Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder

Transkript

1 Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder Metoder til ODE er af første orden Separation af de variable Eksakte ODE er Integrerende faktorer Homene lineære ODE er Inhomene lineære ODE er Bernoulli-ligningen Metoder til ODE er af anden orden Homene lineære ODE er Linearitet af løsninger Reduktion af orden Konstante koefficienter Euler-Cauchy-ligninger Ikke-homene, lineære ODE er Linearitet af løsninger De ubestemte koefficienters metode Forstyrrede masse-fjeder-systemer De arbitrære parametres variationsmetode Laplace-transformationen Laplace-transformationen af udvalgte funktioner Linearitet af Laplace-transformationen dens inverse Forskydning af s-variablen Laplace-transformationen af afledede Laplace-transformationen af integraler Løsning af begyndelsesværdiproblemer

2 Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Partialbrøker Systemer af ODE er Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden Systemer af ODE er af orden 1 med konstante koefficientmatricer Fourierrækker Udregning af Fourierkoefficienter mm Lige ulige funktioner Linearitet af Fourierkoefficienter Periodeskift Halvsidige udviklinger Metoder til PDE er af anden orden Den éndimensionelle bølgeligning Fourierrækkemetoden D Alemberts løsning Den endimensionelle varmeligning Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = Isolerede endepunkter Numeriske metoder Løsning af ligninger Fikspunktiteration Newtons metode Sekantmetoden Interpolationspolynomier Polynomium gennem n + 1 punkter Lagrange-interpolation Newtons divideret differens-metode Polynomiumsapproksimation af funktioner Numerisk integration Midtpunktsreglen Trapezreglen Simpsons regel Gauss-kvadratur Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Euler-metoden Heuns metode RK4-metoden Runge-Kutta-Fehlberg Baglæns Euler Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Adams-Bashforth-metoder Adams-Moulton-metoder Metoder til førsteordenssystemer Euler-metoden

3 2.6.2 RK Baglæns Euler Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x y (x = f(x, y(x Numerisk metode til Laplace- Poisson-ligningerne i to dimensioner Regulær rand Dirichlet-randbetingelser Neumann- blandede randbetingelser Irregulær rand Dirichlet-randbetingelser Gauss-Seidel-iterationsmetoden Analytiske metoder 1.1 Metoder til ODE er af første orden Separation af de variable En ODE, som kan omskrives til formen g(y(xy (x = f(x kan løses ved at finde følgende integraler: g(y dy = f(x dx + k, herefter isolere y Eksakte ODE er En ODE, som kan omskrives til formen hvor N M opfylder M(x, y(x + N(x, y(xy (x = 0, M y N (x, y = (x, y, x kan løses ved at finde en funktion af to variable u, som opfylder, at u u (x, y = M(x, y (x, y = N(x, y. x y Funktionen u kan findes ved først at integrere M mht. første koordinat: f(, y = M(t, y dt, 3

4 herefter definere g(y = N(x, y f (x, y, y (bemærk, at g viser sig kun at afhænge af én variabel hvorefter u er givet ved u(x, = f(x, + g(t dt. Bemærk, at alle ubestemte integraler er funktioner af en (unavngiven variabel, som er repræsenteret ved en prik ( alle andre steder, den indgår i en given ligning. I noterne kaldes funktionen g(t dt for k f har intet navn Integrerende faktorer Visse ODE er, som ikke er eksakte, kan gøres eksakte ved at gange igennem med en integrerende faktor. I visse tilfælde kan følgende resultat bruges til at finde en integrerende faktor. Sætning 1.1. Hvis funktionerne P Q i ODE en opfylder, at P (x, y(x + Q(x, y(xy (x = 0 R(x, y = er konstant som funktion af y for fast x, så er 1 ( P Q (x, y Q(x, y y x (x, y en integrerende faktor. Tilsvarende, hvis F (x, y = F (x = exp x R(x 1, y dx 1 R (x, y = er konstant som funktion af x for fast y, så er 1 ( Q P (x, y P (x, y x y (x, y y F (x, y = F (y = exp R (x, y 1 dy 1 en integrerende faktor Homene lineære ODE er For alle tal c er y = ce p(x dx, en løsning til ODE er, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = 0. 4

5 1.1.5 Inhomene lineære ODE er En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = r(x har følgende løsninger: ( y = e h e h(x r(x dx + c, hvor h = p(x dx c R Bernoulli-ligningen En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy(x = g(xy(x a, hvor a 1, kan løses ved først at finde en løsning u til følgende lineære ODE af første orden: u (x + (1 ap(xu(x = (1 ag(x, herefter sætte y(x = u(x 1 1 a. 1.2 Metoder til ODE er af anden orden Homene lineære ODE er Linearitet af løsninger Hvis y 1 y 2 er defineret på samme interval begge er løsninger til ODE en y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, (1 så er y = ay 1 + by 2 så en løsning for alle valg af reelle tal a,b R. Løsningerne y 1 y 2 er lineært uafhængige hvis kun hvis Wronski-determinanten W (y 1,y 2 (x = y 1 (xy 2(x y 2 (xy 1 (x er forskellig fra 0 for ét ( dermed alle x. Hvis p q er kontinuerte y 1 y 2 er lineært uafhængige, så er alle løsninger på formen y = ay 1 + by 2 et begyndelsesværdiproblem (1 med har en entydig løsning. y(x 0 = K 0, y (x 0 = K Reduktion af orden Antag, at y 1 er en løsning til ODE en y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0. 5

6 Så er y 2 = y 1 u, hvor u = v 1 (x dx, v 1 = 1 e p(x dx y1 2 så en løsning, y 1 y 2 er lineært uafhængige. Bemærk, at vi er ligeglade med integrationskonstanterne, da det i det ene tilfælde blot svarer til at gange vores løsning med et positivt tal, i det andet tilfælde svarer til at lægge en skalering af y 1 til Konstante koefficienter Løsningerne til en ODE, som kan omskrives til formen afhænger af fortegnet af diskriminanten a 2 4b. y (x + ay (x + by(x = 0, a 2 4b > 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor λ ± = a± a 2 4b 2 c 1, c 2 R. a 2 4b = 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor λ 0 = a 2 c 1, c 2 R. a 2 4b < 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor ω = b 1 4 a Euler-Cauchy-ligninger y(x = c 1 e λ +x + c 2 e λ x, y(x = c 1 e λ 0x + c 2 xe λ 0x, y(x = c 1 e ax 2 sin(ωx + c2 e ax 2 cos(ωx, Løsningerne til en ODE, som kan omskrives til formen x 2 y (x + axy (x + by(x = 0, afhænger af fortegnet af determinanten (a 1 2 4b. (a 1 2 4b > 0: Alle løsninger kan skrives på formen y(x = c 1 x m + + c 2 x m, hvor m ± = 1 a 1 ± (a b c 1, c 2 R. (a 1 2 4b = 0: Alle løsninger kan skrives på formen y(x = c 1 x 1 a 2 + c 2 ln( x x 1 a 2. (a 1 2 4b < 0: Alle løsninger kan skrives på formen hvor ω = y(x = c 1 x 1 a 2 sin(ω ln(x + c 2 x 1 a 2 cos(ω ln(x, b 1(a

7 1.2.2 Ikke-homene, lineære ODE er Linearitet af løsninger Løsningsrummet til en ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy (x + q(xy(x = r(x (2 hvor r 0 er ikke lineært, men hvis y p er en løsning til (2 (en partikulær løsning, så kan enhver løsning skrives på formen y g = y p + y h, hvor y h er en løsning til den tilhørende homene ligning y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, (3 hvis løsningsrum er lineært. Tilsvarende, hvis y p ỹ p er to løsninger til (2, så er y h = y p ỹ p en løsning til ( De ubestemte koefficienters metode Denne metode går ud på at lave kvalificerede gæt y p på en løsning til en ODE, som kan skrives på formen y (x + ay (x + by(x = r(x, (4 hvor a b er konstanter, mens r = i r i er en sum af af funktioner, som kan skrives på en af følgende måder: ke γx, kx n, k sin(ωx, k cos(ωx, ke αx sin(ωx, ke αx cos(ωx. Her er k, γ ω reelle konstanter, mens n N {0}. Det kvalificerede gæt y p har et led f i pr. led r i, der indgår i r, disse led vælges efter følgende tabel. Led r i i r(x ke γx Valg af led f i i y p (x Ce γx kx n (n N } K n x n + K n 1 x n K 1 x 1 + K 0 k sin(ωx k cos(ωx } K cos(ωx + M sin(ωx ke αx cos(ωx ke αx sin(ωx e αx (K cos(ωx + M sin(ωx Her er konstanterne γ, n, ω α de samme som i det tilsvarende led i r, mens C, K, M K j, j = 0,...,n er ukendte konstanter, der er unikke for hvert led i y p = f i, som skal bestemmes. Hvis et led f i er en løsning til den tilsvarende homene ODE, y (x + ay (x + by(x = 0, (5 så erstattes f i med funktionen f i : x xf i. Hvis så f i er en løsning til (5, så erstattes f i med x x 2 f i = x f i. Gættet y p indsættes nu i (4, hvorefter de ukendte konstanter bestemmes. 7

8 Forstyrrede masse-fjeder-systemer Betragt ODE en my (t + cy (t + ky(t = F 0 cos(ωt, hvor m, k, F 0 ω er positive konstanter mens c er ikke-negativ lad ω 0 = ω ω 0, så er y p (t = a cos(ωt + b sin(ωt = C cos(ωt + δ m(ω0 2 ω 2 en løsning, hvis a = F 0 m 2 (ω0 2 ω ω 2 c b = F ωc ωc 2 0 eller tan(δ = m 2 (ω0 2 ω ω 2 c2 F C = 0 m. 2 (ω0 2 ω2 2 +ω 2 c 2 Hvis c = 0 ω ω 0, så reducerer det til y p (t = F 0 m(ω 2 0 ω 2 cos(ωt ρ = k F 0 a = 1 1 ( ω ω 0 2 kaldes resonansfaktoren. En anden løsning for c = 0 ω ω 0 er k m. Hvis c > 0 eller m(ω 2 0 ω2 Hvis c = 0 ω = ω 0, så er en løsning. ỹ p (t = F 0 m(ω0 2 ω 2 sin( ω 0 +ω t sin ( ω 0 ω 2 2. y p (t = F 0 2mω 0 t Hvis 0 < c 2 2mk, så har løsningerne den største amplitude når ω = tilfælde går alle løsninger mod ω 2 0 c2 2m 2 i dette y p (t = 2mF 0 c cos(ωt δ, 4m 2 ω0 2 c2 hvor tan(δ = 2mω c når t De arbitrære parametres variationsmetode En ODE, som kan omskrives til formen y (x + p(xy (x + q(xy(x = r(x, hvor p, q r er kontinuerte funktioner, har løsningen y p = y 1 y2 (xr(x W (x dx + y 2 y1 (xr(x W (x hvor y 1 y 2 er løsninger til det tilhørende homene problem, W = y 1 y 2 y 1y 2. y (x + p(xy (x + q(xy(x = 0, 8 dx,

9 1.3 Laplace-transformationen Laplace-transformationen af udvalgte funktioner f(t 1 t t 2 t n n=0,1,2,... t a a 0 e at L(f(s 1 s 1 2! n! s 2 s 3 s n+1 Γ(a+1 s a+1 1 s a f(t cos(ωt sin(ωt cosh(at sinh(at e at cos(ωt e at sin(ωt L(f(s s s 2 +ω 2 ω s 2 +ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a 2 +ω 2 ω (s a 2 +ω Linearitet af Laplace-transformationen dens inverse Laplace-transformationen er lineær, dvs. hvis man kender Laplace-transformationen L(f af f Laplace-transformationen L(g af g, så kan man udregne Laplace-transformationen af af + bg, hvor a b er reelle tal, på følgende måde: L(af + bg = al(f + bl(g. TIlsvarende er Laplace-transformationens inverse lineær, dvs. hvis man kender L 1 (F = f L 1 (G = g, så kan man udregne den inverse Laplace-transformation af af + bg, hvor a b er reelle tal, på følgende måde: L 1 (af + bg = al 1 (F + bl 1 (G Forskydning af s-variablen Hvis L(f = F, g(t = e at f(t, så er L(g(s = L(t e at f(t(s = F (s a Laplace-transformationen af afledede Hvis Laplace-transformationen F = L(f af f f s afledede eksisterer, så er L(f (n (s = s n F (s s n 1 f(0 s n 2 f (0 s 1 f (n 2 (0 f (n 1 (0. Specielt er L(f (s = s 2 F (s sf(0 f (0 L(f (s = sf (s f(0. 9

10 1.3.5 Laplace-transformationen af integraler Hvis Laplace-transformationen L(f = F af f Laplace-transformationen af integralet af f eksisterer, dvs. hvis Laplace-transformationen G = L(g af funktionen g givet ved g(t = t f(x dx 0 eksisterer, så er G(s = L(g(s = L(t t 0 f(x dx(s = 1 s F (s Løsning af begyndelsesværdiproblemer Begyndelsesværdiproblemer med t 0 = 0 Begyndelsesværdiproblemer såsom y (t + ay (t + by(t = r(t, y(0 = K 0, y (0 = K 1, hvor a, b, K 0 K 1 er konstanter, funktionen r er tilpas pæn, kan omskrives til et algebraisk problem ved at tage Laplace-transformationen på begge sider: hvilket i dette tilfælde kan skrives som L(y + ay + by(s = L(r(t (s 2 Y (s sy(0 y (0 + a(sy (s y(0 + by (s = (s 2 + as + by (s (s + ak 0 K 1 = R(s hvor Y = L(y R = L(r. Ved at isolere Y (s fås Y (s = (s + ak 0 + K 1 + R(s s 2 + as + b = ( (s + ak 0 + K 1 Q(s + R(sQ(s, (6 hvor Q(s = 1 s 2 +as+b = 1 (s+ 1 2 a2 +b 1 4 a2. Vi kan nu løse begyndelsesværdiproblemet ved at tage den inverse Laplace-transformation af ((s + ak 0 + K 1 Q(s + R(sQ(s Forskydning af begyndelsesværdibetingelsen Begyndelsesværdiproblemer såsom y (t + ay (t + by(t = r(t, y(t 0 = K 0, y (t 0 = K 1, hvor a, b, K 0 K 1 er konstanter t 0 0 kan løses ved at sætte t = t t 0, ỹ( t = y( t + t 0, løse ỹ ( t + aỹ ( t + bỹ( t = r( t, ỹ(0 = K 0, ỹ (0 = K 1, ved at finde Ỹ herefter ỹ( t, hvorefter y findes ved at benytte, at y(t = ỹ( t = ỹ(t t 0. 10

11 1.3.7 Partialbrøker Antag, at vi har en polynomiumsbrøk på følgende form: hvor Q(s = i=1 P (s Q(s, n m (s r i (s 2 + a j s + b j, hvor r i r i+1, a j a j+1, j=1 hvor s 2 + a j s + b j ingen reelle rødder har for j = 1,..., m, P (s er et polynomium af grad n+2m 1 eller grad n+2m 2. Hvis r i r i+1 for alle i = 1,..., n 1, a j s+b j a j+1 s+b j+1 for alle j = 1,..., m 1, man kan finde n+2m konstanter, A k, B l, C l, R, k = 1,..., n, l = 1,..., m, så så er P (s = n k=1 A k n i=1 i k (s r i m (s 2 + a j + b j + j=1 P (s Q(s = n k=1 A k s r k + m (B l s + C l l=1 m l=1 n m (s r i (s 2 + a j s + b j, (7 i=1 B k s + C k s 2 + a k s + b k, hvor vi minder om, at s 2 + a k s + b k = (s + 1a 2 k 2 + b k 1 4 a2 k. Hvis vi desuden har, at m = 0, så kan konstanterne A k findes ved blot at indsætte r k i (7 isolere A k : j=1 j l A k = ni=1 P (r k (r k r i i k (hvis m = 0. Hvis i stedet r i = r i+1 (men r i+1 r i+2, hvis i n 2 for et eller flere i {1, 2,..., n 1}, a j s+b j a j+1 s+b j+1 for alle j = 1,..., m 1, man kan finde n+2m konstanter, A k, B l, C l, R, k = 1,..., n, l = 1,..., m, så P (s = A 1 + n i=2 (s r i n m (s 2 + a j + b j + j=1 A k (s r k k=2 r k =r k 1 + m (B l s + C l l=1 i=1 i k n A k k=2 i=1 r k r k 1 i k n m (s r i (s 2 + a j + b j i=1 j=1 n m (s r i (s 2 + a j + b j, j=1 j l n m (s r i (s 2 + a j s + b j j=1 (8 så er P (s Q(s = A 1 s r 1 + n k=2 r k r k 1 A k s r k + n k=2 r k =r k 1 A k (s r k + m 2 l=1 B k s + C k s 2 + a k s + b k. (9 11

12 Lignende tricks virker så i tilfældet hvor r i = r i+1 = = r i+k for k 2 et (eller flere i {1,..., n 1}, eller a j s + b j = a j+1 s + b j+1 for et j {1,..., m 1}, men formlerne svarende til (8 (9 bliver tilsvarende mere komplicerede. Det anbefales her at prøve sig frem med passende udtryk i stil med (9 herfra finde et udtryk a la (8 ved at gange igennem med Q(s på begge sider. 1.4 Systemer af ODE er Konvertering af ODE er af orden n til systemer af n ODE er af orden 1 En ODE af orden n på formen y (n (t = F (t,y(t,y (t,...,y (n 1 (t er ækvivalent med følgende system af n ODE er af første orden: y 1 = y 2 y 2 = y 3 y n 1 = y n y n = F (t,y 1,y 2,...,y n via identifikationen y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y, y n = y (n Systemer af ODE er af orden 1 med konstante koefficientmatricer Et system af n ODE er af orden 1 på formen y = Ay, hvor A er en konstant koefficientmatrix, som har de reelle egenværdier λ 1, λ 2,..., λ n med tilhørende egenvektorer v 1, v 2,..., v n har den generelle løsning c 1 v 1 e λ 1 + c 2 v 2 e λ c n v n e λn, hvor c 1, c 2,..., c n er reelle konstanter. 12

13 1.5 Fourierrækker Udregning af Fourierkoefficienter mm. Hvis f er en 2π-periodisk funktion, som er tilpas pæn, så er f s Fourierkoefficienter givet ved a 0 (f = 1 2π a n (f = 1 π b n (f = 1 π π π π π π π f(x dx, f(x cos(nx dx f(x sin(nx dx for alle n N Fourierrækken for f er givet ved a 0 (f + ( an (f cos(nx + b n (f sin(nx. (10 n=1 Hvis f er stykkevist kontinuert med venstre- højreafledede overalt, så er den tilpas pæn i ovenstående forstand, Fourierrækken (10 konvergerer punktvis mod f i f s kontinuitetspunkter, mens den konvergerer mod gennemsnittet af højre venstre grænseværdi i diskontinuitetspunkter Lige ulige funktioner Hvis f er 2π-periodisk, tilpas pæn lige (dvs. f( x = f(x, så er b n (f = 0 for alle n 1 a n (f, n 0, kan udregnes på følgende vis: a 0 (f = 1 π π 0 f(x dx a n (f = 2 π π 0 f(x cos(nx dx for n = 1,2,3,.... Hvis f er 2π-periodisk, tilpas pæn ulige (dvs. f( x = f(x, så er a n (f = 0 for alle n 0 b n (f, n 1, kan udregnes på følgende vis: b n (f = 2 π π Linearitet af Fourierkoefficienter 0 f(x sin(nx dx. Hvis f g har Fourierkoefficienterne a 0 (f, a n (f b n (f hhv. a 0 (g, a n (g b n (g, så har funktionen c 1 f + c 2 g, hvor c 1 c 2 er reelle tal, Fourierkoefficienterne a 0 (c 1 f + c 2 g = c 1 a 0 (f + c 2 a 0 (g, a n (c 1 f + c 2 g = c 1 a n (f + c 2 a n (g b n (c 1 f + c 2 g = c 1 b n (f + c 2 b n (g, hvor n = 1, 2, 3,..., 13

14 1.5.4 Periodeskift Hvis f er 2L-periodisk, så er Fourierrækken for f givet ved ( ( nπ nπ a 0 (f + a n (f cos L x + b n (f sin( L x, hvor for n = 1, 2, 3,.... n=1 a 0 (f = 1 2L a n (f = 1 L b n (f = 1 L Halvsidige udviklinger n=1 L L L L L L f(x dx ( nπ f(x cos L x dx ( nπ f(x sin L x dx, Hvis f : [0, L] R er kontinuert, så er ( nπ f(x = a 0 (f + a n (f cos L x = for alle x (0, L, hvor a 0 (f = 1 L a n (f = 2 L b n (f = 2 L L 0 L 0 L 0 f(x dx n=1 ( nπ f(x cos L x dx ( nπ f(x sin L x dx. Funktionerne f l f u defineret for alle x R givet ved ( nπ f l (x = a 0 (f + a n (f cos L x f u (x = n=1 er hhv. den lige den ulige 2L-periodiske udvidelse af f. 1.6 Metoder til PDE er af anden orden Den éndimensionelle bølgeligning Den éndimensionelle bølgeligning ( nπ b n (f sin L x n=1 ( nπ b n (f sin L x u tt = c 2 u xx, hvor c 2 = T ρ, (11 14

15 på (x, t [0, L] R 0 med randbetingelsen begyndelsesværdibetingelserne u(0, t = u(l, t = 0 (12 u(x, 0 = f(x (13 u t (x, 0 = g(x, (14 hvor f, g : [0, L] R er to tilpas pæne funktioner, kan løses som beskrevet i de efterfølgende underunderafsnit Fourierrækkemetoden Lad λ n = cnπ L u(x, t = u n (x, t = n=1 ( bn cos(λ n t + b n sin(λ n t nπ sin( L x, n=1 hvor b n erne er Fourierkoefficienterne til den 2L-periodiske, ulige, halvsidige udvikling af f b n = 2 L ( nπ f(x sin L 0 L x dx b n = 2 L ( nπ g(x sin cnπ 0 L x dx. Så er u løsningen til bølgeligningen (11 med randbetingelsen (12 begyndelsesværdibetingelserne (13 (14. Funktionerne u n (x, t = ( b n cos(λ n t+b n sin(λ n t sin ( nπ x kaldes egenfunktioner L med egenværdier λ n har frekvenserne λn. Mængden {λ 2π n n N} kaldes spektrummet, u 1 kaldes fundamentaltilstanden, mens u n kaldes for overtoner for n D Alemberts løsning Lad u(x, t = 1 ( 1 x+ct f(x + ct + f(x ct + g(s ds, 2 2c x ct hvor f g antages ulige 2L-periodiske. Så er u løsningen til bølgeligningen (11 med randbetingelsen (12 begyndelsesværdibetingelserne (13 ( Den endimensionelle varmeligning Løsningen af den éndimensionelle varmeligning på (x, t [0, L] R 0 begyndelsesværdibetingelsen u t = c 2 u xx, hvor c 2 = K σρ, (15 u(x, 0 = f(x (16 hvor f : [0, L] R er en tilpas pæn funktion, afhænger af randbetingelsen som beskrevet i de efterfølgende underunderafsnit. 15

16 Randbetingelsen u(0, t = u(l, t = 0 Hvis begge ender fastholdes på temperaturen 0, så har systemet randbetingelsen I givet fald er u(x, t = u(0, t = u(l, t = 0. (17 u n (x, t = n=1 hvor λ n = cnπ L b n (f = 2 L L 0 n=1 ( nπ b n (f sin L x e λ2nt, ( nπ f(x sin L x dx, løsningen til (15 med begyndelsesværdibetingelsen (16 randbetingelserne (17. Koefficienterne b n (f er altså Fourierkoefficienterne for den 2L-periodiske, ulige, halvsidige udvikling af f. Funktionerne u n (x, t = sin ( nπ L x e λ2 n t kaldes for problemets egenfunktioner med egenværdier λ n Isolerede endepunkter Hvis begge ender er isolerede, så har systemet randbetingelsen I givet fald er hvor λ n = cnπ L a 0 (f = 1 L u(x, t = L 0 u x (0, t = u x (L, t = 0. (18 u n (x, t = a 0 (f + n=0 f(x dx a n (f = 2 L n=1 L 0 ( nπ a n (f cos L x e λ2nt, ( nπ f(x cos L x dx for n 1, løsningen til (15 med begyndelsesværdibetingelsen (16 randbetingelsen (18. Koefficienterne a 0 (f a n (f er altså Fourierkoefficienterne for den 2L-periodiske, lige, halvsidige udvikling af f. Funktionerne u n (x, t = sin ( nπ L x e λ2 nt kaldes for problemets egenfunktioner med egenværdier λ n. 2 Numeriske metoder 2.1 Løsning af ligninger Fikspunktiteration Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen g(x = x. Lad x 0 være et gæt på en løsning s til ligningen g(x = x. Definér nu rekursivt x 1 = g(x 0, x 2 = g(x 1,..., x n+1 = g(x n,..., for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. En tilstrækkelig betingelse er givet i sætningen nedenfor. 16

17 Sætning 2.1. Lad s være en løsning til x = g(x antag, at g er kontinuert differentiabel i et interval J omkring s. Hvis g (x K < 1 i J, så konvergerer følgen {x n } n=0 mod x = s, såfremt x 0 J Newtons metode Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen f(x = 0, hvor f er en kontinuert differentiabel funktion. Lad x 0 være et gæt på en løsning s til ligningen f(x = 0. Definér nu rekursivt x 1 = s 0 f(x 0 f (x 0, x 2 = x 2 f(x 1 f (x 2,..., x n+1 = x n f(x n f (x n,..., for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. Følgende sætning udtaler sig om hastigheden af konvergensen. Sætning 2.2. Hvis f er to gange differentiabel f (s ikke er 0, hvor f(s = 0 er en løsning, så er Newtons metode mindst af orden Sekantmetoden Antag, at vi vil finde en løsning til en ligning på formen f(x = 0. Lad x 0 x 1 være to forskellige gæt på en løsning s til ligningen f(x = 0. Definér nu rekursivt x 1 x 0 x 2 = x 1 f(x 1 f(x 1 f(x 0, x x 2 x 1 3 = x 2 f(x 2 f(x 2 f(x 1,... x n x n 1 x n+1 = x n f(x n f(x n f(x n 1,... for alle n 1. I visse tilfælde vil følgen {x n } n=0 nu nærme sig løsningen s, når n vokser, altså x n s for n. 2.2 Interpolationspolynomier Polynomium gennem n + 1 punkter Givet n + 1 punkter i planen, (x i, y i, i = 0,..., n, hvor x i x i når i j, findes et entydigt polynomium p n af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i. 17

18 Lagrange-interpolation Lad (x i, y i, i = 0,..., n være n + 1 punkter i planen hvor x i x j for i j. Lad Så er l j (x = n (x x i = (x x 0 (x x 1 (x x j 1 (x x j+1 (x x n i=0 i j L j (x = l j(x l j (x j. p n (x = n y i L i (x det polynomium af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i Newtons divideret differens-metode Lad (x i, y i, i = 0,..., n være n + 1 punkter i planen hvor x i x j for i j. Lad i=0 f[x i ] = y i, f[x 0,..., x k ] = f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0, g i (x = f[x 0,..., x i ](x x 0 (x x i 1 = f[x 0,..., x i ] j<i(x x j. Så er p n (x = n g i (x det polynomium af grad (højst n, som opfylder, at p n (x i = y i Polynomiumsapproksimation af funktioner Hvis f : A R, A R er en funktion, som vi kender værdien af i x i, i = 0,..., n, hvor x i x j for i j, altså hvis vi kender f(x i for i = 0,..., n, så kaldes polynomiet p n gennem (x i, f(x i, i = 0,..., n for en polynomiumsapproksimation af f. Hvis x [min i (x i, max i (x i ], så kaldes p n (x for den interpolerede værdi, mens p n (x kaldes den ekstrapolerede værdi, hvis x / [min i (x i, max i (x i ]. Hvis vi for et x [min i (x i, max i (x i ] bruger p n (x i stedet for f(x, så er fejlen ε n = f(x p n (x = (x x 0 (x x 1 (x x n f (n+1 (t x (n + 1! for et t x [min i (x i, max i (x i ]. Vi kan altså finde en øvre en nedre grænse for ε n ved at finde øvre nedre grænser for f (n i=0

19 2.3 Numerisk integration Midtpunktsreglen Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a x n 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er n = h f(x i h 2 J m n i=1 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn m b f(x dx for n. Midtpunktsreglen har præcisionsgrad 1. a Trapezreglen Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a n x 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er Jn t = h ( n 1 f(a + f(b + h f(x i 2 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn t b f(x dx for n. Hvis f er to gange differentiabel, så findes et x a t [a, b] så i=1 ε t n = b a 12 h2 f (x t, hvor ε t n = b a f(x dx J t n er fejlen i approksimationen. Hvis n er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: Trapezreglen har præcisionsgrad Simpsons regel Lad f : [a, b] R. For et n N sætter vi h = b a n J S n = h 6 ( f(a + f(b + 2h 3 ε t n 1 3 (J n t J t n. 2 x 0 = a, x i = x 0 + ih for i = 1,..., n.. Så er n f(x i h + h n 1 f(x 2 i 3 en approksimation af b f(x dx hvis f er tilpas pæn eksempelvis hvis f er kontinuert så a har vi at Jn S b f(x dx for n. Hvis f er fire gange differentiabel, så findes et x a S [a, b] så i=1 ε S (b a n = 2880 h4 f (4 (x S, hvor ε S n = b a f(x dx J S n er fejlen i approksimationen. Hvis n er et lige tal kan fejlen approksimeres vha. følgende formel: Simpsons regel har præcisionsgrad 3. ε S n 1 15 (J n S J S n i=1

20 2.3.4 Gauss-kvadratur Lad f : [a, b] R. For et n N, n 2, sætter vi J G n = b a 2 n i=1 ( b a w i f 2 z i + a + b, 2 for nle særlige vægte w i punkter z i. For n mellem 2 5 kan vægtene punkterne aflæses i følgende tabel. Antal målepunkter n punkter z i vægte w i præcisionsgrad N 2 ± ± ± ± ± 1 3 ± Gauss-kvadratur har præcisionsgrad 2n Enkeltskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Numeriske enkeltskridtsmetoder til løsning af ODE er af første orden går ud på at finde en følger x n y n, med x n < x n+1, så y(x n y n, hvor y n findes ud fra x n 1 y n Euler-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + hf(x n, y n. Så er den lokale diskretiseringsfejl O(h 2 den globale diskretiseringsfejl O(h. Euler-metoden er altså en førsteordensmetode. 20

21 2.4.2 Heuns metode Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved ỹ n+1 = y n + hf(x n, y n y n+1 = y n + h 2 ( f(xn, y n + f(x n+1, ỹ n+1. Heuns metode er en andenordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 3 global diskretiseringsfejl O(h RK4-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + 1 6( k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4, for n = 0,1,2,..., hvor k 1 = hf(x n, y n, k 2 = hf(x n + h, y 2 n + 1k 2 1, k 3 = hf(x n + h, y 2 n + 1k 2 2, k 4 = hf(x n + h, y n + k 3. RK4-metoden er en fjerdeordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 5 global diskretiseringsfejl O(h 4. Fejlen ε h 2n = y(x 2n y 2n kan estimeres ved ε h 2n 1 15 (yh 2n y 2h n Runge-Kutta-Fehlberg Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved y n+1 = y n + γ 1 k γ 6 k 6 21

22 ỹ n+1 = y n + γ 1 k γ 5 k 5, hvor ( γ1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 γ 6 = ( ( ( γ1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 = mens k 1 = hf(x n, y n, k 2 = hf(x n h, y n k 1, k 3 = hf(x n h, y n k k 2, k 4 = hf(x n , y n k k k 3, k 5 = hf(x n + h, y n k 1 8k k k 4 k 6 = hf(x n + h 2, y n 8 27 k 1 + 2k k k k 5. Et estimat på fejlen ε n+1 = y(x n+1 y n+1 kan udregnes på følgende måde: ε n+1 y n+1 ỹ n+1 = k k k k k 6. Runge-Kutta-Fehlberg er en femteordensmetode Baglæns Euler Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Antag, at f er så tilpas simpel, at y n+1 kan isoleres i udtrykket y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved at isolere y n+1 i ovenstående formel. Baglæns Euler er kun en førsteordensmetode, men har den fordel, at den kan bruges på stive ODE er. 2.5 Mangeskridtsmetoder til numerisk løsning af ODE er af første orden Numeriske mangeskridtsmetoder til løsning af ODE er af første orden går ud på at finde en følger x n y n, med x n < x n+1, så y(x n y n, hvor y n findes ud fra x n 1,..., x n m y n 1,..., y n m, m 2. 22

23 2.5.1 Adams-Bashforth-metoder Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Antag, at vi kender y 1, y 2 y 3. Definér y n, n = 4, 5, 6,..., rekursivt ved y n+1 = y n + h 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3, hvor f i = f(x i, y i for alle i = 0, 1, 2,.... Dette er en Adams-Bashforth-metode af fjerde orden Adams-Moulton-metoder Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Antag, at vi kender y 1, y 2 y 3. Definér y n, n = 4, 5, 6,..., rekursivt ved ỹ n+1 = y n + h 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3 y n+1 = y n + h 24 (9 f n f n 5f n 1 + f n 2, (19 hvor f i = f(x i, y i f i (x i, ỹ i for alle i = 0, 1, 2,.... Vi kan estimere fejlen i det (n + 1 ste skridt ε n+1 = y(x n+1 y n+1 ved ε n (y n+1 ỹ n+1. Estimeres fejlen til at være uacceptabel stor, kan man gentage processen ved at erstatte ỹ n+1 med y n+1. Altså fås ȳ n+1 = y n + h 24 (9f n f n 5f n 1 + f n 2 den nye fejl ε n+1 = y(x n+1 ȳ n+1 kan estimeres ved ε n (ȳ n+1 y n+1. Denne process kan naturligvis gentages, indtil man estimerer fejlen til at være tilpas lille. Denne prædiktor-korrektor-metode kaldes Adams-Moulton-metoden af fjerde orden. Adams-Moultonmetoden er generelt meget mere præcis end en Adams-Bashforth-metode af samme orden er desuden numerisk stabil. 2.6 Metoder til førsteordenssystemer Numeriske metoder til løsning af systemer af ODE er går ud på at finde en følger x n Y n, hvor x n < x n+1, så Y (x n Y n. 23

24 2.6.1 Euler-metoden Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0, hvor Y er en ukendt d-dimensionel vektorfunktion, F er en kendt d-dimensionel funktion af d + 1 variable, Y 0 er en kendt d-dimensionel vektor x 0 er et kendt punkt. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved Y n+1 = Y n + hf (x n, Y n. Så er den lokale diskretiseringsfejl O(h 2 den globale diskretiseringsfejl O(h. Euler-metoden er altså en førsteordensmetode RK4 Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0, hvor Y er en ukendt d-dimensionel vektorfunktion, F er en kendt d-dimensionel funktion af d + 1 variable, Y 0 er en kendt d-dimensionel vektor x 0 er et kendt punkt. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved hvor Y n+1 = Y n (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4, K 1 = hf (x n, Y n, K 2 = hf (x n + 1h, Y 2 n + 1K 2 1, K 3 = hf (x n + 1h, Y 2 n + 1K 2 2 K 4 = hf (x n + h, Y n + k 3. RK4-metoden er en fjerdeordensmetode med lokal diskretiseringsfejl O(h 5 global diskretiseringsfejl O(h Baglæns Euler Betragt begyndelsesværdiproblemet Y (x = F (x, Y (x, hvor Y (x 0 = Y 0. Antag, at F er så tilpas simpel, at Y n+1 kan isoleres i udtrykket Y n+1 = Y n + hf (x n+1, Y n+1. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér Y n, n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved at isolere Y n+1 i ovenstående formel. Baglæns Euler er kun en førsteordensmetode, men har den fordel, at den kan bruges på stive ODE er. 24

25 2.7 Metoder til numerisk løsning af ODE er af anden orden Numeriske metoder til løsning af ODE er af anden orden går ud på at finde følger x n, y n y n, hvor x n < x n+1, så y(x n y n y (x n y n Runge-Kutta-Nyström-metoder y (x = f(x, y(x, y (x Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, y (x, hvor y(x 0 = y 0 y (x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n y n for n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved hvor y n+1 = y n + h(y n + 1(k k 2 + k 3 y n+1 = y n + 1(k k 2 + 2k 3 + k 4, k 1 = 1hf(x 2 n, y n, y n, k = 1 2 h(y n + 1k 2 1, k 2 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n + k, y n + k 1, k 3 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n + k, y n + k 2, l = h(y n + k 3 k 4 = 1hf(x 2 n + h, y n + l, y n + 2k 3. Denne metode kaldes en Runge-Kutta-Nyström-metode y (x = f(x, y(x Betragt begyndelsesværdiproblemet y (x = f(x, y(x, hvor y(x 0 = y 0 y (x 0 = y 0. Lad h > 0 være en skridtlængde sæt x n = x 0 + nh for n = 0, 1, 2,.... Definér y n y n for n = 0, 1, 2,..., rekursivt ved k 1 = 1hf(x 2 n, y n, k 2 = 1hf(x 2 n + 1h, y 2 n h(y n + 1k 2 1 = k 3, k 4 = 1hf(x 2 n + h, y n + h(y n + k 2, y n+1 = y n + h(y n + 1(k k 2 y n+1 = y n + 1(k k 2 + k 4. Denne metode kaldes en Runge-Kutta-Nyström-metode. 25

26 2.8 Numerisk metode til Laplace- Poisson-ligningerne i to dimensioner Lad h > 0 være en skridtlængde lad x i = x 0 + ih y j = y 0 + jh for alle i, j Z, hvor x 0 y 0 evt. er 0. Så udgør mængden af punkter på formen (x i, y j et gitter. Antag, at den todimensionelle Laplace-ligning 2 u = u xx + u yy = 0 eller den todimensionelle Poisson-ligning 2 u = u xx + u yy = f(x, y, har løsningen u(x, y for (x, y D, hvor D er en tilpas pæn delmængde af R 2. Hvis vi for de (i, j, hvor (x i, y j D, kan finde u i,j, så u(x i, y j u i,j, så kalder vi mængden af disse u i,j er for en numerisk løsning til Laplace- eller Poisson-ligningen Regulær rand Kald randen af D for D. Antag, at vi for et passende valg af x 0, y 0 h > 0 har, at ethvert punkt (x i, y j D enten er et randpunkt, (x i, y j D, eller at de fire nabopunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1, så ligger i D, at h er lille. Så kan vi finde en numerisk løsning til Laplace-ligningen, som opfylder følgende lineære ligningssystem: u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = 0, for (i, j så (x i, y j D \ D, (20 mens der for Poisson-ligningen tilsvarende findes en numerisk løsning, som opfylder følgende lineære ligningsystem: u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = h 2 f(x i,y j, for (i, j så (x i, y j D \ D. (21 Bemærk i øvrigt, at (20 svarer til (21 med f Dirichlet-randbetingelser Hvis vi har Dirichlet-randbetingelser, dvs. hvis u s værdi er angivet på randen, så mangler vi blot at sætte u i,j = u(x i, y j for (i, j så (x i, y j D, (22 hvorefter vi kan løse ligningssystemet bestående af ligningerne i (20 eller (21 samt ( Neumann- blandede randbetingelser Antag nu, at vi har Neumann-randbetingelser på (dele af randen, dvs. vi kender u n (x u i, y j = n 1 x + n u 2 y i stedet for u(x i, y j for visse (i, j så (x i, y j D, hvor n = ( n 1 n 2 er en ydre normalvektor til D. I de punkter (x i, y j, hvor vi har Neumann-randbetingelser, erstattes (22 så af u n (x u i+1,j u i 1,j i, y j = n 1 2h 26 + n 2 u i,j+1 u i,j 1 2h (23

27 , hvis der er tale om en Laplace-ligning, eller u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = 0, (24 u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 4u i,j = h 2 f(x i, y j, (25 hvis der er tale om en Poisson-ligning. Bemærk, at visse af disse værdier svarer til punkter udenfor D. Hvis D er tilpas pæn, vil (23 (24 eller (25, hvor der er Neumann-randbetingelser i punktet (x i, y j, (22, hvor der er Dirichlet-randbetingelser i punktet (x i, y j, sammen med (20 eller (21, hvor (x i, y j D \ D, give et ligningssystem med en entydig løsning Irregulær rand Hvis ikke det gælder, at ethvert punkt (x i, y j D enten er et randpunkt, (x i, y j D, eller at de fire nabopunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1, så ligger i D, så skal ovenstående metoder modificeres Dirichlet-randbetingelser Antag, at (x i, y j D ikke er et randpunkt, at et eller flere af nabopunkterne (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger udenfor D. Hvis (x i+1, y j ligger i D, lader vi a = 1, x A = x i+1 sætter u A = u i+1,j. Ellers vælges a, 0 < a < 1, så (x A, y j D, hvor x A = x i + ah, vi sætter u A = u(x A, y j. Hvis (x i, y j+1 ligger i D, lader vi b = 1, y B = y j+1 sætter u B = u i,j+1. Ellers vælges b, 0 < b < 1, så (x i, y B D, hvor y B = y j + bh, vi sætter u B = (x i, y B. Hvis (x i 1, y j ligger i D, lader vi p = 1, x P = x i 1 sætter u P = u i 1,j. Ellers vælges p, 0 < p < 1, så (x P, y j D, hvor x P = x i ph, vi sætter u P = u(x P, y j. Hvis (x i, y j 1 ligger i D, lader vi q = 1, y Q = y j 1 sætter u Q = u i,j 1. Ellers vælges q, 0 < q < 1, så (x i, y Q D, hvor y Q = y j qh, vi sætter u Q = u(x i, y Q. Så kan vi finde en numerisk løsning, som opfylder følgende ligning: u A a(a + p + u B b(b + q + hvis der er tale om Laplace-ligningen, u A a(a + p + u B b(b + q + u P p(p + a + u P p(p + a + u Q ap + bq q(q + b abpq u i,j = 0, (26 u Q ap + bq q(q + b abpq u i,j = h2 2 f(x i, y j, (27 hvis der er tale om Poisson-ligningen. For alle (i, j, hvor (x i, y j ikke er et randpunkt, et eller flere af nabopunkterne (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger udenfor D, opstilles nu enten ligning (26 eller (27, for alle (i, j, hvor (x i, y j ikke er randpunkter, (x i 1, y j, (x i+1, y j, (x i, y j 1 (x i, y j 1 ligger indenfor D, opstilles (20 eller (21. Sammen med (22 fås så et lineært ligningssystem med en entydig løsning. 27

28 2.8.3 Gauss-Seidel-iterationsmetoden De ovenstående løsninger kræver alle, at man løser et lineært ligningssystem (der er lige mange ligninger ubekendte; N ligninger med N ubekendte. Skriv det lineære ligningssystem på formen Ax = b, hvor A = (a i,j N i,j=1 er en N N-matrix, x er en vektor bestående af de ukendte værdier, b = ( b 1 b 2... b N er en kendt vektor. Gauss-Seidel-iterationsmetoden går ud på at finde en numerisk løsning til ligningssystemet Ax = b ved hjælp af følgende iterative metode. 1. Først gættes på en løsning, som kaldes x (0 n sættes til Herefter findes x (n = ( x (n+1 1 x (n x (n+1 N på følgende vis: Først sættes x (n+1 1 = 1 a 1,1 (b 1 N j=2 a 1,jx (n j. Dernæst x (n+1 2 = 1 a 2,2 (b 2 1 j=1 a 2,jx (n+1 j Og såfremdeles x (n+1 i = 1 a i,i (b i i 1 j=1 a i,jx (n+1 j Og til sidst x (n+1 N = 1 a N,N (b N N 1 j=1 a N,jx (n+1 j. N j=3 a 2,jx (n j. 3. Nu erstattes n med n + 1 processen gentages fra trin 2. N j=i+1 a i,jx (n j for i = 3,..., N 1. I mange tilfælde (eksempelvis hvis A er såkaldt symmetrisk positiv-definit eller diagonaldominant, så vil følgen x (n gå mod den entydige løsning til ligningssystemet Ax = b. I praksis stopper man processen, når x (n+1 næsten ikke afviger fra x (n. 28