Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier"

Transkript

1 Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006

2 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser Poker Ruinsandsynligheder ved Roulette mv....5 Kap 2. Strategier ved spil...9. Forskellige spil...9. Mandags-chancen "Skæbnen" Indbrudstyvens pensionsproblem Tændstikspillet Casino Optimale Strategier Den optimale Snell-strategi Indbrudstyvens pensionsproblem "Skæbnen" "Mandagschancen" Casino Tændstikspillet...7 Indeks...23

3 Sandsynligheder ved spil Kap. Sandsynligheder ved spil. Lotto Ved lottospil, går det som bekendt ud på at gætte 7 tal ud af 36 mulige. Foruden de 7 lotto tal bliver der også udtrukket 2 tillægstal. Man opnår præmier på følgende måde:. præmie ved at gætte alle 7 rigtige. 2. præmie for at gætte 6 rigtige plus et rigtigt tillægstal. 3. præmie for at gætte 6 rigtige. 4. præmie for at gætte 5 rigtige. 5. præmie for at gætte 4 rigtige. Vi vil indlede med at udregne sandsynlighederne for at få, hver af disse præmier, når man udfylder én række. Vi skal her minde om definitionen af sandsynligheden for en hændelse i et Symmetrisk Sandsynlighedsfelt n( H ) Antal elementer i H P ( H ) = = = n( U ) Antal elementer i U Gunstige Mulige De mulige måder at udvælge 7 tal ud af 36 er 36! K ( 36,7) = = = 7!(36 7)! Følgelig er sandsynligheden for 7 rigtige P(7) = = p7 =,979 0 K(36,7) 7 Når vi skal udregne sandsynligheden for 6 rigtige tal plus et tillægstal, ræsonnerer vi på følgende måde: De 6 rigtige kan vælges ud af 7 på K(7,6) = 7 forskellige måder, og tillægstallet kan vælges på 2 måder. Da vi både skal have 6 rigtige og et tillægstal rigtigt, skal de to antal muligheder multipliceres for at finde antal gunstige udfald. P(6 rigtige + tt) = K(7,6) 2/K(36,7)=4/K(36,7)=4 p 7 =, På samme måde kan vi finde sandsynligheden for 6 rigtige, idet antal gunstige er K(7,6) gange med antal måder det forkerte tal kan vælges på =27 måder, idet det forkerte tal hverken må være et af de 7 rigtige eller et tillægstal.

4 2 Sandsynligheder ved spil P(6 rigtige) =K(7,6) 27/K(36,7) = 89 p 7 = 2, Sandsynligheden for 5 rigtige tal findes som antallet af måder at udtage 5 rigtige ud af 7 lig med K(7,5), gange antallet af muligheder for de to sidste tal, som kan vælges blandt 36-7 =29 tal. Dette antal er K(29,2). P(5 rigtige) = K(7,5) K(29,2)/K(36,7) = 8526 p 7 =, =,02 / På helt samme måde opskriver vi sandsynligheden for 4 rigtige, idet de gunstige er K(7,4) K(29,3), nemlig 4 rigtige udvalgt blandt 7, gange 3 forkerte udvalgt blandt 29. P(4 rigtige) = K(7,4) K(29,3)/K(36,7) = p 7 = 0,053 =,53% Af ovenstående fremgår, at chancen for at få mere end 4 rigtige er uhyre ringe. Til gengæld er der en rimelig chance for at få 4 rigtige. Dette er gjort helt bevidst for dem, der har planlagt spillet. Erfaringen viser nemlig, at hvis man aldrig vinder, holder man op med at spille efter en vis tid. Lad os antage at man udfylder en kupon med 0 rækker hver uge. Først udregner vi chancen for at få 4 rigtige på mindst én af kuponerne. Hændelsen "4 rigtige" er binomialfordelt, med antalsparameteren n=0. For at finde denne sandsynlighed, udregner vi først sandsynligheden for den komplementære hændelse "Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne" P(Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne) = (-p 4 ) 0 = 0, =0,8557 P(4 rigtige på mindst én af kuponerne) = - P(Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne) = 0,443 Man har altså knap 5% chance for at få 4 rigtige på mindst en af de 0 rækker. Antager vi nu, at man spiller 0 rækker i 5 uger, vil vi udregne sandsynligheden for, at man ikke får 4 rigtige på nogen af de 5 uger. P(ikke 4 rigtige i 5 uger)= 0, = 0,4487 Der er således godt 50% chance for at man får 4 rigtige mindst en gang på 5 uger. Det er formodentlig det, som holder spillet i gang. Vinder man, får man udbetalt ca. 40 kr., som kan sammenlignes med udgiften 5 30 =50 kr. Man kan selvfølgelig udregne middelværdien af gevinsten, hvis man kender præmiestørrelserne. Dette er imidlertid ikke særlig interessant, idet 45% af det indbetalte beløb altid går til præmier. Middelgevinsten er derfor altid 0,55 3,00 kr. = -,65 kr. øvelser. Udregn hvor mange uger man skal spille 0 rækker for, at der er mere end 50% chance for at vinde 4. præmie (5 rigtige). Opgaven skal løses med logaritmer.

