Forecast Analyse. Forecasting af udviklingen i de danske regioners ejendomspriser. Emil McLeman-Hasselgaard Studie nr:

Transkript

1 Aalborg Unverstet Forecast Analyse Forecastng af udvklngen de danske regoners ejendomsprser Eml McLeman-Hasselgaard Stude nr: Rune Lorenz Nelsen Stude nr: Vejleder: Lasse Bork

2 Abstract The Dansh housng market saw a declne as a result of the fnancal crss begnnng n In Denmark the housng prces have been on the rse for the past several years. Ths stuaton s expected to have been brought about from the general economc developments. The purpose of ths paper s to attempt to create a vector autoregressve model, founded n a seres of macro-economc factors whch are expected to affect the Dansh housng market. The low nterest rates consttute part of the explanaton for the rse n housng prces. Internatonal and domestc nterest rates have been declnng for the past several years, whch has resulted n lower user costs for property owners. Part of these user costs s property tax, and n order to pay ths tax, the property owner must have a dsposable ncome. Therefore, the model-estmaton wll be bult on four varables: Housng prces, dsposable ncome, real estate tax revenue and nterest rate on mortgage bonds. The selected data s examned for the presence of unt root through a Dckey-Fuller test, and the modelestmaton s hence conducted. An estmaton of smple autoregressve models and vector autoregressve models s carred out. The estmated models are used n forecasts for Denmark as a whole, and for the Dansh regons, such as to form sx VAR models and sx AR models. The cause for necessty of estmatng dfferent models for the separate regons, s that the housng prces have rsen faster n some parts of the country than others. The estmated models are thus appled, n order to create forecasts wth 2 dfferent forecast ntervals. The forecast values are then closely analysed, such as to facltate an evaluaton of the forecast accuracy of the models. Denmark as a whole, and the Dansh regons wth the excepton of Regon Sjælland get the most precse forecasts when the parsmonous AR models s appled. The best forecast models are subjected to analyss, to determne the future values for development n housng prces. That whch can be deduced, s that the generated VAR models have not been more successful n creatng forecasts than the smple AR models. It s dscussed whether the cause for the low accuracy n the VAR models can be found n the data from the perod of observaton, whch was nfluenced by a housng bubble and a fnancal crss. Sde 1 af 86

3 Indhold 1 Indlednng Metode Afgrænsnng Makroøkonomske faktorer:... 7 Skævhed fordelngen af husprserne... 7 Husprsernes træghed... 8 Den pengepoltske rente... 9 Gæld og formue: User costs Problemformulerng: Databeskrvelse Husprser Indkomst Renten Skat Interpolerng Interpolerng R-Studo Dckey Fuller test Augmented Dckey -Fuller tests Husprser Indkomst Skat Renten Statonartet Autoregressve modeller Ftte data tl en model Brug af AR(1) projektet Forecastng Modeludvælgelse VAR model for hele Danmark Evaluerng af forecast Test af resdualer MSPE Sde 2 af 86

4 Debold Marano Robustheden af forecast Goyal og Welch Debold Marano Analyse af de udvalgte forecast modeller Konkluson Appendks R-studo Matlab ADFtest.m Forecast1.m Evaluerng af forecast Forecast2.m Dmtest.m Ltteraturlste Bøger Internet: Artkler Sde 3 af 86

5 1 Indlednng Fnanskrsen 2008 førte tl nedgang det danske bolgmarked, hvlket har ført tl en perode med faldende prser for enfamlehuse Danmark. Bolgmarkedet er betydnngsfuldt for økonomen som helhed, da markedet påvrker den makroøkonomske og fnanselle stabltet. De seneste år er der blevet observeret stgende bolgprser Danmark, hvlket dog det kke er fuldstændgt gældende, hvs der ses på de enkelte regoner. Dele af regonerne Danmark er plaget af lange lggetder for ejendomme. De stgende ejendomsprser der kun tlfalder nogle af regonerne, gør det nteressant at analysere, om der kan ses en decderet forskel mellem regonerne. Ud fra empr vdes det allerede at husprserne steg mest Regon Hovedstaden før fnanskrsen. De lave renter der nu blver observeret efter fnanskrsen tllægger spørgsmål, om v gen vl se store bolgprsstgnnger Regon Hovedstaden, eller om regonerne f.eks. Jylland også nyder godt af lavrentemljøet. Et alternatvt udfald tl at alle regonerne vl se stgnng bolgprserne, vl være at der nogle regoner kke vl forekomme stgnnger husprserne, men dermod kunne der blve observeret et fald prserne. Bolgprserne, der blver anvendt, er for enfamlehuse, så der kommer dversfkaton regonerne. Med dette projekt forsøges der at forecaste de fremtdge bolgprser på baggrund af 3 makroøkonomske varabler. De makroøkonomske varabler, der blver anvendt, er den gennemsntlge dsponble ndkomst, den gennemsntlge rente på 30 års realkredtoblgatoner og de samlede bolgskattendtægter. Bolgprserne afhænger høj grad af renten, og hvs renterne forblver lave kan det fører tl postve stgnnger bolgprserne. Sden bolgprserne udvkler sg forskellgt regonerne mellem, blver de enkelte varabler der anvendes projektet observeret på regonalplan. En model tl forecast af hele Danmark vl også blve nkluderet for at skabe et helheds bllede. Projektet anvender en tdsperode der starter 1992 og fortsætter op tl slutnngen af Her ved gves der både plads tl det økonomske opsvng der skete 2000'erne, samt opsvngets kollaps Det observerede data her derfor store udsvng nkluderet, hvlket gør det mulgt at tjekke robusthed af model estmatonerne. 2 Metode I dette afsnt vl metoden og opbyggelsen af projektet gennemgås, for at skabe overblk og vse tankegangen bag projektet. En undersøgelse fra den danske Natonalbank erklærer at store udsvng de danske husprser kan destablsere den danske samfundsøkonom 1. For at sætte fokus på dette problem er det vgtgt at forstå mekankkerne/drvkræften bag husprsudvklngen Danmark. Da denne husprsudvklngen kke er ens 1 HOUSE PRICE BUBBLES AND THE ADVANTAGES OF STABILISING HOUSING TAXATION, Klen Asbjørn sde Sde 4 af 86

6 hele Danmark, er det blevet valgt, at sætte fokus på de enkelte regonerne Danmark. Datasættet der ndeholder de valgte varabler for projektet, er observeret for hele Danmark og de fem regoner Danmark, hvor varabler for regonerne er nddelt de respektve opdelnger fortaget af kommunalreformen fra Hele Danmark er blevet valgt for at gve et overordnet overblk af, hvordan den generelle udvklng de danske husprserne har set ud. Opdelngen regoner er blevet lavet på baggrund af, at kunne analysere eventuel varaton udvklngen af bolgprserne baseret på regonale tendenser. Varablerne der ndgår datasættet er fundet relevante, da de forventes at have en påvrknng på husprserne. Relevansen er blevet udledt af en makroøkonomsk gennemgang af, hvlke makroøkonomske varabler der har påvrknng på bolgmarkedet Danmark. Den makroøkonomske gennemgang leder herefter over en analyse af den fremtdge forventnng af bolgprsudvklng. Tl analysen anvendes forecast af to forskellge modeller, hvor en almndelg autoregressv proces sættes tl at være benchmark. Her vl den anden udvalgte model blve holdt op mod benchmark-modellen. Inden det dog er mulgt at estmere de forskellge modeller skal data først testes for statonartet. Dette gøres ved hjælp af en Dckey-Fuller test, der senere udvdes tl en Augmented Dckey-Fuller test. Dckey og Fuller opstller tre forskellge lgnnger, som data kan sges at følge eller være genereret af. Der anvendes en specel metode tl at fnde den optmale data-genererngs lgnng, som data antages at være genereret af. Efter lgnngen for modellen er fundet, ndsættes der et højt antal lag modellen, da augmented Dckey- Fuller tests er meget påvrkelge af lag-længden. Lag-længden blver reduceret ndtl det sdste lag for modellen er sgnfkant, denne metode refereres tl som general to specfc. Efter at den optmale model og lag-længde er fundet, kan data nu testes for unt root. Hvs der er unt root tlstede dataet, kan det antages at data kke er statonært. Efter at der gennem augmented Dckey-Fuller testen er blevet skret, at der kke er unt root dataet, kan modelestmerngen for de udvalgte modeller, der anvendes tl at forecaste husprserne, nu beregnes. Tl dette, er der som beskrevet tdlgere, blevet valgt en autoregressv model tl at være benchmark model, da en smpel model med få parametre ofte forecaster bedre end en model med flere parametre. Alternatv modellen tl den autoregressve proces er en vektor autoregressv model (VAR). VAR modeller har betydelgt flere parametre der skal estmeres, forhold tl en smpel autoregressv model (AR). VAR modellen er stand tl at nkludere flere varabler end en smpel AR. Der kan drages forhåbnngsfulde forventnnger tl at VAR modellen, vl forklare den fremtdge udvklng ejendomsprserne med en højere præcson end en parametersparsommelge model. Efter model udvælgelsen har fundet sted og modellerne er blevet estmeret, kan selve forecastene nu beregnes. Dette gøres ved one step ahead metoden, hvor modellen der anvendes tl forecast blver Sde 5 af 86

7 estmeret på et reduceret dataset, og herefter forecastet en perode frem. Dette blver gentaget så længe der er overskydende data, der kke bruges tl model estmerngen, og derved blver out-of-sample forecast genereret. De første forecast estmernger, der blver dannet, forecaster for en relatv kort tdsperode, som senere vl blve udvdet, for at teste om modellerne er robuste. Den udvdet tdsperode, der udvælges, er peroden som lgger lge efter fnanskrsen. Under fnanskrsen var der forekommet et stor fald husprserne, og det kunne derfor være nteressant at undersøge, om f.eks. VAR modellerne vl være stand tl at fange den nedadgående husprsudvklng. Det grundlæggende analyse arbejde, der blver fortaget, er lavet Matlab, ford der er mndre problematk forhold tl estmerngen, og det llustratve er mere håndterbart Matlab. Tl sdst projektet vl der konkluderes på analysen, samt svares på problemformulerngen. 3 Afgrænsnng Afsnttet afgrænsnng vl ndeholde de mest væsentlge afgrænsnnger, der er fortaget projektet. Der vl kke blve nkluderet specfkke afgrænsnnger for det udvalgte data projektet, da dette blver gjort under databeskrvelsen. - Projektets prmære fokus vl være på ejendomsprserne. Ejendomsprserne for enfamlehuse blver derfor anvendt som værende den varable, der gerne vl forecastes. Enfamlehuse er blevet valgt på baggrund af, det antages, at der er en jævn fordelng af denne type ejendom hele Danmark. Projektet afgrænser sg fra at anvende lejelghedsprserne. Afgrænsnngen er blevet fortaget på baggrund af at nogle af yderkantsområderne regonerne kke vl have et stort udbud af lejlgheder. Enfamlehuse gør det mulgt af få et bredere estmat af hele regonen, og det undgås derfor at få en centrerng af udvklngen husprserne omkrng byer med højt ndbyggertal. - Tdsperoden er blevet automatsk begrænset, da det kke har været meget tlgængelgt data for de enkelte regoner. Derfor er tdsperode for det observerede data sat tl at være fra prmo 1992 tl ultmo 2015, ford det er denne perode, der er mest tlgængelgt data. - Projektet anvender en autoregressv model med ét lag som benchmark, da det ofte er tlfældet, at en smpel model med meget sparsomme parametre, er bedre tl at forecast end en meget parametrseret model. Der gøres også brug af en mere parametrseret model. Her er en vektor autoregressv model blevet valgt tl forecast. VAR model er en standard VAR og kke en strukturel, hvlket er blevet valgt, da Sde 6 af 86

8 der kun vl blve fokuseret på forecastng af husprserne. Denne afgræsnng betyder også, at det kke er mulgt at tlføre choks tl den danske økonom samt de underlggende regoner. - For at fnde den bedste VAR model tl forecast, blver der foretaget en model udvælgelse. Model udvælgelsen gør brug af Akake Informaton krterum og Bayesan nformaton krterum, hvlket er nogle af de mest anvendte selektons krterer tl model udvælgelse. Akake Informaton krterum er et meget overordnet selektons krterer, hvor modellen med de laveste resdualer udvælgelses. Da fokus lgger på at forecaste, er det ekstra selektons krterum form af Bayesan nformaton krterum også blevet valgt tl anvendelse projektet, da Bayesan forhold tl Akake vælger en mere sparsommelg model. - Goyal og Welch's artkel fra 2008 blver anvendt projektet tl at fnde den kumulatve sum af resdualerne. Det er kun et enkelt afsnt, der blver anvendt, hvor formelen der anvendes tl at udregne CPE blver udledt. Den resterende analyse Goyal og Welch skrver om deres artkel blver kke anvendt, da det kke har nogle relevans for projektet. 4 Makroøkonomske faktorer: Dette afsnt vl komme tl at omhandle de makroøkonomske faktorer, som anvendes tl estmerngen af projektets VAR modeller. Det specfkke data, der benyttes projektet, vl kke blve gennemgået her, da dette vl komme senere afsnttet om databeskrvelsen. Der vl stedet blve fokuseret på de makroøkonomske bevægelser, som lgger bag udvklngen ejendomsprserne. Her vl blve lagt ud med at beskrve bolgmarkedet, hvor der, som der vl blve vst næste afsnt, er en opadgående tendens. Herefter vl der blve set på pengepoltkken, som der blver ført Danmark. Denne poltk har stor betydnng, for de mulgheder aktørerne på bolgmarkeder har for at danne lkvdtet. Dette vl lede vdere tl en kort undersøgelse af udvklngen danskernes gæld, som vl blve sat kontrast tl deres formue, som værende pensonsformue og bolgformue. Tl sdst vl der blve set på user cost. Skævhed fordelngen af husprserne Der vl blve vst senere under afsnt 6 databeskrvelsen af varablerne for udvklngen husprserne, er der sgnfkant forskel på de gennemsntlge husprser Regon Hovedstaden og de gennemsntlge husprser resten af landet. Dette forekommer, da skønt kun 26 procent af ejerbolgkvadratmeterne Danmark er Sde 7 af 86

9 placeret Regon Hovedstaden, så udgør dsse 40 procent af den samlede bolgformue 2. Dette er sket på baggrund af en moderate forøgelse af antallet af bolger og ndvandrng fra udlandet, hvlket har ført tl en øget efterspørgsel på det københavnske bolgmarked. Effekten af den øgede efterspørgsel har ført tl at husprserne og huslejen har været stgende, sden 90 erne og frem tl fnanskrsen 3. Den øget efterspørgsel gver lgeledes mndre lggetder på ejendommene, hvlket fører tl større volatltet på ejendomsmarkedet Regon Hovedstaden end de resterende regoner. De stgende prser på bolgerne og den stgende husleje besværlggøre det at få råd tl at bo Regon Hovedstaden. Dette fører tl en sprednng af bolgefterspørgslen, da det enkelte borger kke er vllg eller har mulghed for at betale de høje bolgomkostnnger. Sprednngen af bolgefterspørgslen gver bølgeeffekter over hele Danmark, men da udgangspunktet er København, kan den største effekt ses Regon Sjælland. Sættes fokus på bolgprsudvklngen regonerne, som lgger længere væk fra Regon Hovedstaden, såsom Regon Nordjylland eller Regon Sydjylland, vl bølgeeffekterne være ebbet ud. 4 Det kan være svært at se hvordan en stgnng bolgprserne København kan have effekt på bolgprsudvklngen Regon Nordjylland. Her skal der tages højde for de natonale forhold, hvor lovmæssge ændrnger og udvklngen renten på de danske realkredtoblgatoner, vl have en smultan effekt på bolgprsudvklngen hele Danmark. Her kan der også ses en substtutonseffekt, hvor stgnngen husprserne fører tl at efterspørgslen bevæger sg fra regon tl regon, således prsforskellen blver udjævnet. Derved vl stgnnger husprserne Regon Sjælland fører tl stgnnger husprserne Regon Mdtjylland. Husprsernes træghed I et nedadgående marked kan sælger på bolgmarkedet vælge at vente med salget, ndtl at husprserne begynder at stge gen, og sælger kan få den ønskede prs. Dette gør, at bolgmarkedet er et skævt marked, hvor sælger oftest har fordelene. Når efterspørgsel er høj, vrker markedet tl at være et meget dynamsk marked med mange salg og stgende husprser, men når efterspørgsel er lav, betyder det kke voldsomt faldende prser. Her ses stedet længere lggetd for bolgerne. Dette gælder dog kun hvs bolgejerens user cost kke overstger den dsponble ndkomst og frværden bolgen. Hvs sælger allerede har nvesteret anden bolg, som gver yderlgere user costs, eller har af de 2 Regonale aspekter på bolgmarkedet, Hvd, Smon Juul sde Regonale aspekter på bolgmarkedet, Hvd, Smon Juul sde 50 4 Regonale aspekter på bolgmarkedet, Hvd, Smon Juul sde 51 Sde 8 af 86

10 dverse årsager, været nødt tl at bo tl leje en anden bolg, har sælger øget nctament tl at sælge bolgen. Derfor er det dog mulgt at se fald udvklngen af husprserne. Den pengepoltske rente Renten på realkredtoblgatonerne hænger stærkt sammen med de pengepoltske renter, da pengepoltkken, som der blver ført, har stor ndflydelse på langsgtet plan. Her er det særdeleshed nflatonsmålene, som har betydnng for kredtorers vlje tl at udlåne penge. Hvs der kke er lagt faste lave nflatonsmål, kan nflatonen hurtgt komme tl at overstge det afkast, som kredtorer forventer at få af deres udlån tl debtorerne. Sker dette vl kredtorerne få et negatvt afkast af deres nvesterng, hvlket de selvfølgelg kke er nteresseret. Derved vl kredtorer altd tage nflaton med deres beregnnger, for at undgå at nflatonen skal spse afkastet af nvesterngen. Lgeledes repræsenterer de pengepoltske renter rskofre passver, som kredtorer kan vælge at nvestere, frem for realkredtoblgatoner. For at forstå den danske pengepoltk er det nødvendgt at forstå Danmarks fastkurssamarbejde med den europæske centralbank, ECB. I Danmark har den danske krone været bundet op på Euroen sden den 1. januar 1999 med en centralkurs på 7,46038 kroner pr. euro. Dette skete som del af det poltske projekt Exchange Rate Mechansm 2, ERM2, der havde tl formål at ensrettet pengepoltkken euro-området for at forbedre handelsvlkårene på det ndre markedet. Under ERM2 har medlemslandene ndgået aftale om at holde centralkursen, hvor det dog er tlladt at afvge fra centralkursen med udsvngsbånd på plus/mnus 15 procent. I Danmark er der blevet valgt at fastsætte udsvnsbåndet tl plus/mnus 2,25 procent. Dette vser en øget dedkaton fra Natonalbankens sde om at fastholde centralkursen, og sender sgnal tl nvestorer såvel som spekulanter, at skønt der Danmark kke benyttes euro, så kan de forvente at valutakursen mellem den danske krone og Euroen forblver den samme. 5 På kortsgt vedlgeholder Natonalbanken centralkursen ved at sælge eller opkøbe udenlandsk valuta, hvlket prakss betyder, at hvs Natonalbanken kan se at der sker en apprecerng af den danske krone forhold tl Euroen, så sælger de ud af den krone danske for at opkøbe euro. Dette fører tl et øget udbud af danske kroner, samt en øget efterspørgsel af euro. Derved vl der ske en deprecerng af den danske krone forhold tl Euroen, hvlket kontrastere apprecerngen og derved opnås centralkursen gen. På længere sgt er det kke tlstrækkelgt at opkøbe og sælge danske kroner for at holde centralkursen, og derfor justerer Natonalbanken på de pengepoltske renter. Effekten af dette kan nemmest forklares ved hjælp af renteparteten. Renteparteten tager udgangspunkt en valutaspekulant, som forsøger at maksmere st afkast ved at nvestere passver på tværs af landegrænserne. Derfor har han fokus på den 5 Pengepoltk Danmark. I, Danmarks Natonalbank, sde 9. Sde 9 af 86

11 rente, som han kan få på passverne de gvne lande, men også på de valutakursændrnger, der forventes at ske. Hvs der er forventnng om at den danske krone vl apprecerng mod Euroen, vl denne valutaspekulant være vllg tl at tage en mndre rente på de danske passver, tl fordel for det afkast han vl få af valutakursændrngerne. Derved opstår der en partet mellem renten på de danske passver R DKK og renten på de europækse passver, R, samt forventnng tl valutakursen E DKK : e R DKK = R + (E DKK EDKK)/EDKK 6 Grundet fastkurssamarbejdet er forventnngen tl den fremtdge valutakurs, at den må være lg den nuværende valutakurs, derfor: e e E DKK = EDKK Gvet at dette er sandt, er renten på de danske passver parteten kke længere afhængg af forventnngen tl de fremtdge valutakurser. Derved kan valutaspekulanten kun skabe afkast af renten på passverne, og renteparteten ender således med at være: R DKK = R Derfor kan det ses at Natonalbanken er nødsaget tl at følge rentenveauet, som ECB sætter, for at fastholde de langsgtede valutakurser op ad centralkursen. Dette betyder dog kke, at Natonalbanken og ECB s renter er nøjagtgt ens, da der kke her er medtaget faktorer såsom rsko ved køb af statsoblgatoner. Her behøves kke et tænkt eksempel, da de fleste nok vl være enge om at tltroen tl de danske statsoblgatoner er højere end tltroen tl nogen af de sydeuropæske statsoblgatoner, såsom de græske. Derfor er de danske statsoblgatoner mere attraktve for nvestorer, da de repræsenterer større skkerhed, og derfor er de vllge tl at tage et lavere afkast på dsse, og dermed en lavere rente. Eftersom Natonalbanken har overgvet deres mulghed for at justere de pengepoltske renter tl fastholdelse af fastkurspoltkken, er renterne kke længere et nstrument tl at bekæmpe nflaton. Derved kan der sættes spørgsmålstegn ved, om Natonalbanken har nflatonen som et specfkt mål. Natonalbanken anerkender dette spørgsmål, men mener dog ved at følge ECB s pengepoltk, følger de lgeledes ECB's nflatonsmål på 2 procent 7. Dette skyldes den store samhandel, der ekssterer nden for 6 Internatonal Economcs: Theory and Polcy, 10th Edton, Krugman, Paul m.fl, Sde Pengepoltk Danmark. I, Danmarks Natonalbank, sde 9. Sde 10 af 86

12 EU s grænser. For at se nærmere på om det er lykkes Natonalbanken at nå ECB s nflatonsmål på 2 procent, er den gennemsntlge årlge nflaton llustreret grafsk procent den nedenstående fgur 4.1: Fgur (4.1): Den gennemsntlge årlge nflaton procent fra 1980 tl Den gennemsntlg årlge nflaton procent Klde: Dansk Statstk, PRIS9 Som det kan ses fgur 4.1 har det tlnærmelsesvs lykkes Natonalbanken at holde nflatonen på omkrng de 2 procent. Skønt det kke er mulgt at holde nflatonen helt fast på de 2 procent, er nflatonen langt fra lge så høj, som den var 80 erne. Dermed kan det sges, at det har gennem fastkurspoltkken lykkes for Natonalbanken at følge ECB s nflatonsmål. Gæld og formue: En stor del af begrundelse for valget af data er omkostnngerne ved at eje bolg, eller user cost, derfor vælges det det følgende afsnt at kgge på danskernes gæld og formue forhold tl deres dsponble ndkomst. I den nedenstående fgur 4.2 er der llustreret danskernes samlede gæld forhold tl deres dsponble ndkomst. Både gælden og den dsponble ndkomst er her kke regnet faste prser, hvlket vl sge at der kke er taget højde for nflaton, da det kke er blevet fundet nødvendgt denne kontekst. Sde 11 af 86

13 Fgur (4.2): Danskernes gæld forhold tl den dsponble ndkomst 1995 tl Danskernes gæld forhold tl den dsponble ndkomst Klde: Behandlet data fra Dansk Statstk, INDKP102 og DNMUDL Som det kan ses fgur 4.2, har der generelt peroden 1995 tl 2014 været en stgnng danskernes bruttogæld. Stgnngen bruttogælden har været størst fra år 2001 og op tl 2008, hvor fnanskrsen ndtræffer. Her har gælden steget fra 200 procent tl 300 procent af den dsponble ndkomst. Dette er kke sket på baggrund af et fald den dsponble ndkomst, som der vl blve vst senere databeskrvelsen ved fgur 6.2. Det kan være at danskerne har haft gode forventnnger tl fremtden, og derfor kke set den øgede gældsætnng, som værende et problem, da fremgangen økonomen gjorde, at denne gæld kunne betales tlbage fremtden. Dog topper bruttogælden 2009, hvor der har været et fald den dsponble ndkomst. Faldet den dsponble ndkomst kan sg selv have ført tl et øget gældsoptag, da det enkelte ndvd kan have suppleret den faldende ndkomst med lån. Hertl vl et fald den dsponble ndkomst drekte have effekt på bruttogældens størrelse, da det relatve forhold mellem gæld og ndkomst forskydes. Der kan stlles spørgsmålstegn ved, hvordan danskerne kan have en så stor bruttogæld. Her skal der ses på danskernes formue. For den almndelge dansker består deres formue af to forskellge former for formue. Den ene er danskernes bolgformue, hvlket er den formue som danskerne har form af fast ejendom. Den anden formue er danskernes pensonsopsparng eller pensonsformue. I Danmark er der, hvad Natonalbanken kalder for et veludvklet fnanselt system 8, hvlket betyder, at de danske bolgejere har bedre mulgheder for at gældsætte deres formuer, end bolgejere og købere andre 8 HUSHOLDNINGERNES FORMUE OG GÆLD, Danmarks Natonalbank Sde 12 af 86

14 lande. Her har nyere typer af lån lgeledes gvet danskere gode lånemulgheder. De afdragsfre lån har gjort det mulgt for bolgkøbere, at mnmere gældens effekt på deres user cost en gven perode, hvlket betyder, at de kan gøre en større nvesterng bolgen. De varabelt forrentede lån gver dem mulgheden for at optage bllgere lån mod en større rsko. Her er endda udvklet varabelt forrentede lån med en maksmal rentesats, hvlket gør det mulgt for debtor selv at bestemme størrelsen lånets rsko. Nedenstående fgur 4.3 kan ses størrelse på dsse formuer årene 1995, 2006 og 2010 forhold tl danskernes dsponble ndkomst. Her er lgeledes andre OECD landes formuer. Fgur (4.3): Bolg- og pensonsformue målt forhold tl den dsponble ndkomst forskellge OECD-lande Klde: (Natonalbanken, husholdnngernes balance og gæld, s. 44) I fgur 4.3 kan det ses, at danskernes bolgformue er fra 1995 tl 2006 steget fra under 200 tl over 400 procent af den dsponble ndkomst. Dette har sandsynlgvs været forsaget af bolgboblen, som opstod nden fnanskrsen. Denne stgnng bolgformuen har sandsynlgvs dannet grundlagt for stgnngen, der kunne ses bruttogælden samme perode, da bolgformue her gver et ndblk udvklngen af husprserne peroden. Den bolgformue repræsenterer ejendomsprserne, og en stgnng dsse betyder, at nye købere på bolgmarkedet har været nødsaget tl at optage større lån peroden for at kunne anskaffe lkvdtet tl at købe ejendom. Derfor kan stgnngen bruttogælden kke ses om en hasarderet opførsel fra danskernes sde, men dermod har det været nødvendgt at forøge bruttogælden, for at skabe lkvdtet tl nvesterngen bolgformuen. Hertl skal det tlføjes, at hovedparten af bolgnvesternger går tl renoverng af de ekssterende bolger og kke tl nybygger. Dsse nvesternger har vst sg at være meget følsomme over for konjektursvngnnger, Sde 13 af 86

15 og den store stgnng bolgformuen op tl fnanskrsen, kom delvst på baggrund af dsse nvesternger. 9 Derved har det kke kun været købere på bolgmarkedet, som har nvesteret bolgformue. Her har de ekssterende ejere af bolger kunne se fordel at nvestere deres egen bolg, da denne nvesterng under højkonjunkturen på kortsgt har gvet et godt afkast. Her er der sandsynlgvs blevet fundet lkvdtet tl at udføre nvesterngerne bolgen, ved at benytte frværden bolgen. Da nvesterngen bolgformuen gver en øget værd af bolgen, har det sandsynlgvs kke været svært at låne frværden. Den store stgnng bolgformuen har gvet kredtorer større nctament tl at udlåne tl de danske bolgejere, da den høje bolgformue kan dække eventuelle tab, og kan ses som skkerhed for kredtoren. Dette kan delvst forklarer den lave rente på realkredtoblgatonerne, som der vl blve vst afsnttet med databeskrvelsen. User costs Et begreb, som vl blve brugt gentagne gange projektet, er user costs. Med user costs menes der de omkostnnger, som er forbundet med at eje en bolg. Ifølge Natonalbanken skal dette prncpcelt ses som værende realrenten, et skatteelement og afskrvnnger på bolgen. 10 Stgende user costs betyder derfor, at det er forventelgt at have en negatv effekt på udvklngen bolgprserne, da det blver mndre attraktvt at eje en bolg. Herved gver user costs en stablserende effekt. Et eksempel på dette er realrenten, hvor stgende renter betyder, at det er dyrere at låne tl køb af ejendom. Her vl købere på bolgmarkedet kunne se frem tl at betale en højere prs for bolgen end sælgerne får, da renten skal nkluderes den totale omkostnng ved købet. Med afskrvnnger på bolgen, menes der, den værd som bolgen taber over td. Her udgør sltage en væsentlg del af dsse afskrvnnger, men nyere teknolog kan blve en essentel del af den almndelge bolg. Hvs kke ejeren af bolgen nvesterer vedlgeholdelse af bolgen, samt nvesterer forbedrnger af bolgen, så vl bolgen falde værd. Her kan de nye ejere af bolgen, derfor se frem tl en ekstra nvesterng bolgen efter køb, og er derfor mndre vllge tl at gve en høj prs for bolgen. Her er bolgmarkedet særlgt, da grunden som huset er bygget på, generelt kke taber værd. De den nye ejere har mulgheden for at renovere den ekssterende bolg på grunden, eller rve den ned og bygge et ny ejendom. Derfor kan købere vælge bolgen på baggrund af belggenheden alene, og derved vl en bolgs værd altd være afhængg af belggenheden. Et forfaldet hus et attraktvt område kan derfor være meget værd, skønt ejeren eller forrge ejere kke har nvesteret vedlgeholdelse af selvsamme bolg. Dette gør det særlgt besværlgt at måle afskrvnngerne på bolgen, og afskrvnngerne vl derfor kke blve taget med som del af dette projekts defnton af user cost. 9 Hvd, Sm Juul, Regonale aspekter, sde MONA - en kvartalsmodel af dansk økonom Danmarks Natonalbank, sde 43 Sde 14 af 86

16 Skatteelementet er den beskatnng, der er på at eje en bolg. I Danmark fndes der 2 former for beskatnng af bolger, ejendomsskatten og grundskylden, hvlket vl blve grundgere beskrevet databeskrvelsen. Ejendomsskatten og grundskylden er en beskatnng på afkastet, som ejeren af ejendommen kan få af sn nvesterng ejendommen, eller en beskatnng af det ejeren sparer, ved at eje frem for at leje. Her gør ejendomsbeskatnngen det mndre attraktvt at nvesterer ejendomme fremfor at nvestere aktver, der eventuelt kunne stmulere økonomen 11. Bolgbeskatnngen er en automatsk stablsator, da stgnnger bolgprserne lgeledes fører tl stgnnger bolgbeskatnngen, og fald bolgprserne gver fald ejendomsskatterne 12. Herved har ejendomsskatterne en dæmmende effekt på volatlteten udvklngen af ejendomsprserne, da det blver mndre attraktvt at eje en bolg, når bolgprserne stger, og omvendt blver det bllgere at eje en bolg et nedadgående marked. De nu gennemgået makroøkonomske faktorer, vl blve anvendt tl at opstlle en problemformulerng. 5 Problemformulerng: Der ønskes at opstlles en vektor autoregressv model, som er baseret på makroøkonomske faktorer. Da det er fundet relevant at undersøge, om der er forskel husprsudvklngen de danske regoner mellem, skal dataet tl denne model kunne fndes på regonalt plan. Heraf skal der dannes forecasts, som gerne skal gve mere præcse og robuste resultater, der er bedre end forecasts, som er genereret ud fra en smpel parametersparsom autoregressv model. Den endelge problemformulerng for projektet er derfor følgende: Er det mulgt ved hjælp af en vektor autoregressv model, at generere forecasts for udvklngen de danske bolgprser, både på landsplan og regonalt, som er bedre end en smpel parametersparsom autoregressv model? 6 Databeskrvelse Det følgende afsnt vl omhandle de varable, som AR- og VAR modellerne, der vl blve forecastet på, vl komme tl at ndeholde. Her vl der komme en gennemgang af, hvorfor netop dsse varabler er blevet valgt, og hvordan udvklngen varablen har været gennem observatonsperoden. Her vl også blve set på 11 HOUSE PRICE BUBBLES AND THE ADVANTAGES OF STABILISING HOUSING TAXATION, Hvd, Smon Juul, sde HOUSE PRICE BUBBLES AND THE ADVANTAGES OF STABILISING HOUSING TAXATION, Hvd, Smon Juul, sde 49 tl 53 Sde 15 af 86

17 1992K1 1993K1 1994K1 1995K1 1996K1 1997K1 1998K1 1999K1 2000K1 2001K1 2002K1 2003K1 2004K1 2005K1 2006K1 2007K1 2008K1 2009K1 2010K1 2011K1 2012K1 2013K1 2014K1 2015K1 2016K1 Eml McLeman-Hasselgaard Specaleafhandlng databehandlngen, som den enkelte varabel har gennemgået, samt et krtsk perspektv på både valget og tlgangen tl varablerne. Husprser En essentelt del af modellen er den afhængge varabel husprser. Hertl benyttes der data fra Dansk Statstk. Dette data ndeholder 6 rækker med 96 observatoner for de 5 regoner og hele Danmark. Dsse observatoner dækker over den gennemsntlge prs for enfamlehuse solgt peroden ved almndelg frhandel. Observatonerne er nddelt kvartalsmæssgt, og dækker over peroden første kvartal 1992 tl tredje kvartal Nedenfor fgur 6.1 er det rå data vst grafsk: Fgur (6.1): Den gennemsntlge prs for enfamlehuse hele Danmark og de fem regoner Gennemsntlg prs for enfamlehuse kr. Hele landet Regon Hovedstaden Regon Sjælland Regon Syddanmark Regon Mdtjylland Regon Nordjylland Klde: Dansk statstk, ejen77 Det mest øjnefaldende ved fgur 6.1 er, hvor meget nveauet for husprserne Regon Hovedstaden lgger over gennemsnttet for husprserne hele Danmark og de resterende 4 regoner. Regon Hovedstaden er tydelgvs den regon, hvor bolgboblen havde den største effekt, hvlket er llustreret af peroden 2005K1 tl 2009K1. Dette kommer af, at bolgprserne Regon Hovedstaden er mere følsomme overfor ændrnger konjekturerne, og har derfor højere volatltet, hvlket blev forklaret under makroøkonomske faktorer afsnttet om skævhed fordelngerne af bolgprserne. Her kan det også ses, at bolgprserne Regon Sjælland har under bolgboblen gennemgået en større stgnng, og har op tl fnanskrsen højere bolgprser end gennemsnttet for hele Danmark. Efter fnanskrsen falder bolgprserne Regon Sjælland tl under det gennemsntlge nveau for hele Danmark, Sde 16 af 86

18 hvlket vser at den høje volatltet af bolgprserne Regon Hovedstaden, har større effekt på bolgmarked Regon Sjælland end resten af regonerne. Det er dermed bølgeeffekterne, der lgeledes blev gennemgået skævhed afsnttet om fordelngerne af bolgprserne, der her er llustreret. Ses der bort fra peroden efter bolgboblen, kan der spores en opadgående trend udvklngen husprserne. Her skal der gøres opmærksom på, at der fgur 6.1 kke er blevet taget højde for nflaton, og der derfor vl være en mndre stgende trend, efter husprserne er blevet omregnet tl at være faste prser. Databehandlng For at fnde husprserne faste prser blver det rå data for husprserne, IH, deflateret med forbrugerprsndekset PRIS112 fra Dansk statstk, ndex, hvor ndex på tdspunkt t=2015k1 er lg 100. Ejendomsprserne faste prser, H t, fndes ved deflaterngen, som foregår på følgende måde: IH t ndex t 100 = H t Da ndex er opgjort på årlg bass, mens husprserne er opgjort kvartaler, er der manglende datapunkter for ndex. Derfor er det nødvendgt at nterpolere observatonerne for ndex, og derved generere de manglende datapunkter. Dette blver gjort ved hjælp af cubc-splne, hvlket vl blve forklaret senere afsnt (7) Interpolerng, da denne metode tl dannelse af datapunkter er essentelt for varablerne ndkomst og skat. Da VAR modellernes fokus lgger på udvklngen ejendomsprserne, er det mere relevant at fnde realvæksten den gvne perode, h t, fremfor den faktske værd af ejendomsprserne. Derfor beregnes realvæksten, hvlket her blver set som, dfferensen mellem logartmen tl den gvne observatons værd og logartmen tl den observerede værd den foregående perode. Her benyttes logartmen tl H t, for at normalsere dataet, således at observatoner, som har værder, der lgger langt fra den gennemsntlge værd af observatoner, kommer tættere på gennemsnttet. Herved transformeres eksponentelle trends lgeledes tl lneære trends. h t = logh t logh t 1 Grundet problemer med statonartet det observerede data for nogle af de andre varable, vl der under konstruktonen af VAR modellerne og AR modeller blve fjernet endnu en af de første observatoner, således datasættets begyndelse lgger 3. kvartal Sde 17 af 86

19 Krtk af data: Da varablen beskrver gennemsntsprsen, kan den derfor krtseres for kke at kgge på de faktske ejendomsværder, men dermod omsætnngen på ejendomsmarkedet. Omsætnngen på netop ejendomsmarkedet er specel, som beskrevet tdlgere, da sælger af bolgen ofte kan vælge at blve sddende bolgen, ndtl sælgeren får tlbudt den prs for bolgen, som sælger forlanger. Derved kan der på ejendomsmarkedet opstå trægheder, når markedet er en nedgående retnng, som vl dette data gve en højere prs på bolgmarkedet end den faktske værd. Bolgboblen peroden 2005K1 tl 2009K1 kan gve problemer forhold tl at estmere VAR modellerne, da der her er tale om en unk stuaton, hvor husprserne stger med mere end, hvad der kunne forventes forhold tl den udvklng, der kan spores de øvrge peroder. Et andet væsentlgt krtkpunkt er nterpolerngen af ndekset, som bruges tl deflaterngen. Da ndekset, der benyttes, er forbrugerprsndekset, som er baseret på den gennemsntlge prs for varer og tjenester 13, gver ndekset kke en klar forståelse af, hvor meget den gennemsntlge dansker vælger at bruge på bolg. Dog gver ndekset en klar fornemmelse af de nflatonære træk, der er samfundet, og da deflatonen benyttes for at drekte tage den nflatonære trend ud af beregnngerne, er det forbrugerprsndekset, som er blevet valgt tl dette projekt. Andet data med relevans: Her kunne det have været relevant at kgge på ejerlejlghedsprser, da ejerlejlgheder har en meget større tendens tl at lgge byerne, og særdeleshed storbyerne, kontra yderområderne hvor det er parcelhusene, som er domnerende 14. Derved kunne der blve sat et andet perspektv projektet med storbyerne kontra yderområdet. Dog vlle det kke være mulgt at kgge på den dsponble ndkomst, da den enkelte person kunne bo en ejerlejlghed byen og samtdgt arbejde et yderområde. Her vlle denne persons ndkomst blve tlskrevet ndkomst nveauet byen, skønt ndkomsten kommer udefra. Lgeledes vlle en person kunne bo et parcelhus yderområdet og arbejde storbyen. Herudover kan det formodes at parcelhusprserne byerne følger ejerlejlghedsprserne. Dette vlle betyde, at der vlle blve observeret en falsk bølgeeffekt, hvor prsstgnnger på bolgerne storbyerne vlle påvrke det observeret data for bolgprserne yderområderne. Derfor gver det mere menng at måle ejendomsprsudvklngen på regonalt bass. 13 FORBRUGERPRISINDEKS, Danmarks Statstk. 14 Hvd, Sm Juul, Regonale aspekter, sde 48 Sde 18 af 86

20 Indkomst Varablen ndkomst dækker over danskernes gennemsntlge dsponble ndkomst peroden 1992k3 tl 2015k4. Hertl benyttes der data fra Dansk Statstk. Dette data ndeholder lgesom varablen for husprser 6 rækker med 94 observatoner for de 5 regoner og hele Danmark. Danskernes dsponble ndkomst burde have en stor effekt på de danske husprser, da det er med udgangspunkt ndkomsten, at køberne på ejendomsmarkedet fnder størrelsen på nvesterngen ejendommen. Særlgt på det danske ejendomsmarked er det økonomske råderum relevant, da nvesterngen ofte forekommer gennem lån, hvlket medfører en fast fremtdg udgft form af afdrag og rentebetalnger. Hertl kommer lgeledes ejendomsskatten og grundskylden, der gver fast udgft ved at eje en bolg, hvlket som forklaret tdlgere blver projektet defneret som user costs. Derfor forventes det at den dsponble ndkomsten har en postv ndflydelse på husprserne, hvlket vl sge at en stgnng den dsponble ndkomst vl føre tl en stgnng ejendomsprserne. Databehandlng Da ejendomsprserne modellen blver bearbejdet faste prser, er det nødvendgt at lgeledes omregne ndkomsten tl faste prser. Her benyttes det samme ndeks, ndex, som deflator, men med den llle ændrng at der her kke forekommer en nterpolerng af ndekset nden deflatonen. Dette skyldes, at observatonerne det rå data for både ndex og ndkomsten er på årlgt bass. IY t ndex t 100 = Y t Da den gennemsntlge dsponble ndkomst er opgjort på årlgt bass, er det nødvendgt at foretage en nterpolerng af det ekssterende data, for at omregne de årlge observatoner tl kvartalsmæssge observatoner. Denne nterpolerng sker ved hjælp af cubc splne, som der sagt tdlgere, vl blve forklaret senere. Efter at dataet for den gennemsntlge dsponble ndkomst er blevet deflateret tl faste prser, og de manglede observatoner er blevet fundet ved hjælp af nterpolerngen, er dataet klar tl databehandlngen, der er nødvendg for at estmere VAR modellerne. Nedenstående fgur (6.2) er dette data blevet llustreret grafsk, for at gve et bllede af udvklngen den dsponble ndkomst. Sde 19 af 86

21 1992k1 1993k1 1994k1 1995k1 1996k1 1997k1 1998k1 1999k1 2000k1 2001k1 2002k1 2003k1 2004k1 2005k1 2006k1 2007k1 2008k1 2009k1 2010k1 2011k1 2012k1 2013k1 2014k1 2015k1 Eml McLeman-Hasselgaard Specaleafhandlng Fgur (6.2): Den gennemsnt dsponble ndkomst faste prser fra 1992K1 tl 2015K Den gennemsntlge dsponble ndkomst faste prser hele hoved sealand syd mdt nord Klde: Behandlet data fra Dansk Statstk, INDKP102 Skønt der er taget højde for nflaton fgur (6.2), vser fguren at der er en opadgående trend danskernes dsponble ndkomst. Denne opadgående trend dataet formodes at være grunden tl problemerne med statonartet, som der vl blve taget højde for senere projektet. Det kan også ses fgur (6.2), at nveauet for den gennemsntlge dsponble ndkomst Regon Hovedstaden er højere, og har en kraftgere stgnng, end nveauet for de resterende regoner og dermed også gennemsntlge dsponble ndkomst for hele Danmark. For at fnde udvklngen den gennemsntlge dsponble ndkomst, fndes dfferensen mellem logartmen tl den gvne observatonsværd for den gennemsntlge dsponble ndkomst på tdpunkt t, og logartmen tl den observerede værd for den gennemsntlge dsponble ndkomst den foregående perode t-1. Her benyttes logartmen tl Y t, af samme grunde som forklaret tdlgere under databehandlngen af husprserne. y t = logy t logy t 1 Grundet statonartet det observerede data for udvklngen den gennemsntlge dsponble ndkomst, har det været nødvendgt at tage dfferencen mellem udvklngen den gennemsntlge dsponble ndkomst på tdspunkt t, og udvklngen den gennemsntlge dsponble ndkomst den foregående perode t-1. Nødvendgheden af dette trn vl blve gennemgået senere afsnttet om Augmentet Dckey-Fuller tests. y t = y t y t 1 Sde 20 af 86

22 Derved blver der kke længere set på udvklngen den gennemsntlge dsponble ndkomst, men dermod acceleratonen den gennemsntlge dsponble ndkomst. Det betyder, at en negatv værd for y t kke nødvendgvs betyder et fald den gennemsntlge dsponble ndkomst, men dermod et fald væksten af den dsponble ndkomst. Dette kan vrke forvrrende for fortolknngen af varablen, men hvs den enkelte bolgkøber kan se et fald stgnngen af dennes ndkomst, vl vedkommenens forventnnger tl den fremtdge ndkomst lgeledes falde. Forventnngerne tl den fremtdge ndkomst har stor ndflydelse på vlje tl at nvestere bolg, og derved størrelse af nvesterngen ejendommen. Derfor forventes det, at acceleratonen udvklngen af den dsponble ndkomst har en sgnfkant effekt på udvklngen husprserne. Krtk af data Interpolerngen, som der er blevet foretaget for at danne de manglede observatonspunkter, er sket ved at benytte det årlge data for danskernes dsponble ndkomst. De manglede observatonspunkter er herefter dannet mellem årlge observatonspunkter, og kommer tl at repræsentere de kvartalsmæssge observatoner. Dermed dannes varablen ndkomst på baggrund af data, som har en fre gange så stor værd end den oprndelge observerede værd, da ndkomsten kke er blevet fordelt udover året. I stedet er der fundet de værder, som den gennemsntlge årlge ndkomst er estmeret tl, havde den været målt på det gvne tdspunkt. Dette forventes dog kke at havde nogen effekt på estmatonen af VAR modellerne, da det her efter databehandlngen er acceleratonen den gennemsntlge dsponble ndkomst, som der arbejdes med. I VAR modellerne for de enkelte regoner, kan der opstå spld-over-effekter, da en beboer en regon kan have arbejde en anden regon. Da varablen ndkomst dækker over beboerne regonen, og kke arbejdspladserne, vl ndkomsten fra den anden regon blve tldelt regonen, som beboeren bor. Skønt ndkomst-mulghederne den anden regon er bedre, har beboeren fundet den første regon mere eftertragtet. Dermed forventes der kke, at dsse spld-over-effekter vl have den store effekt, da personer, der arbejder med lavt lønnet arbejde, kan fnde de lave husprser den anden regon mere attraktve. Andet relevant data Det har været med overvejelsen af datavalget, at benytte den totale gennemsntlge ndkomst. Her kunne ndkomstvarablen have gvet et renere ndblk væksten samfundet, da den totale gennemsntlge ndkomst kke tager højde for fnanspoltske tltag, som har effekt på den dsponble ndkomst. Dette ndblk stammer fra vrksomhedernes vlje tl at nvestere dansk arbejdskraft. Fordelen ved at benytte den dsponble ndkomst fremfor den totale gennemsntlge ndkomst er, at der kan forekomme underlggende ændrnger ndkomststrukturen, som den totale gennemsntlge ndkomst Sde 21 af 86

23 kke tager højden for, men den dsponble ndkomst gør. Her kan der for eksempel være tale om ændrnger ndkomstskatten eller afdragsordnnger, som kan forøge den dsponble ndkomst, og dermed gve et større økonomsk råderum for den enkelte. Det forøgede økonomske råderum kan få betydnng for husprserne, da købere på ejendomsmarkedet vl have mere lkvdtet tl at dække deres user costs, og derfor er mere vllge tl at gve en højere prs for en ny bolg. Da den totale gennemsntlge ndkomst blver beregnet før skat, vl dsse skatteændrnger kke blve en del af estmatonen af VAR modellen, og derved opfanger VAR modellen kke de underlggende ændrnger ndkomststrukturen, som kan have en essentelt betydnng for udvklngen ejendomsprserne. Når der fokusere på danskernes mulghed for at nvestere ejendom, så vlle det havde været meget relevant at medregne danskernes formue. Dette er der dog kke blevet taget højde for under denne ndkomstvarabel. Bolgkøbernes formue har stor ndflydelse på, hvlken prs de er vllge tl at betale for en ejendom, da denne gver dem øget lkvdtet tl at nvestere. Denne formue kan også have effekt på længere sgt, da personer med en stor pensonsopsparng vl have bedre mulghed for at betale for de fremtdge user cost, der er ved at eje bolgen. Dog betyder en højere ndkomst, at mulghed for at øge opsparngsraten, og dermed formuen, er bedre. Lgeledes forventes danskernes pensonsformue at følge deres dsponble ndkomst. Derfor vælges der, at blve fokuseret på den dsponble ndkomst denne projekt. Renten Da de fleste bolgkøbere fnder lkvdtet tl nvesterngen bolgkøb ved hjælp af realkredtlån, har renten på de 30-års realkredtoblgatoner stor betydnng for udvklngen på det danske bolgmarked, da renten på dsse oblgatoner udgør en stor del af bolgejeres user cost. Dataet ndeholder kun en række med 96 observatoner, da renten formodes at gælde generelt for hele Danmark, og derved også for de enkelte regoner. Datagrundlaget er baseret på dels den gennemsntlge rente for 30 års realkredtoblgatoner fra Dansk Statstk, DNRENTM, hvor observatonerne er månedsobservatoner. Da det resterende data er kvartal observatonerne, er det derfor nødvendgt at omregne renten, således renten også blver per kvartal. Dette gøres ganske smpelt ved at tage gennemsnttet af observatonerne månederne af et kvartal. Da dette data kun har observatoner frem tl 11. måned 2012, har det været nødvendgt at fnde data fra kvartal og frem. Her benyttes data fra Realkredtrådet 15, hvlket er på ugentlgt bass. For at lgeledes omregne observatonerne tl kvartalsmæssge observatoner, benyttes samme metodolog som tdlgere. Her beregnes et kvartal fra start 15 Oblgatonsrenter. Realkredtrådet. Sde 22 af 86

24 1992k1 1993k1 1994k1 1995k1 1996k1 1997k1 1998k1 1999k1 2000k1 2001k1 2002k1 2003k1 2004k1 2005k1 2006k1 2007k1 2008k1 2009k1 2010k1 2011k1 2012k1 2013k1 2014k1 2015k1 2016k1 Eml McLeman-Hasselgaard Specaleafhandlng den påbegyndte uge tl og med den sdste uge, som har udløb samme kvartal. Dermed medregnes den sdste uge kvartalet kke, hvs ugens udløb lgger det næste kvartal. Nedenfor fgur (6.3) er den gennemsntlge rente på de 30 års realkredtoblgatoner llustreret grafsk, for at gve et bedre overblk over udvklngen peroden. Fgur (6.3): Den gennemsntlge rente på 30 års realkredtoblgatoner fra 1992K1 tl 2016K Den gennemsntlge rente på 30 års realkredtoblgatoner Klde: Data fra Dansk Statstk, DNRENTM, og Realkredtrådet. Som det kan ses fgur (6.3) har rentenveauet peroden været stærkt faldende. Dette gver bolgkøbere lukratve forhold, hvs de mangler lkvdtet tl deres nvesterng ejendom, da den faldende rente på realkredtoblgatonerne gver mndre user costs ved køb af ejendommen. Da den danske Natonalbank er ndgået et fastkurssamarbejde med den europæske centralbank, ECB, stammer de lave rente på statsoblgatoner fra ECB s pengepoltk, som forventes at fortsætte fremadrettet. 16 Grundet den lave vækst dele af euro-området, har ECB valgt at sænke renten på deres statsoblgatoner, og derved undgå deflaton. Forventnngen om at renten på de rskofre passver forblver lav den nærmeste fremtd, gver kredtorer øget nctament tl at udlåne tl de danske bolgkøbere, frem for at nvestere statsoblgatoner der gver et lavere afkast. Derfor er forventnngen tl renten på realkredtlånene, at den forblver lav. 16 Årsberetnng 2016, Den Europæske Centralbank, sde 43 Sde 23 af 86

25 Databehandlng For at fnde udvklngen den gennemsntlge rente på 30 års realkredtoblgatoner, beregnes dfferensen mellem logartmen tl den gvne observatons værd for renten på 30 års realkredtoblgatoner på tdspunkt t, og logartmen tl den observerede værd for rente på 30 års realkredtoblgatoner den foregående perode t-1. Her benyttes logartmen tl R t, af samme grunde som forklaret tdlgere under databehandlngen af husprserne. r t = logr t logr t 1 Krtk af data Da formålet med at benytte de 30 års realkredtoblgatonsrenter, er at fnde user costs ved bolgkøb, er en væsentlg krtk af at benytte 30 års realkredtoblgatonsrenter, at dsse kke korrekt afspejler omkostnngerne ved at optage lån. Her er der nemlg kke taget højde for de omkostnnger, der lgger at udstede en realkredtsoblgaton. I Danmark står realkredtnsttutterne for forvaltnngen af realkredtoblgatonerne. Denne ydelse er selvfølgelg kke grats, og realkredtnsttutterne tager sg betalt ved dels at pålægge gebyrer ved udstedelse af realkredtoblgatonerne, men også ved at pålægge debtorerne en ekstra rente på hovedstolen. Denne rente blver kaldt for ydelsesbdraget. Ved at sammenlægge renten på realkredtoblgatonerne, ydelsesbdraget og omkostnngerne ved oprettelsen af lånene vl det være mulgt at fnde realrenten. Realrenten er hermed den totale forrentnng af bolgejernes lån, og et mere præcst mål for user costs. Dog har dette kke været mulgt at fnde data, der beskrver realrenten nden for den gvne tdsperode, og da ydelsesbdraget og omkostnngerne ved udstedelse af realkredtoblgatonerne anses for at være en mndre del af user cost, er renten på realkredtoblgatoner blevet fundet passende. Andet relevant data: Der kunne også være valgt at arbejde med rskofre aktver eller passver såsom statsoblgatoner. Da nvestorer ofte benytter dsse renter tl at vurdere, hvlket afdrag de skal tage bytte for den rsko, der ekssterer. Dette vlle gve et ndblk pengepoltske tltag, som kan gve kredtorer øget nctament tl at udlåne, og derved gve mere fordelagtge vlkår for debtorerne. Fordelen ved at tage renten på de 30 års realkredtoblgatoner kontra statsoblgatoner er, at det kan nemt forestlles, at der er større tlld tl den danske stat, end der er tl de danske bolgejere. Denne forskel tllden har stor betydnng for nveauet for den gvne rente. Hvs tllden tl debtor er lav, vl kredtor have lavere nctament tl at udlåne penge tl debtor. Derfor vl kredtor kræve en højere rente på den udstedte Sde 24 af 86

26 oblgaton, og derved få et højere afkast for den øgede rsko, som kredtor føler, der er blevet påtaget. Derfor vl renten på realkredtsoblgatoner altd være højere end renten på de rskofre passver. Hvs denne renteforskel var konstant, vlle renteforskellen kke være noget problem, da det er udvklngen renten, som der fokuseres på. Problemet lgger, at tllden tl de danske realkredtoblgatoner kke er en konstant størrelse, og derfor vl der forekomme udsvng realkredtoblgatonsrenten, som kke vl kunne ses på renten af de rskofre aktver. Derfor vl renten på de rskofre passver kke korrekt afspejle de lånevlkår, som bolgkøbere oplever, og derved vl det kke være den korrekte effekt af renteudvklngen, som vl blve estmeret modellen. Når der blver snakket om rentesvngnnger og tlld, er det kke mulgt at undgå realkredtoblgatoner, som har et refnanserngselement. Her kunne det have været relevant at kgge på renten på de såkaldte F1- og F2-lån, som blver refnanseret henholdsvs hvert og hvert andet år. Da dsse lån er ganske almndelge Danmark, vlle denne varable rente være stærkt relevant. Her kunne det være mulgt at danne en rentevarabel, som ndeholdte både renten for de fast forrentede og de varabelt forrentede lån. Dog vlle det blve noget komplceret at beregne, hvor stor ndflydelse de forskellge lån, bør have på denne varabel. Hertl kan det forventes at renten på dsse lån følger renten på de fastforrentede realkredtoblgatoner, og derfor fokusere dette projekt kun på de 30 års realkredtoblgatoner. Skat Tl at måle effekten af ejendomsskatterne benyttes varablen skat. Dette data ndeholder lgesom varablen for husprser 6 rækker med 96 observatoner for de 5 regoner og hele Danmark. Datagrundlaget stammer fra Dansk Statstk, hvor perode 2007 tl 2016 kommer fra databasen EJDSK1. Da dette data kke rækker længere tlbage end 2007, har det været nødvendgt at fnde tdlgere datapunkter fra en anden database. Her er peroden 1992 tl 2006 dækket af ESKATX, hvor varablerne for de 5 regoner blver dannet ved at lægge de samlede ejendomsskattendtægter fra de enkelte kommuner de fremtdge regoner sammen. Dette skft databaser, er sandsynlgvs sket på baggrund af kommunalreformen Ejendomsværdbeskatnng har en drekte stablserende effekt på bolgprssvngnnger, da en fast procentmæssg beskatnng af bolgernes værd har en kontraktv effekt på et opadgående marked, og en lempende effekt på et nedadgående marked. Dette betyder prakss, at det blver mere attraktv at eje en bolg, skønt bolgformuen er faldende, og mndre attraktv at eje bolg, mens bolgformuen er stgende. I Danmark er der 2 bolgskatter, som blver pålagt de danske bolgejere. Den ene er grundskylden, der er en beskatnng på grunden alene, hvoraf skattendtægterne tl kommunen, som den pågældende bolg lgger. Størrelsen på grundskylden blver fastlagt af kommunen, men skal dog lgge mellem 16 og 34 promlle. Den Sde 25 af 86

27 anden skat er ejendomsværdskat. Sden 2003 har skattestoppet betydet at ejendomsvurderngerne, som lgger tl grund for ejendomsværdskatten, har været fastfrosset på 2002 prser. Dermed har de danske bolgejere kke set en nomnel stgnng deres ejendomsværdskat. Hermed er den stablserende effekt, som ejendomsværdbeskatnngen burde have haft, blevet fjernet. 17 Endvdere har fastfrysnngen af ejendomsværdskatten negatve effekter på bolgmarkedet, hvs efterspørgslen falder. Da fastfrysnngen af ejendomsværdskatten betyder at den procentmæssge beskatnng falder takt med de nomnelle prser på ejendommene stger, vl den procentmæssge beskatnng stge når husprserne falder. Hvlket betyder, at et nedgående ejendomsmarked vl beskatnngen fylde en større del af user costs for bolgejere, og dermed vl det blve mndre attraktvt at købe bolg. Databehandlng Først beregnes ejendomsskatter IS om tl faste prser, ved at deflatere ejendomsskatterne med samme forbrugerprsndeks, som er blevet benyttet tl varablerne for udvklngen husprserne og den gennemsntlge dsponble ndkomst. IS t ndex t 100 = S t Da ejendomsskatterne blver opgjort årlgt, betyder det, at der kke er nok observerede værder for skat tl at estmere VAR modellerne. Derfor har det, lgesom ved varablen for ndkomst, været nødvendgt at foretage en nterpolerng af det observerede data, for at omregne de årlge observatoner tl kvartalsmæssge observatoner. Denne nterpolerng sker lgeledes ved hjælp af cubc splne, som vl blve forklaret senere. 17 Ejendomsværdskat og ejendomsskat (grundskyld). Skattemnsteret. Sde 26 af 86

28 1992k1 1993k1 1994k1 1995k1 1996k1 1997k1 1998k1 1999k1 2000k1 2001k1 2002k1 2003k1 2004k1 2005k1 2006k1 2007k1 2008k1 2009k1 2010k1 2011k1 2012k1 2013k1 2014k1 2015k1 Eml McLeman-Hasselgaard Specaleafhandlng Fgur (6.4): De samlede ejendomsskattendtægter peroden De samlede ejendomsskattendtægter hele hoved sealand syd mdt nord Klde: Data fra Dansk Statstk, ESKATX og EJDSK1. Hele Danmark har naturlgt nok de største samlede skattendtægter, da de samlede skattendtægter for hele Danmark består af en opsummerng af dataet fra de 5 regoner. Udover dette kan det ses at ejendomsskatterne fra Regon Hovedstaden er sgnfkant større, hvlket skal ses lyset af ejendomsprserne området er større end de resterende regoner, som det kan ses fgur (6.1). Hertl er Regon Hovedstaden den mest befolknngsrge regon, og derfor er antallet af ejendomme som er skatteplgtge højere end de resterende regoner. Med undtagelse af peroden efter fnanskrsen kan der ses en jævn stgnng skattendtægterne. Det er påfaldende at ejendomsskattendtægterne stger under fnanskrse efter at bolgboblen er sprunget. Her kan fnanskrse betydet, at kommunerne har oplevet at lavkonjekturen har ført tl et fald deres skattendtægter, og derved har kommunerne sat grundskylden op for at kontrastere dette. Databehandlng Igen skal der fndes udvklngen det generelle ejendomsskattenveau, hvlket fndes ved at tage dfferensen mellem logartmen tl den gvne observatons værd for de samlede ejendomsskattendtægter på tdspunkt t, og logartmen tl den observerede værd for de samlede ejendomsskattendtægter den foregående perode t-1. Her benyttes logartmen tl S t, af samme grunde som forklaret tdlgere under databehandlngen af husprserne. s t = logs t logs t 1 Sde 27 af 86

29 Grundet problemer med statonartet det observerede data for udvklngen ejendomsskatterne, har det været nødvendgt at tage dfferencen mellem udvklngen ejendomsskatterne på tdspunkt t og udvklngen ejendomsskatterne den foregående perode t-1. Nødvendgheden af dette trn vl blve gennemgået senere afsnttet om augmentet Dckey-Fuller tests. s t = s t s t 1 Lgesom ved udvklngen den dsponble ndkomst, blver der kke længere set på udvklngen de samlede ejendomsskattendtægter, men dermod acceleratonen udvklngen de samlede ejendomsskattendtægter. Her kan voldsomt stgende ejendomsskatter skabe en dårlg stemnng på bolgmarkedet, hvor udgfterne ved at eje ejendom kan stge mere end forventet. Dette gver uskkerhed og faldende ejendomsprser. Krtk af data Lgesom ved varablen ndkomst, kan der føres krtk af den nterpolerng der benyttes på varablen skat. Her er der lgeledes blevet estmeret de værder, som de samlede ejendomsskattendtægter vlle have haft, havde de været målt på det gvne tdspunkt, og kke de faktske ejendomsskattendtægter der fundet sted. Dog er fokusset gen på udvklngen de samlede ejendomsskattendtægter, og derfor forventes dette kke at have nogen effekt. Da der ses på de samlede ejendomsskattendtægter, betyder det, at skat på ejerlejlgheder er tlstede dette data, skønt prserne på ejerlejlgheder kke er en del af varablerne. Ejerlejlghedsejere betaler mndre grundskyld end parcelhusejere, da ejerlejlghedsejere deler grunden, og dermed grundskylden, med andre beboere et lejlghedskompleks. Set lyset af fastfrysnngen af skatterne på ejendomsværden, samt en fleksbel beskatnng på grundskylden, betyder det at ejerlejlghedsejere kke oplever stor effekt af ændrnger de samlede ejendomsskattendtægter. Derfor er stgnngen de samlede udgfter tl ejendomsskatter hovedsagelgt tlgået parcelhusejere, og derfor anses problemet med at medtage ejendomsskattendtægter fra ejerlejlghed kke for at være alarmerede. Andet relevant data Som del af overvejelserne bag valget af data tl varablen for skat, er det blevet overvejet, om det kunne være mulgt at se på det relatve forhold mellem de totale bolgværder og de totale skattendtægter de enkelte regoner og kommuner. Da ejendomsvurderngerne, som lgger tl grund for ejendomsværdskatten, har været fastfrosset på 2002 prser, betyder det, at kommuner der har oplevet høj vækst ejendomsprserne sden 2002, har mærket en mndre effekt af ejendomsskatten end kommunerne, som har oplevet mndre vækst eller fald Sde 28 af 86

30 ejendomsprserne. Derfor kan det relatve forhold mellem skattendtægterne og ejendomsværderne være stærkt nedgående kommunerne med høj stgnng ejendomsværderne, skønt grundskylden dsse kommuner kan være stgende, og derved kan bolgejere dsse kommuner kunne se en stgnng deres user costs. 7 Interpolerng At observere data for udvalgte varabler er ofte vanskelgt. Det er særlgt vanskelgt at fnde nok data tl at kunne estmere modeller på baggrund af. Det kan derfor være nødvendgt at bruge en metode tl at udvde st datasæt. Interpolerng er en af dsse metoder, og bruges tl at forbnde 2 data punkter. I projektet er der for flere forskellge varabler som har en begrænset mængde af data. Eksempelvs er noget af det anvendte data, observeret på årlg bass, mens andre varabler er på kvartal eller månedlg bass. Som det blver tydelggjort databeskrvelsen, er det blevet valgt at det observerede data skal være på kvartalsmæssgt bass. Det har derfor været nødvendgt at anvende nterpolerng tl at udlede de manglede data punkter. Den valgte nterpolerngsmetode vl dette afsnt blve gennemgået. Tl sdst afsnttet blver der lavet et underafsnt, der forklarer, hvordan nterpolerngen er lavet R-Studo. Tl nterpolerng af data er Cubc splne valgt, da det er en smpel metode tl at udlede de manglende datapunkter mellem allerede ekssterende observerede datapunkter. De observerede datapunkter fungerer som noder/tenor punkter, hvor et tredjegradspolynomum blver estmeret mellem to af node punkterne. Hvert enkelt polynomum har sne egne koeffcenter og er konstrueret således, at begyndelsen og slutnngen af polynomet rører noderne 18. Cubc splne gver derfor mange "sub-funktoner ", hvor hvert enkelt af sub funktonerne er med tl at generere de manglende datapunkter, som det kke har været mulgt at observere. Cubc splne kan derfor refereres tl som en pecewse funkton, som har formen: S(x) = s 1 (x) f x 1 x < x 2 s 2 (x) f x 2 x < x 3.. { s n 1 (x) f x n 1 x < x n (7.1) 19 Det kan ses funktonen (7.1), at S(x) består af mange funktoner, der forbnder hvert enkelt node punkt, der er blevet sat tl at skulle estmeres. s er et tredjegradspolynomum, som er defneret ved: 18 Cubc Splne Interpolaton. Sky McKnley and Megan Levne. Sde Cubc Splne Interpolaton. Sky McKnley and Megan Levne. Sde 1-4 Sde 29 af 86

31 Hvor 1,2,..., n s ( x) a ( x x ) b ( x x ) c ( x x ) d (7.2) Cubc splne funktonen (7.2) har fre forskellge krav, som den skal overholde 20 : Krav 1: Værden for hver enkelt polynomum er ens ved node punkterne. Krav 2: Første dfferentale for hvert polynomum skal være ens ved node punkterne. Krav 3: Anden dfferentale for hvert polynomum skal være ens ved node punkterne. Krav 4: Anden dfferentale for hvert polynomum er kontnuerlgt mellem node punkterne. Krav 4 er sg selv altd opfyldt. Overvejes polynomet y ax 3 bx 2 cx d, er anden dfferentalet gvet ved y' ' 6ax 2b, hvlket er en lneær funkton og er ved dens egen defnton, kontnuerlg mellem node punkterne 21. I nedenstående fgur (7.1) er et eksempel på, hvordan det grafsk ser ud, når Cubc splne anvendes tl at forbnde de valgte node punkter. Fgur (7.1): Cubc splne eksempel 22 I fgur (7.1) er der observerede værder for varablen X med en numersk forskel på 1. De observerede værder er markeret med en rød prk. Det kan ses llustratonen, at værden kke kendes mellem punkterne X, men det kan Cubc splne nterpolerngen hjælpe med. 20 Fttng the term structure of nterest rates, Penaar, Rod og Moorad Choudhry, sde Fttng the term structure of nterest rates, Penaar, Rod og Moorad Choudhry sde Interpolaton Methods. Orcaflex. Sde 30 af 86

32 Den forbnder de observerede punkter ved hjælp af et tredje grads polynomum, kan ses lgnng (7.2). Når polynomet er estmeret kan værderne mellem f.eks. X tl tden 1 og 2 trækkes ud. Hvs eksemplet fortsættes kan krav 1 tjekkes op på. Fra lgnng (7.1) ved v, at S(x) nterpolerer alle data noderne, og det kan derfor konkluderes at: S( x ) y (7.3) Det kan ses fgur (7.1) at den første node x 0 0. Indsættes denne værd lgnng (7.2), og notatonen ændres tl y fra lgnng (7.3), derved: y 3 2 a (0) b (0) c (0) d Det kan ses, at hvs y d y er det samme som d, vl polynomet rører noden x 0. For at polynomet også rører det andet node punkt x 1, tager polynomet følgende form: y a ( x 1 x ) b ( x 1 x ) c ( x 1 x ) d Dette kan skrves som: 3 d 1 a X b X c X d (7.4) 23 2 Hvor X x 1 x Krav 2 for cubc splne kræver, at første dfferentale skal være ens ved node punkterne, hvlket vl sge, skal gve det samme som første dfferentel af y 1 ' ved node punktet x 1. y ' Forholdet ved x 1 kan skrves som: 2 2 3a X 2b X c 3a 1X 1 2b 1X 1 c 1 Fra gennemgangen af krav 1 ved v at X 0, som også er starten for det næste polynomum. Nul kan nu ndsættes X 1 : 3a b 10 c 1 3a X 2 b X c Hvlket gver: 2 3a X 2 c 1 b X c (7.5) 24 Krav 3 er opfyldt for cubc splne, hvs anden dfferentale for y '' vurderet ved node x 1 er det samme som anden dfferentale af y ' 1 '. Sammenlgnes de to funktoner: 23 Fttng the term structure of nterest rates, Penaar, Rod og Moorad Choudhry, sde Fttng the term structure of nterest rates, Penaar, Rod og Moorad Choudhry, sde 4-8 Sde 31 af 86

33 6a X 2b 6a 1X 1 2b 1 V ved gen at X 0 fra krav 1, og værden ndsættes gen på X 1 plads: 6a X 6a X 6a X 2b 6a 2b 2b 2b b 0 2b 1 a soleres nu så følgende lgnng opnås: a b 1 b (7.6) 25 3X Interpolerng R-Studo Teoren, der er blevet gennemgået forrge afsnt, vl blve mplementeret R-Studo, hvor en funkton blver anvendt tl at lave nterpolerngen for det data, hvor der er manglende datapunkter. I R-Studo benyttes en R-pakke ved navn "mputets". Pakken gør det mulgt at anvende funktonen na.nterpolaton. Der er forskellge nterpolerngsmetoder nkluderet denne funkton, her er nterpolerngs metode cubc splne valgt, da den er blevet vurderet tl at være den mest optmale. Interpolerngen R- Studo fungerer ved, at det observerede datasæt ndlæses. Her blver der nkluderet NaN observatoner mellem de faktske observerede værder. Funktonen na.nterpolaton fylder dsse NaN observatoner ud med estmerede værder, hvor cubc splne blver anvendt tl at estmere dsse værder. Det nye nterpolerede datasæt er gennemgået under afsnttet for data beskrvelse. 8 Dckey Fuller test Inden det observerede data kan anvendes tl model arbejde, skal det først gennemgå en dagnostsk analyse, hvor der testes for om dataet er statonært. Betegnelsen statonartet anvendes tl at beskrve en tdssere, som kke har en unt root. Testen, der blver anvendt projektet, er en augmented Dckey-Fuller test, men først vl der komme en gennemgang af en standard Dckey-Fuller test, hvorefter den omskrves tl en augmented Dckey-Fuller test. Dckey-Fullers første antagelse består af, at data er genereret af nedenstående lgnng: y a1 (8.1) t y t 1 t 25 Fttng the term structure of nterest rates, Penaar, Rod og Moorad Choudhry, sde 4-8 Sde 32 af 86

34 Hvor en subtrakton af y t1 på hver sde af lgnng (8.1) fortages. Efter subtrakton fås den tlsvarende lgnng y 1 hvor t y t t a 1 1 hvlket vl svarer tl at teste hypotesen. I lgnng (8.1) var hypotesen, at der var unt root, hvs 0 a 1 1, 26. Dckey og Fuller konstruerer tre lgnnger, der kan blve brugt tl at teste, om der er unt root. De tre regressonslgnnger er angvet det nedenstående, og anvendes tl at undersøge tlstedeværelsen af de determnstsk led c og t. c er en konstant, som også blver refereret tl som "Drft term". t er en lneær trend, der er afhængg af tden t, og t blver refereret tl som et lneært tdstrend element. y 1 (8.2) t y t t Den første regresson Dckey og Fuller anvender, er angvet lgnng (8.2). Hvs unt root er tlstede lgnng (8.2) er det en ren random walk model. y c 1 (8.3) t y t t Regressonen lgnng (8.3) er tllagt et drft term c. y c t 1 (8.4) t y t t Den sdste lgnng Dckey og Fuller opsætter, er angvet lgnng (8.4). Regressonen foresætter, at data er genereret ved hjælp af et drft term c og et lneær trend led Ved Dckey-Fuller testen estmeres en eller flere af lgnngerne, hvorefter den tlhørende t-værd for fndes. Hvs den t-værden kke er sgnfkant kan H 0-hypotesen 0 kke forkastes, hvlket betyder der er unt root dataseren { y t }. Der skal dog tages højde for, at de tre lgnnger angvet ovenover, alle forkaster H 0-hypotesen ved forskellge krtske værder, så alt efter hvlken lgnng der blver anvendt, skal den tlhørende krtske værd for denne lgnng benyttes. Dckey-Fuller testene omskrves nu tl augmented Dckey-Fuller tests. Dette gøres meget smpelt ved at ntroducere lags tl det de tre tdlgere omtalte lgnnger. t 27. AR y t y p y t1 t1 t (8.5) 2 26 MODELS WITH TREND. Enders, Walter. Sde MODELS WITH TREND. Enders, Walter. Sde Sde 33 af 86

35 ARD y t t p c y 1 y (8.6) 2 t1 t TS y t t p c t y 1 y (8.7) 2 t1 t I forhold tl de krtske værder, der anvendes tl at afgøre om, der ekssterer en unt root, forblver stadg de samme. Dckey og Fuller ntroducerede 1981 tre ekstra F-statstker, der kan bruges tl at teste, hvorvdt der skal være drft og/eller en lneær tds trend den augmented Dckey-Fuller test. F-statstkkerne kaldes for 1, 2 og Dckey og Fuller starter med at teste 3, hvor det antages, at H 0-hypotesen er gvet ved lgnng (8.6), og alternatv hypotesen er gvet ved lgnng (8.7), hvlket vl sge at 0. 3 anvendes tl at teste jont H 0-hypotesen: 0 Hvs F-værden for 3 er lavere end den krtske værd, kan H 0-hypotesen kke forkastes. Hvs dette er tlfældet, antages det, at data er genereret af lgnng (8.6). skal være en konstant med modellen for dataet. 1 kan herefter testes, for at undersøge om der 2 undersøger om c 0. Her er H 0-hypotesen, at data er genereret af lgnng (8.5), mens alternatv hypotesen er, at data er genereret af lgnng (8.7). Hvs F-værden for 2 er højere end den krtske værd for 2, forkastes H 0-hypotesen og alternatv hypotesen accepteres. Dette vl sge, at data er genereret af lgnng (8.7), da mndst et af elementerne c 0. Det kan herefter være nteressant estmere undlades, så lgnngen kun har drft c 2 med. tester jont H 0-hypotesen at c 0 3, således at der kan testes for, om tdstrenden kan 1 anvendes af Dckey og Fuller tl at teste om hvorvdt data er genereret af lgnng (8.5) eller (8.6). H 0- hypotesen antager at c 0, hvlket vl sge, at hvs F-værden er lavere end den krtske værd for kan H 0-hypotesen kke forkastes. Data kan derfor antages at være genereret af lgnngen (8.5). 1, 28 MODELS WITH TREND. Enders, Walter. Sde Sde 34 af 86

36 1 anvendes tl at teste jont H 0-hypotesen 29 : c 0 1, 2 og 3 er alle konstrueret således, at en almndelg F-test kan anvendes, hvlket er angvet lgnng (8.8): [ SSR( restrcted) SSR( unrestrcted)]/ r (8.8) SSR( unrestrcted)/( T k) SSR(restrcted) = squared resduals for den begrænset model. SSR(unrestrcted) = Sum of squared resduals for den ubegrænset model. r = Antal af restrktoner. T = Antal af brugbare observatoner. k = Antal parameter estmeret. SSR er den estmerede værds afvgelse fra den observerede værd. SSR gør det mulgt at undersøge, hvor stor uoverensstemmelse der er mellem emprske observatoner og den valgte models estmerng. Små SSR værder ndkerer, at der er et godt ft mellem data og model. Hvs SSR værderne for den begrænsede model og den ubegrænsede model er meget tæt, er det ensbetydende med at restrktonerne kke er bndende. Hvordan sum of squared resduals udregnes, kan ses nedenstående lgnng (8.9), hvor y angver den observerede værd, og ŷ er den estmerede værd fra den pågældende model. SSR n 2 SSR ˆ (8.9) ( y y ) 1 De krtske værder for Tabel (8.1) 30 : Krtske værder for, som er udregnet af Dckey og Fuller, kan ses de understående tabeller. 1 Sgnfkant level Observatoner T MODELS WITH TREND. Enders, Walter. Sde SUPPLEMENTARY MANUAL TO ACCOMPANY. Enders, Walter. Sde 120 Sde 35 af 86

37 Tabel (8.2) 31 : Krtske værder for 2 Sgnfkant level Observatoner T Tabel (8.3) 32 : Krtske værder for 3 Sgnfkant level Observatoner T De udregnede er sammenlgnes med de udregnede Dckey-Fuller krtske værder for de pågældende værder, som kan ses de ovenstående tabeller. De krtske værder gør det mulgt at bestemme, hvlke - restrktoner der gør sg gældende. H 0-hypotesen for er som nævnt tdlgere, at data er genereret ved det begrænsede model, mens alternatv hypotesen er, at data er genereret af den ubegrænsede model. 31 SUPPLEMENTARY MANUAL TO ACCOMPANY. Enders, Walter. Sde SUPPLEMENTARY MANUAL TO ACCOMPANY. Enders, Walter. Sde 120 Sde 36 af 86

38 Små værder for betyder derfor, at H 0 accepteres og restrktonerne kke er bndende, mens høje værder for gør, at H 0-hypotesen kan forkastes og restrktonerne er bndende. Modellen, der er blevet udvalgt på baggrund af de estmerede værder, kræver også en bestemt laglængde. Det er vgtgt at fnde det rgtge antal lags for den augmented Dckey-fuller test. Hvs der bruges for få lags, vl resdualerne fra regressonen af den udvalgte model kke bevæge sg som en hvd støj. Samtdg vl modellen kke være stand tl at fange den faktske "error" proces, derfor vl estmatonen af og den tlhørende standardfejl være dårlg. Inkluderes der for mange lags augmented Dckey-fuller test, blver testens evne tl at forkaste H 0- hypotesen af en ekssterende unt root forrnget. Forrngelsen sker på baggrund af de ekstra parametre, der skal estmeres, hvlket fører tl tab af frhedsgrader. Lag-længden blver meget ordnært fundet ved hjælp af general to specfc metoden. Intal lag-længden vælges fra start tl at være en relatv lang lag-længde for den udvalgte model, hvorefter der sker en reducerng af lag-længden. Efter hver reducerng tjekkes sgnfkant nveauet for den sdste parameter. Denne proces fortsættes ndtl det sdste lag er sgnfkant. Når den optmale lag-længde er fundet, undersøges resdualerne om de er uafhængg fordelt. Korrelatonen kan tjekkes ved at plotte resdualerne og/- eller ved brug af en Ljung-Box test 33. Efter den optmale lag-længde er fundet for den udvalgte model, kan data tjekkes for statonartet ved brug af augmented Dckey-Fuller test. Matlab anvendes tl at udøve testen. Her undersøges det om H 0-hypotesen 0 holder. I Matlab returneres enten et 0 eller et 1 tal, hvs fact er 0, er der unt root og data er derfor kke statonær. Den underlæggende estmaton af hvorvdt 0 gøres ved hjælp af en standard t-test: Augmented Dckey -Fuller tests ( 1) t a 1 ' Den gennemgåede teor for augmented Dckey-Fuller test vl nu blve anvendt tl at analysere, hvorvdt dataet, der anvendes projektet, er statonært. Det vl først blve undersøgt, hvlken af de tre modeller der bedst forklarer det observerede data. Det observerede data er blevet gennemgået afsnttet med databeskrvelsen, og augmented Dckey-Fuller tests vl blve konstrueret Matlab. Tl slut afsnttet vl en overordnet konkluson på, om det observerede data er statonært. 33 MODELS WITH TREND. Enders, Walter. Sde Sde 37 af 86

39 Husprser Det observerede data beskrver udvklngen husprserne hver enkelt af de danske regoner samt hele Danmark. Datasættet består 95 enkelte observatoner, hvor dfferencen og log er taget af data, for hver regon og hele Danmark. Lgnngerne (8.5), (8.6) og (8.7) blver anvendt Matlab, for at kunne køre en regresson på det observerede dff(log(data)) for hver af de enkelte regoner samt hele Danmark. Regressonen anvender kun et lag for alle modellerne tl at starte med, og efter den optmale model for dataet er fundet, vl det blve analyseret hvlken lag-længde, der skal anvendes. Fra de tre AR, ARD og TS regressoner udledes sum of squared resduals for de enkelte modeller således, at værderne kan fndes. SSR-værderne for husprserne kan ses nedenstående tabel (8.4): Tabel (8.4): SSR-værderne for husprserne SSR Reg Hele Hoved Sealand Syd Md Nord TS 0, , , , , , AR 0, , , , , , ARD 0, , , ,18E-05 0, , Som det fremgår af teoren, kan de forskellge SSR allerede nu anvendes tl at analysere, hvorvdt restrktonerne er bndende eller ej. Hvs der kgges nærmere på regressonen TS for hele Danmark, gver SSR os værden 0, og for AR værden 0, Værderne er kke tæt på at være de samme, derfor kan det udledes at AR modellen angvet lgnng (8.5) kke er den optmale at bruge augmented Dckey- Fuller test. værderne udregnes nu på baggrund af SSR, således den optmale model tl anvendelse af augmented Dckey-Fuller test kan fndes. -værderne for de observerede husprser kan ses tabel (8.5) Tabel(8.5): -værderne for de observerede husprser ф() Ph Hele Hoved Sealand Syd Md Nord ф1 145, , , ,53 49, ,11801 ф2 34, , , , , ,01439 ф3-22,6016-5, ,1211-4,58e+01-11, ,0331 Sde 38 af 86

40 Den første værd, der er nteressant at se på, er 2 for hele Danmark. Hvs v sammenlgner F-værden 2 34,51859 med den krtske værd 4,88 fra tabel (8.2) ved ~ 100 observatoner, kan de ses at H 0- hypotesen blver forkastet og alternatv hypotesen accepteres. H 0-hypotesen er, at data er genereret af den begrænsede model, mens alternatv hypotesen er, at data er genereret af den ubegrænsede. Den begrænsede model tl 2 er lgnng (8.5), og den ubegrænsede model er lgnng (8.7). At alternatv hypotesen accepteres betyder, at en af elementerne c er forskellge fra 0. Alle 2 værderne for de seks regressoner tabel (8.5) er højere end den krtske værd fra tabel (8.2), hvlket som sagt betyder, at alternatv hypotesen accepteres for dem alle. For nu antager v at alt data er genereret af lgnng (8.7). Værden for 3 udregnes nu for at teste om 0. 3 for hele Danmark er lavere end den krtske værd 6,49 for 5 procents sgnfkant nveau angvet tabel (8.3). H 0-hypotesen kan derfor kke forkastes, og derfor kan antagelsen om, at data for hele Danmark er genereret af lgnng (8.7), ændres tl at data er genereret af lgnng (8.6). At denne antagelse er sand, kan også ses på 1 værden, da værden er højere end den krtske værd på 4,71. Alternatv hypotesen accepteres derfor, hvlket vl sge at data er genereret af den ubegrænsede model, der er angvet lgnng (8.6). Hvs v analyser på for alle regonerne, kan det ses, at 3 kke er sgnfkant for nogle af dem, hvlket betyder at H 0-hypotesen accepteres, og data er derfor genereret af ARD-modellen lgnng (8.6). For at lave et sdste tjek, er 1 værderne også udregnet for alle regonerne. Det vser sg, at de alle er sgnfkante ved et 5 procents sgnfkant nveau, da alle 1 værderne tabel (8.5) er over den krtske værd på 4,71. Det kan konkluderes, at det observerede data for regonerne og hele Danmark er genereret ved ARD modellen angvet lgnng (8.6). Den optmale model for at teste om dataet for husprserne er statonært er nu valgt. Inden testen dog kan køres, skal det undersøges hvor mange lag p * ARD-modellen skal arbejde med. Lag-længden for modellen fndes ved at opstlle et loop Matlab for augmented Dckey-Fuller test ved brug af general to specfc metodologen. Lgnng (8.6) starter med at blve estmeret med 6 lags, herefter udtrækkes p-værden. Hvs p-værden for parameteren ved det 6. lag er sgnfkant, betyder det at ADF testen skal anvende 6 lags. Er dette kke tlfældet blver modellen genestmeret med lag-længden p * 1. Hele processen blver fortaget Matlab ndtl det sdste lag element er sgnfkant forskellgt fra nul. Sde 39 af 86

41 Tabel (8.6): Husprs parametres p-værd p-værd Hele Hoved Sealand Syd Md Nord c 0, , , , , , ɣ 0, , , , , , B(t-1) 0, , , ,45E-02 0, , B(t-2) 0, , , , , B(t-3) 0, , ,28E-05 0, , B(t-4) 0, B(t-5) B(t-6) I tabel (8.6) er p-værderne for den optmale lag-længde angvet. Det kan ses, at for hele Danmark er de to sdste lags 5 og 6 kke medtaget, hvlket betyder, de kke har været sgnfkante, og det er først for ved det 4. lag at p-værden er blevet sgnfkant. For regonen Hovedstaden er den optmale lag-længde ét lag, og for de resterende regoner er den optmale lag-længde for ADF testen 3 lags. De 6 modeller, som er blevet estmeret, er blevet testet for korrelaton resdualerne. Testen er blevet foretaget ved hjælp af plots af resdualerne, samt Ljung-Box tests. Begge testene konkluderer, at der kke er korrelaton resdualerne. Når den passende lag-længde for ARD-modellen, der anvendes ADF testen, er fundet kan data nu blve testet for statonartet. Augmented Dckey-Fuller testen for husprserne med tlhørende t-værder og krtske værder kan fndes tl sdst afsnttet tabel (8.13). Indkomst Indkomsten er observeret for hele Danmark samt regonerne. Dataet ndeholder 94 observatoner, hvor dfferencen er taget to gange af logartmen af dataet. Indkomst vste sg første augmented Dckey-Fuller test kke at være statonært, og det var derfor nødvendgt at tage dfference én ekstra gang. Den første augmented Dckey-Fuller test som blev lavet på enkelt dfferencen af logartme af ndkomst dataet, vl derfor kke blve gennemgået. Selv om dfferencen er taget to gange, er proceduren stadg den samme. SSR for de forskellge regressoner er kke taget med, men de kan ses Matlab, hvs det nteresserer læser. Sde 40 af 86

42 Tabel (8.7): -værderne for de observerede husprser ф() Ph Hele Hoved Sealand Syd Md Nord ф1 0, , , , , , ф2 0, , , , , , ф3-0, , ,95e-05-1,66e-03-0, ,00152 Tabel (8.7) angver -værderne, og det kan ses, at for hele Danmark og alle regonerne er værderne meget lave. 2 0, Holdes denne værd op mod Dckey og Fullers krtske værd 4,88 tabel (8.2) for 5 procents sgnfkantnveau, kan H 0-hypotesen at c 0 kke forkastes. Selv ved 10 procents sgnfkantnveau, hvor den krtske værd er 4,16 kan H 0-hypotesen kke forkastes. Dette er også tlfældet ved alle regonerne. Det kan derfor allerede nu antages, at data er genereret ved AR-regressonen angvet lgnng (8.5), da H 0-hypotesen kke kan forkastes, er data genereret af den begrænsede model. Efter den optmale model for ndkomst dataet er fundet, skal den optmale lag-længde fndes. Dette gøres gen ved brug af general to specfc metodologen. Modellen der startes ud med, er en AR model med 15 lags. Herefter justeres lag-længden ndtl p-værden for den sdste laggede parameter er sgnfkant. De optmale lag-længder er angvet nedenstående tabel (8.8). Tabel (8.8): Indkomst parametres p-værd p-værd Hele Hoved Sealand Syd Md Nord ɣ B(t-1) 2,20E-08 2,87E-07 2,25E-07 4,74E-07 5,28E-10 7,40E-14 1,02E-19 9,23E-19 5,46E-19 4,63E-19 1,37E-19 2,10E-20 B(t-2) 0, , , , , , B(t-3) 0, , , , , , B(t-4) B(t-5) 3,32E-09 7,54E-08 2,20E-09 4,29E-10 4,04E-08 1,28E-08 3,51E-14 1,69E-12 6,00E-14 1,02E-14 8,96E-14 4,15E-12 B(t-6) 0, , , , , , B(t-7) 0, , , , , , B(t-8) 1,84E-06 7,43E-05 1,89E-06 3,25E-07 1,68E-06 0, B(t-9) 1,10E-10 2,08E-08 2,92E-10 3,34E-11 3,76E-11 8,84E-07 Sde 41 af 86

43 B(t-10) 0, , , , , B(t-11) 0, , , , , B(t-12) 0, , , , , B(t-13) 9,66E-06 0, ,01E-05 3,47E-06 0, De fleste modeller for dataet for hele Danmark og regonerne er sgnfkant ved det 13. lag, dog med undtagelse af ndkomst dataet for Regon Nordjylland. Det kan ses at AR modellen for Regon Nordjylland, når der anvendes ADF test, skal bruge 9 lags. De optmale lag-længder for ndkomst data for hele Danmark og regonerne er angvet med grønt tabel (8.8). De seks estmerede modeller er blevet undersøgt for korrelaton resdualerne, og det kan konkluderes ud fra plot og Ljung-Box test, at der kke er korrelaton resdualerne. Nu kan de fundene lag-længder anvendes den augmented Dckey-Fuller test, som tdlgere sagt laves Matlab. Selve den augmented Dckey-Fuller test for statonartet vl blve gennemgået tl sdst afsnttet og kan ses tabel (8.13). Skat Data for varablen skat for regonerne og hele Danmark består af 94 observatoner, hvor dfferencen er taget to gange af logartmen tl dataet. Igen har det været nødvendgt, lgesom ved ndkomst dataet, at tage dfferencen to gange, ford den første augmented Dckey-fuller test vste, at dataet kke var statonært. Tabel (8.9): -værderne for varablen skat ф() Ph Hele Hoved Sealand Syd Md Nord ф1-0, ,0153-0, , , ,00623 ф2-0, , , , , ,01209 ф3-0, , , ,34e-03-0, ,01198 Tabel (8.9) angver alle -værderne for F-testen lgnng (8.8). For af nemmest at kunne afklare hvlken model, der vl være den optmale for augmented Dckey-Fuller test, ses der først på 2. Alle 2 værderne er meget lave, og sammenholdes de med den krtske værd for 2, der er angvet tabel (8.2) 4,88, kan H 0 - hypotesen kke forkastes. Det antages, at data for regonerne og hele Danmark, er genereret af den begrænsede AR model lgnng (8.5). Den optmale lag-længde fndes nu for AR modellen. Sde 42 af 86

44 General to specfc metodologen anvendes gen, hvor start lag-længden for modellen er sat tl 15 lags. P- værderne for parametrene er angvet understående tabel. Tabel (8.10): Skat parametres p-værd p-værd Hele Hoved Sealand Syd Md Nord ɣ 5,60E-17 3,81E-17 4,68E-07 2,89E-13 1,27E-18 1,66E-12 B(t-1) 1,66E-20 6,91E-21 6,28E-18 3,77E-17 1,36E-19 1,78E-18 B(t-2) 0, , , ,25E-02 0, ,28251 B(t-3) 0, , , , , , B(t-4) 8,22E-10 1,21E-10 8,57E-11 4,22E-11 5,08E-09 7,89E-11 B(t-5) 1,46E-13 5,78E-14 4,94E-13 1,94E-12 1,80E-12 5,84E-12 B(t-6) 0, , , , , , B(t-7) 0, , , , , , B(t-8) 0, , , , , , B(t-9) 0, ,11E-06 2,74E-07 7,79E-06 0, ,62E-06 B(t-10) 0, , , B(t-11) 0, , , B(t-12) 0, , , B(t-13) 0, , , B(t-14) 0, Det kan ses tabel (8.10), at dataet for skat for hele Danmark og regonerne har meget forskellge laglængder. Dette sker pga. den første ntal lag-længde blev sat tl 10, men det vste sg, at selvom lag for modellen var blevet reduceret ndtl det sdste lag var sgnfkant, var der stadg korrelaton resdualerne. Det var derfor nødvendgt at starte med en længere lag-længde, hvlket denne gang blev sat tl 15. De seks forskellge modeller er gen er blevet testet ved hjælp af Ljung-Box test og plot af resdualerne, og det har vst at der kke længere er korrelaton resdualerne. Fact for statonartet testene vl blve gennemgået tl sdst afsnttet tabel (8.13). Renten Dataet for renten består af 95 observatoner, hvor dfferencen er taget af logartmen af data. Renten er kun observeret for hele Danmark. Sde 43 af 86

45 For at kontrollere at data for renten er statonært, skal det testes for hvlken model, det kan antages at data er genereret af. Dette gøres ved at se på de nedenstående -værder tabel (8.11). Tabel (8.11): -værderne for varablen renten ф() Ph Hele ф1 11,5158 ф2 7, ф3-0,24055 Først testes det om hvorvdt 2 er sgnfkant. Ved test af 2 er det antaget, at lgnng (8.5) er den begrænsede og lgnng (8.7) er den ubegrænsede. Her er 2 7, , hvlket er højere end den krtske værd 4,88 angvet tabel (8.2). H 0-hypotesen forkastes, og alternatv hypotesen, at data er genereret ved hjælp af den ubegrænsede model lgnng (8.7), accepteres. Inden det antages at dette er korrekt, testes 3 for at undersøge om der skal være en tdstrend med modellen. Lgnng (8.6) antages at være den begrænsede model, og lgnng (8.7) er den ubegrænsede. Hvs H 0-hypotesen forkastes, skal der være en tdstrend med modellen. Her er 3-0,24055, hvlket er under den krtske værd 6,49 for 3 angvet tabel (8.3). H 0-hypotesen kan derfor kke forkastes, og data er derfor genereret af den begrænsede model lgnng (8.6). Den optmale ARD model undersøges nu for hvor mange lags, der skal være med augmented Dckey-Fuller test. Tabel (8.12): Rente parametres p-værd p-værd Hele c 0, ɣ 0,20127 b1 0, Det kan ses tabel (8.12), at det første lag, hvor parameteren blev sgnfkant, er ved ét lag. Den optmale lag-længde for ARD modellen for ADF-testen blev fundet ved hjælp af General to specfc metodologen. Intal lag-længden for ARD modellen er blevet sat tl 6 lags Matlab. Det sdste der mangler, er at teste, hvorvdt data for renten er statonært. Den augmented Dckey-Fuller Sde 44 af 86

46 test køres Matlab, og det testes her om er sgnfkant, hvlket betyder, at der kke er unt root ekssterende og data derfor er statonært. Testen for statonartet kan ses nedenstående tabel (8.13). Statonartet Den optmale model samt de tlhørende optmale lag-længder er blevet fundet det ovenstående. Data for husprserne, ndkomst, skat og renten vl nu blve testet for eksstensen af unt root. Den augmented Dckey-fuller testet er blevet udregnet Matlab. Her er t-værderne for parameteren blevet udregnet for alle modellerne, samt den tlhørende krtske værd. I tabel (8.13) er hver enkelt t-værd for samt tlhørende krtske værd for husprserne, ndkomst, skat og renten opdelt efter regoner samt hele Danmark blevet llustreret. De krtske værder er for 5 procents sgnfkantnveau. Tabel (8.13): T- og krtsk værd for alle de udvalgte modeller. ADF Hele Hoved Sealand Syd Md Nord Husprser C-value -2,8939-2, , , , ,89348 T-value -4,215-4, ,7053-3,2069-4,1848-4,86966 Indkomst C-value -1, , , ,94E+00-1, ,94453 T-value -4, , , ,81E+00-10,7173-5,1828 Skat C-value -1, , , ,94E+00-1, ,94456 T-value -5,2142-5, , ,29E+00-4, ,96144 Rente C-value -2,89264 T-value -7,08532 H 0-hypotesen for augmented Dckey-Fuller test for unt root er at 0. For at kunne forkaste H 0- hypotesen og acceptere alternatv hypotesen, skal t-værden være lavere end den krtske værd. De krtske værder er baseret på hvor mange observatoner, der er tlgængelge, samt hvlken model der er blevet estmeret. Det kan ses, at den krtske værd for AR modellen er højere end for ARD modellerne. Den første ADF test, som er blevet fortaget, er for husprserne for hele Danmark. Her er t-værden udregnet tl -4,215, hvor den krtske værd, som kan ses kolonnen C-value, er angvet tl at være -2,8939. T-værden er lavere end den krtske værd, så derfor kan H 0-hypotesen om tlstedeværelsen af unt root forkastes. Dataet for Sde 45 af 86

47 husprserne for hele Danmark er derfor statonært. Det gør sg også gældende for dataet for regonernes husprserne, hvlket kan ses tabel (8.13). Her har alle regonerne en lavere t-værd end den krtske. Alternatv hypotesen accepteres, da dataet kke ndeholder unt root. Indkomst dataet for regonerne og hele Danmark har den tlhørende krtske værd ~1,944, hvor alle t-værder er lavere end den krtske værd. Derfor er ndkomst dataet statonært. Indkomst dataet har for Regon Syd- og Mdtjylland stadg korrelaton resdualerne, og selv ved tlføjelsen af flere lags blev der stadg observeret korrelaton. Dataet for skat har nogenlunde den samme krtske værd som for ndkomst. Det kan ses tabel (8.13), at de tlhørende t-værder alle er lavere end den krtske, så derfor er dataet for skat også statonært, da H 0 hypotesen 0 forkastes. Den sdste varable renten som der er blevet observeret data for mangler nu. Renten er kun observeret for hele Danmark, med den udregnede t-værd -7,085. T-værden for renten er meget lavere end den krtske værd, så H 0-hypotesen forkastes, og alternatv hypotesen om, at data kke ndeholder unt root, accepteres. Alt det observerede data, der anvendes tl analysen, kan konkluderes at være statonært. 9 Autoregressve modeller Dette afsnt kommer tl at handle om AR modeller, da der senere projektet vl blve dannet AR(1) modeller for hele Danmark og de 5 regoner. AR(1) modellerne blver anvendt som benchmark projektet. Data som ndeholder en række af tal og td, betragtes som en tdssere. Tdsserer har lge store tdsrum mellem observatons ntervallerne, således der kan omstlles modeller på baggrund af dataet. Tdssere modellerne benyttes tl at analysere data for at fange tendenser og underlggende effekter, som herefter kan bruges tl analyser og prognoser. Autoregressve modeller er en af de mest benyttet type modeller tl bearbejdnng af tdsseredata. I en AR model forventes det, at den forrge observaton, X k 1, har effekt på den observerede værd på tdspunkt k. Denne effekt måles ved parameteren p. Derved kan der opstlles en smpel model for tdsseren: X k = px k 1 + ε k. k = 0, ±1, ±2, Hvor X er den observerede værd tl tdspunkt k, p er en forklarende parameter for effekten af den laggede observatons værd og ԑ er et fejlled, for de effekter det laggede led kke kan forklare. Ofte blver det antaget at fejlleddene modellerne er tlfældge og kke korrelerede, der følger en normalfordelng, hvlket vl sge, at fejlledet har en mddelværd på nul og en konstant varans 2. Sde 46 af 86

48 Lgesom X k afhænger af den tdlgere observatons værd X k-1, afhænger X k-1 lgeledes af tdlgere observatons værd X k-2. Hvs der tages udgangspunkt en AR(1), kan løsnngen tl X k fndes ved rekursv substtuton 34 : X k = px k 1 + ε k = p(px k 2 + ε k 1 )+ε k = p 2 X k 2 + pε k 1 + ε k = p 3 X k 3 + p 2 ε k 2 + pε k 1 + ε k Her er X0 ntal værden. Ftte data tl en model = p k X pε k 1 + ε k For beregne parameteren p er det nødvendgt at ftte dataet tl en AR(1) model. Dette gøres ved at mnmere fejlledet ԑ forhold tl parameteren p, og derved få den estmerede værd så tæt som mulgt på den observerede værd. Her tages den afledte af de summerede kvadrater af fejlledet: n p (X k px k 1 ) 2 = 2 (X k px k 1 ) ( X k 1 ) k=2 Da v er nteresserede at mnmere fejlledet ԑ, sættes det afledte tl 0. n n k=2 2 (X k px k 1 ) ( X k 1 ) = 0 k=2 n 2 ( X k X k 1 + px k 1 ) k=2 n (X k X k 1 ) + p k=2 n (X k X k 1 ) k=2 n = 0 2 px k 1 k=2 n 2 = p px k 1 k=2 = 0 34 AR(1) TIME SERIES PROCESS, Horvath, Zsuzsanna og Ryan Johnston sde 3-5 Sde 47 af 86

49 Ved at solere p fås udtrykket: p = n k=2 (X kx k 1 ) n 2 k=2 px k 1 Det næste trn modellerngen af dataet er at fnde fordelngen af resdualerne, for at kunne determnere om resdualerne følger en normalfordelng, og dermed er hvd støj. For at fnde denne fordelng ses der på den oprndelge lgnng for en AR(1): Her soleres fejlleddene således: X k = px k 1 + ε k ε k = X k p X k 1 Her kan et hstogram af de estmerede fejlled være en mulghed, da det forventes at fejlleddene følger en normal fordelng, hvs de er hvd støj. Dette prncp vl blve benyttet senere for forecasts resdualerne under evaluerngen af forecastene. 35 Brug af AR(1) projektet I projektet benyttes AR(1) modeller tl at teste kvalteten af forecastene baseret på VAR modellerne, som vl blve gennemgået afsnttet med forecast evalurng. AR(1) modellerne dannes på baggrund af ejendomsprsudvklngen den enkelte regon. Her fjernes de sdste 14 observatoner af dataet, således at den dannede AR(1) model kan testes out-of-sample. Her laves one step ahead forecasts, som kan blve sat op mod de 14 undladte observatoner, og dermed kan modellen blve vurderet forhold tl dsse observatoner. I det følgende afsnt vl forecasts teor blve gennemgået med udgangspunkt Walter Enders Appled Econometrc Tme Seres 4 edton, hvlket betyder at notatonerne for AR modellen ændres tl Walter Enders AR notatoner. 10 Forecastng Objektet modelarbejde er kke at modellere en model, der er repræsentatv for det økonomske observerede data. Dermod er det målet at fnde smpel modeller, der vl være stand tl at fange opførslen en tdssere, således at modellen har et tlstrækkelg bass for forecastng. I dette afsnt vl egenskaberne af forecastng blve gennemgået. Først blver der lagt fokus teoren bag forecastng af en AR model, som projektet blver sat tl at være benchmark. Forecastng teoren af en AR model blve gennemgået ud fra Appled Econometrc Tme Seres 4 edton, skrevet af Walter Enders. 35 AR(1) TIME SERIES PROCESS, Horvath, Zsuzsanna og Ryan Johnston, sde 6-8 Sde 48 af 86

50 Enders antager at data genererngsprocessen af tdlgere og nuværende realsatoner af sekvenser er kendt af forskeren. Enders lgger først fokus på en AR model med et lag, noteres som AR(1), forklarngen af forecastng: { y t } og { t } AR(1) y a0 a (10.1) t 1y t 1 t y t er de observerede værder for den varable, der ønskes at blve modelleret. a 0 er en konstant, og a 1 er den estmeret parametre værd for den laggede værd af y t1. t er fejlleddet for den estmerede AR(1) model. AR(1) modellen lgnng (10.1) opdateres nu én perode frem, således at lgnngen ændres tl: y a a t1 0 1y t t1 Hvs koeffcenterne for a 0 og a 1 er kendt, mulggør det at forecaste en perode frem y t1, hvlket er begrænset af nformatonen, der er tlgængelg perode t : E [ t y ] t 1 a 0 a1 y (10.2) Enders bruger her notatonen E ] som en forkortelse for den begrænsede forventnng af t[ y t j t yt j, gven den nformaton som er tlgængelg perode t. j angver hvlken perode, der blver forecastet. Begrænsnngerne, der forelægger forventnngen, kan mere formelt skrves som: Et[ yt j ] E( yt j yt, yt 1, yt2,..., t, t1,...). Hvs lgnng (10.1) opdateres fra en perode frem tl to peroder: y a a t2 0 1y t 1 t2 Hvlket betyder, at forecasts af y t2 er betnget af perode t således: E t[ yt2] a0 a1et [ yt 1] E t[ y t 1] kan erstattes ved at bruge lgnng (10.2): Et[ yt ] a0 a1( a0 a1 y ) 2 t Det kan udledes, at forecast for y t1 kan bruges tl at forecast y t2. Dette prncp betyder, at forecast kan blve konstrueret ved brug af frem af rettet teraton. Overordnet kan forecastet for y bruges tl at t j forecaste en perode frem y t j1. Sden prncppet fra ovenstående lgnnger kan bruges, kan y t j1 som Sde 49 af 86

51 skrves: yt j1 a0 a1 yt j t j1 omskrves tl: E t[ yt j1 0 1 t t j ] a a E [ y ] (10.3) Det kan udledes fra lgnng (10.2) og lgnng (10.3) at det er mulgt af estmere en hel sere af j-step-ahead forecast ved at bruge frem af rettet teraton. Hvs processen fortsættes fra lgnng (10.3), fndes lgnngen, som Enders kalder for forecast funktonen. Funktonen udtrykker alle j-step-ahead forecast som en funkton af nformaton fra perode t : 2 j1 j Et[ yt j ] a0 (1 a1 a1... a1 ) a1 y t Lgnng (10.1) er blevet estmeret på baggrund af observeret data, hvlket betyder, de forecastede værder, der blve estmeret for denne model, er out of sample forecast. To-perode forecastet y t2 anvender forecastet for den tdlgere perode, der fndes ved lgnng (10.2), hvlket gør det svært at yderlgere konkludere, om AR(1) modellen gver fornuftge forecasts. Projektet anvender flere forskellge modeller tl at forecaste y. Det er derfor nødvendg at bruge en metode, der gør det mulgt at sammenholde de forskellge modellers forecast. Det observerede data der anvendes projektet har 94 observatoner, men stedet for at estmere vores benchmark model på alle observatonerne, reduceres datasættet tl f.eks. 80 observatoner. Der er nu 14 observatoner, der kke bruges tl model estmerngen, men dog er kendt. Når f.eks. en AR(1) model er blevet estmeret på det reduceret datasæt, kan modellen bruges tl at forecaste for en perode frem, hvor den estmeret forecast værd for notatonen N 1 ˆ. Sden v allerede kender den observerede værd, y 80 for perode y 80, kan forecast-fejlen for AR(1) modellen konstrueres. AR(1) modellen kan nu blve genestmeret ved brug af det observerede data, hvor en ekstra observaton tages med, således at modellen blver estmeret på 86 observatoner. Denne proces fortsættes tl at alle de estmeret forecast N 1, 14 er fundet. AR modellen, som blver anvendt tl benchmark, holdes op mod en VAR model. VAR modellen benyttes, da der er flere forskellge tdsserer. Der kan her refereres tl den overordnede makroøkonomske gennemgang, hvor det tydelgt vdes, at husprser blver påvrket af andre varabler. Det vl derfor være nteressant at estmere en VAR model, således at de forskellge varablers observatonssekvens påvrknng på husprserne kan udledes. Først vl teoren bag en VAR model gennemgås, hvorefter fokusområdet for VAR forecast vl blve teoretseret. Sde 50 af 86

52 VAR modellen, der blve brugt tl gennemgang af teoren, er en to-varable VAR(1). V kan her lade tdsseren { y t } opskrves som: være påvrket af tdsseren for { z t } og vce versa. Det smple bvarant system kan y t b10 b z y z (10.4) 12 t 11 t1 12 t1 yt z t b20 b y y z (10.5) 21 t 21 t1 22 t1 zt Det er antaget, at data er statonært, hvlket er blevet testet afsnt 8 projektet for det observerede data, der anvendes tl at modellere en VAR. yt og zt antages at være hvd støj og kke korreleret med standardafvgelsen y og z. Lgnng (10.4) og (10.5) er begge af lag ordren én, sden der kun er nkluderet ét lag. Systemet for en VAR model tllader at nkorporeret feedback, ford både y t og z t påvrker hnanden. Lgnngerne, som blver påvrket af begge varabler, er kke stand tl at blve estmeret ved hjælp af OLS pga. der er en smultan effekt mellem de to. OLS estmaterne vl lde under at koeffcenterne og fejlleddene er korreleret, og der derfor opstår bas estmater. For at undgå dette problem, blver lgnngerne (10.4) og (10.5) transformeret tl et lgnngssystem på følgende matrx form: 1 b Dette kan skrves mere kompakt: b y z t t b b y z 22 t1 t1 yt zt Bx t 0 1x t 1 t Hvor 1 b12 yt b B b 1, x t, 0 21 z, 1 t b yt og t Ved at Pre-multplcere det forkortede lgnngssystem med zt 1 B, opnås en standard VAR form: x t A A x e 0 1 t1 t (10.6) 1 Notatonerne lgnng (10.6) angver: A 0 B 0, B 1 1 og et B 1 t. Notatonerne for VAR modellen blver nu ændret. Lgnngen (10.6) kan nu bruges tl at defnere a 0 som Sde 51 af 86

53 element af vektoren A 0. a j blver defneret som elementet række, kolonne j af matrxen A 1. Fejlleddet e t blver defneret som elementet af vektoren e t. De nye notatoner bruges nu tl at omskrve lgnng (10.6) tl: yt a10 a11yt 1 a12zt 1 e1 t zt a20 a21yt 1 a22zt 1 e2t (10.7) (10.8) Der er forskel mellem de to lgnngssystemer opskrevet lgnng (10.4) og (10.5), og det udledte lgnngssystem lgnng (10.7) og (10.8). Lgnngssystemet opskrevet lgnng (10.4) og (10.5) er defneret som en strukturel VAR, mens lgnngerne (10.7) og (10.8) er refereret tl som en standard VAR form. Tl modellerngen af lgnngssystemet projektet, der blver gennemgået afsnttet om modeludvælgelsen brugen af standard VAR form. Efter at VAR modellen er blevet estmeret, kan den blve brugt tl multforecastng. VAR(1) modellen gennemgået ovenover og angvet (10.6), og vl blve brugt som et eksempel på, hvordan en VAR forecaster. De estmerede koeffcenter for A 0 og A 1 kan nu blve brugt tl at lave one step ahead forecast. One step ahead forecastet kan blve udledt ved at bruge relatonen: E [ T x ] t 1 A 0 A1 x (10.9) T angver størrelsen på det observerede data, som VAR modellen er blevet estmeret på. Two step ahead forecastet fndes ved at bruge relatonen: E T [ xt 2] A0 A1 ET [ xt 1] Lgnng (10.9) kan nu substtueres nd, således at forecast værden for one step ahead anvendes tl at estmere forecast for two step ahead. E T [ xt T T ] A A [ A A x ] (10.10) De observerede værder er blevet reduceret tl 80 lgesom ved AR eksemplet. Hver gang et one step ahead forecast er blevet udført, blver en ny VAR(1) model estmeret på det observerede data, hvor der er nkluderet en ekstra observatonsværd T 1. Det er derfor kke nødvendgt, hvs VAR modellerne estmeres på et reduceret datasæt, at anvende one step ahead forecast tl at estmere two step ahead forecast, som det blver forslået lgnng (10.10). Sde 52 af 86

54 11 Modeludvælgelse I dette afsnt vl modeludvælgelsen fnde sted. Projektet anvender en AR model som benchmark model, og holder en VAR model op mod denne benchmark, for at teste hvlken model der estmerer de bedste forecast. Inden evaluerngen kan fnde sted, skal udvælges af hvor mange lags de enkelte modeller skal ndeholde. Metoderne der anvendes tl at fnde den bedste lag-længde, er Akake Informaton krterum (AIC) og Bayesan nformaton krterum (BIC) for hver af de enkelte VAR modeller. Det er vgtgt at undersøge, hvorledes en model fttes tl data. Ved at tllægge ekstra lags tl en model f.eks. en VAR, så vl sum of squares for modellens estmerede resdualer reduceres, således modellen blver mere præcs. Dog er det kke uden konsekvenser at tllægge et ekstra lag tl en model. Et ekstra lag betyder, at flere koeffcenter skal estmeres, hvlket fører tl tab af frhedsgrader 36. Antallet af koeffcenter, der skal estmeres, er afhængg af hvor mange varabler, der er med VAR modellen. Det prmære fokus modellen er, at kunne anvende de estmerede modeller tl forecast, og hvs der nkluderes unødvendge koeffcenter modellen, kan det påvrke forecast præstatonen af den estmerede model. To meget udbredte selektons krterer er Akake og Bayesan. Begge metoder vl blve anvendt projektet tl at afgøre den deelle lag-længde for VAR modellerne for hele Danmark og de underlæggende regonerne. AIC fndes ved at estmere sum of squared resduals se afsnt 8 lgnng (8.9) for specfk defnton. De to selektons krterer, henført tdlgere nævnte, er gvet de understående lgnnger 37 : AIC T * ln( SSR) 2n (11.1) BIC T * ln( SSR) n*ln( T) (11.2) Hvor T n angver mængden af brugbare observatoner. n er antallet af estmerede parameter modellen. afhænger af hvor mange lags, der er nkluderet, samt om der er en konstant hermellem. ln(ssr ) er den naturlge logartme af sum of squared resduals fra den estmerede model. Der fndes også andre formler for udregnng af AIC og BIC, men for nu bruges Walter Enders formler for AIC og BIC 38. T værden AIC og BIC skal holdes fast, for at få et præcst estmat. Eftervrknngerne af AIC estmeret med en foranderlg T, er at AIC kke længere fnder den bedste model, men dermod den model med det laveste antal observatoner. Grundlaget for dette, er at T har en drekte reducerende effekt på AIC, hvlket 36 SAMPLE AUTOCORRELATIONS OF STATIONARY SERIES. Enders, Walter. Sde SAMPLE AUTOCORRELATIONS OF STATIONARY SERIES. Enders, Walter. Sde SAMPLE AUTOCORRELATIONS OF STATIONARY SERIES. Enders, Walter. Sde Sde 53 af 86

55 også kan ses lgnng (11.1), hvor T er ganget på ln(ssr). Den samme eftervrknng gøre sg også gældende for BIC. Den konstante værd for T fndes ved at bruge antallet af fr observatoner for alternatv modellen, hvlket vl sge den model, der er blevet estmeret med flest lags. Udvælgelsen af den bedste model foregår ved at fnde den model, hvor AIC og BIC er lavest. Forbedrng af en models ft af data forbedrer også AIC og BIC. Projektet estmerer en VAR model med 1 tl 7 lags, målet er her at fnde den VAR model med den bedste AIC og BIC værd. Tlføjelsen af et ekstra lag betyder at n stger, samt sum of squared resduals reduceres. Dog hvs de ekstra regresser kke har nogle forklarende kraft, vl tlføjelsen af dem få AIC og BIC tl at stge. Grundlaget for at BIC nkluderes, er at den naturlge logartme tages af T, hvlket betyder at BIC vl vælge en mere parametersparsom model end AIC 39. Akake Informaton krterum og Bayesan nformaton krterum udregnes Matlab. Matlab funktonen for AIC og BIC er mere udvdet end Walter Enders, derfor vl AIC og BIC funktonerne for Matlab blve llustreret: 1 AIC T *log(det( T T 1 ( t, ˆ )( ( t, ˆ )) N N T )) 2n T *( n y *(log(2 ) 1)) T 1 ˆ ˆ T BIC T *log(det( ( t, N )( ( t, N )) )) T *( ny *log(2 ) 1) n*log( T ) T 1 Funktonerne er blevet omskrevet, således at de før gennemgået notatoner projektet holdes de samme. (t) er en vektor med prædktonsfejl. ˆN er repræsentatv for de estmerede parametre modellen. n y er antallet af model outputs. Det kan ses, at de første led er det samme som Enders, dog er determnanten taget af resdualerne. AIC Matlab tager også antallet af model outputs med evaluerngen af modellen. Det samme gør sg gældende for BIC. Igen er BIC mere fokuseret på parametersparsommelghed, ford den gen har det sdste led med, hvor den tager logartmen tl antallet af brugbare observatoner T. Outputtet fra AIC og BIC, som er udregnet Matlab, vl nu blve gennemgået. VAR modellerne, der blver estmeret tl at ftte data, er lag rækkevdden 1 tl 7 lags. VAR modellerne er blevet estmeret ved hjælp af loop funktonen Matlab. Det har derfor været mulgt at estmere alle VAR modellerne på en gang. Fra de estmerede modeller er AIC og BIC blevet udledt ved hjælp af de ovenstående funktoner. I tabel (11.1) er alle de udledte AIC og BIC estmater llustreret. 39 SAMPLE AUTOCORRELATIONS OF STATIONARY SERIES. Enders, Walter. Sde Sde 54 af 86

56 Tabel (11.1): VAR(1:7) AIC og BIC værder I tabel (11.1), hvor de enkelte VAR modellers AIC og BIC er blevet llustreret, fndes den laveste værd for begge selektons krterer. For Hele Danmark vælger AIC en VAR(2) som værende den bedste model, med en AIC-værd på -2287,38. Den mere sparsommelge BIC vælger også en VAR(2) for hele Danmark, da den laveste værd er for en VAR med to lags -2202,54. Den sammen konkluson kan drages ved VAR modellerne for regonerne, her er de bedste modeller også en VAR(2). De laveste AIC og BIC værder er tabel (11.1) markeret med grøn farve. VAR model for hele Danmark Ved hjælp af Akake Informaton krterum og Bayesan nformaton krterum blev en VAR(2) model udvalgt, som værende den bedste tl at ftte data for hele Danmark. Estmerngen af modellen blver fortaget Matlab, og output fra estmerngen vl blve gennemgået dette underafsnt. Matlab har en allerede ekssterede funkton, der kan bruges tl at opsætte en VAR model, men med en llustratv hensgt vl VAR modellen for hele Danmark, skrves op på en standard VAR form. VAR teoren fra afsnttet Forecastng vl blve anvendt tl dette formål. VAR modellen, der er blev udledt afsnttet, var en VAR(1), med to varabler, denne model vl nu blve omskrevet tl en VAR(2) med 4 varabler, således at den stemmer overens med det observerede data for projektet. Lgnng (10.6) Forecastng afsnttet vl blve anvendt tl at opskrve VAR(2) modellen. x t A 0 A x 1 A x t1 2 t2 e t Sde 55 af 86

57 Lgnngssystemet for den ovenstående VAR(2) vl nu blve præsenteret. I afsnttet Databeskrvelse er det observerede data, som anvendes tl at estmere VAR(2) modellen, gennemgået. Husprserne får notatonen h t. Indkomst får notaonen y t. Skat får notatonen s t. Renten får notatonen r t. ht a10 a11ht 1 a12yt 1 a13st 1 a14rt 1 b11ht 2 b12yt 2 b13st 2 b14rt 2 e1 t yt a20 a21ht 1 a22yt 1 a23st 1 a24rt 1 b21ht 2 b22yt 2 b23st 2 b24rt 2 e2t st a30 a31ht 1 a32yt 1 a33st 1 a34rt 1 b31ht 2 b32yt 2 b33st 2 b34rt 2 e3 t rt a40 a41ht 1 a42yt 1 a43st 1 a44rt 1 b41ht 2 b42yt 2 b43st 2 b44rt 2 e4t Det præsenteret lgnngssystem for hele Danmark skrves nu op på vektor form, således at den stemmer overens med lgnng (10.6) fra Forecastng afsnttet. h t a 10 y [ t a 20 ] = [ s t a ] + [ 30 r t a 40 a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a ] [ 34 a 44 h t 1 y t 1 ] + [ s t 1 r t 1 b 11 b 21 b 31 b 41 b 12 b 22 b 32 b 42 b 13 b 14 b 23 b 24 b 33 b 34 b 43 b 44 ] [ h t 2 e 1t y t 2 e 2t ] + [ s t 2 e ] (11.3) 3t r t 2 e 4t Lgnngen (11.3) er den opsatte vektor autoregressve model, der blver estmeret Matlab. Funktonen der blver anvendt tl at opstlle VAR(2) modellen lgnng (11.3), kaldes for varm. Funktonen tllader at notere hvor mange varabler, der skal nkluderes modellen, samt hvor mange lags modellen skal ndeholde. VAR(2) modellen kan nu estmeres for hele Danmark, ved hjælp af funkton estmate. estmate funktonen tllader også at trække resdualerne ud fra den estmerede VAR(2) model, således der kan fortages analyse af hvor godt modellen ftter dataet. Dette blver der gjort brug af næste afsnt evaluerng af forecast. Lgnng (11.4): Estmeret VAR(2) for hele Danmark. h t 0, ,0799 2,3876 0,5026 0,1483 y [ t 3,0947e 06 0,0022 1,6076 0,0025 0,00039 ] = [ ] + [ ] [ s t ,0044 0,0636 1,5005 0,0034 r t ,3686 4,0840 0,4499 0,3987 0,0128 0, [ 0, ,4717 0,9789 0,8927 0,0294 0,7375 h t 1 y t 1 ] s t 1 r t 1 0,5280 0,00076 h t 2 e 1t 0,0093 0,0020 y ] [ t 2 e 2t ] + [ 0,8021 0,0021 s t 2 e ] 3t 0,9754 0,1071 r t 2 e 4t Den estmerede VAR(2) model for hele Danmark er gengvet lgnng (11.4). Det er svært at uddrage en effekt fra ndkomst og skat, da dfferencen er taget to gange af det observerede data. Det kan dog ses at Sde 56 af 86

58 husprserne er postv påvrket af høje værder y t 1 og s t 1. r t 1, som angver ændrngen renten, har et negatv fortegn ved det første lag (-0,1483), hvlket betyder at renten har en negatv effekt på husprserne. At renten påvrker husprserne negatvt, stemmer overens med den makroøkonomske teor. Varablerne ved lag to, hvor husprsen er den afhængge varabel, har ændret fortegn. Den estmerede h t blver påvrket negatvt, hvs de observerede værder for lag to har været høje. Det er vgtg at VAR(2) modellen kke overfortolkes, da hovedmålet med modellen er at anvende den tl out of sample forecast. 12 Evaluerng af forecast I afsnttet for modeludvælgelse blev Akake og Bayesan selektons krterum anvendt tl at fnde den rgtge lag-længden for VAR modellerne for regonerne og hele Danmark. Begge selektons krtererne havde den laveste værd ved VAR modeller med to lags. De nøje udvalgte VAR(2) modeller blev her efter estmeret, samt blev VAR(2) modellen for hele Danmark, underafsnttet VAR model hele Danmark, gennemgået. VAR(2) modellen for hele Danmark blver brugt som ntal værder for forecast funktonen Matlab, således det første step ahead forecast kan udregnes, denne proces fortsættes ndtl det valgte forecast nterval er beregnet. Det samme gøres for de enkelte regoner Danmark. Forecast for benchmark modellen blver estmeret på samme måde, dog har der kke været brug for at fnde den samme optmale lag-længde som ved VAR modellerne. AR(1) modellen er som sagt valgt som benchmark, da modellen har meget sparsomme parametre estmernger. Her endes der tl sdst op med 6 model forecast ved brug af VAR(2) modellen, og 6 model forecast ved brug af AR(1) modellen. De estmerede forecast for regonerne og hele Danmark vl nu blve gennemgået de næste to afsnt. Det første afsnt er med et forecast nterval på 14 steps ahead. Det andet afsnt anvender et forecast nterval på 26 steps ahead. Efter der nu er fortaget forecast af de 6 VAR modeller og de 6 AR modeller, vl dsse forecasts blve testet mod hnanden, for at evaluere forecastene fra VAR modellerne. Denne evaluerng er nødvendg at foretage, for at kunne vurdere om VAR modellerne, der er blevet geneneret på baggrund af de 4 makroøkonomske faktorer, som der er forventet at skulle have effekt på ejendomsmarkedet, er bedre end en smpel AR(1) model af udvklngen ejendomsprserne alene. Hvs kke der er en sgnfkant forskel på modellernes evne tl at forecaste de fremtdge værder for udvklngen ejendomsprserne, kan det kke endelgt bevses at VAR modeller er bedre tl at forecaste. Hvs dette skulle være tlfældet, fører genererngen af VAR modeller tl en unødvendg overparametrserng, og dermed tab af frhedsgrader. Tl dette vl der blve benyttet en række tests tl at vurdere, om VAR modellerne er bedre end deres modpart AR(1) modellerne, som her vl blve brugt som benchmark. Da det kke er mulgt at vurdere Sde 57 af 86

59 forecasts på fremtdgt data, er der tl dette projekt blevet estmeret VAR modeller på 80 observatoner ud af de alt 94 observatoner. De resterende 14 observatoner vl blve brugt tl out of sample forecast. Ved out of sample forecast kan de forecastede værder blve sat op mod de observerede værder, og derved kan det vurderes, hvor præcse de forecastede værder er på de faktske værder. Der vl tl forklarng af evaluerngsprocessen hovedsagelgt blve taget udgangspunkt modellerne for hele Danmark. Først vl der blve set på 2 grafske llustratoner af det observerede data og de forecastede værder for henholdsvs VAR(2) modellen for hele Danmark, og AR(1) modellen for hele Danmark. Her blver lgeledes ndsat et 95 procents konfdensnterval for forecastene. Konfdensntervallet beregnes ved at tllægge den estmerede værd, y t, og tllægge de to 95 procents konfdensnterval værder tl forecastene standardafvgelse σ 40 : y t ± 1.96σ Fgur (12.1): VAR(2) Udvklngen husprserne for hele Danmark Som det kan ses fgur (12.1) følger de forecastede værder fra VAR modellen de observerede værder rmelgt godt. Med undtagelse af et par enkelte forecasts starten af peroden, følger forecastene udvklngen de observerede værder. Særlgt peroden 2013k2 tl 2014k2 fanger VAR modellens forecastede værder udvklngen peroden næsten perfekt. Dette fortsætter dog kke, da den volatltet, der kommer efterfølgende perode 2014k3 og frem, kke blver fanget af forecastene. 40 Predcton ntervals, Otexts Sde 58 af 86

60 Fgur (12.2): AR(1) Udvklngen husprserne for hele Danmark Klde: Dansk statstsk og egne beregnnger. AR(1) modellen for hele Danmark fgur (12.2) gver kke lge så præcse forecasts som VAR(2)-modellen. Skønt AR(1) modellen fanger udvklngen de observerede værder, så rammer forecastene langt fra størrelsen på udsvngene ejendomsprsudvklngen. Test af resdualer Inden der blver udført test for forecastenes præcson, vl der først blve sat fokus på resdualerne. Her er antagelsen at forskellen på de observerede værder og de forecastede værder, de såkaldte resdualer, følger en normalfordelng med en mddelværd på nul, og en varans på 2, samt der kke er autokorrelaton resdualerne. Dette kaldes også for hvd støj PROPERTIES OF FORECASTS. Enders, Walter, sde 85 Sde 59 af 86

61 Fgur (12.3): resdualerne for VAR(2)-modellen, e1, og resdualerne for AR(1)-modellen, e2 I fgur (12.3) er der blevet plottet et hstogram af resdualer for e1 og e2, for at se om de følger en normalfordelng. Her er der dog for få antal af resdualer, hvlket kke gør det mulgt at konkludere om de følger en normalfordelng. Da det lave antal af resdualer gør, at det kke er mulgt, at bruge hstogrammet tl at vurdere om resdualer følger en normaldelng, blver der udført en Ljung-Box test, for at teste om der er autokorrelaton resdualerne. I Ljung-Box testen er H 0-hypotesen, at der kke er autokorrelaton resdualerne, og da dette kke kan forkastses ved testen af e1 og e2, antages det, at resdualerne er hvd støj. Der er blevet benyttet Ljung-Box tests på alle resdualerne for alle modellerne projektet. Her har det kke været mulgt at forkaste H 0-hypotesen, og dermed antages det at alle resdualerne for alle modellerne er hvd støj. Sde 60 af 86