Økonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1

Transkript

1 Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1

2 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere end to kategorier Interaktionsled med kvantitative variabler Chow-testet Dummyvariabel som afhængig variabel: Lineær sandsynlighedsmodel Økonometri 1: F10 2

3 Eksempel: Interaktionsled med to dummyvariabler Interaktionsled med dummyvariabler er helt analogt til interaktionsled med kvantitative variable og ofte anvendt Eksempel: Lønregression med interaktionseffekt mellem civilstand og køn. log timeløn = β + β uddaar + β erfaring + β kvinde β single + β ( kvinde *single ) + u 4 i 5 i i i i Økonometri 1: F10 3

4 Eksempel: Interaktionsled med to dummyvariabler Effekten af civilstand og køn. Den forventede log timeløn (når vi ser bort fra effekten af uddannelse, erfaring og intercept) Param./est. gift Single Mand Kvinde β β β β β Økonometri 1: F10 4

5 Eksempel: Interaktionsled med dummyvariabler Kan modellen formuleres således log timeløn = γ + γuddaar + γ erfaring + γ ( gift kvinde ) γ (single mand ) + γ (single kvinde ) + u 4 i 5 i i i hvor gift kvinde, single mand, og single kvinde er dummyvariabler? Økonometri 1: F10 5

6 Interaktionsled med dummyvariabler og kvantitative variabler Interaktionsled mellem dummyvariabler og kvantitative variabler kan fortolkes som forskellig effekt (eller afkast) af den kvantitative variabel Grafisk: Forskellige hældninger (se figur 7.2) Eksempel: Lønrelationen - afkastet af erfaring afhænger af køn log timelon = β + βudd + β erfaring + β kvinde + β ( erfaring * kvinde ) + u log timelon = ( β + β kvinde ) + βudd + ( β + β kvinde )* erfaring + u i 0 1 i 2 i 3 i 4 i i i i 0 3 i 1 i 2 4 i i i Samme afkast af erfaring: β 4 = 0 Ingen forskel på kvinder og mænd: β 3 = β4 = 0 Økonometri 1: F10 6

7 Chow test: To grupper Test for om der er forskel mellem to grupper. Modellen kan formuleres ved brug af dummy (d2=0 for gruppe 1, d2=1 for gruppe 2) y = β + β x + β x + + β x + Hypotesen kan formuleres som Modellen kan ækvivalent skrives som y = β + β x + β x + + β x + u hvor g=1,2 (to forskellige grupper) og hypotesen er: H0 : β1,0 = β2,0,, β1, k = β2, k k+1 restriktioner δ d2 + δ ( d2* x ) + δ ( d2* x ) + + δ ( d2* x ) + u g,0 g,1 1 g,2 2 g, k k Relationen mellem parametrene: k k k H0 δ0 δ1 δ k k : = = = = 0 δ j = β2, j β1, j, j = 0,1,..., k Økonometri 1: F10 7

8 Chow test: To grupper (fortsat) Teststørrelsen udregnes ved at lave tre regressioner af y på en konstant og x1, x2,, xk (uden dummyvariabler) SSR størrelsen til hver af de tre regressioner noteres: Regression for gruppe 1 alene -> SSR 1 Regression for gruppe 2 alene -> SSR 2 Regression for både gruppe 1 og 2 -> SSR P Økonometri 1: F10 8

9 Chow test: To grupper (fortsat) Teststørrelsen Hvor n er det samlede antal obs. (både fra gruppe 1 og 2) F = ( SSRP ( SSR1+ SSR2))/( k + 1) ( SSR + SSR )/( n (2( k + 1)) 1 2 k+1 er antal restriktioner Teststørrelsen er F-fordelt med (k+1, n-2(k+1)) frihedsgrader NB: Et klassisk F-test: ( SSRR SSRUR)/ q F = SSR /( antal frihedsgrader ( UR )) UR Økonometri 1: F10 9

10 Chow test: To grupper (fortsat) Eksempel: Lønrelation med udd. og erfaring Grupper: Mænd og kvinder Model log timeloni = βg,0 + βg,1 uddi + βg,2erfaringi + ui Teststørrelse (se SAS-output) ( ( )) / 3 F = = ( ) /(1046 6) F-fordelt med (3,1040) frihedsgrader Økonometri 1: F10 10

11 Chow test: Generelt Generaliserer til m forskellige grupper (perioder, regioner, lande, ) Teststørrelsen F ( SSRP ( SSR SSRm)) /(( m 1)( k + 1)) = ( SSR SSR )/( n ( m( k + 1)) Hvor n er det samlede antal obs. (fra alle m grupper) (m-1)(k+1) er antal restriktioner Teststørrelsen er F-fordelt med ((m-1)(k+1), n-m(k+1)) frihedsgrader 1 m Økonometri 1: F10 11

12 Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ egenskab (med to kategorier)? Indtil nu har vi betragtet afhængige variabler som er kvantitative (løn, priser, forbrug, indkomst, ) Nu: Diskret afhængig variabel med to værdier Eksempler: Deltager på arbejdsmarkedet eller ej Består et kursus eller ej Har bil eller ej Videregående udd. eller ej Har investeret i aktier eller ej Firma gået konkurs eller ej Økonometri 1: F10 12

13 Lineær sandsynlighedsmodel For en kvalitativ egenskab med to kategorier laver man en dummyvariabel y med to mulige udfald: y=0 eller y=1 Regressionsmodellen er uændret: y = β0 + β1x1+ β2x2 + + βkxk + u Modellen kaldes den lineære sandsynlighedsmodel (linear probability model, LPM) Hvis antagelsen MLR.4 er opfyldt: er den betingede middelværdi af y: For binære variabler gælder generelt at: Altså har vi en model for responssandsynligheden Eu ( x ) = 0 E y x = β + β x + β x + + β x ( ) k k E( y x) = 0*P( y = 0 x) + 1*P( y = 1 x) = P( y = 1 x) p x y x x x x ( ) = P( = 1 ) = β0 + β1 1 + β βk k Økonometri 1: F10 13

14 Lineær sandsynlighedsmodel Sandsynligheden for y=0 (betinget på x) kan så udregnes som Py ( = 0 x) = 1 P( y = 1 x) Fortolkningen af parametrene i LPM: y er en diskret variabel Parameteren β j kan ikke fortolkes som den marginale ændring i y givet en enheds ændring i x j Parameteren angiver ændringen i sandsynligheden for y=1 som følge af, at den forklarende variabel ændres med en enhed: p( x) = P( y = 1 x) = β j xj LPM kan estimeres med OLS yˆ = ˆ β0 + ˆ β1x1+ ˆ β ˆ 2x2 + + βkxk Hvor ŷ skal fortolkes som den predikterede sandsynlighed for y=1. Økonometri 1: F10 14

15 Lineær sandsynlighedsmodel Ulemper ved LPM: Prediktionerne er ikke 0 eller 1, som er de tilladte værdier af den afhængige variabel Predikterede sandsynligheder kan være negative eller overstige 1 Normalt ligger den predikterede sandsynlighed mellem 0 og 1, når man ser på værdier af de forklarende variable der ligger omkring gennemsnittet. Gauss-Markov antagelserne: MLR.1-4 kan godt være opfyldt for LPM LPM opfylder ikke antagelsen MLR.5 (Homoskedasticitet) Økonometri 1: F10 15

16 Lineær sandsynlighedsmodel For en given værdi af x har u to mulige udfald (binær variabel): u = 1 p( x) = 1 ( β + β x β x ) hvis y = u = p( x) = ( β + β x β x ) hvis y = k k k k Variansen for u givet x er derfor: = + 2 Var( u x) p( x)(1 p( x)) (1 1 2 px ( ))( px ( )) = px ( )(1 px ( )) som generelt vil afhænge af x: u er heteroskedastisk. Undtagelsen er tilfældet β = β =... = β = 0. k 2 Økonometri 1: F10 16

17 Lineær sandsynlighedsmodel Egenskaber ved OLS estimatoren i LPM OLS estimaterne er middelrette (givet MLR.1-4) Standardfejlene af estimaterne er ikke middelrette F og t test ikke pålidelige Problemet med heteroskedasticitet kan løses ved at korrigere standardfejlene (dette ser vi på i kap. 8): Sjældent noget alvorligt problem. Problemet med negative ssh. og ssh. over 1 kan kun løses ved at benytte en anden model end LPM. Alternernative modeller introduceres i Økonometri 2. Økonometri 1: F10 17

18 NB er Interaktionsled mellem dummyvariabler og kvantitative variabler giver mulighed for, at effekter kan variere mellem forskellige grupper Formen for Chow-testet er det almindelige F-test ( SSRR SSRUR)/ q F = SSR /( antal frihedsgrader ( UR )) UR Økonometri 1: F10 18

19 Næste gang: Mandag efter efterårsferien Heteroskedasticitet: Kapitel 8 Husk eksamenstilmelding! Husk evalueringsskemaer! God efterårsferie! Økonometri 1: F10 19