5 Sandsynligheder ved spil 3 2. Forsøg at udregne samme som ovenfor, blot med en. præmie. 3. En udfyldt række på 7 tal, "dækker" åbenbart over K(7,4) K(29,2) forskellige rækker med 4 rigtige. Hvor mange rækker skal man mindst udfylde for at være sikker på at få 4 rigtige. 2. Poker Vi antager at Poker spilles med et almindeligt spil kort uden joker, og at hver spiller får 5 kort fra begyndelsen. Vi vil ikke beskæftige os med at købe nye kort, da det er alt for kompliceret, men kun udregne sandsynlighederne for de forskellige kombinationer af kort, der kan slå hinanden. Flush betyder i Poker sammenhæng 5 kort i samme farve og Straight betyder 5 kort i rækkefølge. Rangfølgen af kortfarverne er i øvrigt de samme som i Bridge: Spar, Hjerter, Ruder, Klør. Rangfølgen af kortkombinationer i Poker er følgende: Royal Flush: Straight Flush: Fire ens: Full House: Flush: Straight: Tre ens: To par: Et par: Højeste kort: De 5 højeste kort i samme farve. F.eks. Ruder es, Ruder konge, Ruder dame, Ruder knægt, Ruder 0. 5 kort i rækkefølge i samme farve. 4 ens kort. (5. kort underordnet) 3 ens + 2 ens (et par) 5 kort i samme farve. 5 kort i rækkefølge. tre ens kort. 2 ens + 2 ens. 2 ens Sandsynlighederne for hver af disse kortkombinationerne kan udregnes, idet de mulige kombinationer af 5 kort udtaget af 52 er = Der er 4 forskellige Royal Flush en i hver farve. 4 P(Royal flush) = = 6, Der kan i hver af de 4 kortfarver laves 9 forskellige Straight Flush. En af dem er Royal. 4(9 ) P(Straight Flush) = = K 32 (32,5) = 4, Der er 3 forskellige muligheder for 4 ens. Det femte kort kan for hver vælges på 52-4 = 48 måder P(4 ens) = = = 2,40 0-4

6 4 Sandsynligheder ved spil Full House: Der er 3 forskellige muligheder for 3 ens. De 3 kan udtages på K(4,3) forskellige måder. De to ens må nødvendigvis have en anden talværdi, hvoraf resultatet følger. 3 K(4,3) 2 K(4,2) 3744 P(Full House: 3 ens + 2 ens) = = =, kort i samme farve kan udtages på K(3,5) måder. Der er 4 kortfarver. Vi må subtrahere Straight Flush'er fra. P(Flush: 5 i samme farve)= 4 K(3,5) = =,967 0 Straight: Der er 3-4 =9 forskellige rækkefølger. Hver af de 5 kortværdier kan vælges blandt 4 farver. Vi skal fratrække Straight Flush. P(Straight: 5 i rækkefølge) = = = 3, ens: Der er 3 kortværdier, og der skal udvælges 3. De sidste to kort kan udvælges blandt 52-4 = 48 kort (ikke 49, da det kunne give 4 ens). Vi må dog fratrække de 2 K(4,2) par, der kan dannes og som ville give Full House. 3 K(4,3) ( K(48,2) 2 K(4,2)) 5492 P(3 ens) = = = 2,3 0 Først udregnes antallet af muligheder for de to par. Faktoren ½ skyldes, at man ved denne optælling tæller de mulige kombinationer. Et par f.eks. (spar dame, hjerter dame), vil både være at finde blandt de 3 K(4,2) og de 2 K(4,2) muligheder. Det sidste kort kan vælges blandt 52 de 8 som danner de to par. 2 P(2 par) = 3 2 K(4,2) 2 K(4,2)(52 8) = = 4, De første 3 faktorer i tælleren er antallet af måder at få et par på. Vi bliver nødt til at subtrahere mulighederne for 2 par og Full House. 3 K(4,2) K(48,3) P( par) = = = 0, 470 Hermed har vi afsluttet vores gennemgang af sandsynlighederne i Poker. Bemærk, at sandsynlighederne følger rangen af en Pokerhånd.

7 Ruinsandsynligheder 5 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette mv. Beregningen af "ruinsandsynligheder" er noget som er helt afgørende for forsikringsvirksomhed, hvis denne skal drives forretningsmæssigt. Sammenhængen mellem ruinsandsynligheder og beregning af præmiestørrelserne en ret kompliceret matematisk teori, som betegnes som forsikringsmatematik. På universiteterne findes en særlig uddannelse, som kaldes aktuar studiet, som har dette som speciale. Forsikringsmatematik kan illustreres ved at betragte roulettespil på et Casino. En roulette har 37 felter, nummereret Hvis man vinder på et felt får man udbetalt 36 gange indsatsen. Da man har lagt en indsats er gevinsten 35 indsatser. Hvis X er den stokastiske variabel, som betegner en spillers gevinst, så antager X værdierne +35 med sandsynlighed /37 og med sandsynlighed 36/37. P(X=35) = /37 og P(X=-) = 36/37. Middelgevinsten, når man spiller på et felt, er følgelig: E 36 ( X ) = X ( u) P( u) = 35 + ( ) = u U Hvis spilleren i stedet vælger at spille på m felter, er antager gevinsten X, værdierne 36-m med sandsynlighed m/37 og m med sandsynligheden (37-m)/37 = - m/37. Middelgevinsten bliver herefter: 37 E( X ) = u U X ( u) P( u) = (36 m) m 37 + ( m)( m ) 37 m = 37 Middelgevinsten pr. indsats er således uafhængig af, hvor mange felter man spiller på. Hermed er det slået fast: Der findes intet system, der kan bringe én i stand til at vinde på en roulette på længere sigt. Dette er en simpel matematisk kendsgerning, som mange har måttet erkende på en betydelig mere smertelig måde. Specielt, hvis man spiller på m=8 felter er gevinsten 36-8=8 med sandsynlighed 8/37 og 8 med sandsynlighed 9/37. Selvom en spiller ikke kan vinde i det lange løb, har spilleren på grund af tilfældigheder (som spillere foretrækker at kalde held) mulighed for at vinde betragtelig store beløb. Vi vil nu lave nogle betragtninger over, hvor stor sandsynlighed en spiller har for at "sprænge banken", dvs. ruinere Casinoet. En sådan beregnet sandsynlighed kaldes for ruinsandsynligheden. Vi antager at Banken råder over n-enheder (indsatser). Vi ønsker at vurdere sandsynligheden for at en uendelig rig spiller, der gør den samme indsats i hvert spil, vinder u eller flere enheder, når der ikke er nogen begrænsning på antallet af spil. Ruinsandsynligheden for banken betegner vi r n. Hvis X, X 2, X 3,.. betegner Casinoets gevinst ved de enkelte spil er: G k = X + X 2 +X X k gevinsten efter k-spil. Ruinsandsynligheden kan derfor formuleres. r n = P( G 0 for et eller andet k) (Der er ingen umiddelbar sammenhæng mellem n og k.) k

8 6 Ruinsandsynligheder Der gælder rekursionsformlen: r n+ = r n r, som udtrykker, at sandsynligheden for at blive ruineret med n+ enheder er lig sandsynligheden for at blive ruineret med n enheder gange sandsynligheden for at blive ruineret med en enhed. Dette, fordi vi antager at hvert spil er uafhængigt af de øvrige. Heraf følger umiddelbart: r 2 = r + = r r = r 2. r 3 = r 2+ = r 2 r = r 3, og følgelig: r n = r n For at beregne en ruinsandsynlighed, ser vi først på tilfældet, hvor en spiller sætter sin indsats på 8 felter pr. spil. Her er Casinoets gevinst +8 eller 8 pr spil. For nemheds skyld, sætter vi de 8 indsatser til at være en enhed =. Vi opstiller da følgende rekursionsligning, som tager udgangspunkt i det første spil. Sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n enheder er lig med: Sandsynligheden for at banken vinder det første spil (hvor den vinder en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n+ enheder, plus sandsynligheden for at banken taber det første spil (hvor den mister en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n- enheder. Sandsynlighederne for at banken vinder og taber er 9/37 og 8/37. Vi kan da opstille ligningen. r 9 8 n = r 37 n+ + r 37 n r n = 9 37 n + + r 8 37 n r n For at opnå det sidste udtryk, har vi anvendt resultatet af rekursionsligningen: r n = r Det er relativt nemt at bestemme r ud fra denne ligning. Ved division af ligningen med r n- får man: 9 8 r = r 2 + 9r 2 37r + 8 = Den sidste 2.gradsligning kan løses på normal vis, idet d = =, så 37 ± 36 8 r = r = = = r n 8 Vi er kun interesseret i løsningen r = 8/9. Ifølge ovenstående er r r n n = = ( ). 9 Vi vil herefter besvare spørgsmålet: Hvor mange enheder skal banken have, for at der er mindre end % chance for ruin. Dette er ensbetydende med at løse ligningen: ( 8 9 ) n 0.0 ln(0,0) n = ln( ) 9 Husker vi, at en enhed svarede til 8 indsatser, giver dette beskedne 533 indsatser. Hvis en spiller derimod spiller på sædvanlig vis med kun at placere en indsats på ét felt, er dette - lidt overraskende betydelig mere risikabelt for banken. Vi opstiller igen en rekursionsligning, med udgangspunkt i det første spil: Sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n enheder er lig med:

9 Ruinsandsynligheder 7 Sandsynligheden for at banken vinder det første spil (hvor den vinder en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n+ enheder, plus sandsynligheden for at banken taber det første spil (hvor den mister 35 enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n-35 enheder. Sandsynlighederne for at banken vinder og taber er 36/37 og /37. Vi kan da opstille ligningen. r 36 n = r 37 n+ + r 37 n 35 r n = 36 n r n 35 r Ved division med (r ) n-35 og omordning af leddene og ved at sætte r = x får man ligningen: 36x 36 37x 35 + = 0 Denne ligning kan kun løses ved numeriske metoder, og man finder løsningen x = 0,9984. Hvis vi igen stiller spørgsmålet: Hvor mange indsatser skal banken råde over, for at der er mindre end % chance for ruin, skal vi løse ligningen: n ln(0,0) ( 0,9974) 0,0 n = 2876 ln(0,9984) Altså en betydelig større beholdning, end hvis spilleren spiller på 8 felter. Forsøger vi at udregne ruinsandsynligheden for en spiller, der har n enheder og lægger sin indsats på ét felt, kommer vi efter helt det samme ræsonnement frem til følgende rekursionsligning. r 36 n = r 37 n + r 37 n+ 35 r n = 36 n r n+ 35 r som fører til ligningen x 36 37x +36 = 0. Denne ligning har kun løsningen x=. Differentieres nemlig f(x) =x 36 37x +36 finder man: f '(x) =36x Ligningen f '(x) =0 har 37 løsningen: x = 35 >. Da f '(x) < 0 for x <, har den ingen rødder mindre end. 36 Ruin-sandsynligheden for en spiller, der går på et Casino, (der har en uendelig stor beholdning) er. Så vi kan endnu engang fastslå, at hvis man fortsætter med at spille på et Casino, vil man altid blive ruineret. Man kunne overveje ruinsandsynlighederne, hvis Casinoet har beholdningen n og en spiller har beholdningen m, (n > m eller omvendt), men svaret vil afhænge af n og m, og de indgående to ulineære ligninger med to ubekendte med meget høje eksponenter er ikke så nemme at løse numerisk selv på en Computer. Hvis n >> m, vil svaret stort set være det samme.

10 8 Ruinsandsynligheder

11 Strategier ved spil 9 Kap 2. Strategier ved spil. Forskellige spil Efter at have udregnet vindersandsynligheder i forbindelse med spil, skal vi nu se på noget andet, som også er knyttet sammen med sandsynlighedsregningen, nemlig problemet med at fastlægge den bedste strategi, når man spiller et "spil". Her skal spil imidlertid forstås i en meget videre betydning, det være sig krig, børsspekulation, jagt eller fiskeri på en bestemt dyreart. Sidstnævnte er dog alt for komplicerede til at kunne behandles elementært. Fælles er det dog, at man skal kunne beregne sandsynligheden for en bestemt konsekvens af et givet træk. Vi vil begynde med at give nogle meget simple eksempler på "spil", hvor det er meningsfuldt at tale om optimal strategi. Vendingen "den optimale strategi" indebærer, at spillet afvikles i et endeligt antal trin, og at der for hvert trin i spillet er mulighed for at forbedre sin gevinst og mulighed for at miste sin gevinst helt eller delvis. Man skal endvidere have mulighed for at standse spillet ved ethvert trin og inkassere sin gevinst.. Mandags-chancen I dette spil, som har været lanceret af TV2, har man en række tildækkede felter med beløb (0,0,25,25,50,50,00,00,250) kkr (kilo kr). Man har maximalt 3 forsøg. Man får beløbet på det sidst afdækkede felt. Det er nok klart, at hvis man afdækker 0 i. eller 2. forsøg skal man fortsætte, eller hvis man afdækker 250 i. eller 2. forsøg skal man standse. Men hvad hvis man afdækker 50 i. eller 2. forsøg? Det vil vi forsøge at afgøre ved nogle mere matematiske betragtninger..2 "Skæbnen" Et spil, som vist nok kommer fra orienten. Det spilles med to terninger. Først slåes et slag med de to terninger, og summen af deres øjental betegnes skæbnen. Man må nu slå, lige så mange gange man vil (max 00). Hvis øjentallene ikke er lig skæbnen, så adderes dette til ens pointtal, men hvis man slår skæbnen mister man alt. Når spillet er standset, fordeler man indsatsen i forhold til spillernes opnåede pointtal. Det gælder derfor om at få den største gevinst. Problemet er, hvornår det er optimalt at standse, når man kender sin skæbne..3 Indbrudstyvens pensionsproblem. Dette er en variant af mange forskellige optimeringsproblemer. Arthur er indbrudstyv. Hver tyvetugt giver i snit K kr. Chancen for at Arthur bliver snuppet er p. Hvis han bliver taget, mister han alt fra sine tidligere tyvetugter. Hvor mange indbrud skal Arthur lave, før han standser sin karriere og leve af sin "opsparing"?

12 0 Strategier ved spil.4 Tændstikspillet Dette spil falder lidt uden for rammerne, af de øvrige spil, fordi man ikke kan standse spillet, og fordi man aldrig kan miste noget af sin gevinst. Det kan derfor ikke umiddelbart behandles på samme måde som de hidtil nævnte spil. Alligevel er det et spil, der udpræget handler om den bedste strategi. Spillet går ud på, at man på 0 tændstikker farver den ene side. Kastes tændstikken op er sandsynligheden for at den farvede side vender opad p=0,25. Hver spiller har fra starten tallene..0. Hvert tal må kun bruges. gang. Man skiftes til at kaste de 0 tændstikker og notere antallet af farvede tændstikker. Dette antal skal så ganges med et af de resterende tal..0. Den som efter 0 spil har den højeste sum har vundet. Det kan oplyses, og let verificeres, at den maximale gevinst er 550, Middelgevinsten, hvor man vælger tilfældig er 37,5 og den optimale middelgevinst er ca Casino Roulette spil falder også lidt uden for rammerne af "optimale strategier", af den meget simple grund, at odds er svagt imod én. Det gælder dog ikke for Blackjack, hvor man kan udvikle en strategi, som giver en svag fordel. Hvis odds'ene er imod én, vil man imidlertid altid tabe i det lange løb. Som tidligere fastslået er den eneste mulighed - i det lange løb - for at undgå ruin i roulettespil, at der ikke er nogen øvre grænse for indsatser, og at man har flere penge end Casionet. Enhver fornuftig matematisk spil-teori, vil derfor som resultat have, at man skal standse før det første spil. Det vil sige: Man skal lade være med at gå på Casino. Denne kendsgerning udelukker dog ikke, at man kan gøre sig overvejelser over hvordan man kan spille, hvis man ikke udelukkende er interesseret i at forære sine penge til et Casino uden kamp. 2. Optimale Strategier Hvis man skal formulere en strategi for de 3 første spil nævnt ovenfor, så kunne man f.eks. vælge én af 3 følgende strategier:. Man beslutter på forhånd, hvor stor ens gevinst (eller tab) skal være, før man stopper. Dette er faktisk en meget "almindelig" strategi, men den er bestemt ikke optimal. 2. Man fortsætter, så længe man i middel har mulighed for at forøge sin gevinst i næste spil. Man skal huske på, at middelværdien af "gevinsten" også omfatter tab, så middelværdien (i matematisk forstand) skal være positiv. Denne umiddelbart fornuftige strategi, kaldet den kortsigtede eller myope strategi, er i mange tilfælde også den optimale strategi, (dog ikke i mandagschancen). 3. Man fortsætter, så længe man i middel har mulighed for at forøge sin gevinst ved i de efterfølgende spil. Denne strategi kaldes den langsigtede strategi. Både den kortsigtede og den langsigtede strategi, ser yderst rimelige ud og de vil også være optimale for langt de fleste spil. Hvis der er forskel på den langsigtede og den kortsigtede strategi, skal man anvende den langsigtede - naturligvis.

13 Strategier ved spil Der findes imidlertid visse former for "spil", hvor ingen af strategierne er optimale. Det gælder f.eks. for børsspekulanter, der har en beholdning aktier, som de vil sælge og kurserne stiger. Dette fortsætter som bekendt aldrig i det uendelige. På et vist tidspunkt standser stigningen, og kurserne begynder at falde som regel hurtigere end de steg. Hvornår skal man sælge for at opnå den største gevinst? Det viser sig - men det er særdeles kompliceret at redegøre for - at ingen af strategierne 2. og 3. i alle tilfælde er optimale. De vil begge to i grove træk, som resultat have, at man enten skal sælge straks eller vente til man er ruineret! Vi vil nu give en beskrivelse af "den optimale strategi", som er udviklet af Snell. Vi vil overhovedet ikke nærme os et bevis for, at det er den optimale strategi (beviset er ret "teknisk"), men understrege, at det kan bevises! I matematisk forstand. Ulemperne ved Snell-strategien er, at den for selv simple problemer kan føre til ret uoverskuelige regninger. 2. Den optimale Snell-strategi Snell-strategien er på en måde den samme som den kortsigtede strategi, men hvor man i denne strategi hele tiden regner sig et skridt frem, tager Snell-strategien udgangspunkt i spillets slutning og arbejder sig baglæns. Vi indfører da nogle betegnelser. Vi antager at "spillet" har n trin. S k er en stokastisk variabel, der angiver den faktiske samlede gevinst man har opnået ved det k'te spil. S k kan antage en eller flere værdier med tilhørende sandsynligheder. Det nye ved Snell-strategien er, at man definerer endnu en stokastisk variabel G k ved ligningen. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )} G k er den største af værdierne S k (gevinsten efter det k'te spil) og E(G k+ S..S k )), som er middelværdien af den maximale forventede gevinst i det k+'te spil, når det er givet at man har spillet spillene..k. Dette opstilles i et skema. G n = S n Gevinsten ved spillets afslutning G n- = max{s n-, E(G n S..S n- )}.. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )}. G = max{s, E(G 2 S )} Snell strategien siger nu, at man skal standse spillet den. gang S k (gevinsten efter det k'te spil) overstiger middelværdien af den maksimale forventede gevinst i det k+'te spil. Dette kaldes for stopbetingelsen. Stopbetingelsen er altså: S k E(G k+ S..S k )

14 2 Strategier ved spil Man skal altså standse spillet, når den opnåede gevinst er større eller lig med betingede forventning af den maximale gevinst i det næste spil. Det kunne lyde som den kortsigtede strategi, men forskellen er den, at i den kortsigtede strategi er G k+ erstattet af S k+. At kunne gennemskue konsekvenserne af dette, er derimod ikke så nemt. Det viser sig, at i mange tilfælde er Snell-Strategien identisk med den kortsigtede strategi, som kræver, at man stopper, når S k E(S k+ S..S k ) Snell strategien er ikke umiddelbart let gennemskuelig, og udregningen af de betingede middelværdier E(G k+ S..S k ) er ofte meget "teknisk". Vi vil nu behandle de før nævnte eksempler, og begynder med 2. Indbrudstyvens pensionsproblem Lad os antage, at Arthur's gennemsnitlige gevinst ved hvert tyvetogt er K=6.000,- kr. og at chancen er at han bliver taget er 5%. Lad os antage at hans hidtidige "gevinst" efter k - tyvetugter er S k, som bliver konfiskeret - og som han derved mister, hvis han bliver snuppet. I dette tilfælde kan man - som vist nedenfor - se, at den kortsigtede strategi er den optimale strategi. Det hænger sammen med at alle "trin i spillet" er identiske. Gevinsten ved hvert tyvetogt er den samme uafhængigt af de foregående tyvetugter - bortset fra, at den samlede gevinst vokser med hvert vellykket tyvetogt. X k betegner den stokastiske variabel, som er Arthur's gevinst ved ét tyvetugt. Hermed er S k =X + X 2 + X 3 + X k X k+ kan antage værdien K, med sandsynlighed -p s = -P("Snuppet") (altså, hvis det næste tyvetugt lykkes) og værdien S k (han mister hele sin "opsparing"), med sandsynlighed p s = P("Snuppet"). Vi opskriver nu Snell-strategien (Den kortsigtede strategi) for et trin i hans karriere: G k = max{ S k, E(S k+..k) } (S k er hans "gevinst" efter k tyvetugter, og E(S k+..k) er hans forventede gevinst efter k+ tyvetugter) E(S k+..k) kan beregnes som den hidtidige "gevinst" plus den forventede gevinst ved næste tyvetugt i alt lig med S k + E(X k+ ). E(X k+ ) er uafhængig af de første k - tyvetugter, derfor bliver stopbetingelsen: S k > S k + E(X k+ ) E(X k+ ) < 0 Middelværdien E(X k+ ) kan derfor udregnes efter den sædvanlige definition, idet X k+ antager værdierne K (gevinsten ved et tyvetugt) og - S k (mister hele sin "opsparing") med sandsynlighederne -p s og p s henholdsvis. E(X k+ ) = K (- p s ) - S k p s Han skal standse, når E(X k+ ) < 0:

15 Strategier ved spil 3 K (- p s ) < S k p s, som med taleksemplet giver ,95 < S k 0.05 S k > 4.000,- kr. svarende til 4.00/6.000 = 0.95/0.05 = 9 tyvetugter (Det gør han nu nok ikke, og er derfor henvist til at leve af folkepensionen efter nogle år i skyggen) Man kunne godt tro, at dette eksempel kunne anvendes på andre (ligeså uetiske) problemstillinger. F.eks. hvor mange gange det er optimalt at køre gratis i S-tog. Det kan det imidlertid ikke helt. Sagen er jo den, at man får en fast bøde, hvis man bliver snuppet, men man kommer ikke til at betale for de gange man har kørt gratis. Med andre ord, vurderingen om, hvorvidt det er fordelagtigt at køre uden billet, afhænger kun af middelgevinsten ved det næste forsøg. Hvis den er positiv, er detfordelagtigt at fortsætte, hvis den er negativ, er det fordelagtigt at løse billet. (Det er i øvrigt uetisk at snyde naturligvis). Tager vi et eksempel: billetprisen er kr. 50,- Bøden er kr Sandsynligheden for at blive snuppet er P s = 0.. X = Gevinst ved at køre uden billet. E(X) = 50 (-P s )-500 P s = = -5,0 Det er således (med denne sandsynlighed for at blive snuppet) ikke fordelagtigt at køre uden billet i S-tog. Da en matematikbog naturlig vis ikke må tilskynde til uetiske handlinger, undlader vi at foretage beregningen med P s = "Skæbnen" Vi betragter kast med to terninger. X betegner summen af øjentallene ved ét kast. Sandsynlighedsfordelingen for X er velkendt. F.eks. er P(X=5) = 4/36. Sandsynligheden for j øjne kan skrives som: P( X = 6 7 j) = 36 j Lad os antage at spillerens "skæbne" er q. Hvis man slår dette øjental er alt tabt. Ellers adderes øjentallene for hvert kast. Hvis ikke man har slået sin "skæbne", så er den samlede gevinst efter n spil: S n = X + X 2 + X X n. Og middelværdien af S n er E(S n ) = E(X )+ E(X 2 )+E(X 3 )+. +E(X n ) = n E(X X q). E(X X q) er den betingende middelværdi af øjentallene, givet at man ikke slår sin skæbne. E(X X q) = 2 P(2) +3 P(3)+ (q-) P(q-) + (q+) P(q+)+ +2 P(2) Den kortsigtede strategi (og Snell strategien) fastslår, at man skal standse, når middelværdien af den forventede gevinst ved næste kast er negativ: Argumentet for dette kan overtages næsten ordret fra "indbrudstyvens pensionsproblem". E(S k+ S.. S k ) kan beregnes som den hidtidige gevinst S k plus den forventede gevinst ved det næste

16 4 Strategier ved spil kast i alt lig med S k + E(X k+ S.. S k ). Stopbetingelsen er derfor: S k > S k + E(X k+ S.. S k ) E(X k+ S.. S k ) < 0 E(X X q) S n P(q) < 0 S n > E(X X q) / P(q) Det er ikke særlig svært at udregne stopbetingelsen f.eks. for q=2 og q=6. Øvelse gør dette! Nedenfor er vist udskriften fra et program, som foretager beregningen for q = 2..2 Forventet gevinst i næste kast, når skæbne er q q: Stop når din gevinst S > EX(q)/P(q), når skæbne er q q: Som det fremgår, er der endog meget stor forskel på stoptiderne afhængig af ens "skæbne 2.3 "Mandagschancen" Dette spil er lidt mere interessant, fordi det ikke er helt så enkelt at gennemskue. I dette tilfælde kan man ikke forvente, at den kortsigtede strategi vil føre til den optimale strategi. At den faktisk gør det skyldes talværdierne. Dette skal forstås således, at hvis man ændrede på præmiestørrelserne ville Snell-strategien afvige fra den kortsigtede strategi. Vi vil analysere spillet ved Snell-strategien. Som nævnt, har man i spillet 9 tildækkede felter (0,0,25,25,50,50,00,00,250). Man kan afdække højest 3 felter. Man får beløbet i 000 kr., som det sidste felt viser. Hvis X er den stokastiske variabel, som angiver værdien af et felt, så vil de fleste uden så lange overvejelser vel fortsætte, hvis X<50 og standse, hvis X 00. Det kritiske er, hvis man afdækker 50 (X=50). Vi bemærker først at summen af alle felterne er S=620 og at E(X) =620/9=68,9 Vi opskriver først Snell-strategien fuldstændig for dette spil. G 3 =X 3 Den Stokastiske variabel G 3 = Gevinsten = X 3 = værdien af det sidst afdækkede felt. G 2 = max{ X 2, E(G 3 X,X 2 )} G = max { X, E(G 2 X ) } Den største af værdierne X 2 (= værdien af det afdækkede felt) og den betingede middelværdi af G 3 = X 3. Som ovenfor. Kriteriet for den optimale strategi er som tidligere: Stop, hvis på noget trin: X k > E(G k+ X.. X k )

17 Strategier ved spil 5 Det er relativ nemt, at opstille en formel for E(G 3 X,X 2 ). Når X og X 2 er afdækket er summen de resterende felter S - X - X 2. Da alle felter har samme sandsynlighed er middelværdien simpelthen middeltallet af felterne E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 )/(9-2) Det er noget mere teknisk at opstille en formel for E(G 2 X ) og også lidt teknisk at foretage beregningen. Vi vil nøjes med at skitsere beregningen for en værdi af X og i øvrigt henvise til resultatet af et Computerprogram, som kan ses nedenfor. Lad os antage, at X = 25. Vi lader nu X 2 gennemløbe alle de mulige værdier (alle værdier skal tælles med det antal gange, der er felter med denne værdi). For hver værdi af X 2, (f.eks. 50), skal vi vælge max af X 2 og E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 ) /(9-2) (= ( )/7 = 77,8 i dette tilfælde), og addere det til en sum S 2. E(G 2 X ) er da lig med S 2 /(9-) (da der er 9- felter X 2 ) X2[]= 0.00 E(G3)= 85.7 G2= 85.7 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= 5.43 G2= X[]= 0.00 E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 8.43 G2= 8.43 X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 70.7 G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[2]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 67.4 G2= X2[5]= E(G3)= 45.7 G2= X[3]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 70.7 G2= 70.7 X2[3]= E(G3)= 67.4 G2= 67.4 X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[4]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= 5.43 G2= 5.43 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= 45.7 G2= X2[4]= E(G3)= G2= X[5]= E(G[2])= Ser man resultaterne igennem, kan de udmøntes i en simpel regel. Fortsæt på 50 eller derunder. Stop på 00 eller derover. Det er måske lidt overraskende, at man også skal forsætte på , hvis

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information BlackJack Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg SPILLEBESKRIVELSE Revision 003 Den 13. april 2000 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 Opstillingsvejledning for Compu-Game automater. Indgreb i automatens

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE

LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE KAPITEL 20. FORDELEN VED AT HAVE EN TRUMFFARVE Indtil videre har vi beskæftiget os mest med at spille sanskontrakter. De fleste spil i bridge vil imidlertid blive spillet

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:37 Side 2 AMERIKANSK ROULETTE Intet casino uden roulette et klassisk bordspil, hvor

Læs mere

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 1 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning 1 2. Kortgivning 2 3. De to typer spil 3 4. Meldeforløbet 3 5. Meldingernes rækkefølge 4 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 7. De enkelte meldingers

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Golf og Lederudvikling!

Golf og Lederudvikling! Golf og Lederudvikling! Golf og Lederudvikling! Kan man lære om ledelse på en golfbane eller er det blot en undskyldning for en god dag væk fra kontoret? Ja, ja, ja meget endda! En forudsætning for at

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Monte Carlo Udviklet for DAB

Monte Carlo Udviklet for DAB Spillebeskrivelse Monte Carlo Udviklet for DAB Revision 05 Den 31. marts 2006 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 Opstillingsvejledning for Compu-Game automater.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

LÆREBOG SKAT. af Reinar Petersen. 1998 Reinar Petersen, Gråsten 2. udgave

LÆREBOG SKAT. af Reinar Petersen. 1998 Reinar Petersen, Gråsten 2. udgave LÆREBOG I SKAT af Reinar Petersen LÆREBOG I SKAT Side 2 INDLEDNING...3 DELTAGERE...4 KORTENE OG FARVERNES VÆRDI...4 Kortrækkefølgen...4 Kortgivning...5 REGLERNE...5 TYPER SPIL...5 1. Grand...6 2. Trumf...6

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0%

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0% Sell in May? Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Det er ikke kun vejret, som har vist sig fra den kedelige side denne sommer. Aktiemarkedet har været ramt af en koldfront, der

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Den Moderne Taberberegning. Honnørpoint er en god metode at vurdere sin hånd efter med to jævne hænder over for hinanden.

Den Moderne Taberberegning. Honnørpoint er en god metode at vurdere sin hånd efter med to jævne hænder over for hinanden. Den Moderne Taberberegning I mange år har de fleste bridgespillere kun benyttet "honnørpoint" og "fordelingspoint". Det har virket udmærket - og virker stadigvæk udmærket. Honnørpoint er en god metode

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere