Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier"

Transkript

1 Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006

2 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser Poker Ruinsandsynligheder ved Roulette mv....5 Kap 2. Strategier ved spil...9. Forskellige spil...9. Mandags-chancen "Skæbnen" Indbrudstyvens pensionsproblem Tændstikspillet Casino Optimale Strategier Den optimale Snell-strategi Indbrudstyvens pensionsproblem "Skæbnen" "Mandagschancen" Casino Tændstikspillet...7 Indeks...23

3 Sandsynligheder ved spil Kap. Sandsynligheder ved spil. Lotto Ved lottospil, går det som bekendt ud på at gætte 7 tal ud af 36 mulige. Foruden de 7 lotto tal bliver der også udtrukket 2 tillægstal. Man opnår præmier på følgende måde:. præmie ved at gætte alle 7 rigtige. 2. præmie for at gætte 6 rigtige plus et rigtigt tillægstal. 3. præmie for at gætte 6 rigtige. 4. præmie for at gætte 5 rigtige. 5. præmie for at gætte 4 rigtige. Vi vil indlede med at udregne sandsynlighederne for at få, hver af disse præmier, når man udfylder én række. Vi skal her minde om definitionen af sandsynligheden for en hændelse i et Symmetrisk Sandsynlighedsfelt n( H ) Antal elementer i H P ( H ) = = = n( U ) Antal elementer i U Gunstige Mulige De mulige måder at udvælge 7 tal ud af 36 er 36! K ( 36,7) = = = 7!(36 7)! Følgelig er sandsynligheden for 7 rigtige P(7) = = p7 =,979 0 K(36,7) 7 Når vi skal udregne sandsynligheden for 6 rigtige tal plus et tillægstal, ræsonnerer vi på følgende måde: De 6 rigtige kan vælges ud af 7 på K(7,6) = 7 forskellige måder, og tillægstallet kan vælges på 2 måder. Da vi både skal have 6 rigtige og et tillægstal rigtigt, skal de to antal muligheder multipliceres for at finde antal gunstige udfald. P(6 rigtige + tt) = K(7,6) 2/K(36,7)=4/K(36,7)=4 p 7 =, På samme måde kan vi finde sandsynligheden for 6 rigtige, idet antal gunstige er K(7,6) gange med antal måder det forkerte tal kan vælges på =27 måder, idet det forkerte tal hverken må være et af de 7 rigtige eller et tillægstal.

4 2 Sandsynligheder ved spil P(6 rigtige) =K(7,6) 27/K(36,7) = 89 p 7 = 2, Sandsynligheden for 5 rigtige tal findes som antallet af måder at udtage 5 rigtige ud af 7 lig med K(7,5), gange antallet af muligheder for de to sidste tal, som kan vælges blandt 36-7 =29 tal. Dette antal er K(29,2). P(5 rigtige) = K(7,5) K(29,2)/K(36,7) = 8526 p 7 =, =,02 / På helt samme måde opskriver vi sandsynligheden for 4 rigtige, idet de gunstige er K(7,4) K(29,3), nemlig 4 rigtige udvalgt blandt 7, gange 3 forkerte udvalgt blandt 29. P(4 rigtige) = K(7,4) K(29,3)/K(36,7) = p 7 = 0,053 =,53% Af ovenstående fremgår, at chancen for at få mere end 4 rigtige er uhyre ringe. Til gengæld er der en rimelig chance for at få 4 rigtige. Dette er gjort helt bevidst for dem, der har planlagt spillet. Erfaringen viser nemlig, at hvis man aldrig vinder, holder man op med at spille efter en vis tid. Lad os antage at man udfylder en kupon med 0 rækker hver uge. Først udregner vi chancen for at få 4 rigtige på mindst én af kuponerne. Hændelsen "4 rigtige" er binomialfordelt, med antalsparameteren n=0. For at finde denne sandsynlighed, udregner vi først sandsynligheden for den komplementære hændelse "Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne" P(Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne) = (-p 4 ) 0 = 0, =0,8557 P(4 rigtige på mindst én af kuponerne) = - P(Ikke 4 rigtige på nogen af kuponerne) = 0,443 Man har altså knap 5% chance for at få 4 rigtige på mindst en af de 0 rækker. Antager vi nu, at man spiller 0 rækker i 5 uger, vil vi udregne sandsynligheden for, at man ikke får 4 rigtige på nogen af de 5 uger. P(ikke 4 rigtige i 5 uger)= 0, = 0,4487 Der er således godt 50% chance for at man får 4 rigtige mindst en gang på 5 uger. Det er formodentlig det, som holder spillet i gang. Vinder man, får man udbetalt ca. 40 kr., som kan sammenlignes med udgiften 5 30 =50 kr. Man kan selvfølgelig udregne middelværdien af gevinsten, hvis man kender præmiestørrelserne. Dette er imidlertid ikke særlig interessant, idet 45% af det indbetalte beløb altid går til præmier. Middelgevinsten er derfor altid 0,55 3,00 kr. = -,65 kr. øvelser. Udregn hvor mange uger man skal spille 0 rækker for, at der er mere end 50% chance for at vinde 4. præmie (5 rigtige). Opgaven skal løses med logaritmer.

5 Sandsynligheder ved spil 3 2. Forsøg at udregne samme som ovenfor, blot med en. præmie. 3. En udfyldt række på 7 tal, "dækker" åbenbart over K(7,4) K(29,2) forskellige rækker med 4 rigtige. Hvor mange rækker skal man mindst udfylde for at være sikker på at få 4 rigtige. 2. Poker Vi antager at Poker spilles med et almindeligt spil kort uden joker, og at hver spiller får 5 kort fra begyndelsen. Vi vil ikke beskæftige os med at købe nye kort, da det er alt for kompliceret, men kun udregne sandsynlighederne for de forskellige kombinationer af kort, der kan slå hinanden. Flush betyder i Poker sammenhæng 5 kort i samme farve og Straight betyder 5 kort i rækkefølge. Rangfølgen af kortfarverne er i øvrigt de samme som i Bridge: Spar, Hjerter, Ruder, Klør. Rangfølgen af kortkombinationer i Poker er følgende: Royal Flush: Straight Flush: Fire ens: Full House: Flush: Straight: Tre ens: To par: Et par: Højeste kort: De 5 højeste kort i samme farve. F.eks. Ruder es, Ruder konge, Ruder dame, Ruder knægt, Ruder 0. 5 kort i rækkefølge i samme farve. 4 ens kort. (5. kort underordnet) 3 ens + 2 ens (et par) 5 kort i samme farve. 5 kort i rækkefølge. tre ens kort. 2 ens + 2 ens. 2 ens Sandsynlighederne for hver af disse kortkombinationerne kan udregnes, idet de mulige kombinationer af 5 kort udtaget af 52 er = Der er 4 forskellige Royal Flush en i hver farve. 4 P(Royal flush) = = 6, Der kan i hver af de 4 kortfarver laves 9 forskellige Straight Flush. En af dem er Royal. 4(9 ) P(Straight Flush) = = K 32 (32,5) = 4, Der er 3 forskellige muligheder for 4 ens. Det femte kort kan for hver vælges på 52-4 = 48 måder P(4 ens) = = = 2,40 0-4

6 4 Sandsynligheder ved spil Full House: Der er 3 forskellige muligheder for 3 ens. De 3 kan udtages på K(4,3) forskellige måder. De to ens må nødvendigvis have en anden talværdi, hvoraf resultatet følger. 3 K(4,3) 2 K(4,2) 3744 P(Full House: 3 ens + 2 ens) = = =, kort i samme farve kan udtages på K(3,5) måder. Der er 4 kortfarver. Vi må subtrahere Straight Flush'er fra. P(Flush: 5 i samme farve)= 4 K(3,5) = =,967 0 Straight: Der er 3-4 =9 forskellige rækkefølger. Hver af de 5 kortværdier kan vælges blandt 4 farver. Vi skal fratrække Straight Flush. P(Straight: 5 i rækkefølge) = = = 3, ens: Der er 3 kortværdier, og der skal udvælges 3. De sidste to kort kan udvælges blandt 52-4 = 48 kort (ikke 49, da det kunne give 4 ens). Vi må dog fratrække de 2 K(4,2) par, der kan dannes og som ville give Full House. 3 K(4,3) ( K(48,2) 2 K(4,2)) 5492 P(3 ens) = = = 2,3 0 Først udregnes antallet af muligheder for de to par. Faktoren ½ skyldes, at man ved denne optælling tæller de mulige kombinationer. Et par f.eks. (spar dame, hjerter dame), vil både være at finde blandt de 3 K(4,2) og de 2 K(4,2) muligheder. Det sidste kort kan vælges blandt 52 de 8 som danner de to par. 2 P(2 par) = 3 2 K(4,2) 2 K(4,2)(52 8) = = 4, De første 3 faktorer i tælleren er antallet af måder at få et par på. Vi bliver nødt til at subtrahere mulighederne for 2 par og Full House. 3 K(4,2) K(48,3) P( par) = = = 0, 470 Hermed har vi afsluttet vores gennemgang af sandsynlighederne i Poker. Bemærk, at sandsynlighederne følger rangen af en Pokerhånd.

7 Ruinsandsynligheder 5 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette mv. Beregningen af "ruinsandsynligheder" er noget som er helt afgørende for forsikringsvirksomhed, hvis denne skal drives forretningsmæssigt. Sammenhængen mellem ruinsandsynligheder og beregning af præmiestørrelserne en ret kompliceret matematisk teori, som betegnes som forsikringsmatematik. På universiteterne findes en særlig uddannelse, som kaldes aktuar studiet, som har dette som speciale. Forsikringsmatematik kan illustreres ved at betragte roulettespil på et Casino. En roulette har 37 felter, nummereret Hvis man vinder på et felt får man udbetalt 36 gange indsatsen. Da man har lagt en indsats er gevinsten 35 indsatser. Hvis X er den stokastiske variabel, som betegner en spillers gevinst, så antager X værdierne +35 med sandsynlighed /37 og med sandsynlighed 36/37. P(X=35) = /37 og P(X=-) = 36/37. Middelgevinsten, når man spiller på et felt, er følgelig: E 36 ( X ) = X ( u) P( u) = 35 + ( ) = u U Hvis spilleren i stedet vælger at spille på m felter, er antager gevinsten X, værdierne 36-m med sandsynlighed m/37 og m med sandsynligheden (37-m)/37 = - m/37. Middelgevinsten bliver herefter: 37 E( X ) = u U X ( u) P( u) = (36 m) m 37 + ( m)( m ) 37 m = 37 Middelgevinsten pr. indsats er således uafhængig af, hvor mange felter man spiller på. Hermed er det slået fast: Der findes intet system, der kan bringe én i stand til at vinde på en roulette på længere sigt. Dette er en simpel matematisk kendsgerning, som mange har måttet erkende på en betydelig mere smertelig måde. Specielt, hvis man spiller på m=8 felter er gevinsten 36-8=8 med sandsynlighed 8/37 og 8 med sandsynlighed 9/37. Selvom en spiller ikke kan vinde i det lange løb, har spilleren på grund af tilfældigheder (som spillere foretrækker at kalde held) mulighed for at vinde betragtelig store beløb. Vi vil nu lave nogle betragtninger over, hvor stor sandsynlighed en spiller har for at "sprænge banken", dvs. ruinere Casinoet. En sådan beregnet sandsynlighed kaldes for ruinsandsynligheden. Vi antager at Banken råder over n-enheder (indsatser). Vi ønsker at vurdere sandsynligheden for at en uendelig rig spiller, der gør den samme indsats i hvert spil, vinder u eller flere enheder, når der ikke er nogen begrænsning på antallet af spil. Ruinsandsynligheden for banken betegner vi r n. Hvis X, X 2, X 3,.. betegner Casinoets gevinst ved de enkelte spil er: G k = X + X 2 +X X k gevinsten efter k-spil. Ruinsandsynligheden kan derfor formuleres. r n = P( G 0 for et eller andet k) (Der er ingen umiddelbar sammenhæng mellem n og k.) k

8 6 Ruinsandsynligheder Der gælder rekursionsformlen: r n+ = r n r, som udtrykker, at sandsynligheden for at blive ruineret med n+ enheder er lig sandsynligheden for at blive ruineret med n enheder gange sandsynligheden for at blive ruineret med en enhed. Dette, fordi vi antager at hvert spil er uafhængigt af de øvrige. Heraf følger umiddelbart: r 2 = r + = r r = r 2. r 3 = r 2+ = r 2 r = r 3, og følgelig: r n = r n For at beregne en ruinsandsynlighed, ser vi først på tilfældet, hvor en spiller sætter sin indsats på 8 felter pr. spil. Her er Casinoets gevinst +8 eller 8 pr spil. For nemheds skyld, sætter vi de 8 indsatser til at være en enhed =. Vi opstiller da følgende rekursionsligning, som tager udgangspunkt i det første spil. Sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n enheder er lig med: Sandsynligheden for at banken vinder det første spil (hvor den vinder en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n+ enheder, plus sandsynligheden for at banken taber det første spil (hvor den mister en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n- enheder. Sandsynlighederne for at banken vinder og taber er 9/37 og 8/37. Vi kan da opstille ligningen. r 9 8 n = r 37 n+ + r 37 n r n = 9 37 n + + r 8 37 n r n For at opnå det sidste udtryk, har vi anvendt resultatet af rekursionsligningen: r n = r Det er relativt nemt at bestemme r ud fra denne ligning. Ved division af ligningen med r n- får man: 9 8 r = r 2 + 9r 2 37r + 8 = Den sidste 2.gradsligning kan løses på normal vis, idet d = =, så 37 ± 36 8 r = r = = = r n 8 Vi er kun interesseret i løsningen r = 8/9. Ifølge ovenstående er r r n n = = ( ). 9 Vi vil herefter besvare spørgsmålet: Hvor mange enheder skal banken have, for at der er mindre end % chance for ruin. Dette er ensbetydende med at løse ligningen: ( 8 9 ) n 0.0 ln(0,0) n = ln( ) 9 Husker vi, at en enhed svarede til 8 indsatser, giver dette beskedne 533 indsatser. Hvis en spiller derimod spiller på sædvanlig vis med kun at placere en indsats på ét felt, er dette - lidt overraskende betydelig mere risikabelt for banken. Vi opstiller igen en rekursionsligning, med udgangspunkt i det første spil: Sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n enheder er lig med:

9 Ruinsandsynligheder 7 Sandsynligheden for at banken vinder det første spil (hvor den vinder en enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n+ enheder, plus sandsynligheden for at banken taber det første spil (hvor den mister 35 enhed) gange sandsynligheden for at banken bliver ruineret med n-35 enheder. Sandsynlighederne for at banken vinder og taber er 36/37 og /37. Vi kan da opstille ligningen. r 36 n = r 37 n+ + r 37 n 35 r n = 36 n r n 35 r Ved division med (r ) n-35 og omordning af leddene og ved at sætte r = x får man ligningen: 36x 36 37x 35 + = 0 Denne ligning kan kun løses ved numeriske metoder, og man finder løsningen x = 0,9984. Hvis vi igen stiller spørgsmålet: Hvor mange indsatser skal banken råde over, for at der er mindre end % chance for ruin, skal vi løse ligningen: n ln(0,0) ( 0,9974) 0,0 n = 2876 ln(0,9984) Altså en betydelig større beholdning, end hvis spilleren spiller på 8 felter. Forsøger vi at udregne ruinsandsynligheden for en spiller, der har n enheder og lægger sin indsats på ét felt, kommer vi efter helt det samme ræsonnement frem til følgende rekursionsligning. r 36 n = r 37 n + r 37 n+ 35 r n = 36 n r n+ 35 r som fører til ligningen x 36 37x +36 = 0. Denne ligning har kun løsningen x=. Differentieres nemlig f(x) =x 36 37x +36 finder man: f '(x) =36x Ligningen f '(x) =0 har 37 løsningen: x = 35 >. Da f '(x) < 0 for x <, har den ingen rødder mindre end. 36 Ruin-sandsynligheden for en spiller, der går på et Casino, (der har en uendelig stor beholdning) er. Så vi kan endnu engang fastslå, at hvis man fortsætter med at spille på et Casino, vil man altid blive ruineret. Man kunne overveje ruinsandsynlighederne, hvis Casinoet har beholdningen n og en spiller har beholdningen m, (n > m eller omvendt), men svaret vil afhænge af n og m, og de indgående to ulineære ligninger med to ubekendte med meget høje eksponenter er ikke så nemme at løse numerisk selv på en Computer. Hvis n >> m, vil svaret stort set være det samme.

10 8 Ruinsandsynligheder

11 Strategier ved spil 9 Kap 2. Strategier ved spil. Forskellige spil Efter at have udregnet vindersandsynligheder i forbindelse med spil, skal vi nu se på noget andet, som også er knyttet sammen med sandsynlighedsregningen, nemlig problemet med at fastlægge den bedste strategi, når man spiller et "spil". Her skal spil imidlertid forstås i en meget videre betydning, det være sig krig, børsspekulation, jagt eller fiskeri på en bestemt dyreart. Sidstnævnte er dog alt for komplicerede til at kunne behandles elementært. Fælles er det dog, at man skal kunne beregne sandsynligheden for en bestemt konsekvens af et givet træk. Vi vil begynde med at give nogle meget simple eksempler på "spil", hvor det er meningsfuldt at tale om optimal strategi. Vendingen "den optimale strategi" indebærer, at spillet afvikles i et endeligt antal trin, og at der for hvert trin i spillet er mulighed for at forbedre sin gevinst og mulighed for at miste sin gevinst helt eller delvis. Man skal endvidere have mulighed for at standse spillet ved ethvert trin og inkassere sin gevinst.. Mandags-chancen I dette spil, som har været lanceret af TV2, har man en række tildækkede felter med beløb (0,0,25,25,50,50,00,00,250) kkr (kilo kr). Man har maximalt 3 forsøg. Man får beløbet på det sidst afdækkede felt. Det er nok klart, at hvis man afdækker 0 i. eller 2. forsøg skal man fortsætte, eller hvis man afdækker 250 i. eller 2. forsøg skal man standse. Men hvad hvis man afdækker 50 i. eller 2. forsøg? Det vil vi forsøge at afgøre ved nogle mere matematiske betragtninger..2 "Skæbnen" Et spil, som vist nok kommer fra orienten. Det spilles med to terninger. Først slåes et slag med de to terninger, og summen af deres øjental betegnes skæbnen. Man må nu slå, lige så mange gange man vil (max 00). Hvis øjentallene ikke er lig skæbnen, så adderes dette til ens pointtal, men hvis man slår skæbnen mister man alt. Når spillet er standset, fordeler man indsatsen i forhold til spillernes opnåede pointtal. Det gælder derfor om at få den største gevinst. Problemet er, hvornår det er optimalt at standse, når man kender sin skæbne..3 Indbrudstyvens pensionsproblem. Dette er en variant af mange forskellige optimeringsproblemer. Arthur er indbrudstyv. Hver tyvetugt giver i snit K kr. Chancen for at Arthur bliver snuppet er p. Hvis han bliver taget, mister han alt fra sine tidligere tyvetugter. Hvor mange indbrud skal Arthur lave, før han standser sin karriere og leve af sin "opsparing"?

12 0 Strategier ved spil.4 Tændstikspillet Dette spil falder lidt uden for rammerne, af de øvrige spil, fordi man ikke kan standse spillet, og fordi man aldrig kan miste noget af sin gevinst. Det kan derfor ikke umiddelbart behandles på samme måde som de hidtil nævnte spil. Alligevel er det et spil, der udpræget handler om den bedste strategi. Spillet går ud på, at man på 0 tændstikker farver den ene side. Kastes tændstikken op er sandsynligheden for at den farvede side vender opad p=0,25. Hver spiller har fra starten tallene..0. Hvert tal må kun bruges. gang. Man skiftes til at kaste de 0 tændstikker og notere antallet af farvede tændstikker. Dette antal skal så ganges med et af de resterende tal..0. Den som efter 0 spil har den højeste sum har vundet. Det kan oplyses, og let verificeres, at den maximale gevinst er 550, Middelgevinsten, hvor man vælger tilfældig er 37,5 og den optimale middelgevinst er ca Casino Roulette spil falder også lidt uden for rammerne af "optimale strategier", af den meget simple grund, at odds er svagt imod én. Det gælder dog ikke for Blackjack, hvor man kan udvikle en strategi, som giver en svag fordel. Hvis odds'ene er imod én, vil man imidlertid altid tabe i det lange løb. Som tidligere fastslået er den eneste mulighed - i det lange løb - for at undgå ruin i roulettespil, at der ikke er nogen øvre grænse for indsatser, og at man har flere penge end Casionet. Enhver fornuftig matematisk spil-teori, vil derfor som resultat have, at man skal standse før det første spil. Det vil sige: Man skal lade være med at gå på Casino. Denne kendsgerning udelukker dog ikke, at man kan gøre sig overvejelser over hvordan man kan spille, hvis man ikke udelukkende er interesseret i at forære sine penge til et Casino uden kamp. 2. Optimale Strategier Hvis man skal formulere en strategi for de 3 første spil nævnt ovenfor, så kunne man f.eks. vælge én af 3 følgende strategier:. Man beslutter på forhånd, hvor stor ens gevinst (eller tab) skal være, før man stopper. Dette er faktisk en meget "almindelig" strategi, men den er bestemt ikke optimal. 2. Man fortsætter, så længe man i middel har mulighed for at forøge sin gevinst i næste spil. Man skal huske på, at middelværdien af "gevinsten" også omfatter tab, så middelværdien (i matematisk forstand) skal være positiv. Denne umiddelbart fornuftige strategi, kaldet den kortsigtede eller myope strategi, er i mange tilfælde også den optimale strategi, (dog ikke i mandagschancen). 3. Man fortsætter, så længe man i middel har mulighed for at forøge sin gevinst ved i de efterfølgende spil. Denne strategi kaldes den langsigtede strategi. Både den kortsigtede og den langsigtede strategi, ser yderst rimelige ud og de vil også være optimale for langt de fleste spil. Hvis der er forskel på den langsigtede og den kortsigtede strategi, skal man anvende den langsigtede - naturligvis.

13 Strategier ved spil Der findes imidlertid visse former for "spil", hvor ingen af strategierne er optimale. Det gælder f.eks. for børsspekulanter, der har en beholdning aktier, som de vil sælge og kurserne stiger. Dette fortsætter som bekendt aldrig i det uendelige. På et vist tidspunkt standser stigningen, og kurserne begynder at falde som regel hurtigere end de steg. Hvornår skal man sælge for at opnå den største gevinst? Det viser sig - men det er særdeles kompliceret at redegøre for - at ingen af strategierne 2. og 3. i alle tilfælde er optimale. De vil begge to i grove træk, som resultat have, at man enten skal sælge straks eller vente til man er ruineret! Vi vil nu give en beskrivelse af "den optimale strategi", som er udviklet af Snell. Vi vil overhovedet ikke nærme os et bevis for, at det er den optimale strategi (beviset er ret "teknisk"), men understrege, at det kan bevises! I matematisk forstand. Ulemperne ved Snell-strategien er, at den for selv simple problemer kan føre til ret uoverskuelige regninger. 2. Den optimale Snell-strategi Snell-strategien er på en måde den samme som den kortsigtede strategi, men hvor man i denne strategi hele tiden regner sig et skridt frem, tager Snell-strategien udgangspunkt i spillets slutning og arbejder sig baglæns. Vi indfører da nogle betegnelser. Vi antager at "spillet" har n trin. S k er en stokastisk variabel, der angiver den faktiske samlede gevinst man har opnået ved det k'te spil. S k kan antage en eller flere værdier med tilhørende sandsynligheder. Det nye ved Snell-strategien er, at man definerer endnu en stokastisk variabel G k ved ligningen. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )} G k er den største af værdierne S k (gevinsten efter det k'te spil) og E(G k+ S..S k )), som er middelværdien af den maximale forventede gevinst i det k+'te spil, når det er givet at man har spillet spillene..k. Dette opstilles i et skema. G n = S n Gevinsten ved spillets afslutning G n- = max{s n-, E(G n S..S n- )}.. G k = max{s k, E(G k+ S..S k )}. G = max{s, E(G 2 S )} Snell strategien siger nu, at man skal standse spillet den. gang S k (gevinsten efter det k'te spil) overstiger middelværdien af den maksimale forventede gevinst i det k+'te spil. Dette kaldes for stopbetingelsen. Stopbetingelsen er altså: S k E(G k+ S..S k )

14 2 Strategier ved spil Man skal altså standse spillet, når den opnåede gevinst er større eller lig med betingede forventning af den maximale gevinst i det næste spil. Det kunne lyde som den kortsigtede strategi, men forskellen er den, at i den kortsigtede strategi er G k+ erstattet af S k+. At kunne gennemskue konsekvenserne af dette, er derimod ikke så nemt. Det viser sig, at i mange tilfælde er Snell-Strategien identisk med den kortsigtede strategi, som kræver, at man stopper, når S k E(S k+ S..S k ) Snell strategien er ikke umiddelbart let gennemskuelig, og udregningen af de betingede middelværdier E(G k+ S..S k ) er ofte meget "teknisk". Vi vil nu behandle de før nævnte eksempler, og begynder med 2. Indbrudstyvens pensionsproblem Lad os antage, at Arthur's gennemsnitlige gevinst ved hvert tyvetogt er K=6.000,- kr. og at chancen er at han bliver taget er 5%. Lad os antage at hans hidtidige "gevinst" efter k - tyvetugter er S k, som bliver konfiskeret - og som han derved mister, hvis han bliver snuppet. I dette tilfælde kan man - som vist nedenfor - se, at den kortsigtede strategi er den optimale strategi. Det hænger sammen med at alle "trin i spillet" er identiske. Gevinsten ved hvert tyvetogt er den samme uafhængigt af de foregående tyvetugter - bortset fra, at den samlede gevinst vokser med hvert vellykket tyvetogt. X k betegner den stokastiske variabel, som er Arthur's gevinst ved ét tyvetugt. Hermed er S k =X + X 2 + X 3 + X k X k+ kan antage værdien K, med sandsynlighed -p s = -P("Snuppet") (altså, hvis det næste tyvetugt lykkes) og værdien S k (han mister hele sin "opsparing"), med sandsynlighed p s = P("Snuppet"). Vi opskriver nu Snell-strategien (Den kortsigtede strategi) for et trin i hans karriere: G k = max{ S k, E(S k+..k) } (S k er hans "gevinst" efter k tyvetugter, og E(S k+..k) er hans forventede gevinst efter k+ tyvetugter) E(S k+..k) kan beregnes som den hidtidige "gevinst" plus den forventede gevinst ved næste tyvetugt i alt lig med S k + E(X k+ ). E(X k+ ) er uafhængig af de første k - tyvetugter, derfor bliver stopbetingelsen: S k > S k + E(X k+ ) E(X k+ ) < 0 Middelværdien E(X k+ ) kan derfor udregnes efter den sædvanlige definition, idet X k+ antager værdierne K (gevinsten ved et tyvetugt) og - S k (mister hele sin "opsparing") med sandsynlighederne -p s og p s henholdsvis. E(X k+ ) = K (- p s ) - S k p s Han skal standse, når E(X k+ ) < 0:

15 Strategier ved spil 3 K (- p s ) < S k p s, som med taleksemplet giver ,95 < S k 0.05 S k > 4.000,- kr. svarende til 4.00/6.000 = 0.95/0.05 = 9 tyvetugter (Det gør han nu nok ikke, og er derfor henvist til at leve af folkepensionen efter nogle år i skyggen) Man kunne godt tro, at dette eksempel kunne anvendes på andre (ligeså uetiske) problemstillinger. F.eks. hvor mange gange det er optimalt at køre gratis i S-tog. Det kan det imidlertid ikke helt. Sagen er jo den, at man får en fast bøde, hvis man bliver snuppet, men man kommer ikke til at betale for de gange man har kørt gratis. Med andre ord, vurderingen om, hvorvidt det er fordelagtigt at køre uden billet, afhænger kun af middelgevinsten ved det næste forsøg. Hvis den er positiv, er detfordelagtigt at fortsætte, hvis den er negativ, er det fordelagtigt at løse billet. (Det er i øvrigt uetisk at snyde naturligvis). Tager vi et eksempel: billetprisen er kr. 50,- Bøden er kr Sandsynligheden for at blive snuppet er P s = 0.. X = Gevinst ved at køre uden billet. E(X) = 50 (-P s )-500 P s = = -5,0 Det er således (med denne sandsynlighed for at blive snuppet) ikke fordelagtigt at køre uden billet i S-tog. Da en matematikbog naturlig vis ikke må tilskynde til uetiske handlinger, undlader vi at foretage beregningen med P s = "Skæbnen" Vi betragter kast med to terninger. X betegner summen af øjentallene ved ét kast. Sandsynlighedsfordelingen for X er velkendt. F.eks. er P(X=5) = 4/36. Sandsynligheden for j øjne kan skrives som: P( X = 6 7 j) = 36 j Lad os antage at spillerens "skæbne" er q. Hvis man slår dette øjental er alt tabt. Ellers adderes øjentallene for hvert kast. Hvis ikke man har slået sin "skæbne", så er den samlede gevinst efter n spil: S n = X + X 2 + X X n. Og middelværdien af S n er E(S n ) = E(X )+ E(X 2 )+E(X 3 )+. +E(X n ) = n E(X X q). E(X X q) er den betingende middelværdi af øjentallene, givet at man ikke slår sin skæbne. E(X X q) = 2 P(2) +3 P(3)+ (q-) P(q-) + (q+) P(q+)+ +2 P(2) Den kortsigtede strategi (og Snell strategien) fastslår, at man skal standse, når middelværdien af den forventede gevinst ved næste kast er negativ: Argumentet for dette kan overtages næsten ordret fra "indbrudstyvens pensionsproblem". E(S k+ S.. S k ) kan beregnes som den hidtidige gevinst S k plus den forventede gevinst ved det næste

16 4 Strategier ved spil kast i alt lig med S k + E(X k+ S.. S k ). Stopbetingelsen er derfor: S k > S k + E(X k+ S.. S k ) E(X k+ S.. S k ) < 0 E(X X q) S n P(q) < 0 S n > E(X X q) / P(q) Det er ikke særlig svært at udregne stopbetingelsen f.eks. for q=2 og q=6. Øvelse gør dette! Nedenfor er vist udskriften fra et program, som foretager beregningen for q = 2..2 Forventet gevinst i næste kast, når skæbne er q q: Stop når din gevinst S > EX(q)/P(q), når skæbne er q q: Som det fremgår, er der endog meget stor forskel på stoptiderne afhængig af ens "skæbne 2.3 "Mandagschancen" Dette spil er lidt mere interessant, fordi det ikke er helt så enkelt at gennemskue. I dette tilfælde kan man ikke forvente, at den kortsigtede strategi vil føre til den optimale strategi. At den faktisk gør det skyldes talværdierne. Dette skal forstås således, at hvis man ændrede på præmiestørrelserne ville Snell-strategien afvige fra den kortsigtede strategi. Vi vil analysere spillet ved Snell-strategien. Som nævnt, har man i spillet 9 tildækkede felter (0,0,25,25,50,50,00,00,250). Man kan afdække højest 3 felter. Man får beløbet i 000 kr., som det sidste felt viser. Hvis X er den stokastiske variabel, som angiver værdien af et felt, så vil de fleste uden så lange overvejelser vel fortsætte, hvis X<50 og standse, hvis X 00. Det kritiske er, hvis man afdækker 50 (X=50). Vi bemærker først at summen af alle felterne er S=620 og at E(X) =620/9=68,9 Vi opskriver først Snell-strategien fuldstændig for dette spil. G 3 =X 3 Den Stokastiske variabel G 3 = Gevinsten = X 3 = værdien af det sidst afdækkede felt. G 2 = max{ X 2, E(G 3 X,X 2 )} G = max { X, E(G 2 X ) } Den største af værdierne X 2 (= værdien af det afdækkede felt) og den betingede middelværdi af G 3 = X 3. Som ovenfor. Kriteriet for den optimale strategi er som tidligere: Stop, hvis på noget trin: X k > E(G k+ X.. X k )

17 Strategier ved spil 5 Det er relativ nemt, at opstille en formel for E(G 3 X,X 2 ). Når X og X 2 er afdækket er summen de resterende felter S - X - X 2. Da alle felter har samme sandsynlighed er middelværdien simpelthen middeltallet af felterne E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 )/(9-2) Det er noget mere teknisk at opstille en formel for E(G 2 X ) og også lidt teknisk at foretage beregningen. Vi vil nøjes med at skitsere beregningen for en værdi af X og i øvrigt henvise til resultatet af et Computerprogram, som kan ses nedenfor. Lad os antage, at X = 25. Vi lader nu X 2 gennemløbe alle de mulige værdier (alle værdier skal tælles med det antal gange, der er felter med denne værdi). For hver værdi af X 2, (f.eks. 50), skal vi vælge max af X 2 og E(G 3 X,X 2 ) = ( S - X - X 2 ) /(9-2) (= ( )/7 = 77,8 i dette tilfælde), og addere det til en sum S 2. E(G 2 X ) er da lig med S 2 /(9-) (da der er 9- felter X 2 ) X2[]= 0.00 E(G3)= 85.7 G2= 85.7 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= 5.43 G2= X[]= 0.00 E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 8.43 G2= 8.43 X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 70.7 G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[2]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= G2= X2[4]= E(G3)= 67.4 G2= X2[5]= E(G3)= 45.7 G2= X[3]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= G2= X2[2]= E(G3)= 70.7 G2= 70.7 X2[3]= E(G3)= 67.4 G2= 67.4 X2[4]= E(G3)= G2= X2[5]= E(G3)= G2= X[4]= E(G[2])= X2[]= 0.00 E(G3)= 5.43 G2= 5.43 X2[2]= E(G3)= G2= X2[3]= E(G3)= 45.7 G2= X2[4]= E(G3)= G2= X[5]= E(G[2])= Ser man resultaterne igennem, kan de udmøntes i en simpel regel. Fortsæt på 50 eller derunder. Stop på 00 eller derover. Det er måske lidt overraskende, at man også skal forsætte på , hvis

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information BlackJack Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE

LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE LEKTION 6 ÅBNING 1 TRÆK I FARVE KAPITEL 20. FORDELEN VED AT HAVE EN TRUMFFARVE Indtil videre har vi beskæftiget os mest med at spille sanskontrakter. De fleste spil i bridge vil imidlertid blive spillet

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg

Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg SPILLEBESKRIVELSE Revision 003 Den 13. april 2000 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 Opstillingsvejledning for Compu-Game automater. Indgreb i automatens

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller.

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 9. Sandsynlighedsregning Hvad er den typiske størrelse af et nittehoved? 9. Statistik og sandsynlighedsregning Indhold 9.0 Indledning

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

LEKTION 3 REGNSKAB OG SVAR PÅ ÅBNING 1UT KAPITEL 10. REGNSKAB OG ZONESTILLING

LEKTION 3 REGNSKAB OG SVAR PÅ ÅBNING 1UT KAPITEL 10. REGNSKAB OG ZONESTILLING LEKTION 3 REGNSKAB OG SVAR PÅ ÅBNING 1UT KAPITEL 10. REGNSKAB OG ZONESTILLING Til slut under de generelle principper skal vi beskæftige os med regnskabet og begreberne I Farezonen og Udenfor Farezonen

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere