råd for: Lad N ε = {y R k x y ε for et x M} være en lukket tubulær omegn af M i R k. Da er N ε en kompakt, glat mangfoldighed med rand, og afbildningen r : N ε M som til ethvert punkt y N ε knytter det nærmeste punkt M, er glat og veldefineret. Denne definition sikrer, at (x r(x)) T r(x) M, for ellers ville r(x) ikke være punktet nærmest x. Tricket er nu at bruge omegnen N ε til at reducere det mere generelle tilfælde til tilfældet i Hops Lemma. Lemma For et vektorfelt v : M T M hvis nulpunkter z 1,...,z m alle er isolerede og ikke-degenererede, er m index(z i ) = deg g, i=1 hvor g er Gaussafbildningen g : N ε S k 1. Specielt afhænger summen ikke af vektorfeltet v. Bevis. Betragt funktionen ϕ(x) = x r(x) 2,

29 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 23 som har gradient gradϕ = 2(x r(x)) dr x (x r(x)) = 2(x r(x)), hvor det sidste led dr x (x r(x)) forsvandt, fordi funktionen r ikke ændrer sig i retningen x r(x). Den udadrettede enhedsnormalvektor i et punkt x N ε er givet ved g(x) = gradϕ x gradϕ x = x r(x). ε Nu vil vi gerne udvide vektorfeltet v til et vektorfelt w, som er defineret på hele N ε og peger udad på randen, se Figur 2.1. Dette kan gøres ved at sætte Figur 2.1: Billede af situationen: Den tykke sorte streg i midten er M, mens tuben udenom er N ε. Vi vil udvide vektorfeltet v på M (markeret med blå) til et vektorfelt w på N ε (markeret med grøn), som peger udad på randen. w(x) = v(r(x)) + x r(x), som tydeligvis stemmer overens med v på M. Da vi desuden har, at g(x) w(x) = ε > 0 for x N ε, må w pege udad på randen N ε, som ønsket. Det ses yderligere, at alle nulpunkterne for w ligger på M, idet v(r(x)) og x r(x) er vinkelrette på hinanden overalt, og derfor begge skal være 0 i samme punkt, hvis w skal have et nulpunkt. Men x r(x) er kun 0 på M hvor v og w er stemmer overens, så w forsvinder kun på nulpunkterne for v. Lad z være sådan et nulpunkt og lad os tjekke, at det er et ikke-degenereret nulpunkt for w. Ved at splitte tangentrummet T z N ε op så T z N ε = T z M T z M, kan vi se at dw z (h) = dv z (h) for h T z M og dw z (h) = h for h T z M. Den første lighed kommer af, at x r(x) ikke ændrer sig i retninger svarende til vektorer i T z M, da x r(x) altid er ortogonal på dette tangentrum. Den anden lighed kommer, fordi v(r(x)) ligger i T M, og r ikke ændrer sig i retningen

30 24 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN bestemt af vektoren x r(x). Men dette betyder at matrixrepræsentationen af dw z i en basis svarende til opsplitningen af T z N ε bliver blokmatricen ( ) idn 0 dw z =, 0 dv z så determinanten af dw z er lig med determinanten af dv z, og dermed er indekset af z det samme med hensyn til begge vektorfelter, ifølge Lemma Men så opfylder w betingelsen i Hopfs Lemma (2.15), så som påstået. m index(v,z i ) = 1=1 m index(w,z i ) = deg g, i=1 Trin 2: Vi er nu klar til at bevise Poincaré-Hopf-sætningen i tilfældet, hvor vores mangfoldighed M ikke har rand, og hvor vektorfeltet v er ikke-degenereret. Lemma Lad v være et ikke-degenereret vektorfelt på en m-mangfoldighed M og antag, at nulpunkterne z 1,...,z m for v er isolerede. Da er m index(z i ) = χ(m). i=1 Bevis. Ifølge Lemma 2.17 er det nok at identificere konstanten deg g med Eulerkarakteristikken for M. Vi skal da blot finde ét vektorfelt på M så summen af indices for nulpunkterne er lig med Eulerkarakteristikken. Bemærk specielt, at dette viser, at summen af indices for et vektorfelt på en mangfoldighed indlejret i R k ikke afhænger af k, som man ellers kunne tro ud fra Lemma 2.17 Lad f : M R være en Morsefunktion på M. Da er gradf et glat vektorfelt på M som kun er 0 i de kritiske punkter for f. Da Hessianten for f skal være invertibel i disse punkter, er nulpunkterne for gradientvektorfeltet ikkedegenererede (og derfor isolerede, jævnfør Bemærkning 1.4). Lad z være et kritisk punkt for f. Ifølge Morses Lemma findes der lokale koordinater (x 1,...,x n ) på en omegn U af z således at f (x 1,...,x n ) = f (z) (x 1 ) 2 (x λ ) 2 + (x λ+1 ) (x n ) 2 på hele U, hvor λ betegner Morseindekset af det kritiske punkt z for f (som ikke bør forveksles med indekset af nulpunktet z for gradf!). Betragt en koordinatkugle B ε (z) U. Vi kan udregne indekset af nulpunktet z som graden af afbildningen v : B ε (z) S k 1, som i de lokale koordinater på U er givet ved v(x) = gradf x gradf x = ( 2x1,..., 2x λ,2x λ+1,...,2x 2 ) 2 (x 1 ) (x n ) 2 = 1 ε ( x1,..., x λ,x λ+1,...,x 2 ),

31 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 25 så matrixrepræsentationen for d v i en basis svarende til disse koordinater er givet ved d v = 1 ε Diag( 1,..., 1,1,...,1), hvor antallet af ( 1)-indgange på diagonalen svarer til Morseindekset λ for f i z. Da determinanten af denne matrix er positiv hvis λ er lige og negativ ellers, vil d v bevare orienteringen hvis λ er lige og vende den ellers, og dermed bliver indekset af z lig med +1 hvis Morseindekset for z er lige, og 1 hvis Morseindekset er ulige. Så hvis C λ er antallet af kritiske punkter for f af Morseindeks λ, bliver summen af indices for vektorfeltet m index(z i ) = i=1 = = z i :Morseindeks for z i lige n λ=0, λ lige C λ n ( 1) λ C λ. λ=0 1 z i :Morseindeks for z i ulige n λ=0, λ ulige Men da M er kompakt, kan M ses som et n-dimensionalt CW-complex med en λ-celle for hvert kritisk punkt af Morseindeks λ, ifølge Sætning 1.9. Så χ(m) = n ( 1) λ C λ = λ=0 m index(z i ) som hævdet. Dette færdiggør beviset i tilfældet hvor v er ikke-degenereret og M ikke har rand. Trin 3: Lemma Lad M være en n-mangfoldighed. Et degenereret vektorfelt v : M T M med indekssum m i=1 index(v,z i ) kan erstattes af et ikke-degenereret vektorfelt ṽ : M T M som har samme indekssum. Bevis. Antag at vektorfeltet v har et degenereret, isoleret nulpunkt z. Vi ønsker at vise, at v kan erstattes med et vektorfelt ṽ som stemmer overens med v uden for en kompakt mængde N og ikke har nogen degenererede nulpunkter inden i N, og at det kan gøres på en sådan måde at indekssummen for det nye og det gamle vektorfelt er ens. Vælg en åben koordinatomegn U af z så U ikke indeholder andre nulpunkter for v. Vælg derefter en åben koordinatkugle B r (z) i U og en endnu mindre lukket koordinatkugle B r (z) B r (z). Vi kan nu konstruere en bump function λ : U [0,1] så λ(x) = 1 på B r (z) og λ(x) = 0 uden for B r (z). Ifølge Sards Sætning findes der et regulært punkt p for v i enhver koordinatkugle i=1 C λ 1

32 26 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN omkring z, da mængden af kritiske punkter er en nulmængde. Vi kan derfor vælge en regulær værdi y så lille, at y < inf r x r{ v (x) }. Vi kan nu definere vores nye vektorfelt til at være det vektorfelt, der svarer til ṽ(x) = v (x) λ(x)y på B r (z). Dette nye vektorfelt vil ikke have nogle nulpunkter i B r (z)\b r (z) på grund af vores valg af y, så de eneste nulpunkter for ṽ i U vil ligge i B r (z). På denne mængde er λ konstant, så nulpunkterne z 1,...,z m for ṽ vil være elementer i v 1 (y), og differentialet af ṽ på B r (z) er dṽ x = dv x. Da y var valgt til at være en regulær værdi for v, vil alle nulpunkterne af vektorfeltet ṽ være ikke-degenererede, og derfor også isolerede. Dermed er vi færdige hvis vi kan vise, at summen af indices for det nye vektorfelt er det samme som for det gamle. Vi fjerner nu små, disjunkte koordinatkugler B ε (z i ) fra B r (z) omkring hvert nulpunkt z i v 1 (y), i = 1,...,m, for at få en mangfoldighed N B r (z) med rand. Da er graden af x ṽ(x) restringeret til N 0, ifølge Proposition 2.4, ṽ(x) hvorved 0 = deg ṽ(x) ṽ(x) N = deg ṽ(x) m ṽ(x) Br (z) index(ṽ,z i ) i=1 = deg v(x) m v(x) Br (z) index(ṽ,z i ) = index(v,z) i=1 m index(ṽ,z i ). i=1 Her dukker det negative fortegn op, fordi hver lille sfære omkring z i bliver orienteret ved hjælp af en indadpegende vektor, mens de skal orienteres ved hjælp af udadpegende vektorer når vi bestemmer graden af nulpunkterne. Men så er indekset af nulpunktet z for det oprindelige vektorfelt lig med summen af indices for nulpunkterne for ṽ i B r (z). Anvendes denne procedure på alle degenererede nulpunkter for v, ender vi med et ikke-degenereret vektorfelt med samme indekssum som det vektorfelt vi startede med. Men ifølge forrige sætning er denne indekssum lig med Eulerkarakteristikken for v, hvilket færdiggør beviset i tilfældet hvor M ikke har nogen rand. Trin 4: Nu mangler vi så blot at tage os af tilfældet hvor M er en mangfoldighed med rand M, og hvor vektorfeltet peger udad på randen. Hvis vi tager to kopier af M, kan vi lime dem sammen langs randen ved at bruge identitetsafbildningen id M : M M for at få en glat mangfoldighed M uden rand med M som en glat delmangfoldighed af kodimension 1, som gennemgået i afsnit 1.1.

33 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 27 Vælg nu en lukket kraveomegn c : M [ 2, 2] M omkring M M så c( M {0}) = M og så c( M ( 2,2)) inddeler M i to dele, som hver især er diffeomorfe til M, og som vi hver især derfor vil identificere med M herefter. Da kan vi skrive M = M M c( M ( 2,2)). Vi ønsker nu at udvide det glatte vektorfelt v på de to kopier af M i M til et glat vektorfelt w defineret på hele M. For at gøre det bemærker vi, at vi kan antage at v(c(x 0,1)) = dc (x0,1)(0, d dt ) på M 1 og at v(c(x 0, 1)) = dc (x0, 1)(0, d dt ) på M 2, da v peger udad og derfor er glat isotop til et vektorfelt med disse egenskaber, se Figur 2.2. Lad F være denne isotopi. Vi kan da bruge isotopien til at udvide v til et vektorfelt u på M\c( M ( 1,1)) med disse egenskaber ved at sætte v(x) hvis x c( M ( 2,2)) u(x) = F(y,t) hvis x = c(y,t) for 1 t 2. Figur 2.2: Definition af det udvidede vektorfelt w: I intervallerne M [ 2, 1] og M [1,2] benytter vi isotopien til at udvide v til en vektorfelt, som opfører sig pænt på M = M {1} = M { 1}. I intervallet M [ 1,1] drejes vektorfeltet nu, således at det stemmer overens med et vektorfelt s på M = M {0}. Lad s : M T M være et glat vektorfelt på M med isolerede nulpunkter. Vi vil da definere det nye vektorfelt på M på følgende måde: Lad ϕ : [ 1,1] [ 1,1] være en glat, monoton bump function som opfylder at ϕ(0) = 0, ϕ (0) = 1 og ϕ(1) = 1, ϕ( 1) = 1. Definer vektorfeltet w på M [ 1,1] ved w(x 0,t 0 ) = ϕ(t 0 ) d dt t0 + (1 ϕ(t 0 ) 2 )s(x 0 ),

34 28 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN og sæt u(x) hvis x c( M [ 1,1]) w(x) = dc (x0,t 0 )( w(x 0,t 0 )) hvis x = c(x 0,t 0 ) Dette vektorfelt er glat, da u(x) blev konstrueret, således at det stemmer overens med dc (x0,±1)( w(x 0,±1)) på c( M { 1,1}). Bemærk at med denne definition vil de eneste nulpunkter for w på kraveomegnen af M M ligge på c( M {0}) og være nulpunkter for s: Da c er en diffeomorfi, kan vi kun have at w(c(x 0,t 0 )) = 0 hvis w(x 0,t 0 ) = 0. Men da d dt t 0 og s(x 0 ) er uafhængige, ligger alle nulpunkter for w på M {0} fordi ϕ er 0 her, så alle nulpunkter for w på c( M ( 1,1)) ligger på c( M {0}). Ifølge den første del af beviset har vi, at χ( M) = index(w, z) z 0-pkt = 2 index(v, z) + index(w, z), z 0-pkt for v z 0-pkt på c(δm [ 1,1]) fordi w = v på de to kopier af M. På den anden side ved vi, at da M bare er to kopier af M limet sammen, er χ( M) = 2χ(M) χ( M). Så vi er færdige hvis vi kan vise, at χ( M) = index(w, z). z 0-pkt på c(δm [ 1,1]) Bemærk at for et punkt c(z,0) M er determinanten af differentialet af w i punktet c(z,0) det samme som differentialet for w i punktet (z,0), da c er en diffeomorfi. Differentialet for w er ( dϕ dw (z,0) = dt (0) 0 (1 ϕ(0) 2 )ds z ) ( ) 1 0 =. ds z Så indekset af nulpunktet z for w er lig med minus indekset af nulpunktet z for s på M. Ifølge det vi har vist tidligere er derfor index(w,z) = index(s, z) = χ( M), z 0-pkt på c(δm [ 1,1]) z 0-pkt på c(δm [ 1,1]) idet s var et glat vektorfelt på M, som er en mangfoldighed uden rand. Men så er χ(m) = m i=1 index(v,z i ) som hævdet. Dette færdiggør endelig beviset for Poincaré-Hopfs Sætning.

35 2.3. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN 29 Bemærkning Hvis M er en glat mangfoldighed uden rand og v blot er et kontinuert vektorfelt på v, holder resultatet stadig: Vi vil vise, at vi kan erstatte v med et glat vektorfelt u som har de samme nulpunkter z 1,...,z m som v med de samme indices, fordi vi i så fald ville kunne bruge Poincaré-Hopfs sætning til at sige, at χ(m) = m i=1 index(v,z i ). Betragt et isoleret nulpunkt p for v og lad S være randen af en lille kugle B med centrum i p og radius 2, som ikke indeholder andre nulpunkter for v. Da v er kontinuert, kan vi homotopere det en lille smule for at få et glat vektorfelt ṽ på S, ifølge [7], Sætning 6.26, og vi kan gøre homotopien så lille, at den ikke introducerer nye nulpunkter. Vi kan bruge denne homotopi, lad os kalde den H : M [0,1] T M, til at definere et vektorfelt u på B ved at sætte v(x) hvis x B H(x, x 1) hvis x [1,2] u(x) = e 1/ x 2 +1ṽ( x ) hvis x (0,1] x 0 hvis x = 0 Dette vektorfelt bliver da kontinuert på hele B, stemmer overens med v på S og er glat på kuglen med centrum p og radius 1. (Glatheden følger af [8], Lemma A.2). Desuden har u et nulpunkt i p, og ikke andre steder i kuglen med radius 2. Da u u B 1 (0) desuden er homotop til v = v v B 1 (0), er graden af nulpunktet p ens for de to vektorfelter v og u. Denne proces kan gentages for alle nulpunkter for v. Vi kan nu bruge [7], Sætning 6.26 igen til at homotopere u til et glat vektorfelt w på M som stemmer overens med u på kuglerne omkring nulpunkterne, og som ikke har andre nulpunkter end v har. Da er w et glat vektorfelt på M med de samme nulpunkter som v, og med samme indices for nulpunkterne. Som korollar til Poincaré-Hopf-sætningen har vi følgende udsagn, som vil vise sig nyttigt i et senere kapitel: Korollar Lad M være en kompakt, glat n-dimensional mangfoldighed uden rand, og lad N M ( 1,1) være en anden kompakt n-mangfoldighed som adskiller M [ 1,1] i to, således at M ( 1,1)\N = U V, hvor M { 1} U og M {1} V. Lad v være et kontinuert vektorfelt på M [ 1,1] som peger indad på M { 1} og udad på M {1}, og som er transverst til N. Antag at v ikke har nogen nulpunkter. Da er χ(n) = χ(m). Bevis. Lad M, N og v være som i formuleringen af korollaret, og lad w være et kontinuert vektorfelt på N, som kun har isolerede nulpunkter z 1,...z m. Vælg en tubulær omegn T af N i M ( 1,1) på formen ϕ(n ( 1,1)) for en glat indlejring ϕ : N ( 1,1) M ( 1,1), og udvid vektorfeltet w til et vektorfelt w på T ved at sætte w(ϕ(x,t)) = dϕ (x,t) (w (x),0). Nu defineres et nyt

36 30 KAPITEL 2. POINCARÉ-HOPF-SÆTNINGEN vektorfelt u på M [ 1, 1] ved v(x) hvis (x,t) V \T u(x) = v(x) hvis (x,t) U\T tv(y) + (1 t 2 )w(y) hvis x = ϕ(y,t). Dette vektorfelt bliver kontinuert og peger udad på randen M { 1,1}, og de eneste nulpunkter for u er nulpunkterne z 1,...,z m N, da v 0 overalt og v(y),w(y) var lineært uafhængige for alle y N\{z 1,...,z m } pr. transversalitet. Men da giver Poincaré-Hopf-sætningen at χ(m [ 1,1]) = m index(u,z i ), (2.1) og da M [ 1, 1] er homotopiækvivalent til M og Eulerkarakteristikken er homotopiinvariant, medfører dette at χ(m) = m i=1 index(u,z i ). På den anden side er u T også et kontinuert vektorfelt med isolerede nulpunkter z 1,...,z m, og vektorfeltet peger udad på T. Så χ(n [ 1,1]) = i=1 m index(u T,z i ) = i=1 m index(u,z i ), og som før betyder dette, at χ(n) = m i=1 index(u,z i ). Sammensættes dette med ligningen fra før, får vi, at χ(m) = χ(n). i=1

37 Kapitel 3 Isotopi af to homeomorfe overflader Dette afsnit har til formål at vise hovedsætningen i Chazal og Cohen-Steiners artikel om isotopisk approksimation af to homeomorfe mangfoldigheder (se [2]), som siger, at givet to homeomorfe overflader X og Y, og Y er indeholdt i en tubulær omegn X på en måde, så siderne af denne omegn bliver adskilt af Y, så er X og Y isotope. Beviset benytter sig imidlertid af en del teknikker fra tredimensional topologi, så vi må hellere starte med at etablere disse resultater. Det første vi skal bruge er nogle meget generelle sætninger om mangfoldigheder, nemlig Jordan-Brouwers Separationssætning samt Schoenflies Sætning i to og tre dimensioner. Den første af disse siger, at en glat indlejret, sammenhængende, kompakt overflade S i R 3 deler R 3 op i to sammenhængskomponenter, mens Schoenflies sætning siger, at en glat cirkel i R 2 er randen af en glat indlejret disk, og at en glat sfære i R 3 er randen af en glat indlejret 3-bold. Derpå går vi videre til at vise nogle lidt mere specifikke resultater om mangfoldigheder, der er diffeomorfe til et produkt af en overflade med et interval. Vi får brug for begreber som irreducibilitet af en 3-mangfoldighed og inkompressibilitet af en 2-mangfoldighed i en 3-mangfoldighed, og vi vil gerne vise, hvornår en 3-mangfoldighed, der er et produkt mellem en overflade og et interval, er irreducibel, og hvornår inkompressible overflader i en sådan mangfoldighed kan isotoperes til at ligge i et konstant niveau. Det meste af forarbejdet til at vise Chazal og Cohen-Steiners resultat vil bygge mere eller mindre løst på [5]. Vi vil flere gange henvise til transversalitetssætningen; denne kan for eksempel findes i [6], Sætning

38 32 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER 3.1 Jordan-Brouwers Separationssætning og en generaliseret Schoenflies Sætning Vi starter altså med at vise Jordan-Brouwers og Schoenflies Sætninger. Disse er meget overordnede sætninger, som begge virker intuitive, men kræver et argument. Sætning 3.1 (Jordan-Brouwers Separationssætning). Lad S være en sammenhængende, glat indlejret (n 1)-mangfoldighed i R n. Så deler S R n op i to dele i den forstand, at R n S består af to sammenhængskomponenter. Bevis. Lad S R n være en glat indlejret (n 1)-mangfoldighed. Da S er glat indlejret i R n, har den en tubulær omegn T = {x R n x y < ε for et y S} S [ 1,1]. For at vise, at R n S har to sammenhængskomponenter, ønsker vi at vise, at H 0 (R n S) = Z 2, da resultatet så følger af [4], Proposition 2.7. Ved at anvende excision på de tre rum S T R 3 fås en isomorfi H k (R n S,T S) H k (R n,t ) for alle k. Vi betragter nu følgende lange eksakte følge på reduceret homologi: H 1 (R n ) H 1 (R n,t ) H 0 (T ) H 0 (R n ) H 0 (R n,t ) 0. Da R n er kontraktibel, er H k (R n ) = 0 for alle n, og da T er sammenhængende, er H 0 (T ) = 0. Så den lange eksakte følge bliver 0 H 1 (R n,t ) 0 0 H 0 (R n,t ) 0, hvoraf vi kan konkludere, at H i (R n,t ) = H i (R n,t ) = 0 for i = 0,1, og dermed at H i (R n S,T S) = 0 for i = 0,1. Vi kan nu betragte en anden lang eksakt følge, nemlig H 1 (R n S,T S) H 0 (T S) H 0 (R n S) H 0 (R n S,T S) 0. Da S splitter T = S [ 1,1] S {0} = S i to, er H 0 (T S) = Z 2. Indsætter vi nu H i (R n S,T S) = 0 for i = 0,1 og H 0 (T S) Z 2 i den lange eksakte følge fra før, får vi =0 =Z 2 { }} {{ }} {{ }} { H 1 (R n S,T S) H 0 (T S) i H 0 (R n S) j H 0 (R n S,T S) 0, hvoraf det ses, at vi får en isomorfi H 0 (R n S) Z 2. Så R n S har to sammenhængskomponenter. Korollar 3.2. Lad f : S n 1 S n være en indlejring. Så splitter f (S n 1 ) kuglen S n op i to sammenhængskomponenter. =0

39 3.1. JORDAN-BROUWERS SEPARATIONSSÆTNING OG EN GENERALISERET SCHOENFLIES SÆTNING 33 Bevis. Da f ikke kan være surjektiv, findes et punkt p og en åben mængde U så p U S n \f (S n 1 ). Fjernes punktet p fra S n, bliver S n \{p} diffeomorf til R n via stereografisk projektion ϕ : S n \{p} R n. Men så er ϕ f : S n 1 R n en glat indlejring af en cirkel i R n, så ifølge Jordan-Brouwers Separationssætning består R n \(ϕ f (S n 1 )) af to sammenhængskomponenter. Da ϕ var en diffeomorfi, betyder dette, at S n \({p} f (S n 1 )) ligeledes består af to sammenhængskomponenter A og B. Den ene af disse, lad os sige A, må indeholde U\{p}. Så må U A være sammenhængende, da den er stisammenhængende. Men så er S n \f (S n 1 ) = B (A U), altså en disjunkt forening af to ikketomme, åbne, sammenhængende mængder, og derfor har S n \f (S n 1 ) to sammenhængskomponenter. Før vi vender os mod Schoenflies sætning, har vi brug for lidt mere baggrundsstof. Følgende definition vil blive benyttet mange gange i dette kapitel: Definition 3.3. Med kirurgi på en 2-mangfoldighed mener vi følgende: Start med en 2-mangfoldighed M indlejret i en 3-dimensional mangfoldighed X, og lad D X være en 2-disk i X med D M. Vi opererer da på M ved at fjerne en åben tubulær omegn af D i M, således at vi opnår en mangfoldighed M X med to randkomponenter diffeomorfe til D. Herefter klistrer vi en disk diffeomorf til D på hver af randkomponenterne i M. Selvom det umiddelbart ikke ser ud til, at kirurgi på en mangfoldighed giver en ny, glat mangfoldighed, så kan vi sikre os, at dette er tilfældet ved at lime diskene på som beskrevet i Kapitel 1. Det er muligt at operere på en 2-mangfoldighed blot ved hjælp af en indlejring f : S 1 M af en cirkel, da vi kan klistre en disk på M så snart vi har en diffeomorfi fra randen af M til randen af en disk - det viste vi afsnit 1.1. Men hvis vi vil sikre os, at den resulterende mangfoldighed stadig er indlejret i X, er vi nødt til at operere langs randen af en indlejret disk i X. Sætning 3.4 (Isotopiudvidelsessætningen). Lad N M være en kompakt delmangfoldighed af en mangfoldighed M, og lad F : N [0,1] M være en isotopi af N i M således at F(N [0,1]) M\ M eller F(N [0,1]) M. Da findes en ambient isotopi G : M [0,1] M så G(x,t) = F(x,t) for x N. Bevis. Vi vil ikke vise sætningen i alle detaljer, men blot skitsere et bevis. Er man interesseret i det fulde bevis, kan man med fordel læse i [6], side Vi starter med at diskutere en generel egenskab for isotopier: For en isotopi F : N [0,1] M vil vi med banen for F mene indlejringen ˆF : N [0,1] M [0,1] givet ved ˆF(x,t) = (F(x,t),t). Hvis M = N og F er en ambient isotopi, er ˆF endda en diffeomorfi, som bevarer andenkoordinaten. Hvert punkt i M [0,1] ligger i så fald på præcis en af kurverne ˆF({x} [0,1]) for x M. Vi kan nu definere et vektorfelt X på M I ved til ethvert punkt (x,t) M [0,1] at knytte tangentvektoren til den kurve ˆF({x } [0,1]), som løber gennem (x, t). Den vertikale del af dette tangentvektorfelt vil altid have længde

40 34 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER 1, så vektorfeltet er forskelligt fra 0 alle steder. Isotopien F som vi startede med kan i øvrigt fås fra X ved hjælp af flowet af X anvendt på M {0}. Der findes nu en funktion H : M [0,1] T M så X (x,t) = (H(x,t),1) T M R = T (M [0,1]). Denne funktion H definerer altså et tidsafhængigt vektorfelt på M i den forstand at H et vektorfelt, som afhænger af en parameter t [0,1] foruden en parameter x M). Ideen i beviset for isotopiudvidelsessætningen er at gå den anden vej og konstruere et tidsafhængigt vektorfelt, som genererer en ambient isotopi. Det er imidlertid ikke alle tidsafhængige vektorfelter, som giver anledning til en isotopi; men antag at M [0,1] har en fuldstændig Riemannsk metrik og et tidsafhængigt vektorfelt således at det tidsafhængige vektorfelt X opfylder at X(x, t) < K for en konstant K og for alle (x, t) M [0, 1]. Et sådant vektorfelt vil vi sige har begrænset hastighed. Da genererer X en entydig ambient isotopi af M i den forstand at der findes en ambient isotopi F : M [0,1] M således at F(x,t) = X(F(x,t),t), altså at den t-afledte i et punkt (x,t) M [0,1] netop t er vektorfeltet X taget i ˆF(x,t). Det viser sig at et tidsafhængigt vektorfelt på en kompakt mangfoldighed altid har begrænset hastighed. Derefter følger beviset for isotopiudvidelsessætningen ved at udvide det vektorfelt, som ˆF(N [0,1]) genererer på M [0,1], til et glat vektorfelt på hele M [0,1]. Dette vektorfelt genererer da en entydig ambient isotopi, som restringeret til N giver os den isotopi, vi startede med. Vi bevæger os nu videre til Schoenflies sætninger. Vi formulerer og beviser sætningen i både to og tre dimensioner, da teknikkerne til tider er lidt forskellige, men vi tillader os dog i det sidste bevis at gå lidt mere løseligt hen over nogle af de detaljer, som er blevet forklaret i det 2-dimensionale tilfælde. Sætning 3.5 (Schoenflies Sætning i 2 dimensioner). Enhver indlejret cirkel i R 2 er randen af en indlejret disk. Bevis. Lad S være en indlejret cirkel i planen, og lad h : R 2 R være højdefunktionen på R 2, som til ethvert punkt i R 2 knytter y-koordinaten i punktet. Ved at homotopere h en lille smule om nødvendigt kan vi sikre os, at h er en Morsefunktion på S, jævnfør Bemærkning 1.7, og en sådan homotopi svarer til en lille homotopi af S. Hvis homotopien er tilstrækkeligt lille (og det kan vi sørge for at den er), vil denne homotopi af S faktisk være en isotopi, se [6], Sætning Med en yderligere isotopi af S kan vi desuden sikre os, at alle de kritiske værdier for h er forskellige, jævnfør Bemærkning 1.7. Lad a 1 < < a n betegne disse værdier, og vælg tal b 1,...,b n 1 således at a 1 < b 1 < a 2 < < b n 1 < a n. Vi foretager nu 2-dimensional kirurgi på S på følgende måde: Betragt et niveau H = h 1 ({b i }). Da består H S af en samling punkter. Antallet af punkter må være lige, for følger vi linjen H fra venstre mod højre, må vi starte

41 3.1. JORDAN-BROUWERS SEPARATIONSSÆTNING OG EN GENERALISERET SCHOENFLIES SÆTNING 35 i den ydre komponent af S c, bevæge os ind i den indre så snart vi passerer det første punkt i S H og på den måde fortsætte med at bevæge os fra den ydre til den indre komponent af S c eller omvendt for hver gang vi passerer et punkt S H (da ingen af punkterne i S H er kritiske). Da vi skal ende i den ydre komponent igen, må der være et lige antal punkter. Vi kan parre disse punkter to og to ved at parre de to længst til venstre, dernæst parre de næste to og så videre. Lad x,y være et af disse par. Så er x,y endepunkter for et interval I i H. Vi opererer nu på S ved at fjerne en lille omegn af punkterne x,y i H S fra S og dernæst lime to kopier af intervallet I på de randpunkter, vi derved opnår. Denne proces kan nu gentages på det næste par og så videre, og efter gentagen kirurgi på S vil vi da ende med, at h 1 ( n 1 i=1 {b i}) S =. Vi får dermed brudt S op i en række små komponenter S j, som hver især højst kan indeholde ét kritisk punkt, se Figur 3.1. Figur 3.1: Opskæring af en cirkel S i komponenter, som hver indeholder højst ét kritisk punkt. De kritiske punkter er markeret med rødt. Vi hævder nu, at S j er isotop til en af de tre figurer i Figur 3.2 (eller deres vandrette spejlinger). Figur 3.2: De tre byggeklodser, som S j kan være isotop til. Antag for eksempel at en komponent S j h 1 ([b i,b i+1 ]) indeholder et kritisk punkt p af indeks 0. Da ligger p på et buestykke α med endepunkter x,y i h 1 ({b i+1 }), da p er et lokalt minimum, og er det eneste kritiske punkt i S j. Bemærk, at p har en omegn N h 1 ([a δ,a + δ]) (for et lille δ > 0), i hvilken buestykket α gennem p er isotop til en standard halvcirkel. α må

42 36 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER nemlig møde hvert niveau H i præcis to punkter, så vi kan skubbe det venstre punkt i α H til det venstre punkt i en halvsfære, og ligeledes med det højre punkt, se Figur 3.3. Ved at gange denne isotopi med en bump function som er 1 på N og 0 uden for en omegn N, som er en smule større end N, kan vi udvide denne isotopi, således at vi får en isotopi af hele S j, som fastholder S j uden for N og så S j ligner en standardsfære i N. Bemærk, at vi er nødt til at vælge S j tilstrækkeligt lille til, at N kun indeholder et buestykke omkring p, og ikke andre komponenter af S j. Figur 3.3: En omegn af et kritisk punkt p kan isotoperes til en halvcirkel ved at skubbe den venstre halvdel af buestykket, som p ligger på, ud til den venstre halvdel af en halvsfære med p som bundpunkt, og den højre halvdel af buestykket ud til den højre halvdel af en halvsfære. Øverst er skitseret, hvordan den udvidede isotopi i N kommer til at se ud. Der er nu to tilfælde: Enten er de to endepunkter for α forbundet af et af de intervalstykker, vi satte ind under kirurgien, eller også er de ikke. Hvis α s endepunkter x,y er forbundne af et interval I, består S j kun af α I, og vi kan nu først se bort fra I og så isotopere S j til N langs gradientvektorfeltet for h. Denne isotopi kan udvides til hele S j på følgende måde: Lad T være en tubulær omegn af S j \I = S j i den del af R2, S j omkranser, og lad A betegne den del af den indre komponent af Sj c, som ikke ligger i T. Vi kan nu udvide gradientvektorfeltet for h på S j til et vektorfelt på hele hele S j og den mængde, S j omkranser, ved at definere et vektorfelt på S j A T som er gradientvektorfeltet for h på A og ved hjælp af en bump function på T glattes ud til at blive gradientvektorfeltet for h på S j, se Figur 3.4. Vi kan da udvide isotopien på S j til en isotopi af hele S j ved at lade hele S j følge dette vektorfelt ind i N. Dermed bliver S j isotop til en halvcirkel hvis endepunkter er forbundet med et interval, altså den tredje figur i Figur 3.2. Hvis x,y ikke er forbundne af et interval, må x og y være forbundet med hhv. et x og et y i samme niveau som x, y, se Figur 3.5. Punkterne x,y må ligeledes ligge på linjestykker i S j = S j S, og disse linjestykker må

43 3.1. JORDAN-BROUWERS SEPARATIONSSÆTNING OG EN GENERALISERET SCHOENFLIES SÆTNING 37 Figur 3.4: Højdefunktionens gradientvektorfelt på S j (grønt) udvides til et glat vektorfelt på hele den begrænsede komponent af Sj c ved at definere vektorfeltet til at være det lodrette enhedsvektorfelt (rød) uden for en tubulær omegn T, og så udglatte vektorfeltet i T (blå) ved hjælp af en bump function. have endepunkter x, y i bundniveauet h 1 ({b i }) af S j, for hvis de havde endepunkter i samme niveau som x,y, ville linjestykkerne indeholde et lokalt minimum - i modstrid med antagelsen om, at der kun er ét kritisk punkt i S j. Endelig må x og y være forbundet, hvis S j skal være en 1-mangfoldighed uden rand. Altså er S j foreningen af et buestykke og fem linjestykker, som omkranser dette buestykke. Figur 3.5: Et kritisk punkt p af indeks 0 ligger på et buestykke med endepunkter x,y. Hvis disse to ikke er forbundet af et interval, S j se ud som på tegningen til venstre. Vi kan da isotopere S j i en omegn h 1 ([a i δ,a i + δ]) af p, således at S j ligner en halvsfære nær p og er lodret på de øvrige komponenter af S j i denne omegn, se figuren til højre. Vi kan nu isotopere S j til (en vandret spejling af) den første figur i Figur 3.2: Isotoper først en omegn N af p i h 1 ([a i δ,a i + δ]) h 1 ([b i 1,b i ]) til en standardomegn (dvs. en halvcirkel) som før, og udvid denne isotopi til en isotopi af hele S j, som fastholder S j uden for en omegn N. Dernæst kan linjestykkerne mellem x og x, og mellem y og y, isotoperes til at være lodrette i h 1 ([a i δ,a i + δ]) for et passende lille δ, og igen kan denne isotopi udvides til at være en isotopi af hele S j, som fastholder N S j. Og endelig kan S j skubbes ind i h 1 ([a i δ,a i + δ]) langs gradientvektorfeltet for h (ved a udvide gradientvektorfeltet på samme måde som skitseret før, således at de

44 38 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER påklistrede intervaller også isotoperes ind i h 1 ([a i δ,a i + δ])). Dermed bliver S j isotop til den første figur i Figur 3.2, som hævdet. Hvis S j har et kritisk punkt af indeks 1, er fremgangsmåden præcis ligesom for kritiske punkter af indeks 0, og hvis S j intet kritisk punkt har, kan man med de samme teknikker vise, at S j er isotop til en firkant. Så hver komponent S j er isotop til en af figurerne i Figur 3.2. Hver af disse figurer er randen af en indlejret disk: Betragt eksempelvis den første figur. Dens indre komponent kan fås fra en disk ved først at gøre disken lang og flad, og derpå udvide disken i siderne, se Figur 3.6. Figur 3.6: Den første byggeklods er randen af en indlejret disk: Vi kan nemlig tage en standarddisk og trække den lang og tynd, og derpå skubbe den tykkere i siderne igen, indtil vi har isotoperet den til det indre af byggeklodsen. Bemærk, at de skarpe hjørner på tegningen i virkeligheden er glatte, da de øvre og nedre intervaller blev klistret på, så vi fik en glat mangfoldighed. Vi er derfor færdige hvis vi kan vise, at ved at gå baglæns i kirurgiprocessen fås også en mangfoldighed, som omkranser en disk. Dette svarer til at vise, at hvis to figurer begge er randen af diske, og vi klistrer dem sammen langs randen af intervaller i deres rande, opnår vi en ny 1-mangfoldighed, som ligeledes er randen af en indlejret disk. Bemærk at vi altid klistrer to byggeklodser sammen langs ét interval: Den eneste byggeklods, som indeholder to intervaller i samme højdeniveau, er den første i Figur 3.2. Så den eneste måde, hvor to figurer ville kunne limes sammen langs mere end ét interval er, hvis denne figur blev limet på én sammenhængskonponent. Men i så fald ville S ikke være sammenhængende. Vi vil formulere det resultat, vi har brug for, som et lemma: Lemma 3.6. Lad M være en n-mangfoldighed i R n med rand og D n 1 en indlejret disk i M. Lad D n 1 være en disk i randen af standard-n-bolden D n og lad N være overfladen, som fås ved at identificere diskene D n 1 og D n 1. Da er N diffeomorf til M. Bevis. Da to indlejrede diske i en mangfoldighed er isotope (Se [1], Korollar 35), er disken D n 1 i D n isotop til den ene halvsfære i D n, og ved hjælp af isotopiudvidelsessætningen kan vi sikre os, at ( D n 1, D n ) er isotop til standardn-sfæren med D n 1 som den ene halvsfære. Vi kan da lave en isotopi af N til M ved at skubbe D n \ D n 1 på tværs af D n til D n 1. Ved hjælp af isotopiudvidelse kan denne isotopi udvides til en isotopi på hele N som

45 3.1. JORDAN-BROUWERS SEPARATIONSSÆTNING OG EN GENERALISERET SCHOENFLIES SÆTNING 39 isotoperer N og M til den samme overflade, så M og N er isotope og derfor diffeomorfe. I vores opsætning betyder dette lemma, at når vi går baglæns i kirurgien ved at sætte komponenter sammen langs intervaller, så opnår vi igen noget, hvis indre er diffeomorf til en 2-disk. Dette viser Schoenflies Sætning i 2 dimensioner. Sætning 3.7 (Schoenflies Sætning i 3 dimensioner). Enhver indlejret 2-sfære S i R 3 er randen af en indlejret 3-bold B. Bevis. Ideen i dette bevis ligner meget ideen fra det 2-dimensionale tilfælde, men som sædvanlig er alting lidt mere kompliceret i 3 dimensioner, så vi gennemgår beviset alligevel: Lad S være en overflade indlejret i R 3 og h : R 3 R være højdefunktionen på R 3, som til ethvert punkt p R 3 knytter z-koordinaten i det punkt. Ved at homotopere h en smule om nødvendigt, kan vi sikre os, at restriktionen af h til S bliver en Morsefunktion. Denne homtopi fører til en homotopi af S, som, hvis ellers homotopien er lille nok, vil være en isotopi, igen ifølge [6], Sætning Lad a 1,...,a k være de kritiske værdier af h. Vi kan antage ved at isotopere S en lille smule om nødvendigt, at disse alle er forskellige, så a 1 < < a k. Lad nu b 1,...,b n 1 være reelle tal så a 1 < b 1 < a 2 < < a n 1 < b n 1 < a n. For alle i er h 1 ({b i }) da en delmangfoldighed af dimension 1, det vil sige en samling cirkler. Disse cirkler omkranser diske i niveaufladen H = h 1 ({b i }) ifølge den tilsvarende sætning i 2 dimensioner. Vælg en inderste af disse cirkler, og lad D betegne den disk, som denne cirkel omkranser. Vi opererer nu på S langs disken D og ved hjælp af en tubulær omegn h 1 ([b i ε,b i + ε]) for et passende lille ε > 0, hvorved vi opnår en ny overflade S, som skærer H i færre cirkler end S gjorde. Hvis S stadig skærer h 1 (b i ), opererer vi igen, idet vi altid opererer langs den inderste cirkel først først, og vælger en mindre tubulær omegn til kirurgi på de efterfølgende cirkler, således at enhver ny disk, som vi tilføjer under kirurgi, kun skærer den tidligere flade langs randen. Denne kirurgiproces kan nu gentages, indtil vi har splittet S op i en række sammenhængskomponenter S j, som alle snitter tomt med niveaufladerne h 1 ({b i }), og som hver især indeholder højst ét kritisk punkt for h, se Figur 3.7. Hver komponent S j består dermed af en del S j, som også var indeholdt i den oprindelige sfære S, samt en samling vandrette diske. Vi hævder nu, at hver S j er isotop til en af de fire figurer i Figur 3.8 eller deres spejlinger. Antag for eksempel at S j har et kritisk punkt af indeks 1. Inspireret af det 2-dimensionelle tilfælde bemærker vi, at vi kan isotopere en omegn N af det kritiske punkt, så S j ligner en standardsaddel omkring p. Dette kan gøres ved at isotopere hver niveaukurve af S j i S til standardpositionen af den niveaukurve, analogt til hvad vi gjorde i 2 dimensioner. Ved at udvide denne

46 40 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER Figur 3.7: Fremgangsmåden i beviset: Vi starter med at betragte en overflade på hvilken højdefunktionen er en Morsefunktion, se figuren til venstre. Her er nogle af de kritiske punkter angivet med grønne prikker (for klarheds skyld er de ikke alle markeret). Dernæst snitter vi overfladen med en række vandrette planer, én plan mellem hver kritisk værdi, se figuren i midten. Overfladen vil skære disse planer i en samling cirkler, som hver især er randen af en disk. Vi opererer nu på overfladen langs disse diske, idet vi starter med den inderste disk, og sørger for at hver ny disk kun skærer den tidligere overflade langs randen, se figuren til venstre. Bemærk, at det tredjeøverste stykke dermed kommer til at bestå af to sammenhængskomponenter. Figur 3.8: De fire byggeklodser, som S j -komponenterne kan være isotope til. De to bundcirkler i den sidste figur skal forestille ikke at ligge i samme plan; den inderste skal ligge lidt højere end den yderste. isotopi til en lidt større omegn N kan vi sikre os, at vi får en isotopi af hele S j, som er identiteten uden for N og som skaber en standardomegn omkring p. Uden for den lille omegn N af det kritiske punkt er S j da ikke vandret, så vi kan vælge et lille δ > 0 og isotopere f 1 ([a δ,a + δ])\n til at være vertikal. Denne isotopi kan også udvides til en isotopi af hele S j, som ikke ændrer på S j i N. Vi kan nu som før isotopere S j ved at skubbe S j til f 1 ([a δ,a + δ]) langs gradientvektorfeltet for h. Derved bliver S j isotop til en overflade, som er vertikal undtagen i en lille omegn af det kritiske punkt, hvor S j ligner en standardsaddel. Det kan vises, at en sådan omegn af en saddel har tre randkurver. Der ligger mindst én randkurve i nærheden af niveauet f (p) = a δ og mindst en nær f (p) = a + δ, så antag at to af randkurverne ligger i planet f (p) = a + δ. Der er da to muligheder for disse to cirkler: Enten ligger de inden i hinanden, eller også gør de ikke. Set fra oven kommer S j dermed til at se ud som et af tilfældene på Figur 3.9. Ifølge den to-dimensionale version af Schoenflies Sætning omkranser

47 3.1. JORDAN-BROUWERS SEPARATIONSSÆTNING OG EN GENERALISERET SCHOENFLIES SÆTNING 41 Figur 3.9: En komponent S j med et kritisk punkt af indeks 1, set ovenfra efter isotopering. De to øverste randcirkler ligger enten uden for hinanden, som til venstre, eller inden i hinanden, som til højre. I begge tilfælde er de to cirkler forbundet gennem med et håndtag bestående af en omegn af en bue, der forbinder de to cirkler og går gennem det kritiske punkt. Dette håndtag er markeret med blåt. begge disse cirkler diske i deres niveauplan, så de kan derfor isotoperes til standarddiskene i én af modellerne (den tredje model hvis cirklerne ikke ligger inden i hinanden og den fjerde model hvis de ligger inden i hinanden), ifølge [1], lemma 35. Denne isotopi kan derefter udvides til hele S j med isotopiudvidelsessætningen, og det kan endda gøres på en sådan måde, at isotopien ikke ændrer på S j i omegnen N. Dermed kan hele S j isotoperes til enten den tredje eller fjerde model i Figur 3.8, afhængigt af om de to randcirkler, som ligger i det samme plan, ligger inden i hinanden eller ej. Da S var en sfære, vil enhver cirkel i S splitte S op i to komponenter, ifølge korollaret til Jordan-Brouwers Separationssætning (Korollar 3.2), og ifølge den todimensionale version af Schoenflies sætning er disse to komponenter begge diske. Dermed skæres S op i to sfærer ved kirurgi, så gentagen kirurgi på S giver os en hel samling af sfærer. Hver af disse sfærer er isotope til en af modellerne i 3.8, så er dermed randen af indlejrede kugler. Dette følger på nogenlunde samme måde som det tilsvarende bevis i 2 dimensioner: For eksempel kan man overbevise sig om, at den sidste figur i Figur 3.8 er randen af en solid bold ved at tage en solid bold, trykke den flad, og så gøre den tyk igen i siderne, analogt til det vi gjorde i 2 dimensioner. Vi vil nu gå baglæns i kirurgiprocessen, således at vi starter med en samling sfærer, der er randen af en samling bolde. Hvis to sådanne sfærer A og B blev skabt ved kirurgi på en tidligere sfære C med en kirurgidisk D, kan vi gå baglæns i kirurgiprocessen ved at lade det ε, vi brugte i kirurgien, gå mod 0 (altså ved at gøre den tubulære omegn af D, som vi fjerner, mindre og mindre). Der er da to muligheder for de to kugler A og B, som har A og B som rand: Enten ligger den ene sfære inden i den anden, eller også gør den ikke. Hvis A B, vil den begrænsede komponent af ( C) c være C = B\A. Hvis derimod A B = D, vil tilsvarende den begrænsede komponent af ( C) c være

48 42 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER C = B A, se Figur 3.10 Figur 3.10: De to muligheder for to bolde, som er resultatet af kirurgi. Enten er A B som øverst, eller også er A B =, som nederst. Det betyder, at hvis C = B\A, er B lig med C med kuglen A klistret på langs kirurgidisken D, altså B = C A. Men så siger Lemma 3.6, at da A er en kugle, er C diffeomorf til C A = B, og da B var en kugle, giver det at C er diffeomorf til en kugle, som ønsket. Hvis C = A B giver lemmaet os ligeledes direkte, at C er diffeomorf til A, som var en kugle. Så C er også selv en kugle i dette tilfælde, hvilket færdiggør beviset for Schoenflies Sætning i 3 dimensioner. 3.2 Nogle basale topologiske resultater om 3-mangfoldigheder Vi vil nu kigge på nogle egenskaber, der gælder mere specifikt for mangfoldigheder, der er isomorfe til et produkt af en overflade med et interval. De to egenskaber, vi vil studere, er irreducibilitet og inkompressibilitet, så dem må vi hellere lige definere: Definition 3.8. Lad M være en glat 3-mangfoldighed. M kaldes irreducibel, hvis enhver indlejret 2-sfære i M omkranser en solid indlejret kugle i M. Definition 3.9. Lad M være en 3-mangfoldighed. Lad S være en overflade i M, som ikke er en 2-sfære. Da kaldes S inkompressibel hvis der for enhver indlejret disk D M med S D = D findes en indlejret disk D S så D = D, se Figur Disken D kaldes en kompressionsdisk, uanset om der findes en disk D S som opfylder betingelsen. Definition Vi vil i de følgende beviser bruge ordet produktomegn (af et produkt N I i en en produktmangfoldighed M I) for en omegn af N I på

49 3.2. NOGLE BASALE TOPOLOGISKE RESULTATER OM 3-MANGFOLDIGHEDER 43 Figur 3.11: Illustration af defintion 3.9: Overfladen S (hvid) er indlejret i en 3- mangfoldighed M, som vi forestiller os er det omgivende rum på figuren. Kompressionsdisken D deler rand med en disk D i S, men det ikke tilfældet med kompressionsdisken D. Så i dette tilfælde er S kompressibel i M. formen U I, hvor U er en omegn af N. Vi vil bruge udtrykket vandret om en delmangfoldighed X i en produktmangfoldighed M I, som opfylder at X M {t} for et t I. Vil vil undertiden bruge ordet fiber om mængder på formen {x 0 } I for et x 0 M. Det første vi er interesserede i er, hvornår en produktmangfoldighed er irreducibel. Det viser sig at være forholdsvis enkelt at afgøre. Der gælder nemlig følgende: Sætning Lad S være en kompakt, sammenhængende overflade som ikke er S 2, I = [0,1] og M = S I. Da er M irreducibel. Bemærkning Bemærk af S 2 I oplagt er reducibel, så denne sætning medfører faktisk, at et produkt M = S I er irreducibelt hvis og kun hvis S S 2. Bevis for Sætning Antag at M er reducibel, og lad X være en indlejret sfære i M, som ikke er randen af en kugle i M. Vi ønsker at vise, at vi kan finde en sfære som er isotop til S. Lad C være fiber C = {x 0 } I i M, for et x 0 S. Med transversalitetssætningen kan vi antage, at C skærer X transverst - faktisk kan vi antage, at X er vandret i en lille produktomegn af C. Lad M 0 være den overflade der fås fra M ved at fjerne den lille produktomegn af C fra M. Da bliver M 0 = S 0 I, hvor S 0 er S med en lille omegn af x 0 fjernet. S 0 er da en kompakt, sammenhængende overflade med rand, og vi kan finde en samling kurvestykker A 0 i S 0, som skærer S 0 op til en disk S 1. Lad A = A 0 I. Da er A en samling rektangler i M, og vi kan antage, at X er transvers til A. Snittet X A består nu af en samling cirkler og buestykker. Hvis X snitter A i en cirkel, kan vi vælge en inderste sådan cirkel, og denne cirkel vil da omkranse en disk i A, ifølge Schoenflies Sætning i 2 dimensioner. Vi kan bruge denne disk til at operere på X i M. Da X var en sfære, giver denne operation os to nye sfærer, som ikke begge kan være randen af en solid bold i M, da den oprindelige X da også ville være randen af en solid bold, ifølge Lemma 3.6. Så den ene af de nye sfærer er ikke randen af en kugle i M og

50 44 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER skærer A i færre komponenter end X gjorde, så vi kan erstatte X med denne kugle. Denne proces kan fortsættes på den nye kugle indtil vi har erstattet X med en kugle, som ikke skærer A i cirkler, og som ikke er randen af en indlejret bold i M. Vi kan derfor antage, at X kun skærer A i buestykker. Et sådant buestykke β kan ikke have endepunkter i A 0 {0,1}, da X ikke har rand. Hvis β har begge endepunkter i samme randkomponent {x 1 } I af A og er det inderste buestykke der har det, skærer β en disk D væk fra A (det skyldes, at β og en del af A udgør randen af en stykvis glat indlejret cirkel, og en sådan kan med en arbitrært lille homotopi gøres glat, hvorved Schoenflies Sætning siger os, at den omkranser en disk). Vi kan nu eliminere β fra A X ved at skubbe β på tværs af disken D og endda forbi fiberen C, hvorved komponenter af X C elimineres, se Figur Denne isotopi kan udvides i en lille produktomegn af A C til en isotopi af hele X til en sfære, der skærer C i færre komponenter. Figur 3.12: Når X A er en kurve β med begge randpunkter på samme side af A som på billedet til venstre, kan X isotoperes gennem den disk, som β skærer fra A, og videre gennem fiberen C, således at S får færre skæringspunkter med C, som på billedet til højre Igen kan denne strategi gentages for alle buestykker med endepunkter i samme randkomponent af A, så vi kan også antage, at X ikke skærer A i sådanne buestykker. Dermed er alle komponenterne i X A nu buestykker med endepunkterne i to forskellige randkomponenter af A. Disse buestykker må have endepunkter i samme niveau M {t} af produktet: Betragt nemlig en rektangel A i A med lodrette rande {x 0 } I,{x 1 } I. For hvert punkt p = (x,t) i X ({x 0 } I) findes et punkt q = (y,t) i X ({x 1 } I) i samme niveau som p, idet både {x 0 } I og {x 1 } I støder op til den lille omegn af C hvor X var vandret. Specielt ligger de øverste punkter i X ({x 0 } I) og X ({x 1 } I) da i samme niveau. Da X A bestod af buestykker med ét endepunkt i hver af {x 0 } I og {x 1 } I, må punkterne i X ({x 0 } I) være forbundet med punkter i X ({x 1 } I). I så fald må de øverste to punkter p X ({x 0 } I),

51 3.2. NOGLE BASALE TOPOLOGISKE RESULTATER OM 3-MANGFOLDIGHEDER 45 q X ({x 1 } I) være forbundet med et buestykke, da to buestykker ellers ville skulle krydse hinanden, hvilket er umuligt. Med samme argumentation ville de to næstøverste punkter i X ({x 0 } I) og X ({x 1 } I) også skulle forbindes og så videre, så alle buestykker i X A (og dermed i X A) må have endepunkter i samme niveau. Vi kan nu antage at disse er vandrette: Start med det øverste buestykke α i en af A s komponenter. Da må α s endepunkter a,b ligge i samme niveau, da A s randkomponenter også var randkomponenter til en lille omegn af C, og X var vandret her. Betragt en ret linje l mellem a og b, se Figur Vi kan antage, at l og α skærer hinanden transverst. Da udgør α og l tilsammen en samling stykvist glat indlejrede cirkler, som hver især må omkranse diske (da en lille isotopi af disse cirkler gør dem glatte, hvorpå vi kan benytte Schoenflies Sætning i 2 dimensioner). Vi kan nu isotopere α til l ved at skubbe α på tværs af disse diske. Denne isotopi kan godt risikere at skubbe α ind over et af de andre buestykker i X A, men vi kan udvide isotopien til en ambient isotopi på hele A, hvorved dette problem undgås. Dernæst kan den ambiente isotopi udvides i en lille produktomegn af A til en isotopi af hele X. Denne proces har gjort, at det øverste buestykke i X A er vandret. Den samme proces kan nu gentages for det næstøverste buestykke i X A, idet vi denne gang kan vælge den ambiente isotopi til at have støtte på en mindre mængde i A, således at den fastholder det øverste linjestykke og gør det næstøverste vandret. Efter at have anvendt denne procedure nok gange har vi sørget for, at alle komponenter af X A hver især er vandrette i A. Så vi kan antage at alle komponenter i X A er vandrette linjer med endepunkter i forskellige komponenter af A. Med en isotopi kan vi sikre os, at hver komponent af X i en lille produktomegn af A faktisk er vandret. Dan nu M 1 fra M 0 ved at fjerne den lille produktomegn af A fra M 0, og lad X 1 = M 1 X. Da A 0 skar S 0 op til en disk S 1, er M 1 produktet af S 1 med et interval, det vil sige en solid cylinder. Hvis X 1 ikke har nogen rand, er X = X 1 en sfære i en solid cylinder, hvilket er umuligt, da en sådan er randen af solid bold. Så X 1 har rand i M 1, og randen består af en samling cirkler som hver især er vandret i M 1. Lad γ være den øverste af disse cirkler, og antag at den ligger i niveauet H = S 1 {t 1 }. Hvis den komponent af X 1, der har γ som en del af randen, ikke allerede ligger i H, kan vi antage, at X 1 og H mødes transverst væk fra en lille omegn af γ. Da skærer X og H hinanden i en samling cirkler, og hver af disse cirkler er randen af en disk i H. Vi kan derfor operere på X ved hjælp af disse diske (hele tiden den inderste først). Hver kirurgi på sfæren X splitter den op i to nye sfærer, så gentagen kirurgi giver os en hel samling sfærer, som ikke skærer H. Til sidst skærer X og H kun hinanden nær γ. Da γ var en cirkel, er den randen af en disk D i H, og ved at skubbe D en smule ind i H, kan vi foretage en sidste kirurgi på X. Den ene af de flader, vi opnår ved denne kirurgi, er da vandret i M 1. Derved har vi splittet X op i en samling sfærer,

52 46 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER Figur 3.13: Et buestykke α i A X med endepunkter a og b (sort) kan isotoperes til et vandret linjestykke l (rød) ved at skubbe α på tværs af de diske (blå), som α og l tilsammen omkranser. Bemærk, at denne isotopi a priori godt kan skubbe ét buestykke i A ind over et andet, men hvis isotopien udvides til en ambient isotopi af hele A, undgås dette. hvoraf mindst én, som vi kan kalde X, har et snit med M 1 som er en vandret disk i M 1, da det var sådan vi valgte den sidste kirurgi. Da X også er vandret i nærheden af A C, er X dermed vandret i hele M. Da kan X isotoperes til S ved at skubbe X langs intervallerne. Men så må S også være en sfære, så den eneste reducible mangfoldighed, som er et produkt mellem en overflade og et interval, et S 2 I, som hævdet. Sætning Lad S være en kompakt, orienterbar overflade, I = [0,1] og M = S I. Enhver ægte indlejret, inkompressibel overflade X i M er da isotop til en vandret overflade. Bevis. Beviset for denne sætning ligner meget beviset fra den forrige, men hvor vi før kunne benytte os af irreducibilitet, vil vi nu benytte os af inkompressibilitet. Lad X være en inkompressibel overflade i M, og lad C = {x 0 } I. Vi kan som før antage, at X er vandret i en lille omegn af C. Lad M 0 være den mangfoldighed der fås fra M ved at fjerne den lille produktomegn af C fra X. Dermed bliver M 0 et produkt af et interval med en kompakt, sammenhængende overflade S 0 med rand. Vi kan vælge en samling buestykker A 0 som skærer S 0 op til en disk S 1. Lad A = A 0 I. Vi kan antage at X er transvers til A. Da består snittet X A af en samling cirkler og en samling buestykker. Den inderste cirkel i X A omkranser en disk D i A ifølge Schoenfliens sætning, og da X var inkompressibel, findes en anden disk D i X med D = D. Da er D D en sfære, som med en lille homotopi kan gøres glat, og en sådan omkranser en bold i M, fordi M var irreducibel. Vi kan da isotopere X ved

53 3.2. NOGLE BASALE TOPOLOGISKE RESULTATER OM 3-MANGFOLDIGHEDER 47 at skubbe D tværs gennem denne bold hen til D og derefter en lille smule længere, hvorved vi eliminerer en cirkelkomponent af X A. Denne proces kan gentages på hver inderste cirkel efter tur, indtil vi har isotoperet X til en overflade, som ikke skærer A i cirkler. Nu består X A derfor kun af buestykker. Disse kan ikke have endepunkter i A 0 {0,1}, da X var ægte indlejret i M. Hvis β er et inderste buestykke med endepunkter i samme randkomponent {x 1 } I af A, skærer β som før en disk D væk fra A, og vi kan igen skubbe β gennem D og forbi C, hvorved vi eliminerer komponenter af X C, som forklaret af Figur Igen kan denne isotopi udvides i en lille produktomegn af A C til en isotopi af X, som eliminerer et buestykke i X A med endepunkter i samme randkomponent af A. Dermed består A X kun af buestykker med endepunkter i to forskellige randkomponenter {x 1 } I, {x 2 } I af A. Som i sidste bevis må endepunkterne for hvert buestykke ligge i samme niveau: Vi antog at X var vandret i en omegn af C, og A s sider støder netop op til denne omegn. Dermed består X A af par af punkter, som ligger i samme niveau, men i forskellige sider af randen for A. Det øverste par af punkter i en rektangel A i A må da ligge i samme niveau og være forbundet med et buestykke, for hvis de var forbundet til andre punkter, ville to buestykker i A skulle krydse hinanden, hvilket ikke er muligt. Vi kan da igen kigge på et øverste buestykke α med endepunkter a,b. Lad l være den rette linje i A mellem a og b, og antag, at l og α skærer hinanden transverst. Da udgør l og α tilsammen en samling cirkler (som måske umiddelbart ikke er glatte, men som kan gøres glatte med en lillebitte homotopi), og disse cirkler omkranser diske, ifølge Schoenflies Sætning. Vi kan da som før skubbe α til l tværs gennem disse diske, se Figur 3.13, og udvide denne til en ambient isotopi af A. Derefter kan den ambiente isotopi udvides yderligere i en lille produktomegn af A til en isotopi af X. Denne proces kan dernæst gentages for det næstøverste buestykke, idet vi passer på at den ambiente isotopi af A ikke ændrer på det øverste buestykke. Til sidst ender vi derfor med, at X A består af vandrette linjestykker, og vi kan igen sørge for, at hver komponent af X i en lille produktomegn af A er vandret. Dan nu M 1 fra M 0 ved at fjerne den lille produktomegn af A fra M 0. Da A skar S 0 op til en disk S 1, er M 1 en solid cylinder. Lad X 1 = M 1 X. Da har X 1 rand, fordi ellers ville X = X 1, og enhver overflade i en solid cylinder er kompressibel eller en sfære, så i så fald ville X ikke være inkompressibel i M 1 og derfor heller ikke i M. Randen af X 1 må bestå af en samling cirkler, som hver især er vandret, da alle komponenter af X i en omegn af A C var vandrette. Vi kan antage at X 1 er inkompressibel i M 1 : Lad nemlig D være en kompressionsdisk for X 1 i M 1. Da X var inkompressibel i M betyder dette, at der findes en disk D i X med D = D. Hvis D ikke ligger inden i M 1, kan vi isotopere D gennem den solide bold i M, som D D omkranser, og over til D, og denne isotopi vil reducere antallet af komponenter af X M 1, så kan kun

54 48 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER gøres et endeligt antal gange. Ved at gøre dette for alle kompressionsdiske i M 1 som ikke er randen af en disk i X 1 kan vi antage, at X 1 er inkompressibel i M 1. Betragt nu en øverste cirkel γ af X 1 i M 1. Denne er vandret, så den ligger i et konstant niveau H = S 1 {t 1 }. Hvis X 1 ikke allerede er vandret, kan vi antage, at X 1 skærer niveauet H transverst væk fra en omegn af randen, altså i en samling cirkler. En inderste sådan cirkel er randen af en disk D i H, og denne disk er en kompressionsdisk for X 1, så der findes en disk D i X 1 så D = D. Vi kan nu isotopere X 1 på tværs af den bold, som D D omkranser (fordi M og dermed også M 1 var irreducibel), og en smule videre og på den måde eliminere cirkler i H. Denne isotopi kan derefter udvides til en ambient isotopi af hele M 1. Gentages denne proces, kan vi til sidst antage, at X kun skærer H langs γ. Da γ omkranser en disk i H ifølge Schoenflies Sætning, kan vi ved at skubbe D en lille smule ind i M 1 igen få en vandret kompressionsdisk for X 1, som per inkompressibilitet af X 1 deler rand med en disk D i X 1. Vi skubber nu en sidste gang D gennem den bold, som D D er randen af, og ned til D, og udvider denne isotopi til en ambient isotopi af X 1, som gør X 1 vandret på den komponent, som har γ som rand. Denne proces kan dernæst gentages på den næste cirkelkomponent af X 1, idet vi sikrer os, at de ambiente isotopier, vi bruger, ikke ændrer på de komponenter af X 1 som vi allerede har gjort vandrette. På den måde kan vi dermed isotopere X 1 til at være vandret i M 1, og da X allerede var vandret i en omegn af C A, har vi nu isotoperet X til at være vandret, som påkrævet. Det sidste, vi skal have på plads i dette afsnit, er klassifikationen af orienterbare, sammenhængende, kompakte, glatte overflader. Som med så mange andre klassifikationssætninger er dette også en vigtig sætning, som vi vil få brug for mange gange senere. Definition Lad M 1 og M 2 være to n-mangfoldigheder og i j : D n M j, for j = 1,2, være to indlejringer af n-diske. Lad M 1 være M 1 med det indre af i 1 (D n ) fjernet, og tilsvarende M 2 være M 2 med det indre af i 2 (D n ) fjernet. Vi definerer da sammenhængssummen M 1 #M 2 af M 1 og M 2 til at være den mangfoldighed, vi opnår ved at klistre M 1 og M 2 sammen ved hjælp af diffeomorfien i 2 i1 1 : M 1 M 2. Bemærkning Ud fra definitionen kunne det godt se ud som om sammenhængssummen M 1 #M 2 afhænger af indlejringerne i 1,i 2. Det viser sig imidlertid, at alle sådanne indlejringer er isotope, så op til diffeomorfi er M 1 #M 2 uafhængig af valg af indlejringer. For tre mangfoldigheder M 1, M 2 og M 3 gælder desuden at (M 1 #M 2 )#M 3 M 1 #(M 2 #M 3 ) Bemærk i øvrigt, at det at tage sammenhængssum af to mangfoldigheder på sin vis er den omvendte operation af kirurgi på en mangfoldighed, da

55 3.2. NOGLE BASALE TOPOLOGISKE RESULTATER OM 3-MANGFOLDIGHEDER 49 vi her samler to mangfoldigheder ved hjælp af diske, hvor vi før skar en mangfoldighed op. Sætning Enhver kompakt, glat, sammenhængende, orienterbar overflade (uden rand) er diffeomorf til en flade Σ g, hvor Σ 0 = S 2, Σ 1 = T 1 og Σ g = Σ g 1 #T 1, hvor # betyder sammenhængssum, og T 1 er torussen S 1 S 1. Specielt er Eulerkarakteristikken af en kompakt, glat, sammenhængende, orienterbar overflade χ(m) = 2 2g for et passende g. Bevis. Man kan vise, at der på en glat, kompakt, orienterbar overflade M altid findes en Morsefunktion f : M R med præcist ét maksimum og ét minimum (hvilket svarer til præcist ét kritisk punkt af indeks 0, og ét kritisk punkt af indeks 2), jævnfør Bemærkning 1.7. Da en kompakt overflade har homotopitype som et CW-kompleks med en k-celle for hvert kritisk punkt af indeks k ifølge Sætning 1.9, er Eulerkarakteristikken for en sådan flade χ(m) = 2 g, hvor g er antallet af kritiske punkter af indeks 1. Dette betyder, at χ(m) 2 for alle kompakte overflader, hvilket vi vil bruge til at vise sætningen med nedadgående induktion i χ(m). Induktionsstarten for χ(m) = 2 følger af følgende sætning: Sætning Lad M være en glat, orienterbar, sammenhængende, kompakt overflade. Da er følgende ækvivalente: M er diffeomorf til en sfære S 2 M er homeomorf til en sfære S 2 χ(m) = 2 For beviset henvises til [1], sætning 44. Antag, at vi har vist for en mangfoldighed M med 2 χ(m ) > k at M er diffeomorf til en af overfladerne Σ g, og lad M være en overflade med χ(m) = k. Da kan M ikke være enkeltsammenhængende, ifølge [1], Sætning 45. Dermed findes en afbildning f : S 1 M som ikke er nulhomotop, og med lidt ekstra arbejde kan man vise, at f faktisk kan antages at være en glat indlejring. Vi kan nu operere på M langs f (S 1 ) og bruge en orienteret diffeomorfi g : S 1 f (S 1 ) til at klistre diske D1 2,D2 2 på M, hvorved vi opnår en ny mangfoldighed M. Da der kun findes en isotopiklasse af orienterede afbildninger S 1 S 1, afhænger M kun af f og M. Idet M topologisk fås fra M ved at tilføje en randcirkel og to 2-diske, er χ(m ) = χ(m) + 2 > χ(m). Der er nu to tilfælde: Hvis M ikke er sammenhængende, er M = M 1 M 2, se Figur Hverken M 1 eller M 2 kan da være en sfære; hvis for eksempel M 1 var en sfære, ville

56 50 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER f (S 1 ) M 1 være nulhomotop i M 1 \D 2 1 og dermed også i M 1#M 2 = M, i modstrid med antagelsen. Så χ(m i ) 1, og Dermed er χ(m) = χ(m 1 ) + χ(m 2 ) 2. χ(m 1 ) = χ(m) χ(m 2 ) + 2 χ(m) > χ(m), og tilsvarende for M 2. Så giver induktionsantagelsen os, at der findes g 1, g 2 så M 1 Σ g1 og M 2 Σ g2, og da bliver M = M 1 #M 2 Σ g1 #Σ g2 = Σ g1 +g 2, hvorved sætningen er vist. Figur 3.14: Et eksempel på, at kirurgi på en mangfoldighed langs en ikke-nulhomotop kurve (markeret med rød) kan resultere i to nye mangfoldigheder. Hvis M er sammenhængende, som på Figur 3.15 er χ(m ) = χ(m) + 2 > χ(m), da vi får M fra M ved at tilføje en ekstra disk. Så i dette tilfælde giver induktionsantagelsen os, at M Σ g for et passende g. Vi danner M fra M ved at indlejre to diske i M og lave sammenhængssum af disse. Dette er ækvivalent til, at vi danner M fra M ved at klistre en cylinder på M (da dette bare svarer til at udvide de kraveomegne, der benyttes i klistringsprocessen, lidt), hvilket igen er ækvivalent til at danne M fra M ved at fjerne en disk i M og så lime en disk med en cylinder påklistret, dvs. en punkteret torus, på, se Figur Altså er M = M #T 1 Σ g #T 1 = Σ g+1. Vi mangler da blot at redegøre for det sidste udsagn i sætningen. Men da enhver kompakt, glat, sammenhængende, orienterbar overflade M er diffeomorf til Σ g for et passende g, er χ(m) = χ(σ g ). Bemærk at χ(s 2 ) = 2, χ(σ 1 ) = χ(t 1 ) = 0, og antag, at χ(σ g ) = 2 2g. Da er χ(σ g+1 ) = χ(σ g #T 1 ) = χ(σ g ) + χ(t 1 ) 2χ(int(D 2 )) = 2 2g 2 = 2 2(g + 1), hvilket viser det ønskede. 3.3 Isotopi af homeomorfe overflader Vi er nu ved at være klar til at bevise hovedsætningen i Chazal og Cohen- Steiners artikel om isotopisk approksimation. Sætningen siger, at hvis en mangfoldighed er indeholdt i en tubulær omegn af en anden, således at den

57 3.3. ISOTOPI AF HOMEOMORFE OVERFLADER 51 Figur 3.15: Et eksempel på, at kirurgi langs en ikke-nulhomotop kurve (rød) giver en sammenhængende mangfoldighed. Den oprindelige flade genopnås ved påklistring af en cylinder (tredje billede), men det at klistre en cylinder på en disk i M er ækvivalent til at tage en disk med en cylinder klistret på (det vil sige en punkteret torus) og klistre den på en disk i M, se figuren til højre. adskiller siderne i denne tubulære omegn, og hvis de to mangfoldigheder i øvrigt er homeomorfe, så er de isotope. Vi starter med at indføre noget notation: Definition Lad S være en kompakt, orienterbar flade. Vi vil med en topologisk fortykkelse af S mene en mængde M R 3 således at der findes en diffeomorfi Φ : S [0,1] M så Φ(S { 2 1 }) = S M. En tubulær omegn af en overflade i R 3 er således en topologisk fortykkelse. Sætning Lad X,Y være to homeomorfe, glatte, kompakte, orienterbare overflader uden rand. Antag at Y er indlejret i en topologisk fortykkelse M = X [0,1] af X således at Y adskiller siderne af M i den forstand, at X {0} og X {1} ligger i hver sin sammenhængskomponent af M\Y. Da er X isotop til Y. Bevis. Vi starter med at kigge på tilfældet, hvor X er sammenhængende. Hvis X er en sfære, holder udsagnet i sætningen: I så fald er Y også en sfære, da den er homeomorf til X, og ifølge Schoenflies Sætning i tre dimensioner (Sætning 3.7) betyder dette, at både X og Y er randen af indlejrede 3-diske i R 3. Lad i X : D 3 R 3 og i Y : D 3 R 3 være indlejringsafbildningerne. Ifølge [1], Korollar 35, er indlejringen af den ene kugle i X ambient isotop til en indlejring i : D 3 R 3 af en 3-disk, således at i Y (D 3 ) = i(d 3 ), og således at i S 2 er isotop til i Y S 2, så specielt er randen X = i X (S 2 ) af i X (D 3 ) isotop til Y = i Y (S 2 ) = i(s 2 ). Dykker man ned i beviset kan man overbevise sig om, at man med en let modifikation kan antage, at isotopien mellem X og Y finder sted i M, og sætningen følger i dette tilfælde. Ifølge Sætning 3.11 er S 2 [0,1] den eneste sammenhængende kompakte produktmangfoldighed som ikke er irreducibel, så efter at have betragtet dette tilfælde for sig selv, kan vi nu antage, at M er irreducibel. For at vise resultatet i de øvrige tilfælde, deler vi beviset op i nogle lemmaer. Det første af disse er følgende:

58 52 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER Lemma M\Y består af to sammenhængskomponenter. Bevis. Vi ved fra Jordan-Brouwers separationssætning (Sætning 3.1), at Y deler R 3 i en ydre komponent A og en indre komponent B. Vi ønsker at vise, at M\Y kun indeholder én komponent i A og én komponent i B, og dermed har to sammenhængskomponenter. Lad x 1,x 2 M\Y ligge i den ene komponent, for eksempel A. Da findes stier γ i : [0,1] M i M mellem x i og et punkt y i i Y for i = 1,2, således at γ i ([0,1)) A. Da Y er homeomorf til X, som er sammenhængende, er Y selv sammenhængende. Dermed kan vi vælge en sti γ i Y fra y 1 til y 2, og sammensættes stierne γ,γ 1 og γ 2, fås en ny sti γ i M mellem x 1 og x 2 som løber i A Y mellem x 1 og x 2. Vælg en orientering på Y bestemt ved et normalvektorfelt på Y, som peger ind i A. Vi kan nu homotopere γ ved at skubbe stien væk fra Y langs normalvektorfeltet i en lille tubulær omegn af Y i M. Dermed fås en sti i M\Y som forbinder x 1 og x 2, men så må x 1 og x 2 ligge i samme sammenhængskomponent. Dermed har vi vist, at to punkter i M\Y i samme komponent af R 3 \M må ligge i samme sammenhængskomponent af M\Y. Så M\Y har kun to sammenhængskomponenter. Lemma Fladen Y er inkompressibel i M. Bevis. Antag at Y er kompressibel. Så findes en disk D M således at D Y ikke er nulhomotop i Y, svarende til at randen af D ikke er randen af en disk D Y. Da Y er disjunkt fra X {0,1}, kan vi antage at D X (0,1) ved hjælp af transversalitet. Vi kan nu operere på Y langs D for at få en ny mangfoldighed Y 1, som er ægte indlejret i M. Vi deler nu beviset ind i nogle trin: Trin 1 Vi vil gerne se, at inklusionen af Y 1 i M inducerer en ikke-triviel afbildning på den anden homologigruppe for Y 1. Bemærk, at da M\Y havde to sammenhængskomponenter, må X X {0} og Y være randen af en åben mængde i M, så derfor må i (H 2 (X)) = i (H 2 (Y )) i H 2 (M), hvor i er induceret af inklusionen af X, Y, henholdsvis. (Vi tillader os her at kalde alle inklusionsafbildningerne for i selvom de i princippet er forskellige; det kan læses ud af sammenhængen, hvad de er inklusionen af, og vi letter herved notationen). Bemærk, at afbildningen i : H 2 (X) H 2 (M), induceret af inklusionsafbildningen i : X M, ikke er 0: Ved at identificere X med X {0} får vi nemlig den lange eksakte følge j H 3 (X I/(X {0})) H 2 (X) i H 2 (X I) j H 2 (X I/(X {0}))...

59 3.3. ISOTOPI AF HOMEOMORFE OVERFLADER 53 Da X I/(X {0}) er keglen over X, og derfor er kontraktibel, er H n (X I/(X {0})) = 0 for alle n 1, så vi får en isomorfi H 2 (X) H 2 (X I) = H 2 (M) induceret af inklusionsafbildningen. Da X er en glat, sammenhængende, orienterbar, kompakt overflade, er den diffeomorf til en af fladerne Σ g, ifølge Sætning En sådan flade har en CW-kompleksstruktur med en 0-celle, 2g 1-celler og en 2-celle, så det cellulære kædekompleks bliver 0 Z d 2 Z 2g d 1 Z 0, hvor begge afbildninger d 1 og d 2 må være 0, jævnfør eksempel 2.36 i [4]: d 1 er 0 fordi vi kun har én 0-celle, og d 2 er 0, fordi vi konstruerer X ud fra etskelettet ved at fastgøre 2-cellen med et produkt af kommutatorer af 1-celler, hvorved hver 1-celle optræder med sin inverse. Så Z hvis n=0,2 H n (X) = Z 2g hvis n=1. 0 ellers Specielt er H 2 (X) 0, så inklusionen af X i M inducerer en ikke-triviel afbildning på den anden homologigruppe for X. Hvis vi nu skærer Y op langs randen D af kompressionsdisken for derved at opnå en ny mangfoldighed Y 1, ændres billedet af anden homologigruppe for Y under inklusionsafbildningen i M ikke. Dette skyldes, at den del, der fjernes fra Y ved kirurgien, sammen med den del, der tilføjes (nemlig to kopier af kompressionsdisken), tilsammen udgør randen af en åben mængde i M, se Figur Vi har derfor i (H 2 (Y )) = i (H 2 (Y 1 )) = i (H 2 (X)) 0. Figur 3.16: Ved kirurgi på fladen Y omkranser den cylinder, der fjernes, samt de diske, der tilføjes, en åben mængde i M. Men da i (H 2 (Y 1 )) 0, må Y 1 have mindst én sammenhængskomponent, hvis anden homologigruppe ikke bliver sendt til 0 af i. Dette færdiggør trin 1. Trin 2 Vi vil vise, at genus for hver komponent af Y 1 er mindre end genus for den oprindelige flade: Betragter vi fladerne som CW-komplekser, danner vi

60 54 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER Y 1 fra Y ved at tilføje en 0-celle og en 1-celle svarende til den ekstra kopi vi tilføjer af randkurven γ, samt to 2-celler, svarende til de to diske homotope til D. Hvis c λ angiver antallet af λ-celler i Y, er χ(y 1 ) = n ( 1) λ c λ = χ(y ) + 2 > χ(y ) λ=0 Så den nye overflade Y 1 har mindre genus end Y : Enhver kompakt, glat, sammenhængende, orienterbar overflade er diffeomorf til en flade Σ g ifølge Sætning Eulerkarakteristikken for en sådan flade Σ g med genus g er χ(σ g ) = 2 2g. Så hvis χ(y 1 ) > χ(y ), er der to muligheder: Hvis Y 1 er sammenhængende, må den have mindre genus end Y, da Eulerkarakteristikken falder når genus vokser. Hvis Y 1 ikke er sammenhængende, har den højst to sammenhængskomponenter C 1 og C 2, af genus g 1 og g 2, henholdsvis. Hvis genus for den oprindelige flade er g, er χ(c 1 ) + χ(c 2 ) = χ(y 1 ) = χ(y ) g g 2 = g g = g 1 + g 2. Hvis den ene sammenhængskomponent ikke har skarpt mindre genus end g, må den anden sammenhængskomponent nødvendigvis have genus 0 for at denne lighed skal holde. Men i så fald ville den anden sammenhængskomponent være en sfære, og så ville γ have været nulhomotop i den oprindelige flade Y, da komplementet til en disk i en sfære selv er en disk. Så begge de nye sammenhængskomponenter må have skarpt mindre genus (og dermed skarpt større Eulerkarakteristik) end den oprindelige flade havde. Dette færdiggør trin 2. Vi kan fortsætte denne procedure med at operere på Y 1 langs ikke-nulhomotope randkurver for diske i M\X, men dette er kun muligt at gøre endeligt mange gange, da genus for fladen falder for hver kirurgi. Når vi har gjort dette et maksimalt antal gange, ender vi med en flade Y hvis komponenter enten er sfærer eller inkompressible overflader. På en af sammenhængskomponenterne C i Y inducerer inklusionsafbildningen en ikke-triviel homomorfi på homologien (som heller ikke er triviel), ifølge trin 1. Hvis C var en sfære, ville irreducibilitet af M betyde, at C ville omkranse en bold i M. I så fald ville indlejringsafbildningen være homotop til en konstant afbildning, og da homotope afbildninger inducerer samme homomorfi på homologi, ville dette betyde, at den inducerede afbildning i ville være 0. Så C kan ikke være en sfære, og må derfor være inkompressibel. Vi kan nu bruge Sætning 3.13 på C til at konkludere, at C er isotop til en vandret overflade i M, så vi kan antage at C er vandret. Da møder C alle fibre: Lad π : C X være projektionen af C ned på X. Da er ker(dπ) = {0}, da C er

61 3.3. ISOTOPI AF HOMEOMORFE OVERFLADER 55 vandret, så dπ er invertibel i alle punkter. Ifølge den inverse funktionssætning betyder dette, at i en åben omegn U omkring et punkt p C er π en diffeomorfi π : U V på en åben omegn V i X, så π(c) må være åben. Samtidig er C kompakt og π kontinuert, så π(c) er også lukket i X. Men så må π(c) = X, så C møder alle fibrene. C må derfor være isotop til X under en isotopi, der skubber C til X langs fibrene. Dette er imidlertid ikke muligt, da Eulerkarakteristikken af C var skarpt større end Eulerkarakteristikken af Y, og dermed også skarpt større end Eulerkarakteristikken af X. Altså må vores antagelse om, at Y var kompressibel, være falsk, hvilket færdiggør Lemma Vi kan nu benytte os af Lemma 3.21 og Sætning 3.13 til at konkludere, at Y er isotop til en vandret overflade Ŷ, som er et overlejringsrum for X via projektion af fibrene ned på basisrummet X, da Ŷ møder alle fibre over X med samme argument som før. Da X og Ŷ er homeomorfe, er Eulerkarakteristikken af X og Eulerkarakteristikken af Ŷ ens, så Ŷ er kun et en-sheeted overlejringsrum for X. Så Ŷ møder hvert af fibrene i M i netop ét enkelt punkt, og vi kan dermed konstruere en isotopi mellem Ŷ og X ved at skubbe Ŷ til X langs fibrene i M. Da Y var isotop til Ŷ, giver dette os den ønskede isotopi mellem Y og X. Vi har altså nu etableret resultatet for en sammenhængende overflade X, og det er herefter nemt at udvide resultatet til det tilfælde, hvor X har flere sammenhængskomponenter X 1,...,X n. Da Y er homeomorf til X, må Y have lige så mange sammenhængskomponenter Y 1,...,Y n som X, og da Y adskiller siderne i den topologiske fortykkelse af X, må den topologiske fortykkelse af hver sammenhængskomponent X i indeholde mindst én komponent af Y. Ifølge dueslagsprincippet må den topologiske fortykkelse af hver X i derfor indeholde præcis én komponent Y i af Y. Hvis X i og Y i er homeomorfe for alle i, kan vi benytte resultatet fra før til at sige, at X i og Y i er isotope. Vi skal derfor blot vise, at X i og Y i er homeomorfe for alle i. Antag for modstrid at dette ikke er tilfældet, men at der findes et i så χ(x i ) χ(y i ). Så kan vi specielt finde et i, så χ(x i ) < χ(y i ) 2, da χ(x) = n i=1 χ(x i ) = n i=1 χ(y i ) = χ(y ). Men hvis χ(x i ) < χ(y i ), kan X i ikke være en sfære, så derfor er den topologiske fortykkelse M i af X i irreducibel, ifølge Sætning Det betyder, at Y i ikke kan være en sfære, da den i givet fald ville være randen af en solid bold i M i, og derfor ikke ville kunne adskille siderne af M i. Hvis Y i var inkompressibel i M i, ville den være isotop til en vandret overflade, og derfor isotop til X i, med samme fremgangsmåde som i slutningen af beviset for det sammenhængende tilfælde. Så Y i kan ikke være inkompressibel i M i, og vi kan derfor med gentagne operatoner på Y i ved hjælp af diske med ikke-trivielle rande opnå en flade Y i, muligvis med flere sammenhængskomponenter, som hver især enten er inkompressibel i M i eller en sfære. Men Y i må have mindst en komponent som ikke er en sfære, fordi

62 56 KAPITEL 3. ISOTOPI AF TO HOMEOMORFE OVERFLADER argumenterne fra Trin 1 viser, at i (H 2 (Y i )) = i (H 2 (Y i )) = i (H 2 (X i )) 0, men irreducibilitet af M i betyder, at den afbildning, som inklusionen inducerer på hver sfærekomponent af Y i er inkompressibel i M i. Jævnfør beviset for det sammenhængende tilfælde er C isotop til X i. Så χ(c) = χ(x i ), for et k 1. Desuden viste vi i trin 2, at Eulerkarakteristikken for hver komponent af en flade steg, når vi opererede på den, så χ(c) χ(y i ). Dermed er, er 0. Lad C altså være en komponent af Y i, som χ(x i ) < χ(y i ) χ(c) = χ(x i ). Men dette er ikke muligt - modstrid! Altså må χ(x i ) = χ(y i ) for alle i, så X i og Y i er diffeomorfe ifølge Sætning 3.16, og i så fald kan vi benytte beviset ovenfor på hver sammenhængskomponent M i af M til at konkludere, at X og Y er isotope.

63 Kapitel 4 Rekonstruktion af digitaliserede 3-mangfoldigheder Dette kapitel handler om, hvordan man kan rekonstruere et 3-dimensionalt objekt ud fra en diskret repræsentation af det, en såkaldt digitalisering. Det oplagte eksempel at have i tankerne, som også afspejles af den terminologi, vi bruger til at behandle situationen, er gammeldags digitale sort/hvid-billeder: Når man i gamle dage tog et digitalt billede af et to-dimensionalt sort objekt på hvid baggrund, målte man farven af motivet i en samling gitterpunkter og lavede for hvert målepunkt et kvadrat med den målte farve. Derved fik man et billede, der bestod af pixels - små kvadratiske felter, hvis farve afspejlede farven af det fotograferede objekt. På den måde gav fotografiet af objektet os ikke et eksakt billede af det oprindelige objekt, men en samling farvede kvadrater, som vi intuitivt tænker ligner det oprindelige objekt. Målet er nu at finde ud af, om vores intuition er rigtig, og om vi ud fra et sådant billede kan rekonstruere det objekt, vi har fotograferet, se figur 4.1. Nu til dags laves digitale billeder på en lidt anden måde. Men når man sætter computere til at rekonstruere et objekt ud fra et digitalt foto af objektet, vil man gerne gøre det uden at bruge al den information man har, da man på den måde kan spare regnekraft. Det kan løses ved, at man i stedet for at forsøge at rekonstruere objektet på baggrund af alle de pixels, billedet indeholder, forsøger at gøre det ved kun at kigge på enkelte pixels - vi er altså tilbage i en situation, hvor man måler farven på et objekt i en samling gitterpunkter, og forsøger at rekonstruere billedet herudfra. Dette motiverer, hvorfor det stadig er interessant at kigge på digital rekonstruktion. En lignende situation kan man tænke på i tre dimensioner, men hvor vi før kunne nøjes med et 2-dimensionelt gitter, kan vi nu forstille os, at vi har en samling fotografier af tværsnittene af det interessante objekt, så vi i stedet for små kvadratiske pixels nu får et billede af små kuber, kaldet voxels. Det 57

64 58 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION AF DIGITALISEREDE 3-MANGFOLDIGHEDER Figur 4.1: Digital rekonstruktion af figuren til venstre. Hvert punkt i gitteret registrerer farven på figuren i det punkt, og giver anledning til en pixel af den farve i den digitale rekonstruktion til højre. er dette tilfælde, vi vil beskæftige os med i det følgende. Målet vil være at vise, at en let justering af digitaliseringen giver et objekt, der er isotopt til det objekt, vi startede med. Det meste af dette kapitel bygger på [3]. Vi starter med at få nogle basale definitioner på plads: Definition 4.1. Lad dl være en roteret, translateret kopi af dz n i R n for et n N og d 0. Vi kalder dl for et kubisk gitter, og vi kalder et punkt l dl for et målepunkt. For et målepunkt l dl er Voronoicellen V dl (l) for l med hensyn til dl defineret som V dl (l) = {x R n x l x l for alle l dl\{l}}, hvor betegner den Euklidiske afstandsfunktion. Voronoicellen er dermed mængden af punkter i R n, som har l som nærmeste gitterpunkt, og bliver derfor en kube med sidelængde d og centrum i l. Når det er oplagt hvilket gitter vi arbejder med, vil vi normalt droppe fodpunktet og bare skrive V(l) for Voronoicellen omkring l. For n = 2 kaldes Voronoicellerne for pixels, og for n = 3 kaldes de voxels. Definition 4.2. Med digitiseringen af en mængde A R n mener vi mængden A 0 = A dl, altså mængden af gitterpunkter, som ligger i A. Elementer l A 0 vil vi kalde sorte gitterpunkter, mens elementer l A 0 vil blive kaldt hvide. Den digitale rekonstruktion af A, som vi vil kalde V dl (A) eller bare V (A) når dl er underforstået, er givet ved V dl (A) = V(l), l A 0

65 59 altså foreningen af Voronoicellerne omkring punkterne i digitiseringen. Voronoiceller V(l) i rekonstruktionen af A kaldes sorte, mens Voronoiceller V(l ) med l A kaldes hvide. Figur 4.1 illustrerer definitionerne i tilfældet n = 2: I billedet til venstre udgør de sorte gitterpunkter digitiseringen af den grå mængde, og i billedet til højre udgør de mørke celler (eller pixels) den digitale rekonstruktion af figuren. Vi vil fra nu af kun betragte situationen, hvor vi ønsker at rekonstruere et tredimensionalt objekt i R 3, og vi vil koncentrere os om at rekonstruere objekter, der er tilpas pæne i den forstand, at de opfylder en regularitetsbetingelse som den i følgende definition: Definition 4.3. Lad x R 3, r > 0 og B r (x) = {y R 3 x y < r} betegne den åbne kugle i R 3 omkring x. Lad A R 3 være en mængde med rand A. Vi siger at B r (x) tangerer A i punktet y hvis B r (x) A = {y}. En kugle B r (x), som tangerer A i et punkt {y}, siges at oskulere A i y, eller at være oskulerende til A i y, hvis enten B r (x) int(a) eller B r (x) int(a c ). Mængden A kaldes r-regulær, hvis der for alle y A findes to bolde B r (x), B r (x ) oskulerende til A i y, således at B r (x) A og B r (x ) A c. Det nødvendigt at antage, at A er r-regulær for et r > d 3 2, ellers risikerer vi, at digitiseringen af en ikke-tom mængde A bliver tom, altså at A dl =. Tallet d 3 2 skulle i denne sammenhæng ikke være så overraskende, da det lige netop er halvdelen af den maksimale afstand mellem to punkter i en Voronoicelle. Lidt mere generelt har vi Sætning 4.4. Lad A R 3 være en r-regulær mængde, hvor r > d 3 2. Da er der en 1:1-korrespondance mellem antallet af sammenhængskomponenter i A og antallet af sammenhængskomponenter i den digitale rekonstruktion V (A). Bevis. Antag at r > d 3 2, og vælg et s så d 3 2 < s < r. For en sammenhængskomponent A af A lader vi A = {x A min x y > s} = y A A \ B s (x) x A betegne mængden af punkter i A med afstand større end s til randen A. Denne mængde er ikke tom, da vi pr. r-regularitet i et givet punkt y A kan finde en bold B r (x) som er oskulerende til A i y, og som opfylder, at B r (x) int(a ). Men det betyder, at centrummet x for kuglen ligger i A, da s < r. Lad l dl være et gitterpunkt, således at x ligger i voxelen V (l). Da er x l d 3 2 < s, så l B s (x) B r (x) A. Men det betyder, at l A, så

66 60 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION AF DIGITALISEREDE 3-MANGFOLDIGHEDER rekonstruktionen af A er ikke tom, men indeholder mindst en sammenhængskomponent. Vi mangler da at tjekke, at rekonstruktionen af A ikke indeholder mere end en sammenhængskomponent, og at rekonstruktionerne af to forskellige sammenhængskomponenter er disjunkte. Lad B = {l dl V(l) A }. Da vi lige har set, at der findes et element x A som ligger i en voxel V(l) med l A, følger det, at B A. Desuden er B A, da min y A l y < d 3 2 < s for l B. For at kunne vise, at voxelrekonstruktionen af A indeholder højst en sammenhængskomponent, og at rekonstruktionen af to forskellige sammenhængskomponenter af A er disjunkte, får vi brug for et par lemmaer: Lemma 4.5. To voxels V(l), V(l ) med l,l B kan forbindes med en kæde af voxels, således at hver voxel deler en side med den næste voxel i kæden. Bevis. Lad l, l B. Bemærk, at mængden A pr. konstruktion er en åben mængde. Den er desuden sammenhængende, da den er isotop til A (med en isotopi, der skubber A ind langs normalvektorfeltet). Vælg nu punkter b int(v(l)) A og b int(v(l )) A - sådanne punkter findes, da A var åben. Da A var isotop til A, som pr. konstruktion var sammenhængende i R 3 og dermed stisammenhængende, findes en sti γ : [0,1] A så γ(0) = b og γ(1) = b. Da stien er kompakt, passerer den kun endeligt mange voxels, og vi kan med transversalitetssætningen antage, at den går transverst ind i hver voxel, således at skæringspunktet ligger i det indre af en af siderne i voxelen. Vi kan nu ordne de voxels, som γ passerer, på følgende måde: Lad V 1 være den første voxel, som stien løber ind i efter at have forladt V 0 = V(l) for sidste gang V 2 den voxel, som γ løber ind i, når den forlader V 1 for sidste gang. Fortsæt på denne måde, således at V k+1 er den voxel, som γ løber ind i efter at have forladt V k for sidste gang. Da γ kun gennemløber endeligt mange voxels, ender vi til sidst med den sidste voxel V n, som γ løber ind i. På den måde har vi lavet en kæde af voxels V(l) = V 0,V 1,...,V n = V(l ), således at hver voxel deler en side med den næste i kæden, idet stien γ løber ind i hver voxel i den indre af en af siderne. Desuden ligger alle voxels enes gitterpunkter i B (og dermed i A ), da stien γ var valgt så den løb i A. Lemma 4.6. Hvert element i dl A er enten et element i B eller forbundet med et sådan punkt i B gennem en kæde af voxels, således at hver voxel i kæden deler en side med den næste voxel i kæden, og så voxels enes målepunkter ligger i A. Bevis. Lad l dl A. Hvis l A er l B, så antag at dette ikke er tilfældet. Da er min y A l y s < r, så pr. r-regularitet af A findes en kugle B r (o) A som indeholder l. Bemærk, at kuglens midtpunkt o er et element i A, da den mindste afstand mellem o og A er r. Så hvis o V(l), er l B, og vi er færdige. Antag derfor at o V(l).

67 61 For forklaringens skyld kan man betragte Figur 4.2, som viser situationen i beviset i en 2-dimensional analog. Vi indlægger nu et nyt koordinatsystem med o som origo og med akser parallelle til akserne i gitteret dl. Lad l have koordinater (x,y,z). Figur 4.2: Illustration af beviset for lemma 4.6. Betragt de seks kuber, som deler en side med voxelen V(l) (det svarer i to dimensioner til de fire kuber markeret med rødt på figuren). Da o V(l) pr. antagelse, må vi enten have, at x > d/2, y > d/2 eller z > d/2. Antag for eksempel at x > d/2. Da må gitterpunktet l = (x d,y,z) være tættere på o end l = (x, y, z) (og tilsvarende ville vi også kunne finde gitterpunkter nærmere o i tilfældene x < d/2, y > d/2 og z > d/2). Dermed har voxelen V(l ), som deler side med V(l), et midtpunkt l tættere på o end l. Da l B r (o) og l o l o r, er l B r (o) A. Hvis o heller ikke ligger i voxelen V(l ), kan vi kan gentage argumentet med l for at finde en voxel V(l ) med midtpunkt endnu tættere på o som deler side med V(l ), og denne proces kan itereres, indtil vi når en voxel som indeholder o. Det må vi nødvendigvis gøre efter endeligt mange skridt, da hver iteration giver os en voxel med midtpunkt tættere på o end den forrige. På denne måde opnås en kæde af voxels, så hver voxel deler en side med den næste voxel i kæden, og kæden slutter med en voxel, der indeholder punktet o fra A (hvorved denne voxels midtpunkt ligger i B ). Med disse to lemmaer kan vi nu konkludere, at voxel-rekonstruktionen af A består af netop én sammenhængskomponent: Lad l, l være gitterpunkter i digitiseringen dl A af A, med tilhørende voxels V(l) og V(l ). Da kan disse voxels forbindes til voxels V(l 1 ),V(l 1 ) med midtpunkter l 1,l 1 i B via en kæde af voxels, hvor hver voxel i kæden har målepunkt i A og deler side med den næste i kæden - dette følger af Lemma 4.6. Bemærk, at l og l 1 ikke

68 62 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION AF DIGITALISEREDE 3-MANGFOLDIGHEDER nødvendigvis er forskellige, og tilsvarende for l og l 1. Ifølge Lemma 4.5 kan de to voxels V(l 1 ),V(l 1 ) også forbindes med en sådan kæde af voxels, så alt i alt får vi, at to vilkårlige voxels i rekonstruktionen af A kan forbindes med en sti af voxels, så hver voxel i kæden deler side med den næste. Men så må rekonstruktionen af A være sammenhængende. Det sidste vi skal overbevise os om er nu, at rekonstruktionerne af to forskellige sammenhængskomponenter A og A ikke overlapper. Lad derfor x A, og y A så (x,y) minimerer afstanden x y. Da er y A, og x ligger på en normal til A i punktet y. Vælg nu en kugle B r (o) int(a c ) som er oskulerende til A i punktet y - en sådan kugle findes, da A er r- regulær. Centrum for kuglen må også ligge på normalen til A i punktet y, altså på linjen gennem x og y. Men hvis B r (o) skal være en delmængde af int(a c ), må kuglens diameter være mindre end afstanden mellem de to sammenhængskomponenter A og A, altså 2r < x y. Lad V(l ) være en voxel i rekonstruktionen af A og V(l ) være en voxel i rekonstruktionen af A. Da er l A og l A, så l l x y > 2r > d 3. Men den største afstand mellem centrerne af to ikke-disjunkte voxels er d 3, så de to voxels V(l ) og V(l ) er disjunkte. Altså er rekonstruktionen V (A) af A en disjunkt forening af rekonstruktionerne af hver sammenhængskomponent i A, og hver af disse rekonstruktioner består af netop én sammenhængskomponent. Så der er en 1:1-korrespondance mellem antallet af sammenhængskomponenter i A og antallet af sammenhængskomponenter i V (A). Vi ønsker nu at justere rekonstruktionen af en r-regulær mængde en smule. Til dette formål kigger man på kuber i gitteret dl, og undersøger de mulige kombinationer af hvide og sorte voxels i disse kuber. Da der er 8 gitterpunkter i en sådan kube, er der 2 8 = 256 forskellige konfigurationer. Ser man bort fra spejlinger, rotationer og invertering af farver, kan disse imidlertid reduceres til 14 forskellige kombinationer, og skal der tages højde for r-regularitet, kan nogle af dem yderligere skæres fra. Der er altså færre end 14 mulige konfigurationer af sorte og hvide gitterpunkter. Vi kan derefter kigge på de tilsvarende konfigurationer af sorte og hvide voxels. I disse kombinationer kunne vi godt tænke os at indsætte eller fjerne kiler på strategisk rigtige steder, således at vi opnår et objekt, hvis rand er en topologisk mangfoldighed, se eksemplet på Figur 4.3. Vi vil ikke diskutere her, hvordan disse kiler præcist skal se ud. Vi introducerer nu den modificerede rekonstruktion af en mængde A: Definition 4.7. Lad A være en r-regulær mængde med digital rekonstruktion V dl (A). Vi lader da den modificerede rekonstruktion W (A) være rekonstruktionen af A med kiler indsat eller fjernet som forklaret ovenfor, således at randen af W (A) bliver en topologsk mangfoldighed.

69 63 Figur 4.3: Et eksempel på, hvordan indsættelsen af en kile kan gøre, at overfladen af den digitale rekonstruktion kommer til at være lokalt homeomorf til R 2, hvorved overfladen bliver en topologisk mangfoldighed. Det viser sig, at med denne modifikation og med passende valg af kiler er antallet af sammenhængskomponenter i A stadig i 1:1-korrespondance med antallet af sammenhængskomponenter i W (A). Vi er nu ved at være klar til at formulere hovedresultatet i dette kapitel: Sætning 4.8. Den modificerede rekonstruktion W (A) af A er ambient isotop til A, så længe A er r-regulær for et r 0,552d 3. Beviset følger i høj grad af beviset for hovedresultatet fra Kapitel 3, dvs. Sætning 3.19, og det sidste korollar i Kapitel 2, dvs. Korollar Ideen i beviset er, kort skitseret, følgende: Man bemærker, at W (A) er indeholdt i en topologisk fortykkelse af A, som findes på grund af r-regularitet af A. Start med at modificere W (A) til en mængde Z(A), som er isotop til W (A) og hvis overflade er en glat mangfoldighed - vi udglatter altså groft sagt kanterne i W (A). Konstruktionen af Z(A) sker ved hjælp af et udadpegende vektorfelt på W (A), da vi gerne vil ende med et udadpegende vektorfelt på Z(A). Det kan vises, at randkomponenter af A og Z(A) i 1:1-korrespondance, og hver komponent ( Z(A)) i af Z(A) adskiller siderne i en topologisk fortykkelse af præcis én randkomponent ( A) i af A. Da kan vi bruge normalvektorfelterne på A {0} og A {1} samt vektorfeltet på Z(A) til at konstruere et vektorfelt på A [0,1] som peger indad på A {0}, udad på A {1}, ikke har nogen nulpunkter og er transverst til Z(A). Da giver Korollar 2.21 nemlig, at χ(( A) i ) = χ(( Z(A)) i ), og da de begge er 2-mangfoldigheder, betyder dette, at ( A) i og ( Z(A)) i er homeomorfe ifølge Sætning Bruges dette argument på alle komponenter af A, fås dermed, at Z(A) må være homeomorf til A. Vi kan da anvende Sætning 3.19 på hver sammenhængskomponent af Z(A) til at sige, at A og Z(A) må være isotope. Da W (A) og Z(A) ligeledes var isotope, giver det os en isotopi mellem W (A) og A, og denne isotopi kan vælges i den topologske fortykkelse af A. Ved hjælp af isotopiudvidelsessætningen kan denne isotopi nu udvides til en ambient isotopi på hele